Valor Absoluto resueltos

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(1)Bloque 4. Cálculo. Tema 1 Valor absoluto Ejercicios resueltos 4.1-1 Resolver las siguientes desigualdades: a) x  5  7 ;. b) 4 x  1  2 x ; x x e)   5; 2 3. d ) 4  2 x  3 x  1;. c) 2 x  1  0; f )  4  2x  3  4. Solución a). x  5  7  x  12  S   x   / x  12  12 ,  . b). 4 x  1  2x  x  . .  . 1  1 1  S  x   / x      ,   2 2  2. c) 2 x  1  0  x . . 1 1 1   S  x / x    , 2 2 2 . d) 4  2 x  3 x  1  5  5 x  1  x  S   x   / x  1  1,  . e) x x   5  3x  2 x  6  5  x  6  S   x   / x  6   6 ,   2 3 f). 4  2 x  3  4  4  3  2 x  4  3  1  2 x  7  . .  S  x /. G3w. . 1 7 x 2 2. 1 7  1 7  x    ,  2 2  2 2. Conocimientos básicos de Matemáticas.. Bloque 4. Cálculo. Tema 1. Valor Absoluto. Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González. MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza. Ejercicios resueltos 1.

(2) 4.1-2 Resolver:. 18 x  3x 2  0. Solución 18 x  3x 2  0  3x  6  x   0 Resolvemos 3 x  6  x   0 para ver los intervalos que tenemos y sus límites: x  0 3x  6  x   0   x  6 Para ver donde se verifica la inecuación hacemos la tabla siguiente y vemos como son los signos de los diferentes factores en cada uno de los intervalos:  x 6x 3x  6  x   0. . 0.   . NO sirve. . 6.   . SI sirve.   . NO sirve. S   x   / 0  x  6   0 , 6 . 4.1-3 Resolver:. x 3  3 x 2  10 x  24  0. Solución Descomponemos en factores:  x  3  x  3 x  10 x  24  0   x  2  x  4 3. 2. Con lo cual la inecuación se puede escribir como:.  x  3  x  2   x  4   0 Con los datos obtenidos escribimos la siguiente tabla:. G3w. Conocimientos básicos de Matemáticas.. Bloque 4. Cálculo. Tema 1. Valor Absoluto. Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González. MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza. Ejercicios resueltos. 2.

(3) . 2. 3   . x 3 x 2 x4.  x  3  x  2   x  4   0 .   . . SI sirve.   . .   . . NO sirve. . 4. . SI sirve. NO sirve. S   x   / x  3  2  x  4    , 3    2 , 4 . 4.1-4 Resolver:. 2x  1 3 x 3. Solución Debemos realizar las siguientes operaciones para no perder soluciones: 2x  1 2x  1 2 x  1  3x  9 x  8 x8 3 3  0  0 0 0 x 3 x3 x 3 x 3 x3 Para ver los límites de los intervalos igualamos a cero el numerador y el denominador de la expresión anterior: x  8  0  x   8 y x  3  0  x   3 este valor nunca lo podrá. tomar x pues algo partido por 0 no existe. Con los datos obtenidos escribimos la siguiente tabla:  x8 x 3 x8 0 x 3 . 8.   . NO sirve. . 3.   . SI sirve.   . NO sirve. S   x   /  8  x  3    8 , 3 . G3w. Conocimientos básicos de Matemáticas.. Bloque 4. Cálculo. Tema 1. Valor Absoluto. Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González. MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza. Ejercicios resueltos 3.

(4) 4.1-5 Resolver:. 2x 1 3 x. Solución Debemos realizar las siguientes operaciones para no perder soluciones: 2x  1 2x 1 2 x  1  3x x 1 x 1 3 3  0  0 0 0 x x x x x Para ver los límites de los intervalos igualamos a cero el numerador y denominador de la expresión anterior: x  1  0  x   1 y x  0 este valor nunca lo podrá tomar x pues. algo partido por 0 no existe Con los datos obtenidos escribimos la siguiente tabla:.  x 1 x x 1 0 x . 1   . SI sirve. S   x   / x  1  0  x. 4.1-6 Resolver:. . 0.  .  . . . NO sirve. SI sirve.     , 1   0 ,  . 2x  1  5. Solución Debemos aplicar en primer lugar la definición de valor absoluto y después resolver las inecuaciones. El valor absoluto de un número coincide con él si es positivo y es menos ese número si es negativo. Por lo tanto:  2 x  1 si 2 x  1 es positivo  2x  1   2 x  1 si 2 x  1 es negativo . G3w. Conocimientos básicos de Matemáticas.. Bloque 4. Cálculo. Tema 1. Valor Absoluto. Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González. MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza. Ejercicios resueltos 4.

(5) Por lo tanto nuestro problema se convierte en:  2x  1  5  2 x  1  5   2 x  1  5 . si x  1 2.  x2     3  x si x   1 2 . si x   1 2 si x  1 2. Se deben verificar las dos inecuaciones, la solución será el conjunto de los valores comunes: S   x   /  1 2  x  2  3  x   1 2. 4.1-7 Resolver:.    3, 1 2   1 2 , 2    3, 2 . x 2 5. Solución Debemos aplicar en primer lugar la definición de valor absoluto y después resolver las inecuaciones a que da lugar:  x  2 si x  2 es positivo  x2    x  2 si x  2 es negativo . Por lo tanto nuestro problema se convierte en:  x  2  5 si x  2   x  2  5    x  2  5 si x  2 .  x3     7  x. si x  2 si x  2. Como se deben verificar las dos inecuaciones, la solución será: S   x   / 3  x  x  7    , 7   3 ,  . G3w. Conocimientos básicos de Matemáticas.. Bloque 4. Cálculo. Tema 1. Valor Absoluto. Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González. MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza. Ejercicios resueltos 5.

(6) 4.1-8 Resolver:. 5  x 1  1. Solución Debemos aplicar en primer lugar la definición de valor absoluto y después resolver las inecuaciones a que da lugar:. 5  x 1. 1 1   5  x si 5  x es positivo 1   5   x  1 1 5  si 5  es negativo x x .  5 x  1  0  x   1 5    x  0  x  0 1 5x  1   5  0    0     , 1 5   0 ,   x x  5 x  1  0  x  1 5      x  0  x  0 5 x  1  0  x   1 5    x  0  x  0 1 5x  1     5  0  0    1 5 , 0  x x  5 x  1  0  x  1 5    x  0  x  0 Por lo tanto nuestro problema se convierte en: 1    1 si x    , 1 5   0 ,   5  x  1 5   1   x  1 5   1 si x   1 5 , 0  x  1 4x 1  4  x  0  x  0  1 5   1   x  1 6x 1 6   0  0 x x . si x    , 1 5   0 ,   si x   1 5 , 0 . Calculemos las soluciones de las diferentes inecuaciones.. G3w. Conocimientos básicos de Matemáticas.. Bloque 4. Cálculo. Tema 1. Valor Absoluto. Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González. MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza. Ejercicios resueltos 6.

(7) 4x 1  0: x. Solución de. Veamos cuales son los límites de los intervalos, para lo cual igualamos a cero el numerador y el denominador de la expresión anterior: 1 , x  0 este valor no puede estar en la solución 4 porque algo partido por 0 no existe. Con estos datos obtenidos escribimos la siguiente tabla: 4x 1  0  x  . . . 1 4  . .  . . NO sirve. . 0.  . 4x 1 x 4x 1 0 x . S  x /. . . SI sirve. NO sirve. . 1  1   x  0   ,0 4  4 .  1 1 Como x    , 1 5   0 ,   , se tiene que: x    ,    4 5 Solución de. 6x 1 0: x. Veamos cuales son los límites de los intervalos, para lo cual igualamos a cero el numerador y el denominador de la expresión anterior: 1 6 x  1  0  x   , por otro lado x  0 , este valor no puede estar en la 6 solución porque algo partido por 0 no existe. Con estos datos escribimos la siguiente tabla:  6x 1 x 6x 1 0 x . G3w. Conocimientos básicos de Matemáticas.. . 1 6.   . SI sirve. . 0   . NO sirve.   . SI sirve. Bloque 4. Cálculo. Tema 1. Valor Absoluto. Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González. MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza. Ejercicios resueltos 7.

(8) . S  x / x  . 1 6.  0x. . 1     ,     0 ,   6 .  1 1 Como x    1 5 , 0  , se tiene que: x    ,    5 6 Resumiendo tenemos: Solución de. 4x 1  0: x.  1 1 x   ,    4 5. Solución de. 6x 1 0: x.  1 1 x   ,    5 6. La solución de nuestro problema 5  x 1  1 debe verificar alguna de las. dos inecuaciones anteriores, por lo tanto la solución será:   1 1  1 1   1 1 S   x   / x    ,    x   ,       ,    4 5  5 6   4 6 . 4.1-9 Resolver:. 2 3  5 x. Solución Debemos aplicar en primer lugar la definición de valor absoluto y después resolver las inecuaciones a que da lugar:  2  x  3 si  2 3   x  2   3 si  x. 2  3 es positivo x 2  3 es negativo x. Esto es: 2  3 x  0  x  2 3    x  0  x  0 2 2  3x   3  0  0     0 , 2 3  x x  2  3x  0  x  2 3    x  0  x  0. G3w. Conocimientos básicos de Matemáticas.. Bloque 4. Cálculo. Tema 1. Valor Absoluto. Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González. MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza. Ejercicios resueltos 8.

(9) 2  3x  0  x  2 3    x  0  x  0 2 2  3x   3  0  0      , 0   2 3 ,    x x  2  3x  0  x  2 3    x  0  x  0 Por lo tanto nuestro problema se convierte en:  2  x 3  5  2  3  5   x  2   3  5  x. si. x   0 , 2 3. si. x    , 0   2 3 ,  . 2  8x 8x  2  2 8 0 0       0 si x   0 , 2 3  x x x  2  3  5   x  2 2  2 x 2x  2   2  0  0  0 si x    , 0   2 3 ,   x x  x Calculemos las soluciones de las diferentes inecuaciones. Solución de. 8x  2 0: x. Veamos cuales son los límites de los intervalos. Igualamos a cero el numerador y el denominador de la expresión anterior: 1 y x  0 , este valor no puede estar en la solución 4 porque algo partido por 0 no existe 8x  2  0  x . Con los datos obtenidos escribimos la siguiente tabla: . G3w. 8x  2 x 8x  2 0 x  Conocimientos básicos de Matemáticas.. 1 4. 0   . SI sirve.   . NO sirve.    . SI sirve. Bloque 4. Cálculo. Tema 1. Valor Absoluto. Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González. MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza. Ejercicios resueltos. 9.

(10) . S  x / x  0. 1 x 4. . 1     , 0    ,   4 . Como x   0 , 2 3 , se tiene que: x  1 4 , 2 3 Solución de. 2x  2 0: x. Veamos cuales son los límites de los intervalos. Igualamos a cero el numerador y el denominador de la expresión anterior: 2 x  2  0  x  1 , por otro lado x  0 , este valor no puede estar en la solución porque algo partido por 0 no existe. Con los datos obtenidos escribimos la siguiente tabla:. . . SI sirve. . 0.  . 2x  2 x 2x  2 0 x . S   x   / x  1  0  x. 1  .  . . . NO sirve. SI sirve.     , 1   0 ,  . Como x    , 0   2 3 ,   , se tiene que: x    , 1  2 3 ,   Resumiendo tenemos: Solución de. 8x  2 0: x. x  1 4 , 2 3. Solución de. 2x  2 0: x. x    , 1  2 3 ,  . 2  3  5 debe verificar alguna de las x dos inecuaciones anteriores, por lo tanto la solución será: La solución de nuestro problema. 1  S   x   / x  1 4 , 2 3  x    , 1  2 3 ,      , 1   ,   4 . G3w. Conocimientos básicos de Matemáticas.. Bloque 4. Cálculo. Tema 1. Valor Absoluto. Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González. MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza. Ejercicios resueltos. 10.

(11) 4.1-10 Resolver:. x  5  x 1. Solución Debemos aplicar en primer lugar la definición de valor absoluto y después resolver las inecuaciones a que da lugar:  x  5 si x  5 es positivo  x 5     x  5 si x  5 es negativo . Por lo tanto nuestro problema se convierte en:  x  5  x 1 x  5  x 1    x  5  x  1.  6  0 x  5  x 1   4  2 x  x  2. si. x 5. si. x 5. x  5  x  5  2 , 5 x 5. si si. S   x   / x  5  x   2 , 5   2 ,  . 4.1-11 Resolver:. x2  2  1. Solución Debemos aplicar en primer lugar la definición de valor absoluto y después resolver las inecuaciones a que da lugar:  x 2  2 si x 2  2 es positivo  x2  2    2 2  x  2 si x  2 es negativo Por lo tanto nuestro problema se convierte en:  x2  2  1  x 2  2  1    2  x  2  1. G3w. . si. x   ,  2    2 , . si. x    2 , 2 . Conocimientos básicos de Matemáticas.. . Bloque 4. Cálculo. Tema 1. Valor Absoluto. Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González. MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza. Ejercicios resueltos. 11.

(12)  x2  3  x 2  2  1    2 1  x. . si. x   ,  2    2 , . si. x    2 , 2 . . Debemos resolver las dos inecuaciones, para lo cual debemos tener en  x si x  0  2 cuenta que: x  x    x si x  0  La inecuación x 2  3 se convierte:  x 3  x  3  x  3  x  3     3  x 2. si x  0. 2. si x  0. x  0 , 3     3 , 0     3 , 3 . La solución de la inecuación x 2  3 será:. . . S  x   / x    3 , 3   x   ,  2    2 , .   . 3 ,  2    2 , 3 . La inecuación 1  x 2 se convierte:  1 x  1  x  1  x  1  x    x  1  2. si. x0  x  1,      , 1. 2. si. x0. La solución de la inecuación 1  x 2 será:. . . S  x   / x    , 1  1,    x    2 , 2     2 , 1  1, 2 . La solución de nuestro problema x 2  2  1 deberá satisfacer alguna de las dos inecuaciones anteriores por lo tanto será:. . . S  x   / x    3 ,  2    2 , 3     2 , 1  1, 2     3 , 1  1, 3 . G3w. Conocimientos básicos de Matemáticas.. Bloque 4. Cálculo. Tema 1. Valor Absoluto. Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González. MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza. Ejercicios resueltos 12.

(13) 4.1-12 Resolver:. 2x 1 2 x. Solución Debemos aplicar en primer lugar la definición de valor absoluto y después resolver las inecuaciones a que da lugar: 2x 1  2x  1 es positivo  2 si  x x  2x 1  2   x  2x 1 2x 1   2 si es negativo x x  Esto es: 2 x  1  0  x  1 2    x  0  x  0 2x  1    0      , 0   1 2 ,   x  2x 1  0  x  1 2    x  0  x  0 2 x  1  0  x  1 2    x  0  x  0 2x  1    0     0 , 1 2 x  2x  1  0  x  1 2    x  0  x  0 Por lo tanto nuestro problema se convierte en:  2x 1 2  x  2x 1  2   x  2x  1  2 x . G3w. Conocimientos básicos de Matemáticas.. si. x    , 0   1 2 ,  . si. x   0 , 1 2. Bloque 4. Cálculo. Tema 1. Valor Absoluto. Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González. MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza. Ejercicios resueltos 13.

(14) 1  2x 1 si  2  0  0  x x  2x 1  2   x  2x  1 4 x  1  2  0   0 si x x  Solución de. x    , 0   1 2 ,   x   0 , 1 2. 1 0: x. S   x   / x  0  x    , 0   1 2 ,      , 0  Solución de. 4x 1 0: x. Veamos cuales son los límites de los intervalos. Igualamos a cero el numerador y el denominador de la expresión anterior: 1 y x  0 , este valor no puede estar en la solución 4 porque algo partido por 0 no existe. 4x 1  0  x . Con los datos obtenidos escribimos la siguiente tabla:  4x 1 x 4x 1 0 x . 1 4. 0   . NO sirve.   . SI sirve.    . NO sirve.  1 S   x   / x   0 , 1 4   x   0 , 1 2   0 ,   4 La solución de nuestro problema debe verificar alguna de las dos inecuaciones anteriores, por lo tanto la solución será:  1 S    , 0    0 ,   4. G3w. Conocimientos básicos de Matemáticas.. Bloque 4. Cálculo. Tema 1. Valor Absoluto. Ana Allueva – José Luis Alejandre – José Miguel González. MATEMÁTICA APLICADA- Universidad Zaragoza. Ejercicios resueltos 14.

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