MODELO DE RESPUESTAS Objetivos 1 al 5 OBJ 1 PTA 1 Sea f : [  ,3] 

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(1)

Universidad Nacional Abierta Cálculo II (Cód. 750) Vicerrectorado Académico Código Carrera: 508 Área de Matemática Fecha: 26 07 2014

MODELO DE RESPUESTAS

Objetivos 1 al 5

OBJ 1 PTA 1Sea f : [  , 3 ]  IR la función definida por:

   

  

  

3 2

si 9 x 3

2 x 0 si 1 x ) x ( f

x

2

.

Dibuja la región acotada por la función y = f(x) y las rectas de ecuaciones: x = 0 , y =0

y calcula la integral

3 0

dx ) x (

f , usando propiedades de la integral.

Solución:

       

3

2 2

1 2 1

0 2 3

0

dx ) 9 x 3 ( dx ) 1 x ( dx ) 1 x ( dx ) x ( f

    

 

3 2 3

2 2

1 2

1 2 1

0 1

0 2

dx 9 xdx 3 dx dx x dx dx x

2 7 ) 2 3 ( 9 2

) 2 ( ) 3 ( 3 ) 1 2 ( 3

) 1 ( ) 2 ( 0 1 3

) 0 ( ) 1

( 3 3 3 3 2 2

    

 

       

 

    

Por lo tanto,

2 7 dx ) x ( f 3 0

.

Escribimos la función dada como:

    

  

  

  

 

3 x 2 si 9 x 3

2 x 1 si 1 x

1 x 0 si ) 1 x ( ) x (

f 2

2

Recuerda la definición de valor absoluto

 0 1 2 3 x y

3

2

(2)

OBJ 2 PTA 2 Calcula el área de la superficie de revolución generada al rotar la curva definida por las ecuaciones con 0 t 2 ,

t cos 1 y

t sen t x

   

 

 

 

alrededor del eje OX.

Solución:

El área generada al rotar una curva dada en forma paramétrica, alrededor del eje OX, se obtiene mediante la fórmula:

dt dt dy dt

dx t

y 2

A

2 1

t

t

2 2

            

 ()

donde y(t) = 1  cost , sent dt

y d , t cos 1 dt

dx , t

1 = 0 y t2 = 2.

Entonces,

 

 

dt t sen t

cos 1 t cos 1 2

A

2

0

2

2

dt t cos 2 2 t cos 1 2

2

0

 

dt

2 t sen 2 2

2 dt t cos 1 2

2

2

0

2 2

0

2 3 2

3

  

  

 

      

 

 

dt 2

t sen 2

t cos 1 8

dt 2

t sen

8 2

2

0 2

0

3

         

 

       

       

 

 

   

 

      

             

  

            

      

2

0 3

2

0

2 2

0 2

t cos 3 2 2

t cos 2 8 dt 2

t sen 2

t cos dt

2 t sen 8

3 64 3 2 3 2 4

8  

  

 .

Por lo tanto, el área de superficie de revolución de la curva dada es:

3 64 A  .

OBJ 3 PTA 3Determina la convergencia o divergencia de la integral

 

0

x d x arctg

x .

Solución: La integral

 

0

x d x arctg

x es una integral impropia de primera especie (ver pág. 242 del

libro Cálculo II de la UNA), luego:



 

b 0 0

x d x arctg x lím

x d x arctg x

b .

Calculemos

b

x d x arctg

(3)

Llamemos u = arctg x de donde du = 2 x 1

dx

 y dv = x dx de donde v = 2 x2 , entonces

  

   

 

   

b

0

2 2 b

0 2

b

0

2 2 b

0 2

b

0

x d x 1

1 x 1 2 1 x

arctg 2 x x d x 1

x 2

1 x

arctg 2 x x d x arctg x

b

0 b

0 2

b

0

2 b

0 2

x arctg 2 1 x 2 1 x

arctg 2 x x d x 1

1 1 2 1 x

arctg 2 x

   

    

  

  

arctgb

2 1 1 barctgb 2

b b arctg 2 1 b 2 1 b arctg 2

b2

 .

Ahora, tomando el límite cuando b  se tiene:

arctgb

2 1 1 b arctg b 2 b lím x d x arctg x lím

b b

b 0

  

 

pero este límite no existe, ya que

barctgb 1

2 b lím

b  tiende a +.

Por lo tanto,

 

0

x d x arctg

x diverge.

OBJ 4 PTA 4 Determina, si es posible, la suma de la serie

 

 

 

  

   

0 n

1 n n

5

5 .

Solución:

La serie dada es una serie telescópica (consulta las páginas 309 y 310 del libro Cálculo II

de la UNA) donde

 

2 n

5 5

an n

 

 y

 

2

1 n

5 5

an 1 (n 1)

  

   , entonces la suma parcial n-ésima de la serie es:

Sn =

   

2 1 n 2

1 k 2

k

5 1 5

5

n

0 k

 

     

 

[1] ( ¡Verifícalo! ).

Al pasar al límite cuando n tiende a infinito en ambos miembros de [1]

se obtiene:

 

n

lím Sn =

   

1 e

lím 1

5 5

lím 2

1 n 2

1 k 2

k

n n

0 k

n   

 

 

   

  

 

¿Por qué?

Por lo tanto, la suma de la serie

 

 

 

  

   

0 n

1 n n

5

5 es igual a 1.

(4)

 

 

   

 

 

 

  

    

  

             

    

  

 

    

  

 

   

 

0 n 0

n 0

n 0

n

1 n

n 2 2

2 2

2 1 2

1 n n

1 n n n

n

5 1 5

1

5 1

5 1 5

5 5

5

 

 

 

                 

 

          

      

    

  

                  

0 n 0

n 0

n 0

n

2 n 2

n 2

n 2

1 2 n 2

n

5 1 5

1 5 5

1 5

1 1 5

1 5 1 1 5

1 5 1 5

1 (*)

Ahora, la serie

 

            

0 n

n

0

n 5

1 5

1 2 n

es una serie geométrica de razón r =

5

1 < 1

(revisa la página 313 del libro Cálculo II de la UNA) luego,

1 5

5

5 1 1

1 5

1

0 n

n

         

y sustituyendo en (*) se obtiene:

 

 

 

 

  

   

0 n

1 n n

5

5 = 

  

 

5 1 5

1 5

5

 = 1

Por lo tanto,

 

5

 

5   1

0 n

1 n n

    

  

.

OBJ 5 PTA 5 Determina si la serie

 

       1 n

n

n 1 tg ) 1

( converge absolutamente, converge

condicionalmente o diverge.

Solución:

Para la convergencia absoluta se aplica el criterio de comparación al límite (consulta las páginas 332 y 333, teorema 20 del texto Cálculo II de la UNA):



 

      

      

1 n 1

n

n

n 1 tg n

1 tg ) 1

( se compara esta serie con la serie de términos positivos

1

n n

1 que es divergente (¡verifícalo con el criterio de la integral!).

Entonces, se halla

 

1 n 1 n 1 tg lím

(5)

Ahora, se considera la serie alterna

 

 

1 n

n

n 1 tg ) 1

( y se aplica la regla de Leibnitz

(consulta la página 356 del libro Cálculo II de la UNA):

La sucesión

    

    

1 n

n 1

tg es monótona decreciente debido a que la derivada de la función

asociada a la sucesión: sec (x) x

1 x

1 tg ) x (

f 2

2       

 

      

 es monótona decreciente para

todo x [1 , ) y además 0 n 1 tg lím

n 

    

 en consecuencia n converge

1 tg ) 1 (

1 n

n



      

condicionalmente.

Figure

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Referencias

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