Representación de funciones de diversos tipos haciendo uso, cuando se pueda, de las peculiaridades de las curvas de esa familia

TEMA 11 – REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES

EJERCICIO 1 : Representa gráficamente la función:

 

2x 12 x 18 x x f

2 3

  

Solución:

 Dominio R

 Simetrías:

 

2x. Noespar niimpar:noessimétricarespectoaleje Y ni 12

x 18

x x f

2 3

    

respecto al origen.

 Ramas infinitas:

 



 



  



x f lím ; x f lím

x x

 Puntos singulares:

 

6 12 x x 2 6 x

6 x 2 12

x 2

18 x 3 x ' f

2 2

2 _{ }

      

 

  

                

4 x

3 x

2 7 1

2 49 1

2 48 1 1 x 0

12 x x 0

x '

f 2

   

      

  



9 52 , 4 ; 4 15 , 3 : singulares Puntos

 Cortes con los ejes:

- Con el eje Y  x 0  y 0  Punto (0, 0)

      

  

  



 2 0

12 x 18 x x 0 y X eje el Con

-2

      

    

    

          

8 , 6 x

3 , 5 x 4

585 3 4

576 9 3 x 0

72 x 3 x 2 x

0 x

2

Puntos: (0, 0); (5,3; 0) y (6,8; 0)

 Puntos de inflexión:

 

 



  



 

    



72 73 , 2 1 Punto 2

1 x 0 x '' f ; 6

1 x 2 x '' f

 Gráfica:

EJERCICIO 2 : Dibuja la gráfica de la siguiente función:

 

3 2

x 1 x x

f  

Solución:

 Dominio R {0}

 Simetrías: f (x) f (x). Es impar: simétrica respecto al origen.

 Asíntotas verticales:

 

 

x x 0 esasíntota vertical. f

lím x f lím

0 x

0 x

       

 

 

 

 Asíntota horizontal:

 



 



 

x 0



si x ,f

 

x 0



y 0 esasíntotahorizontal. f

lím

0 x f , x si 0 x f lím

x x

     

   

   

 

 Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento:

 









4 2

6 2 2

6 2 4

6 2 4 4

6

2 2

3

x x 3 x

3 x x x

x 3 x x

x 3 x 3 x 2 x

x 3 · 1 x x · x 2 x '

f             

 

x 0 3 x 0 x 3

'

f    2   

Signo de f '(x):

 

x esdecrecienteen ( , 3) ( 3, ); escrecienteen ( 3,0) (0, 3).

f      

). 38 , 0 ; 3 ( en máximo un y ) 38 , 0 ; 3 ( en mínimo un

Tiene  

 Cortes con los ejes:

- No corta al eje Y, pues en x 0 no está definida.

- Con el eje X  y 0  x2  1  0  x1  Puntos (1, 0) y (1, 0).

 Gráfica:

EJERCICIO 3 : Estudia la siguiente función y dibuja su gráfica:

 

1 x

x x f

2 3

  Solución:

 Dominio R {1, 1}

 Simetrías: f (x) f (x). Es impar: simétrica respecto al origen.

 Asíntotas verticales:

 

 

x x 1 esasíntota vertical. f

lím x f lím

1 x

1 x

      

 

 

 

 

 

 

 

x x 1 esasíntota vertical. f

lím x f lím

1 x

1 x

     

 

 

 

 

 Asíntota oblícua: y x esasíntotaoblícua. 1

x x x 1 x

x y

2 2

3

      

Posición de la curva respecto a la asíntota:

f (x) x < 0 si x (curva por debajo). f (x) x > 0 si x (curva por encima).

 Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento:

 





2 2

2 4

2 2

4 2 4

2 2

3 2

2

) 1 x (

x 3 x )

1 x (

x 2 x 3 x 3 )

1 x (

x 2 · x 1 x x 3 x ' f

   

   

  

 

x 0 x



x 3



0 x 0,x 3, x 3

'

f   2 2     

Signo de f '(x):

 

x escrecienteen ( , 3) ( 3, ); esdecrecienteen

f     ( 3,1)(1,0)(0,1)(1, 3) de

punto un ; ) 6 , 2 ; 3 ( en máximo un

Tiene   inflexión en (0,0) y un mínimoen ( 3;2,6).

 Solo corta a los ejes en el punto (0, 0).

EJERCICIO 4 : Representa la función:

 

4 x 8 x 3 x f

3 4

 

Solución:

 Dominio R

 Simetrías:

 

. Noespar niimpar:noessimétricarespectoaleje Y nirespecto 4

x 8 x 3 x f

3 4

  

al origen.

 Ramas infinitas:

 



 



  

lím f x ; xlím f x x

 Puntos singulares:

 

3x 6x 3x



x 2



4 x 24 x 12 x '

f 3 2 2

2 3

 

   

 





  

     



2 x

0 x 0

2 x x 3 0 x '

f 2  Puntos singulares: (0, 0) y (2, 4)

 Cortes con los ejes:

- Con el eje Y  x 0  y 0  Punto (0, 0)











     

    

     



 ,0

3 8 y 0 , 0 Puntos

3 8 x

0 x 0 8 x 3 x 0 y X eje el Con

- 3

 Puntos de inflexión:

f ''(x)  9x2  12x 3x (3x 4)

 







  

   

   

27 64 , 3 4 y 0 0, Puntos 3

4 x , 0 x 0

x ' ' f

 Gráfica:

EJERCICIO 5 : Halla los puntos de corte con los ejes y los máximos y mínimos de la función:

f (x) 2  cos2 x, x  [0, 2] Utilizando la información obtenida, represéntala gráficamente. Solución:

 Dominio  [0, 2]

 Puntos de corte con los ejes:

- Con el eje Y  x 0  y1  Punto (0, 1)

- Con el eje X  y 0  2 cos2x 0  cos2x 2 

solución

tiene

No

2

x

cos









 No corta al eje X.

 Máximos y mínimos: f '(x)  2cos x (sen x) 2cos x sen x

 

    

      

      

 

 

2 x , x , 0 x 0

x sen

2 3 x , 2 x 0

x cos 0

x sen x cos 2 0

x ' f

Estudiamos el signo de f ''(x) 2 [cos2xsen2x] en esos puntos: y '' < 0 en x 0, x y x 2Máximos: (0, 1), (, 1), (2, 1)

2 3 x y 2 x en 0 ''

y       

  

 

       

 

2 , 2 3 ; 2 , 2 : Mínimos

EJERCICIO 6 : Estudia y representa esta función:

 

     

  

1 x

2 x ln x f

Solución:

 Dominio  (, 1)  (2, )

 Asíntotas: Asíntotas verticales:

 

1 esasíntota vertical. 1

    



 

x x

f lím

x

 

vertical. asíntota

es 2 2

   





x x

f lím

x

Asíntotas horizontales

 



 



 



 



      

 

 

      

  

 

    

 

 

  

  



  



0 x f 0 1 ln 1 x

2 x ln lím x

f lím

0 x f 0 1 ln 1 x

2 x ln lím x

f lím

x x

x x

y 0 es asíntota horizontal.

 Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento:

 



 

 



) 1 x ( ) 2 x (

3 )

1 x (

2 x 1 x · ) 2 x (

1 x )

1 x (

2 x 1 x ·

1 x

2 x

1 x ' f

2

2 _  _{ }

   

  

  

  

f '(x)  0 para todo x. Signo de f '(x):

f (x) es creciente en su dominio.

 No corta a los ejes.

 Gráfica:

EJERCICIO 7 : Representa la siguiente función:

 

1 x

e x f

2 x

 

Solución:

 Dominio R

 Asíntotas:

No tiene asíntotas verticales. Asíntotas horizontales

 

x 0 y 0 esasíntotahorizontalcuando x



y 0



. f

lím

x     

 

 

Ramaparabólica.

x x f lím ; x f lím

x x

   



  



 













2 2

2 x

2 2 2 x

2 2

x 2

x

) 1 x (

1 x e )

1 x (

1 x 2 x e )

1 x (

x 2 · e 1 x e x ' f

   

  

   

f '(x)  0  x 1

f '(x) > 0 para todo x 1  f (x) es creciente. .

2 e , 1 en inflexión de

punto un

Hay 

    

 Corta al eje Y en (0, 1). No corta al eje X.

 Gráfica:

EJERCICIO 8 : Estudia y representa la función:

 

x 2 x

1 x

f

2_



Solución:

 Dominio  (, 2)  (0, )

 Simetrías:

 

x 2 x

1 x

f

2_  

No es par ni impar: no es simétrica respecto al eje Y ni respecto al origen.

 Asíntotas:

Asíntotas verticales:

 

2 esasíntota vertical. 2

    



 

x x

f lím

x

 

vertical. asíntota

es 0 0

   





x x

f lím

x

Asíntotas horizontales: lím f

 

x lím f

 

x 0

x

x     y 0 es asíntota horizontal (f (x) > 0 para todo x).

 Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento:

 





2

1 2 _2x

x x f



 

 















₂



3 2

3 2

x 2 x

1 x 2

x 2 · x 2 x 2

1 x ' f

     

 



f '(x)  0  x 1 (no vale; pues f (x) no está definida en x1). f (x) no tiene puntos singulares.

Signo de f ' (x):

f (x) es creciente en (, 2) y es decreciente en (0, ).

 f (x) no corta a los ejes.

 Gráfica:

EJERCICIO : Representa gráficamente la siguiente función: f (x)  (1  x) ex Solución:

 Dominio R

 Asíntotas:

Asíntotas horizontales:

 





0 e

x 1 lím e

x 1 lím x f lím

x x

x x

x 

 

 

   

 



y 0 es asíntota horizontal cuando x (y > 0).

Ramas infinitas:

 

 

Ramaparabólica.

x x f lím ; x f lím

x

x    

 Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento: f '(x) ex (1 x) ex (1  1 x) exx ex f '(x)  0  x 0

Signo de f '(x):

f (x) es creciente en (, 0); es decreciente en (0, ). Tiene un máximo en (0, 1).

 Puntos de corte con los ejes:

- Con el eje Y  x 0  y 1  Punto (0, 1) - Con el eje X  y 0  x 1  Punto (1, 0)

 Gráfica:

EJERCICIO : Estudia y representa la siguiente función:

 

4 x

x 1 x f

2 2

  

Solución:

 Dominio R {2, 2}

 Simetrías: f (x) f (x). Es par: simétrica respecto al eje Y.

 Asíntotas verticales:

 

 

x x 2 esasíntota vertical. f

lím x f lím

2 x

2 x

      

 

 

 

 





 

 

x x 2 esasíntota vertical. f

lím x f lím

2 x

2 x

     

 

 

 

 

 Asíntota horizontal:

lím

f

 

x

lím

f

 

x

1

y

1

es

asíntota

horizontal

.

x x













  



Si x y si x, f (x) < 1  La curva está por debajo de la asíntota.

 Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento:

 



 







2 2



₂



2

3 3

2 2

2 2

4 x

x 6 )

4 x (

x 2 x 2 x 8 x 2

4 x

x 2 · x 1 4 x x 2 x ' f

  

     

   



f '(x)  0  6x 0  x 0 Signo de f' (x):

f (x) es decreciente en (, 2)  (2, 0); es creciente en (0, 2)  (2, ). Tiene . 4 1 , 0 en mínimo

un 

    

  Cortes con los ejes:

     

 

    

4 1 , 0 Punto 4

1 y 0

x Y

eje el Con

-- Con el eje X  y 0  1 x2  0  x1; x 1  Puntos (1, 0) y (1, 0)