TEMA 11 – REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES
EJERCICIO 1 : Representa gráficamente la función:
2x 12 x 18 x x f2 3
Solución:
Dominio R
Simetrías:
2x. Noespar niimpar:noessimétricarespectoaleje Y ni 12x 18
x x f
2 3
respecto al origen.
Ramas infinitas:
x f lím ; x f lím
x x
Puntos singulares:
6 12 x x 2 6 x
6 x 2 12
x 2
18 x 3 x ' f
2 2
2
4 x
3 x
2 7 1
2 49 1
2 48 1 1 x 0
12 x x 0
x '
f 2
9 52 , 4 ; 4 15 , 3 : singulares Puntos
Cortes con los ejes:
- Con el eje Y x 0 y 0 Punto (0, 0)
2 0
12 x 18 x x 0 y X eje el Con
-2
8 , 6 x
3 , 5 x 4
585 3 4
576 9 3 x 0
72 x 3 x 2 x
0 x
2
Puntos: (0, 0); (5,3; 0) y (6,8; 0)
Puntos de inflexión:
72 73 , 2 1 Punto 2
1 x 0 x '' f ; 6
1 x 2 x '' f
Gráfica:
EJERCICIO 2 : Dibuja la gráfica de la siguiente función:
3 2
x 1 x x
f
Solución:
Dominio R {0}
Simetrías: f (x) f (x). Es impar: simétrica respecto al origen.
Asíntotas verticales:
x x 0 esasíntota vertical. flím x f lím
0 x
0 x
Asíntota horizontal:
x 0
si x ,f
x 0
y 0 esasíntotahorizontal. flím
0 x f , x si 0 x f lím
x x
Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento:
4 2
6 2 2
6 2 4
6 2 4 4
6
2 2
3
x x 3 x
3 x x x
x 3 x x
x 3 x 3 x 2 x
x 3 · 1 x x · x 2 x '
f
x 0 3 x 0 x 3'
f 2
Signo de f '(x):
x esdecrecienteen ( , 3) ( 3, ); escrecienteen ( 3,0) (0, 3).f
). 38 , 0 ; 3 ( en máximo un y ) 38 , 0 ; 3 ( en mínimo un
Tiene
Cortes con los ejes:
- No corta al eje Y, pues en x 0 no está definida.
- Con el eje X y 0 x2 1 0 x1 Puntos (1, 0) y (1, 0).
Gráfica:
EJERCICIO 3 : Estudia la siguiente función y dibuja su gráfica:
1 x
x x f
2 3
Solución:
Dominio R {1, 1}
Simetrías: f (x) f (x). Es impar: simétrica respecto al origen.
Asíntotas verticales:
x x 1 esasíntota vertical. flím x f lím
1 x
1 x
x x 1 esasíntota vertical. flím x f lím
1 x
1 x
Asíntota oblícua: y x esasíntotaoblícua. 1
x x x 1 x
x y
2 2
3
Posición de la curva respecto a la asíntota:
f (x) x < 0 si x (curva por debajo). f (x) x > 0 si x (curva por encima).
Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento:
2 2
2 4
2 2
4 2 4
2 2
3 2
2
) 1 x (
x 3 x )
1 x (
x 2 x 3 x 3 )
1 x (
x 2 · x 1 x x 3 x ' f
x 0 x
x 3
0 x 0,x 3, x 3'
f 2 2
Signo de f '(x):
x escrecienteen ( , 3) ( 3, ); esdecrecienteenf ( 3,1)(1,0)(0,1)(1, 3) de
punto un ; ) 6 , 2 ; 3 ( en máximo un
Tiene inflexión en (0,0) y un mínimoen ( 3;2,6).
Solo corta a los ejes en el punto (0, 0).
EJERCICIO 4 : Representa la función:
4 x 8 x 3 x f
3 4
Solución:
Dominio R
Simetrías:
. Noespar niimpar:noessimétricarespectoaleje Y nirespecto 4x 8 x 3 x f
3 4
al origen.
Ramas infinitas:
lím f x ; xlím f x x
Puntos singulares:
3x 6x 3x
x 2
4 x 24 x 12 x '
f 3 2 2
2 3
2 x
0 x 0
2 x x 3 0 x '
f 2 Puntos singulares: (0, 0) y (2, 4)
Cortes con los ejes:
- Con el eje Y x 0 y 0 Punto (0, 0)
,0
3 8 y 0 , 0 Puntos
3 8 x
0 x 0 8 x 3 x 0 y X eje el Con
- 3
Puntos de inflexión:
f ''(x) 9x2 12x 3x (3x 4)
27 64 , 3 4 y 0 0, Puntos 3
4 x , 0 x 0
x ' ' f
Gráfica:
EJERCICIO 5 : Halla los puntos de corte con los ejes y los máximos y mínimos de la función:
f (x) 2 cos2 x, x [0, 2] Utilizando la información obtenida, represéntala gráficamente. Solución:
Dominio [0, 2]
Puntos de corte con los ejes:
- Con el eje Y x 0 y1 Punto (0, 1)
- Con el eje X y 0 2 cos2x 0 cos2x 2
solución
tiene
No
2
x
cos
No corta al eje X. Máximos y mínimos: f '(x) 2cos x (sen x) 2cos x sen x
2 x , x , 0 x 0
x sen
2 3 x , 2 x 0
x cos 0
x sen x cos 2 0
x ' f
Estudiamos el signo de f ''(x) 2 [cos2xsen2x] en esos puntos: y '' < 0 en x 0, x y x 2Máximos: (0, 1), (, 1), (2, 1)
2 3 x y 2 x en 0 ''
y
2 , 2 3 ; 2 , 2 : Mínimos
EJERCICIO 6 : Estudia y representa esta función:
1 x
2 x ln x f
Solución:
Dominio (, 1) (2, )
Asíntotas: Asíntotas verticales:
1 esasíntota vertical. 1
x x
f lím
x
vertical. asíntota
es 2 2
x x
f lím
x
Asíntotas horizontales
0 x f 0 1 ln 1 x
2 x ln lím x
f lím
0 x f 0 1 ln 1 x
2 x ln lím x
f lím
x x
x x
y 0 es asíntota horizontal.
Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento:
) 1 x ( ) 2 x (
3 )
1 x (
2 x 1 x · ) 2 x (
1 x )
1 x (
2 x 1 x ·
1 x
2 x
1 x ' f
2
2
f '(x) 0 para todo x. Signo de f '(x):
f (x) es creciente en su dominio.
No corta a los ejes.
Gráfica:
EJERCICIO 7 : Representa la siguiente función:
1 x
e x f
2 x
Solución:
Dominio R
Asíntotas:
No tiene asíntotas verticales. Asíntotas horizontales
x 0 y 0 esasíntotahorizontalcuando x
y 0
. flím
x
Ramaparabólica.x x f lím ; x f lím
x x
2 2
2 x
2 2 2 x
2 2
x 2
x
) 1 x (
1 x e )
1 x (
1 x 2 x e )
1 x (
x 2 · e 1 x e x ' f
f '(x) 0 x 1
f '(x) > 0 para todo x 1 f (x) es creciente. .
2 e , 1 en inflexión de
punto un
Hay
Corta al eje Y en (0, 1). No corta al eje X.
Gráfica:
EJERCICIO 8 : Estudia y representa la función:
x 2 x
1 x
f
2
Solución:
Dominio (, 2) (0, )
Simetrías:
x 2 x
1 x
f
2
No es par ni impar: no es simétrica respecto al eje Y ni respecto al origen.
Asíntotas:
Asíntotas verticales:
2 esasíntota vertical. 2
x x
f lím
x
vertical. asíntota
es 0 0
x x
f lím
x
Asíntotas horizontales: lím f
x lím f
x 0x
x y 0 es asíntota horizontal (f (x) > 0 para todo x).
Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento:
21 2 2x
x x f
2
3 23 2
x 2 x
1 x 2
x 2 · x 2 x 2
1 x ' f
f '(x) 0 x 1 (no vale; pues f (x) no está definida en x1). f (x) no tiene puntos singulares.
Signo de f ' (x):
f (x) es creciente en (, 2) y es decreciente en (0, ).
f (x) no corta a los ejes.
Gráfica:
EJERCICIO : Representa gráficamente la siguiente función: f (x) (1 x) ex Solución:
Dominio R
Asíntotas:
Asíntotas horizontales:
0 ex 1 lím e
x 1 lím x f lím
x x
x x
x
y 0 es asíntota horizontal cuando x (y > 0).
Ramas infinitas:
Ramaparabólica.x x f lím ; x f lím
x
x
Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento: f '(x) ex (1 x) ex (1 1 x) exx ex f '(x) 0 x 0
Signo de f '(x):
f (x) es creciente en (, 0); es decreciente en (0, ). Tiene un máximo en (0, 1).
Puntos de corte con los ejes:
- Con el eje Y x 0 y 1 Punto (0, 1) - Con el eje X y 0 x 1 Punto (1, 0)
Gráfica:
EJERCICIO : Estudia y representa la siguiente función:
4 x
x 1 x f
2 2
Solución:
Dominio R {2, 2}
Simetrías: f (x) f (x). Es par: simétrica respecto al eje Y.
Asíntotas verticales:
x x 2 esasíntota vertical. flím x f lím
2 x
2 x
x x 2 esasíntota vertical. flím x f lím
2 x
2 x
Asíntota horizontal:
lím
f
x
lím
f
x
1
y
1
es
asíntota
horizontal
.
x x
Si x y si x, f (x) < 1 La curva está por debajo de la asíntota.
Puntos singulares. Crecimiento y decrecimiento:
2 2
2
23 3
2 2
2 2
4 x
x 6 )
4 x (
x 2 x 2 x 8 x 2
4 x
x 2 · x 1 4 x x 2 x ' f
f '(x) 0 6x 0 x 0 Signo de f' (x):
f (x) es decreciente en (, 2) (2, 0); es creciente en (0, 2) (2, ). Tiene . 4 1 , 0 en mínimo
un
Cortes con los ejes:
4 1 , 0 Punto 4
1 y 0
x Y
eje el Con
-- Con el eje X y 0 1 x2 0 x1; x 1 Puntos (1, 0) y (1, 0)