COLEGIO DE BACHILLERES PLANTEL 6 “VICENTE GUERRERO” MATERIAL DE APOYO PARA LA

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(1)COLEGIO DE BACHILLERES PLANTEL 6 “VICENTE GUERRERO”. MATERIAL DE APOYO PARA LA ASIGNATURA DE MATEMÁTICAS IV “El triángulo y sus relaciones”.

(2) Bloque I de tres en tres PROPÓSITO: El estudiante hace uso de las TIC, trabaja en forma colaborativa, desarrolla sus habilidades de razonamiento, análisis, reflexión y comunicación, en el estudio y aplicación de la geometría y trigonometría del triángulo, para interpretar, analizar y argumentar la solución de problemáticas situadas. Núcleo Temático: ¿soy o me parezco?  Triángulo: clasificación, rectas y puntos notables.  Semejanza y congruencia de triángulos (criterios).  Triángulos rectángulos (Teorema de Pitágoras, funciones trigonométricas).  Triángulos oblicuángulos (Leyes de senos y cosenos).. Geometría. Cualquier objeto puede sintetizarse mediante sus elementos geométricos más simples: puntos, líneas, superficies, ángulos, etc. Es por lo tanto necesario que el estudiante de Geometría domine y exprese estos conceptos en forma correcta. Punto: Es la representación de una posición fija del espacio. No es un objeto físico, por lo tanto carece de forma y dimensiones. Es una sucesión infinita de puntos. Las líneas se clasifican básicamente en: recta, poligonal, curva. Tipos de línea. Recta Línea de dirección constante. Una recta puede ser definida por dos puntos a los que une recorriendo su menor distancia. Partes de una Recta: semirrecta: cada una de las dos partes en que divide a una recta uno cualquiera de sus puntos, segmento: porción de una recta comprendida entre dos de sus puntos. Partes de una recta. Posición Relativa entre dos Rectas.

(3) Según la posición relativa en que se encuentren dos rectas, se definen como: rectas que se cortan: si tienen un punto en común. En este caso están contenidas en un plano, rectas paralelas: si mantienen indefinidamente la distancia entre ellas. En este caso están contenidas en un plano, rectas que se cruzan: si no se cortan ni son paralelas. En este caso no están contenidas en un plano Posición relativa entre dos rectas. Ángulo Porción de un plano comprendida entre dos semirrectas de origen común. Clasificación de los Ángulos, según su Medida Angular Según su medida angular en grados sexagesimales (un grado sexagesimal es la 90a. parte del ángulo recto), un ángulo se define como:. Ángulos Consecutivos Son dos ángulos ubicados uno a continuación del otro. Se denominan: ángulos complementarios: si suman 900, ángulos suplementarios: si suman 1800. Ángulos consecutivos. Si conocemos un ángulo, su ángulo complementario se puede encontrar restando la medida del mismo a 90°. Ejemplo: ¿Cuál es el ángulo complementario de 43°? Solución: 90° - 43° = 47° Si conocemos un ángulo, su ángulo suplementario se puede averiguar restando la medida del mismo a 180°. Ejemplo: ¿Cuál es el ángulo suplementario de 143°? Solución: 180° - 143° = 37°.

(4) Ángulos complementarios: Ejercicios: 1.- ¿Qué medida tiene del ángulo BAC?. Analizando la figura, el ángulo CAD tiene una medida de 12°, junto con el ángulo ABC son complementarios, por lo que ambos deben tener 90°, entonces: , por lo tanto . 2.- La medida del ángulo 4x.. 3.- La medida del ángulo 5x.. 4.- La medida del ángulo 8x.. 5.- La medida del ángulo x.. 6.- La medida del ángulo w..

(5) Ángulos Suplementarios Ejercicios: 1.- La medida del ángulo D.. 2.- La medida del ángulo suplementario.. 3.- La medida de los ángulos x, 2x y 3x.. La suma de los tres ángulos debe ser 180°. Por lo tanto Despejando Por lo tanto el ángulo. el ángulo. 4.- La medida de los ángulos y, 2y, 3y.. 5.- La medida del ángulo W.. 6.- La medida de los ángulos 2x, 3x y 4x.. 7.- La medida de los ángulos 2w, 3w y 5w.. el ángulo.

(6) Ángulos Opuestos y Ángulos Adyacentes Dos rectas que se cortan definen cuatro ángulos, los cuales, tomados en pares se definen como: ángulos opuestos: si no poseen ninguna semirrecta común. En este caso sus medidas angulares son iguales, ángulos adyacentes: si poseen una semirrecta común. En este caso son ángulos suplementarios. Ángulos opuestos y ángulos adyacentes. Ángulos Alternos y Ángulos Correspondientes Si dos rectas paralelas son cortadas por una tercera recta, se forman ocho ángulos, los cuales, considerados en pares de igual medida ángular, se denominan: ángulos alternos, clasificados a su vez en: o ángulos alternos internos, o ángulos alternos externos, ángulos correspondientes.. Rectas secantes y paralelas Como ya vimos, por definición, un ángulo es una figura geométrica formada en una superficie por dos líneas rectas que parten de un mismo punto. Fijando nuestra atención en las rectas, sabemos que estas pueden ser secantes (que se cortan) o paralelas (que no se cortan nunca). Dos rectas secantes se cortan en un punto y determinan cuatro ángulos. Cada ángulo tiene dos lados y un vértice..

(7) Esta construcción en el plano nos permite relacionar entre sí los ángulos así formados. Ángulos opuestos por el vértice Son los ángulos formados por dos rectas que se cortan en un punto llamado vértice (V). α es opuesto por el vértice con β γ es opuesto por el vértice con δ Como podemos verificar en la figura: Los ángulos opuestos por el vértice son iguales Ángulos determinados por dos rectas paralelas y una secante Dos rectas paralelas cortadas determinan ocho ángulos:. por. una tercera. Esta distribución numérica nos permite carecterizar parejas de ángulos según su posición, haciendo notar que los ángulos 3, 4, 5 y 6 son interiores (o internos) y que los ángulos 1, 2, 7 y 8 son exteriores (o externos) respecto a las rectas: Ángulos internos (3, 4, 5 y 6) Los ángulos internos a un mismo lado de la transversal a dos rectas paralelas son suplementarios (suman 180º). Ángulos 3 y 5 son suplementarios (suman Ángulos 4 y 6 son suplementarios 180º) (suman 180º) Ángulos externos (1, 2, 7 y 8) Los ángulos externos a un mismo lado de la transversal a dos rectas paralelas son suplementarios..

(8) Ángulos 1 y 7 son suplementarios Ángulos 2 y 8 son suplementarios (suman (suman 180º) º80º) Ángulos correspondientes: Son aquellos que están al mismo lado de las paralelas y al mismo lado de la transversal.. 1 y 5 son ángulos 2 y 6 son ángulos 3 y 7 son ángulos 4 y 8 son ángulos correspondientes correspondientes correspondientes correspondientes (iguales), ∠ 1 = ∠ (iguales) ∠ 2 = ∠ 6 (iguales) ∠ 3 = ∠ 7 (iguales) ∠ 4 = ∠ 8 5 Esta relación da pie para formular el siguiente postulado: Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces cada par de ángulos correspondientes es congruente entre sí.. Ángulos alternos internos: Son aquellos ángulos interiores que están a distinto lado de la transversal y a distinto lado de las paralelas..

(9) 3 y 6 son ángulos alternos internos =∠6. ∠ 3 4 y 5 son ángulos alternos internos =∠5. ∠4. Esta relación da pie para formular el siguiente postulado: Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces cada par de ángulos alternos internos es congruente entre sí.. Ángulos alternos externos: Son aquellos ángulos exteriores que están a distinto lado de la transversal y a distinto lado de las paralelas.. 1 y 8 son ángulos alternos externos =∠8. ∠ 1 2 y 7 son ángulos alternos externos 2=∠7. ∠. Esta relación da pie para formular el siguiente postulado: Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces cada par de ángulos alternos externos es congruente entre sí.. Instrucciones: resolver los siguientes ejercicios en tú cuaderno y subraye la respuesta correcta. 1.-. 2.-.

(10) 3.-. 4.-. 5.-. 6.-. Triángulo. Un triángulo es un polígono de tres lados. Clasificación de triángulos según la medida de sus lados El perímetro de un triángulo se calcula como “la suma del largo de sus lados”. El área de un triángulo se calcula como “su base por la altura divida en dos”. Triángulo Equilátero.

(11) El triángulo equilátero es aquel que tiene todos sus lados de la misma medida, en donde:. Triángulo Isósceles El triángulo isósceles es aquel que tiene sólo dos lados de igual medida.. Triángulo Escaleno El triángulo escaleno es aquel que tiene todos sus lados de distinta medida.. Clasificación de triángulos según la medida de sus ángulos Triángulo Acutángulo El triángulo acutángulo es aquel que tiene todos sus ángulos agudos.. Triángulo Rectángulo El triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo recto (< CAB).. Triángulo Obtusángulo El triángulo obtusángulo es aquel que tiene un ángulo obtuso, tal como se muestra a continuación:.

(12) Propiedades de un triángulo. 1. Los ángulos interiores de un triángulo, siempre suman 180º. Como consecuencia de esta propiedad, se cumple que: -Un triángulo no puede tener más de un ángulo obtuso o recto. -En un triángulo rectángulo los dos ángulos agudos suman 90º. -Un ángulo exterior de un triángulo, es igual a la suma de los otros dos ángulos interiores no adyacentes. 2. Cualquier lado de un triángulo, es menor que la suma de los otros dos, y mayor que su diferencia. 3. En todo triángulo, a lados iguales se oponen ángulos iguales. 4. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa es mayor que cualquiera de los catetos. 5. Si los tres lados de un triángulo son iguales, y por consiguiente sus ángulos, el triángulo es regular, y se denomina equilátero. Ejercicios: 1.- Hallar los valores de los ángulos. A,. By. C, de la figura 1.. Dado que los ángulos deben sumar 180°, entonces podemos decir que:. Entonces el ángulo A = 2(20) = 40°, B = 3(20) = 60° y C = 80°..

(13) 2.- Si se considera la figura anterior y que los ángulos tienen las siguientes medidas: = 5x, B = 3x y C = 6x. Determinar los valores de los ángulos.. A. Puntos y rectas notables de un triángulo. Los puntos notables de un triángulo, son los puntos de intersección de las rectas llamados: Bisectriz, Mediatriz, Alturas, y Medianas de un Triángulo. INCENTRO: Es el punto de intersección de las bisectrices de los ángulos interiores de un triángulo; Es el centro de la circunferencia inscrito en un triángulo. BISECTRIZ DEL ÁNGULO: Es la semirrecta que divide al ángulo en dos ángulos congruentes o iguales.. CIRCUNCENTRO: Es el punto de intersección de las mediatrices de los lados de un triángulo. MEDIATRIZ: Es la perpendicular trazada en el punto medio de cada lado del triángulo.. ORTOCENTRO: Es el punto donde se cortan las tres alturas del triángulo. ALTURA DEL TRIÁNGULO: Es el segmento de recta perpendicular trazada desde un vértice, al lado opuesto; Hay tres alturas, una correspondiente a cada lado..

(14) GRAVICENTRO, BARICENTRO ó CENTRO DE GRAVEDAD: Es el punto donde se cortan las medianas, es decir, el punto donde está aplicado todo el peso de un cuerpo triangular. MEDIANA: Es el segmento trazado desde un vértice al punto medio del lado opuesto; Es el segmento de recta que une a un vértice con el punto medio del lado opuesto.. Ejercicios. 1. Dibujar un triángulo de lados 5cm; 7cm y 9cm y hallar el circuncentro del triángulo. Construir la circunferencia circunscripta al triángulo. 2. Dibujar un triángulo isósceles de lados iguales a 6cm y el lado desigual de 4cm y hallar el baricentro de dicho triángulo. 3. Dibujar un triángulo cuyos ángulos midan A = 40º, B = 110º y C = 30º. Hallar el incentro de dicho triángulo. Construir la circunferencia inscripta en el triángulo. 4. Dibujar un triángulo que tenga dos lados de 4cm y 6,5cm y el ángulo comprendido de 70º. Trazar las tres alturas del triángulo. 5. Dibuja en tu cuaderno un triángulo equilátero de 5 cm de lado y traza sus bisectrices. 6. Construye un triángulo rectángulo de cualquier medida y traza sus tres medianas..

(15) 7. Construye un triángulo obtusángulo de cualquier medida y traza sus tres alturas. 8. Elabora un triángulo de cartón o cualquier otro material con las siguientes características. a) Isósceles. b) Sus lados iguales deben medir 7 cm. c) Traza en el sus tres alturas y sus tres mediatrices.. Congruencia y semejanza de triángulos. Semejanza. 1 Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales.. 2 Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales.. 3 Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos igual.. Ejercicios Razona si son semejantes los siguientes triángulos:.

(16) 1. Son semejantes porque tienen los lados proporcionales.. 2. 180º − 100º − 60º = 20º Son semejantes porque tienen dos ángulos iguales.. 3.

(17) Son semejantes porque tienen dos lados proporcionales y un ángulo igual.. Elige la opción correcta: 1.- Los triángulos siguientes son proporcionales porque .... a) sus lados son iguales. b) sus lados son parecidos dos a dos. c) sus lados son proporcionales dos a dos. 2.- Los triángulos.... a) son semejantes ya que sus ángulos homólogos son iguales. b) no son semejantes. c) No podemos decir nada, los ángulos rectos siempre son iguales. 3Los triángulos siguientes tienen....

(18) a) un ángulo agudo proporcional. b) un ángulo agudo igual. c) las dos respuestas anteriores son iguales. Congruencia. Observa los siguientes triángulos:. Al mirar los dos pares de triángulos se puede apreciar que en ambos los triágulos tienen entre si la misma forma y tamaño. Cuando se cumplen estas dos condiciones se dice que los triángulos son congruentes; esta palabra (congruente) se simboliza o representa con el símbolo . Definición: Se dice que un Δ ABC es congruente con otro Δ DEF si sus lados respectivos son iguales y sus ángulos respectivos también lo son. Para expresar en lenguaje matemático que los dos triángulos de la izquierda son congruentes, se usa la siguiente simbología:. Al observar los triángulos de la figura puede apreciarse que tienen lados respectivamente congruentes, que son:. También tienen ángulos respectivamente congruentes:. Entonces es posible afirmar que: . Al revés: si dos o más triángulos son congruentes, sus lados y ángulos lo serán respectivamente, en el orden de las letras asignadas a sus vértices para nombrarlos, salvo que gráficamente se indique otra correspondencia. Si, por ejemplo, tenemos Δ ABR Δ CDS, sus lados respectivamente congruentes serán:.

(19) Y los ángulos respectivamente congruentes serán:. Criterios de congruencia Los criterios de congruencia corresponden a los postulados y teoremas que enuncian cuáles son las condiciones mínimas que deben reunir dos o más triángulos para que sean congruentes. Estas son: 1.- Congruencia de sus lados 2.- Congruencia de sus ángulos Para que dos triángulos sean congruentes, es suficiente que sólo algunos lados y/o ángulos sean iguales. Los postulados o criterios básicos de congruencia de triángulos son: Postulado LAL LAL significa lado-ángulo-lado. Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados y el ángulo determinado por ellos respectivamente iguales.. Postulado ALA ALA significa ángulo-lado-ángulo. Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos y el lado común a ellos, respectivamente, iguales.. Postulado LLA LLA significa lado-lado-ángulo Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales dos lados y el ángulo opuesto al mayor de ellos..

(20) Postulado LLL LLL significa lado-lado-lado. Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente iguales.. Ejercicios: 1. Los siguientes triángulos son congruentes, lo cual puede comprobarse al medir los lados de cada triángulo.. 2. Los siguientes triángulos no son congruentes, lo cual se comprueba al medir los lados de cada triángulo.. Ejercicios Selecciona la respuesta correcta en cada inciso. 1.- Es el inciso que tiene la relación entre los siguientes triángulos..

(21) a) son semejantes b) no son semejantes ni congruentes c) son rectángulos d) son congruentes 2.- Es el inciso que tiene el valor del ángulo y.. a) 78° b) 12° c) 6° d) 39° 3.- Es el inciso que tiene la relación entre los siguientes triángulos.. a) son equiláteros b) no son congruentes ni semejantes c) son semejantes d) son congruentes 4.- Es el inciso que tiene el valor del lado x.. a) 16 b) 8 c) 4 d) 2 5.- Es el inciso que tiene la relación entre los siguientes triángulos..

(22) a) son semejantes b) son congruentes c) no son congruentes ni semejantes d) son equiláteros 6.- Es el inciso que tiene la relación entre los siguientes triángulos.. a) son triángulos rectángulos b) no tienen ninguna relación c) son semejantes d) son congruentes 7.- Las figuras son semejantes. Es el inciso que tiene la medida del ángulo y.. a) 110° b) 12° c) 6° d) 78° 8.- Es el inciso que tiene la relación entre los siguientes triángulos..

(23) a) son triángulos semejantes b) son triángulos congruentes c) no son congruentes ni semejantes d) son triángulos isósceles 9.- Es el inciso que tiene la relación entre los siguientes triángulos.. a) no tienen relación b) no son semejantes ni congruentes c) son congruentes d) son semejantes Teorema de Pitágoras. Para entrar en materia, es necesario recordar un par de ideas: Un triángulo rectángulo es un triángulo que tiene un ángulo recto, es decir de 90º. En un triángulo rectángulo, el lado más grande recibe el nombre de hipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos.. Sabido esto, enunciemos el Teorema de Pitágoras: En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.. Recuerda: Este Teorema sólo se cumple para triángulos rectángulos..

(24) BC = cateto = a CA = cateto = b AB = hipotenusa = c La expresión matemática que representa este Teorema es: hipotenusa 2 = cateto 2 + cateto 2 c2 = a2 + b2 Si se deseara comprobar este Teorema se debe construir un cuadrado sobre cada cateto y sobre la hipotenusa y luego calcular sus áreas respectivas, puesto que el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos. El siguiente esquema representa lo dicho anteriormente:. Resolver problemas del teorema de Pitágoras. En un triángulo rectángulo se verifica que el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos..

(25) 6.- Es el inciso que tiene la medida del ángulo 2x..

(26) a) 18° b) 54° c) 72° d) 36°. Revisar los problemas que se presentan a continuación. 7.- Es el inciso que tiene la medida del ángulo x.. a) 90° b) 5° c) 175° d) 355° 8.- Es el inciso que tiene la medida del ángulo 5x..

(27) a) 50° b) 40° c) 140° d) 10° 9.- Es el inciso que tiene la medida del ángulo 7x.. a) 30° b) 27° c) 70° d) 63°. Funciones trigonométricas.. Seno. Coseno.

(28) Tangente. Cotangente. Secante. Cosecante. Ejemplos: 1 - Si nos encontramos a 20 metros de la base de un árbol y vemos el final de la copa con un ángulo de 35º, calcular la altura del árbol.. Desconocemos la altura Y. Sabemos que la altura dividida por la base es la tangente del ángulo La tangente de 35º, nos la da la calculadora = 0,7002075382097 Calculamos la m. aprox. 2.- Si subimos una montaña con un desnivel de 800 metros por una carretera de 10 Kilómetros. ¿Cuál es el ángulo medio que tiene la carretera?.

(29) 800 metros es el cateto opuesto y 10.000 metros la hipotenusa. Si dividimos los dos números obtenemos el seno del ángulo, Calculando el inverso del seno Ejercicios 1.- Un avión despega con un ángulo respecto al horizonte de 20º con una velocidad de 70 nudos. Al cabo de 10 segundos a qué altura respecto al suelo se encuentra. 2.- El sonar de un barco de salvamento localiza los restos de un naufragio en un ángulo de depresión de 12°. Un buzo es bajado 40 metros hasta el fondo del mar. ¿Cuánto necesita avanzar el buzo por el fondo para encontrar los restos del naufragio? 3.- Obtener la longitud de una escalera recargada en una pared de 4.33 m de altura que forma un ángulo de 60° con respecto al piso.. 4.- Obtención del valor de un ángulo agudo, conocidos dos lados del triángulo Obtener el ángulo que forma un poste de 7.5 m de alto con un cable tirante que va, desde la punta del primero hasta el piso, y que tiene un largo de 13.75 m.

(30) Leyes de Senos y Cosenos Ley de Senos: La ley de Senos es una relación de tres igualdades que siempre se cumplen entre los ángulos y lados de los triángulos. Es de suma utilidad cuando se quiere resolver ciertos tipos de problemas con triángulos, especialmente con los triángulos que carecen de ángulos rectos. “En todo triángulo, los lados son directamente proporcionales a los senos de los ángulos opuestos”.. Donde A, B y C son los lados, y a, b, y c son los ángulos del triángulo. Las letras minúsculas se encuentras separadas al opuesto de su letra mayúscula. Resolución de triángulos por la ley de los Senos: Nota: Existen problemas de triángulos que no se pueden resolver con la ley de senos. En algunos casos por los datos dados, sólo la ley de cosenos lo puede resolver. Si un problema de triángulos te brinda como datos (2) ángulos y (1) lado, la ley usada es la de los senos. Por el contrario, si te dan (2) lados y el ángulo que hacen esos (2) lados, se usa la ley del coseno. Problema: Para el triángulo de la figura, C=102.3 grados, B=28.7 grados y b=27.4 metros. Encontrar los ángulos y lados restantes.. El tercer ángulo del triángulo es A = 180 - B - C = 49 grados. Por la ley de los senos tenemos que:.

(31) Usando b = 27.4 se obtiene, a = 27.4/ Sen 28.7 x Sen 49 = 43.06 mts Y c = 27.4/ Sen 28.7 x Sen 102.3 = 55.75 mts. Ley de Cosenos: La ley de Cosenos permite conocer cualquier lado de un triángulo, pero para llegar a ese resultado te pide que se conozcan los otros dos lados y el ángulo opuesto al lado que se quiere conocer. Esta ley, ayuda a resolver ciertos problemas con triángulos, como los triángulos que carecen de un ángulo de 90º “En todo triángulo el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de ellos, por el coseno del ángulo que forman”. A, B, y C son los lados del triángulo, y a, b y c son los ángulos del triángulo. Las letras minúsculas se encuentras separadas al opuesto de su letra mayúscula. Esto siempre debe realizarse de esta manera cuando se resuelve un triángulo, de lo contrario el resultado seguramente será erróneo. La ley del Coseno solo se usa cuando se tienen los (2) lados y el ángulo que forman los lados, de lo contrario se usa la Ley de Senos. Recuerda que para resolver uno de los ángulos internos del triángulo, la suma de los (3) ángulos dará 180º.Entonces: c = 180º - a – b Problema: Encontrar los tres ángulos de un triángulo cuyos lados son a= 80 m, b = 19 m, c=14 m.. Por la ley de los cosenos tenemos que: Cos B = (1/2ac) (a2 + c2 – b2) = (1/2)(8)(14) (82 + 142 – 192) = -0.4508. Como cos(B) es negativo, sabemos que B es un ángulo obtuso. De hecho, B = 116.80 grados. Podemos seguir aplicando la ley de los cosenos para obtener los otros ángulos, pero es más simple usar ahora la ley de los senos, pues:.

(32) Como B es obtuso, A debe ser agudo entonces A=22.08 grados.. Resolver por lo menos 3 de los siguientes ejercicios. Ejercicios de aplicación. En cada uno de los triángulos selecciona entre la Ley de los Senos y la Ley de los Cosenos para encontrar el dato que se solicita. 1.- ¿Cuánto mide el lado a? 2.- El lado "b" mide:. 3.- El ángulo B mide:. 4.- Longitud del lado c:. 5.- ¿Cuánto mide el lado c?. 6.- ¿Cuánto mide el ángulo C?.

(33) 7.- ¿Cuánto mide la altura h del triángulo 8.- ¿Cuánto mide la altura h del triángulo ABC? ABC?.

(34) Bloque temático II Redondo o con lados PROPÓSITO: El estudiante hace uso de las TIC, trabaja en forma colaborativa, analiza las características esenciales de ángulos y polígonos, aplica procedimientos de cálculos en la obtención de áreas y perímetros de figuras geométricas, realiza conversiones en dos diferentes sistemas para medir ángulos simplificando la aplicación de las fórmulas trigonométricas, con la finalidad de interpretar, analizar y argumentar la solución de problemáticas situadas. Núcleo temático: Uniendo puntos  Polígonos: perímetros, áreas y ángulos (interiores y exteriores).  La circunferencia y el círculo (elementos, perímetros y áreas).  Conversión de ángulos de grados a radianes y viceversa.. Polígono Figura geométrica plana, limitada por una poligonal cerrada que no se corta a si misma. Clasificación de los Polígonos Los polígonos se clasifican básicamente en: polígonos regulares polígonos irregulares Polígono Regular Polígono en el cual todos sus lados son de igual longitud, y todos sus vértices están circunscritos en una circunferencia. Se clasifican en: triángulo equilátero: polígono regular de 3 lados, cuadrado: polígono regular de 4 lados, pentágono regular: polígono regular de 5, hexágono regular: polígono regular de 6 lados, heptágono regular: polígono regular de 7 lados, octágono regular: polígono regular de 8 lados,... y así sucesivamente. Polígono regular. Polígono Irregular Polígono en el cual sus lados no son de igual longitud y/o sus vértices no están contenidos en una circunferencia. De acuerdo al número de sus lados, se denominan: triángulo: polígono de 3 lados, cuadrilátero: polígono de 4 lados, pentágono: polígono de 5 lados, hexágono: polígono de 6 lados, heptágono: polígono de 7 lados, octágono: polígono de 8 lados,... y así sucesivamente..

(35) Polígono irregular. Cuadrilátero Polígono de 4 lados. Se clasifican en: paralelogramo: cuadrilátero en el que los lados opuestos son paralelos, se denominan a su vez: o rectángulo: paralelogramo en el cual los cuatro ángulos son rectos, pero los lados adyacentes no son de igual longitud, o rombo: paralelogramo que no tiene ángulos rectos, pero sus lados son de igual longitud, o romboide: paralelogramo que no tiene ángulos rectos y sus lados adyacentes no son de igual longitud, trapecio: cuadrilátero que tiene solo dos lados paralelos, se definen a su vez como: o trapecio rectángulo: trapecio que tiene dos ángulos rectos, o trapecio isósceles: trapecio en el que sus lados no paralelos son de igual longitud, trapezoide: cuadrilátero que no tiene lados paralelos. Cuadrilátero: polígono de 4 lados.

(36) Ángulos interiores de polígonos Un ángulo interior es un ángulo dentro de una figura.. Triángulos Los ángulos interiores de un triángulo suman 180°. 90° + 60° + 30° = 180°. 80° + 70° + 30° = 180°. ¡En este triángulo es verdad!. Vamos a inclinar una línea 10° ... También funciona, porque un ángulo aumentó 10°, pero otro disminuyó 10°. Cuadriláteros (cuadrados, etc.) (Un cuadrilátero es una figura de 4 lados). 90° + 90° + 90° + 90° = 360° Un cuadrado suma 360°. 80° + 100° + 90° + 90° = 360° Vamos a inclinar una línea 10° ... ¡también suman 360°! Los ángulos interiores de un cuadrilátero suman 360° Porque en un cuadrado hay dos triángulos Los ángulos interiores de este triángulo suman 180° (90°+45°+45°=180°). ... y los de este cuadrado 360° ... ¡porque el cuadrado está hecho de dos triángulos!.

(37) Pentágono Un pentágono tiene 5 lados, y se puede dividir en tres triángulos, así que ... ... sus ángulos interiores suman 3 × 180° = 540° Y si es regular (todos los ángulos son iguales), cada uno mide 540° / 5 = 108° (Ejercicio: asegúrate de que cada triángulo aquí suma 180°, y comprueba que los ángulos interiores del pentágono suman 540°) La regla general Así que cada vez que añadimos un lado más (de triángulo a cuadrilátero, a pentágono, etc) sumamos otros 180° al total: Si es regular... Suma de los Figura Lados Forma Cada ángulo ángulos interiores Triángulo. 3. 180°. 60°. Cuadrilátero. 4. 360°. 90°. Pentágono. 5. 540°. 108°. Hexágono. 6. 720°. 120°. .... .... ... Cualquier polígono. n. (n-2) × 180°. .... ... (n-2) × 180° / n. La última línea puede ser un poco difícil de entender, así que vamos a ver un ejemplo. Ejemplo: ¿Qué pasa con un decágono (10 lados)? Suma de los ángulos interiores = (n-2) × 180° = (10-2)×180° = 8×180° = 1440° Y, si es regular, cada ángulo interior = 1440°/10 = 144° Perímetros y áreas de polígonos regulares. Perímetro: El perímetro de un polígono es igual a la suma de las longitudes de sus lados. Área: El área de un polígono es la medida de la región o superficie encerrada por un polígono..

(38) Revisar aéreas y volúmenes para el examen.

(39)

(40)

(41) Razones trigonométricas. Si se considera un triángulo rectángulo como el que se muestra en la figura 1 se pueden establecer las siguientes 6 razones trigonométricas:.

(42) Figura 1. Triángulo rectángulo. 1. Seno de un ángulo. Se define como la razón entre el cateto opuesto a la hipotenusa. Así, el seno se puede expresar de manera siguiente:. sen A. cateto opuesto hipotenusa. a c. 2. Coseno de un ángulo. Se define como la razón entre el cateto adyacente a la hipotenusa. El coseno se expresa:. cos A. cateto adyacente hipotenusa. b c. 3. Tangente de un ángulo. Se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente. La tangente se escribe:. tan A. cateto opuesto cateto adyacente. a b. 4. Cotangente de un ángulo. Se define como la razón entre el cateto adyacente y el cateto opuesto. Y se escribe:. cot A. cateto adyacente cateto opuesto. b a. 5. Secante de un ángulo. Se define como la razón entre la hipotenusa y el cateto adyacente. Se expresa:. sec A. c b. hipotenusa cateto adyacente. 6. Cosecante de un ángulo. Se define como la razón entre la hipotenusa y el cateto opuesto.. csc A. hipotenusa cateto opuesto. c a. De manera similar se pueden establecer las razones trigonométricas para el ángulo B. Ejemplo: Determinar las razones trigonométricas del triángulo rectángulo de la figura 2, para el ángulo A y para el ángulo B:.

(43) Figura 2. Triángulo rectángulo para el ejemplo 1. Solución: Para obtener las razones trigonométricas del ángulo A, es necesario considerar las definiciones establecidas anteriormente y observar, que para este triángulo en particular, el cateto opuesto = 3, el cateto adyacente = 4 y la hipotenusa = 5. Así:. sen A. cateto opuesto hipotenusa. cos A. cateto adyacente hipotenusa. 4 5. 0.8. tan A. cateto opuesto cateto adyacente. 3 4. 0.75. cot A. cateto adyacente catetoopuesto. 4 3. 1.3333. hipotenusa. 5 4. 2.25. sec A csc A. 3 5. cateto adyacente hipotenusa. catetoopuesto. 5 3. 0.6. 1.6666. Ejercicios 1. Considere el triángulo de la figura 1 y determine las razones trigonométricas del ángulo A del triángulo cuyos lados son: a = 6, b = 8 y c = 10..

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