Ejercicios de sist de ecuaciones 2

(1)

1

EJERCICIOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES

Ejercicio nº 1.-

a) Resuelve por sustitución:

b) Resuelve por reducción:

a) Resuelve por igualación:

a Resuelve por sustitución:

b Resuelve por reducción:

b) Resuelve por igualación:

a Resuelve por igualación:

b Resuelve por reducción: 

 

5 2 1

3 3 5

x y

 

  

  

2 6

4 3 14

x y

 

  

5 2 2

2 2

x y

 

 

  

5 3

2 4 12

x y

 

   

 

 

3 5 15

2 3 9

 

 

x y

  

4 6 2

6 5 1

 

x y

  

2 3 14

3 14

x y

  

  

  

2 3 2

6 12 1

x y

 

  

  

5 2 11

2 3 12

 

 

x y x y

  

2 4 7

3 5 4

  

 

x y

(2)

2 Ejercicio nº 6.-

Resuelve cada uno de los siguientes sistemas:

Resuelve los siguientes sistemas:

Resuelve estos sistemas:

Resuelve los siguientes sistemas: 

 

a) 2 1

3 10

x y

 

   

  

b) 2 4

2 4 3

x y

  

 

  

a) 4 1

2 5

x y

 

  

  

b) 3 4

6 2 1

x y

 

  

  

a) 3 2 4

2 2

x y

x y   

 

  

b) 4 5

3 12 15

x y

 

  

a) 2 3 1

3 2 4

x y

 

  

b) 4 3 5

8 6 10

x y

 

  

  

a) 4 9

2 2 2

x y

(3)

Resuelve este sistema:

Resuelve el siguiente sistema:

Resuelve este sistema de ecuaciones:

Ejercicio nº 15.- Resuelve el sistema:

a Busca dos pares de valores que sean solución de la ecuación 5x  4y  1.

b Representa gráficamente la recta 5x  4y  1. 

 

b) 5 4 3

10 8 6

x y

 

   









    

2 4 9

3 2 2

1 4

2 3 2

3 3

x y

x y x



 

    

    

2 1 3 11

2 3 6

2 1 6

5 10 5

x y

 _  _



   





    

3 2 13

4

3 3

2 2 3 13

3 2 6

x y

y

y x x

 _ _

 

  









    

2 1

3 3

3 5 3 12

x

y

x y x



  

   





   

7 9 2 4

15

2 2

5 1 25

x y x

x y

 

  

(4)

4 c ¿Qué relación hay entre los puntos de la recta y las soluciones de la ecuación?

a Obtén dos puntos de la recta 3x  2y  1 y represéntala gráficamente.

b ¿Alguno de los dos puntos obtenidos en el apartado anterior es solución de la ecuación 3x  2y  1?

c ¿Qué relación hay entre las soluciones de la ecuación y los puntos de la recta?

a Representa gráficamente la recta 5x  2y  3.

b ¿Cuántas soluciones tiene la ecuación 5x  2y  3? Obtén dos de sus soluciones.

A la vista de la siguiente gráfica:

a Obtén tres puntos de la recta ax  by  c.

b Halla tres soluciones de la ecuación ax  by  c.

c ¿Qué relación hay entre los puntos de la recta y las soluciones de la ecuación?

a De los siguientes pares de valores:

Averigua cuántas soluciones tiene el siguiente sistema de ecuaciones, representando las dos rectas en los mismos ejes:





 





    

     

3 2 1

0, 10 ; , 19 ; 1, 4 ; 0, ; , 7

2   5 2

1 ¿cuáles son soluciones de la ecuación 3 5?

2

x y

  

1 b) Representa gráficamente la recta 3 5.

2

x y

(5)

a Representa en los mismos ejes el siguiente par de rectas e indica el punto en el que se cortan:

b ¿Cuántas soluciones tiene el sistema anterior?

a Representa en los mismos ejes las rectas:

b ¿Qué dirías acerca de la solución del sistema anterior?

b ¿En qué punto o puntos se cortan? ¿Cuántas soluciones tendrá el sistema?

b ¿Cuántas soluciones tiene el sistema anterior? ¿Cuáles son? 

 

5

2 2 2

  

x y

  

2 2

1     x y x y

  

2 1

2 2

  

  x y x y

  

1

2 2 2

x y

  

  

2 0

2 4

 

  

x y

(6)

6

PROBLEMAS DE SISTEMAS DE ECUACIONES

Problema nº 1.-

Calcula un número sabiendo que la suma de sus dos cifras es 10; y que, si invertimos el orden de dichas cifras, el número obtenido es 36 unidades mayor que el inicial.

En un triángulo rectángulo, uno de sus ángulos agudos es 12 mayor que el otro. ¿Cuánto miden sus tres ángulos?

La distancia entre dos ciudades, A y B, es de 255 km. Un coche sale de A hacia B a una velocidad de 90 km/h. Al mismo tiempo, sale otro coche de B hacia A a una velocidad de 80 km/h. Suponiendo su velocidad constante, calcula el tiempo que tardan en encontrarse, y la distancia que ha recorrido cada uno hasta el momento del encuentro.

Halla un número de dos cifras sabiendo que la primera cifra es igual a la tercera parte de la segunda; y que si invertimos el orden de sus cifras, obtenemos otro número que excede en 54 unidades al inicial.

La base mayor de un trapecio mide el triple que su base menor. La altura del trapecio es de 4 cm y su área es de 24 cm2. Calcula la longitud de sus dos bases.

La razón entre las edades de dos personas es de 2/3. Sabiendo que se llevan 15 años, ¿cuál es la edad de cada una de ellas?

Un número excede en 12 unidades a otro; y si restáramos 4 unidades a cada uno de ellos, entonces el primero sería igual al doble del segundo. Plantea un sistema y resuélvelo para hallar los dos números.

El perímetro de un triángulo isósceles es de 19 cm. La longitud de cada uno de sus lados iguales excede en 2 cm al doble de la longitud del lado desigual. ¿Cuánto miden los lados del triángulo?

Pablo y Alicia llevan entre los dos 160 €. Si Alicia le da 10 € a Pablo, ambos tendrán la misma cantidad. ¿Cuánto dinero lleva cada uno?

(7)

7 Problema nº 11.-

El perímetro de un rectángulo es de 22 cm, y sabemos que su base es 5 cm más larga que su altura. Plantea un sistema de ecuaciones y resuélvelo para hallar las dimensiones del rectángulo.

Hemos mezclado dos tipos de líquido; el primero de 0,94 €/litro, y el segundo, de 0,86 €/litro, obteniendo 40 litros de mezcla a 0,89 €/litro. ¿Cuántos litros hemos puesto de cada clase?

El doble de un número más la mitad de otro suman 7; y, si sumamos 7 al primero de ellos, obtenemos el quíntuplo del otro. Plantea un sistema de ecuaciones y resuélvelo para hallar dichos números.

Dos de los ángulos de un triángulo suman 122. El tercero de sus ángulos excede en 4 grados al menor de los otros dos. ¿Cuánto miden los ángulos del triángulo?

(8)

8

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE SISTEMAS DE

ECUACIONES

Solución:

2x  y  6  y  6  2x  6  4  2 Solución: x  2 ; y  2

a) Resuelve por igualación:

Solución:   

5 2 1

3 3 5

x y

 

  

  

2 6

4 3 14

x y

 

1 5 a) 5 2 1

2

1 5 3 15

3 3 5 3 5 6 3 15 10 3 3 5

2 2

x x y y

x x

x x x x

x y



    



 _ _ _ _

              

    _ _

7 1 21 7

21 3 x x

      



5 1

1 5 ₃ 8 4 2 2 6 3

x y

 

   

1 4 : ;

3 3 Solución x  y

b) 2 6 4 3 14

x y x y

  



  _

 3

6 3 18

4 3 14

x y

 

    

  

Sumando:2x   4 x2

  

5 2 2

2 2

x y

 

 

  

5 3

2 4 12

x y

 

   

a) 5 2 2 2 2 x y x y

   



(9)

9

Solución: x  0 ; y  3

a Resuelve por sustitución:

Solución:

Solución: x  0 ; y  3

2 2

2 2 8 2

2 2 2 2 10 10 12 8 5

5 12 3

2 2 y

x y

y y y y y

x y     _{ }                  _

2 4 2 2 2 2

3 3 3 2 2 : ;

3 3 x

Solución x y

 

  _{ }    

 

b) 5 3 2 4 12

x y x y       _{  } 4

20 4 12 2 4 12

x y x y



  

    

Sumando: 18x 0  x0

       

5x y 3 5x 3 y 3 y



 _



3 5 15

2 3 9

    x y x y   

4 6 2

6 5 1

 

x y

15 5 3 5 15

a)

3

15 5 30 10

2 3 9 3 9 30 10 9 27 2 3 9

3 3

y x y x

y y

y y y y

x y        _ _    _ _{  } _ _{  } _ _ _{ } _     _ _ 57 19 57 3

19

y y 

      



15 5 15 5 3 0 0 3 3 3

y

x      

b) 4 6 2 6 5 1

x y x y      _{ }   5 6

20 30 10

36 30 6

x y x y            4 1 Sumando: 16 4

16 4

x x

      

1 3 1

4 6 2 4 6 2 1 6 2 6 3

4 6 2

x y   _ _ y    y  y  y 

 

1 1

: ;

4 2

(10)

b) Resuelve por igualación:

Solución:

Solución: x  4 ; y  2

a Resuelve por igualación:

Solución:

Solución: x  3 ; y  2

  

2 3 14

3 14 x y x y         

2 3 2

6 12 1

x y

 

  





a) 2 3 14 2 3 3 14 14 2 9 42 14 3 14 3 14

x y x x x x

x y y x

              



   _   

28

7 28 4

7

x x

       

 

3 4 14 12 14 2 y       

2 2 b) 2 3 2

2 2 1 6

3 ₈ ₈ _{1 6}

3 12

1 6 6 12 1

12

x

x y _y

x x x x x y x y    _{  } _ _    _{ } _ _ _ _{ } _  _   _ _    _{ } _ 7 1 14 7 14 2

x x 

      



 

2 2 1 2

2 2 1

3 3 3

x

y     

1 1 : ;

2 3 Solución x y

  

5 2 11

2 3 12

    x y x y   

2 4 7

3 5 4

  

 

x y

11 2 5 2 11

a)

11 2 12 3 5

5 2

12 3 2 3 12

2

y

x y _x

y y y x x y        _    _{ } _ _  _   _    _  _ 38 22 4 60 15 38 19 2

19

y y y y

           

 

11 2 2

11 2 15

3

5 5 5

y

(11)

Resuelve cada uno de los siguientes sistemas:

Solución:

Solución: x  3 ; y  1

Solución:

Solución: x  3 ; y  1

b) 2 4 7 3 5 4

x y x y       _{ } 3 2

6 12 21 6 10 8

x y x y          29 Sumando: 2 29

2

y  y

29 51

2 4 7 2 4 7 2 58 7 2 51

2 2

x y x   x x x

      _ _          

 

51 29

: ;

2 2

Solución x y

  

a) 2 1

3 10 x y x y         

b) 2 4

2 4 3

x y

  

 

a) 2 1 3 10 x y x y      _{   }





1 2

3 1 2 10 3 6 10 7 7 1

x y

y y y y y y

  

                 

 

1 2 1 2 1 1 2 3 x  y      

b) 2 4 2 4 3

x y x y       _{ }





2 4

2 2 4 4 3 4 8 4 3 0 11 No tiene solución.

y x

y y y y

  

          

  

a) 4 1

2 5 x y x y        

b) 3 4

6 2 1

x y

 

  

a) 4 1 2 5 x y x y        





1 4

2 1 4 5 2 8 5 7 7 1

x y

y y y y y y

  

               

1 4 1 4 1 3

x  y    

b) 3 4 6 2 1

x y x y       _{ }





4 3

6 2 4 3 1 6 8 6 1 0 9 No tiene solución.

y x

x x x x

  

(12)

Solución:

Solución: x  0 ; y  2

El sistema tiene infinitas soluciones.

Resuelve estos sistemas:

Solución:

Solución: x  2 ; y  1

No tiene solución. 

 

a) 3 2 4

2 2 x y x y        

b) 4 5

3 12 15

x y

 

a) 3 2 4 2 2 x y x y        _





3 2 2 2 4 3 4 4 4 7 0 0

2 2

x x x x x x

y x

             

  

2 2 2 2 0 2

y  x   

b) 4 5 3 12 15

x y x y       _





5 4

3 5 4 12 15 15 12 12 15 0 0

x y

y y y y

  

         

  

a) 2 3 1

3 2 4

x y x y       

b) 4 3 5

8 6 10

x y

 

  

a) 2 3 1 3 2 4

x y x y      _{ }   2 3

4 6 2

9 6 12

x y x y           

Sumando: 5x  10  x2

          

2x 3y 1 4 3y 1 3y 3 y 1

b) 4 3 5 8 6 10

x y x y        _ 2

8 6 10 8 6 10

x y x y



  

   

(13)

Solución:

Solución: x  2 ; y  1

El sistema tiene infinitas soluciones.

Resuelve este sistema:

Solución:

Solución: x  2 ; y  1

Resuelve el siguiente sistema: 

 

a) 4 9

2 2 2

x y x y         

b) 5 4 3

10 8 6

x y

 

   

a) 4 9 2 2 2

x y x y        _{  } 4 9 1 x y x y    

     x4x   9 1 5x 10  x 2

 

4 9 4 2 9 8 9 1 y x        

b) 5 4 3 10 8 6

x y x y       _{  } 2

10 8 6 10 8 6

x y x y



  

    

Sumando: 00









    

2 4 9

3 2 2

1 4

2 3 2

3 3

x y

x y x



 

    









2 4 9 2 8 9

4 16 3 27 3 2 2

3 2 2

3 2 4 3 6 3 2 4

1 4

2 2 3 2

3 3

x y x y

x y

x x y x

x y x y x

   _ _    _ _ _ _ _ _  _  _ _  _  _ _       _ _ _{ }     _{  } _ 

4 3 11 4 3 11 4 8 2 6 6 1

x y x x x

y y               _        

2 1 3 11

2 3 6

2 1 6

5 10 5

(14)

14 Solución:

Solución:

Resuelve este sistema de ecuaciones:

Solución:

2 1 3 11

6 3 2 6 11 6 2 20 3 10

2 3 6

2 1 6 4 1 12 4 11 4 11

5 10 5

x y

x y x y x y

x y x y x y x y

 _  _   _{ } _{ } _ _ _ _ _{ } __          _      _     _     _      10 3

10 3 4 11 21 7 3 4 11

y x

x x x x

y x

   

       



   _

10 3 10 3 3 10 9 1

y   x     





    

3 2 13

4

3 3

2 2 3 13

3 2 6

x y

y

y x x



 

 

  





3 2 13 4 3 3 2 2 3 13

3 2 6 x y

y y x x

 _ _   _    _    

3 2 12 13

3 10 13 4 2 3 13

8 4 9 13 3 2 6

x y y

x y y x x

y x x

    _ _ _

  

  _ _{ }  _ _ _ _{ } 

 

3 10 13 5 8 13 x y x y     _   _{  } 5 3

15 50 65 15 24 39

x y x y          

Sumando: 26y26  y 1 3x10y13  3x1013  3x3  x1









     2 1 3 3

3 5 3 12

x

y

x y x

       









2 1 3 3

3 5 3 12

x y

x y x

            _ 2 2 3 3

3 15 3 3 12 x

y x y x

 

   

 



    _

2 2 3 9 6 3 3 x y

x y

    

 _

 _{  }

2 3 11 2 1 x y x y      _    

 1

2 3 11

2 1 x y x y   _ _ _     

(15)

15

Ejercicio nº 15.- Resuelve el sistema:

Solución:

a Busca dos pares de valores que sean solución de la ecuación 5x  4y  1.

b Representa gráficamente la recta 5x  4y  1.

Solución:

Le damos valores a x y obtenemos, por ejemplo, los puntos:

x  1  y  1  Punto 1, 1 x  3  y  4  Punto 3, 4

b Utilizamos los dos puntos obtenidos en el apartado anterior:

c Los puntos de la recta son las soluciones de la ecuación.





   

7 9 2 4

15

2 2

5 1 25

x y x

x y

 _  _{ }

  





7 9 2 4 15 2 2

5 1 25 x y x

x y

 _  

    

   _

7 9 2 4 30 5 5 5 25 x y x

x y

     

 _ 

   _

5 9 26 5 5 30

x y x y

   

 _

  _ ( 1)

5 9 26 5 5 30

x y x y

 

   

   



56

Sumando: 14 56 4

14

y y 

     



5x5y30  x y 6  x 4 6  x2

5 1 a) 5 4 1 5 1 4

4

x

(16)

a Obtén dos puntos de la recta 3x  2y  1 y represéntala gráficamente.

b ¿Alguno de los dos puntos obtenidos en el apartado anterior es solución de la ecuación 3x  2y  1?

Solución:

Damos valores a x y obtenemos los puntos:

x  1  y  1  Punto 1, 1 x  1  y  2  Punto 1, 2

b Los dos puntos obtenidos son solución de la ecuación. c Los puntos de la recta son las soluciones de la ecuación.

a Representa gráficamente la recta 5x  2y  3.

b ¿Cuántas soluciones tiene la ecuación 5x  2y  3? Obtén dos de sus soluciones.

Solución:

Le damos valores a x y obtenemos, por ejemplo, los puntos:

x  1  y  1  Punto 1, 1 x  1  y  4  Punto 1, 4

b Tiene infinitas soluciones. Dos de ellas son, por ejemplo, 1, 1 y 1, 4. 3 1

a) 3 2 1 3 1 2

2

x

x y  x  y  y 



   3 5

a) 5 2 3

2

x

(17)

17 c Los puntos de la recta son las soluciones de la ecuación.

A la vista de la siguiente gráfica:

a Obtén tres puntos de la recta ax  by  c.

b Halla tres soluciones de la ecuación ax  by  c.

Solución:

a Por ejemplo: 0, 0; 2, 1; 4, 2. b Por ejemplo: 0, 0; 2, 1; 4, 2.

c Los puntos de la recta son las soluciones de la ecuación.

a De los siguientes pares de valores:

Solución:

a Sustituimos cada uno de ellos en la ecuación:



0, 10 ;



_3, 19 ;_



1, 4 ;



_0,2_{ }  ; 1, 7_

2   5 2

1 ¿cuáles son soluciones de la ecuación 3 5?

2

x y

  

1 b) Representa gráficamente la recta 3 5.

2

x y

  













 





1

0, 10 3 0 10 5 0, 10 es solución. 2

3 3 1 3

, 19 3 19 5 , 19 es solución.

2 2 2 2

1

1, 4 3 1 4 1 1, 4 no es solución. 2

2 1 2 1 2

0, 3 0 0, no es solución.

5 2 5 5 5

1 1 1

, 7 3

2 2 2

      

  _{    } _ _  

   

   

            

  _{     } _  

   

   

_  _{   } _

   

   

1

7 5 , 7 es solución. 2

 

   _ _

(18)

18 c Los puntos de la recta son las soluciones de la ecuación.

Averigua cuántas soluciones tiene el siguiente sistema de ecuaciones, representando las dos rectas en los mismos ejes:

Solución:

Representamos las dos rectas obteniendo dos puntos de cada una de ellas: x  y  5  y  x  5 2x  2y  2  x  y  1  y  x  1

Son paralelas. El sistema no tiene solución.





_ _

 

1

b) Tomamos dos puntos de la recta, por ejemplo 0, 10 y , 7 , y la representamos: 2

  

5

2 2 2

  

x y

0 5 0 1

1 4 1 2

x y x y

(19)

a Representa en los mismos ejes el siguiente par de rectas e indica el punto en el que se cortan:

b ¿Cuántas soluciones tiene el sistema anterior?

Solución:

a Representamos las dos rectas obteniendo dos puntos de cada una de ellas:

b Hay una solución: 1, 0 es decir, x  1 , y  0.

b ¿Qué dirías acerca de la solución del sistema anterior?

Solución:

a Obtenemos dos puntos de cada una de las rectas para representarlas: 

 

2 2

1     x y x y

         



2 2 2 2 1 1

0 2 0 1

1 0 1 0

x y y x x y y x

x y x y

  

2 1

2 2

  

  x y x y

2 1 2 1 2 2 2 2

0 1 0 2

1 3 1 0

x y y x x y x y

x y x y

          

(20)

20 Son paralelas.

b El sistema no tiene solución, es incompatible, ya que las rectas no se cortan.

b ¿En qué punto o puntos se cortan? ¿Cuántas soluciones tendrá el sistema?

Solución:

a Representamos las rectas obteniendo dos puntos de cada una de ellas: x  y  1  y  x  1 2x  2y  2  x  y  1  y  x  1

b Se cortan en todos sus puntos, puesto que se trata de la misma recta. El sistema tendrá infinitas soluciones: todos los puntos de la recta.

  

1

2 2 2

x y

  

0 1 Es la misma recta. 1 2

(21)

b ¿Cuántas soluciones tiene el sistema anterior? ¿Cuáles son?

Solución:

a Representamos las rectas obteniendo dos puntos de cada una de ellas:

b Tiene una solución: 2, 1 es decir, x  2, y  1.

  

2 0

2 4

 

  

x y



               



4

2 0 2 2 4 2 4

2 2

0 0 0 2

2 1 2 3

x x

x y y x y x y y x y

(22)

22

SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS DE SISTEMAS

DE ECUACIONES

Calcula un número sabiendo que la suma de sus dos cifras es 10; y que, si invertimos el orden de dichas cifras, el número obtenido es 36 unidades mayor que el inicial.

Solución:

Llamamos x a la primera cifra del número la de las decenas e y a la segunda la de las unidades). Así, el número

será 10x  y. Tenemos que:

y  10  x  10  3  7

El número buscado es el 37.

En un triángulo rectángulo, uno de sus ángulos agudos es 12 mayor que el otro. ¿Cuánto miden sus tres ángulos?

Solución:

Llamamos x e y a los ángulos agudos del triángulo:

Tenemos que:

x  y  12  39  12  51

Los ángulos miden 39, 51 y 90.

La distancia entre dos ciudades, A y B, es de 255 km. Un coche sale de A hacia B a una velocidad de 90 km/h. Al mismo tiempo, sale otro coche de B hacia A a una velocidad de 80 km/h. Suponiendo su velocidad constante, calcula el tiempo que tardan en encontrarse, y la distancia que ha recorrido cada uno hasta el momento del encuentro.

10 10 10

10 10 36 9 9 36 4

x y x y x y

y x x y x y x y

   _    _    

  

    _    _    _ 

10

10 4 6 2 3 4

y x

x x x x

y x

    _ _{  } _ _ _ _



   _

12 12 78

12 90 2 78 39

90 90 2

x y x y

y y y y

x y x y

     

         

 

(23)

23 Solución:

Llamamos x a la distancia que recorre el coche que sale de A hasta encontrarse.

Sabemos que e  v · t, donde e representa el espacio recorrido, v la velocidad y t el tiempo. Por tanto:

x  90t  90 · 1,5  135 km  255  x  255  135  120 km

Tardan 1,5 horas una hora y media en encontrarse. El coche que salió de A llevaba recorridos 135 km; y el que salió de B, llevaba 120 km.

Halla un número de dos cifras sabiendo que la primera cifra es igual a la tercera parte de la segunda; y que si invertimos el orden de sus cifras, obtenemos otro número que excede en 54 unidades al inicial.

Solución:

Llamamos x a la primera cifra del número la de las decenas e y a la segunda cifra la de las unidades. Así, el

número será 10x  y. Tenemos que:

y  3x  3 ·3  9

El número buscado es el 39.

La base mayor de un trapecio mide el triple que su base menor. La altura del trapecio es de 4 cm y su área es de 24 cm2. Calcula la longitud de sus dos bases.

Solución:

Llamamos x a la base menor e y a la base mayor.

Tenemos que:

90

255

255 80 255 90 80 255 170 1,5 horas 170

x t

x t t t t t

 



  _        

3 3

54

10 10 54 30 10 3 54 18 54 3

18

y

x x y

y x x y x x x x x x



 _  

 

             

(24)

24

y  3x  3 · 3  9

La base menor mide 3 cm y la base mayor, 9 cm.

La razón entre las edades de dos personas es de 2/3. Sabiendo que se llevan 15 años, ¿cuál es la edad de cada una de ellas?

Solución:

Llamamos x e y a las edades de cada uno. Tenemos que:

Tienen 30 y 45 años.

Un número excede en 12 unidades a otro; y si restáramos 4 unidades a cada uno de ellos, entonces el primero sería igual al doble del segundo. Plantea un sistema y resuélvelo para hallar los dos números.

Solución:

Hagamos una tabla para entender mejor la situación:

Tenemos que:

x  y  12  16  12  28

Los números son el 28 y el 16.

El perímetro de un triángulo isósceles es de 19 cm. La longitud de cada uno de sus lados iguales excede en 2 cm al doble de la longitud del lado desigual. ¿Cuánto miden los lados del triángulo?

Solución:

Llamamos x a la longitud de cada uno de los dos lados iguales e y a la del lado desigual.





3

3 3

4

2 2 24 12 3 12 4 12 3 24

2

y x

y x y x x y

x y x y x x x x

 

   

  

   _ _  _{ }  _ _ _ _ _ _ _

 _  





2

3 2 3 2 15 3 2 30 30 3

15 x

x y x x x x x

y y x



           

 

  _

15 30 15 45

y  x   

SI RESTAMOS 4

PRIMER NÚMERO x x  4

SEGUNDO NÚMERO y y  4



12



12

4 2 4 12 4 2 8 16

x y x y

x y y y y

     



(25)

25 Tenemos que:

x  2y  2  2 · 3  2  6  2  8

Los lados iguales miden 8 cm cada uno; y el lado desigual mide 3 cm.

Pablo y Alicia llevan entre los dos 160 €. Si Alicia le da 10 € a Pablo, ambos tendrán la misma cantidad. ¿Cuánto dinero lleva cada uno?

Solución:

Llamamos x a la cantidad de dinero que lleva Pablo e y a la que lleva Alicia. Tenemos que:

x  y  20  90  20  70

Pablo lleva 70 € y Alicia, 90 €.

La suma de las tres cifras de un número capicúa es igual a 12. La cifra de las decenas excede en 4 unidades al doble de la cifra de las centenas. Halla dicho número.

Solución:

Llamamos x a la cifra de las centenas que coincide con la de las unidades, por ser el número capicúa e y a la de las decenas. Así, tenemos que:

El número que buscamos es el 282.

El perímetro de un rectángulo es de 22 cm, y sabemos que su base es 5 cm más larga que su altura. Plantea un sistema de ecuaciones y resuélvelo para hallar las dimensiones del rectángulo.

Solución:

Llamamos x a la base e y a la altura.





2 19

2 2 2 19 4 4 19 5 15 3 2 2

x y

y y y y y y

x y

  

           



 _{ }

160 20 160 2 180 90 10 10 20

x y y y y y

x y x y

          



   _   

2 12 12 2

2 4 2 4 12 2 2 4 8 4 2 8

x y y x

y x y x x x x x y

      

 

(26)

26 Tenemos que:

x  y  5  3  5  8

La base mide 8 cm y la altura, 3 cm.

Hemos mezclado dos tipos de líquido; el primero de 0,94 €/litro, y el segundo, de 0,86 €/litro, obteniendo 40 litros de mezcla a 0,89 €/litro. ¿Cuántos litros hemos puesto de cada clase?

Solución:

Hacemos una tabla para organizar la información:

Tenemos que:

y  40  x  40  15  25

Hemos puesto 15 litros del primer tipo y 25 litros del segundo.

El doble de un número más la mitad de otro suman 7; y, si sumamos 7 al primero de ellos, obtenemos el quíntuplo del otro. Plantea un sistema de ecuaciones y resuélvelo para hallar dichos números.

Solución:

Llamamos x al primer número e y al segundo. Así, tenemos que:

y  14  4x  14  4 · 3  14  12  2

2 2 22 11 5 11 2 6 3

5 5

x y x y y y y y

x y x y

             



 

  _   _

1er_TIPO _{2º TIPO} _MEZCLA

N. LITROS x y 40

PRECIO/LITRO

(euros) 0,94 0,86 0,89

PRECIO TOTAL

(euros) 0,94x 0,86y 35,6





40 40

0,94 0,86 40 35,6 0,94 0,86 35,6

y x x y

x x

x y

  

  

     

  _

1,2 0,94 34,4 0,86 35,6 0,08 1,2 15

0,08

x x x x

        





14 4 4 14

2 7 2

7 5 14 4 7 5

7 5 y

y x x y

x

x x

x y x y

 _{ } _ _ _

  _{ } 

 _{ } _{   } _ _

 

  _

63

7 70 20 21 63 3

21

x x x x

(27)

27 Los números son el 3 y el 2.

Dos de los ángulos de un triángulo suman 122. El tercero de sus ángulos excede en 4 grados al menor de los otros dos. ¿Cuánto miden los ángulos del triángulo?

Solución:

Uno de los ángulos mide x; el otro, 122  x, y el tercero, y.

Tenemos que:

Los ángulos miden 54, 58 y 122°  54°  68.

Una persona invierte en un producto una cantidad de dinero, obteniendo un 5% de beneficio. Por otra inversión en un segundo producto, obtiene un beneficio del 3,5%. Sabiendo que en total invirtió 10 000 €, y que los beneficios de la primera inversión superan en 330 € a los de la segunda, ¿cuánto dinero invirtió en cada producto?

Solución:

Hacemos una tabla:

Tenemos que:

y  10000  x  10000  8000  2000

Invirtió 8000 € en el primer producto y 2000 € en el segundo.

4 4

4 58 54 122 180 58

y x y x

x x

x y x y

     

     

 

    _  _

4 54 4 58

y   x   

INVERSIÓN BENEFICIO PRIMER

PRODUCTO x 0,05x SEGUNDO

PRODUCTO y 0,035y





10000 10000

0,05 0,035 10000 330 0,05 0,035 330

y x

x y

x x

x y

  

  

     

  _

680

0,05 350 0,035 330 0,085 680 8000 0,085

x x x x