ECUACIONES DE PRIMER GRADO

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ECUACIONES

Una ecuación es una propuesta de igualdad en la que interviene una letra llamada incógnita.

La solución de la ecuación es el valor o valores de la incógnita (o de las incógnitas) que hacen que la igualdad sea cierta.

Resolver una ecuación es hallar su solución, o soluciones, o llegar a la conclusión de que no tiene.

Las ecuaciones que tienen solución son compatibles. Las ecuaciones que no tienen solución son incompatibles. Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones.

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Una ecuación de primer grado es una expresión que se puede reducir a la forma ax = b. Al resolverlas podemos encontrar tres clases diferentes:

- Ecuación determinada: cuando a  0. Tiene una única solución: x=-b/a.

- Ecuación indeterminada: cuando a = 0 y b = 0. La ecuación tiene infinitas soluciones (es válido cualquier valor que demos a x).

- Ecuación imposible: cuando a = 0 y b  0. La ecuación no se cumple para ningún valor de x, no tiene solución.

Dos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución (o ambas carecen de solución).

Resolución de ecuaciones:

Las transformaciones que podemos realizar en una ecuación, manteniendo la equivalencia, son:

- Sumar o restar la misma expresión en los dos miembros de la igualdad (lo que está sumando en un miembro pasa al otro restando).

- Multiplicar o dividir los dos miembros por el mismo número distinto de cero (lo que está multiplicando a todo lo demás de un miembro, pasa dividiendo al otro, y viceversa).

Regla del factor: si el producto de dos factores es cero, al menos uno de ellos debe ser cero.

Pasos para resolver una ecuación de primer grado.

1º. Quitar paréntesis, si los hay.

2º. Quitar denominadores, si los hay. Para ello, se multiplican los dos miembros de la ecuación por un múltiplo común de los denominadores, preferiblemente por el mínimo común múltiplo.

3º. Pasar los términos en x al primer miembro y los números al otro miembro. 4º. Simplificar en cada miembro.

5º. Despejar la x.

6º. Sustituir la solución en cada miembro de la ecuación inicial, para comprobar que coinciden los resultados.

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

Una ecuación de segundo grado tiene la forma general: a·x2+b·x+c=0.

(El primer sumando del primer miembro no puede ser nunca nulo, pues entonces no se trataría de una ecuación de segundo grado).

Para resolver una ecuación de segundo grado, cuya expresión general es, como ya hemos visto: a·x2+b·x+c=0, hay que despejar la x. Esto se consigue mediante un largo proceso cuya expresión final es la siguiente:

a

ac

b

b

x

2

4

2

(2)

Posibles formas de la ecuación de segundo grado.

Todas las ecuaciones de segundo grado se pueden resolver con la ecuación general de la solución que hemos visto. Pero hay algunas ecuaciones de segundo grado que, por su forma, se pueden resolver mas fácilmente por otros métodos. Veremos algunos casos a continuación.

Ecuaciones sin término en x: son de la forma ax2+c=0. En estas ecuaciones se despeja x, y se obtienen los valores de x, si los hay.

Ejemplos: a) 3x2-75=0 b) 7x2-40=0 c) 2x2+10=0

Ecuaciones que son producto de varios factores: son de la forma: k·(x-p)·(x-q)=0. Teniendo en cuenta que para que el producto de varios factores sea cero es necesario que alguno de los factores valga cero, en estas ecuaciones hay que igualar todos los factores a cero para encontrar las soluciones.

Ejemplos: a) 3(x-5)(4x+3)=0 b) 7(2x+11)(3x-1)=0

Ecuaciones sin término independiente: son de la forma: ax2+bx=0. Estas ecuaciones se pueden factorizar sacando x factor común. Una solución es x=0 y la otra solución se obtiene resolviendo la ecuación ax+b=0.

Ejemplos: a) 7x2-5x=0 b) 2x2+40x=0

Número de soluciones.

El radicando, es decir, la expresión que aparece dentro de la raíz, b2-4ac, se llama discriminante de la ecuación. El número de soluciones depende del signo de ésta expresión:

- Si el discriminante es positivo, entonces la ecuación tiene dos soluciones reales y distintas. - Si el discriminante es cero, entonces la ecuación tiene una solución única, que se llama solución real doble.

- Si el discriminante es negativo, entonces la ecuación no tiene solución real.

Ejemplos: Calcula, sin resolverlas, el número de soluciones que tienen las siguientes ecuaciones. a) x2-5x+6=0 b) 9x2+6x+1=0 c) 5x2-7x+3=0

Interpretación gráfica de las soluciones de la ecuación de segundo grado.

La interpretación gráfica de las ecuaciones de segundo grado y de las soluciones de la ecuación de segundo grado se realiza a partir de la función cuadrática,

y

ax

2

bx

c

, que se representa

mediante una parábola cuyo eje es paralelo al eje Y.

El vérticede una parábola se calcula encontrando su coordenada ‘x’ mediante la expresión:

a

b

x

v

2

,

y su coordenada ‘y’ sustituyendo el valor obtenido en la ecuación de la parábola, es decir:







a

b

f

a

b

V

(3)

Orientación de la parábola: Si a > 0, la parábola presenta un mínimo en su vértice y las ramas de la parábola van hacia arriba, y, si a < 0, la parábola presenta un máximo en su vértice y las ramas de la parábola van hacia abajo.

Los puntos de corte de la parábola con los ejes de coordenadas se calculan de la siguiente forma:

• Con el eje X: se hace y=0 y se despeja la ‘x’, pudiendo haber cero, uno o dos puntos de corte.

• Con el eje Y: al hacer x=0 se obtiene y=c  el punto es (0,c).

Para calcular los puntos de corte con el eje X resolvemos la ecuación

ax

2

bx

c

0

, que tendrá dos, una o ninguna solución, dependiendo del valor de discriminante (radicando)

b

2

4

ac

. Si hay dos

soluciones implica dos puntos de corte, una solución quiere decir que la parábola es tangente al eje OX y ninguna solución implica que la parábola no toca al eje: está entera por encima o por debajo del eje OX.

RELACIONES DE CARDANO

Las soluciones

x

1 y

x

2 de la ecuación de segundo grado:

0

2

c

bx

ax

verifican las relaciones:

- Suma:

a

b

x

x

S

1

2

- Producto:

a

c

x

x

P

1

·

2

Ejemplo: La ecuación de 2º grado cuyas soluciones son:

x

1

3

y

x

2

2

es:

3

2

  

3

·

2

0

6

0

0

2 2

2

x

x

x

x

P

Sz

x

ECUACIONES BICUADRADAS

Las ecuaciones bicuadradas son ecuaciones polinómicas de cuarto grado que carecen de términos de grado impar, es decir, de la forma:

a·x4+b·x2+c=0 con a > 0

Estas ecuaciones se resuelven haciendo el cambio: x2 = z, obteniéndose la ecuación de 2º grado: a·z2+b·z+c=0

Una vez calculados los valores de z, se calculan los valores de x extrayendo la raíz cuadrada. Según el signo de las soluciones de z, se pueden obtener hasta cuatro soluciones.

(4)

2

2

4

3

3

9

4

,

9

0

36

13

2 1 2 2 1 2 2 1 2

x

x

x

x

x

x

z

z

z

z

Ejemplo: Resuelve la ecuación:

x

4

5

x

2

36

0

ECUACIONES RACIONALES

Una ecuación con denominadores algebraicos se llama ecuación racional. Para resolverla hay que transformarla en una ecuación entera (sin denominadores), multiplicando los dos miembros de la ecuación por el m.c.m. de los denominadores.

Como esta operación no conduce a una ecuación equivalente, tenemos que comprobar si se han producido soluciones extrañas, es decir, que las soluciones que obtenemos no sean raíz de ningún denominador.

Ejemplo: Resuelve la ecuación:

2

1

2

1

3

1

1

2

2

x

x

x

x

.

El m.c.m. de los denominadores es

x

1

 

2

·

x

1

. Entonces:

 

 

1



·

1

 

3

·

1

2

·

1

1

2

2

·

1

·

1

1

3

1

1

·

1

·

1

2 2 2 2

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

2

3

2

5

1

2

24

1

1

0

6

2

2

3

3

1

2 1 2 2

x

x

x

x

x

x

x

x

Ambas soluciones son válidas.

Ejemplo: Resuelve la ecuación:

3

1

1

4

1

x

x

x

x

.

ECUACIONES RADICALES

Las ecuaciones radicales son aquellas en las que la incógnita aparece en alguno de sus términos, bajo el signo radical. Resolveremos ecuaciones con radicales cuadráticos. Para resolverlas, basta seguir los siguientes pasos:

1º. Se aísla un radical en uno de los miembros, pasando los restantes términos, radicales y no radicales, al otro miembro.

2º. Se elevan al cuadrado los dos términos. (Si queda todavía algún radical, se repiten los dos pasos anteriores).

3º. Se resuelve la ecuación obtenida.

(5)

Ejemplos: Resuelve las ecuaciones: a)



)

(

1

)

(

4

0

4

5

2

2

2

2 2

vale

si

x

vale

no

x

x

x

x

x

x

x

x

x

b)

x

5

x

5

x

5

5

x

x

5

25

x

10

x

x

2

x

4

(

si

vale

)

Ejemplo: Resuelve la ecuación:

x

2

2

x

2

ECUACIONES POLINÓMICAS DE GRADO SUPERIOR A DOS

Las ecuaciones de tercer grado en las que falta el término independiente,

ax

3

bx

2

cx

0

, y las de cuarto grado en las que faltan los dos últimos términos,

ax

4

bx

3

cx

2

0

, se pueden resolver también reduciéndolas a ecuaciones de segundo grado.

Para ello se opera del siguiente modo:

0

0

0

0

2 2 2 3

c

bx

ax

x

c

bx

ax

x

cx

bx

ax

La ecuación tiene como soluciones x=0 y las que se obtengan al resolver la ecuación de segundo grado resultante.

Ejemplo: Resuelve la ecuación: x3+12 x2–64 x = 0

16

4

0

64

12

0

0

64

12

64

12

2 2 2

3

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

Ejemplo: Resuelve las ecuaciones:

A)

3

x

x

2

1

x

2

0

B)

x

5

6

x

4

7

x

3

36

x

2

36

x

0

Resolución de ecuaciones por factorización

La expresión (x-1)(x+2)(x-4)=0 es una ecuación de tercer grado que podemos resolver aplicando una técnica que ya conocemos: igualando cada factor a cero:





4

0

4

2

0

2

1

0

1

0

4

2

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

En general, si en una ecuación de cualquier grado, escrita en la forma P(x)=0, el polinomio P(x) se puede descomponer en factores de primer y segundo grado, entonces basta con igualar a cero cada uno de los factores y resolver las ecuaciones resultantes. Para ello, las ecuaciones de tercer grado o grado superior deben tener raíces enteras, que siempre se encuentran entre los divisores del término independiente. (Las podemos encontrar aplicando el teorema del resto o el teorema del factor).

Si se conoce una solución r de la ecuación polinómica P(x)=0, entonces se puede factorizar así: P(x)=(x-r)·q(x)=0

(6)

Ejemplo: Resuelve las ecuaciones: 1)

x

3

2

x

2

x

2

0

2) 2x3+3x2-4x-1=0

Soluciones: 1) x=1,-1,-2 2) x=1,

4

17

5

,

4

17

5

REPASO: LOGARITMOS

El logaritmo en base a (a > 0 y a  1) de un número N (positivo) es el exponente a que hay que elevar la base para obtener dicho número.

logaN = x  ax = N

En cualquier base se tiene:

loga 1 = 0  a0 = 1

loga a = 1  a1 = a

Los logaritmos en base 10 se llaman logaritmos decimales y se indican omitiendo la base, así: log N. El logaritmo neperianoes el logaritmo en base e (e=2,71…) y se escribe “Ln”.

Ejemplo: Halla los logaritmos siguientes:

y

log

2

8

8

2

2

3

2

y

3

y y

4

2

2

2

1

16

16

log

1/2

4

y

y

y

y

5

2

x

log

2

5

x

• ¿En qué base el logaritmo de 100 es 2?

10

10

100

100

log

2

a

a

2

a

2

2

a

Una ecuación logarítmica es aquella en la que aparece el logaritmo de la incógnita, o de una expresión que la contenga.

Propiedades de los logaritmos:

I.

log

b

M

·

N

log

b

M

log

b

N

II.

N

M

N

M

b b

b

log

log

log

III.

 

M

n

b

M

n

b

·log

log

IV.

 

b

M

M

a a b

log

log

log

ECUACIONES LOGARÍTMICAS

(7)

Ejemplo: 2·logx-4·log2=3·log3 

log

log

2

log

3

log

2

log

3

2

3

12

3

3 4 2 3 4

2 3

4

2

x

x

x

x

Como

log

12

3

no se puede calcular, sólo es válida la solución

x

12

3

.

• Así que es imprescindible comprobar las soluciones, porque aunque satisfagan la ecuación A = B, pueden no satisfacer la ecuación inicial, debido a que algún logaritmo carezca de sentido.

• Algunas ecuaciones exponenciales sólo se pueden resolver tomando logaritmos, puesto que no se reducen a potencias de igual base.

Ejemplo:

2

3x

11

. Aplicando logaritmos:

log

2

3x

log

11

3

x

·log

2

log

11

y despejando x,

obtenemos

1533

,

1

2

·log

3

11

log

x

.

Ejemplo: Resuelve las ecuaciones:

A)

log

x

1

log

2

x

1

log

x

2

5

B)

log

x

20

log

x

45

2

ECUACIONES EXPONENCIALES

Una ecuación exponencial es aquella en la que la incógnita está en el exponente.

Para resolver ecuaciones exponenciales, además del cálculo mental, se utilizan distintos métodos según el tipo de ecuación.

Cuando los dos miembros de la ecuación se pueden expresar como potencias de la misma base, hay que tener en cuenta las propiedades de las potencias:

a0=1, a-m= m

a

1

(m > 0)

1º. El producto de dos potencias de la misma base es otra potencia con la misma base y que tiene como exponente la suma de los exponentes: am·an=am+n.

2º. El cociente de dos potencias de la misma base es otra potencia con la misma base y que tiene como exponente la resta de los exponentes: am:an=am-n.

3º. La potencia de una potencia es otra potencia con la misma base y que tiene como exponente el producto de los exponentes: (am)n=am·n.

4º. El producto de dos potencias con el mismo exponente es otra potencia que tiene por base el producto de las bases y por exponente el mismo: am·bm=(a·b)m.

5º. El cociente de dos potencias con el mismo exponente es otra potencia que tiene por base el cociente de las bases y por exponente el mismo: am:bm=(a:b)m.

(8)

Ejemplo:

2

3x5

128

.

Descomponiendo 128 en factores primos, queda: 3 5 7

2

2

x

. Como son dos potencias de igual base, han

de ser iguales los exponentes, por tanto: 3x – 5 = 7, que tiene por solución x = 4.

- Todos los términos con incógnita se pueden expresar en función de algún número elevado a dicha incógnita.

Ejemplo:

4

x2

2

x1

20

.

Como 2

2

4

, queda

 

2

2 x2

2

x1

20

; usando las propiedades de las potencias y quitando denominadores, se tiene:

2

2x

32

·

2

x

320

0

. Llamando

y

2

x, será

y

2

2

2x. Sustituyendo en la

ecuación queda:

y

2

32

y

320

0

, que tiene por soluciones 8 y –40. Como

y

2

x, queda

8

2

x o

bien x

2

40

. De x

2

8

resulta x = 3. De

40

2

x no se obtiene solución, ya que una potencia no puede ser negativa.

Ejemplo: Resuelve las ecuaciones:

Figure

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