INSTITUTO UNIVERSITARIO EXPERIMENTAL DE TECNOLOGÍA LA VICTORIA

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA EDUCACIÓN SUPERIOR INSTITUTO UNIVERSITARIO EXPERIMENTAL

DE TECNOLOGÍA LA VICTORIA LA VICTORIA- ESTADO ARAGUA COMISIÓN ACADÉMICA DEL PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN EN ELECTRICIDAD

FÍSICA II

Autor:

Prof. Wladimir Marco Herrera

La Victoria , julio de 2007 LA VICTORIA

2

INDICE

Tema I: La Carga Y La Materia

Pág.

1.1.- Introducción 6 1.2.- Conductores y Aisladores 9 1.3.- Conservación y Cuantización de la Carga 9

1.4.- Ley de Coulomb 10

1.5.- Fuerzas en las que intervienen fuerzas múltiples 11 1.6.- Fuerzas en las que intervienen distribuciones continúas de cargas 13

1.7.- Ejercicios propuestos 18

Tema II: Campo Eléctrico

2.1.- Introducción 23

2.2.- Campo Eléctrico 23

2.3.- Campo Eléctrico de una carga puntual 23 2.4.- Campo Eléctrico debido a cargas múltiples 24

2.5.- Dipolos eléctricos 27

2.6.- Líneas del campo eléctrico 28 2.7.- Campo eléctrico debido a una distribución continua de carga 30 2.8.- El movimiento de una partícula cargada en un campo eléctrico 34

2.9.- Ejercicios propuestos 35

Tema III: Ley de Gauss

3.1.- Introducción 40

3.2.- Flujo eléctrico 40

3.3.- Ley de Gauss 40

3.4.- Aplicación de la Ley de Gauss 46 3.5.- Conductores y Campos eléctricos 51

3.6.- Ejercicios propuestos 56

Tema IV: Potencial Eléctrico

4.1.- Introducción 63

4.2.- Potencial Eléctrico 63

3

Pág.

4.6.- Energía potencial eléctrica 68 4.7.- Superficies equipotenciales 70 4.8.- Determinación de campos eléctricos a partir de potenciales eléctricos 70 4.9.- Potencial de un conductor cargado 71

4.10.- Ejercicios propuestos 72

Tema V: Capacitores y Dieléctricos

5.1.- Introducción 78

5.2.- Capacitancia 78

5.3.- Calculo de la Capacitancia 79

5.4.- Energía en capacitores 81

5.5.- Energía en capacitores 82

5.6.- Combinación de capacitores 83

5.7.- Dieléctricos 86

5.8.- Ejercicios propuestos 88

Tema VI: La Corriente y La Resistencia

6.1.- Introducción 93

6.2.- La corriente eléctrica y la densidad de corriente 93 6.3.- Resistencia, Resistividad y Conductividad 97 6.4.- Modelo de conducción eléctrica 98 6.5.- Energía y Potencia eléctrica 100

6.6.- Ejercicios propuestos 101

Tema VII: Circuitos de Corriente directa

7.1.- Introducción 105

7.2.- Fuerza electromotriz 105

7.3.- Resistores en serie y paralela 106

7.4.- Regla de Kirchoff 109

7.5.- Circuitos RC 112

7.6.- Instrumentos de medición 116

7.7.- Ejercicios propuestos 117

Tema VIII: Campos Magnéticos

8.1.- Introducción 124

4

Pág.

8.3.- Fuerzas magnéticas sobre un conductor que lleva una corriente 126 8.4.- Momento de torsión sobre una espira de corriente en un campo

magnético uniforme 129

8.5.- Movimiento de una partícula cargada en un campo magnético 131 8.6.- Selector de velocidades, espectrómetro de masa y ciclotrón 133

8.7.- Efecto may 136

8.8.- Ejercicios propuestos 137

Tema IX: Ley de Ampere

9.1.- Introducción 144

9.2.- Ley de Biot - Savart 144

9.3.- Ley de Ampere 146

9.4.- Fuerzas magnéticas entre dos conductores paralelos 147 9.5.- Campo magnético de un solenoide 148

9.6.- Flujo Magnético 150

9.7.- La corriente de desplazamiento de Maxwell 152

9.8.- Ejercicios propuestos 154

Tema X: Ley de Faraday

10.1.- Introducción 160

10.2.- Ley de Faraday y la Inductancia magnética 160

10.3.- Ley de Lenz 162

10.4.- fuerza electromotriz en movimiento 163 10.5.- Fuerza, energía y potencia en la fuerza electromotriz de movimiento 166 10.6.- Fuerza electromotriz y campos eléctricos 167

10.7.- Generadores y Motores 170

10.8.- Ejercicios propuestos 174

Tema XI: Inductancia

11.1.- Introducción 180

11.2.- Inductancia 180

11.3.- Circuitos RL 182

11.4.- Energía en Inductores 185

11.5.- Energía en campos magnéticos 186

11.6.- Inductancia mutua 188

11.7.- Osciladores en un circuito LC 189

11.8.- Circuitos RCL 193

5

Tema XII: Inductancia

Pág.

12.1.- Introducción 201

12.2.- Transformadores 201

12.3.- Elementos individuales de circuitos de C.A. 203 12.4.- Circuitos de corriente alterna en serie con RCL 206 12.5.- Potencia en un circuito de C.A. 209 12.6.- Resonancia en un circuito en serie RLC 210

12.7.- Circuitos filtros 212

12.8.- Ejercicios propuestos 213

6

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EDUCACIÓN SUPERIOR

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FISICA II

TEMA I

LA CARGA Y LA MATERIA

Realizado por: Prof. WLADIMIR S. MARCO HERRERA

7

TEMA I

LA CARGA Y LA MATERIA

1.1 INTRODUCCIÓN:

Un átomo de cualquier elemento está formado por tres tipos de partículas subatómicas: electrones, protones y neutrones. Los protones y neutrones contribuyen la parte central del átomo, llamado núcleo atómico, en cuyo alrededor se encuentran los electrones.

La masa de un protón es aproximadamente igual a la de un neutrón pero la del electrón es 1.840 veces menor que la de un protón o un neutrón.

La carga del electrón e 1, 61019coulomby su masa es

31

9,11 10  Kg.

La carga del protón e 1, 61019coulomby su masa es 1, 6 10 27Kg. Ordinariamente el átomo de un elemento tiene igual número de protones que de electrones.

Los protones ejercen una fuerza de atracción sobre los electrones; pero los protones entre sí se repelen, ocurriendo este mismo fenómeno de repulsión entre los electrones. Estos fenómenos de atracción y repulsión se explican atribuyéndole una propiedad llamada electricidad o carga eléctrica a estas partículas; que por convención es positiva para los protones y negativa para los electrones.

Podemos concluir que un cuerpo electrizado positivamente tiene déficit de electrones y si esta electrizado negativamente tiene exceso de electrones y estado neutro tiene igual número de protones que de electrones.

La electrización puede darse por Frotamiento o por Inducción.

- Electrización por frotamiento

8

Fig. 1.1

La varilla de vidrio se carga eléctricamente positiva (protones) y el paño de seda se carga eléctricamente negativo (electrones), lo que a ocurrido entre los dos es una transferencia de cagas, la varilla de vidrio le cedió electrones a el paño de seda y esta a su vez le cedió protones a la varilla de vidrio. Si frotamos la varilla de teflón con el trozo de piel la transferencia de carga que ocurre entre ellos es que la varilla de teflón se carga eléctricamente positivo (protones).

- Electrización por Inducción.

9

Fig. 1.2

1.2 CONDUCTORES Y AISLADORES

Los conductores son materiales en los que las cargas eléctricas se mueven con bastante libertad, mientras que los aisladores son materiales que no transportan la carga con facilidad. Los materiales como el vidrio, el caucho y la lucita son aisladores. Cuando este tipo de material se carga por frotamiento, sólo el área que se frota se carga y no existe tendencia a la que carga se mueve hacia otras regiones del material.

Los materiales como el cobre, aluminio y plata son buenos conductores. Cuando este tipo de material se carga en alguna pequeña región, la carga se distribuye con facilidad sobre la superficie del conductor.

Existe una tercera clase de materiales los semiconductores y sus propiedades eléctricas se encuentran entre los correspondientes a los aisladores y conductores, un ejemplo de estos son el silicio y el germanio.

1.3 CONSERVACIÓN Y CUANTIZACIÓN DE LA CARGA.

- Conservación de la carga.

10

- Cuantización de la carga.

La carga se representa en múltiplos enteros de la carga del electrón y al hecho de que nunca se han observado cargas menores que la del electrón.

En general, las cargas ni se crean, ni se destruyen, ni se transforman, sino que sólo se desplazan y a lo sumo se fraccionan pero nunca más allá de un quantum de carga e, o sea un electrón.

1.4 LEY DE COULOMB.

Esta ley es única y exclusiva para dos cargas puntuales.

La fuerza sobre cada partícula actúa siempre a lo largo de recta que las une. Las cargas son magnitudes algebraicas que pueden ser positivas o negativas.

La fuerza puede ser de atracción si las cargas son de signos diferentes o de repulsión si son de signos iguales.

K es una constante de proporcionalidad, cuyo valor depende de las unidades en que se expresen F, q y r.

2 9 2 0 1 9 10 4 Nw m K C



 constante de permisividad del espacio vacío.

2 12

0 8, 85 10 2

C

Nw m



  

La Ley de Coulomb establece:

“La fuerza de atracción o repulsión entre dos carpas puntuales es directamente proporcional al producto de ellas e inversamente proporcional al cuadro de la distancia que las separa”. 2 0

1

'

4

q q

r







F

r

F = Es la fuerza que ejerce q sobre q’. k = Es el vector unitario de vector posición.

r = Es la magnitud del vector posición.

K = Constantemente de proporcionalidad.

11

La unidad de carga es el Coulomb. Decimos que cuando la fuerza entre dos cargas determinadas separadas por 1 mts es igual al valor numérico de K en Newtons, esas cargas son de 1C cada una.

Ejemplo:

Si un electrón se coloca en un punto (3,0,0) cm y un protón se coloca en el punto (0,2,0) cm, halle: a) La fuerza con la cual el electrón actúa sobre el protón, b) El módulo de la fuerza con la cual el protón actúa sobre el electrón.

Fig. 1.3

DATOS:

19 2

2

1, 6 10

3 3 10

2 2 10

e p C

x cm m

y cm m

             



 



2 2 2 3

3 10

2 10

1,3 10

ep

 

m

 

m





m

r

a) Aplicando la Ley de Coulomb.





, 1, 47 10 9, 74 10

q e p

r

e p Nw

            F r

F i j

b) Fe,p Fp e,  entonces:



 



, , 1, 47 10 9, 74 10

e p  p e       Nw

F F

25

, 1, 76 10

p e    Nw

F

1.5 FUERZAS EN LAS QUE INTERVIENEN CARGAS MULTIPLES.

12

1 2 3

2

1 4 0 1

t n

n n

i

t i i

i i i

F F F F F

q q

F F r

r



 

    

 







Pasos para resolver ejercicios de este tipo.

1.- Realizar un diagrama en un sistema de coordenadas indicando todas las fuerzas que interactúan.

2.- No olvidar que la fuerza eléctrica que actúan sobre una carga es una cantidad vectorial.

3.- Busque simetrías en la distribución de las cargas, que den lugar a la fuerza eléctrica.

Ejemplo:

Las cargas q, 2q, -4q y-2q ocupan las cuatro esquinas de un cuadro de 2L de lado, centrado en el origen de un sistema de coordenadas rectangulares. Calcular: a) ¿Cuál es la fuerza neta sobre la carga q, debida a las otras cargas?, b) ¿Cuál es el modulo de dicha fuerza? (ver Figura 1.4).

Fig. 1.4

1) Indicamos un sistema de coordenadas sobre la carga que se va a estudiar el efecto.

13





3 2

1 2 4 2

2, 2 4,2 2 3,2 2 1,2

0 1,2 3,2 4,2

2 2 2

2, 2 2 2

2 9 9 2, 2 2 9 2, 2

1

4

2

4

4

cos

sin

4

8

8

1.3185 10

7.695 10

7.807 10

Q Q

Q Q

Q Q

Nw

r

r

r

q

q

q

k

Nw

L

L

L

q

Nw

L

q

Nw

L













_





_

 

_



_







_



 



_















F

r

r

r

F

i

i

j

F

i -

j

F

1.6 FUERZAS EN LAS QUE INTERVIENEN DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE CARGAS.

Es cuando las partículas se componen de grandes cantidades de electrones o protones, por lo que dichas cargas están muy próximas unas de otras.

Puede ser buena aproximación manejar un gran conjunto de cargas puntuales como una distribución continua de carga eléctrica.

Para evaluar la fuerza eléctrica se realizan los siguientes pasos: (Figura 1.6)

Fig. 1.6

.- Se divide la distribución continua de carga en pequeños elementos de q.

14 2 0

1

'

4

q

q

r











F

r

.- Se evalúa la fuerza total sobre la carga de prueba, debido a la distribución continua de cargas, sumando las contribuciones de todos los elementos de carga.

2 1 0

'

4

q

q

r











F

r

Este valor de la fuerza es aproximado

.- Como la separación entre los elementos de la distribución de carga es pequeño comparado con la distribución a



0. i q   2 0 1 0

'

lim

4

q

q

r











F

r

'

4

q

db

r









F

r

En donde la integración es una operación vectorial.

Esta es la fuerza total ejercida por una distribución continua de cargas sobre una carga de prueba q’.

Al llevar a cabo cálculos de este tipo resulta conveniente utilizar el concepto de densidad de carga, definimos densidad de carga como la carga total de una distribución continua (Q) por unidad de volumen, de área o lineal.

- Densidad volumétrica de carga.

Si una carga Q está distribuida uniformemente en todo un volumen V, la carga por unidad de volumen, 





Q V

  en donde



m (1.4).

15

Si una carga Q está distribuida uniformemente sobre una superficie cuya área es A, la densidad lineal de carga,







,

Q A

  en donde



m (1.5).

- Densidad lineal de carga.

Si una Q está distribuida uniformemente a lo largo de una línea de longitud L, la densidad lineal de carga,







Q L

  en donde tiene las unidades de C

m (1.56).

Si la carga está distribuida de manera no uniforme sobre un volumen, superficie o línea, se tendría que expresar las densidades de carga como.

; ;

dQ dQ dQ

dV dA dL







Ejemplo:

Una varilla recta de longitud L tiene una carga positiva uniforme por unidad de longitud  y una carga total Q. Calcular la fuerza eléctrica que se ejerce sobre una carga de prueba q’ ubicada en un punto P a lo largo del eje de la barra, a una distancia d de uno de los extremos.

Solución:

Fig. 1.7

1.- Dividimos la distribución continua de carga en pequeños q

16 2 0

1

'

4

q

q

r











F

r

Como q

L



 despejando   q  L donde   L x

Sustituyendo en la ecuación en la ecuación

2 0 1 ' 4 q x x





3.- Se evalúa la fuerza eléctrica total









'

4

'

1

4

'

1

'

4

4

q

dx

x

q

i

x

q

L

q Q

d L

d

d l

d











































F

i

F

F

i

i

Ejemplo:

Calcular la fuerza que ejerce un anillo cargado uniformemente con una carga total Q, sobre una carga puntual q’, colocada en el eje.

El radio del anillo es R, y q’, está a una distancia L del centro del anillo. (ver Figura 1.8)

17 Solución:

.- Dividimos la solución continua de carga en pequeños q.

Si observamos los componentes de las fuerzas en el eje Z son de igual magnitud pero de sentido contrario por lo que se anulan, esto va a ocurrir para todas las fuerzas perpendiculares.

Entonces las fuerzas que van a ejercer sobre la carga de prueba son las que se realizan sobre el eje y.

.- Aplicando la Ley de Coulomb.









1

'

4

'

cos

4

'

4

q

q

y

r

r

q

q

y

R

L

q

qL

y

R

L







































F

F

F

.- Se evalúa la fuerza eléctrica total.

18

1.7 EJERCICIOS PROPUESTOS.

1) Dos pequeñas esferas están cargadas positivamente y la carga combinada es

5

5 10  C.¿Cómo esta distribuida la carga total entre las esferas, si la fuerza repulsiva entre ellas es de 1Nw cuando las esferas están separadas 2mts? 2) Dos cargas de 1 10 9C están en el aire separadas 8 cm.

Hallase el valor y dirección de la fuerza ejercida por estas cargas sobre una tercera de 5 10 11C distante 5cm de cada una de las dos primeras cargas. 3) Tres cargas puntuales están a lo largo del eje y. una carga 6

1 2 10

q    C están en y = 2m y una carga q₂   3 106C está en y = 1m ¿En donde debe colocarse una tercera carga positiva, q_3, de modo que la fuerza resultante sobre ella sea cero?.

4) Se supone que un protón está formado de dos quarks “arriba” de carga +(2/3) e y uno “abajo” de carga -(1/3)e. Suponga que los 15

10 .

x  m ¿Cuáles son las fuerzas electrostáticas entre cada par de los tres quarks?

5) En el punto













0,10 10  m .

6) Una carga de 3 10 6Cse coloca a 12 cm de una segunda carga de

6

1,5 10 C.

  Calcúlese la magnitud, dirección y sentido de la fuerza que obra sobre cada carga

7) Una cierta carga Q se divide en dos partes: q y Q-p. ¿Cuál es la relación de Q a q para que las dos partes colocadas a una cierta distancia de separación, tenga una repulsión Coulombiana máxima?

19

9) Dos partículas puntuales se colocan a una distancia de 8,75cm entre si y se les comunican carga igual. La primera partícula, de 31,3gr de masa, tiene

2

1,93m s de aceleración inicial hacia la segunda partícula. a) ¿Cuál es la masa de la segunda partícula, si su aceleración inicial hacia la primera es

2

5, 36m s ? Qué carga tiene cada partícula.

10) Cuatro cargas puntuales están situadas en los vértices de un cuadrado de lados a, como se ve en la Figura 1.9. Determine la fuerza resultante sobre la carga positiva q.

Fig. 1.9

11) Una carga Q se coloca en cada uno de los vértices opuestos de un cuadrado. Una carga q se coloca en cada uno de los otros vértices. Si la fuerza eléctrica resultante sobre Q es cero ¿Cómo están relacionados q y Q?.

12) Se colocan tres cargas positivas iguales, de magnitud 1, 2 10 6C en las esquina de un triangulo equilátero de 6cm de lado. ¿Cuál es la fuerza eléctrica neta sobre una carga de 6

2 10 C

  que se coloca en el punto medio de uno de los lados?

13) Un cubo de aristas a tiene una carga q en cada vértice. a) Demostrar que la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre cualquiera de estas cargas es F 0, 0252q2 ₀ a2 b) ¿Cuál es la fuerza resultante de F sobre una carga puntual Q colocada en el centro del Cubo?

20

sen. Utilizando esta aproximación, a) demostrar que x





Fig. 1.10

15) a) ¿Cuál es la magnitud de las cargas positivas iguales que deberían colocarse sobre la tierra y sobre la luna para neutralizar su atracción gravitacional? b) ¿Se tiene que conocer las distancias de la tierra a la luna para resolver este problema?

16) Una carga Q se distribuye uniformemente a lo largo de una varilla de longitud 2L, que va de y =-L, como se muestra en la figura (1.11). Se coloca una carga q’ en el eje x, en x =D. Si la varilla tiene una densidad de carga 20D L/ y

una carga total Q. Calcular la fuerza eléctrica que se ejerce sobre q’.

21

17) Calcule la fuerza que ejerce una lámina plana infinita con densidad superficial de carga  , sobre una carga q.

18) Se tiene una lámina vertical infinita que tiene una carga de 4 2

10 C m/ . Se cuelga una pelota de corcho de 5gr de masa, mediante un hilo de 60cm de longitud, a una distancia de 20cm de la lámina cargada. ¿Cuál es la orientación del hilo?. a) ¿Sí la carga de la pelota de corcho es q 5 109C? b) ¿Sí es

9

2, 4 10 C

  ?.

19) Una varilla larga y delgada, de longitud L, que contiene una distribución uniforme de carga Q, se aleja de una carga puntual q. La parte más cercana de la varilla está a una distancia d de la carga puntual. ¿Cuál es la fuerza eléctrica que ejerce la varilla sobre la carga q?

22

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FISICA II

TEMA II

CAMPO ELECTRICO

Realizado por: Prof. WLADIMIR S. MARCO HERRERA

23

TEMA II

CAMPO ELÉCTRICO

2.1 INTRODUCCIÓN:

Si colocamos una partícula de propiedades conocidas en un punto del espacio y medimos las fuerzas que se ejercen sobre ella, podemos determinar las propiedades locales del espacio en ese punto, es lo que se conoce como campo, se trata generalmente de magnitudes vectoriales.

2.2 CAMPO ELÉCTRICO

Se define como la fuerza eléctrica F que actúa sobre una carga de prueba positiva q’ colocada en un punto, dividida entre la magnitud de la carga de prueba q’.

'

Nw

q C

 F

E (2.1)

La dirección del vector Campo Eléctrico esta determinada por la Fuerza eléctrica que actúa sobre la carga que prueba q’.

2.3 CAMPO ELÉCTRICO DE UNA CARGA PUNTUAL.

Si tenemos una carga q que actúa sobre un punto p que contiene una carga de prueba q’, separadas por una distancia r. Recordemos la Ley de Coulomb

2 0

1 '

4

q q r

 



F r

Si sustituimos este valor en la ecuación de campo eléctrico obtenemos:

2 0

1 4

q r







E r (2.2)

Esta última ecuación obtenida es la que se utiliza para obtener el campo eléctrico generado por una carga puntual.

Ejemplo:

24 Fig. 2.1       2 0 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2

9 1 4

4 6

16 36 52

52 10

9 10 q

E r

r

r x y cm

r cm cm

r m Nw m E             

  2

C

6

2

310 C 2 5210 m

2

2

410 m 2 7210 m

2 6 10 m i





 ₂

7210 m

 





4

3 3

5,19 10 0, 055 0, 083

2, 88 10 4, 33 10

j

Nw

E i j

C

Nw

E i j

C



  

   

2.4 CAMPO ELÉCTRICO DEBIDO A CARGAS MULTIPLES

25

1 2 3

2

1 0 1

1 4

T n

n n

i

T T

i i i

E E E E E

q

E E ri

r



 

    

 







(2.3)

Ejemplo:

Tres cargas están en los vértices de un triangulo equilátero, como en la figura (2.2) Calcule la intensidad del campo eléctrico en la posición de la carga 8 10 6C, el modulo del campo eléctrico y su dirección.

Fig. 2.2

Solución:

a)

26



 







0 1 0 2

2 6 6

9

2 2

2 _{2 2}

2

9 5 2 5 2

2

4

2 6

9 2

2 2 2

0 2

1 1 1 2

4 4

5 10 3 10

9 10 60

50 10 50 10

9 10 2 10 / 1, 04 10 /

8, 65 10

1 3 10

cos 9 10

4 _{50 1}

x

y

Ex E E

g q

Ex i sen i

r r

Nwm C C

Ex sen i

C _{m m}

Nwm

Ex C m C m i

C

Nw

Ex i

C

q Nwm C

Ey E j

r C                    _{ }        _{ }                 









5, 4 10

8, 65 10 5, 4 10

T j m Nw Ey j C Nw

E i j

C

 

  

   

b) El modulo del campo eléctrico



 



9 9

4

8, 65 10 5, 4 10 /

7.48 10 2,92 10 /

10,19 10 /

T

T T

E Nw C

E Nw C

E Nw C

   

   

 

Fig. 2.4

c) La dirección es:

4 4

5, 4 10

0, 62 0, 62 8, 65 10

31,96 32

Ey

tg tg arctg

27

2.5 DIPOLO ELÉCTRICOS

Un dipolo eléctrico consta de dos cargas igual magnitud pero con signo contrario, separadas por una distancia L. (Figura 2.5)

Fig. 2.5

Ejemplo:

Si se tienen dos cargas iguales pero de signos contrarios, separadas por una distancia 2ª, en un configuración llamada dipolo eléctrico. ¿Cuál es el campo eléctrico E debido a estas dos cargas, en un punto P que se encuentra a una distancia x sobre la perpendicular al punto medio que une a las dos cargas? Suponga que x>>a. (Figura 2.6)

Fig. 2.7

Solución:

28



_{ }

_

1 2

1 2 2 2

0 1 2

1

2

2 2 2 _{2 2}

0 1 0

1 4 1 2 2 cos 4 4 x x q q

Ey E E sen sen j

r r

q q a

Ey j j

r a x _{a x}

           _  _       _{ }     _{ }   _







 _ como x>>a

 

Ey j k

x x



 



2.6 LINEAS DEL CAMPO ELÉCTRICO

El campo eléctrico debido a una distribución de carga se puede visualizar en términos de las líneas de campo eléctrico. Las líneas del campo eléctrico son continuas en el espacio y son una alternativa más adecuada a la representación visual.

Para una carga puntual positiva, las líneas son radiales hacia adentro, como lo indica la figura. (Figura 2.7)

Fig. 2.7

29

Fig. 2.9

Las líneas de campo eléctrico se trazan de tal modo que la tangente a la línea del campo, en cada punto, especifique la dirección del campo eléctrico en ese punto.

La densidad espacial de las líneas del campo eléctrico en determinado punto, es proporcional a la intensidad del campo eléctrico en ese punto.

Propiedades de las líneas de campo eléctrico

1.- En una región pequeña, las líneas del campo eléctrico son casi paralelas entre sí. En esta región podemos tomar un área pequeña que esté orientada perpendicular a las líneas casi paralelas del campo. La densidad de las líneas, es el número de líneas que cruzan esa área pequeña, dividió entre el valor del área.

2.- Las líneas pueden indicarse o terminar sólo en cargas y nunca en el espacio vacío. Si no se crean nuevas líneas de fuerza al retirarnos de una carga, será igual a N (número de líneas) dividido entre el área de la superficie perpendicular a las líneas. Esa superficie es una esfera de radio R y la densidad de las líneas es N/ 4R2. La densidad de las líneas es proporcional a la intensidad del campo eléctrico.

3.- Las líneas se originan en las cargas positivas y se prolongan hacia las cargas negativas. Las eléctricas son las fuentes de los campos eléctricos, que apuntan alejándose de las cargas negativas.

30

2.7 CAMPO ELÉCTRICO DEBIDO A UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE CARGA.

Con mucha frecuencia las cargas que interactuar entre sí están muy próximas, a este tipo de situaciones se le considera un sistema de carga continuo, es decir, que el sistema de cargas con espacios muy reducidos entre sí equivalen a una carga total Q que está continuamente distribuida en todo un volumen, superficie o línea.

Para evaluar en una distribución continua de carga en el Campo Eléctrico se realizan los siguientes pasos. (Figura 2.9)

Fig. 2.9

.- Se divide la distribución de carga en pequeños elementos q.

.- Se aplica la Ley de Coulomb para calcular el campo eléctrico debido a estos elementos en el punto P.

.-2 0

1 4

q

E r

r



  



.- Se evalúa el campo eléctrico total sobre el punto P, debido a la distribución de carga, sumando las contribuciones de todos los elementos de cargas.

2 1 0

1 4

n

i i

qi

E ri

r

 

 





Este valor de la fuerza es aproximado.

31

2 0

1 0

1

lim 4

n q

i i

qi

E ri

r

   _

 





2 0

1 4

dq

E r

r









Esta integración es una operación es vertical.

El resultado obtenido de esta integración es el campo eléctrico total ejercido por una distribución continua de carga sobre un punto P.

Debemos recordar lo establecido en el tema anterior en el punto 1.7 con respecto a la densidad de carga.

 Densidad Volumétrica de carga Q

 

V



 Densidad Superficial de carga Q





A

 

 Densidad Lineal de carga Q





L

 

Ejemplo:

Una barra de longitud L tiene una carga positiva uniforme por unidad de longitud  y una carga total Q. (Figura 2.10) ¿Calcular el campo eléctrico en el punto P que esta a una distancia d de un uno de los extremos de la barra?

Solución:

Fig. 2.10

1.- Dividimos la distribución continua de carga en pequeña q.

32 2 0 1 4 q E r r



Como q

L

 

 despejando   q  L donde   L x

Sustituyendo en la ecuación:

2 0 1 4 x E r r





3.- Se evalúa el campo eléctrico total.

2 0

0 0

4

1

1

1

1

4

4

dx

E

i

x

E

i

r

d

d

L



























_

_



_



_



_

_



_



_













d L d

E i

d L d

L

E i

d L d











Ejemplo:

33

Fig. 2.11

.- Dividimos la distribución en pequeños diferenciales de q.

.- Aplicamos la Ley de Coulomb.

2 0 1 4 q E r r     

El área de una porción de franja de longitud L es L dx y la carga sobre la franja es

dqLdy por lo que la carga d por unidad de longitud es

dq Ldy

d dy

L L







En virtud de que la franja crea en el punto P un campo eléctrico E, que esta en l plano y,z 0 2 4 dy E r r     

Este campo tiene componentes en y y z, pero como las componentes en y por simetría son iguales pero de sentido contrario la suma dará cero al considerar la lamina entera.

0 2 4 dy Ez r r     

.- Evaluado el campo eléctrico total

0 cos 2 dy E r



_





Como ₂

cos cos

a a

dy d







34 cos

a dy

r  

2

cos 

a

2

cos 

cos

d  d

Cambiando los límites de integración  2a 2



2 2

2 2

2

E d K K

E

 

 

   

 

 

  







0



 K E 2 ₀ K

   



2.8 EL MOVIMIENTO DE UNA PARTÍCULA CARGADA EN UN CAMPO ELÉCTRICO.

Si tenemos una partícula de carga q y la colocamos en un campo eléctrico E, entonces la furaza eléctrica es F = E. q Si esta es la única fuerza ejercida sobre la carga, entonces aplicamos de 2da Ley de Newton.

F = m . a ; F = E . q Igualando tenemos

ma = E . q despejando la aceleración a E q. m

 (2.8)

Si el campo eléctrico es uniforme la aceleración es constante. Si la carga es positiva, la aceleración será en la dirección del campo eléctrico; si es negativa, la aceleración será en dirección opuesta a la del campo electrónico.

Este movimiento cuando se realiza entre dos placas metálicas planas con cargas opuestas, pueden aplicarse las ecuaciones de la Cinemática Bidimensional.

Ejemplo:

Una carga puntual positiva q de masa m se libera desde el reposo en un campo eléctrico uniforme E, dirigido a lo largo del eje x, describiremos su movimiento.

35

Fig. 2.12





2

2

0

2

2

2 2

2

2 2

1 2

at Eq Eq

x Vot t V V at t

m m

qE

V Vo ax x

M

Ek mV Eqx

      

  

 

2.9 EJERCICIOS PROPUESTOS.

1) Una carga de  12 106C está en el punto x =0m y una segunda carga 0,5 10 9C, en el punto x =0,1m. ¿Cuál es la magnitud y la dirección del campo eléctrico a) en x =1m y b) x =0,11m?

2) Una carga eléctrica de 2,8 10 6C está ubicada en el origen. Determine el campo eléctrico a) sobre el eje x =2m y b) sobre el eje y en y =-3.

3) Un pequeño objeto, que tiene una carga de 9

5 10 C,

  experimenta una fuerza hacia debajo de 9

20 10  Nw cuando se coloca en cierto punto de un campo eléctrico a) ¿Cuál es el campo en dicho punto? b) Cuáles serian la magnitud y sentido de la fuerza que actuaría sobre un electrón colocado en tal punto?

4) Calcular la magnitud y la dirección del campo eléctrico en el punto P, de la siguiente figura. (Figura 2.15)

36

5) ¿Cuál es el vector de un campo eléctrico en el cual la fuerza sobre un electrón es igual a su peso?

6) Tres cargas iguales q están en los vértices de un triangulo equilátero de lado a, como se muestra en la (figura 2.16) a) ¿En qué punto (que no sea )?el campo eléctrico es cero? b) ¿Cuál es la magnitud y la dirección del campo eléctrico en el punto P?

Fig. 2.14

7) Una pequeña esfera, de masa 0,1gr, lleva una carga de 3 10 10C y esta sujeta en el extremo del hilo está atado a un gran conductor vertical plano, que tiene una densidad de carga de 25 10 6C m/ 2. Hállese el ángulo que forma el hilo con la vertical.

8) Una varilla delgada no conducta de longitud L, tiene una carga total q distribuida de modo uniforme en toda su longitud. Demostrar que el valor de E en un punto P sobre la perpendicular al punto medio de la varilla es:

Fig. 2.15

2 2

0

1

2 ₄

q E

y _{L y}





37

9) Una barra de 10cm de largo está cargada uniformemente y tiene una carga total de

6

5 10 C.

  Determine la magnitud y dirección del campo eléctrico a lo largo del eje de la barra, en el punto a 30cm de su centro.

10)Un disco cargado uniformemente de 8cm de radio tiene una densidad de carga de

4 2

6 10  C m/ . Calcule el campo eléctrico sobre el eje del disco a) 2cm, b) 20cm. 11)Dos placas grandes, planas y verticales son paralelas entre sí y están separadas por

una distancia d. Ambas tienen una distancia uniforme de carga, ,positiva. ¿Cuál es el campo eléctrico? a) en el espacio que las rodea y b) entre ellas?

12)Se tienen una varilla delgada, con carga uniforme, de 50cm de longitud y se dobla en semicírculo. La carga total sobre la varilla es 2 10 6C. ¿Cuáles son la magnitud y dirección de campo eléctrico en el centro del semicírculo?

13)Un disco delgado circular de radio a está cargado uniformemente, y su carga por unidad de área es 2 10 6C. Encontrar el campo eléctrico en el eje del disco a una distancia r del disco.

14)El campo eléctrico en el espacio comprendido entre dos laminas planas y paralelas, cargadas iguales y de signos opuestos, cada una de ellas de 100cm2 de superficie, es

4

1 10 N C/ . ¿Cuál es la carga de cada lámina? Deprecie los efectos de los bordes. 15)Se lanza un electrón de un campo eléctrico uniforme de 3

5 10 N C/ , dirigido verticalmente hacia arriba. La velocidad inicial del electrón es de 7

1 10 m s/ y forma un ángulo de 30º por encima de la horizontal. a) ¿Calcúlese la altura máxima inicial? b) ¿Qué distancia horizontal recorrerá el electrón antes de recobrar su altura inicial? 16)Un protón se acelera a partir del reposo, en un campo eléctrico uniforme de

2

5 10 N C/ . En cierto instante posterior, su velocidad es de 6

2,5 10 m s/ . a) ¿Determine la aceleración del protón en alcanzar esta velocidad? b) ¿Cuánto tarda el protón en alcanzar esta velocidad? c) ¿Qué distancia recorre en este tiempo? d) ¿Cuál es su energía cinética en ese instante?

17)Se proyecta un electrón formando un ángulo de 37º con la horizontalidad, con una velocidad inicial de 4,5 10 5m s/ , en una región de un campo eléctrico E200j N C.

Calcule: a) el tiempo que tarda el electrón en regresara su altura inicial. b) la altura máxima alcanzada por el electrón y c) su desplazamiento horizontal al alcanzar su altura máxima.

18)a) ¿Cuál es la aceleración de un electrón en un campo eléctrico uniforme de

6

38

19)En el espacio comprendido entre dos láminas planas y paralelas, cargadas con cargas iguales y opuestas, existe un campo eléctrico uniforme. Un electrón abandonado llega a la superficie de la lámina opuesta, situada a 2cm de distancia de la primera, al cabo de 1,5 10 8seg. Hállese: a) El campo eléctrico. b) La velocidad del electrón cuando llega a la segunda lámina.

20)Un electrón entra a la región de un campo eléctrico uniforme, velocidad inicial

6

39

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA

EDUCACIÓN SUPERIOR

INSTITUTO UNIVERSITARIO EXPERIMENTAL DE TECNOLOGIA DE LA VICTORIA

LA VICTORIA- ESTADO ARAGUA

Comisión Académica del Programa Nacional de Formación de Electricidad.

FISICA II

TEMA III

LEY DE GAUSS

Realizado por: Prof. WLADIMIR S. MARCO HERRERA

40

TEMA III

LEY DE GAUSS

3.1INTRODUCCIÓN

Esta ley facilita en muchos casos el cálculo de los campos eléctricos, cuando hay simetría en la distribución de la carga. Su utilidad esta en la habilidad que se tenga para encontrar una superficie gaussiana adecuada en la cual se conozca el comportamiento del campo eléctrico.

En el tema anterior vimos como a través de la Ley de Coulomb se calculaba el campo eléctrico partiendo de la distribución de cargas. Esta Ley de Coulomb puede expresarse a través de la Ley de Gauss. Donde los cálculos no son tan laboriosos.

3.2 FLUJO ELÉCTRICO

Es una propiedad de todos los campos vectoriales. Flujo electrónico es una medida de número de líneas del campo eléctrico que atraviesan cierta superficie. El número neto de líneas que pasan a través de tal superficie es proporcional a la carga neta que está en el interior de ella.

Fig. 3.1

Tomemos una plano de área A, orientando perpendicularmente al flujo Figura 3.1. Recordando que el número de líneas por unidad de área es proporcional a la magnitud del campo eléctrico, entonces el número de líneas que atraviesan la superficie de área A es proporcional al producto de EA, o sea es flujo eléctrico 

EA

  (3.1)

41

Fig. 3.2

Si tomamos ese mismo plano de área A y lo inclinamos en ese mismo campo eléctrico formando un ángulo  con la vertical Figura 3.2. El número de líneas que pasan a través de ella debe ser menor. Como el número de líneas que atraviesan la superficie A, es igual al que atraviesan las superficie A’, entonces el flujo deseado es:

'

EA

 

Como la relación entre las dos áreas es AAcos cos

EA 

  (3.2) Con esto podemos concluir:

.- El flujo máximo cuando la superficie es perpendicular al campo eléctrico. .- El flujo es cero cuando la superficie es paralela al campo.

Fig. 3.3

Claro que esta definición es para un pequeño diferencial de área. Consideremos ahora una superficie general dividida en un gran número de elementos de área A (Fig. 3.3) Si tomamos un pequeño elemento de área como lo indicamos en el dibujo y calculamos el flujo eléctrico a través de él.

cos .

i Ei Ai  Ei Ai

42

Producto escalar de dos vectores

Si usamos todas las contribuciones de los elementos de área obtenemos el flujo total que pasa por la superficie.

1

.

n

i

Ei Ai



 



Si el área de cada uno de los elementos se hace tender a cero, entonces el número de elemento tiende al infinito y la suma se sustituye por una integral.

0

1 sup

lim . .

n A

i erficie

Ei i E dA

  _

 



_

Por lo general se trata de evaluar el flujo que pasa por una superficie cerrada, por lo que la ecuación se puede escribir como

.

c E dA

 

_

Podemos decir que si una superficie cerrada tienen más límites salientes que entrantes, el flujo es positivo y si entran más líneas que las que salen, el flujo es negativo.

Ejemplo:

Se aplica un campo eléctrico de 5 10 4Nw C/ , a lo largo del eje x de anchura y 0,8 m de largo, si a) éste es paralelo al plano y z, b) es paralelo al plano y c) contiene al eje y, y su normal, forma un ángulo de 53º con el eje x.

Solución: a)

Fig. 3.4

43 El ángulo entre E y A es cero grado. Cos 0 = 1

.

E dA E A

 



El área es b . h

2

4 3 .

. . 5 10 / .0.8 .0, 2 8 10 Nw m

E b h Nw C m m

C

     

b)

Fig. 3.5

El flujo es:  





El ángulo entre E y A es de 90º, cos 90=0 por lo que el flujo es cero   0 c)

Fig. 3.6

44 el ángulo entre E y A es de 53º, cos 53º = 0,60

cos . cos 53º

E  dA E A

 



2

4 3 .

5 10 Nw C/ .0,8 .0, 2 .0, 60m m 4,81 10 Nw m

C

    

3.3 LEY DE GAUSS

Para usar la Ley de Gauss necesitamos determinar el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada. Esas superficies, que por lo general serán imaginarias, pueden que tenga simetría. A estas superficies las llamamos superficies gaussianas.

La Ley de Gauss expresa el flujo en términos de la carga encerrada. Si no hay carga dentro de una superficie cerrada, el flujo eléctrico a través de la superficie es cero.

Fig. 3.7

Consideramos una carga puntual positiva Figura 3.7, escogeremos una esfera como superficie gaussiana, de radio R, ubicando la carga en el centro de la esfera. Sabemos que el campo eléctrico por ley de coulomb es:

2 0

1 4

q

E r

r







Como podemos observar las líneas del campo eléctrico son reales en toda la superficie y hacia fuera, por lo que son perpendiculares a la superficie en cada punto. O sea que el campo eléctrico en cada punto que tomemos es paralelo al pequeño A, entonces:

. .

E A E A

45

Por lo que: ₂

0

1 .

4

q

d E dA dA

r



E dA dA

r





 2

0 1 4 q dA A R



Como el área de una esfera es 2

4R sustituyendo

2 2 0 0 1 4 4 q q R R       

  (3.4)

Este resultado nos indica que el flujo eléctrico que emana de una carga puntual es independiente del radio de la esfera gaussiana.

0 . q E dA    



Podemos decir que el flujo neto a través de cualquier superficie cerrada es independiente de la forma de esa superficie. De hacho, el flujo neto a través de cualquier superficie cerrada que rodee a una carga puntual q es q/o

Pasos para utilizar la Ley de Gauss en la solución de un Problema:

.- Hacer un esquema de la distribución de carga, que ayudará a ubicar la simetría adecuada.

.- Identificar la simetría espacial de la distribución de carga y de campo eléctrico que produce.

.- Escoger la superficie gaussiana que sea adecuada a simetría identificada. .- Aplicar la ecuación de flujo eléctrico para una superficie gaussiana.

Ejemplo:

El flujo eléctrico neto que pasa por una superficie cerrada dada es 2 2

4 10 Nwm / .c

 

¿Qué carga está contenida dentro de la superficie, si ésta es a) una esfera de 3cm de lado b) un cubo de lado 3cm y c) un cilindro circular recto de 3cm de altura y 1cm de radio.

46

2

. 0

4 10

0

q

q

Nwm

 

      



2

2 2

/ .8,85 10

C

C

Nwm





9

3,54 10

C

  



3.4 APLICACIÓN DE LA LEY DE GAUSS.

Presentamos algunos ejemplos de cómo utilizar la Ley de Gauss.

Debemos recordar que la Ley de Gauss sólo es útil cuando existe un alto grado de simetría en la distribución de carga y siempre debe elegirse la superficie gaussiana de modo que tenga la misma simetría que la correspondiente a la distribución de carga.

Ejemplos:

1.- Determine el campo eléctrico debido a una varilla infinitamente larga, recta, y cargada con densidad lineal de carga positiva , constante, como se observa en la Figura 3.8.

Fig. 3.8

Solución:

47

Fig. 3.9

La superficie gaussiana que tiene simetría con la varilla es un cilindro, el cual lo indicamos centrado en la varilla, con un radio r y una altura h, como se observa en la Figura 3.10.

Fig. 3.10

Calculamos el flujo a través del cilindro, indicando las direcciones de las áreas, dA para las diversa superficies del cilindro.

1 2 3

1 2 3

. . .

E dA E dA E dA

 







El campo eléctrico es paralelo a esa superficie por lo que E es perpendicular adA1; cos 90 0

0

 

1 1 1

1

. cos ;

E dA 

48

el campo eléctrico es perpendicular a la superficie por lo que E es paralelo a dA₂; cos 0º1

el campo eléctrico es paralelo a la superficie, por lo que E es perpendicular a dA₃; cos 90 0

entonces el flujo es :   E dA₂  E A. ₂ el área lateral de un cilindro recto de altura h es 2rh

.2

E



 

Aplicando la Ley Gauss:

0

.

q

  

Igualando las ecuaciones obtenemos:

0 0

.2

2

q q

E rh E

rh





  

 

como la densidad de carga q ;q L L





Sustituyendo 0 0 2 2 h E E rh r         

2.- Determine el campo eléctrico fuera y dentro de un cascarón esférico de radio R que tiene una carga total Q positiva distribuida uniformemente sobre una superficie externa.

a) CAMPO ELÉCTRICO FUERA Figura 3.11

Fig. 3.11

2 2 2

2

. cos ;

E dA 

 





3 E dA. 3cos3;

 

_

3 0

49

Solución: Por simetría el campo eléctrico es radial hacia fuera y r > R, aplicando la ecuación de flujo.

. cos , 0 cos 1

E dA E dA   

 

_

_

. ;

E dA E A

 

_



2

4 ;

E



  aplicando la Ley de Gauss

0

q

  

2 0

4

q E

r







b) CAMPO ELÉCTRICO DENTRO Figura 3.12

Fig. 3.12

Solución: Dentro del cascarón el radio de este es mayor al de la superficie gaussiana R > r, para este caso la superficie gaussiana no encierra carga alguna, por lo que el campo eléctrico dentro del cascarón esférico es cero (Q = 0).

2 0

0 4

q

E E

r



  



50

Fig. 3.13

Para resolver este ejercicio debemos ubicar la superficie gaussiana simétrica, en este caso podemos utilizar un cilindro igual que el primer ejemplo. Figura 3.14

Fig. 3.14

1 2 3

1 2 3

EdA EdA EdA

 







el campo eléctrico es perpendicular a la superficie, por lo que E es paralelo a dA; cos 0º = 1

1 1

1

;

EdA

 



1 E dA1

51

el campo eléctrico es paralelo a la superficie, por lo que E es perpendicular a dA, cos 90º = 0

el campo eléctrico es perpendicular a la superficie, por lo que E es paralelo a dA, cos 0º = 1

paralelo a dA, cos 0º = 1

entonces el flujo es:

1 2 2 2 .

E dA E dA E dA E A

 







recordando que Q Q A A

    sustituyendo en la ley de gauss.

0 0

Q



  

 

igualando las dos ecuaciones:

0 0

2EA





 

3.5 CONDUCTORES Y CAMPO ELÉCTRICOS.

Los conductores tienen gran número de electrones libres. Cualquier campo eléctrico que se desarrolle dentro de un conductor, por efecto de un campo eléctrico externo, hará que los electrones se muevan y en menos de un microsegundo, se reacomodan en una configuración que anula el campo eléctrico dentro del conductor. Los conductores no tienen campo eléctrico estático interno.

El movimiento de cargas en respuesta a campos eléctricos aplicados se llama inducción.

Como podemos observar Figura 3.14 el campo inicial, no tiene su forma original al que se genera a través de las cargas inducidas.

2 2

2

;

EdA

 



2 0  

3 3

3

;

EdA

 



3 3

3

E dA

52

Veamos que sucede cuando a un conductor se le colocan cargas en ellos o cerca de ellos o cuando se colocan en campos eléctricos externos con la Ley de Gauss.

a) Cuando colocan cargas en los conductores (exceso de carga).

Vemos que dentro de la superficie Gaussiana Figura 3.15 no hay campo, no hay flujo y no hay carga neta, todo el exceso de carga está en la superficie externa de un conductor se mueve al exterior E = 0.

Fig. 3.15

Lo mismo ocurre cuando hay burbujas no conductoras, todo el exceso de carga colocada en el conductor se mueve al exterior E=0. Figura 3.16.

Fig. 3.16

53

Fig. 3.17

b) Campos eléctricos cerca de conductores.

1) El campo eléctrico inmediatamente fuera de un conductor, debe ser perpendicular a la superficie del conductor.

2) Empleando la Ley de Gauss, podemos calcular el valor de ese campo eléctrico perpendicular cerca de la superficie, en términos de la densidad de carga en ella.

Ejemplo:

Conductor con una superficie gaussiana pequeña perpendicular a la superficie del conductor o cuya tapa es paralela a la superficie. Figura 3.18.

Fig. 3.18

La densidad 





54

0

; .

Q

E dA EA

    



Como sabemos la carga total de q encerrada en la superficie gaussiana es A de modo que: igualando las ecuaciones

0

.

Q

E A

 

y sustituyendo el valor de la carga total

0

.

A

E A





nos queda

0

E 



 el campo eléctrico inmediatamente fuera de la superficie es

proporciaonal a la densidad local de carga.

En resumen:

1) El campo eléctrico dentro de un conductor es cero.

2) El campo eléctrico inmediatamente fuera de un conductor es perpendicular a la superficie de éste, y tiene el valor  o, siendo  la densidad superficial de carga local.

3) Un conductor en equilibrio eléctrico, --- uno que contenga burbujas no conductoras, sólo puede tener carga n su superficie exterior, siempre que las burbujas no contengan carga neta.

Ejemplo:

Dos cascarones concéntricos, conductores perfectos (Figura 3.19), tienen radios R y 2R, respectivamente. Se coloca una carga q en la esfera interna, y de -2q en la externa. ¿Cuáles son los campos eléctricos en todo el espacio, debido a los dos cascarones?