MICROECONOMÍA ECONOMÍA EJERCICIO RESUELTO
TEMA 4.- LA TEORÍA DE LOS COSTES
Sea q=L34K14 la función de producción de una empresa que contrata los factores trabajo y
capital a los precios w=486 y r =2, respectivamente.
a) Calcule el tipo de rendimientos a escala que presenta la tecnología de esta empresa.
Los rendimientos a escala permiten conocer cómo varía la producción de un bien cuando se modifican todos los factores de producción en la misma proporción. Para el cálculo de los rendimientos a escala, se procede a multiplicar todos los factores por una constante t y calcular el efecto sobre la producción del bien:
Si la función de producción esq(L,K)=L34K14, entonces denominamos z=q(tL,tK). Por tanto,
) K , L ( q . t K L t t ) tK ( ) tL ( ) tK , tL ( q
z= = 3/4 1/4 = 3/4 1/4 3/4 1/4 =
En este caso, se ha obtenido que al multiplicar todos los factores por la constante t también se ha
multiplicado la producción por la misma constante. En este caso, se dice que la función de producción presenta rendimientos constantes a escala.
b) Obtenga las curvas de costes totales, medios y marginales a largo plazo y represéntelas gráficamente.
Para el cálculo de las curvas de costes a largo plazo, en primer lugar se han de obtener las funciones de demanda condicionadas de factores, resultantes de minimizar el coste de producción, dada la función de producción de la empresa.
Aplicando la condición de minimización de costes
r w
RMSTL,K = , se obtiene.
r w L K 3 L K 4 / 1 K L 4 / 3 PMg PMg
RMST 3/4 3/4
4 / 1 4 / 1 K L K ,
L = = − = =
−
, de donde 81L
3 r wL
K= =
sustituyendo este resultado en la función de producción:
L 3 ) L 81 ( L r L 3 w L K L ) K , L (
q 3/4 1/4
4 / 1 4 / 3 4 1 4 3 = = =
= , de donde
3 q w r 3 q L 4 / 1 * = =
Esta es la función de demanda condicionada del factor trabajo.
Por otro lado, 27q
3 q 81 L 81 r 3 w q w r 3 q 3 r w 3 r wL K 4 / 3 4 / 1 = = = = = = ,
por lo que
4 / 3 P / L * r 3 w q K K = =
MICROECONOMÍA ECONOMÍA EJERCICIO RESUELTO
Pág. 1
TEMA 4.- LA TEORÍA DE LOS COSTES
ELASTICIDAD COSTE-PRODUCTO Y GRADO DE ECONOMÍAS DE ESCALA
Sea CT=40q1/2 la función de costes totales de largo plazo de una empresa. Calcule la elasticidad coste-producto y el grado de economías de escala cuando se producen 64 unidades e interprete su significado.
La elasticidad coste-producto mide la variación porcentual en los costes totales de largo plazo ante una variación porcentual en el nivel de producción, esto es:
,
1
C QC Q
C
CMg
Q
Q C
Q
CMe
C
ε
=
∂
=
∂
=
∂
∂
En primer lugar, debemos destacar el hecho de que la elasticidad coste producto siempre es positiva, es decir, que siempre que se incrementa el nivel de producción se observa un incremento en los costes totales de largo plazo. No obstante, a priori desconocemos si dicha elasticidad es mayor, igual o menor a la unidad así como su interpretación en cada caso. En este sentido podemos encontrarnos con las siguientes situaciones:
1º) Si
ε
C Q, >1, observaríamos que ante un incremento de la producción del 1%, los costes totales alargo plazo se incrementarían más que proporcionalmente. Esto explicaría que el coste medio de largo plazo creciese, lo que ocurrirá cuando el coste marginal de largo plazo sea mayor que el coste medio de largo plazo. Ese coste medio creciente nos permite concluir que nos encontramos ante una situación de deseconomías de escala.
2º) Si
ε
C Q, <1, observamos que ante un incremento de la producción del 1%, los costes totales alargo plazo se incrementarían menos que proporcionalmente. Esto explicaría que el coste medio de largo plazo decreciese, lo que ocurre cuando el coste marginal de largo plazo sea menor que el coste medio de largo plazo. Ese coste medio decreciente nos permite concluir que nos encontramos ante una situación de economías de escala.
3º) Si
ε
C Q, =1, observamos que ante un incremento de la producción del 1%, los costes totales alargo plazo se incrementarían exactamente en la misma proporción. Esto explicaría que el coste medio de largo plazo se mantuviese constante, lo que ocurre cuando el coste marginal de largo plazo es igual que el coste medio de largo plazo. Ese coste medio constante nos permite concluir que ni existen economías ni deseconomías de escala.
A partir del valor de la elasticidad coste-producto, resulta interesante cuantificar en qué medida varía la producción a largo plazo cuando los costes (y por tanto, el uso de los factores) se modifican en una determinada proporción. Esta pregunta se responde calculando el valor inverso de la elasticidad coste-producto. Esta nueva medida se conoce como el grado de economías de escala (S)
y se calcula como:
,
1
C Q
S
Nótese que un valor del grado de la economía de escala superior a la unidad (S>1) equivale a un
valor de la elasticidad coste-producto inferior a la unidad
ε
C Q, <1. Esto significa que un incrementoequiproporcional en el uso de todos los factores (y por tanto en el coste total de largo plazo) provoca un incremento en la producción más que proporcional, lo que implica que el aumento en la producción tiene ventajas en términos de costes, lo que se concreta en una reducción del coste por unidad (Economías de escala).
Por otro lado, un valor del grado de la economía de escala inferior a la unidad (S<1) equivale a un
valor de la elasticidad coste-producto mayor a la unidad
ε
C Q, >1. Esto significa que un incrementoequiproporcional en el uso de todos los factores (y por tanto en el coste total de largo plazo) provoca un incremento en la producción menos que proporcional. Esto implica que el aumento en la producción tiene desventajas en términos de costes, dando lugar a un incremento del coste por unidad (Deseconomías de escala).
A partir de la función de costes totales de largo plazo de esta empresa, la elasticidad coste-producto y el grado de economías de escala asociado a un nivel de producción de 64 unidades se calcula como se indica a continuación.
1/ 2
1/ 2
, 1/ 2 1/ 2
(40 ) 1
20
2
40 40
C Q
q q q
q
q q q
ε
= ∂ = − =∂
Observamos que la elasticidad coste-producto es constante e inferior a la unidad,
ε
C Q, =0, 5. Estosignifica que un incremento en la producción del 1% provocará un incremento en los costes de apenas el 0,5%. A partir de este resultado, se calcula en grado de economías de escala como:
,
1
1
2
0, 5
C QS
ε
=
=
=
Pág.2
La función de costes totales de largo plazo será:
q 216 q 54 q 162 q 27 . 2 3 q 486 r qw 75 . 1 ) 3 3 ( r qw r 3 w rq w r 3 wq rK wL ) q , r , w ( P /
CTL 3/4 1/4 1/4 3/4 3/4 1/4
4 / 3 4 / 1 * * = + = + = = + = + = + = − 4 / 1 4 / 3 r w 75 . 1 q P / CTL ) q , r , w ( P /
CMeL = = =216
4 / 1 4 / 3 r w 75 . 1 dq P / dCTL ) q , r , w ( P /
CMgL = = =216
La curva de CTL/P es una recta de pendiente positiva y las curvas de CMeL/P y CMgL/P son iguales y, además, son rectas totalmente elásticas, típicas cuando hay rendimientos cosntantes a escala.
c) Suponga que la empresa desea obtener q=24 unidades. Calcule el menor coste que podrá soportar.
A partir de la curva de CTL/P se puede obtener el menor coste posible para cualquier nivel de producción. En el caso de q = 24 unidades, y cuando w = 486 y r = 2, entonces el CTL/P es
d) Considere que la empresa se encuentra produciendo a corto plazo con 81 unidades de capital. Obtenga cuál será el coste que le supone a la empresa producir las 24 unidades.
En primer lugar, dado que el capital es fijo, entonces se trata de una situación del corto plazo, que obliga a obtener la función de costes totales del corto plazo. En este caso en el que hay sólo dos factores de producción, el problema es muy sencillo, pues, dada la cantidad del factor capital (K = 81) se trata únicamente de obtener la demanda del factor trabajo. Su valor se obtendrá de la función de producción. 3 / 4 c/p 4 / 3 4 / 1 4 / 3 4 1 4 3 3 q L donde de , 3 L 81 L K L q = = = =
Esta es la función de demanda condicionada del factor trabajo del corto plazo, para K = 81.
Por lo que la función de costes totales de corto plazo será:
7938 162 7776 81 . 2 3 24 . 486 81 r 3 q w K r wL ) q , r , w ( P / CTC 3 / 4 3 / 4 p /
c + = + =
= + = + =
El coste total a corto plazo de producir 24 unidades, sin duda, debe ser superior al coste total de largo plazo, por la rigidez del factor fijo.
184 . 5 2 486 . 24 . 75 . 1 r qw 72 . 2 P /
e) ¿A qué se debe la diferencia entre los niveles de coste obtenidos en los apartados c) y d)?
Como se comentó en el apartado anterior, la razón de la diferencia entre los resultados de los apartados c) y d) se debe a que en el largo plazo se está utilizando la cantidad de capital minimizadora del coste, mientras que en el corto plazo la cantidad de capital K = 81 no es minimizadora del coste y hace aumentar los costes totales.
f) ¿Para qué nivel de producción la cantidad de capital que tiene contratada la empresa,
81
K= , es la que minimiza el coste a largo plazo?
El nivel de capital K = 81 es minimizador del coste a largo plazo, para el nivel de producción q, tal que el CTL/P = CTC/P(K = 81). O de forma más sencilla, que el Kc/p =KL/P
Resolviendo, se obtiene:
4 / 3
P / L *
r 3 w q K
K
=
= =27q=81, de donde 3
27 81
q= =
