Universidad Nacional Abierta Cálculo II (Cód. 750) Vicerrectorado Académico Código Carrera: 508 Área de Matemática Fecha: 26 07 2014
MODELO DE RESPUESTAS
Objetivos 1 al 5
OBJ 1 PTA 1Sea f : [ , 3 ] IR la función definida por:
3 2
si 9 x 3
2 x 0 si 1 x ) x ( f
x
2
.
Dibuja la región acotada por la función y = f(x) y las rectas de ecuaciones: x = 0 , y =0
y calcula la integral
3 0
dx ) x (
f , usando propiedades de la integral.
Solución:
3
2 2
1 2 1
0 2 3
0
dx ) 9 x 3 ( dx ) 1 x ( dx ) 1 x ( dx ) x ( f
3 2 3
2 2
1 2
1 2 1
0 1
0 2
dx 9 xdx 3 dx dx x dx dx x
2 7 ) 2 3 ( 9 2
) 2 ( ) 3 ( 3 ) 1 2 ( 3
) 1 ( ) 2 ( 0 1 3
) 0 ( ) 1
( 3 3 3 3 2 2
Por lo tanto,
2 7 dx ) x ( f 3 0
.Escribimos la función dada como:
3 x 2 si 9 x 3
2 x 1 si 1 x
1 x 0 si ) 1 x ( ) x (
f 2
2
Recuerda la definición de valor absoluto
0 1 2 3 x y
3
2
OBJ 2 PTA 2 Calcula el área de la superficie de revolución generada al rotar la curva definida por las ecuaciones con 0 t 2 ,
t cos 1 y
t sen t x
alrededor del eje OX.
Solución:
El área generada al rotar una curva dada en forma paramétrica, alrededor del eje OX, se obtiene mediante la fórmula:
dt dt dy dt
dx t
y 2
A
2 1
t
t
2 2
()
donde y(t) = 1 cost , sent dt
y d , t cos 1 dt
dx , t
1 = 0 y t2 = 2.
Entonces,
dt t sen t
cos 1 t cos 1 2
A
2
0
2
2
dt t cos 2 2 t cos 1 2
2
0
dt2 t sen 2 2
2 dt t cos 1 2
2
2
0
2 2
0
2 3 2
3
dt 2
t sen 2
t cos 1 8
dt 2
t sen
8 2
2
0 2
0
3
2
0 3
2
0
2 2
0 2
t cos 3 2 2
t cos 2 8 dt 2
t sen 2
t cos dt
2 t sen 8
3 64 3 2 3 2 4
8
.
Por lo tanto, el área de superficie de revolución de la curva dada es:
3 64 A .
OBJ 3 PTA 3Determina la convergencia o divergencia de la integral
0
x d x arctg
x .
Solución: La integral
0
x d x arctg
x es una integral impropia de primera especie (ver pág. 242 del
libro Cálculo II de la UNA), luego:
b 0 0
x d x arctg x lím
x d x arctg x
b .
Calculemos
bx d x arctg
Llamemos u = arctg x de donde du = 2 x 1
dx
y dv = x dx de donde v = 2 x2 , entonces
b
0
2 2 b
0 2
b
0
2 2 b
0 2
b
0
x d x 1
1 x 1 2 1 x
arctg 2 x x d x 1
x 2
1 x
arctg 2 x x d x arctg x
b0 b
0 2
b
0
2 b
0 2
x arctg 2 1 x 2 1 x
arctg 2 x x d x 1
1 1 2 1 x
arctg 2 x
arctgb2 1 1 barctgb 2
b b arctg 2 1 b 2 1 b arctg 2
b2
.
Ahora, tomando el límite cuando b se tiene:
arctgb
2 1 1 b arctg b 2 b lím x d x arctg x lím
b b
b 0
pero este límite no existe, ya que
barctgb 1
2 b lím
b tiende a +.
Por lo tanto,
0
x d x arctg
x diverge.
OBJ 4 PTA 4 Determina, si es posible, la suma de la serie
0 n
1 n n
5
5 .
Solución:
La serie dada es una serie telescópica (consulta las páginas 309 y 310 del libro Cálculo II
de la UNA) donde
2 n5 5
an n
y
21 n
5 5
an 1 (n 1)
, entonces la suma parcial n-ésima de la serie es:
Sn =
2 1 n 2
1 k 2
k
5 1 5
5
n
0 k
[1] ( ¡Verifícalo! ).Al pasar al límite cuando n tiende a infinito en ambos miembros de [1]
se obtiene:
n
lím Sn =
1 e
lím 1
5 5
lím 2
1 n 2
1 k 2
k
n n
0 k
n
¿Por qué?Por lo tanto, la suma de la serie
0 n
1 n n
5
5 es igual a 1.
0 n 0
n 0
n 0
n
1 n
n 2 2
2 2
2 1 2
1 n n
1 n n n
n
5 1 5
1
5 1
5 1 5
5 5
5
0 n 0
n 0
n 0
n
2 n 2
n 2
n 2
1 2 n 2
n
5 1 5
1 5 5
1 5
1 1 5
1 5 1 1 5
1 5 1 5
1 (*)
Ahora, la serie
0 n
n
0
n 5
1 5
1 2 n
es una serie geométrica de razón r =
5
1 < 1
(revisa la página 313 del libro Cálculo II de la UNA) luego,
1 5
5
5 1 1
1 5
1
0 n
n
y sustituyendo en (*) se obtiene:
0 n
1 n n
5
5 =
5 1 5
1 5
5
= 1
Por lo tanto,
5
5 10 n
1 n n
.
OBJ 5 PTA 5 Determina si la serie
1 n
n
n 1 tg ) 1
( converge absolutamente, converge
condicionalmente o diverge.
Solución:
Para la convergencia absoluta se aplica el criterio de comparación al límite (consulta las páginas 332 y 333, teorema 20 del texto Cálculo II de la UNA):
1 n 1
n
n
n 1 tg n
1 tg ) 1
( se compara esta serie con la serie de términos positivos
1n n
1 que es divergente (¡verifícalo con el criterio de la integral!).
Entonces, se halla
1 n 1 n 1 tg límAhora, se considera la serie alterna
1 n
n
n 1 tg ) 1
( y se aplica la regla de Leibnitz
(consulta la página 356 del libro Cálculo II de la UNA):
La sucesión
1 n
n 1
tg es monótona decreciente debido a que la derivada de la función
asociada a la sucesión: sec (x) x
1 x
1 tg ) x (
f 2
2
es monótona decreciente para
todo x [1 , ) y además 0 n 1 tg lím
n
en consecuencia n converge
1 tg ) 1 (
1 n
n
condicionalmente.
