SISTEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO

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SISTEMAS DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Un sistema de "m" ecuaciones lineales con "n" incógnitas, x1, x2,..., xn es un conjunto de "m" igualdades de la forma:

m n mn m m n n n n

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

...

....

...

...

...

...

...

...

2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11

donde aij, bi (1  i  m, 1  j  n) son elementos conocidos de R, denominados coeficientes y términos independientes, respectivamente.

Una solución de un sistema de "m" ecuaciones lineales con "n" incógnitas es un conjunto de números (s1, s2,.... sn) tales que al sustituirlos en lugar de x1, x2,..., xn respectivamente, dan lugar a "m" identidades.

Si los términos independientes son todos nulos: bi=0 con 1  i  m, el sistema se llama homogéneo.

Resolver un sistema es obtener las soluciones del sistema.

CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS

Los sistemas de ecuaciones lineales, según las soluciones que posean se clasifican de la siguiente manera:

- Un sistema se dice que es compatible si tiene al menos una solución. Si esa solución es única, se dice

compatible determinado. Si las soluciones son infinitas, se dice que el sistema es compatible indeterminado.

- Si un sistema no tiene solución se dice que es incompatible. En resumen,

 

soluciones

tiene

ADO

INDETERMIN

trivial

solución

la

O

DETERMINAD

solución

tiene

COMPATIBLE

HOMOGÉNEO

solución

tiene

no

LE

INCOMPATIB

soluciones

tiene

ADO

INDETERMIN

única

es

solución

la

O

DETERMINAD

solución

tiene

COMPATIBLE

HOMOGÉNEO

NO

SISTEMA

menos al trivial la ntes independie términos los todos nte independie término ún a 0 0 lg

(2)

Dos sistemas de ecuaciones lineales, son equivalentes, si tienen las mismas soluciones.

Criterios de equivalencia:

Se trata de ver cuáles son las transformaciones que podemos efectuar en un sistema dado de manera que obtengamos otro sistema equivalente y más sencillo.

1. Al intercambiar dos ecuaciones cualesquiera de un sistema, resulta un sistema equivalente al dado. 2. Al multiplicar toda una ecuación de un sistema por un número distinto de cero, resulta un sistema

equivalente al dado.

3. Si en un sistema sustituimos una ecuación por la suma de ella con una combinación lineal de otras, resulta otro sistema equivalente al dado.

4. Si en un sistema de ecuaciones lineales una ecuación es combinación lineal de otras, resulta otro sistema equivalente al dado.

RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE DOS ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS.

Método de sustitución.

Los pasos que debes seguir para aplicar el método de sustitución son los siguientes: 1º. Despeja una de las incógnitas en una de las ecuaciones.

2º. Sustituye la expresión obtenida en la otra ecuación.

3º. Resuelve la ecuación resultante, que es de primer grado y con una incógnita.

4º. Calcula la otra incógnita sustituyendo, en una cualquiera de las ecuaciones, el valor obtenido.

Ejemplos: a)

4

2

3

7

3

2

y

x

y

x

b)

14

6

4

7

3

2

y

x

y

x

c)

5

3

2

7

3

2

y

x

y

x

Resolución de sistemas: método de igualación.

Los pasos que debes seguir para aplicar el método de igualación son los siguientes: 1º. Despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones.

2º. Iguala las dos expresiones resultantes.

3º. Resuelve la ecuación resultante, que es de primer grado y con una incógnita.

4º. Calcula la otra incógnita sustituyendo, en una cualquiera de las ecuaciones, el valor obtenido.

Ejemplo:

6

2

4

3

5

y

x

y

x

Resolución de sistemas: método de reducción.

La regla en que se basa el método de reducción es que si a una ecuación de un sistema se le suma o se le resta otra ecuación del sistema, resulta un sistema equivalente al dado.

Esta regla permite eliminar una incógnita y obtener una ecuación de primer grado, siempre que los coeficientes de dicha incógnita sean:

- Iguales: se restan las ecuaciones. - Opuestos: se suman las ecuaciones.

*Sistemas con coeficientes iguales u opuestos:

Pasos a seguir:

1º. Sumar o restar las ecuaciones del sistema. 2º. Resolver la ecuación de primer grado resultante.

(3)

Ejemplo: 3x-4y=-6 2x+4y=16

*Sistemas sin coeficientes iguales:

Pasos a seguir:

1º. Igualar los coeficientes salvo el signo de una de las incógnitas. (Puede hacerse utilizando los productos cruzados si no se encuentra otro método más sencillo).

2º. Sumar o restar, según convenga, las dos ecuaciones del sistema, de modo que al operar se elimine una incógnita.

3º. Resolver la ecuación de primer grado resultante.

4º. Calcular la otra incógnita sustituyendo, en una cualquiera de las ecuaciones, el valor obtenido.

Ejemplo: 1º) 3x-2y=-6 2º) 6x+5y=27

9x+4y=108 8x-2y=10

SISTEMAS DE TRES ECUACIONES CON TRES INCÓGNITAS

Un sistema de tres ecuaciones de primer grado con tres incógnitas puede escribirse así:

3 33 32 31

2 23 22 21

1 13 12 11

b

z

a

y

a

x

a

b

z

a

y

a

x

a

b

z

a

y

a

x

a

donde los coeficientes de las incógnitas y los términos independientes son números reales.

Método de sustitución.

Consiste en despejar una incógnita en una de las ecuaciones y sustituir la expresión obtenida en las otras dos ecuaciones. Así se obtiene un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

Ejemplo:

5

3

2

15

3

2

1

z

y

x

z

y

x

z

y

x

Método de igualación.

Consiste en despejar la misma incógnita en las tres ecuaciones e igualar las expresiones obtenidas dos a dos. Así se obtiene un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

Ejemplo:

4

2

3

3

2

3

z

y

x

z

y

x

z

y

x

Método de reducción.

Consiste en eliminar la misma incógnita entre dos parejas distintas de ecuaciones para obtener un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Para eliminar la incógnita elegida se suman o se restan las ecuaciones previamente multiplicadas por los números adecuados para que los coeficientes se anulen.

Ejemplo:

6

2

3

3

3

2

2

3

2

z

y

x

z

y

x

z

y

x

(4)

3

3

2

4

6

4

2

z

y

x

z

y

x

6

2

3

6

9

6

3

z

y

x

z

y

x

7

7

7

y

z

4

y

8

z

12

El sistema obtenido es:

1

,

2

2

12

8

4

7

7

7

x

z

y

z

y

z

y

.

EL MÉTODO DE GAUSS:

Un sistema de ecuaciones se dice que tiene forma escalonada cuando cada una de las ecuaciones tiene una incógnita menos que la anterior.

Con sencillas transformaciones podemos pasar un sistema a otro de forma escalonada equivalente. Después, en cada paso, calculamos una incógnita cuyo valor se sustituye en la ecuación anterior.

Este procedimiento se llama método de Gauss para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.

Criterios de equivalencia:

Se trata de ver cuáles son las transformaciones que podemos efectuar en un sistema dado de manera que obtengamos otro sistema equivalente y más sencillo.

1. Al intercambiar dos ecuaciones cualesquiera de un sistema, resulta un sistema equivalente al dado. 2. Al multiplicar toda una ecuación de un sistema por un número distinto de cero, resulta un sistema equivalente al dado.

3. Si se suma un mismo número o una expresión algebraica a los dos miembros de una ecuación, no varía su conjunto de soluciones.

4. Si en un sistema de ecuaciones lineales se suprime ó se añade una ecuación que sea combinación lineal de las demás se obtiene un sistema equivalente al dado.

Ejemplo:

9

3

2

1

2

2

z

y

x

z

y

x

z

y

x

. Vamos a eliminar de la 2ª y 3ª ecuaciones la x.

Para eliminar la x de la 2ª ecuación, multiplicamos a la 1ª ecuación por -2 (-2x-2y-2z=-4) y se la sumamos a la 2ª.

Para eliminar la x de la 3ª ecuación, le restamos la 1ª. El sistema equivalente resultante, será:

7

2

3

3

3

3

2

z

y

z

y

z

y

x

Eliminamos ahora de la 3ª ecuación la y. Le restamos la 2ª ecuación quedando, en definitiva el siguiente

sistema:

10

5

3

3

3

2

z

z

y

z

y

x

. Es un sistema escalonado de solución única:

(5)

Discusión de un sistema de ecuaciones por el método de Gauss:

Sea un sistema de 3 ecuaciones lineales con 3 incógnitas. Si después de reducirlo a forma escalonada o triangular:

a) Se obtiene alguna ecuación de la forma 0=c, con c0, el sistema es incompatible. b) Si no es así el sistema es compatible.

En este caso, si llamamos r al número de ecuaciones no triviales (que no sean 0=0) que tiene el sistema en su forma escalonada:

- Si r=n, hay solución única (es sistema compatible y determinado).

- Si r<n, presenta infinitas soluciones, y cada una de ellas depende de n-r parámetros. (es sistema compatible e indeterminado).

Ejemplo:

11

10

4

8

5

10

7

3

z

y

x

z

y

x

z

y

x

. Transformándolo en un sistema escalonado, queda:

0

0

21

17

7

10

7

3

z

y

z

y

x

.

El sistema es compatible, pero indeterminado, con infinitas soluciones que dependen de 3-2=1

parámetro. Queda así:

z

y

z

y

x

17

21

7

7

10

3

. La solución es

z

y

x

7

17

3

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