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ÁREAS DE REGIONES SOMBREADAS

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Capítulo

ÁREAS DE REGIONES SOMBREADAS

20

Ejemplo Nº 1

Si ABCD es un cuadrado de 4 m de lado y "O" es centro, entonces el área de la región sombreada es:

A B

D C

O

Resolución :

A B

D C

O Por traslado

de regiones sombreadas

4m

4m R

R

S S

Así tenemos que el área de la región sombreada es un triángulo, que es igual a la cuarta parte del cuadrado.

2 2 somb 4 4m

4 4

S   

Ejemplo Nº 2

Si ABCD es un cuadrado de 6m de lado y además "M" es punto medio, calcular el área de la región sombreada.

A B

D C

M

Resolución: No olvidar:

S S

A

B

C M

BM : Mediana relativa a AC

Área ABM = Área BCM

S S

A

B

C

Área Ssomb = S S

S S

Área

ABC

6

G : Baricentro de ABC

G

Del ejemplo tenemos:

A B

D C

M S S

S S S

S 3S

3S 2 2

somb 12 3m

6 12

(2)

Ejemplo Nº 3

ABC es un triángulo de 24 m2 de área. Calcular el área de la región sombreada.

A

B

C M

3a a

2b

b P N

Resolución: No olvidar

P

Q

R T

4a a

4S

S

4 S SQTR  PQT

Del ejemplo tenemos:

A

B

C M

3a a

2b

b P

N 2S

3S S 2S

S 2 3 S SBCM ABM 

2 total 8S 24m

S  

2

m 3 S

2 somb 3m

S 

Ejemplo Nº 4

Sabiendo que ABCD es un rectángulo, calcular el área de la región sombreada.

A

B C

D 6 m

10 m

Resolución:

A

B C

D 6 m

10 m M

M P

P

R R

S S

Área = b h

) M P R S ( 2 S

total     M P R S S

somb    

Luego:

2 total

somb 2 30m

6 10 2 S

S    

Ejemplo Nº 5

Sabiendo que el lado del cuadrado ABCD mide 4 m y que M y N son puntos medios, calcular el área de la región sombreada.

A B

D C M

(3)

Resolución: A B D C M N S R S

2 m 2 m

2 m

2 m 4 m

4 m

S = Triángulo rectángulo (cuarta parte del cuadrado ABCD) R = Sector circular (cuarta parte de un círculo)

S = r2

4 ( ) 2 S

somb  

= 4 2 2 2 4 2

42  2

      

= 168 = 8

Ejemplo Nº 6

Calcular el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado de 8 m de lado.

A B D C Resolución: A B D C 60° 60° 60° 30° 30° 8 8 8 8 S S T 8 8

S = Sector circular (doceava parte del círculo). T = Triángulo equilátero.

4 3 L S

2 equilátero 

Ssomb= 2S

            12 8 2 4 3 8 8 2 2 2 3 32 3 16

64  

           3 2 3 4 16

Ejemplo Nº 7

Calcular el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado de 10 m de lado, y además M, N, P y R son puntos medios. A B D C M N P R Resolución: S S S S S S S S

Al hacer traslado de regiones, la figura cuadrada de

2 2 100m

10  de área se transforma en una cruz griega,

dividida esta en 5 cuadritos congruentes.

2 2

total

somb 5 20m

m 100 5

S

S   

Obs. 1: Cuando se intersecta una diagonal y una mediana

el triángulo más pequeño que se forma es 12 1 del total. A B D C

Obs. 2: Cuando se intersecta dos medianas, el triángulo

(4)

Ejemplo Nº 8

Sabiendo que ABCD es un cuadrado de 4 m de lado y "O" es centro del cuadrado.

Calcular el área de la región sombreada.

A B

D C

O

Resolución:

A B

D C R

R 4m

4m

Del gráfico:

2 4 R 2 

2 2 R

Ssombra= 2 2

= 2

242(2 2)2

328

8(4)m2

Ejemplo Nº 9

Calcular el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado de 4 m de lado y además "O" es centro.

A B

D C

O

Resolución:

A B

D C

R

R 4 R

2 2

Por Pitágoras:

4 R

2

R (4R)2R222

4 R R 8 R

16 2  2

12 = 8R

R 2 3

4 9 2 3 S

2

somb

          

Ejemplo Nº 10

Calcular el área de la región sombreada, si el diámetro de la circunferencia mide 40 m y PD = 24 m.

("O" : centro del círculo)

O

P A

C

B

D

Resolución:

O

P A

C

B

D 53°

37°

53° 24

20

20 5 15

20

2 somb b2h 5 220 50m

(5)

EJERCICIOS PROPUESTOS

01. Si ABCD es un cuadrado de 6 m de lado, entonces el área de la parte sombreada mide:

A

B C

D O

a) 8 m2 b) 12 m2 c) 10 m2

d) 18 m2 e) 20 m2

02. Calcular el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado de "a" m de lado.

A

B C

D

a) 4

a2 m2 b) 4 a 3 2 m2

c) 2 a2 2

m d)

8 a 5 2 m2

e) 5 a 2 2 m2

03. Sabiendo que el lado del cuadrado mide 20 m, calcular el área de la región sombreada.

A

B C

D O

a) 180 m2 c) 200 m2 c) 100 m2

d) 320 m2 e) 240 m2

04. Si el lado del cuadrado ABCD mide 6 metros, entonces el área de la región sombreada medirá:

A

B C

D

a) 12 m2 b) 16 m2 c) 21 m2

d) 9 m2 e) 20 m2

05. Calcular el área de la región sombreada, si el lado del cuadrado ABCD mide 12 m.

A

B C

D

a) 36 m2 b) 30 m2 c) 42 m2

d) 32 m2 e) 48 m2

06. El lado del cuadrado ABCD mide "a" metros, calcular el área de la región sombreada.

A

B C

D

a) 2

2

m 5 a

3 b) 2 2

m 4 a

c) 2

2

m 2

a d) 2m2

3 a

e) 2

2

m 6 a

07. Calcular el área de la parte sombreada, si el lado del cuadrado es 20 m.

A

B C

D

a) 40 m2 b) 30 m2 c) 36 m2

d) 25 m2 e) 20 m2

08. Si el lado del cuadrado mide 20m, entonces el área de la región sombreada será:

A

B C

D

a) 3 m2 b) 5 m2 c) 8 m2

(6)

09. Si ABCD es un cuadrado de 4 m de lado, entonces el área de la parte sombreada es:

A

B C

D

a) m2 b) m2 2 

c) m2 3 

d) m2 3 2

e) m2 9 4

10. El área del rectángulo ABCD es 48 m2 y "O" es centro del círculo. Hallar el área del cuadrilátero sombreado.

A

B C

D O

a) 10 m2 b) 12 m2 c) 15 m2

d) 24 m2 e) 30 m2

11. Si el lado del cuadrado ABCD mide 4 m, calcular el área de la región sombreada.

A

B C

D O

a) (1)m2 b) (3)m2

c) (21)m2 d) (2)m2

e) (4)m2

12. En la figura, hallar el área de la región sombreada si ABCD es un cuadrado de lado "b".

A

B C

D

a) 2

b2 b) 7 b

3 2 c)

18 b 11 2

d) 24

b 11 2 e)

24 b 13 2

13. Si el área de la región sombreada mide A, entonces el área del cuadrado ABCD medirá: ("O" es centro del cuadrado).

A

B C

D O

a) 2

A 3

b) 2A c) 8

A 5

d) 3

A 8

e) 5

A 8

14. El cuadrado ABCD fue dividido en 9 cuadraditos congruentes. Calcular el área de la región sombreada, si el lado del cuadrado mide 6m.

A

B C

D

a) 20 m2 b) 24 m2 c) 18 m2

d) 28 m2 e) 26 m2

15. Sabiendo que el área del rectángulo ABCD mide 120 m2, entonces el área de la región sombreada será:

A

B C

D

a) 40m2 b) 45m2 c) 75m2 d) 50m2 e) 60m2

16. Si ABCD es un cuadrado de 60 cm de lado, entonces el área de la región sombreada es :

A

B C

D

(7)

17. Si la diagonal del cuadrado ABCD mide 8 m, entonces el área de la región sombreada es:

O R A

B

C

D

a) 8

4

m2 b) 4

4

m2

c) 16

1

m2 d) 6

3

m2

e) 16

2

m2

18. Sabiendo que ABCD es un cuadrado y "O" es centro de dicho cuadrado, calcular el área de la región sombreada.

A

B C

D O 2m

2m 6m

a) 9m2 b) 8,5m2 c) 9,5m2 d) 8m2 e) 7,5m2

19. Si ABCD es un cuadrado de 12m de lado, entonces el área de la parte sombreada será:

A

B C

D

a) 18 b) 6 c) 12

d) 48 e) 24

20. Si ABCD es un cuadrado de 4 m de lado, entonces el área de la región sombreada es:

A

B C

D O

a) 4(3) b) 43

c) 2(2) d) 2(4)

e) 4(2)

21. Calcular el área de la región sombreada. Lado del cuadrado : 2m

A

B C

D O

a) 2(2) b) 2(4) c) 6(3) d) 4(2) e) 2( 2)

22. Sabiendo que P y Q son puntos medios de los lados del cuadrante AOB. El área de la región asignada con S es 16 m2. El área de las regiones sombreadas en el interior del cuadrante es:

A

B O

P

S

Q

a) 15 m2 b) 32 m2

c) 16 m2 d) 18 m2

e) 12 m2

23. Hallar el área de la región sombreada:

2

2

a) u2

3 3 2

    

  

b)  3u2

c) u2

2

3 d) 2

u 2 3 2 

e) u2

2 3 2 

24. ¿Qué parte del área total está sombreada? (ABCD es un paralelogramo)

A

B C

(8)

a) 4 1

b) 5 2

c) 6 1

d) 8 1

e) 3 1

25. Si el cuadrado ABCD tiene longitudes en metros, entonces el área de la región sombreada es:

A

B C

D 2 m 2 m 2 m

2 m 2 m 2 m

a) 2 m2 b) 2,5 m2

c) 3,5 m2 d) 3 m2

e) 4 m2

26. Si el cuadrado ABCD tiene longitudes en metros, entonces el área de la región sombreada es:

A

B C

D 2m 2m 2m

2m 2m 2m

a) 2 m2 b) 2,5 m2

c) 3,5 m2 d) 3 m2

e) 4 m2

27. En la figura, hallar el área de la región sombreada.

Si: SABCSACD100m2

A B

C

D

M

a) 100 m2 b) 40 m2

c) 70 m2 d) 80 m2

e) 50 m2

28. ABCD es un cuadrado de "a"cm de lado, calcular el área de la región sombreada.

A

B C

D

a) 20

a2 b)

12

a2 c)

8 a2

d) 24

a

7 2 e) 12

a 7 2

29. ¿Qué parte del área del cuadrado ABCD está sombreada?

A

B C

D

a) 2 1

b) 5 2

c) 5 3

d) 4 1

e) 4 3

30. Si ABCD es un cuadrado de 4 m de lado, calcular el área de la región sombreada.

A

B C

D

a) 125 b) 169

c) 9 25

12  d) 147

e) 9 25 16 

31. ¿Qué fracción del área total está sombreada?

a

3a

a) 10

1

b) 20

7

c) 20

5

d) 5 3

e) 21

8

32. Las circunferencias que se muestran a continuación tienen el mismo radio (r = 4 m). Calcular el área de la región sombreada. (R, S y T son puntos de tangencia).

r r

r R

S

(9)

a) 8

2 3

b) 8

32

c) 8

3

d) 4

2 3

e) 2

4 3

33. Si el lado del cuadrado ABCD mide "a"metros, entonces el área de la región sombreada será :

A

B C

D

a) 2

2 m 6 a

b) 2

2 m 8 a

c) 2m2 12

a d) 2 m2

15 a

e) 2m2 10 a

34. Calcular el área del círculo sombreado.

A B

R R

O

4m 4m

a) m2 25 9

b) m2 16 9

c) m2 9 16

d) m2 25 16

e) m2 125 64

35. Hallar la suma de las áreas de los dos cuadrados sombreados.

Si: AB6cm

A B

C

D N

P

a) 6 cm2 b) 9 cm2 c) 4 cm2

d) 16 cm2 e) 13 cm2

36. Calcular el área de la región sombreada, si es un cuadrado.

2

5

a) 20 m2 b) 40 m2 c) 36 m2

d) 64 m2 e) 50 m2

37. En la figura DA y CB son tangentes a la semicircunferencia de centro "O".

Si: DA4m y CB 1m, calcular el área de la región sombreada.

A B

C D

E

O

a) 2(53) m2 b) 2(4)m2 c) 2(5) m2 d) 2(4)m2

e) 2(5) m2

38. Hallar el área de la región sombreada, si ABCD es un

cuadrado de lado a 2m

A

B C

D

a)

2

2

m 2 2

a b) 2

2

m 2 4 a

c) a2 2m2 d)

2

2

m 2 8 a

e)

2

6

a2

39. Calcular el área de la región sombreada, si ABCD es un rectángulo. ("O" es centro del rectángulo).

A

B C

D O

P 2

8

6

(10)

a) 11 m2 b) 8 m2 c) 12 m2

d) 6 m2 e) 10 m2

40. Calcular el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 12 m.

A

B C

D

a) 3

56 3

b) 2

52 3

c) 3

58 3

d) 3

5 3

e) 3

4 3

41. Calcular el área de la región sombreada.

4

6 16

a) 4

6413

b) 32

8

c) 25643 d) 2

6420

e) 4(7213)

42. Sabiendo que P es punto medio del arco AB, hallar el

área de la región sombreada. ( AB : diámetro)

A B

P

8m

a)m2 b) 3m2 c) m2 3 2

d) 2m2 e) m2 2 

43. En la figura, "O" es centro del cuadrante y OB es

diámetro de la circunferencia. Si: OB8m, hallar el área de la región sombreada.

60° A

B O

a) 3

3

8 b) 3 3

3 8

c) 3

3

16 d)

3 2 3 16

e) 4 3

3 16

44. ABCD es un paralelogramo. El área de la región

sombreada es 12 m

2. Hallar el área del triángulo ABM.

Si: BN = 3NM

A

B C

D M

N

a) 40 m2 b) 16 m2 c) 24 m2

d) 36 m2 e) 28 m2

45. Hallar el área del paralelogramo ABCD, si la diferencia de las áreas de las 2 regiones sombreadas es "k".

A

B C

D

a) 4k b) 5k c) 6k d) 7k e) 8k

46. Si ABCD es un paralelogramo de "A"cm de área.2 Calcular el área de la parte sombreada en centímetros.

a) 12

A

b) 30

A

c) 24

A

d) 10

A

e) 36

A

47. Sabiendo que: BE = 3ED; CF = 3FE y AD = 3DF; y

(11)

A

B

C E

F

D

a) 80m2 b) 200m2 c) 100m2 d) 86m2 e) 148m2

48. Sabiendo que ABCD es un cuadrado de 13 m de lado. Calcular el área de la región sombreada.

A

B C

D a

a

a

a 2a

2a

2a

2a

a) 26m2 b) 9m2 c) 11m2

d) 13m2 e) m2 13 25

49. Según la figura: 2

2 1 S 16 m

S    , calcular : "r"

A

B

C O

S1 r S2

a) 8 m b 2 m c) 16 m d) 4 m e) 6 m

50. Hallar el área del triángulo equilátero sombreado.

Si: BP8m.

M N

P A

B

C

a) 3 3m2 b) 2 3m2

c) m2 2 3

d) m2 2

3 3

e) 3m2

51. Calcular el área de la región sombreada, si el lado del cuadrado mide 30 m y además M, N y P son puntos medios.

M P

N

Q

a) 140m2 b) 90m2 c) 180m2 d) 100m2 e) 120m2

52. Hallar el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado de lado 2 cm.

A

B C

D

a) cm2 2

b) cm2 3

c) cm2

3 2

d) cm2 4

e) cm2 6 

53. Hallar el área de la región sombreada, si el lado del cuadrado ABCD es 4 m.

A

B C

D

a) 9 64

b) 25 2

c) 9 25

d) 25 64

(12)

54. Sabiendo que ABCD es un rectángulo RS//BC, TS//AC,

calcule 2 1 S S

siendo 1

S y S las áreas de las regiones2

sombreadas.

A

B C

D S1

S2

R S

T

a) 1 : 1 b) 1 : 2 c) 3 : 4 d) 2 : 3 e) 1 : 3

55. Si el área del triángulo ABC mide 224 m2, entonces el área de la parte sombreada es:

A

B

C a

a a

a

c c c c

b

b

b

b

a) 144m2 b) 130m2 c) 164m2 d) 128m2 e) 156m2

56. Calcular el área de la región sombreada, si el ancho del rectángulo ABCD mide 12 cm y MAD es un sector circular cuyo ángulo central mide 60º.

A

B C

D M

12

a) 48( 3) b) 32( 3)

c) 32(2 3) d) 24( 3)

e) 16

2 3

57. Si ABCD es un cuadrado y L es su lado, entonces el área de la región sombreada será :

A

B C

D

a) 8

L2 b)

2

L2 c)

6 L2

d) 12

L2 e) 4 L2

58. En la figura mostrada, P, Q, R y T son puntos medios, además:

2 4 2 2

1 S S S 12m

S    

Hallar: "S"

S

S1

S3

S4

S2

P

Q

R

T

a) 10 m2 b) 16 m2 c) 12 m2

d) 24 m2 e) 15 m2

59. Hallar el área de la región sombreada.

30 m

20 m

40 m

30 m

a) 300m2 b) 600m2

c) 400m2 d) 240m2 e) 200m2

60. Calcular el área de la región sombreada, si el área (ABCD) = 42 cm2 y

1 G ,

2

G son baricentros (ABCD

es paralelogramo).

A

B C

D G1

G2

a) cm2 3

40 b) cm2

3 20

c) 10cm2 d) 20cm2

(13)

Claves

Claves

d

c

b

c

b

e

b

a

b

b

d

d

d

a

b

e

e

b

b

e

a

c

d

a

d

b

e

d

d

e

b

a

c

c

b

b

e

a

a

a

e

a

e

b

c

a

e

d

a

e

b

d

d

b

d

e

c

c

a

e 01.

02.

03.

04.

05.

06.

07.

08.

09.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

Referencias

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