APUNTES II: Números Reales

LOS NÚMEROS REALES

La estructura del conjunto de los números reales es:

( )

( )

( )

( )

( )



    

   

  

I es Irracional

Fracciones

Negativos

N Naturales :

Z Enteros :

Q Racionales :

R Reales Números

{

Enterospositivoasmáselcero

} {

0,1,2,3,...

}

N≡ =

{

Enterospositivosy negativosmáselcero

} {

..., 3, 2, 1,0,1,2,3,...

}

Z≡ = − − −

{

}

   ∈ 

  =

≡ /a,b Z

b a periódicos ilimitados

ó limitados decimales

y Enteros Q

{

Números decimales ilimitados no periódicos

}

{

2 , ,número aúreo,...

}

I≡ = π

OPERACIONES CON NÚMEROS REALES

En el conjunto R vamos a realizar las cuatro operaciones básicas de la aritmética: suma, resta, producto y cociente. Elegiremos las letras a, b, c, ... para representar a los números y poder generalizar los cálculos que hagamos, estrategia ampliamente utilizada en álgebra.

Propiedades de la suma

La suma de números reales verifica las propiedades siguientes: 1. Asociativa: a+

(

b+c

) (

= a+b

)

+c

2. Conmutativa: a+b=b+a

3. Elemento nulo (llamado cero): a+0=0+a=a

4. Elemento opuesto (designado por –a): a+(−a)=(−a)+a=0

Observa que el opuesto es el número dado:

a ) a (− = −

Consecuencias

1. La resta de los números reales, a – b, se define como la suma del minuendo más el opuesto del sustraendo:

) b ( a b a− = + −

2. Un resultado interesante, que encontrarás en múltiples ejercicios, es que para hallar el opuesto de una suma basta con cambiar el signo cada uno de los sumandos que aparecen (se dice que al quitar un paréntesis, si la precede el signo menos, hay que cambiar el signo de todos los números que están en su interior):

Propiedades del producto

La multiplicación de números reales se expresa de diferentes modos, todos ellos para simplificar la notación. Así, se pone indistintamente:

ab b a b a× = ⋅ =

1. Asociativa: a

( ) ( )

bc = abc 2. Conmutativa: ab=ba

3. Elemento unidad

(

1):1·a=a·1=a

4. Elemento inverso (representado por 1/a): ·a 1, a 0 a

1 a 1 ·

a  = ≠

     =      

El inverso de a se denota también por a-1_:

1 a a 1₌ −

El cero no tiene inverso y por eso no está definida la división por 0: ?

0 a₌

: 0 a 0₌

Consecuencias

1. La división de dos números reales se define como el producto del dividendo por el inverso del divisor:

b a b 1 · a b :

a =

     =

El opuesto de a es –a = (−1) · a, es decir, el opuesto de un número puede obtenerse multiplicando el número por –1.

2. El opuesto de un producto ab es:

( ) ( )

ab = −ab=a

( )

−b

−

Es decir, se obtiene cambiando de signo uno solo de los factores. La propiedad del inverso es muy útil en la resolución de ecuaciones. Gracias a ella se justifica la conocida regla de pasar un factor de un miembro de la igualdad al otro como divisor, y viceversa.

3. Como consecuencia, se deduce la propiedad simplificativa del producto:

Si a·b=c·bentonces a=c, b≠0

4. Propiedad distributiva

(

b c ... d

)

ab ac ... ad a + + + = + + +

Observa que esta igual vista de derecha a izquierda no es sino el conocido proceso de sacar factor común.

Reglas de los signos

Producto

1.

( )( )

−a −b =ab

2.

( )

−ab=a

( ) ( )

−b =−ab

Cociente

1. 1. b a b a ₌

− −

2. 2.

b a b a b

a ₌₋

− = −

Estas normas se enuncian del siguiente modo:

1. El producto o cociente de números de igual signo es siempre positivo.

RECTA REAL. ORDEN EN EL CONJUNTO R

Al hacer la representación de los números reales sobre la recta, no sólo hemos conseguido visualizarlos, también lo hemos ordenado, teniendo números mayores cuanto más avanzamos hacia la derecha de esa recta: todo número situado a la derecha de otro es mayor que él. Así, por ejemplo, resulta que cualquier número positivo es mayor que cualquier número negativo.

Algebraicamente el orden se expresa mediante el símbolo <:

• a < b se lee a menor que b, y significa que la diferencia b-a es positiva.

• b > a se lee b mayor que a, y, obviamente, es equivalente a a < b.

Decir que x es positivo equivale a escribir x > 0. Análogamente, x negativo equivale a x < 0.

Frecuentemente se utilizan los símbolos ≤(menor o igual) y ≥ (mayor o igual) para ampliar la relación entre los números a la igualdad.

Propiedades del orden

La relación de orden establecida tiene como propiedades más destacadas las siguientes:

1. Si a < b y b < c, entonces a < c (transitividad). 2. Si a < b, entonces a + c < b + c.

Si se suma (o resta) una cantidad c a los dos miembros de una desigualdad, ésta se mantiene. 3. Si tenemos que a < b y multiplicamos los dos miembros por un número positivo, la desigualdad

permanece; pero si el número es negativo, la desigualdad cambia de sentido:

0 c si b·c a·c b a

0 c si c · b c · a b a

< >

⇒ <

> <

⇒ <

INTERVALOS

Unos subconjuntos de la recta real especialmente interesante, por su amplia utilización, son los llamados intervalos.

Existen distintos tipos:

• Intervalo abierto

( )

a,b =

{

x∈Ra<x<b

}

:designa todos los números entre a y b, excluidos los extremos a y b.

• Intervalo cerrado

[ ]

a,b =

{

x∈Ra≤x≤b

}

:ídem, pero incluyendo a y b.

• Intervalo semi-abierto (semi-cerrado)

(

a,b

]

=

{

x∈Ra<x≤b

}

:ídem, pero excluyendo a e incluyendo b,

[ )

a ,b =

{

x∈Ra≤x<b

}

:

-

(

−∞ ,a

]

=

{

x∈R/x≤a

}

Números menores que a, incluido a.

-

(

b ,+∞

) {

= x∈R/x>b

}

Números mayores que b, excluido b.

-

[

b ,+∞

) {

= x∈R/x≥b

}

Números mayores que b, incluido b.

VALOR ABSOLUTO

El manejo de los números reales plantea, en numerosas ocasiones, el cálculo de la distancia entre ellos.

Para hacer esto se utiliza un operador, llamado valor absoluto y simbolizado por dos rayas verticales paralelas , que definiremos del siguiente modo:

• a =a si el número a es positivo

(

a>0

)

,y

• a =−a si a es negativo

(

a<0

)

.

De modo que el valor absoluto de cualquier número siempre es positivo, es decir, el valor absoluto convierte a todo número en positivo.

Propiedades del valor absoluto

1. Números opuestos tienen igual valor absoluto:

a a = −

2. El valor absoluto de un producto es el producto de los valores absolutos de cada factor:

b a b a⋅ = ⋅

3. El valor absoluto de una suma es menor o igual que la suma de los valores absolutos de los sumandos (desigualdad triangular).

b a b a+ ≤ +

La igualdad se da cuando a y b tengan el mismo signo; en todos los demás casos es menor. 4. Si a <k, entonces −k<a<k

Distancia

Se define la distancia entre dos números reales a y b, que denotaremos por d(a, b), como el valor absoluto de la diferencia de esos números:

( )

a,b b a

d = −

De esta manera se asegura que la distancia sea positiva, como corresponde el carácter de esa medida (las distancias siempre son positivas), y su magnitud queda estimada por la diferencia b – a.

Observa que el valor absoluto de un número es igual a la distancia del número a

cero:

( ) ( )

0,a da,0 d

0 a

ENTORNOS

Un entorno es un intervalo definido por el punto central (a) y el radio (R) o distancia del centro a los extremos, puede ser abierto (no incluye los extremos) o cerrado (incluye los extremos).

ƒ Entorno cerrado: E

[ ] [

a ,R = a−R ,a+R

]

=

{

x∈R/a−R≤x≤a+R

}

Otra forma de designar los entornos es mediante la notación valor absoluto.

[ ]

a ,R x a R

E = − ≤

La solución de la inecuación x−a ≤R, define el intervalo [a−R, a+R].

(

)

( )

_{( )}

₍

_]

[

)

:x

[

a R ,a R

]

R a , x : R a x : R a x : , R a x : R a x : R a x : R a x : : R a x : R a

x ∈ − +

       + ∞ − ∈ + ≤ ≤ − + ∞ + − ∈ − ≥ + − ≤ − ≤ + − − ≤ − ± ≤ −

ƒ Entorno abierto: E

( ) (

a ,R = a−R ,a+R

) {

= x∈R/a−R<x<a+R

}

Mediante la notación valor absoluto.

( )

a ,R x a R E = − <

La solución de la inecuación x−a <R, define el intervalo (a−R, a+R).

(

)

( )

_{( )}

₍

₎

(

)

:x

(

a R ,a R

)

R a , x : R a x : R a x : , R a x : R a x : R a x : R a x : : R a x : R a

x ∈ − +

       + ∞ − ∈ + < < − + ∞ + − ∈ − > + − < − < + − − < − ± < −

ƒ Entorno reducido: Es un entorno de un punto que excluye el valor central. Puede ser cerrado o abierto.

- Cerrado: E′

[ ] [

a ,R = a−R ,a+R

]

−

{ } {

a = x∈R/x≠a:a−R≤x≤a+R

}

- Abierto: E′

( ) (

a ,R = a−R ,a+R

) { } {

− a = x∈R/x≠a:a−R<x<a+R

}

La notación valor absoluto permite definir intervalos infinitos:

RADICALES

La raíz cuadrada de un número a, positivo, es b, si y solo si b2 _{= a.} a

b 0 a , b

a = > ⇔ 2 = además:

( )

2

2 _b

b pues , b

a =± = −

Análogamente, se define la raíz enésima de un número a:

a b N n b

a n

n _{= ∈ ⇔ =}

16 2 2

16 4

4 _{= ⇔ = ó} 4_16=−2⇔

( )

₋₂ 4 ₌₁₆

( )

2 32

2

32 5

5_{− =− ⇔ − =−}

Si n es par, la raíz enésima tiene dos raíces opuestas: n n_{a y -b - a}

b= =

Además, sólo ésta definida para los reales positivos.

Si n es impar, existe una sola raíz, del mismo signo que tenga a.

Potencia racional

n 1 n_a=a

(

)

15 5

4 1

4_{26=26 y -32 = −32}

En general, n m_{a =a}mn_{, es decir, un radical se puede poner como una potencia de exponente}

fraccionario en el que su denominador es el índice de la raíz y su numerador el exponente del radicando. La expresión de un radical en forma de potencia facilita las operaciones, pues el manejo de potencias es más sencillo. Además, permite la simplificación de radicales.

OPERACIONES CON RADICALES

Producto de radicales

Podemos distinguir dos casos:

i. Radicales de igual índice

El producto de radicales de igual índice es otro radical del mismo índice y cuyo radicando es el producto de los radicales.

n n

n_{a⋅ b = ab}

ii. Producto de radicales de índice distinto

Se reducen los radicales a índice común y posteriormente se multiplican. m

n m n

m

n n

n

m m

n m n n m m m 1 n 1 m

n_{a⋅ b =a ⋅b =a ⋅ ·b ⋅ =} ⋅ _{a ⋅} ⋅ _{b =} ⋅ _{a ⋅b}

Cociente de radicales

Como en el producto, se nos pueden presentar dos casos.

i. Cociente de radicales de igual índice

El cociente de radicales del mismo índice es otro radical que conserva el índice común y tiene por radicando el cociente de radicandos.

n m n

b a b a ₌

: n

n 1 n 1

n 1 n n

b a b

a b a b

a ₌

ii. Cocientes de radicales con distinto índice

Se Reducimos a índice común y dividimos:

n m

n m n

m n n m m m

n

b a b

a b

a _⋅

⋅ ⋅

= =

Las igualdades del producto y del cociente de radicales vistas en sentido contrario.

n n n n

n n

b a b a b · a b ·

a = =

permitir extraer factores que se hallan tanto en el numerador como en el denominador.

Potencia de radicales

Si ha de calcularse la potencia de un radical puede procederse:

( )

n_a m ₌

( )

_a1n m _=amn ₌n_am Raíz de un radical

La raíz de un radical es otro radical de índice el producto de índices y con el mismo radicando. n

m m n_{a =} ⋅ _a

m n m n 1 m

1 n 1 m 1 n 1

m n_{a a  =a} ⋅ _=a ⋅ ₌ ⋅ _a

    

      =

Suma de radicales

Solo pueden sumarse radicales semejantes, es decir, radicales con igual índice e igual radicando. Por ejemplo, 3 y -4 3 o 5a y 5·5a son semejantes, y pueden sumarse y restarse sacando factor común.

(

)

(

)

(

4· 3

)

(

1 4

)

· 3 5· 3 3

3 · 3 3 · 4 1 3 · 4 3

= + = − −

− = − = − +

Racionalización de denominadores

La presencia de radicales en el denominador de las fracciones, ya sean numéricas o algebraicas, conlleva una complicación adicional en la técnica operatoria, dificultando, en general, su reducción a común denominador, su simplificación, etc. Por tanto, suele resultar provechoso eliminar las raíces que puedan aparecer en esa posición. Tal proceso se llama racionalización de denominadores.

i. Caso 1.

a A

Para conseguir eliminar el radical, multiplicamos el numerador y denominador por a:

a a A a

a A a a

a A a A

2 =

= =

ii. Caso 2.

b a

A

+

Se multiplicar numerador y denominador por la expresión conjugada del denominador

(

a− b

)

:

(

)

(

)(

)

_{( ) ( )}

(

)

(

a b

)

b a A b a A b a b a

b a A b

a A

2

2 ₋

− = − =

− +

− =