Bloque 1 Conceptos fundamentales de los circuitos eléctricos

Bloque 1

Conceptos fundamentales de

los circuitos eléctricos

Introducción

• Electromagnetismo: Estudia los campos eléctricos y magnéticos y su interacción

• Teoría de circuitos: Estudia las relaciones entre corrientes y tensiones de un circuito

Basadas en las mismas

Circuito eléctrico

• Conjunto de elementos combinados de modo que se pueda producir una corriente eléctrica

• Elementos activos: suministran energía eléctrica • Elementos pasivos: consumen energía eléctrica

CIRCUITO ELÉCTRICO Excitación

(constante/variable)

Magnitudes básicas

• Carga eléctrica

• Corriente eléctrica

Carga eléctrica

• Es la base para describir los fenómenos eléctricos

• Propiedad de la materia presente en todos los cuerpos • Es de naturaleza bipolar (+ ó -)

• El trasvase de carga entre unos cuerpos y otros es el origen de cualquier fenómeno eléctrico.

• Unidad SI: [C] q_e=-1,6. 10-19_C

• El signo de las cargas es arbitrario, pero de él depende la interacción entre ellas.

+ +

- - _{- +}

-Corriente eléctrica

• Se produce por el desplazamiento de las cargas en un material

• Unidad SI [A]

i

Variación de carga por unidad de tiempo en la sección transversal de un conductor

dt

dq

Corriente eléctrica

CONVENIO DE SIGNO

Se considera que la corriente eléctrica es un movimiento de cargas positivas

Es equivalente suponer un desplazamiento de electrones en un sentido

+ ₊ +

Que suponer un

desplazamiento de una cantidad de carga + equivalente en sentido opuesto

Tensión o diferencia de

potencial

• Trabajo que se debe suministrar para mover una carga entre dos puntos de un circuito

dq

dw

u

=

]

[

]

[

]

C

J

V

=

A

B

u_A= potencial eléctrico en A

u_B= potencial eléctrico en B

u_AB= u_A- u_B = difencia de potencial entre A y B

u_AB>0 A está a mayor potencial que B (al pasar de A a B las cargas pierden energía)

u_AB<0 A está a menor potencial que B (al pasar de A a B las cargas ganan energía)

[

Tensión o diferencia de

potencial

SIMIL GRAVITATORIO

Ep=mgh

m _{... A}

• Al pasar de A a B la masa pierde energía potencial

• Al pasar de B a A la masa gana energía potencial

Tensión o diferencia de

potencial

NOTACIÓN

• Punto de mayor potencial se denota +

• Punto de menor potencial se denota

-A

B +

-A

B

o bien

u_AB>0 _u

Potencia eléctrica

• Trabajo realizado por unidad de tiempo

• Unidades SI: [W]=[J]/[s]

)

(

)

(

)

(

)

(

u

t

i

t

dt

dq

t

u

dt

dw

t

p

=

=

=

Potencia eléctrica

CONVENIO DE SIGNO

Dipolo absorbe potencia p>0 (ej. resistencia) Dipolo cede potencia p<0 (ej. generador) +

-A

B dipolo

COHERENCIA DE LOS CRITERIOS DE SIGNOS DE U, I Y P (p=ui)

+

-A

B dipolo i>0

u_AB>0, i>0 =>p>0

Las cargas pierden energía el dipolo la

consume

+

-A

B dipolo

i>0

u_BA<0 I>0

Resumen convenio de signos

• Corriente:

– i>0 en el sentido del movimiento de las cargas +

• Tensión:

– u_AB >0 A a mayor potencial que B – u_AB <0 A a menor potencial que B

• Potencia

– p>0 dipolo absorbe potencia – p<0 dipolo cede potencia

A

B i>0

u_AB>0 A

B i<0

Lemas de Kirchhoff

Definiciones topológicas

• Rama: Elemento que presenta dos terminales • Nudo: Punto de confluencia de varias ramas

1

er

_{lema de Kirchhoff}

La suma algebraica de las corrientes entrantes a un nudo es nula en todo instante

Σ i(t) = 0

(Ley de conservación de la carga)

Ejemplo

i₁

0

5 4 3 2

1 +i −i +i −i =

i

i₂

i₃

Se consideran las corrientes entrantes + y las corrientes

salientes -i₅

2º lema de Kirchhoff

La suma algebraica de las tensiones a lo largo de

cualquier línea cerrada en un circuito es nula en todo instante.

Σ u(t) = 0

(Ley de conservación de la energía)

Ejemplo

0 5

4 3

2

1 − u − u + u − u =

u u₁

u₂ u₄

u₅

q +

+ +

+

+

--- Se consideran las _{caídas de tensión + y} las elevaciones

Elementos pasivos

Consumen o almacenan energía eléctrica

R

– Resistencias: disipan energía en forma de calor

– Bobinas: almacenan y liberan energía en forma de campo magnético

– Condensadores: almacenan y liberan energía en forma de campo eléctrico

L

Elementos pasivos

• En general consideraremos:

– Elementos ideales

– Parámetros concentrados (=el efecto que se produce al conectar una fuente se propaga instantáneamente)

Resistencia

• Elemento del circuito en el que se disipa potencia en forma de calor

En general consideraremos resistencias ideales

Resistencia real _{Resistencia ideal}

R L _R

se desprecia el efecto inductivo

Resistividad

Material Resistividad a 23°C

en ohmios - metro

Plata 1.59 × 10-8 Cobre 1.72 × 10-8 Oro 2.20 × 10-8 Aluminio 2.65 × 10-8 Tungsteno 5.6 × 10-8 Hierro 9.71 × 10-8 Acero 7.2 × 10-7 Platino 1.1 × 10-7 Plomo 2.2 × 10-7 Nicromio 1.50 × 10-6 Carbón 3.5 × 10-5 Germanio 4.6 × 10-1 Silicio 6.40 × 102 Piel

humana

5.0 × 105 _{aproximadamente} Vidrio 1010_{to 10}14

Hule 1013 _{aproximadamente} Sulfuro 1015

• La resistencia que opone un conductor al paso de corriente depende de su conductividad y de su geometría

ρ= resistividad

L=longitud del conductor S= sección del conductor

S l S

l

R ρ

σ =

=

σ

ρ = 1 σ= conductividad

Resistencia

• La resistencia depende de la temperatura

(

)

[

]

1

2 = R 1+ α θ −θ

Resistencia desde el punto de

vista del circuito

R

+ _u

-i En la resistencia se produce una caída de _{tensión. Las cargas pierden energía que se}

disipa en forma de calor

Ri

u

=

•Característica u/i de una resistencia

i

u R

G = 1

conductancia

] [

] [ ] [

A V = Ω

•Unidades en el SI:

] [

] 1 [ ]

[

Potencia y energía

• Potencia disipada

R

+ _u

-i 0 ) ( ) ( ) ( 2 2 = ≥

⋅ = ⋅ = R u i R t i t u t p

En una R la potencia se disipa en forma de calor

•Energía disipada

0

)

(

)

(

)

(

2

=

≥

=

∫

∫

t t t

d

R

u

d

Ri

t

Asociación de resistencias en

serie

• Se dice que dos o más elementos están en serie si por ellos circula la misma intensidad

i

u u

+

-. -. -. -.

R₁ R₂ R_N +

-R_eq +

-+ _u1 + _u2 - i _uN

i

eq n

n

n iR iR iR i R R R iR

u u

u

u = ₁ + ₂ +...+ = ₁ + ₂ +...+ = ( ₁ + ₂ +...+ ) =

n eq R R R

Divisor de tensión

• La tensión que cae en cada resistencia es una porción de la tensión total

i

R₁ R₂ R_N

. . . .

u₁ u₂ u_N

u

u R

R R

R R

u R

i R u

eq k N

k k

k = = _{+ + +} =

...

Asociación de resistencias en

paralelo

• Se dice que dos o más elementos están en paralelo si están sometidos a la misma tensión

u + -u R u R R R i i i i eq n

N 

      =       + ⋅⋅ ⋅⋅ + + = + + +

= ... 1 1 1 1

2 1

2 1 R₁ R₂ . . . R_N u

i_{1 i} i₊

2 iN

n

eq R R R

R 1 .. 1 1 1 2 1 + + = N

eq G G G

G = ₁ + ₂ +...+

u G i = _eq

-Divisor de corriente

• Un divisor de corriente es una asociación de

resistencias en paralelo. La corriente que atraviesa cada resistencia es una porción de la corriente total

i G G i R R i eq k eq k

k = =

1 1 1 1 uG i = i G G G G i n + + + = .... 2 1 1 1 n G G G i u + + + = .... 2 1

• Caso particular de dos resistencias en paralelo

i₂ i R R R i 2 1 1 2 + = i R R R i 2 1 2

1 = +

R₁ R₂

i

Equivalencia estrella triángulo

• Para que las dos configuraciones sean equivalentes, deben proporcionar la misma respuesta ante la misma excitación= debe presentar la misma resistencia vista desde cada par de terminales

R_1Y

R2Y R

3Y

3

1

2

R3∆

R_1∆

R

2_∆

3

1

Resistencia entre cada par de

terminales

• Resistencia entre 1 y 2:

(

)

1 2 3 1 2

1 2 3

( )

Y Y

R R R

R R R R R

R R R

∆ ∆ ∆

∆ ∆ ∆

∆ ∆ ∆

+

+ = + =

+ + R1Y

R2Y R 3Y 2 3 1

= R1Y

R_2Y 2

1

(

)

2 3 1 2 3

1 2 3

( )

Y Y

R R R

R R R R R

R R R

∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ + + = + = + +

• Resistencia entre 2 y 3:

(2) (1)

1 R3∆

R_1∆

R

2_∆ =

1

2 3

(

)

3 1 2 1 3

1 2 3

( )

Y Y

R R R

R R R R R

R R R

∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ + + = + = + +

• Resistencia entre 3 y 1:

Transformación triángulo estrella

• Conocemos R_1∆, R_2∆ y R_3∆ del una configuración en triángulo y queremos calcular R_1Y, R_2Y y R_3Y de la estrella equivalente

(1)+(3)-(2)

3 1 2 2 3 1 3 2

1

1 2 3 1 2 3

( ) ( ) ( ) 2

2R_Y R R R R R R R RA B RC R R

R R R R R R

∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ + + + − + = = + + + + 3 1 2

1 2 3

Y

R R R

R R R

∆ ∆ ∆ ∆ ∆ = + + 3 2 1

1 2 3

Y

R R R

R R R

∆ ∆ ∆ ∆ ∆ = + + 1 2 3

1 2 3

Y

R R R

R R R

∆ ∆

∆ ∆ ∆

=

+ +

Transformación estrella triángulo

• Conocemos R_1Y, R_2Y y R_3Y del una configuración en estrella y queremos calcular R_1∆, R_2∆ y R_3∆ del triángulo equivalente

Dividiendo 2 a 2 las relaciones anteriores (4), (5), (6)

2 1 1 2 Y Y R R R R ∆ ∆

= 3 1

1 3 Y Y R R R R ∆ ∆

= 3 2

2 3 Y Y R R R R ∆ ∆

= Sustituyendo en (6) y _{operando se llega a}

1 2 2 3 3 1

1

1

Y Y Y Y Y Y

Y

R R R R R R

R

R

∆

+ +

= 1 2 2 3 3 1

2

2

Y Y Y Y Y Y

Y

R R R R R R

R

R

∆

+ +

=

1 2 2 3 3 1

3

3

Y Y Y Y Y Y

Y

R R R R R R

R

R

∆

+ +

Resumen

1 2 3

Re _ _

iY

sistencias conectadas nudoi R

R _∆ R _∆ R _∆

∆ =

+ +

∏

∑

Pr _ _

i

iY

oductos binarios resistenciasY R

R

Condensadores

Un condensador es un elemento pasivo capaz de almacenar energía eléctrica

q

-+ -+ -+ -+ -+ -+ -+ -+

u

+

i

-• Dos placas metálicas separadas una distancia d y con un dieléctrico entre ellas que impide un flujo de carga

• Al aplicar una ddp entre ambas placas aparece un trasvase de carga entre ellas

• Se establece un campo eléctrico en el que se almacena la energía suministrada por la fuente

- q E

-Capacidad

• La carga desplazada es proporcional a la tensión aplicada

C = Capacidad SI: [F]=Faradios

Cu

q

=

• La capacidad de un condensador depende de su geometría

d

A

C

=

ε

ε

m pF

85 , 8

0 =

ε

Condensadores

R

C

• Los condensadores reales suelen

presentar pérdidas

• Consideraremos condensadores

Relación u/i

i( ) =

C i

+ u

-• Si u=cte i=0 => En corriente continua un condensador se comporta como un circuito abierto

dt t i C dt dt du t t t

t

∫

∫

= 0 0 ) ( 1 dt t i C t u t u t t

∫

Potencia y energía

dt du uC t

i t u t

p( ) = ( ) ( ) = La potencia puede ser > ó < que 0 => _{el condensador absorbe o cede}

potencia

•Energía almacenada entre 0 y t

0 2

1 )

(

0

2

0

≥ =

=

=

∫

∫

t t

Cu dt

dt du Cu dt

t p

W (Suponiendo que u(0)=0)

Asociación de capacidades en

paralelo

. . . u

i_{1 i}

2 in

i

C₁ C₂ C_n

+

-n

i i

i

i = ₁ + ₂ +....+

dt du C

i_k = _k

(

)

dt du C

dt du C

C C

dt du C

dt du C

dt du C

i = ₁ + ₂ +....+ _n = ₁ + ₂ +...+ _n = _eq

n

eq C C C

Asociación de capacidades en

serie

u₁ u₂ u_n

C₁ C₂ C_n

u

i

+ - + - + -

-+ u = u1 +u2 +....+un

i C dt

du

k k = 1

i C i C C C i C i C i C dt du dt du dt du dt du eq n n n =       + + + = = + + + = + + + = 1 ... 1 1 1 ... 1 1 .... 2 1 2 1 2 1 n

eq C C C

Bobinas

Una bobina es un dispositivo capaz de almacenar energía magnética

Φ

i

• Al circular corriente por la bobina aparece un flujo magnético

• Φ depende de la corriente

Li NΦ =

L=Coeficiente de autoinducción de la bobina (o inductancia propia)

SI:[H]=Henrios

fe fe

l S N N

L µ

2 2

= =

Relación u/i

• Si i que recorre la bobina es variable en el tiempo =>

Φ es variable => Se induce una f.e.m. que se opone al flujo (Faraday Lenz)

dt di L dt d N e

u = − = Φ =

dt di L dt

d

N Φ =

i +

-u

Si i=cte u=0 => En corriente continua una bobina se

comporta como un cortocircuito dt t u L dt dt di t t t

t

∫

∫

= 0 0 ) ( 1 dt t u L t i t i t t

∫

Bobinas

Una bobina es un dispositivo capaz de almacenar energía magnética

Φ

i

• Al circular corriente por la bobina aparece un flujo magnético

• Φ depende de la corriente

Li NΦ =

L=Coeficiente de autoinducción de la bobina (o inductancia propia)

SI:[H]=Henrios

fe fe

l S N N

L µ

2 2

= =

Relación u/i

• Si i que recorre la bobina es variable en el tiempo =>

Φ es variable => Se induce una f.e.m. que se opone al flujo (Faraday Lenz)

dt di L dt d N e

u = − = Φ =

dt di L dt

d

N Φ =

Si i=cte u=0 => En corriente continua una bobina se

comporta como un cortocircuito i + -u dt t u L dt dt di t t t

t

∫

∫

= 0 0 ) ( 1 dt t u L t i t i t t

∫

Potencia y energía

dt di Li t

i t u t

p( ) = ( ) ( ) = La potencia puede ser > ó < que 0 => _{la bobina absorbe o cede potencia}

•Energía almacenada entre 0 y t

0 2

1 )

(

0

2

0

≥ =

=

=

∫

∫

dt di Li dt

t p

W (Suponiendo que i(0)=0)

La energía almacenada es siempre mayor o igual que cero. Si la

Asociación de bobinas en

serie y en paralelo

∑

=

= +

+ +

= N

k k N

eq L L L L

L

1 2

1 ...

u₁ u₂ u_N

u

. . . . i

N eq L L L

L

1 ...

1 1

1

2 1

+ + +

=

u

Bobinas acopladas

• Un par de bobinas están acopladas entre sí, cuando las tensiones en cada una de ellas dependen no sólo de la corriente que circula por cada bobina sino también de las corrientes que circulan por las demás bobinas acopladas a ellas.

dt di M dt

di L

u₁ = ₁ 1 + 2

dt di M dt

di L

u₂ = ₂ 2 + 1

M=coeficiente de inducción mutua

Terminales correspondientes

• Se dice que dos terminales de dos bobinas son

correspondientes entre sí si una corriente que entre por uno de los terminales en la bobina 1 induce en la bobina 2 una tensión del mismo sentido que la que induciría una corriente que

entrase por el terminal correspondiente de dicha bobina 2.

dt t di M dt

t di L t

u₁( ) = ₁ 1( ) + 2( )

dt t di L dt

t di M t

Ejemplo: 3 bobinas acopladas

u ( ) ( ) ( ) 3( )

13 2

12 1

1

1 = + +

dt t di L dt t di M dt t di M t

u₃( ) = ₁₃ 1( ) − ₂₃ 2( ) + ₃ 3( )

dt t di M dt t di L dt t di M t

u ( ) ( ) ( ) 3( ) 23

2 2 1

12

Potencia y energía

1 2 1 2

1 1 2 2 1 1 12 1 2 2 2

( ) ( ) ( ) ( )

( ) di t di t di t di t

p t u i u i L i M i i L i

dt dt dt dt

 

= + = + _ + _ +

 

0 2

1 2

1 )

Resumen elementos pasivos

• Resistencia

) ( )

(t Gu t i =

) ( )

(t Ri t u = • Bobina dt t di L t

u( ) = ( ) _{u t dt}

L t i i t t

∫

i( ) = ( )

Elementos activos

• Son los encargados de suministrar energía eléctrica al circuito (fuentes o generadores)

• Fuentes de tensión

• Fuentes de corriente

•Ideales

•Reales

•Independientes •Dependientes

•Independientes •Dependientes

•Ideales

•Reales

•Independientes •Dependientes

Fuentes de tensión ideales

• Dispositivo que proporciona energía eléctrica con una determinada tensión que es independiente de la

corriente que pasa por él

+

u_g

i

• El signo + se pone en el punto a mayor potencial

•Si se conecta una carga al

generador de tensión ideal, éste suministrará corriente al circuito.

+

u_g

i

o bien

i

Potencia entregada por una

fuente de tensión ideal

La potencia eléctrica suministrada por el generador

de tensión será

G u R

u i u

p_{g g} g _g2

2

= =

=

+

u_g i

R

La potencia

entregada a una R=0 (cortocircuito) es

infinita !!

P

Fuente de corriente ideal

• Dispositivo que proporciona energía con una

determinada corriente que es independiente de la tensión en bornes

• La flecha indica el sentido de circulación de la corriente

•La tensión en bornes de la fuente depende de la carga conectada a ella (no tiene por qué ser 0!!!)

u i_g

+

-i

i_g

• Característica u/i

Potencia entregada por una

fuente de corriente ideal

La potencia eléctrica suministrada por el generador

de corriente será

G P

R->0 R->inf

i_g u R

+

- G

i Ri

ui

p_{g g g} g

2

2 =

Asociación de fuentes ideales

en serie

• Fuentes de tensión ideales en serie

• La corriente que circula por un conjunto de elementos en serie es igual en todos ellos.

• Por tanto no es posible conectar en serie fuentes de corriente de distintos valores en serie

+

u₁

+

u₂

+

u_n

. . . +

u_eq

N eq u u u

u = ₁− ₂ +...+

∑

=

= N

k k eq u

u

Asociación de fuentes ideales

en paralelo

• Fuentes ideales corrientes paralelo

– La tensión en un conjunto de elementos en paralelo es igual en todos ellos.

– Por tanto no es posible conectar en paralelo fuentes de tensión de distintos valores

i₁ i₂ . . . i_n

N eq i i i

i = ₁ − ₂ +...+

∑

=

= N

k k eq i

i

1

Fuente de tensión ideal en

paralelo con un elemento

• En lo que respecta a cálculos en el resto de la red

la presencia de un elemento en paralelo a la fuente puede omitirse.

• Si se solicitan los valores internos i₁ e i₂ hay que volver al circuito inicial.

+

u_g

i₁

i

i₂

A

B

+

u_g

i A

B

+

+

Fuente de corriente ideal en

serie con un elemento

• En lo que respecta a cálculos en el resto de la red

la presencia de un elemento en serie con la fuente puede omitirse.

• Si se solicitan los valores de u₁ y u₂ hay que volver al circuito inicial.

+

i_{g u}

1

A

B u u₂

+

-+

-R

+

i_g

A

B u

+

-Fuentes dependientes

• La magnitud de la fuente dependiente está ligada a otra magnitud de un elemento determinado del circuito

• Cuatro tipos de fuentes

circuito circuito +_u

g=αu circuito circuito

+

u_g=µi ig=αu i_g=µi

i

u i _u

+ - +

-F. TENSIÓN controlada por CORRIENTE F. TENSIÓN

controlada por TENSIÓN

F. CORRIENTE controlada por CORRIENTE F. CORRIENTE

Fuente de tensión real

• Elemento de un circuito que proporciona energía eléctrica con una determinada tensión u(t) que depende de la corriente que pasa por él

i R e

u = _g − _g +

+ u_g

i

R_g

u R

-•Se representa mediante una resistencia interna R_gde la fuente

Fuente de tensión real

• Curva u/i

eg Circuito abierto (i=0)

Cortocircuito (u=0)

u

i

Potencia entregada por una

fuente de tensión

• Al conectar R se genera una corriente

R R e i g g + = R R e R Ri u g g + ⋅ = =

(

)

p p R R

η = =

+ +

• Rendimiento de la fuente

(

)

2 R R e R ui p g g + ⋅ = =

Parte de la potencia entregada por la fuente se consume en

su resistencia interna

Transferencia de máxima

potencia

• La transferencia de potencia depende tanto de R_g como de R

• La máxima transferencia se obtiene cuando

En este caso el rendimiento es del 50%

R P _P

max

Rg

R e P

Rg R

dR

dp g

4 0

2 max = ⇒

= ⇒

=

% 50

= +

=

g

R R

R

Fuente de corriente real

• Elemento que proporciona energía eléctrica con una determinada i(t) que depende de la tensión en bornes

i_g Rg u

R

+

• Curva u/i

i

u i

ig

ig/G_g

Circuito abierto (i=0) Cortocircuito (u=0)

-g

g u R

i

Potencia entregada por una

fuente de corriente real

• Al conectar una carga (resistencia R) , se genera una corriente

(

)

2 G G i G ui p g g + ⋅ = = u G i R u i

i _{g g}

g

g − = −

= g g G i i

u = −

i_g Rg

u i ₊ -g g g G i P G G dR dp 4 0 2 max = ⇒ = ⇒ =

• Potencia máxima P _Pmax

R

Fuentes reales equivalentes

• Dos fuentes reales son equivalentes (de cara al resto de la red) si para cualquier tensión aplicada suministran la misma corriente

i_g

R_i

u i

R

+

+ u_g

i

R_u

u R

+

-i

g u R

i

i = − / _{u u R i}

u g −

=

u g g

R u