Sucesiones y Series

5

Objetivos:

Se pretende que el estudiante:

• Determine convergencia o divergencia de sucesiones. • Conozca las propiedades de la notación sigma.

• _{Determine convergencia o divergencia de series} geométricas, Telescópicas, y series de términos positivos aplicando el criterio de la integral.

• _{Determine series de potencias para funciones, aplicando} Taylor.

5.1 SUCESIONES

5.2 SUMAS Y NOTACIÓN SIGMA

5.3 SERIES NUMÉRICAS INFINITAS

5.3.1

LA SERIE GEOMÉTRICA.

5.3.2

SERIES TELESCÓPICA

5.3.3

SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS

5.3.3.1

CRITERIO DE LA INTEGRAL

5.4 SERIES

ALTERNANTES

5.5 SERIES DE POTENCIAS

5.5.1

SERIE DE TAYLOR

5.5.2

DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN DE SERIES DE POTENCIAS.

5.1 SUCESIONES

5.1.1 DEFINICIÓN.

Sucesión es una función, denotada como

{ }

an

, cuyo

dominio es el conjunto de los números enteros positivos

y su rango son números reales. Es decir:

n

a

n

f

n

IR

X

IN

=

⊆

)

(

a

a

_.

Es común referirse al rango de la sucesión, por tanto la sucesión se presenta como una secuencia de términos

{

a₁,a₂,a_3,,_L

}

.

Si la sucesión tiene una cantidad determinada de términos se la llamará

SUCESIÓN FINITA

. Si la sucesión tiene una cantidad no definida de términos, se la

llamará SUCESIÓN INFINITA.

Ejemplo

{ }

⎭ ⎬ ⎫ ⎩

⎨ ⎧

+ =

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧

+

= L ,L

1 2 , , 7 3 , 5 2 , 3 1 1

2 n

n n

n a_n

La manera como se presentó la sucesión en el ejemplo anterior se denomina forma explícita, pero se la puede expresar como una formula de recursión.

Ejemplo

2 ; 3 ;

1 1

1 = a =a − + n≥

a n n

Es decir:

a2 =a1+3=1+3=4

a₃=a₂+3=4+3=7

5.1.2 Convergencia y Límite

Una sucesión

{

a

n

}

, es convergente

si y sólo si

n

n

a

lim

∞ →

existe. Caso contrario; es decir, si

n

no existe, se

n

a

lim

∞ →

dice que la sucesión es

divergente

.

Si

n

existe, es decir si

n

a

lim

∞

→

lim

_n→∞

a

n

=

L

, significa que:

∀

ξ

>

0

,

∃

N

>

0

talque

n

>

N

⇒

a

n

−

L

<

ξ

Ejemplo

Determinar si

{ }

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧

+ =

1 2n

n

a_n es convergente o divergente.

SOLUCIÖN:

Para determinar si es convergente o divergente se halla _n.

n a lim

∞ →

2 1 1 2 1

2 + = →∞ ₊ = ∞

→

n n

n n n

lim n

n lim

n n

Por tanto, la sucesión es convergente y además converge a

2 1

TEOREMA

Si y son sucesiones convergentes, entonces:

a

n

b

n

1.

ka

k

a

_n

k

IR

n n

n→∞

=

lím

→∞

;

∈

lím

2.

(

)

n

n n n n n

n→∞

a

±

b

=

lím

→∞

a

±

lím

→∞

b

3.

lím

_n→∞

(

a

n

b

n

)

=

lím

_n→∞

a

n

lím

_n→∞

b

n

4.

n n

n n

n n

n

_b

a

b

a

∞ →

∞ → ∞

→

⎟⎟

_⎠

=

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

lím

lím

lím

si

lím ≠0

∞ → n

n b

Ejercicios propuestos 5.1

1.Determine si las siguientes sucesiones son convergentes o divergentes.

a.

⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩

⎪ ⎨ ⎧

− + n n n

2 2

2 1 3

b.

⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩

⎪ ⎨ ⎧

− +

1 3

1 2 2

n n

c.

⎭ ⎬ ⎫ ⎩

⎨

⎧ π

+1sen 2

n n

n

d.

⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + n

n

3 1

e.

⎭ ⎬ ⎫ ⎩

⎨ ⎧

− +

n n

n 2

3 1 2

f.

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧

2

ln

n n

g.

⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝

⎛ + n

n

2 1 1

5.1.3 SUCESIONES MONOTONAS

Una sucesión

{ }

a

n

es monótona si sus términos son

no decrecientes, es decir:

a

₁

≤

a

₂

≤

a

₃

≤

_L

≤

a

_n

≤

a

_n+1

≤

_L

;

ó si sus términos son no crecientes; es decir:

a

₁

≥

a

₂

≥

a

₃

≥

_L

≥

a

_n

≥

a

_n+1

≥

_L

.

Lo anterior quiere decir que si se cumple que

a

_n

≤

a

_n+1 o +1

≥

1

n n

a

a

será una

sucesión CRECIENTE. Caso contrario, es decir si da que

a

_n

≥

a

_n+1 o +1

≤

1

n n

a

a

Note que, para la sucesión anterior la mínima cota superior es 1_{2 y la}

máxima cota inferior es 1_3.

PREGUNTA: ¿POR QUÉ SE DICE MÍNIMA COTA SUPERIOR? ¿POR QUÉ SE DICE

MÁXIMA COTA SUPERIOR?

TEOREMA

Una condición necesaria y suficiente para que una

sucesión monótona sea convergente, es que sea

acotada.

5.2 SUMAS Y NOTACIÓN SIGMA

Sea la secuencia

a

₁,

a

2,

a

3

,

L

a

n.

La suma de estos números, puede ser expresada mediante una notación que denota abreviación, el símbolo empleado es el de sigma:

∑

=

=

+

+

+

n

i i

n

a

a

a

a

a

1 3

2

1

L

Entonces, la notación sigma significa una suma de término, desde el primero hasta el n-ésimo. Podemos tener una suma finita de términos como también podemos tener una suma infinita.

Ejemplo 1

{ { { {

4 3 2 1 4

1

2 ₁₇

4 10

3 5 2 2 1 1

= = = = =

+ + + = +

∑

i i i i i i

i

Ejemplo 2

∑

∞

=

= + + + + + +

1

4 3 2 1

n n n L

5.2.1

Propiedades

Sean

{ }

a

i

y

{ }

b

i

dos sucesiones y sea

C

una

constante, entonces

1.

_∑

_∑

= =

=

n

i i n

i

i

C

a

Ca

1 1

2.

_∑

(

)

_∑

_∑

= =

=

±

=

±

n

i i n

i i n

i

i

i

b

a

b

a

1 1

1

Alguna formulas que se necesitarán más adelante son:

1.

(

)

2

1

4

3

2

1

1

+

=

+

+

+

+

+

=

∑

=

n

n

n

i

n

i

L

2.

(

)(

)

6

1

2

1

3

2

1

2 2 2 2

1

2

=

+

+

+

+

=

+

+

∑

=

n

n

n

n

i

n

i

L

3.

(

)

2 3

3 3 3 1

3

2

1

3

2

1

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

+

=

+

+

+

+

=

∑

=

n

n

n

i

n

i

L

4.

(

)

(

)

30

1

9

6

1

3

2

1

2 3

4 4

4 4 1

4

=

+

+

+

+

=

+

+

+

−

∑

=

n

n

n

n

n

n

i

n

i

5.3 SERIES NUMÉRICAS INFINITAS

Definición

Sea

{

a

_n

}

una sucesión infinita. Y sea

S

n

=

a

1

+

a

2

+

a

3

+

L

+

a

n

.

La sucesión de suma de parciales

{ } {

S

n

=

S

1

,

S

2

,

S

3

,

_L

}

=

{

a

1

,

a

1

+

a

2

,

a

1

+

a

2

+

a

3,_L

}

,

denotada como

∑

∞

, se llama

Serie Infinita

.

=1

n n

a

Ejemplo

Sea la sucesión

{ }

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ =

n n a

2 1

Algunos términos de la sucesión serían

⎭ ⎬ ⎫ ⎩

⎨ ⎧

L

, 8 1 , 4 1 , 2 1

La sucesión de sumas parciales sería

{

}

⎭ ⎬ ⎫ ⎩

⎨ ⎧ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩

⎨

⎧ _{+ + +}

= _{L L}

L ,

8 7 , 4 3 , 2 1 ,

8 1 4 1 2 1 , 4 1 2 1 , 2 1 ,

, , _{2 3}

1 S S S

Convergencia de Series

Una serie

S

_n

=

∑

a

_n

, es convergente

si y sólo si

_n

n

S

lim

∞ →

existe. Caso contrario; es decir, si

n

no existe, se

n

S

lim

∞ →

En caso de que la serie sea convergente se dice que tiene suma

S

, es decir ocurrirá que

S

_n

S

.

n→∞

=

lim

Si tuviésemos o pudiéramos calcularlo, determinar la convergencia sería muy sencillo. Estudiaremos en primer lugar las series geométricas y las series telescópica que si se les puede determinar , y luego mencionaremos criterios para determinar convergencia y divergencia de series cuando ya no tenemos

n

S

n

S

n

S

5.3.1 LA SERIE GEOMÉTRICA.

Una serie geométrica es de la forma

a

+

ar

+

ar

2

+

ar

3

+

L

+

ar

n−1

La suma parcial de los n términos está dada por

(

)

r

r

a

S

n

n

−

−

=

1

1

. ¡Demuéstrela!

Para determinar su convergencia, deberíamos obtener

(

)

r

r

a

lím

S

lím

n

n n

n

−

−

=

∞ → ∞

→

₁

1

.

Observe que si

r

≥

1

entonces

(

)

=

∞

−

−

∞

→

_r

r

a

lím

n

n

₁

1

(¿POR QUÉ?) y por tanto la serie geométrica es divergente

Si

r

<

1

, entonces

(

)

r

a

r

r

a

lím

n

n

−

=

−

−

∞

→

₁

₁

1

la serie es convergente.

Ejemplo

Determinemos si la serie + + +

8 1 4 1 2

1 _{es convergente o no.}

Observe que la secuencia dada es una serie geométrica con

2 1

= a y

2 1

=

r es decir una

serie tal que

∑

∞

=1

2 1

n

n y por tanto converge a 1

1 2 1 2 1 = − = S

5.3.2 SERIES TELESCÓPICA

Para este tipo se serie también es posible obtener , se lo hace empleando fracciones parciales.

n

S

Ejemplo

Sea la serie

∑

_{( )( )}

∞ = + + 1 2 1 1 n n

n . Obtener Sn.

SOLUCIÓN:

Empleando fracciones parciales, tenemos:

(

)(

)

(

2

) (

1

1 2 1 2 1 1 + + + = + + + = + + n B n A n B n A n n

)

Si n=−1 entonces:

(

) (

)

A B A = + − + + − = 1 1 1 2 1 1

Si n=−2 entonces:

(

) (

)

1 1 1 2 2 2 1 − = − = + − + + − = B B B A Por tanto:

∑

₍

₎₍

₎

∑

∞ = ∞ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − + = + + 1 1 2 1 1 1 2 1 1 n n n n n n

Obteniendo algunos términos de su desarrollo

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − + + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − +

∑

∞ = 2 1 1 1 5 1 4 1 4 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1 1 1 n n n n n L

Note que al realizar la suma, los términos centrales se suprimen quedando el primer y el último término. Entonces 2 1 1 + − = n

S_n , por tanto 1

2 1

1 ⎟=

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − = ∞ → ∞

→ S lím n

lím

n n n

Ejercicios Propuestos 5.2

1.Encuentre S_n y determine si las series son convergentes o divergentes. Si es convergente determine su suma:

a)

(

)

∑

+∞ =1 +

1 1

n

n

n b)

n

n

∑

+∞ =

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

1

2 5

c)

∑

₍

₎₍

₎

+∞

=1 − +

2 3 1 3

1

n

n

n d)

∑

+∞

=

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ ₊ 1

3 4 2

1

n

n n

e)

(

)(

)

∑

+∞

=1 + +

3 2

1

n

n n

CRITERIO GENERAL PARA LA DIVERGENCIA

TEOREMA

Si la serie

∑

a

n

converge entonces

lim

_n→∞

a

n

=

0

Es decir si

lim

≠

0

entonces la serie

∞

→ n

n

a

∑

a

n diverge

Ejemplo

La serie

∑

∞

=

+ 1

1

n n

n _{es divergente debido a que}

1 1=

+

∞ → n

n lím n

Verifique que los ejemplos anteriores de series convergentes se cumple

el teorema. No olvide que

lim

=

0

∞

→ n

n

a

es una condición necesaria pero no

Ejemplo.

La serie

∑

∞

=1

1

n

n, llamada Serie Armónica, es divergente (lo demostraremos más adelante),

sin embargo 1=0

∞ → _n

lím n

PROPIEDADES DE LAS SERIES CONVERGENTES.

Si

∑

a

n

y

∑

b

n

convergen y si

C

es una constante,

entonces también convergen

∑

Ca

n

y

∑

(

a

n

±

b

n

)

y

además

1.

∑

Ca

_n

=

C

∑

a

_n

2.

∑

(

a

_n

±

b

_n

)

=

∑

a

_n

±

∑

b

_n

TEOREMA DE LA SERIE DIVERGENTE

5.3.3 SERIES DE TÉRMINOS POSITIVOS

TEOREMA

Una serie

∑

a

n

de términos no negativos converge si y

sólo si, sus sumas parciales están acotadas por arriba.

CRITERIOS

PARA

ESTABLECER LA CONVERGENCIA DE

SERIES POSITIVAS.

5.3.3.1 CRITERIO DE LA INTEGRAL

Sea

f

una función continua positiva, no creciente,

definida en el intervalo

[

1

,

∞

)

y suponga que

a

n

=

f

( )

n

para todo entero positivo . Entonces la seria

n

∑

∞

=1 n

n

a

converge si y sólo si la integral impropia

∫

∞

1

)

(

x

dx

f

converge.

Ejemplo 1

Determine si la SERIE ARMÓNICA

∑

∞

=1

1

n n

converge o diverge

SOLUCIÓN:

Aplicando el criterio de la integral, debido a que es una serie de términos positivos decrecientes.

= =

[ ]

= =∞

∞ → ∞

→ ∞

→ ∞

∫

∫

lím x lím N

x lím

x n

N n

N

n ln ln

1 1

1 1

1

Ejemplo 2.

Sea la serie “p”

∑

∞

=1

1

n P

n , determine para qué valores de “ ” converge y para que p valores diverge.

SOLUCIÓN:

Analizando la integral

∫

∫

∞ → ∞ = N P n P x lím x 1 1 1 1

Si P=1, tenemos la serie armónica, que es divergente

Si p≠1, la integración es diferente

⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − − + − = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − = − ∞ → + − + − ∞ → + − ∞ → ∞ →

∫

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 P P N lím p p N lím p x lím x lím P n P P n N P n N P n

Ahora, si P>1 ,

1 1 1 1 1 0 1 − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + − ∞− p P P P 3 2 1

, la integral converge

Si P<1, =∞

⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + − ∞ ∞ − 1 1 1 1 P P P 3 2 1

la integral diverge

En conclusión, la serie

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ − > =

∑

∞_{= Si}Si_PP _divergeconvergea p n n P 1 1 1 1 1 1 Ejemplo 3

Determine si la serie

∑

∞

=2 ln

1

n n n

converge o diverge.

SOLUCIÖN:

Aplicando el criterio de la integral

∫

=

[

(

) ( )

−

]

=∞

∞

∞

→ lnln lnln2

ln 1 2 N lím x x x

Por tanto diverge

Ejercicios propuestos 5.3

Usando el criterio de la Integral, determine la convergencia o divergencia de la siguiente serie numérica 1)

( )

∑

+∞ =2 2 ln 1

n n n

2)

∑

3)

+∞ = − 1 n n ne

(

) (

)

∑

+∞

=1 +1 ln +1

1

5.4 SERIES ALTERNANTES

Ahora se estudiará series que presenten sus términos con signos

alternados, es decir series de la forma

∑

( )

o también

∞

=

+

−

1

1

1

n

n n

a

∑

( )

∞

=

−

1

1

n

n n

a

TEOREMA DE CONVERGENCIA PARA LAS SERIES ALTERNANTES

Una serie alternante con

a

n

≥

a

n+1

>

0

. Si

_→∞ n

=

0

n

a

lím

entonces la serie converge.

Ejemplo 1

Sea la serie

∑

( )

− = − + − +_L

∞

= +

4 1

3 1

2 1 1 1 1

1 1

n n

n Determine si es convergente o

divergente. SOLUCIÓN.

Primero, veamos si los términos, en valor absoluto, son no crecientes.

Comparamos

n a_n =1 con

1 1

1= ₊

+

n

a_n . Se observa que:

n n

1 1 1 _<

+

los términos son decrecientes.

Segundo, veamos si =0

∞

→ n

nlíma

Se observa que: 1=0

∞ → n lím n

Por tanto la serie armónica alternante es convergente.

Ejemplo 2

Sea la serie

∑

( )

∞

= +

− 1

1

2 1 1

n

n

n _{Determine si es convergente o divergente.}

SOLUCIÓN.

Primero. En este caso an _n

2 1

= y 1 ₁

2 1

+ + = _n

n

a

Se observa que

_{( )}

n n ₂

1 2 2

1 _{< los términos son decrecientes.}

Segundo. 0

2 1

=

∞

→ n

nlím

A continuación analicemos el teorema

TEOREMA

Si

∑

a

n

converge, entonces

∑

a

n

también converge.

Esto quiere decir que si la serie de términos positivos converge entonces la serie alternante también converge, mientras que si la serie alternante converge no necesariamente la serie de términos positivos converge.

5.4.1 CONVERGENCIA ABSOLUTA. DEFINICIÓN.

Una serie

∑

a

n

converge absolutamente

si

∑

a

n

converge

Ejemplo

La serie

∑

( )

∞

= +

−

1 1

2 1 1

n

n

n _{es absolutamente convergente, debido a que}

∑

∞

=1 2

1

n

n es

convergente

DEFINICIÓN.

Una serie

∑

a

n

es

condicionalmente convergente

si

∑

a

n

converge y

∑

a

n

diverge.

Ejemplo

La serie

∑

( )

∞

= +

− 1

1 1

1

n n

n es condicionalmente convergente, debido a que

∑

∞

=1

1

n n

es

Las series de términos positivos convergentes son absolutamente convergentes

Los criterios que mencionaremos a continuación ayudan a concluir

rápidamente en situaciones cuando el término general de la serie presenta formas especiales.

5.5 SERIES DE POTENCIAS.

Ahora estudiaremos series cuyos términos ya no son numéricos.

DEFINICIÓN.

Una serie de potencia en “

x

” tiene la forma:

∑

=

+

+

+

+

L

∞

=

3 3 2 2 1 0 0

x

a

x

a

x

a

a

x

a

n

n n

Una serie de potencia en “

x−x0

” tiene la forma:

(

−

)

= +

(

−

)

+

(

−

)

+

(

−

)

+L

∑

∞

=

3 0 3

2 0 2

0 1 0 0

0 a a x x a x x a x x

x x a

n

n n

Algo importante aquí es determinar los valores de “

x

”, para los cuales la serie numérica correspondiente sea convergente.

5.5.1 SERIE DE TAYLOR

Una serie de potencia particular es la serie de Taylor.

Suponga que:

=

∑

(

−

)

= +

(

−

)

+

(

−

)

+

(

−

)

+_L

∞

=

3 0 3

2 0 2

0 1 0 0

0

)

(x a x x a a x x a x x a x x

f

n

n n

Los coeficientes pueden ser determinados en términos de la función

f

Evaluando en x= x₀

[

]

[

]

[

]

[

n

n x x

a x

x a x x a x x a a x

Obtenemos: a0 = f(x0)

Para encontrar el segundo coeficiente, derivamos y evaluamos en x=x₀

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

1 0 0 2 0 0 3 0 0 2 1 0 1 0 2 0 3 0 2 1 3 2 ) ´( 3 2 ) ´( − − − + + − + − + = − + + − + − + = n n n n x x na x x a x x a a x f x x na x x a x x a a x f L L

Entonces: a1 = f´(x0)

Obteniendo la segunda derivada y evaluando en x=x₀

( )( )

[

]

( )(

)

[

]

( )( )

[

]

( )(

)

[

]

2 0 2 0 0 0 0 3 2 0 2 0 0 3 2 2 ) ´´( 1 2 3 2 ) ´´( 1 2 3 2 ) ´´( a x f x x a n n x x a a x f x x a n n x x a a x f n n n n = − − + + − + = − − + + − + = − − L L

De la última expresión, se tiene

2 ) ´´( ₀ 2 x f a =

Ahora, obteniendo la tercera derivada y evaluando en x=x₀

( )( )

( )(

)(

)

[

]

( )( )

( )(

)(

)

[

]

( )( )

3 0 3 0 0 3 0 3 0 3 2 3 ) ´´´( 2 1 2 3 ) ´´´( 2 1 2 3 ) ´´´( a x f x x a n n n a x f x x a n n n a x f n n n n = − − − + + = − − − + + = − − L L

De la última expresión, se tiene

! 3 ) ´´´( ₀ 3 x f a =

Por lo tanto:

[

]

[

]

[

]

[

]

∑

∞ = − = + − + − + − ′ + = 0 0 0 3 0 0 ´´´ 2 0 0 ´´ 0 0 0 ! ) ( ) ( ! 3 ) ( ! 2 ) ( ) ( ) ( ) ( n n n x x n x f x f x x x f x x x f x x x f x f x f _L

=

∑

[ ]

= + ′ + ′′ + ′′′ +L ∞ = 3 2 0 6 ) 0 ( 2 ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ! ) 0 ( )

( x f f x f x f x

n f x f n n n Ejemplo 1

Hallar la serie de Taylor para _f(x)=ex_{, alrededor de 0}

0 = x SOLUCIÓN: Obtenemos primero x x x x e x f e x f e x f e x f = ′′′ = ′′ = ′ = ) ( ) ( ) ( ) ( ⇒ 1 ) 0 ( 1 ) 0 ( 1 ) 0 ( 1 ) 0 ( = ′′′ = ′′ = ′ = f f f f

Luego, reemplazando en: = + ′ + ′′ 2+ ′′′ 3+_L

6 ) 0 ( 2 ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( )

(x f f x f x f x

f

Resulta

∑

∞ = = + + + + + = 0 4 3 2 ! ! 4 1 ! 3 1 2 1 1 n n x n x x x x x e _L

Observe que podemos tener una buena aproximación de _e0.1 utilizando la serie: 10517 . 1 ) 1 . 0 ( 6 1 ) 1 . 0 ( 2 1 1 . 0 1 1 . 0 3 2 1 . 0 ≈ + + + ≈ e e Ejemplo 2

Hallar la serie de Taylor para _f(x)=e−x _{alrededor de 0} 0 =

x

SOLUCIÓN:

Empleando la serie anteriormente encontrada:

∑

∞ = = 0 ! n n x n x e

Sería cuestión de reemplazar −x por x, es decir:

( )

_{( )}

L L + + − + − = + − + − + − + − + = − = − = − ∞ = ∞ = −

∑

∑

4 3 2 4 3 2 0 0 ! 4 1 ! 3 1 2 1 1 ) ( ! 4 1 ) ( ! 3 1 ) ( 2 1 ) ( 1 ! 1 ! x x x x e x x x x n x n x e x n n n n n x Ejemplo 3

Hallar la serie de Taylor para 2

) (x ex

f = alrededor de x₀ =0

SOLUCIÓN:

( )

L L + + + + + = + + + + + = = =

∑

∑

∞ = ∞ = 8 6 4 2 4 2 3 2 2 2 2 0 2 0 2 ! 4 1 ! 3 1 2 1 1 ) ( ! 4 1 ) ( ! 3 1 ) ( 2 1 1 ! ! 2 2 x x x x e x x x x n x n x e x n n n n x Ejemplo 4

Hallar la serie de Taylor para f(x)=senx alrededor de x0 =0 SOLUCIÓN: Obtenemos primero x x f x x f x x f x x f x x f x x f V IV cos ) ( sen ) ( cos ) ( sen ) ( cos ) ( sen ) ( = = − = ′′′ / − = ′′ = ′ = ⇒ 1 ) 0 ( 0 ) 0 ( 1 ) 0 ( 0 ) 0 ( 1 ) 0 ( 0 ) 0 ( = = − = ′′′ = ′′ = ′ = V IV f f f f f f

Luego, reemplazando en: = + ′ + ′′ 2+ ′′′ 3+_L

6 ) 0 ( 2 ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( )

(x f f x f x f x

f Se obtiene: _{( )} ( )

∑

∞ = + + − = + − + − = + + + − + + = 0 1 2 7 5 3 5 3 ! 1 2 1 ! 7 1 ! 5 1 ! 3 1 ! 5 1 0 ! 3 1 0 0 n n n n x x x x x senx x x x senx L L Ejemplo 5

Hallar la serie de Taylor para f(x)=cosx alrededor de x₀ =0 SOLUCIÓN: Obtenemos primero x x f x x f x x f x x f x x f

IV_{( ) cos}

sen ) ( cos ) ( sen ) ( cos ) ( = = ′′′ / − = ′′ − = ′ = ⇒ 1 ) 0 ( 0 ) 0 ( 1 ) 0 ( 0 ) 0 ( 1 ) 0 ( = = ′′′ − = ′′ = ′ = IV f f f f f

Luego, reemplazando en: = + ′ + ′′ 2+ ′′′ 3+_L

6 ) 0 ( 2 ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( )

(x f f x f x f x

Ejemplo 6

Hallar la serie de de Taylor para _f(x)=eix _{alrededor de 0} 0 =

x

SOLUCIÓN:

Sería cuestión de reemplazar ix por x, en la serie de f(x)=ex es decir:

( ) ( ) 4 4 4 4 3 4 4 4 4 2 1 L 4 4 4 4 3 4 4 4 4 2 1 L L L L senx x n n n n n ix x x x i x x ix x ix x ix x i x i x i x i ix ix ix ix ix ix n x i n ix e ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{− + +} + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{− + +} = + + + − − + = + + + + + + = + + + + + + = = =

∑

∑

∞ = ∞ = 5 3 cos 4 2 5 4 3 2 5 5 4 4 3 3 2 2 5 4 3 2 0 0 ! 5 1 ! 3 1 ! 4 1 2 1 1 ! 5 1 ! 4 1 ! 3 1 2 1 1 ! 5 1 ! 4 1 ! 3 1 2 1 1 ) ( ! 5 1 ) ( ! 4 1 ) ( ! 3 1 ) ( 2 1 ) ( 1 ! !

Recuerde que:

( )

( )( )

1 1 1 1 1 2 2 4 2 3 2 = − − = = − = − = = − = i i i i i i i i i Por lo tanto, se concluye que eix =cosx+isenx

Esta última expresión es la llamada IDENTIDAD DE EULER

5.5.2

DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN DE SERIES DE

POTENCIAS.

Una serie de potencia se puede derivar o integrar término a término de tal manera que se tendrá otra serie de potencia con el mismo radio de convergencia, aunque no necesariamente el mismo intervalo de convergencia.

Ejemplo 1

Obtener la serie de f(x)=cosxa partir de la serie del seno.

SOLUCIÓN:

La serie del seno es:

∑

( )_{( )} ∞ = + + − = 0 1 2 ! 1 2 1 n n n n x senx

(

)

∑

( )

₍

₎

∑

( ) (

₍

_{)( )}

)

∑

∞

( )

_{( )}

= ∞ = − + ∞ = + ₋ = + + − = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − = = 0 2 0 1 1 2 0 1 2 ! 2 1 ! 2 1 2 1 2 1 ! 1 2 1 cos n n n n n n n n n x x n x n n x n n x D senx D x Ejemplo 2.

a) Encuentre una serie de potencia para

x x f + = 1 1 ) (

La expresión anterior puede ser observada como la suma de un serie geométrica infinita con primer término igual a 1y razón r=−xentonces:

∑

( )

∑

( ) ∞ = ∞ = − = − = + = 1 1 1 1 1 ) ( n n n n n x x x x f

b) Emplee la serie anterior para obtener la serie de f(x)=ln(x+1)

Integrando ( )

∫

∫ ∑

( )

∑

( )

∞ = + ∞ = + − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = + = + = 0 1 1 1 1 1 1 1 1 ln ) ( n n n n n n n x x dx x x x f

c) Determine su intervalo de convergencia.

Aplicando el criterio

1 1 1 1 2 1 lim 1 1 2 lim 1 2 < < − < < + + < + + ∞ → + + ∞ → x x n n x x n n x n n n n

Si x=−1, tenemos ( ) ( ) ( ) =− − − − −_L

+ − = + − −

∑

∑

∞ = + ∞ = + 4 1 3 1 2 1 1 1 1 1 1 1 0 1 2 0 1 n n n n n n

n una serie

divergente. ¿por qué?

Si x=1 tenemos

∑

( ) ( )

∑

( )

∞ = ∞ = + + − = + − 0 0 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n n

n una serie alternante convergente.

Por tanto su intervalo de convergencia es x∈(−1,1]

Ejercicios Propuestos. 5.4

1. Encuentre los tres primeros términos diferentes de cero de la serie de Taylor para f(x)=lnx

alrededor de x₀ =1.

2. a) Encuentre los tres primeros términos diferentes de cero de la serie de Taylor para alrededor de

) tan( ) (x x

b) Emplee el resultado obtenido en a) y la diferenciación término a término con la finalidad de encontrar los primeros tres términos diferentes de cero de la serie de Taylor para

.

) ( sec )

(x 2 x g =

c) Utilice el resultado obtenido en a) y la integración término a término para encontrar los primeros tres términos que no sean cero de la serie de Taylor para h(x)=ln(cos(x)).

3. Encuentre el desarrollo en series de potencias de x

a. f(x)=ln(x+1)

b. f(x)=

∫

e−x2dx

c. f(x)=x2ln(x+1)

d. =

∫

dx x senx x

f( )

e.

2

1 ) (

x x x f

+ =

f. _f(x)=x3_cosx2

g.

2 ) (

x x

e e x f

−

+ =

4. Calcular usando series de potencias: a.

∫

e−x dx

1

0 2

b.

∫

exsenxdx 2

0 π

c.

∫

sen xdx 2

1

0

5. Considere la función . Determine una representación para en series de potencia de

2

) (x xe x

f = − f