CÁLCULO PROPORCIONAL El Mundo Multiplicativo

116 

Texto completo

(1)

CÁLCULO PROPORCIONAL

El Mundo Multiplicativo

Fernando Córdova

William Campillay

1

1

Expositor

(2)

Contenido

1

Más difícil que 1

+

1...

2

Definamos nuestra manera de medir

3

La Integral Proporcional

Círculo e-unitario

4

La Derivada Proporcional

5

Aplicaciones

(3)
(4)

¿Qué tan natural puede ser la expresión 2

4

?

(5)

¿Qué tan natural puede ser la expresión 2

4

?

(6)

¿Qué tan natural puede ser la expresión 2

4

?

(7)

¿Qué tan natural puede ser la expresión 2

4

?

Cuando queremos resumir la expresión 3

+

3

+

3

+

3, ¿En qué

pensamos? y que ocurre con 2

·

2

·

2

·

2... hemos aprendido

(8)
(9)

Más difícil que 1

+

1...

(10)

Más difícil que 1

+

1...

Ahora podemos pensar en lo siguiente:

(11)

Más difícil que 1

+

1...

Ahora podemos pensar en lo siguiente:

(

e

2

)

·

(

e

2

)

·

(

e

2

)

·

(

e

2

) = (

e

·

e

·

e

·

e

)

2

=

e

4

2

hemos contado las unidades multiplicativas, y es a partir de

esto que puede ser más natural la representación de 2

4

ya que

(12)

Más difícil que 1

+

1...

Ahora podemos pensar en lo siguiente:

(

e

2

)

·

(

e

2

)

·

(

e

2

)

·

(

e

2

) = (

e

·

e

·

e

·

e

)

2

=

e

4

2

hemos contado las unidades multiplicativas, y es a partir de

esto que puede ser más natural la representación de 2

4

ya que

(13)
(14)

La nueva operación

(15)

La nueva operación

Es sabido que 3

5

6

=

5

3

, en general ocurre que si

(

a,

b

)

∈ <

+

× <

+

(16)

La nueva operación

Es sabido que 3

5

6

=

5

3

, en general ocurre que si

(

a,

b

)

∈ <

+

× <

+

a

b

6

=

b

a

.

La expresión anterior nos motiva a definir la siguiente ley de

composición interna:

ϕ

:

<

+

× <

+

−→ <

+

(17)
(18)

Propiedades

(19)

Propiedades

1

Conmutatividad: a

b

=

b

a.

(20)

Propiedades

1

Conmutatividad: a

b

=

b

a.

(21)

Propiedades

1

Conmutatividad: a

b

=

b

a.

2

Asociatividad: a

(

b

c

) = (

a

b

)

c.

3

Elemento neutro: a

e

=

a.

4

Elemento inverso: a

e

(22)

Propiedades

1

Conmutatividad: a

b

=

b

a.

2

Asociatividad: a

(

b

c

) = (

a

b

)

c.

3

Elemento neutro: a

e

=

a.

4

Elemento inverso: a

e

1 ln(a)

=

e.

5

Distributividad de la exponenciación respecto al producto

(23)

Propiedades

1

Conmutatividad: a

b

=

b

a.

2

Asociatividad: a

(

b

c

) = (

a

b

)

c.

3

Elemento neutro: a

e

=

a.

4

Elemento inverso: a

e

1 ln(a)

=

e.

5

Distributividad de la exponenciación respecto al producto

a

(

bc

) = (

a

b

)(

a

c

)

.

Teorema

(24)
(25)

Valor relativo

(26)

Valor relativo

Podriamos decir, que medir depende de lo que queramos

medir, es por eso que nos hemos dado la libertad de acomadar

la manera de hacerlo.

(27)

Valor relativo

Podriamos decir, que medir depende de lo que queramos

medir, es por eso que nos hemos dado la libertad de acomadar

la manera de hacerlo.

¿Cuál será la función valor absoluto correspondiente?

Definición

Dado x

∈ <

+

definimos el valor relativo de x , denotado por

[[

x

]]

, como:

[[

x

]] =

x

si x

1

1

(28)

Valor relativo

x

y

x1

y1

(29)
(30)

Definición

Dado un cojunto E , c

=

c

(

x

,

y

)

representa la distancia relativa

entre los puntos x e y de E si c

:

E

×

E

−→ <

verifica:

c

(

x,

y

)

1 para cada par x

,

y

E

.

c

(

x,

y

) =

1 si, y sólo si x

=

y

.

c

(

x,

y

) =

c

(

y

,

x

)

para cada x

,

y

E.

(31)

Definición

Dado un cojunto E , c

=

c

(

x

,

y

)

representa la distancia relativa

entre los puntos x e y de E si c

:

E

×

E

−→ <

verifica:

c

(

x,

y

)

1 para cada par x

,

y

E

.

c

(

x,

y

) =

1 si, y sólo si x

=

y

.

c

(

x,

y

) =

c

(

y

,

x

)

para cada x

,

y

E.

c

(

x,

z

)

c

(

x,

y

)

·

c

(

y

,

z

)

para cada x

,

y,

z

E.

Si c verifica lo anterior de denominará métrica relativa y

(

E

,

c

)

(32)

Cálculando el área proporcional

x

y

(a,b)

(a,c)

(e,b)

(f,b)

c

b

f

a

=

c

b

e

a

·

c

b

(33)

Cálculando el área proporcional

x

y

(a,b)

(a,c)

(e,b)

(f,b)

c

b

f

a

=

c

b

e

a

·

c

b

f

e

,

(34)

Cálculando el área proporcional

x

y

(a,b)

(a,c)

(e,b)

(f,b)

c

b

f

a

=

c

b

e

a

·

c

b

f

e

,

pero no debemos olvidar nuestra nueva operación que hace

posible la igualdad anterior

c

b

f

a

=

c

b

e

a

·

c

b

f

e

= (

e

a

·

f

e

)

(35)
(36)

De lo finito a lo infinito

∇a

k

=

a

k

+

1

(37)

De lo finito a lo infinito

∇a

k

=

a

k

+

1

a

k

.

(

a

k

b

k

) =

∇a

k

(38)

De lo finito a lo infinito

∇a

k

=

a

k

+

1

a

k

.

(

a

k

b

k

) =

∇a

k

∇b

k

.

Teorema Fundamental

Sea {a

k

} una sucesión, si a

k

6

=

0, entonces

n−

Y

1

k

=

0

∇a

k

=

n−

Y

1

k

=

0

a

k

+

1

a

k

=

a

n

a

0

(39)

De lo finito a lo infinito

∇a

k

=

a

k

+

1

a

k

.

(

a

k

b

k

) =

∇a

k

∇b

k

.

Teorema Fundamental

Sea {a

k

} una sucesión, si a

k

6

=

0, entonces

n−

Y

1

k

=

0

∇a

k

=

n−

Y

1

k

=

0

a

k

+

1

a

k

=

a

n

a

0

.

La

π-integral

Y

f

(

x

)

ρx

=

lim

∇x→

1

Y

(40)
(41)

Algunos Teoremas

Teorema

Si f está acotada sobre

[

a,

b

]

, entonces f es

π

-integrable sobre

[

a,

b

]

si y sólo si para todo

ε >

1 existe una partición

de

[

a,

b

]

tal que

P

+

f

P

−f

(42)

Algunos Teoremas

Teorema

Si f está acotada sobre

[

a,

b

]

, entonces f es

π

-integrable sobre

[

a,

b

]

si y sólo si para todo

ε >

1 existe una partición

de

[

a,

b

]

tal que

P

+

f

P

−f

< ε

Teorema

(43)

Teorema (Linealidad)

Si f y g son integrables sobre

[

a,

b

]

entonces f

·

g es integrable

sobre

[

a,

b

]

y

b

Y

a

(

f

α

·

g

β

) = (

b

Y

a

f

)

α

·

(

b

Y

(44)
(45)

Área del círculo proporcional

(46)

Área del círculo proporcional

Calcular el Área del Círculo proporcional. Veamos su expresión

análitica

(47)

Área del círculo proporcional

Calcular el Área del Círculo proporcional. Veamos su expresión

análitica

x

{

2

}

·

y

{

2

}

=

R

{

2

}

y

{

2

}

=

R

{

2

}

(48)

Área del círculo proporcional

Calcular el Área del Círculo proporcional. Veamos su expresión

análitica

x

{

2

}

·

y

{

2

}

=

R

{

2

}

y

{

2

}

=

R

{

2

}

x

{

2

}

luego

y

=

e

r

ln

(

R{2}

(49)

Círculo Proporcional R

=

e

x

y

x1

y1

(50)

Círculo Proporcional R

=

3

x

y

x1

y1

(51)

Círculo Proporcional R

=

4

x

y

x1

y1

(52)

Círculo Proporcional R

=

6

x

y

x1

y1

(53)

calcularemos un cuarto de la circunferencias proporcional

R

Y

e

0

=

1

e

r

(54)

calcularemos un cuarto de la circunferencias proporcional

R

Y

e

0

=

1

e

r

ln

(

R{2} x{2}

)

ρx

consideremos g

(

t

) =

R

sene

(

t

)

, luego la productoria anterior

la podemos escribir como

g

(

e

π 2

)

Y

g

(

e

)

e

r

(55)

calcularemos un cuarto de la circunferencias proporcional

R

Y

e

0

=

1

e

r

ln

(

R{2} x{2}

)

ρx

consideremos g

(

t

) =

R

sene

(

t

)

, luego la productoria anterior

la podemos escribir como

g

(

e

π 2

)

Y

g

(

e

)

e

r

ln

(

R{2} x{2}

)

ρx

aplicando el teorema Cambio de variable

g

(

e

π 2

)

Y

g

(

e

)

e

r

(56)

calcularemos un cuarto de la circunferencias proporcional

R

Y

e

0

=

1

e

r

ln

(

R{2} x{2}

)

ρx

consideremos g

(

t

) =

R

sene

(

t

)

, luego la productoria anterior

la podemos escribir como

g

(

e

π 2

)

Y

g

(

e

)

e

r

ln

(

R{2} x{2}

)

ρx

aplicando el teorema Cambio de variable

g

(

e

π 2

)

Y

g

(

e

)

e

r

ln

(

R{2} x{2}

)

ρx

=

=

e

π 2

Y

1

e

r

ln

(

R{2}

(57)

R

{

2

}

e

π 2

Y

1

(

cos

e

(

t

))

{

2

}

ρt

=

R

{

2

}

e

π 2

Y

1

(58)

R

{

2

}

e

π 2

Y

1

(

cos

e

(

t

))

{

2

}

ρt

=

R

{

2

}

e

π 2

Y

1

(

e

·

cos

e

(

t

2

))

e

2

ρt

=

=

R

{

2

}

e

π 2

Y

1

eρt

1 2

·

e

π 2

Y

1

cose

(

t

2

)

ρt

(59)

R

{

2

}

e

π 2

Y

1

(

cos

e

(

t

))

{

2

}

ρt

=

R

{

2

}

e

π 2

Y

1

(

e

·

cos

e

(

t

2

))

e

2

ρt

=

=

R

{

2

}

e

π 2

Y

1

eρt

1 2

·

e

π 2

Y

1

cose

(

t

2

)

ρt

1 2

Calculando cada integral

Q

e

π 2

1

(

eρt

)

(60)

R

{

2

}

e

π 2

Y

1

(

cos

e

(

t

))

{

2

}

ρt

=

R

{

2

}

e

π 2

Y

1

(

e

·

cos

e

(

t

2

))

e

2

ρt

=

=

R

{

2

}

e

π 2

Y

1

eρt

1 2

·

e

π 2

Y

1

cose

(

t

2

)

ρt

1 2

Calculando cada integral

Q

e

π 2

1

(

eρt

)

1 2

= (

t/

e

π 2

1

)

(61)

R

{

2

}

e

π 2

Y

1

(

cos

e

(

t

))

{

2

}

ρt

=

R

{

2

}

e

π 2

Y

1

(

e

·

cos

e

(

t

2

))

e

2

ρt

=

=

R

{

2

}

e

π 2

Y

1

eρt

1 2

·

e

π 2

Y

1

cose

(

t

2

)

ρt

1 2

Calculando cada integral

Q

e

π 2

1

(

eρt

)

1 2

= (

t/

e

π 2

1

)

1 2

= (

e

π 2

)

(62)

R

{

2

}

e

π 2

Y

1

(

cos

e

(

t

))

{

2

}

ρt

=

R

{

2

}

e

π 2

Y

1

(

e

·

cos

e

(

t

2

))

e

2

ρt

=

=

R

{

2

}

e

π 2

Y

1

eρt

1 2

·

e

π 2

Y

1

cose

(

t

2

)

ρt

1 2

Calculando cada integral

Q

e

π 2

1

(

eρt

)

1 2

= (

t/

e

π 2

1

)

1 2

= (

e

π 2

)

1 2

=

e

(63)

R

{

2

}

e

π 2

Y

1

(

cos

e

(

t

))

{

2

}

ρt

=

R

{

2

}

e

π 2

Y

1

(

e

·

cos

e

(

t

2

))

e

2

ρt

=

=

R

{

2

}

e

π 2

Y

1

eρt

1 2

·

e

π 2

Y

1

cose

(

t

2

)

ρt

1 2

Calculando cada integral

Q

e

π 2

1

(

eρt

)

1 2

= (

t/

e

π 2

1

)

1 2

= (

e

π 2

)

1 2

=

e

π 4

Q

e

π 2

1

cos

e

(

t

2

)

ρt

(64)

R

{

2

}

e

π 2

Y

1

(

cos

e

(

t

))

{

2

}

ρt

=

R

{

2

}

e

π 2

Y

1

(

e

·

cos

e

(

t

2

))

e

2

ρt

=

=

R

{

2

}

e

π 2

Y

1

eρt

1 2

·

e

π 2

Y

1

cose

(

t

2

)

ρt

1 2

Calculando cada integral

Q

e

π 2

1

(

eρt

)

1 2

= (

t/

e

π 2

1

)

1 2

= (

e

π 2

)

1 2

=

e

π 4

Q

e

π 2

1

cos

e

(

t

2

)

ρt

1 2

=

Q

e

π 2

1

cos

e

(

u

)

ρt

(65)

R

{

2

}

e

π 2

Y

1

(

cos

e

(

t

))

{

2

}

ρt

=

R

{

2

}

e

π 2

Y

1

(

e

·

cos

e

(

t

2

))

e

2

ρt

=

=

R

{

2

}

e

π 2

Y

1

eρt

1 2

·

e

π 2

Y

1

cose

(

t

2

)

ρt

1 2

Calculando cada integral

Q

e

π 2

1

(

eρt

)

1 2

= (

t/

e

π 2

1

)

1 2

= (

e

π 2

)

1 2

=

e

π 4

Q

e

π 2

1

cos

e

(

t

2

)

ρt

1 2

=

Q

e

π 2

1

cos

e

(

u

)

ρt

1 4

=

((

sen

e

(

t

))

1

)

1 4

/

e

(66)

R

{

2

}

e

π 2

Y

1

(

cos

e

(

t

))

{

2

}

ρt

=

R

{

2

}

e

π 2

Y

1

(

e

·

cos

e

(

t

2

))

e

2

ρt

=

=

R

{

2

}

e

π 2

Y

1

eρt

1 2

·

e

π 2

Y

1

cose

(

t

2

)

ρt

1 2

Calculando cada integral

Q

e

π 2

1

(

eρt

)

1 2

= (

t/

e

π 2

1

)

1 2

= (

e

π 2

)

1 2

=

e

π 4

Q

e

π 2

1

cos

e

(

t

2

)

ρt

1 2

=

Q

e

π 2

1

cos

e

(

u

)

ρt

1 4

=

((

sen

e

(

t

))

1

)

1 4

/

e

(67)

luego

R

{

2

}

e

π 2

Y

1

(

cos

e

(

t

))

{

ρ

2

x

}

=

R

{

2

}

e

π 4

=

e

π

4

·ln

(

R

{2}

)

=

e

π 4

·

(

ln

(

R

))

2

(68)

luego

R

{

2

}

e

π 2

Y

1

(

cos

e

(

t

))

{

ρ

2

x

}

=

R

{

2

}

e

π 4

=

e

π

4

·ln

(

R

{2}

)

=

e

π 4

·

(

ln

(

R

))

2

Esto corresponde a un cuarto del área del Círculo

Proporcional, por lo tanto, el área total es:

(69)

luego

R

{

2

}

e

π 2

Y

1

(

cos

e

(

t

))

{

ρ

2

x

}

=

R

{

2

}

e

π 4

=

e

π

4

·ln

(

R

{2}

)

=

e

π 4

·

(

ln

(

R

))

2

Esto corresponde a un cuarto del área del Círculo

Proporcional, por lo tanto, el área total es:

(

e

ln

(

R

{2}

)

·

π4

)

4

=

e

π

·ln

(

R

{ 2}

)

(70)

luego

R

{

2

}

e

π 2

Y

1

(

cos

e

(

t

))

{

ρ

2

x

}

=

R

{

2

}

e

π 4

=

e

π

4

·ln

(

R

{2}

)

=

e

π 4

·

(

ln

(

R

))

2

Esto corresponde a un cuarto del área del Círculo

Proporcional, por lo tanto, el área total es:

(

e

ln

(

R

{2}

)

·

π4

)

4

=

e

π

·ln

(

R

{ 2}

)

(71)

luego

R

{

2

}

e

π 2

Y

1

(

cos

e

(

t

))

{

ρ

2

x

}

=

R

{

2

}

e

π 4

=

e

π

4

·ln

(

R

{2}

)

=

e

π 4

·

(

ln

(

R

))

2

Esto corresponde a un cuarto del área del Círculo

Proporcional, por lo tanto, el área total es:

(

e

ln

(

R

{2}

)

·

π4

)

4

=

e

π

·ln

(

R

{ 2}

)

=

e

π

·

(

ln

(

R

))

2

Área del Círculo Proporcional

(72)

La Derivada Proporcional

Teorema

Si f es integrable sobre

[

a,

b

]

y F está definida sobre

[

a,

b

]

por

F

(

x

) =

x

Y

a

f

(73)

La Derivada Proporcional

Teorema

Si f es integrable sobre

[

a,

b

]

y F está definida sobre

[

a,

b

]

por

F

(

x

) =

x

Y

a

f

entonces F es continua sobre

[

a,

b

]

.

Si h

>

1

1

M

h

F

(

c

·

h

)

(74)

La Derivada Proporcional

Teorema

Si f es integrable sobre

[

a,

b

]

y F está definida sobre

[

a,

b

]

por

F

(

x

) =

x

Y

a

f

entonces F es continua sobre

[

a,

b

]

.

Si h

>

1

1

M

h

F

(

c

·

h

)

F

(

c

)

M

h.

Si 0

<

h

<

1

M

h

F

(

c

·

h

)

F

(

c

)

1

(75)

Finalmente al combinar las expresiones resultantes tenemos

F

(

c

·

h

)

F

(

c

)

M

[[

h

]]

(76)

Finalmente al combinar las expresiones resultantes tenemos

F

(

c

·

h

)

F

(

c

)

M

[[

h

]]

luego si

>

1 podemos expresar

F

(

c

·

h

)

F

(

c

)

(77)

Finalmente al combinar las expresiones resultantes tenemos

F

(

c

·

h

)

F

(

c

)

M

[[

h

]]

luego si

>

1 podemos expresar

F

(

c

·

h

)

F

(

c

)

considerando

[[

h

]]

<

e

M

se demuestra que

lim

h→

1

F

(

c

·

h

) =

F

(

c

)

.

(78)

La Derivada

lim

h→

1

F

(

c

·

h

)

(79)

La Derivada

lim

h→

1

F

(

c

·

h

)

F

(

c

)

h

=

¿Qué significa este límite?

.

Definición

La función f es

π

-derivable en x

0

si

lim

x→x

0

f

(

x

)

f

(

x

0

)

x

x

0

=

lim

x→x

0

f

(

x

)

f

(

x

0

)

1

ln(x x0)

Siempre que este límite exista, en este caso aquel límite los

designamos por

f

]

(

x

0

)

y recibe el nombre de derivada

proporcional ó pi-derivada de f en x

0

(Decimos que f es

(80)

Algunas Propiedades

Teorema

(81)

Algunas Propiedades

Teorema

(82)

Algunas Propiedades

Teorema

Sea f :

<

+

→ <

+

donde f

(

x

) =

x , entonces

e

f

(

x

0

) =

e.

Teorema

(83)

Algunas Propiedades

Teorema

Sea f :

<

+

→ <

+

donde f

(

x

) =

x , entonces

e

f

(

x

0

) =

e.

Teorema

(84)

Algunas Propiedades

Teorema

Sea f :

<

+

→ <

+

donde f

(

x

) =

x , entonces

e

f

(

x

0

) =

e.

Teorema

Si f es una función constante, entonces

e

f

(

x

0

) =

1

.

Teorema (Linealidad)

Para todo

α

,

β

∈ <

, tenemos que:

]

f

α

g

β

(

x

(85)

Teorema

Para la operación exponenciación

]

(86)

Teorema

Para la operación exponenciación

]

f

g

= ((

e

f

)

g

)

·

((

e

g

)

f

)

.

Regla de la cadena proporcional

g

(87)

Teorema

Para la operación exponenciación

]

f

g

= ((

e

f

)

g

)

·

((

e

g

)

f

)

.

Regla de la cadena proporcional

g

f

g

= (

e

f

g

)

g.

e

La unión entre los mundos

Si f

0

(

x

0

)

es la derivada usual, tenemos que:

f

0

(

x

0

) =

f

(

x

0

)

x

0

(88)

Teorema Fundamental del Cálculo Proporcional

(89)

Teorema Fundamental del Cálculo Proporcional

Parte 1

Sea f

π

-integrable sobre

[

a,

b

]

y defínase F sobre

[

a,

b

]

por

F

(

x

) =

x

Y

a

f

Si f es continua en c de

[

a,

b

]

, entonces F es derivable en c, y

]

F

(

c

) =

f

(

c

)

.

(90)
(91)

Parte 2

Si f es

π

-integrable sobre

[

a,

b

]

y

g

e

=

f para alguna función g,

entonces

b

Y

a

f

=

g

(

b

)

(92)
(93)

¿Cuál es nuestra recta?

Recta

(94)

¿Cuál es nuestra recta?

Recta

y

=

b

·

x

m

=

b

·

x

ln

(

m

)

.

(95)

¿Cuál es nuestra recta?

Recta

y

=

b

·

x

m

=

b

·

x

ln

(

m

)

.

y

=

b

·

x

r

,

r

∈ <.

(96)
(97)

Dimensiones de un cráneo de diferentes especies

Alometría

Es una función de potencia f

(

x

) =

b

·

x

m que relaciona

(98)

Dimensiones de un cráneo de diferentes especies

Alometría

Es una función de potencia f

(

x

) =

b

·

x

m que relaciona

diferentes cosas entre sí.

Ejemplo: Hemos escogido tres datos de una tabla que

presenta las dimensiones de un cráneo de diferentes especies.

El primer dato escogido es P

0

= (

1

;

3

,

5

)

, con esto el parámetro

b es fácil de obtener, pues representa el valor de f

(

x

)

cuando

x

=

1, luego

(99)

Dimensiones de un cráneo de diferentes especies

Alometría

Es una función de potencia f

(

x

) =

b

·

x

m que relaciona

diferentes cosas entre sí.

Ejemplo: Hemos escogido tres datos de una tabla que

presenta las dimensiones de un cráneo de diferentes especies.

El primer dato escogido es P

0

= (

1

;

3

,

5

)

, con esto el parámetro

b es fácil de obtener, pues representa el valor de f

(

x

)

cuando

x

=

1, luego

f

(

1

) =

b

·

(

1

)

r

=

3

,

5

luego

b

=

3

,

5

Consideremos P

1

= (

3

;

23

.

9

)

y P

2

= (

2

;

11

.

8

)

, luego es posible

calcular la pendiente proporcional como sigue:

y

1

y

2

x

1

x

2

=

m,

reemplazando los puntos en la fórmula tenemos que:

m

=

23

,

9

11

,

8

3

2

= (

23

,

9

11

,

8

)

(

1

(100)

Longitud del cuerpo v/

s longitud del cráneo

f

(x

) =

3,

5

·

x

5,

70113

x

y

x

1

y

1

(101)

La pendiente

Consideremos dos puntos distintos sobre una recta

proporcional, sean P

1

= (

x

1

,

y

1

)

y P

2

= (

x

2

,

y

2

)

aquellos

puntos. Podemos formar el siguiente sistema de ecuaciones:

y

1

=

b

·

x

1

r

,

(102)

y

1

y

2

=

b

·

x

1

r

b

·

x

r

2

ln

(

y

1

y

2

) =

r

·

ln

(

x

1

x

2

)

ln

(

y

1

y

2

)

ln

(

x

1

x

2

)

=

r

(103)

y

1

y

2

=

b

·

x

1

r

b

·

x

r

2

ln

(

y

1

y

2

) =

r

·

ln

(

x

1

x

2

)

ln

(

y

1

y

2

)

ln

(

x

1

x

2

)

=

r

(1)

Pendiente

y

2

y

1

x

2

(104)
(105)

Función de elasticidad f

(x

) =

ln(x

)

Elasticidad

Es el grado de sensibilidad de la cantidad demandada ante una

variación en el precio del bien.

la elasticidad es:

η

f

,

x

0

=

ln

(

f

]

(

x

0

))

, es decir que

(106)

Función de elasticidad f

(x

) =

ln(x

)

Elasticidad

Es el grado de sensibilidad de la cantidad demandada ante una

variación en el precio del bien.

la elasticidad es:

η

f

,

x

0

=

ln

(

f

]

(

x

0

))

, es decir que

e

η

=

f

]

(

x

0

)

(107)

Función de elasticidad f

(x

) =

ln(x

)

Elasticidad

Es el grado de sensibilidad de la cantidad demandada ante una

variación en el precio del bien.

la elasticidad es:

η

f

,

x

0

=

ln

(

f

]

(

x

0

))

, es decir que

e

η

=

f

]

(

x

0

)

¿Cuáles son las curvas de demanda con elasticidad

constante?

(108)

Función de elasticidad f

(x

) =

ln(x

)

Elasticidad

Es el grado de sensibilidad de la cantidad demandada ante una

variación en el precio del bien.

la elasticidad es:

η

f

,

x

0

=

ln

(

f

]

(

x

0

))

, es decir que

e

η

=

f

]

(

x

0

)

¿Cuáles son las curvas de demanda con elasticidad

constante?

¿Cuáles son las curvas de demanda con elasticidad igual

a la función f

(

x

) =

ln

(

x

)

?

Y

e

ln

(

x

)

ρ

x

=

Y

x

ρ

x

=

C

·

(

x

{

2

}

)

(109)

Q(x) =

C

·

(x

{

2

}

)

12

x

y

x

1

y

1

(110)
(111)
(112)
(113)
(114)

Fin I

(115)

Fin I

Viva Picarte.

(116)

Fin I

Viva Picarte.

Viva la cultura matemática Latinoamericana.

A todos...

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