CUADRILATEROS
Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados.
PARALELOGRAMO: Es un cuadrilátero que tiene las parejas de lados opuestos paralelos. ROMBO: Es un paralelogramo con todos sus lados congruentes
RECTANGULO: Es un paralelogramo con todos sus ángulos rectos. CUADRADO: Es un rectángulo con sus cuatro lados congruentes.
TRAPECIO: Un cuadrilátero es un trapecio si tiene uno y solo un par de lados paralelos. Los lados paralelos del trapecio se llaman bases.
TRAPECIO ISOSCELES: Un trapecio es isósceles si tiene los lados no paralelos congruentes.
TEOREMA.
La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360º
HIPOTESIS: ABCD es un cuadrilátero
TESIS: m DAB m ABC m BCD m CDA 360º
1. Se traza la diagonal
AC
1. definición de diagonal.2. m m m CDA 180º 2. En ADC la suma de los ángulos interiores es 180º
3. m m m ABC 180º 3. En ABC la suma de los ángulos interiores es 180º
4. m m m CDA m m m ABC 360º 4. Suma de 2 y 3 5. m(BCD)+m(DAB)+m(CDA)+m(ABC) = 360º
5. De 4. Adición de ángulos.
TEOREMA:
En un paralelogramo los lados opuestos son congruentes.
HIPOTESIS: ABCD es un paralelogramo
TESIS: AB DC y AD BC
1. ABCD es un paralelogramo 1. De hipótesis
2.
AB DC AD BC
;
2. De 1. Definición de paralelogramo 3. Se traza la diagonalAC
. 3. Definición de diagonal5. 3 2 5. De 2. Por ser alternos internos entre paralelas 6.
AC
AC
6. Propiedad reflexiva7. ADC ABC 7. De 4, 5, 6. A – L – A
8.
AD
BC
8. De 7. Lados correspondientes en triángulos congruentes.9.
AB
DC
9. De 7. Lados correspondientes en triángulos congruentes.TEOREMA (RECIPROCO DEL ANTERIOR)
Si en un cuadrilátero los dos pares de lados opuestos son congruentes, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo.
HIPOTESIS: ABCD es un cuadrilátero AB DC y AD BC
TESIS: ABCD es un paralelogramo
1. Se traza la diagonal
AC
. 1. Definición de diagonal 2.AD
BC DC
;
AB
2. De hipótesis3.
AC
AC
3. Propiedad reflexiva 4. ADC ABC 4. De 2 y 3. L – L – L5. 3 2 5. De 4. Ángulos correspondientes en triángulos congruentes
6.
AD BC
6. De 5. Por formar ángulos alternos internos congruentes7. 4 1 7. De 4. Ángulos correspondientes en triángulos congruentes.
8.
AB DC
8. De 7.Por formar ángulos alternos internos congruentes.9. ABCD es un paralelogramo. 9. De 6 y 8. Definición de paralelogramo
TEOREMA
En un paralelogramo los ángulos opuestos son congruentes.
HIPOTESIS: ABCD es un paralelogramo
TESIS: DAB BCD y ADC ABC
1.
DC
AB
yAD
BC
1. De hipótesis. En un paralelogramo los lados opuestos son congruentes2.
AC
AC
2. Propiedad reflexiva. 3. ADC ABC 3. De 1 y 2. L – L – LPara demostrar la otra parte trace la diagonal
DB
. TEOREMA:Si en un cuadrilátero los ángulos opuestos son congruentes, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo.
HIPOTESIS: ABCD es un cuadrilátero A C y D B TESIS: ABCD es un paralelogramo
1. m( A) = m( C) 1. De hipótesis 2. m( B) = m( D) 2. De hipótesis
3. m( A)+m( B)+m( C)+m( D) = 360º 3. De hip. La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360° 4. 2m( A)+2m( B) = 360º 4. Sustitución de 1 y 2 en 3
5. 2 m( A)+m( B) = 360º 5. De 4 factorizacion
6. m( A)+m( B) = 180º 6. De 5. Transposición de términos 7.
AD BC
7. De 6. Si los ángulos consecutivosinteriores son suplementarios se tienen rectas paralelas.
8. 2m( A)+2m( D) = 360º 8. De sustituir 1 y 2 en 3 9. 2 m( A)+m( D) = 360º 9. Factor común
10. m( A)+m( D) = 180º 10. Álgebra
11. AB DC
11. De 10. Si los ángulos consecutivos interiores son suplementarios se tienen rectas paralelas.12. ABCD es un paralelogramo 13. De 7 y 11. Definición de paralelogramo.
TEOREMA
Si un cuadrilátero tiene dos lados opuestos congruentes y paralelos entonces el cuadrilátero es un paralelogramo.
HIPOTESIS: ABCD es un cuadrilátero
DC
AB DC AB
;
TESIS: ABCD es un paralelogramo.
1.
DC
AB
1. De hipótesis 2.DC AB
2. De hipótesis3. DCA CAB 3. De 2. Por ser alternos internos entre paralelas 4.
AC
AC
4. Propiedad reflexiva6. DAC ACB 6. De 5. Por ser ángulos correspondientes en triángulos congruentes.
7.
AD BC
7. De 6. Por formar ángulos alternos internos congruentes8. ABCD es un paralelogramo. 8. De 2 y 7. Por tener los lados opuestos paralelos.
TEOREMA (RECIPROCO DEL ANTERIOR)
En un paralelogramo dos lados opuestos son paralelos y congruentes. La demostración se deja como tarea.
TEOREMA
Si en un cuadrilátero las diagonales se bisecan, entonces es un paralelogramo.
HIPOTESIS: ABCD es un cuadrilátero AP PC y DP PB
1.
DP
PB
y
AP
PC
1. De hipótesis.2. DPC APB 2. Opuestos por el vértice 3.
DPC
APB
3. De 1 y 2. L – A – L4. DCP PAB 4. De 3. Ángulos correspondientes en triángulos congruentes
5.
DC AB
5. De 4. Por formar ángulos alternos internos congruentes.6.
DC
AB
6. De 3. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes7. ABCD es un paralelogramo 7. De 5 y 6. Por tener dos lados opuestos congruentes y paralelos.
TEOREMA (RECIPROCO DEL ANTERIOR) En un paralelogramo las diagonales se bisecan. La demostración se deja como tarea.
COROLARIOS DE TEOREMAS ANTERIORES:
1. Dos ángulos consecutivos de un paralelogramo son suplementarios.
2. Los segmentos de un par de rectas paralelas comprendidas entre un segundo par de rectas paralelas son congruentes
3. Dos rectas paralelas son equidistantes en toda su longitud 4. Las diagonales de un rectángulo son congruentes
5. Las diagonales de un rombo son perpendiculares y son bisectrices de los ángulos de los vértices.
EJERCICIOS RESUELTOS
1)
CD BA Hallar x, y.
2)
HIPOTESIS: ABCD es un paralelogramo
DM
MC
DC
2
AD
TESIS:
AM
MB
1.
2
DC
AD
1. De hipótesis2. M es punto medio de DC 2. De hipótesis. Definición de punto medio
3.
2
DC
DM
MC
3. De hipótesis y de 24.
DM
MC
AD
4. De 1 y 3. Ley transitiva5. ADM es isósceles. 5. De 4. Definición de triangulo isósceles. 6. m( ) = m( ) 6. De 5. En un triangulo a lados congruentes
se oponen ángulos congruentes.
7.
AD
BC
7. De hipótesis. los lados opuestos de un paralelogramo son congruentes8.
MC
BC
8. De 4 y 7. Propiedad transitiva.9. MCB es isósceles. 9. De 8. Definición de triangulo isósceles. 10. m( ) = m( ) 10. De 9. La misma razón de 7.
11. m(D)+m(C) = 180º 11. Por ser ángulos consecutivos en un paralelogramo
12. m( ) + m( ) + m(D) = 180º 12. En el ADM los ángulos interiores suman 180º
13. 2m( )+m(D) = 180º 13. Sustitución de 6 en 12
15. 2m( )+m(C) = 180º 15. Sustitución de 10 en 14 16. 2m( )+m(D)+2m( )+m(C) =
360º
16. Adición de 13 y 15
17. 2m( )+2m( )+180º = 360º 17. Sustitución de 11 en 16
18. 2 m( )+m( ) = 180º 18. De 17. Factor común y transposición de términos
19. m( )+m( ) = 90º 19. De 18. Algebra
20. m( )+m(AMB)+m( ) = 180º 20. Por formar un par lineal 21. 90º+m(AMB) = 180º 21. Sustitución de 19 en 20
22. m(AMB) = 90º 22. De 21. Transposición de términos 23.
AM
MB
23. De 22. Definición de perpendicularidad. 3)HIPOTESIS: ABCD es un paralelogramo
DM
AC
y
BN
AC
TESIS: DMBN es un paralelogramo.
1.
AD CB
1. De hipótesis. Definición de paralelogramo 2. DAC BCA 2. Por ser alternos internos entre paralelas 3.DMA
y CNB
son rectángulos 3. De Hipótesis. Definición de triangulorectángulo
4.
AD
BC
4. De hipótesis. Lados opuestos de un paralelogramo son congruentes. 5.DMA
CNB
5. De 3, 2, 4. Por tener congruentes lahipotenusa y un ángulo agudo. 6.
DM
BN
6. De 5. Lados correspondientes entriángulos congruentes. 7.
DM
AC
y
BN
AC
7. De hipótesis.8.
DM
BN
8. De7. Por ser perpendiculares a la misma recta.9. DMBN es un paralelogramo. 9. De 6 y 8. Por tener dos lados opuestos paralelos y congruentes.
4)
HIPOTESIS: ABCD es un paralelogramo. DM y BN son bisectrices
1. m (ADC) = m (ABC) 1. De Hipótesis. Por ser ángulos opuestos de un paralelogramo
3. NCB MAD 3. Por ser alternos internos entre paralelas (AD BC )
4.
AD
BC
4. De hipótesis. Por ser lados opuestos de un paralelogramo5.
AMD
BNC
5. De 2, 3, 4. A – L – A6.
DM
BN
6. De 5. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes7.
AM
NC
7. De 5. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes8.
AB DC
y
AB
DC
8. De hipótesis. Por ser lados opuestos de un paralelogramo.9. MAB DCN 9. De 8. Por ser alternos internos entre paralelas 10.
AMB
CND
10. De 8, 9,7. L – A – L11.
MB
DN
11. De 10. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes.12. DMNB es un paralelogramo. 12. De 6 y 7. Por tener los lados opuestos congruentes.
SECANTE
Una secante es una recta que corta en puntos diferentes a varias rectas paralelas.
TEOREMA. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL PARALELISMO (T.F.P)
Si tres o más rectas paralelas, determinan segmentos congruentes en una secante, entonces determinan segmentos congruentes sobre cualquier otra secante.
HIPOTESIS:
m n s
AB BC
TESIS: DE EF
1. Por D se traza una paralela a r1, que corta
a
n
en G. O seaDG AB
1. Postulado de la paralela.
2.
AD BG
2. De hipótesis.3. ABGD es un paralelogramo 3. De 1 y 2. Definición de paralelogramo 4.
AB
DG
4. De 3. Por ser lados opuestos de unparalelogramo. 5. Por E se traza una paralela a r1, que corta
a
s
en H. O seaEH BC
5. Postulado de la paralela
6.
BE CF
6. De hipótesis.8.
BC
EH
8. De 7. Por ser lados opuestos de un paralelogramo9.
AB
BC
9. De hipótesis10.
EH
DG
10. De 4, 9, 5. Propiedad transitiva. 11. ABG DGE 11. De 3.AB DE
. Por ser ánguloscorrespondientes entre paralelas. 12. ABG BCH 12. De hipótesis. Por ser ángulos
correspondientes entre paralelas
13.
BC EH
13. De 7. Por ser lados opuestos de un paralelogramo.14. BCH EHF 14. De 13. Por ser ángulos correspondientes entre paralelas
15. EHF DGE 15. De 11, 12, 14. Propiedad transitiva 16.
DG r
1EH
16. De 1 y 5. Propiedad transitiva delparalelismo
17. GDE HEF 17. De 16. Por ser ángulos correspondientes entre paralelas.
18.
DGE
EHF
18. De 17, 15 y 10. A – L – A19.
DE
EF
19. De 18. Por ser lados correspondientes de triángulos congruentesCONSTRUCCION: Dividir un segmento dado en 5 partes congruentes.
TEOREMA: TEOREMA DE LA PARALELA MEDIA EN UN TRIANGULO
El segmento que une los puntos medios de dos lados de un triangulo es paralelo al tercer lado y tiene por medida la mitad de ese lado.
HIPOTESIS: M es punto medio de
AC
N es punto medio de
BC
TESIS:
1)
2)
2
MN
AB
AB
MN
1. En
MN
existe un punto Q, tal queMN
NQ
y unimos B con Q1. Construcción
3. CNM QNB 3. Por ser opuestos por el vértice 4.
CMN
BQN
4. De2, 1,3. L – A – L5. C NBQ 5. De 4. Ángulos correspondientes en triángulos congruentes
6.
BQ AC
6. Por formar ángulos alternos internos congruentes.7.
BQ AM
7. De 6 y de hipótesis. A – M – C8.
CM
BQ
8. De 4. Lados correspondientes en triángulos congruentes9.
CM
MA
9. De hipótesis. Definición de punto medio 10.BQ
MA
10. De 8 y 9. Propiedad transitiva11. ABQM es un paralelogramo 11. De 7 y 10. Lados opuestos paralelos y congruentes.
12.
MQ AB
12. De 11. Definición de paralelogramo 13. MN AB
13. De hipótesis M – N – Q14.
MQ
AB
14. De 11. Por ser lados opuestos de un paralelogramo15.
MN
NQ
15. De 4. Lados correspondientes en triángulos congruentes.16.
2
MQ
MN
16. De 15. N es punto medio deMQ
.17.
2
AB
MN
17. Sustitución de 14 en 16.TEOREMA
Una recta paralela a un lado de un triangulo y que pasa por el punto medio de un lado, pasa por el punto medio del otro lado.
HIPOTESIS: MNAB
M es punto medio de AC
TESIS: N es punto medio de BC
1. Por N se traza una paralela a
AM
, corta aAB
en D.1. Construcción
2.
MN AD
2. De hipótesis, de 1. A – D – B3. ADNM es un paralelogramo 3. De 1 y 2. Definición de paralelogramo 4.
CM
MA
ND
4. De hipótesis y de 2. Lados opuestos deun paralelogramo son s
6. C DNB 6. De 1. Por ser ángulos correspondientes formados por rectas paralelas
7.
MNC
DBN
7. De 4, 5, 6. L – A – A8.
CN
NB
8. De 7. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes.9. N punto medio de
BC
. 9. De 8. Definición de punto medio.DEFINICION:
El segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos de un trapecio se llama
base media.
TEOREMA DE LA BASE MEDIA
La base media de un trapecio es paralela a los lados paralelos y tiene por medida la semisuma de las medidas de las bases del trapecio.
HIPOTESIS: ABCD es un trapecio con
y F son puntos medios de los lados no paralelos
DC AB
E
TESIS:
1.
2.
2
EF
AB DC
AB
DC
EF
1.
DF
corta a
AB
en P 1. Construcción2. DFC BFP 2. Por ser opuestos por el vértice
3. C FBP 3. De hipótesis. Por se alternos internos entre paralelas 4. CF FB 4. De hipótesis. F es punto medio de CF
5.
DCF
PBF
5. De 2, 3 y 4. A – L – A6. DF FP 6. De 5. Lados correspondientes en triángulos
congruentes.
7. F es punto medio de DP 7. De 6. Definición de punto medio 8. E es punto medio de AD 8. De hipótesis.
9.
EF
AP
9. De 7 y 8. Teorema de la paralela media en el ADP. 10. EF
AB
10. De 9 y 1. A – B – P11. AB DC
11. De hipótesis12. EF
AB DC
12. De 10 y 11. Propiedad transitiva 13.2
AP
EF
13. De 7 y 8. Teorema de la paralela media en un triangulo.14.
2
AB
BP
EF
14. De 13. Adicion de segmentos16.
2
AB
DC
EF
16. Sustitución de 15 en 14.TEOREMA (Extensión del teorema de la paralela media)
Si por el punto medio de un lado no paralelo de un trapecio se traza una paralela a las bases, esta paralela pasa por el punto medio del otro lado no paralelo.
HIPOTESIS: ABCD es un trapecio con
DC AB
M es punto medio deAD
MNAB DC
C – N – B
TESIS: N es punto medio de
BC
. 1. M es punto medio deAD
1. De hipótesis2.
AM
MD
2. De 1. Definición de punto medio3. MNAB DC 3. De hipótesis
4.
BN
NC
4. De 3 y 2. Por el teorema fundamental delparalelismo
5. N es punto medio de
BC
5. De hipótesis y 1.TEOREMA
El punto medio de la hipotenusa de un triangulo rectángulo equidista de los vértices. O de otra forma: La mediana sobre la hipotenusa mide la mitad de la hipotenusa.
HIPOTESIS: Triangulo ABC es rectángulo
M es el punto medio de la hipotenusa CB
TESIS: 1)AM MB MC
2)
2
BC AM
1. Por M se traza una paralela a
AB
, que corta aAC
en N1. Construcción
2. N es punto medio de
AC
2. De 1. Si por el punto medio de un lado de un triangulo se traza una paralela a un lado, cortara al otro lado en su punto medio.3. m(CNM) = m(CAB) = 90º 3. De hipótesis y de 1. Por ser correspondientes entre paralelas 4.
MN
es altura 4. De 3. Definición de altura.5. CMA es isósceles. 5. De 1 y 4. Una mediana es altura.
7.
MC
MB
7. De hipótesis. Definición de punto medio.8.
2
BC
AM
MC
MB
8. De 6 y 7. Propiedad transitiva y M es punto medio.TEOREMA
Las medianas de un triangulo se cortan en un punto G, llamado baricentro. Demostrar que G está a 2/3 de cada vértice.
HIPOTESIS: AM y BN son medianas que se cortan en G
TESIS:
2 3 2 3
AG AM
BG BN
1. M y N son puntos medios de
BC
y
AC
1. De hipótesis. Definición de mediana2.
;
2
AB
NM
AB NM
2. De 1. Teorema de la paralela media enABC
3. Sean P y Q los puntos medios dey
AG
BG
respectivamente.3. Todo segmento tiene un punto medio
4.
;
2
AB
PQ AB NM
4. De 3. Teorema de la paralela media en triangulo AGB5.
NM
PQ
NM
PQ
5. De 2 y 4. Propiedad transitiva
6. NPQM es un paralelogramo 6. De 5. Por tener dos lados opuestos paralelos y congruentes.
7.
PG
GM
7. De 6. Las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio8.
PG
AP
8. De 3. Definición de punto medio9.
AP
PG
GM
9. De 7 y 8. Propiedad transitiva10.
1
3
AP
PG
GM
AM
10. De 9. Definición de fracción11.
2
3
AP
PG
AM
11. De 10. Aritmética.12.
2
3
AG
AM
12. De 11. Adición de segmentos.EJERCICIOS
1)
HIPOTESIS: ABCes isósceles con CA CB
E, D, F son puntos medios.
TESIS: DECF es un rombo
2) Demostrar que un paralelogramo al unir dos vértices opuestos con los puntos medios de sus lados opuestos, determinan segmentos que trisecan la diagonal.
3) Demostrar que las bisectrices de los ángulos interiores de un triangulo se cortan en un punto llamado incentro.
4)
EJERCICIOS
PROPOSICIONES DE VERDADERO – FALSO:
1. Un triangulo isósceles tiene sus tres ángulos agudos. ( )
2. Una recta que biseca el ángulo externo opuesto a la base de un triangulo isósceles es paralela a la base. ( )
3. La mediana de un triangulo es perpendicular a la base. ( )
4. Los ángulos agudos de un triangulo rectángulo son complementarios 5. Dos rectas perpendiculares a la misma recta son paralelas ( )
6. Si se cortan dos rectas mediante una transversal se forman exactamente cuatro parejas de ángulos alternos internos. ( )
7. En un triangulo rectángulo en el cual la medida de uno de sus ángulos agudos es 30º, la medida de la hipotenusa es igual a la mitad de la medida del lado opuesto al ángulo de 30º ( )
8. Cuando se cortan dos rectas paralelas mediante una transversal, los dos ángulos interiores del mismo lado de la transversal son complementarios. ( )
9. Las diagonales de un paralelogramo se bisecan mutuamente. ( ) 10. Un paralelogramo equilátero es siempre un cuadrado. ( )
13. Un rectángulo es un paralelogramo. ( ) 14. Un paralelogramo es un rectángulo ( )
15. Si las diagonales de un paralelogramo son perpendiculares, el paralelogramo es un cuadrado. ( )
16. Los lados no paralelos de un trapecio isósceles forman ángulos congruentes con las bases. ( )
17. Los segmentos que unen los puntos medios de los lados opuestos de un cuadrilátero se bisecan mutuamente. ( )
18. La base media de un trapecio biseca a las diagonales ( )
19. Los segmentos que unen los puntos medios consecutivos de los lados de un rectángulo forman un rombo. ( )
20. Las bisectrices de los ángulos opuestos de un rectángulo son paralelas. ( ) 21. Las bisectrices de los ángulos consecutivos interiores de un paralelogramo son
perpendiculares.( )
EJERCICIOS:
1. AC es una diagonal del rombo ABCD. Si m (B) = 120º, hallar m (BAC). 2. En un paralelogramo ABCD, m( A) = 2 m (B). Hallar m(A )
3. En el triangulo ABC. AD DB (A – D – B), m(C) = 90º, m (B ) = 30º. AC = 35 cm. Hallar BD y la mediana CD
4. ABCD es un trapecio. E y F son puntos medios de los lados no paralelos.
5.
HIPOTESIS: ABCD es un paralelogramo DE es bisectriz de ADC
BF es bisectriz de ABC
TESIS: DEFB
6. Demostrar que si los ángulos de la base de un trapecio son congruentes, el trapecio es isósceles.
7. Demostrar que si las diagonales de un paralelogramo son mutuamente perpendiculares, entonces el paralelogramo es un rombo.
9.
HIPOTESIS: SRQT es un paralelogramo QL es la bisectriz de TQR
SM es la bisectriz de TSR
TESIS: SLQM es un paralelogramo.
10.
HIPOTESIS: ABCD es un paralelogramo y las diagonales se cortan en E.
TESIS: E es el punto medio de FG
11. Demostrar que si se unen los puntos medios de los lados de un cuadrilátero, se obtiene un paralelogramo.
12. Demostrar que los segmentos que unen los puntos medios de los lados de un rectángulo forman un rombo.
13.
14. Demostrar que el segmento que une los puntos medios de los lados paralelos de un trapecio, biseca a la paralela media del trapecio.
15.
HIPOTESIS: M y N son puntos medios de las bases del trapecio. E y F son los puntos medios de los lados no paralelos. P y Q son los puntos medios de las diagonales.
TESIS: 1) 2)
3) es punto medio de PQ
16.
HIPOTESIS: Triangulo ABC es isósceles con CA CB
D, E, F son puntos medios
TESIS: CDEF es un rombo
17.
HIPOTESIS; ELMN es un cuadrilátero
A, B, C, D son puntos medios de los lados del Cuadrilátero.
TESIS: CA y DB se bisecan mutuamente.
18.
HIPOTESIS: ABCD es un paralelogramo P es el punto medio de AD
Q es el punto medio de BC
TESIS: AR RS SC
19. Demostrar que si cada diagonal de un cuadrilátero biseca a dos ángulos del cuadrilátero, entonces el cuadrilátero es un rombo.
20.
22.
HIPOTESIS: G es el punto medio de AC; H es el punto medio de medio de BC. AH HR y BG GS
TESIS: 1) 2)
S C R CR CS
AYUDA: Trazar BR y AS
23. En el trapecio isósceles ABCD.
AD
BC
. Las diagonales se cortan en P. Demostrar que el triangulo APB es isósceles.24. En un trapecio isósceles ABCD. M es el punto medio de AC y N es el punto medio de
BD. AB CD . CH es perpendicular a AB con A – H – B. Demostrar que MHBN es un
paralelogramo.
Ejercicios tomados de los siguientes textos:
Geometría Euclidiana de Nelson Londoño
Geometría Euclidiana de Hemmerling
Curso de Geometría. Reunión de profesores
Geometría de Clemens y otros, de la serie Awli
Geometría de Edwin E. Moise
EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE CUADRILATEROS
HIPOTESIS: ABCD es un paralelogramo DE es bisectriz de ADC BF es bisectriz de ABC A – E – B ; D – F – C TESIS: DEFB
1. ( 1) ( ) 2
m ADC
m 1. De hipótesis. Definición de bisectriz
2. ( 2) ( ) 2
m ABC
m 2. De hipótesis. Definición de bisectriz
3.m(ADC)=m(ABC) 3. De hipótesis. Por ser ángulos opuestos de un paralelogramo 4. ( 2) ( )
2
m ADC
m 4. Sustitución de 3 en 2.
5. m(1) = m(2) 5. De 1 y 4. Propiedad transitiva.
6. C A 6. De hipótesis. Por ser ángulos opuestos de un paralelogramo 7. 3 4 7. De 5 y 6. Si dos triángulos tienen dos ángulos congruentes el
tercer ángulo del primero es congruente al tercer ángulo del segundo.
8. DCAB 8. De hipótesis. Los lados opuestos de un paralelogramo son
paralelos
9. 4 5 9. De 8. Por ser alternos internos entre paralelas 10. 3 5 10. De 7 y 9. Propiedad transitiva.
11. DEFB 11. De 10. Por formar ángulos correspondientes congruentes
Demostrar que si los ángulos de la base de un trapecio son congruentes, el trapecio es isósceles.
HIPOTESIS: ABCD es un trapecio con DCAB
A B
TESIS: ABCD es un trapecio isósceles
1. Se trazan las alturas DH y CE
1. Construcción auxiliar
2. DH CH 2. De 1. Por ser perpendiculares a la misma recta AB
3. DC HE 3. De hipótesis. DCAB
4. HECD es un paralelogramo 4. De 2 y 3. Definición de paralelogramo.
5. DH CE 5. De 4. Por ser lados opuestos de un paralelogramo.
6. A B 6. De hipótesis.
8. AD BC 8. De 7. Por ser lados correspondientes en triángulos s
9. ABCD es un trapecio isósceles
9. De 8 y de hipótesis. Definición de trapecio isósceles.
Demostrar que las bisectrices de dos ángulos consecutivos de un paralelogramo son perpendiculares.
HIPOTESIS: ABCD es un paralelogramo AE es bisectriz de DAB BE es bisectriz de ABC TESIS: AE EB
1.
( )
( 1) 2 ( 1) ( )
2
m DAB
m m m DAB
1. De hipótesis. Definición de bisectriz
2
( )
( 2) 2 ( 2) ( )
2
m ABC
m m m ABC
2. De hipótesis. Definición de bisectriz
3. m(DAB) + m(ABC) = 180° 3. De hipótesis. Los ángulos consecutivos en un paralelogramo son suplementarios
4. 2m(1) + 2m(2) = 180° 4. Sustitución de 1 y 2 en 3 5. m(1) + m(2) = 90° 5. De 2. Algebra
6. m(E) = 90° 6. De 5. Los ángulos interiores de un triangulo suman 180°
7. AE EB 7. De 6. Definición de perpendicularidad
1. M es punto medio de
AD
y N es punto medio deBC
1. De hipótesis
2.
MN
es la base media del trapecio 2. De hipótesis. Definición de base media 3.MN DC
3. De 2. La base media es paralela a lasbases
4.
MP DC
4. De 3 y M – P – Q – N5. En
ADC
: P es punto medio deAC
5. De 4 y 1. Si por el punto medio de un ladode un triangulo se traza una paralela a u n lado, esa paralela pasa por el punto medio del otro lado.
HIPOTESIS: ELNM es un cuadrilátero
A, B, C, D son los puntos medios de los lados del cuadrilátero.
TESIS: AC y DB se bisecan mutuamente.
1. Se traza la diagonal EN 1. Construcción auxiliar
2. D es punto medio EM y C es punto medio de
MN
2. De hipótesis
3. DC es paralela media en el EMN 3. De 2. Definición de la paralela media en un triangulo.
4. ; 2
EN
DC DC EN 4. De 3. Teorema de la paralela media
5. A es punto medio de EL y B es punto medio de
LN
5. De hipótesis.
6. AB es paralela media en el ELN 6. De 5. Definición de la paralela media en un triangulo.
7. ; 2
EN
AB AB EN 7. De 6. Teorema de la paralela media
8. DC AB y DCAB 8. De 4 y 7. Propiedad transitiva
9. ABCD es un paralelogramo 9. De 8. Por tener un par de lados congruentes y paralelos.
HIPOTESIS: BT es altura A – P – B
PR AC y PS BC
TESIS: PR + PS = BT
1. Se traza PQ BT 1. Construcción auxiliar.
2. AC BT 2. De hipótesis. Definición de altura.
3. PQAC 3. De 1 y 2. Por ser perpendiculares a la misma
recta
4. PR AC 4. De hipótesis
5. BT AC QT AC 5. De hipótesis. Definición de altura
6. PR QT 6. De 4 y 5. Por ser perpendiculares a la misma
recta
7. RPQT es un paralelogramo 7. De 3 y 6. Definición de paralelogramo 8. PR QT 8. De 7. Los lados opuestos de un son
congruentes
9. BT = BQ + QT 9. Suma de segmentos 10. BT = BQ + PR 10. Sustitución de 8 en 9.
11. PQB y PSB son rectángulos 11. De 1 y de hipótesis. Definición de triangulo rectángulo.
12. A ABC 12. De Hipótesis. Los ángulos de la base de un triangulo isósceles son congruentes.
13. QPB A 13. De 3. Por ser ángulos correspondientes entre paralelas.
14. QPB ABC 14. De 12 y 13. Propiedad transitiva 15. PB PB 15. Propiedad reflexiva
16. PQB PSB 16. De 11, 14, 15. Por ser triángulos rectángulos con un ángulo agudo y la hipotenusa
congruentes.
17. BQ = PS 17. De 16. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes.
18. BT = PS + PR 18. Sustitución de 17 en 10.
En el trapecio isósceles ABCD.
AD
BC
. Las diagonales se cortan en P. Demostrar que el triangulo APB es isósceles.1.
DAB
CBA
1. De hipótesis. Los ángulos de la base de un triangulo isósceles son congruentes2.
AD
BC
2. De hipótesis.3.
AB
AB
3. Propiedad reflexiva4.
DAB
CBA
4. De 1, 2, 3. L – A – L6.
APB es isósceles
6. De 5. Por tener dos ángulos congruentes En un trapecio isósceles ABCD. M es el punto medio de AC y N es el punto medio de
BD. AB CD . CH AB; con A – H – B. Demostrar que MHBN es un paralelogramo.
1. AHC es un triangulo rectángulo
1. HM es la mediana sobre la hipotenusa
2.
HM
MA
MC
2. De 1. En un triangulo rectángulo la mediana sobre lahipotenusa mide la mitad de esta.
3. AMH es isósceles 3. De 2. Definición de triangulo isósceles.
4. MAH MHA 4. De 3. Por ser ángulos de la base de un triangulo isósceles.
5. APB es isósceles. 5. Leer el ejercicio anterior
6. MAH PBA 6. De 5. Por ser ángulos de la base de un triangulo isósceles
7. MHA PBA 7. De 4 y 6. Propiedad transitiva.
8.
HM
BN
8. De 7. Por formar ángulos correspondientes congruentes. 9.AC
BD
9. De hipótesis. Las diagonales de un trapecio isóscelesson congruentes.
10.
BN
AM
10. De 9 y de hipótesis, por ser mitades de segmentoscongruentes.
11.
BN
AM
HM
BN
11. De 10 y 2. Propiedad transitiva 12. MHBN es unparalelogramo.
