De la teoría de Galois a las teorías de torsión

De la teor´ıa de Galois a las

teor´ıas de torsi´

on

Rogelio Fern´

andez-Alonso

rfg@xanum.uam.mx

Departamento de Matem´aticas

Universidad Aut´onoma Metropolitana - Iztapalapa M´exico D.F.

Resumen

Se definen las conexiones de Galois y se presentan sus pro-piedades b´asicas. Se presentan los principales resultados que llevan al teorema fundamental de la teor´ıa de Galois desde la perspectiva de una conexi´on de Galois espec´ıfica, de he-cho, una polaridad entre dos conjuntos potencia. Se presenta la definici´on de este concepto y el de teor´ıa de torsi´on en el contexto de una polaridad particular sobre las subclases de la clase de m´odulos sobre un anillo R.

1.

Introducci´

on.

La teor´ıa de Galois, que se desarroll´o a partir de las brillantes ideas de Evariste Galois, es coronada por el llamado teorema fundamental de la teor´ıa de Galois, que establece, bajo ciertas condiciones de una extensi´on de campos, una correspondencia biun´ıvoca entre extensiones intermedias y subgrupos del grupo de Galois de dicha extensi´on. Esta correspondencia biun´ıvoca invierte el orden entre ambas estructuras dado por la contenci´on. En buena medida este resultado es impactante por la estrecha conexi´on que establece entre “mundos” tan diferentes.

se enuncian utilizando los conceptos y la notaci´on desarrollados en la secci´on 1. En la secci´on 3 se describe una clase de conexiones de Galois que incluyen a la conexi´on de Galois del teorema fundamental, llamadas polaridades. Finalmente se presentan las teor´ıas de torsi´on asociadas a un anillo, definidas en [1] por Dickson, como un caso particular de es-tas polaridades. Las demostraciones se omiten por ser muy sencillas y naturales, o como en la secci´on 3, por ser resultados conocidos, de los cuales se incluye la referencia a alg´un texto.

2.

Conexiones de Galois, operadores

y sistemas.

Recu´erdese que un conjunto parcialmente ordenado (copo) es una es-tructura hP,≤i donde P es un conjunto y ≤ es una relaci´on de orden parcial sobre P. Un morfismo del copo hP,≤i al copo hQ,₄i es una funci´onf :P →Qtal que para todo p, p0 ∈P tales quep≤p0 se tiene que f(p) ₄f(p0). Un morfismo de copos f :hP,≤i → hQ,₄i se llama

isomorfismo si existe un morfismo de coposg :hQ,₄i → hP,≤ital que

g◦f = 1P y f◦g = 1Q. En este caso tambi´en llamaremosisomorfismo

a la cuarteta hP, f, g, Qi. El concepto de conexi´on de Galois generaliza al de isomorfismo de copos.

Definici´on 2.1 Una conexi´on de Galois es una cuarteta hP, f, g, Qi

dondehP,≤iyhQ,₄ison copos,f :P →Qyg :Q→P son funciones tales que para todo p ∈ P, q ∈ Q sucede que f(p) ₄ q si y s´olo si

p≤g(q).

A continuaci´on se establece una definici´on alternativa de este con-cepto.

Proposici´on 2.2 Dados los copos hP,≤i y hQ,₄i y las funciones f :

P →Q y g :Q→P, son equivalentes: 1. hP, f, g, Qi es una conexi´on de Galois.

2. (a) Para todop∈P se tienep≤gf(p)y para todoq ∈Qse tiene

f g(q)₄q.

(b) f y g son morfismos de copos.

2. g◦f◦g =g.

Las conexiones de Galois tienen una estrecha relaci´on con el concep-to de cerradura (interior) que aparece en muchas ´areas de las matem´ ati-cas, no s´olo en la topolog´ıa. A continuaci´on se presenta la definici´on de ambos conceptos para copos.

Definici´on 2.4 Sea hP,≤i un copo. Un operador cerradura (interior)

sobre P es una funci´on h:P →P que cumple las siguientes condicio-nes:

1. h es un morfismo de orden.

2. Para todo p∈P sucede que p≤h(p) (h(p)≤p). 3. h◦h=h.

En pocas palabras, un operador cerradura (interior) sobre un copo es un endomorfismo creciente (decreciente) e idempotente. Una manera alternativa de definir estos conceptos es refiri´endose a los elementos cerrados o abiertos.

Definici´on 2.5 SeahP,≤i un copo. Unsistema de cerrados (abiertos)

de P es un subconjunto Q de P tal que para todo p ∈ P el conjunto

{q ∈ Q | p ≤ q} ({q ∈ Q | q ≤ p}) tiene elemento menor (mayor), denotado porp¯(p◦). Los elementos deQse llamancerrados (abiertos)1_.

En efecto, un operador cerradura (interior) induce un sistema de cerrados (abiertos), e inversamente.

Proposici´on 2.6 Sea hP,≤i un copo.

1. Si h es un operador cerradura (interior) sobre un copo, entonces

h(P) es un sistema de cerrados (abiertos) de P.

2. Si Q es un sistema de cerrados (abiertos) de P, entonces la fun-ci´on

h : P → P definida como h(p) := ¯p (h(p) := p◦) es un opera-dor cerradura (interior) sobre P.

Tambi´en sucede que un operador cerradura sobre un copo induce naturalmente una conexi´on de Galois.

Proposici´on 2.7 Seahun operador cerradura (interior) sobre un copo

hP,≤i. Sea P¯ = h(P) (P◦ = h(P))el sistema de cerrados (abiertos) correspondiente. Sea ¯h : P → P¯ (h◦ : P → P◦) la correstricci´on de

h en su imagen y sea i : ¯P → P (j : P◦ → P) la inclusi´on natural. Entonces hP,¯h, i,P¯i (hP◦, j, h◦, Pi) es una conexi´on de Galois.

Rec´ıprocamente, una conexi´on de Galois induce naturalmente un operador cerradura y un operador interior en los copos que forman parte de esta.

Teorema 2.8 Si π=hP, f, g, Qi es una conexi´on de Galois entonces: 1. g◦f es un operador cerradura sobre P.

2. P¯ =g(Q) = gf(P) es un sistema de cerrados de P. 3. f◦g es un operador interior sobre Q.

4. Q◦ =f(P) =f g(Q) es un sistema de abiertos de Q.

A los elementos de ¯P les llamaremosπ-cerrados, y a los deQ◦ les lla-maremosπ-abiertos. Resulta que el sistema abierto y el sistema cerrado que est´an impl´ıcitos en una conexi´on de Galois son copos isomorfos.

Proposici´on 2.9 Si hP, f, g, Qi es una conexi´on de Galois entonces las restricciones def aP¯ y deg a Q◦ inducen un isomorfismo de copos

_¯

P , f0, g0, Q◦

.

3.

Teorema fundamental de la teor´ıa de

Galois.

Como ya se dijo en la introducci´on, el teorema fundamental de la teor´ıa de Galois establece, bajo ciertas condiciones de una extensi´on de cam-pos, una correspondencia biun´ıvoca (que invierte la contenci´on) entre extensiones intermedias y subgrupos del grupo de Galois de dicha ex-tensi´on. Pero de hecho no se necesitan condiciones adicionales para ya tener una conexi´on de Galois.

Proposici´on 3.1 SeaE/F una extensi´on de campos y seaP el copo de extensiones intermedias entre F yE ordenadas con la contenci´on. Sea

ordenados por la contenci´on invertida. Sean f : P → Q y g : Q → P

definidas como sigue:

f(K) = G(E/K) ={σ ∈G| ∀x∈K, σ(x) =x}

g(H) = EH ={x∈E | ∀σ ∈H, σ(x) = x}

Entonces πGal =hP, f, g,Qi es una conexi´on de Galois2.

En este caso espec´ıfico los coposP yQson ret´ıculas completas3. Adem´as en cada copo hay funciones que le asocian a cada elemento un cardinal. En P se puede considerar el grado [E : K] de la extensi´on E/K y en

Q puede considerarse el orden o(H) del subgrupo H de G(E/F). El siguiente resultado relaciona ambos n´umeros en el caso finito.

Proposici´on 3.2 [2, teo. 4.9.3] Sea E un campo y sea H ≤ Aut(E)

un subgrupo finito. Entonces o(H) = [E :EH].

Esto tiene como consecuencia la siguiente propiedad de la conexi´on de Galois πGal.

Proposici´on 3.3 Sea E/F una extensi´on de campos. Si H es un sub-grupo finito de G(E/F) entonces H = G(EH/F) = f g(H), es decir, H ∈ Q◦_.

En particular, todos los subgrupos son finitos cuando el grupoG(E/F) lo es. Por lo tanto en este caso todos los elementos de Q son abiertos.

Corolario 3.4 Si G(E/F) es un grupo finito entonces: 1. Q=Q◦_.

2. f◦g = 1Q.

3. f es suprayectiva y g es inyectiva.

La hip´otesis de la proposici´on anterior se tiene cuando la extensi´on de campos es finita.

Proposici´on 3.5 [3, teo. 5.6.2] SiE/F es una extensi´on finita enton-ces G(E/F) es un grupo finito y o(G(E/F))≤[E :F].

2_{A menudo este tipo de conexiones de Galois, donde el orden de uno de los}

copos est´a invertido, se llamanant´ıtonas, a diferencia de las ya definidas aqu´ı que se llamanmon´otonas.

3_{Una ret´ıculacompletaes un copo tal que para todo subconjunto existe su ´ınfimo}

Recu´erdese que una extensi´on algebraica E/F se llama:

normal si todo polinomio irreducible p(x)∈F[x] con una ra´ız en

E se descompone completamente enE;

separable si para todoα ∈E, el polinomio m´onico irreducible que tiene aαcomo ra´ız es separable, esto es, no tiene ra´ıces m´ultiples;

extensi´on de Galois si es normal y separable.

Proposici´on 3.6 [5, teo. 3.26] Para una extensi´on finita E/F son equivalentes:

(a) E/F es una extensi´on de Galois.

(b) E es el campo de descomposici´on de un polinomio separable p(x)∈

F[x].

(c) F =gf(F), es decir, F ∈P¯ (F es cerrado en P).

La equivalencia entre las condiciones (a) y (b) de la proposici´on 3.6 implica que las extensiones intermedias heredan la misma propiedad.

Corolario 3.7 Dada una extensi´on finita E/F y un campo intermedio

F ≤K ≤E, si E/F es una extensi´on de Galois entonces E/K es una extensi´on de Galois.

Aplicando la condici´on (c) de la proposici´on 3.6 a todas las extensio-nes intermediasE/Kse obtiene finalmente que siE/F es una extensi´on de Galois tenemos del lado de las extensiones intermedias un resultado an´alogo al corolario 3.4.

Proposici´on 3.8 Para una extensi´on finita E/F son equivalentes: (a) F ∈P¯ (F es cerrado en P).

(b) P = ¯P (todos los elementos de P son cerrados). (c) g◦f = 1P.

Como consecuencia de las proposiciones 3.4 y 3.8, y aplicando la proposici´on 2.9, tenemos el teorema dundamental de la teor´ıa de Galois.

Corolario 3.9 (Teorema fundamental de la teor´ıa de Galois) Si

E/F es una extensi´on de Galois finita entonces P = ¯P, Q = Q◦ _{y la}

4.

Polaridades.

La conexi´on de Galois πGal descrita en la secci´on anterior es un caso

particular de un tipo m´as amplio de conexiones de Galois, inducidas por una relaci´on binaria.

Definici´on 4.1 Sean A y B conjuntos. Una polaridad entre los con-juntos potencia ℘(A) y ℘(B), ordenados por la contenci´on es una co-nexi´on de Galois h℘(A), f, g, ℘(B)op_i.

Las polaridades resultan ser correspondientes con relaciones binarias, de manera muy sencilla.

Teorema 4.2 Sean A yB conjuntos.

1. Toda relaci´on R⊆A×B induce una polaridad πR=h℘(A), f, g, ℘(B)opi dada por las funciones:

fR(X) = {b∈B | ∀x∈X,(x, b)∈R}, para X ⊆A; gR(Y) = {a∈A| ∀y∈Y,(a, y)∈R}, para Y ⊆B.

2. Toda polaridad π=h℘(A), f, g, ℘(B)op_{i induce la relaci´on:}

Rπ ={(a, b)∈A×B |b ∈f({a})}

3. Dada una relaci´on R ⊆ A×B se tiene RπR=R. Dada una

pola-ridad π = h℘(A), f, g, ℘(B)op_{i se tiene π}

Rπ = π. Por tanto hay

una correspondencia biun´ıvoca entre las relaciones de A en B y las polaridades entre ℘(A) y ℘(B).

Dada una extensi´on de campos E/F y el grupo de automorfismos

G=G(E/F), la proposici´on 3.1 establece una conexi´on de Galois πGal.

Obs´ervese la similaridad entre las definiciones de las funciones f y g

que componenπGaly las del teorema 4.2. De hecho se puede considerar

la relaci´on

R={(x, σ)∈E×G|σ(x) =x}.

Seg´un el teorema 4.2, a dicha relaci´on de E en G le corresponde una polaridad πR entre ℘(E) y ℘(G), definida precisamente como en la

proposici´on 3.1, pero donde ahora K y H representan subconjuntos

arbitrarios deEyGrespectivamente. En tal caso tambi´enf(K) resulta ser un subgrupo de G y g(H) resulta ser un subcampo intermedio de

y el sistema deπR-abiertos son ¯P yQ◦, es decir, coincide con el sistema

deπGal-cerrados y con el sistema de πGal-abiertos, respectivamente.

Las polaridades pueden definirse de la misma forma entre ret´ıculas completas L y L0, aunque a fin de cuentas estas pueden considerarse como ciertas polaridades entre℘(L) y ℘(L0). Para una explicaci´on m´as detallada de esto v´ease [4].

5.

Teor´ıas de torsi´

on.

La correspondencia dada por el teorema 4.2 puede aplicarse tambi´en a relaciones R de una clase A a otra clase B, a´un cuando estas no sean conjuntos. En tal caso la polaridadπRinducida porRse establece entre

℘(A) y℘(B) donde ahora se denotan as´ı las clases que constan de todas las subclases deA yB, respectivamente. SeaRun anillo asociativo con uno y seaR-Mod la clase de todos losR-m´odulos izquierdos. La relaci´on sobre R-Mod dada por

H ={(M, N)∈R-Mod×R-Mod|HomR(M, N) = 0},

induce una polaridadπH sobre℘(R-Mod) dada por las siguientes

asig-naciones definidas para subclasesA y B deR-Mod:

fH(A) ={N ∈R-Mod| ∀M ∈ A,HomR(M, N) = 0}, gH(B) ={M ∈R-Mod| ∀N ∈ B,HomR(M, N) = 0}.

De acuerdo al teorema 2.8, las subclases de R-Mod πH-cerradas son

aquellas A tales que gHfH(A) = A y las subclases πH-abiertas son

aquellas B tales que fHgH(B) = B.

Llegamos pues al concepto de teor´ıa de torsi´on introducido por Dick-son en [1]. De hecho ´el define en [1,§3, p. 228] los operadores fH y gH

y demuestra que la siguiente condici´on es una definici´on alternativa al concepto que presenta al principio de su art´ıculo.

Definici´on 5.1 Dado un anillo R, una teor´ıa de torsi´ones una pareja

(A,B) de subclases de R-Mod tales queB =fH(A) y A=gH(B).

En otras palabras, una teor´ıa de torsi´on es una pareja (A,B) donde A

es una subclaseπH-cerrada y Bes la subclase πH-abierta que le

corres-ponde de manera biun´ıvoca, seg´un la proposici´on 2.9. Consideremos las siguientes propiedades de cerradura que puede tener una clase de

R-m´odulos.

1. epimorfismos si para cada epimorfismoM L tal que M ∈ C se tiene L∈ C;

2. monomorfismossi para cada monomorfismoN M tal queM ∈ C se tiene N ∈ C;

3. sumas directas si para cada conjunto{Mi}i∈I de R-m´odulos en C

se tiene que su suma directa L

i∈IMi est´a en C;

4. productos directos si para cada conjunto {Mi}i∈I de R-m´odulos

en C se tiene que su producto directo Q

i∈IMi est´a en C;

5. extensiones si para cada sucesi´on exacta 0→ N → M →L →0

tal que N, L∈ C se tiene M ∈ C.

Las subclasesπH-cerradas yπH-abiertas pueden caracterizarse en t´

ermi-nos de ciertas propiedades de cerradura como sigue.

Proposici´on 5.3 Sea C una subclase de R-Mod.

1. C es una subclase πH-cerrada si y s´olo si es cerrada bajo

epimor-fismos, sumas directas y extensiones.

2. C es una subclase πH-abierta si y s´olo si es cerrada bajo

mono-morfismos, productos directos y extensiones.

A las subclases πH-cerradas de R-Mod se les llama clases de

tor-si´on. A las subclases πH-abiertas se les llama clases libres de torsi´on.

Aplicando la proposici´on 2.9 tenemos el siguiente resultado.

Corolario 5.4 Existe una correspondencia biun´ıvoca entre las clases de torsi´on y las clases libres de torsi´on, que invierte la contenci´on de clases.

6.

Conclusiones y preguntas.

El concepto de conexi´on de Galois es lo suficientemente b´asico para permear diversas ´areas de las matem´aticas, como se puede apreciar en la larga lista de ejemplos en [4]. Eso nos lleva a preguntar si la interesante situaci´on del teorema fundamental de la teor´ıa de Galois ocurre en otros ´

¿qu´e condiciones debemos a˜nadir para que la conexi´on de Galois sea un isomorfismo? De todos modos sigue existiendo un isomorfismo que hace corresponder los cerrados de un copo con los abiertos del otro. As´ı que un par de preguntas importantes ante cualquier conexi´on de Galois hP, f, g, Qi es ¿cu´ales son los cerrados de P? ¿cu´ales son los abiertos deQ? Hemos visto que en el caso de la conexi´on de GaloisπH

usada para definir las teor´ıas de torsi´on, se caracterizan estos elementos en t´erminos de propiedades intr´ınsecas. ¿En qu´e otros casos se puede hacer esto? Todas estas preguntas ofrecen una interesante perspectiva.

Bibliograf´ıa

1. S. E. Dickson, A torsion theory for abelian categories,Trans. Amer. Math. Soc.121 (1966) 223–235.

2. G. Ehrlich, Fundamental Concepts of Abstract Algebra, PWS-KENT, 1991.

3. I. N. Herstein,Topics in Algebra, John Wiley and Sons, 1975.

4. A. M. M. Ern´e, J. Koslowski y G. E. Strecker, A primer on galois con-nections,Ann. New York Acad. Sci. 704(1993) 103–125.