Capítulo
ÁREAS DE REGIONES SOMBREADAS
20
Ejemplo Nº 1
Si ABCD es un cuadrado de 4 m de lado y "O" es centro, entonces el área de la región sombreada es:
A B
D C
O
Resolución :
A B
D C
O Por traslado
de regiones sombreadas
4m
4m R
R
S S
Así tenemos que el área de la región sombreada es un triángulo, que es igual a la cuarta parte del cuadrado.
2 2 somb 4 4m
4 4
S
Ejemplo Nº 2
Si ABCD es un cuadrado de 6m de lado y además "M" es punto medio, calcular el área de la región sombreada.
A B
D C
M
Resolución: No olvidar:
S S
A
B
C M
BM : Mediana relativa a AC
Área ABM = Área BCM
S S
A
B
C
Área Ssomb = S S
S S
Área
ABC
6
G : Baricentro de ABC
GDel ejemplo tenemos:
A B
D C
M S S
S S S
S 3S
3S 2 2
somb 12 3m
6 12
Ejemplo Nº 3
ABC es un triángulo de 24 m2 de área. Calcular el área de la región sombreada.
A
B
C M
3a a
2b
b P N
Resolución: No olvidar
P
Q
R T
4a a
4S
S
4 S SQTR PQT
Del ejemplo tenemos:
A
B
C M
3a a
2b
b P
N 2S
3S S 2S
S 2 3 S SBCM ABM
2 total 8S 24m
S
2
m 3 S
2 somb 3m
S
Ejemplo Nº 4
Sabiendo que ABCD es un rectángulo, calcular el área de la región sombreada.
A
B C
D 6 m
10 m
Resolución:
A
B C
D 6 m
10 m M
M P
P
R R
S S
Área = b h
) M P R S ( 2 S
total M P R S S
somb
Luego:
2 total
somb 2 30m
6 10 2 S
S
Ejemplo Nº 5
Sabiendo que el lado del cuadrado ABCD mide 4 m y que M y N son puntos medios, calcular el área de la región sombreada.
A B
D C M
Resolución: A B D C M N S R S
2 m 2 m
2 m
2 m 4 m
4 m
S = Triángulo rectángulo (cuarta parte del cuadrado ABCD) R = Sector circular (cuarta parte de un círculo)
S = r2
4 ( ) 2 S
somb
= 4 2 2 2 4 2
42 2
= 168 = 8
Ejemplo Nº 6
Calcular el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado de 8 m de lado.
A B D C Resolución: A B D C 60° 60° 60° 30° 30° 8 8 8 8 S S T 8 8
S = Sector circular (doceava parte del círculo). T = Triángulo equilátero.
4 3 L S
2 equilátero
Ssomb= 2S
12 8 2 4 3 8 8 2 2 2 3 32 3 16
64
3 2 3 4 16
Ejemplo Nº 7
Calcular el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado de 10 m de lado, y además M, N, P y R son puntos medios. A B D C M N P R Resolución: S S S S S S S S
Al hacer traslado de regiones, la figura cuadrada de
2 2 100m
10 de área se transforma en una cruz griega,
dividida esta en 5 cuadritos congruentes.
2 2
total
somb 5 20m
m 100 5
S
S
Obs. 1: Cuando se intersecta una diagonal y una mediana
el triángulo más pequeño que se forma es 12 1 del total. A B D C
Obs. 2: Cuando se intersecta dos medianas, el triángulo
Ejemplo Nº 8
Sabiendo que ABCD es un cuadrado de 4 m de lado y "O" es centro del cuadrado.
Calcular el área de la región sombreada.
A B
D C
O
Resolución:
A B
D C R
R 4m
4m
Del gráfico:
2 4 R 2
2 2 R
Ssombra= 2 2
= 2
242(2 2)2
328
8(4)m2
Ejemplo Nº 9
Calcular el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado de 4 m de lado y además "O" es centro.
A B
D C
O
Resolución:
A B
D C
R
R 4 R
2 2
Por Pitágoras:
4 R
2
R (4R)2R222
4 R R 8 R
16 2 2
12 = 8R
R 2 3
4 9 2 3 S
2
somb
Ejemplo Nº 10
Calcular el área de la región sombreada, si el diámetro de la circunferencia mide 40 m y PD = 24 m.
("O" : centro del círculo)
O
P A
C
B
D
Resolución:
O
P A
C
B
D 53°
37°
53° 24
20
20 5 15
20
2 somb b2h 5 220 50m
EJERCICIOS PROPUESTOS
01. Si ABCD es un cuadrado de 6 m de lado, entonces el área de la parte sombreada mide:
A
B C
D O
a) 8 m2 b) 12 m2 c) 10 m2
d) 18 m2 e) 20 m2
02. Calcular el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado de "a" m de lado.
A
B C
D
a) 4
a2 m2 b) 4 a 3 2 m2
c) 2 a2 2
m d)
8 a 5 2 m2
e) 5 a 2 2 m2
03. Sabiendo que el lado del cuadrado mide 20 m, calcular el área de la región sombreada.
A
B C
D O
a) 180 m2 c) 200 m2 c) 100 m2
d) 320 m2 e) 240 m2
04. Si el lado del cuadrado ABCD mide 6 metros, entonces el área de la región sombreada medirá:
A
B C
D
a) 12 m2 b) 16 m2 c) 21 m2
d) 9 m2 e) 20 m2
05. Calcular el área de la región sombreada, si el lado del cuadrado ABCD mide 12 m.
A
B C
D
a) 36 m2 b) 30 m2 c) 42 m2
d) 32 m2 e) 48 m2
06. El lado del cuadrado ABCD mide "a" metros, calcular el área de la región sombreada.
A
B C
D
a) 2
2
m 5 a
3 b) 2 2
m 4 a
c) 2
2
m 2
a d) 2m2
3 a
e) 2
2
m 6 a
07. Calcular el área de la parte sombreada, si el lado del cuadrado es 20 m.
A
B C
D
a) 40 m2 b) 30 m2 c) 36 m2
d) 25 m2 e) 20 m2
08. Si el lado del cuadrado mide 20m, entonces el área de la región sombreada será:
A
B C
D
a) 3 m2 b) 5 m2 c) 8 m2
09. Si ABCD es un cuadrado de 4 m de lado, entonces el área de la parte sombreada es:
A
B C
D
a) m2 b) m2 2
c) m2 3
d) m2 3 2
e) m2 9 4
10. El área del rectángulo ABCD es 48 m2 y "O" es centro del círculo. Hallar el área del cuadrilátero sombreado.
A
B C
D O
a) 10 m2 b) 12 m2 c) 15 m2
d) 24 m2 e) 30 m2
11. Si el lado del cuadrado ABCD mide 4 m, calcular el área de la región sombreada.
A
B C
D O
a) (1)m2 b) (3)m2
c) (21)m2 d) (2)m2
e) (4)m2
12. En la figura, hallar el área de la región sombreada si ABCD es un cuadrado de lado "b".
A
B C
D
a) 2
b2 b) 7 b
3 2 c)
18 b 11 2
d) 24
b 11 2 e)
24 b 13 2
13. Si el área de la región sombreada mide A, entonces el área del cuadrado ABCD medirá: ("O" es centro del cuadrado).
A
B C
D O
a) 2
A 3
b) 2A c) 8
A 5
d) 3
A 8
e) 5
A 8
14. El cuadrado ABCD fue dividido en 9 cuadraditos congruentes. Calcular el área de la región sombreada, si el lado del cuadrado mide 6m.
A
B C
D
a) 20 m2 b) 24 m2 c) 18 m2
d) 28 m2 e) 26 m2
15. Sabiendo que el área del rectángulo ABCD mide 120 m2, entonces el área de la región sombreada será:
A
B C
D
a) 40m2 b) 45m2 c) 75m2 d) 50m2 e) 60m2
16. Si ABCD es un cuadrado de 60 cm de lado, entonces el área de la región sombreada es :
A
B C
D
17. Si la diagonal del cuadrado ABCD mide 8 m, entonces el área de la región sombreada es:
O R A
B
C
D
a) 8
4
m2 b) 4
4
m2c) 16
1
m2 d) 6
3
m2e) 16
2
m218. Sabiendo que ABCD es un cuadrado y "O" es centro de dicho cuadrado, calcular el área de la región sombreada.
A
B C
D O 2m
2m 6m
a) 9m2 b) 8,5m2 c) 9,5m2 d) 8m2 e) 7,5m2
19. Si ABCD es un cuadrado de 12m de lado, entonces el área de la parte sombreada será:
A
B C
D
a) 18 b) 6 c) 12
d) 48 e) 24
20. Si ABCD es un cuadrado de 4 m de lado, entonces el área de la región sombreada es:
A
B C
D O
a) 4(3) b) 43
c) 2(2) d) 2(4)
e) 4(2)
21. Calcular el área de la región sombreada. Lado del cuadrado : 2m
A
B C
D O
a) 2(2) b) 2(4) c) 6(3) d) 4(2) e) 2( 2)
22. Sabiendo que P y Q son puntos medios de los lados del cuadrante AOB. El área de la región asignada con S es 16 m2. El área de las regiones sombreadas en el interior del cuadrante es:
A
B O
P
S
Q
a) 15 m2 b) 32 m2
c) 16 m2 d) 18 m2
e) 12 m2
23. Hallar el área de la región sombreada:
2
2
a) u2
3 3 2
b) 3u2
c) u2
2
3 d) 2
u 2 3 2
e) u2
2 3 2
24. ¿Qué parte del área total está sombreada? (ABCD es un paralelogramo)
A
B C
a) 4 1
b) 5 2
c) 6 1
d) 8 1
e) 3 1
25. Si el cuadrado ABCD tiene longitudes en metros, entonces el área de la región sombreada es:
A
B C
D 2 m 2 m 2 m
2 m 2 m 2 m
a) 2 m2 b) 2,5 m2
c) 3,5 m2 d) 3 m2
e) 4 m2
26. Si el cuadrado ABCD tiene longitudes en metros, entonces el área de la región sombreada es:
A
B C
D 2m 2m 2m
2m 2m 2m
a) 2 m2 b) 2,5 m2
c) 3,5 m2 d) 3 m2
e) 4 m2
27. En la figura, hallar el área de la región sombreada.
Si: SABCSACD100m2
A B
C
D
M
a) 100 m2 b) 40 m2
c) 70 m2 d) 80 m2
e) 50 m2
28. ABCD es un cuadrado de "a"cm de lado, calcular el área de la región sombreada.
A
B C
D
a) 20
a2 b)
12
a2 c)
8 a2
d) 24
a
7 2 e) 12
a 7 2
29. ¿Qué parte del área del cuadrado ABCD está sombreada?
A
B C
D
a) 2 1
b) 5 2
c) 5 3
d) 4 1
e) 4 3
30. Si ABCD es un cuadrado de 4 m de lado, calcular el área de la región sombreada.
A
B C
D
a) 125 b) 169
c) 9 25
12 d) 147
e) 9 25 16
31. ¿Qué fracción del área total está sombreada?
a
3a
a) 10
1
b) 20
7
c) 20
5
d) 5 3
e) 21
8
32. Las circunferencias que se muestran a continuación tienen el mismo radio (r = 4 m). Calcular el área de la región sombreada. (R, S y T son puntos de tangencia).
r r
r R
S
a) 8
2 3
b) 8
32
c) 8
3
d) 4
2 3
e) 2
4 3
33. Si el lado del cuadrado ABCD mide "a"metros, entonces el área de la región sombreada será :
A
B C
D
a) 2
2 m 6 a
b) 2
2 m 8 a
c) 2m2 12
a d) 2 m2
15 a
e) 2m2 10 a
34. Calcular el área del círculo sombreado.
A B
R R
O
4m 4m
a) m2 25 9
b) m2 16 9
c) m2 9 16
d) m2 25 16
e) m2 125 64
35. Hallar la suma de las áreas de los dos cuadrados sombreados.
Si: AB6cm
A B
C
D N
P
a) 6 cm2 b) 9 cm2 c) 4 cm2
d) 16 cm2 e) 13 cm2
36. Calcular el área de la región sombreada, si es un cuadrado.
2
5
a) 20 m2 b) 40 m2 c) 36 m2
d) 64 m2 e) 50 m2
37. En la figura DA y CB son tangentes a la semicircunferencia de centro "O".
Si: DA4m y CB 1m, calcular el área de la región sombreada.
A B
C D
E
O
a) 2(53) m2 b) 2(4)m2 c) 2(5) m2 d) 2(4)m2
e) 2(5) m2
38. Hallar el área de la región sombreada, si ABCD es un
cuadrado de lado a 2m
A
B C
D
a)
22
m 2 2
a b) 2
2m 2 4 a
c) a2 2m2 d)
22
m 2 8 a
e)
2
6a2
39. Calcular el área de la región sombreada, si ABCD es un rectángulo. ("O" es centro del rectángulo).
A
B C
D O
P 2
8
6
a) 11 m2 b) 8 m2 c) 12 m2
d) 6 m2 e) 10 m2
40. Calcular el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 12 m.
A
B C
D
a) 3
56 3
b) 2
52 3
c) 3
58 3
d) 3
5 3
e) 3
4 3
41. Calcular el área de la región sombreada.
4
6 16
a) 4
6413
b) 32
8
c) 25643 d) 2
6420
e) 4(7213)
42. Sabiendo que P es punto medio del arco AB, hallar el
área de la región sombreada. ( AB : diámetro)
A B
P
8m
a)m2 b) 3m2 c) m2 3 2
d) 2m2 e) m2 2
43. En la figura, "O" es centro del cuadrante y OB es
diámetro de la circunferencia. Si: OB8m, hallar el área de la región sombreada.
60° A
B O
a) 3
3
8 b) 3 3
3 8
c) 3
3
16 d)
3 2 3 16
e) 4 3
3 16
44. ABCD es un paralelogramo. El área de la región
sombreada es 12 m
2. Hallar el área del triángulo ABM.Si: BN = 3NM
A
B C
D M
N
a) 40 m2 b) 16 m2 c) 24 m2
d) 36 m2 e) 28 m2
45. Hallar el área del paralelogramo ABCD, si la diferencia de las áreas de las 2 regiones sombreadas es "k".
A
B C
D
a) 4k b) 5k c) 6k d) 7k e) 8k
46. Si ABCD es un paralelogramo de "A"cm de área.2 Calcular el área de la parte sombreada en centímetros.
a) 12
A
b) 30
A
c) 24
A
d) 10
A
e) 36
A
47. Sabiendo que: BE = 3ED; CF = 3FE y AD = 3DF; y
A
B
C E
F
D
a) 80m2 b) 200m2 c) 100m2 d) 86m2 e) 148m2
48. Sabiendo que ABCD es un cuadrado de 13 m de lado. Calcular el área de la región sombreada.
A
B C
D a
a
a
a 2a
2a
2a
2a
a) 26m2 b) 9m2 c) 11m2
d) 13m2 e) m2 13 25
49. Según la figura: 2
2 1 S 16 m
S , calcular : "r"
A
B
C O
S1 r S2
a) 8 m b 2 m c) 16 m d) 4 m e) 6 m
50. Hallar el área del triángulo equilátero sombreado.
Si: BP8m.
M N
P A
B
C
a) 3 3m2 b) 2 3m2
c) m2 2 3
d) m2 2
3 3
e) 3m2
51. Calcular el área de la región sombreada, si el lado del cuadrado mide 30 m y además M, N y P son puntos medios.
M P
N
Q
a) 140m2 b) 90m2 c) 180m2 d) 100m2 e) 120m2
52. Hallar el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado de lado 2 cm.
A
B C
D
a) cm2 2
b) cm2 3
c) cm2
3 2
d) cm2 4
e) cm2 6
53. Hallar el área de la región sombreada, si el lado del cuadrado ABCD es 4 m.
A
B C
D
a) 9 64
b) 25 2
c) 9 25
d) 25 64
54. Sabiendo que ABCD es un rectángulo RS//BC, TS//AC,
calcule 2 1 S S
siendo 1
S y S las áreas de las regiones2
sombreadas.
A
B C
D S1
S2
R S
T
a) 1 : 1 b) 1 : 2 c) 3 : 4 d) 2 : 3 e) 1 : 3
55. Si el área del triángulo ABC mide 224 m2, entonces el área de la parte sombreada es:
A
B
C a
a a
a
c c c c
b
b
b
b
a) 144m2 b) 130m2 c) 164m2 d) 128m2 e) 156m2
56. Calcular el área de la región sombreada, si el ancho del rectángulo ABCD mide 12 cm y MAD es un sector circular cuyo ángulo central mide 60º.
A
B C
D M
12
a) 48( 3) b) 32( 3)
c) 32(2 3) d) 24( 3)
e) 16
2 3
57. Si ABCD es un cuadrado y L es su lado, entonces el área de la región sombreada será :
A
B C
D
a) 8
L2 b)
2
L2 c)
6 L2
d) 12
L2 e) 4 L2
58. En la figura mostrada, P, Q, R y T son puntos medios, además:
2 4 2 2
1 S S S 12m
S
Hallar: "S"
S
S1
S3
S4
S2
P
Q
R
T
a) 10 m2 b) 16 m2 c) 12 m2
d) 24 m2 e) 15 m2
59. Hallar el área de la región sombreada.
30 m
20 m
40 m
30 m
a) 300m2 b) 600m2
c) 400m2 d) 240m2 e) 200m2
60. Calcular el área de la región sombreada, si el área (ABCD) = 42 cm2 y
1 G ,
2
G son baricentros (ABCD
es paralelogramo).
A
B C
D G1
G2
a) cm2 3
40 b) cm2
3 20
c) 10cm2 d) 20cm2
Claves
Claves
dc
b
c
b
e
b
a
b
b
d
d
d
a
b
e
e
b
b
e
a
c
d
a
d
b
e
d
d
e
b
a
c
c
b
b
e
a
a
a
e
a
e
b
c
a
e
d
a
e
b
d
d
b
d
e
c
c
a
e 01.
02.
03.
04.
05.
06.
07.
08.
09.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.