A) 1 B) 2 C) 3 - SEMANA 7 ARITMETICA – Divisibilidad I

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SEMANA 7

DIVISIBILIDAD I

1. Si:

A = 3k + 1 ; B = 3k + 2 Halle el residuo que deja la expresión:

E = [2A _{+ 2}2B _{+ 2³] entre 7}

A) 1 B) 2 C) 3 D) 5 E) 4

RESOLUCIÓN

E = (2A _{+ 2}2B _{+ 8)  7}

E = (23k+1₊₂6k+4_{+ +1)}

E = (2³)k

_.

E = ( +1)2 + ( +1)( +2)+1

E = 2 + 2 + 1 +

E = + 5  residuo = 5

RPTA.: D

2. Una importadora ha comprado relojes a S/. 143 c/u, lapiceros a S/. 91 c/u; pulseras a S/. 77 c/u. Si la factura total fue S/. 2213. Halle el número de relojes.

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

RESOLUCIÓN

Planteando el enunciado: “a” # de relojes

143  a + 91  b + 77 x c = 2 2 1 3

1 2 3 1

(1) +1

* Módulo de :

[( +3)a+ + ] = 3 + ¨ 3a + = 7 + 1

m = 2 ; a = 5

RPTA.: B

3. ¿Cuál es el residuo de dividir: 666...666 (8) entre 13?

102 cifras

A) 2 B) 8 C) 3 D) 5 E) 9

RESOLUCIÓN

Calculando restos potenciales de base 8 respecto al módulo 13.

Base 8: 80_{; 8}1_{; 8²; 8³; 8}4

1; 8; 12; 5; 1 1; 5; 1; 5; 1

Cada 4 cifras se anula:

6 6 6 ... 6 6 6(8)

 

5 1 100 cifras = 0



+ 2 = + r

 r = 2

RPTA.: A

4. Si: es la suma de 83 números consecutivos, halle el valor de “a”.

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D) 4 E) 5

RESOLUCIÓN

Sean los 83 números consecutivos: n41; ...; n1; n; n+1,...;n+41

Luego:

n41 + ....+n+41= 83n =

= 43043 + 100a = 49 + 17a + = 17a  34 a = 2

RPTA.: B

5. ¿Cuántos términos son múltiplos de ?

2; 5; 10; 17; ...; 10001

A) 12 B) 9 C) 8 D) 5 E) 6

RESOLUCIÓN

Término n ésimo:

an = n² + 1 ; n = 1,...., 100

n² +1 = n² + 1  50 = (n + 7) (n  7) =

n + 7 =  n = 18; 43; 68; 93 n  7 =  n = 7 ; 32 ; 57; 82 # términos = 8

RPTA.: C

6. Si al dividir por exceso:

con no deja residuo, halle el valor de b.

A) 1 B) 2 C) 5 D) 7 E) 8

RESOLUCIÓN

Se tiene:

= + 2031 + 100b = + 7 + 8b

Como el residuo es “0”

 7 + 8b = b = 2

RPTA.: B

7. Halle el residuo de dividir: por 10

A) 1 B) 2 C) 5 D) 6 E) 7

RESOLUCIÓN

= ...1 = + 1

RPTA.: A

8. Halle el residuo de dividir: por 2.

A) 0 B) 1 C) 0.1 D) FD E) N.A.

RESOLUCIÓN

E = ; a = 1 , b=0

=

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= + 3 E = +1

RPTA.: B

9. ¿Cuál es el residuo de dividir la siguiente suma:

E = [2

₊₉

.

₄

_]

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

RESOLUCIÓN

E = 26n+3 _{+ 9}k

_.

E =

.

_.

E = ( +1)( +1) + 2k

_.

Ojo: 2k

_.

E = ( +1)+( +1) = +2

RPTA.: B

10. Sea:

n! = + 2;

(n+1)! = + 6

¿Cuál es el residuo de (n+3)! entre 23?

A) 3 B) 6 C) 5 D) 12 E) 13

RESOLUCIÓN

RPTA.: Cç

11. ¿Cuántos términos de la serie: 4; 11; 22; 37; 56; ....(100 términos) son: ( +1)?

A) 14 B) 15 C) 9

D) 8 E) 12

RESOLUCIÓN

Sucesión de 2º orden:

c = 1 4; 11; 22; 37; 56;...

a+b = 3 7 11 15 19

2a = 4 4 4 4

 columna secundaria a = 2 ; b = 1 ; c = 1

2n² + n + 1 = + 1

n(2n+1) = ; n = k

#s: {13; 26; 39; 52; 65; 78; 91} (7 nros)

#s: {2n+1= 13; 6; 19; ...97} (8 nros)

Total de números 7 + 8 = 15

RPTA.: B

12. Halle “a” si (a+b) = 6, además:

y el

exponente tiene 88 cifras.

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 2

RESOLUCIÓN

++

1334 = +3; calculando restos potenciales.

( +3)5k+b _{=( +3)}5k_{( +3)}b_{= +9}

=( + 35k_{)( +3}b_{) = +9}

=( +3b_{) = +9}

b = 2 ; a = 5

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13. Si el número se convierte en base 11. ¿Cuál será la cifra de unidades del resultado?

A) 7 B) 3 C) F.D. D) 2 E) 1

RESOLUCIÓN

Restos potenciales de impotencia 3 con respecto al módulo 11.

30_{; 3}1_{; 3²; 3³; 3}4_{; 3}5

1; 3; 9; 5; 4; 1

+( +1)

.

r = 3

RPTA.: B

14. Halle el resto de dividir E entre 7:

A) 2 B) 6 C) 3 D) 1 E) 5

RESOLUCIÓN

E = 1426 Impar _{= + r}

( 2)Impar _{= +r}

 2k _{= + r}

K = múltiplo de 3  k = 3n

 23n _{=  1 = + r}

+ 6 = + r r = 6 Residuo = 6

RPTA.: B

15. Halle (d+u), si el número de

la forma:

y m + c + d + u = u²

A) 9 B) 13 C) 12 D) 15 E) 45

RESOLUCIÓN

u² =16

 ++ 3 1 u² = 25 u² = 36

c + u  (m+d) = ;

para u = 4

c  (m+d) =  4 ... ()

3m+d = ...()

Para u = 4 m + c + d = 12

m + d = 12  c ...()

si: c = 4

m + d = 8 ...()

de () y () c = + 4 c = 4

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RPTA.: A

16. ¿Cuántos términos de la siguiente sucesión: 2; 6; 12; 20; 30; ....;14762 al expresarlos en base 5, resultan que su cifra de menor orden es 1?

A) 12 B) 24 C) 36 D) 42 E) 28

RESOLUCIÓN

2 ; 6 ; 12 ; 20 ; 30 ; .... 14762

    

1x2; 2x3;3x4;4x5; 5x6; ....;121x122

 tn = n (n+1) = + 1 ; n= 1,2,...,121

(por dato en base 5 acaba en 1)

n² + n = + 1 + 5

 n² + n  6 =

(n+3)(n2) =

Luego:

n + 3 =  n =  3 = + 2 n  2 =  n = + 2

 n = 5k + 2  k = 0; 1; 2; ....23

n  121 24 valores

RPTA.: B

17. En una fiesta infantil el payaso “POPI” juega con un grupo no más de 150 niños y observa que si los agrupa de 7 en 7 le sobran 5 niños; si los agrupa de 4 en 4 le faltaría un niño para formar un nuevo grupo y si los agrupa de 9

en 9 le sobran 2 niños. Calcule el número de niños que hay en dicha fiesta.

A) 42 B) 130 C) 47 D) 122 E) 56

RESOLUCIÓN

# niños (N)  150 N = +5

N = + 3  N = + 11 N = + 2  N = + 11

 N = +11 = 36 k + 11 k = 1 ; 2 ; 3

N = 47; 83; 119

Pero: N = + 5

 N = 47

RPTA.: C

18. En una conferencia a la que asistieron 528 personas; se sabe que de los varones: la tercera

parte usan corbata; los usan

lentes y los llevan saco. De las

mujeres se sabe que: la sexta

parte usa minifalda; las usan

lentes y las tienen ojos azules.

Calcule el número de personas que usan lentes.

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RESOLUCIÓN

# personas = 528

De los varones (V):

* usan corbata =

* usan lentes =

* llevan saco =

 V = = 105x

De las mujeres (M): * usan minifalda =

* usan lentes = 3M/4 M =

* tienen ojos azules =

 M = = 36y

 105x + 36y = 528  

4 3

Personas con lentes: 137

RPTA.: A

19. Un comerciante va a la “Galería Gamarra” con S/. 3060 para comprar polos, camisas y pantalones de precios unitarios iguales a S/. 15; S/. 24 y S/. 60 respectivamente. Si entre pantalones y camisas debe comprar más de 10 prendas. Calcule cuántas prendas en total compró; si la cantidad de polos

fue la mayor posible; además compró al menos uno de cada uno y empleó todo su dinero.

A) 183 B) 172 C) 163 D) 184 E) 195

RESOLUCIÓN

Artículo: camisas; polos, pantalones

Precios Unitarios 24 ; 15 ; 60

Nº artículos x ; y ; z



Máximo

x + z > 10

Luego:

24x + 60z + 15y = 3060 ...()

Por : 24x + + =

24x =  x =  xmin = 5 en()

24  5 + 60z + 15y = 3060

 20z + 5y = 980  4z + y = 196

Zmin = 6  ymax = 172

 x + y + z = 183

RPTA.: A

20. El residuo de dividir el número 657143 _{entre 25 es . Calcule el}

resto de dividir dicho número entre a  b

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

RESOLUCIÓN

657143_{= ( +7)}143 _{= + 7}143

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= +( 171_)7

= + 17 = 7

67143 _{= +18 = +}

= 18

 657143_{=( +1)}143_{= + 1}143_{= +1}

r = 1

RPTA.: A

21. Halle el menor valor de N = , sabiendo que es múltiplo de:

A) 214 B) 316 C) 213 D) 426 E) 441

RESOLUCIÓN

3

.

.

Dando valores obtenemos:

(k1) k

1 2 3 x 71 x 2 = 426 c = 4 3 4 71 x 4 = 284 c = 2 71 72 72 x 3 = 216 c = 2 3.71 214 214 c = 2

= 426

RPTA.: D

22. Halle el mayor número , tal que: al ser dividido entre 40, deje como residuo 24.

A) 996 B) 249 C) 989 D) 995 E) 998

RESOLUCIÓN

Sabemos que: 1492 = + 12

Aplicando el Binomio de Newton:

 4

Determinando los restos potenciales de 12 respecto al módulo 40, hallamos como valor del Gaüssiano cuatro, entonces el exponente deberá ser múltiplo de cuatro, más aquel exponente del grupo periódico que deja resto potencial 24.



además, como debe ser el mayor posible 0

4k + 2 < 1000  k < kmáximo = 249