CÁLCULO PROPORCIONAL
El Mundo Multiplicativo
Fernando Córdova
William Campillay
1
1
Expositor
Contenido
1
Más difícil que 1
+
1...
2
Definamos nuestra manera de medir
3
La Integral Proporcional
Círculo e-unitario
4
La Derivada Proporcional
5
Aplicaciones
¿Qué tan natural puede ser la expresión 2
4
?
¿Qué tan natural puede ser la expresión 2
4
?
¿Qué tan natural puede ser la expresión 2
4
?
¿Qué tan natural puede ser la expresión 2
4
?
Cuando queremos resumir la expresión 3
+
3
+
3
+
3, ¿En qué
pensamos? y que ocurre con 2
·
2
·
2
·
2... hemos aprendido
Más difícil que 1
+
1...
Más difícil que 1
+
1...
Ahora podemos pensar en lo siguiente:
Más difícil que 1
+
1...
Ahora podemos pensar en lo siguiente:
(
e
⊗
2
)
·
(
e
⊗
2
)
·
(
e
⊗
2
)
·
(
e
⊗
2
) = (
e
·
e
·
e
·
e
)
⊗
2
=
e
4
⊗
2
hemos contado las unidades multiplicativas, y es a partir de
esto que puede ser más natural la representación de 2
4
ya que
Más difícil que 1
+
1...
Ahora podemos pensar en lo siguiente:
(
e
⊗
2
)
·
(
e
⊗
2
)
·
(
e
⊗
2
)
·
(
e
⊗
2
) = (
e
·
e
·
e
·
e
)
⊗
2
=
e
4
⊗
2
hemos contado las unidades multiplicativas, y es a partir de
esto que puede ser más natural la representación de 2
4
ya que
La nueva operación
⊗
La nueva operación
⊗
Es sabido que 3
5
6
=
5
3
, en general ocurre que si
(
a,
b
)
∈ <
+
× <
+
La nueva operación
⊗
Es sabido que 3
5
6
=
5
3
, en general ocurre que si
(
a,
b
)
∈ <
+
× <
+
a
b
6
=
b
a
.
La expresión anterior nos motiva a definir la siguiente ley de
composición interna:
ϕ
:
<
+
× <
+
−→ <
+
Propiedades
Propiedades
1
Conmutatividad: a
⊗
b
=
b
⊗
a.
Propiedades
1
Conmutatividad: a
⊗
b
=
b
⊗
a.
Propiedades
1
Conmutatividad: a
⊗
b
=
b
⊗
a.
2
Asociatividad: a
⊗
(
b
⊗
c
) = (
a
⊗
b
)
⊗
c.
3Elemento neutro: a
⊗
e
=
a.
4
Elemento inverso: a
⊗
e
Propiedades
1
Conmutatividad: a
⊗
b
=
b
⊗
a.
2
Asociatividad: a
⊗
(
b
⊗
c
) = (
a
⊗
b
)
⊗
c.
3Elemento neutro: a
⊗
e
=
a.
4
Elemento inverso: a
⊗
e
1 ln(a)
=
e.
5
Distributividad de la exponenciación respecto al producto
Propiedades
1
Conmutatividad: a
⊗
b
=
b
⊗
a.
2
Asociatividad: a
⊗
(
b
⊗
c
) = (
a
⊗
b
)
⊗
c.
3Elemento neutro: a
⊗
e
=
a.
4
Elemento inverso: a
⊗
e
1 ln(a)
=
e.
5
Distributividad de la exponenciación respecto al producto
a
⊗
(
bc
) = (
a
⊗
b
)(
a
⊗
c
)
.
Teorema
Valor relativo
Valor relativo
Podriamos decir, que medir depende de lo que queramos
medir, es por eso que nos hemos dado la libertad de acomadar
la manera de hacerlo.
Valor relativo
Podriamos decir, que medir depende de lo que queramos
medir, es por eso que nos hemos dado la libertad de acomadar
la manera de hacerlo.
¿Cuál será la función valor absoluto correspondiente?
Definición
Dado x
∈ <
+
definimos el valor relativo de x , denotado por
[[
x
]]
, como:
[[
x
]] =
x
si x
≥
1
1
Valor relativo
x
y
x1
y1
Definición
Dado un cojunto E , c
=
c
(
x
,
y
)
representa la distancia relativa
entre los puntos x e y de E si c
:
E
×
E
−→ <
verifica:
c
(
x,
y
)
≥
1 para cada par x
,
y
∈
E
.
c
(
x,
y
) =
1 si, y sólo si x
=
y
.
c
(
x,
y
) =
c
(
y
,
x
)
para cada x
,
y
∈
E.
Definición
Dado un cojunto E , c
=
c
(
x
,
y
)
representa la distancia relativa
entre los puntos x e y de E si c
:
E
×
E
−→ <
verifica:
c
(
x,
y
)
≥
1 para cada par x
,
y
∈
E
.
c
(
x,
y
) =
1 si, y sólo si x
=
y
.
c
(
x,
y
) =
c
(
y
,
x
)
para cada x
,
y
∈
E.
c
(
x,
z
)
≤
c
(
x,
y
)
·
c
(
y
,
z
)
para cada x
,
y,
z
∈
E.
Si c verifica lo anterior de denominará métrica relativa y
(
E
,
c
)
Cálculando el área proporcional
x
y
(a,b)
(a,c)
(e,b)
(f,b)
c
b
f
a
=
c
b
e
a
·
c
b
Cálculando el área proporcional
x
y
(a,b)
(a,c)
(e,b)
(f,b)
c
b
f
a
=
c
b
e
a
·
c
b
f
e
,
Cálculando el área proporcional
x
y
(a,b)
(a,c)
(e,b)
(f,b)
c
b
f
a
=
c
b
e
a
·
c
b
f
e
,
pero no debemos olvidar nuestra nueva operación que hace
posible la igualdad anterior
c
b
⊗
f
a
=
c
b
⊗
e
a
·
c
b
⊗
f
e
= (
e
a
·
f
e
)
⊗
De lo finito a lo infinito
∇a
k
=
a
k
+
1
De lo finito a lo infinito
∇a
k
=
a
k
+
1
a
k
.
∇
(
a
k
b
k
) =
∇a
k
De lo finito a lo infinito
∇a
k
=
a
k
+
1
a
k
.
∇
(
a
k
b
k
) =
∇a
k
∇b
k
.
Teorema Fundamental
Sea {a
k
} una sucesión, si a
k
6
=
0, entonces
n−
Y
1
k
=
0
∇a
k
=
n−
Y
1
k
=
0
a
k
+
1
a
k
=
a
n
a
0
De lo finito a lo infinito
∇a
k
=
a
k
+
1
a
k
.
∇
(
a
k
b
k
) =
∇a
k
∇b
k
.
Teorema Fundamental
Sea {a
k
} una sucesión, si a
k
6
=
0, entonces
n−
Y
1
k
=
0
∇a
k
=
n−
Y
1
k
=
0
a
k
+
1
a
k
=
a
n
a
0
.
La
π-integral
Y
f
(
x
)
ρx
=
lim
∇x→
1
Y
Algunos Teoremas
Teorema
Si f está acotada sobre
[
a,
b
]
, entonces f es
π
-integrable sobre
[
a,
b
]
si y sólo si para todo
ε >
1 existe una partición
∆
de
[
a,
b
]
tal que
P
∆
+
f
P
∆
−f
Algunos Teoremas
Teorema
Si f está acotada sobre
[
a,
b
]
, entonces f es
π
-integrable sobre
[
a,
b
]
si y sólo si para todo
ε >
1 existe una partición
∆
de
[
a,
b
]
tal que
P
∆
+
f
P
∆
−f
< ε
Teorema
Teorema (Linealidad)
Si f y g son integrables sobre
[
a,
b
]
entonces f
·
g es integrable
sobre
[
a,
b
]
y
b
Y
a
(
f
α
·
g
β
) = (
b
Y
a
f
)
α
·
(
b
Y
Área del círculo proporcional
Área del círculo proporcional
Calcular el Área del Círculo proporcional. Veamos su expresión
análitica
Área del círculo proporcional
Calcular el Área del Círculo proporcional. Veamos su expresión
análitica
x
{
2
}
·
y
{
2
}
=
R
{
2
}
y
{
2
}
=
R
{
2
}
Área del círculo proporcional
Calcular el Área del Círculo proporcional. Veamos su expresión
análitica
x
{
2
}
·
y
{
2
}
=
R
{
2
}
y
{
2
}
=
R
{
2
}
x
{
2
}
luego
y
=
e
r
ln
(
R{2}Círculo Proporcional R
=
e
x
y
x1
y1
Círculo Proporcional R
=
3
x
y
x1
y1
Círculo Proporcional R
=
4
x
y
x1
y1
Círculo Proporcional R
=
6
x
y
x1
y1
calcularemos un cuarto de la circunferencias proporcional
R
Y
e
0=
1
e
r
calcularemos un cuarto de la circunferencias proporcional
R
Y
e
0=
1
e
r
ln
(
R{2} x{2})
ρx
consideremos g
(
t
) =
R
⊗
sene
(
t
)
, luego la productoria anterior
la podemos escribir como
g
(
e
π 2
)
Y
g
(
e
)
e
r
calcularemos un cuarto de la circunferencias proporcional
R
Y
e
0=
1
e
r
ln
(
R{2} x{2})
ρx
consideremos g
(
t
) =
R
⊗
sene
(
t
)
, luego la productoria anterior
la podemos escribir como
g
(
e
π 2
)
Y
g
(
e
)
e
r
ln
(
R{2} x{2})
ρx
aplicando el teorema Cambio de variable
g
(
e
π 2
)
Y
g
(
e
)
e
r
calcularemos un cuarto de la circunferencias proporcional
R
Y
e
0=
1
e
r
ln
(
R{2} x{2})
ρx
consideremos g
(
t
) =
R
⊗
sene
(
t
)
, luego la productoria anterior
la podemos escribir como
g
(
e
π 2
)
Y
g
(
e
)
e
r
ln
(
R{2} x{2})
ρx
aplicando el teorema Cambio de variable
g
(
e
π 2
)
Y
g
(
e
)
e
r
ln
(
R{2} x{2})
ρx
=
=
e
π 2Y
1
e
r
ln
(
R{2}R
{
2
}
⊗
e
π 2
Y
1
(
cos
e
(
t
))
{
2
}
ρt
=
R
{
2
}
⊗
e
π 2
Y
1
R
{
2
}
⊗
e
π 2Y
1
(
cos
e
(
t
))
{
2
}
ρt
=
R
{
2
}
⊗
e
π 2
Y
1
(
e
·
cos
e
(
t
2
))
e
2
ρt
=
=
R
{
2
}
⊗
e
π 2Y
1
eρt
1 2·
e
π 2Y
1
cose
(
t
2
)
ρt
R
{
2
}
⊗
e
π 2Y
1
(
cos
e
(
t
))
{
2
}
ρt
=
R
{
2
}
⊗
e
π 2
Y
1
(
e
·
cos
e
(
t
2
))
e
2
ρt
=
=
R
{
2
}
⊗
e
π 2Y
1
eρt
1 2·
e
π 2Y
1
cose
(
t
2
)
ρt
1 2
Calculando cada integral
Q
e
π 2
1
(
eρt
)
R
{
2
}
⊗
e
π 2Y
1
(
cos
e
(
t
))
{
2
}
ρt
=
R
{
2
}
⊗
e
π 2
Y
1
(
e
·
cos
e
(
t
2
))
e
2
ρt
=
=
R
{
2
}
⊗
e
π 2Y
1
eρt
1 2·
e
π 2Y
1
cose
(
t
2
)
ρt
1 2
Calculando cada integral
Q
e
π 2
1
(
eρt
)
1 2= (
t/
e
π 2
1
)
R
{
2
}
⊗
e
π 2Y
1
(
cos
e
(
t
))
{
2
}
ρt
=
R
{
2
}
⊗
e
π 2
Y
1
(
e
·
cos
e
(
t
2
))
e
2
ρt
=
=
R
{
2
}
⊗
e
π 2Y
1
eρt
1 2·
e
π 2Y
1
cose
(
t
2
)
ρt
1 2
Calculando cada integral
Q
e
π 2
1
(
eρt
)
1 2= (
t/
e
π 2
1
)
1 2
= (
e
π 2
)
R
{
2
}
⊗
e
π 2Y
1
(
cos
e
(
t
))
{
2
}
ρt
=
R
{
2
}
⊗
e
π 2
Y
1
(
e
·
cos
e
(
t
2
))
e
2
ρt
=
=
R
{
2
}
⊗
e
π 2Y
1
eρt
1 2·
e
π 2Y
1
cose
(
t
2
)
ρt
1 2
Calculando cada integral
Q
e
π 2
1
(
eρt
)
1 2= (
t/
e
π 2
1
)
1 2
= (
e
π 2
)
1 2
=
e
R
{
2
}
⊗
e
π 2Y
1
(
cos
e
(
t
))
{
2
}
ρt
=
R
{
2
}
⊗
e
π 2
Y
1
(
e
·
cos
e
(
t
2
))
e
2
ρt
=
=
R
{
2
}
⊗
e
π 2Y
1
eρt
1 2·
e
π 2Y
1
cose
(
t
2
)
ρt
1 2
Calculando cada integral
Q
e
π 2
1
(
eρt
)
1 2= (
t/
e
π 2
1
)
1 2
= (
e
π 2
)
1 2
=
e
π 4
Q
e
π 21
cos
e
(
t
2
)
ρt
R
{
2
}
⊗
e
π 2Y
1
(
cos
e
(
t
))
{
2
}
ρt
=
R
{
2
}
⊗
e
π 2
Y
1
(
e
·
cos
e
(
t
2
))
e
2
ρt
=
=
R
{
2
}
⊗
e
π 2Y
1
eρt
1 2·
e
π 2Y
1
cose
(
t
2
)
ρt
1 2
Calculando cada integral
Q
e
π 2
1
(
eρt
)
1 2= (
t/
e
π 2
1
)
1 2
= (
e
π 2
)
1 2
=
e
π 4
Q
e
π 21
cos
e
(
t
2
)
ρt
1 2=
Q
e
π 21
cos
e
(
u
)
ρt
R
{
2
}
⊗
e
π 2Y
1
(
cos
e
(
t
))
{
2
}
ρt
=
R
{
2
}
⊗
e
π 2
Y
1
(
e
·
cos
e
(
t
2
))
e
2
ρt
=
=
R
{
2
}
⊗
e
π 2Y
1
eρt
1 2·
e
π 2Y
1
cose
(
t
2
)
ρt
1 2
Calculando cada integral
Q
e
π 2
1
(
eρt
)
1 2= (
t/
e
π 2
1
)
1 2
= (
e
π 2
)
1 2
=
e
π 4
Q
e
π 21
cos
e
(
t
2
)
ρt
1 2=
Q
e
π 21
cos
e
(
u
)
ρt
1 4=
((
sen
e
(
t
))
−
1
)
1 4
/
e
R
{
2
}
⊗
e
π 2Y
1
(
cos
e
(
t
))
{
2
}
ρt
=
R
{
2
}
⊗
e
π 2
Y
1
(
e
·
cos
e
(
t
2
))
e
2
ρt
=
=
R
{
2
}
⊗
e
π 2Y
1
eρt
1 2·
e
π 2Y
1
cose
(
t
2
)
ρt
1 2
Calculando cada integral
Q
e
π 2
1
(
eρt
)
1 2= (
t/
e
π 2
1
)
1 2
= (
e
π 2
)
1 2
=
e
π 4
Q
e
π 21
cos
e
(
t
2
)
ρt
1 2=
Q
e
π 21
cos
e
(
u
)
ρt
1 4=
((
sen
e
(
t
))
−
1
)
1 4
/
e
luego
R
{
2
}
⊗
e
π 2
Y
1
(
cos
e
(
t
))
{
ρ
2
x}
=
R
{
2
}
⊗
e
π 4=
e
π
4
·ln
(
R
{2})
=
e
π 4·
(
ln
(
R
))
2luego
R
{
2
}
⊗
e
π 2
Y
1
(
cos
e
(
t
))
{
ρ
2
x}
=
R
{
2
}
⊗
e
π 4=
e
π
4
·ln
(
R
{2})
=
e
π 4·
(
ln
(
R
))
2Esto corresponde a un cuarto del área del Círculo
Proporcional, por lo tanto, el área total es:
luego
R
{
2
}
⊗
e
π 2
Y
1
(
cos
e
(
t
))
{
ρ
2
x}
=
R
{
2
}
⊗
e
π 4=
e
π
4
·ln
(
R
{2})
=
e
π 4·
(
ln
(
R
))
2Esto corresponde a un cuarto del área del Círculo
Proporcional, por lo tanto, el área total es:
(
e
ln
(
R
{2})
·
π4)
4
=
e
π
·ln
(
R
{ 2})
luego
R
{
2
}
⊗
e
π 2
Y
1
(
cos
e
(
t
))
{
ρ
2
x}
=
R
{
2
}
⊗
e
π 4=
e
π
4
·ln
(
R
{2})
=
e
π 4·
(
ln
(
R
))
2Esto corresponde a un cuarto del área del Círculo
Proporcional, por lo tanto, el área total es:
(
e
ln
(
R
{2})
·
π4)
4
=
e
π
·ln
(
R
{ 2})
luego
R
{
2
}
⊗
e
π 2
Y
1
(
cos
e
(
t
))
{
ρ
2
x}
=
R
{
2
}
⊗
e
π 4=
e
π
4
·ln
(
R
{2})
=
e
π 4·
(
ln
(
R
))
2Esto corresponde a un cuarto del área del Círculo
Proporcional, por lo tanto, el área total es:
(
e
ln
(
R
{2})
·
π4)
4
=
e
π
·ln
(
R
{ 2})
=
e
π
·
(
ln
(
R
))
2Área del Círculo Proporcional
La Derivada Proporcional
Teorema
Si f es integrable sobre
[
a,
b
]
y F está definida sobre
[
a,
b
]
por
F
(
x
) =
x
Y
a
f
La Derivada Proporcional
Teorema
Si f es integrable sobre
[
a,
b
]
y F está definida sobre
[
a,
b
]
por
F
(
x
) =
x
Y
a
f
entonces F es continua sobre
[
a,
b
]
.
Si h
>
1
1
M
⊗
h
≤
F
(
c
·
h
)
La Derivada Proporcional
Teorema
Si f es integrable sobre
[
a,
b
]
y F está definida sobre
[
a,
b
]
por
F
(
x
) =
x
Y
a
f
entonces F es continua sobre
[
a,
b
]
.
Si h
>
1
1
M
⊗
h
≤
F
(
c
·
h
)
F
(
c
)
≤
M
⊗
h.
Si 0
<
h
<
1
M
⊗
h
≤
F
(
c
·
h
)
F
(
c
)
≤
1
Finalmente al combinar las expresiones resultantes tenemos
F
(
c
·
h
)
F
(
c
)
≤
M
⊗
[[
h
]]
Finalmente al combinar las expresiones resultantes tenemos
F
(
c
·
h
)
F
(
c
)
≤
M
⊗
[[
h
]]
luego si
>
1 podemos expresar
F
(
c
·
h
)
F
(
c
)
Finalmente al combinar las expresiones resultantes tenemos
F
(
c
·
h
)
F
(
c
)
≤
M
⊗
[[
h
]]
luego si
>
1 podemos expresar
F
(
c
·
h
)
F
(
c
)
≤
considerando
[[
h
]]
<
e
M
se demuestra que
lim
h→
1
F
(
c
·
h
) =
F
(
c
)
.
La Derivada
lim
h→
1
F
(
c
·
h
)
La Derivada
lim
h→
1
F
(
c
·
h
)
F
(
c
)
h
=
¿Qué significa este límite?
.
Definición
La función f es
π
-derivable en x
0
si
lim
x→x
0f
(
x
)
f
(
x
0
)
x
x
0
=
lim
x→x
0f
(
x
)
f
(
x
0
)
1ln(x x0)