Estimaci on del error de convergencia de la interpolaci on local usando el m etodo de elementos finitos en el problema de dirichlet bidimensional

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(1)Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Y. UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO. AS. FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE MATEMÁTICAS. ESTIMACIÓN DEL ERROR DE CONVERGENCIA DE LA INTERPOLACIÓN LOCAL USANDO EL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS EN EL PROBLEMA DE DIRICHLET BIDIMENSIONAL. Informe para obtener el Tı́tulo de. BI. BL. IO TE. Licenciado en Matemáticas. Bachiller: CENAS CHACÓN FERNANDO YSMAEL. Asesor: Dr. Wilson Arcenio Maco Vásquez. Trujillo - Perú 2014. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(2) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Y. UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO. AS. FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE MATEMÁTICAS. ESTIMACIÓN DEL ERROR DE CONVERGENCIA DE LA INTERPOLACIÓN LOCAL USANDO EL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS EN EL PROBLEMA DE DIRICHLET BIDIMENSIONAL. BI. BL. IO TE. Informe para obtener el Tı́tulo de Licenciado en Matemáticas. Bachiller: CENAS CHACÓN FERNANDO YSMAEL Asesor: Dr. Wilson Arcenio Maco Vásquez Trujillo - Perú 2014. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(3) AS. Y. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. Jurado. MSc: Rosa Moreno Pachamango Presidenta. Dr: Wilson Arcenio Maco Vásquez. BI. BL. IO TE. Secretario. MSc: Manuel Montalvo Bonilla Vocal. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(4) Dedicado a mi familia. BI. BL. IO TE. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. Dedicatoria. AS. Y. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(5) CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. Agradecimiento. AS. Y. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. A DIOS Nuestro señor por hacerme un hombre de bien.. A mis Padres José y Erlinda que con su empeño, dedicación y comprensión supieron guiarme a lo largo de esta etapa de la vida.. A mis Hermanos Aldo y Anali con quienes escribı́ una de las más bellas páginas de mi vida.. Al Profesor Dr. Wilson Arcenio Maco Vásquez, por darme este tema interesante y dirigir esta tesis.. A todos mis Maestros por su ayuda y dedicación que me brindaron en el trans-. BI. BL. IO TE. curso de mis estudios.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(6) CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. Presentación. AS. Y. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Señores miembros del jurado:. Presento ante ustedes el informe de Tesis “ ESTIMACIÓN DEL ERROR DE CONVERGENCIA DE LA INTERPOLACIÓN LOCAL USANDO EL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS EN EL PROBLEMA DE DIRICHLET BIDIMENSIONAL ”, con la finalidad de Determinar el error de convergencia de la solución aproximada a la solución real usando elementos finitos en el problema bidimensional de Dirichlet, en cumplimiento del reglamento de Grados y Tı́tulos de la Universidad Nacional de Trujillo para aprobar el informe de Tesis. Esperando cumplir con los requerimientos de aprobación.. BI. BL. IO TE. El Autor. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(7) BI. BL. IO TE. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. AS. Y. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(8) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Ω̄ Γ. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. Lista de Sı́mbolos. AS. Y. viii. : Clausura de Ω : Frontera de Ω. sop(u) : Soporte de u ∆ ∇ Pk [Ωe ] ||u||. : Operador laplaciano. : Operador gradiente. : Espacio de polinomios de grado a los más k sobre Ωe : Norma de u en espacios de Sobolev. LP (Ω) : Espacio de funciones p - integrales. L1loc (Ω) : Espacio de funciones localmente integrables C(Ω) C k (Ω). : Espacio de funciones continuas sobre Ω. : Espacio de funciones k - veces continuamente diferenciables con soporte compacto en Ω. C ∞ (Ω) : Espacio de funciones infinitamente diferenciables sobre Ω. IO TE. C0∞ (Ω) : Espacio de funciones k−veces continuamente diferenciables con soporte compacto en Ω. C ∞ (Ω̄) : Espacio de funciones sobre Ω con extensión regular de todos los órdenes. BL. C0k (Ω̄). BI. D(Ω). D(Ω̄). : Espacio de funciones sobre Ω con extensión k−veces continuamente diferenciable y con soporte compacto. : Espacio de funciones sobre Ω que son infinitamente diferenciables y con soporte compacto contenido en Ω : Espacio de funciones sobre Ω con extensión regular de todos los órdenes y con soporte compacto contenido en Ω. H m (Ω) : Espacio de Sobolev W m,2 (Ω) H01 (Ω) : Espacio de funciones en H 1 (Ω) con traza nula ΠT (v). : Función interpolada de v sobre T. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(9) Jurado. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. Índice general. AS. Y. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Dedicatoria. Agradecimiento Presentación. Lista de Sı́mbolos Resumen Abstract. III. IV. V. VI. VII. XIII. XIV. XV. 1. INTRODUCCIÓN. XV. IO TE. INTRODUCCIÓN. 2. Iniciación en el Método de Elementos Finitos. 1. 2.1. Ejemplos de Modelos Matemáticos con Ecuaciones Diferen-. BL. ciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2. BI. 2.1.1. Barra elástica sujeta a tensiones longitudinales constantes en sus extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2. 2.1.2. Problema de conducción del calor en una barra . . . .. 5. 3. Formulación Variacional: Residuos Ponderados. 7. 3.1. Formulación Variacional del Problema de Valor de Contorno. 7. 3.1.1. Método Residuos Ponderados . . . . . . . . . . . . . . . .. 7. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(10) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. ÍNDICE GENERAL. x. 3.2. Formulación General del Método de los Residuos Ponderados 12. Y. 3.2.1. Método de Ritz - Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14. 4. El Método de los Elementos Finitos. AS. 3.2.2. Método de Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 17. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. 4.1. Pasos Básicos del Método de Elementos Finitos . . . . . . . . 17 4.1.1. Discretización del Dominio . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4.1.2. Discretización de la Variable . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4.1.3. Discretización de la Ecuación . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4.1.4. Solución del Sistema Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4.2. Aplicación del Método de Elementos Finitos Unidimensional. 20. 4.2.1. Discretización del Dominio . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4.2.2. Discretización de la Variable . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.2.3. Discretización de la Ecuación . . . . . . . . . . . . . . . . 24 5. Espacios de Sobolev. 31. 5.1. Nociones Sobre Teorı́a de Distribuciones . . . . . . . . . . . . . 31 5.2. El Espacio de Sobolev H 1 (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 5.3. El Espacio H01 (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 5.4. El Teorema de la Traza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 5.4.1. Caso A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38. IO TE. 5.4.2. Caso B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 5.5. Aplicaciones del Teorema de la Traza . . . . . . . . . . . . . . . 39 5.6. Teorema de Rellich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41. BL. 5.7. Los Espacios de Sobolev H m (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41. 6. Resolución de la Formulación Débil del Problema de Dirichlet. 43. BI. 6.1. Lema de Lax Milgram y sus Variantes . . . . . . . . . . . . . . 44 6.2. La Ecuación de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 6.2.1. Problema de Dirichlet homogéneo asociado al operador −∆ . . 51. 6.3. El Método de Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 6.4. Teorı́a Abstracta de la Aproximación Variacional . . . . . . . 55. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(11) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. ÍNDICE GENERAL. xi. 6.4.1. El Lema de Céa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55. Y. 6.5. Interpretación Geométrica del Método de Galerkin . . . . . . 59. AS. 6.6. Orden de Convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60. (MEF). CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. 7. Aproximación Numérica Mediante el Método de Elementos Finitos 61. 7.1. El Método de Elementos Finitos en Problemas Elı́pticos de Segundo Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 7.2. La Ecuación de Poisson: Formulación Débil . . . . . . . . . . . 62 7.3. Método de Elementos Finitos para la Ecuación de Poisson . . 64 7.4. Construcción de Espacios de Elementos Finitos . . . . . . . . . 67 7.4.1. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 7.5. Concepto de Elemento Finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 7.5.1. Elementos Finitos de Lagrange en un d - simplex . . . 71 7.5.2. Un método general para construir a partir de un ele  mento finito T̂ , P̂ , Σ̂ toda una familia de elementos finitos (T, P, Σ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72. 7.5.3. Construcción de subespacios de H 1 . . . . . . . . . . . . 73 7.5.4. Elementos Finitos de Lagrange en un 2 - simplex . . . 77 8. Análisis Numérico del Método de Elementos Finitos. 80. IO TE. 8.1. Resultados Generales de Aproximación en Espacios de Sobolev 80 8.2. Estimación de Error para Problemas de Segundo Orden . . . 90 96. CONCLUSIONES. 98. BL. RESULTADOS. 100. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS. 101. ANEXOS. 104. BI. SUGERENCIAS. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(12) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. ÍNDICE GENERAL. xii. A. Nociones del Análisis Funcional. 105. Y. A.1. Definiciones y Conceptos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105. AS. A.2. Espacios de Banach y Espacios de Hilbert . . . . . . . . . . . . 105 A.3. Funcionales Lineales y Espacios Duales . . . . . . . . . . . . . . 112. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. A.4. Proyecciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 A.5. Teorema de la Descomposición Ortogonal . . . . . . . . . . . . 115 A.6. Teorema de Representación de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . 117 A.7. Sistemas Ortonormales y Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 B. Transformaciones Lineales. 121. C. Interpolación Polinomial de Lagrange. 124. C.1. Polinomios de Bernstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 C.2. Existencia y Unicidad del Polinomio de Interpolación . . . . . . . . . 124 C.3. Interpolación de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126. BI. BL. IO TE. C.4. Análisis del Error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(13) CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. Resumen. AS. Y. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. En el presente trabajo se desarrolla fundamentalmente la teorı́a básica que permite resolver numéricamente la ecuación de Poisson con condiciones de contornos tipo Dirichlet, mediante el método de elementos finitos. Se realiza una introducción al método de elementos finitos mediante su aplicación a la solución aproximada de dos problemas fı́sicos: elásticidad y conducción del calor. Se construyen problemas equivalentes al dado, en el caso variacional y discreto, sobre espacios de Sobolev y euclideano, respectivamente; probando la unicidad de sus soluciones.. Los capı́tulos finales son dedicados a la formalización matemática de los elementos finitos y el uso de ellos para construir bases de los subespacios de dimensión finita de H 0 (Ω) donde se construye la solución aproximada. Finalmente, se demuestra que el método de elementos finitos es convergente para el problema dado y produce. BI. BL. IO TE. aproximaciones con alto orden de convergencia.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(14) CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. Abstract. AS. Y. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. In the present work, we develop mainly the basic theory that is performing to solve numerically the Poisson equation with boundary conditions of Dirichlet, by using the Finite Element Method. We perform an introduction to the Finite Element Method by applying to the approximation solution of two physic problems: elasticity and conduction of heat. We constructed equivalent problems to the given problem, in the variational and discrete cases, on Sobolev and Euclidean spaces, respectively; showing the uniqueness of their solutions.. Last chapters are dedicated to the mathematical foundation of the Finite Element Method and its application to build bases of subspaces y finite dimension in H 0 (Ω), where it is building the approximate solution. Finally, we show that the Finite Element Method converges, for the given problems, and it produces approximations. BI. BL. IO TE. with high order of convergence.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(15) CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. Capı́tulo 1. AS. Y. Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. INTRODUCCIÓN. “Elementos Finitos; quizás ninguna otra familia de métodos de aproximación haya tenido un impacto mayor en la teorı́a y en la práctica de métodos numéricos durante el siglo veinte,” dice Tinsley Oden en la introducción del Handbook of Numerical Analysis Vol. 2 [7]; una muy buena referencia sobre los orı́genes y el desarrollo histórico del método. El Método de Elementos Finitos (MEF, por su siglas y llamaremos ası́ en adelante), que se utiliza hoy en dı́a en todas las áreas de la ingenierı́a cuyos modelos puedan plantearse como ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, se basa en la formulación débil o variacional de problemas de valores iniciales o de frontera. El simple hecho de que la integral de una función sobre un dominio arbitrario pueda descomponerse en una suma de integrales sobre. IO TE. una colección de subdominios cuya unión es el dominio original, es la observación clave de la teorı́a de elementos finitos. Los orı́genes del método están ligados al apéndice de un artı́culo de Courant del. año 1943 [20] en el que se estudian aproximaciones lineales a trozos para el problema. BL. de Dirichlet. Sin embargo, noventa y dos años antes, en 1851, Scellbach [21] propuso. BI. una solución al estilo de elementos finitos para el problema de Plateau (que consiste en determinar la superficie de área mı́nima encerrada por una curva cerrada). Pero esto no es todo, dos siglos antes, el mismo Leibniz usó ideas relacionadas con el método cuando intentaba resolver el problema de la braquistocrona propuesto por Bernoulli en 1696. Tuvieron que pasar doscientos cincuenta años para que descu-. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(16) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT xvi. briesen que se podı́an obtener buenas aproximaciones de ecuaciones diferenciales sin. Y. trabajar con elementos infinitesimales sino manteniendo a los elementos finitos en. AS. tamaño. De ahı́ el nombre de “elementos finitos”. Los 60s fueron los años donde la teorı́a matemática del método comenzó a tomar forma. En la década del 70 el méto-. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. do se popularizó entre los ingenieros y la comunidad cientı́fica gracias a la resolución de diversos problemas difı́ciles de la ingenierı́a.. Uno podrı́a pensar que el desarrollo de los MEF fue una consecuencia del profundo conocimiento sobre ecuaciones en derivadas parciales, espacios de Sobolev y soluciones débiles. Esto no fue ası́. Las dos teorı́as crecieron de manera paralela pero independiente, como cuenta Tinsley Oden: “las semillas de la teorı́a moderna de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales fueron sembradas aproximadamente al mismo tiempo que aquellas para el desarrollo de los MEF modernos, pero en un jardı́n completamente distinto.”. Las bases matemáticas del método están relacionados intimamente con las teorı́as de operadores en espacios de Hilbert y de Sobolev y en ellas nos basaremos en este trabajo para mostrar como el mismo permite llegar del problema diferencial original al sistema de ecuaciones algebraico final. Este trabajo fue desarrollado en base a los libros y artı́culos enumerados en la sección de Referencias y que comentamos a continuación:. [9] Artı́culo considerado fundamental en el método en el cual se describe la. IO TE. idea original.. [20] Libro clásico sobre las bases matemáticas del método. [4], [15] Similares al anterior en cuanto al enfoque, pero más moderno en cuanto. BL. a las herramientas matemáticas.. BI. [10], [5] Breve resumen de herramientas matemáticas utilizadas en el método [6], [1] Preliminares matemáticos del método. [7] Abarca casi todos los aspectos del método, se consultó el Volumen II, parte 1. Además se utilizaron como referencia en temas de teorı́a de Operadores, [11], [12], [2], [3], [14], [21], [22] y en teorı́a de ecuaciones [23], [17].. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(17) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. Capı́tulo 2. AS. Y. Fernando Ysmael Cenas Chacón. Iniciación en el Método de Elementos Finitos. El Método de los Elementos Finitos es un método numérico que fue inicialmente diseñado para resolver problemas de ingenierı́a y fı́sica matemática (análisis estructural, transferencia de calor, fluidos, transporte de masa, electromagnetismo,...) y que en la actualidad presenta aplicaciones en muchos otros campos, tales como la biomecánica, geologı́a, etc. En esencia, el MEF es un método que permite aproximar numéricamente la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias, y ecuaciones en derivadas parciales. Es bien conocido que, salvo casos muy particulares, la obtención analı́tica de soluciones de tales ecuaciones es imposible, y la única posibilidad. IO TE. que nos queda es obtener soluciones aproximadas.. Para ello, el MEF basa su filosofı́a de trabajo en divide y vencerás. La idea. esencial consiste en dividir el dominio, recinto, o cuerpo sobre el que se trabaja en subdivisiones más pequeñas (elementos), y tratar de formular el problema en. BL. cada uno de estos elementos en términos de ecuaciones sencillas. Posteriormente se. BI. ensambla la información proveniente de cada elemento, llegándose a un sistema de ecuaciones algebraicas cuya solución debe proporcionar la aproximación buscada. En concreto, la solución del sistema algebraico obtenido (en los casos habituales, es un sistema lineal) proporciona el valor aproximado de la solución en un conjunto de puntos (llamados nodos), asociados a la subdivisión del dominio realizado.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(18) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Fernando Ysmael Cenas Chacón. 2. En este trabajo prentendemos hacer un acercamiento al MEF desde un punto. Y. de vista matemático, el cual permite llevar a cabo un tratamiento genérico en una. AS. amplia gama de situaciones, que abarca las áreas antes ya mencionadas. Aparte de la sistematización que representa este enfoque, se pueden obtener más acotaciones. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. del error cometido en la aproximación, hecho de suma importancia en todo método numérico.. Presentamos dos formas de introducir al estudio de los elementos finitos. La modelación directa: utilizando ejemplos tı́picos que aparecen en la ingenierı́a y sus leyes fı́sicas entraremos directamente al manejo del Método de Elementos Finitos (MEF). La segunda forma es usando la modelación matemática de una manera sistemática y riguroso lo cual nos conduce a la construcción de algún código; se presentan los modelos matemáticos materia de estudio que ocupa el presente trabajo.. 2.1.. Ejemplos de Modelos Matemáticos con Ecuaciones Diferenciales. Para empezar a entender el funcionamiento del método, presentamos un sencillo ejemplo en elasticidad lineal unidimensional, que se sigue en el enfoque ingenieril del MEF.. Barra elástica sujeta a tensiones longitudinales cons-. IO TE. 2.1.1.. tantes en sus extremos. Consideremos un elemento de barra elástica sujeta a tensiones longitudinales. BL. constantes en sus extremos. El objetivo del estudio es, encontrar el desplazamiento sufrido por la misma en los extremos, trás la aplicación de dichas fuerzas (Véase. BI. figura 2.1). Usando la ley de Hooke, que relaciona las tensiones y los desplazamientos tendremos: σ = E,. =. du dx. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(19) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Fernando Ysmael Cenas Chacón. 3. donde σ representa la tensión,  el esfuerzo, E es el módulo de elasticidad y u el. Y. desplazamiento. Por otra parte, del equilibrio de fuerzas tenemos que. AS. Aσ = T. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. donde A es el área de la sección de la barra. Sustituyendo en esta última se obtiene   d du du =T ⇒ AE = 0, Aσ = AE dx dx dx que corresponde a la ecuación de la elasticidad en dimensión uno.. Nuestro objetivo es encontrar los desplazamientos, en función de las tensiones. Para ello, supondremos que el desplazamiento es una función lineal, del tipo u(x) = a + bx. Si la barra tiene una longitud L y situamos sus extremos en los del. Figura 2.1: Deformación de una barra elástica. intervalo (0, L), entonces debemos tener u(0) = d1 y u(L) = d2 . De aqui obtene-. IO TE. mos:.  u(x) =. d2 − d1 L.  x + d1 ,. BI. BL. que en versión matricial puede expresarse como  u(x) =. h. φ1 φ2. i . d1 d2.  ,. con φ1 = 1 −. x , L. φ2 =. x L. Nótese que la elección de un desplazamiento lineal es arbitraria (podrı́amos haber. escogido otra situación, por ejemplo un polinomio de grado dos o superior). Por otra parte, la expresión matricial de u en términos de las funciones φ1 , φ2 es interesante.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(20) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Fernando Ysmael Cenas Chacón. 4. Obsérvese que φ1 es la función lineal que vale 1 en x = 0 y 0 en x = L, mientras que. Y. φ2 vale 0 en x = 0 y 1 en x = L. Volveremos sobre esta observación más adelante.. du d2 − d1 d2 − d1 = ⇒ T = AE dx L L. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. =. AS. A través de las relaciones tensión - desplazamiento se tiene:. Si denotamos por f1 y f2 a las fuerzas que actúan en los extremos, esto es, f1 = −T, f2 = T , se obtiene finalmente       AE  d 1 −1 f1 f1 = L (d1 − d2 )  1   = AE  ⇒ L d2 −1 1 (d2 − d1 )  f2 f2 = AE L A la matriz del sistema anterior se le conoce como matriz de rigidez del elemento. Resolviendo este sistema, encontraremos los desplazamientos buscados. Supongamos ahora que tenemos una barra formada por varios elementos (para nuestro ejemplo, dos serán suficientes). Podemos suponer que cada uno de los elementos tienen parámetros diferentes, de manera que, usando el sistema anterior en cada elemento tendremos:. . Elemento 1:  . IO TE. Elemento 2: . (1) f1. (1) f2. (2). f2. (2) f3. . (1). (1). . = A E L(1). . . . (2). (2). = A E L(2). . 1. −1. −1. 1. 1. −1. −1. 1. . (1) d1. . . (1) d2. . (2). . (2) d3. .  . d2. Puesto que ambos elementos están conectados en el nodo 2, la compatibilidad (1). (2). entre ambos elementos sugiere que d2 = d2 = d2 . Del mismo modo, el equilibrio (1). (2). BL. de fuerzas en cada nodo da lugar a F2 = f2 + f2 . Denotado por (1). (2). (1). (2). d1 = d1 , d3 = d3 , f1 = F1 , f3 = F3 , Ci =. A(i) E (i) , L(i). BI. Llegamos al sistema F1 = C1 (d1 − d2 ) F2 = C1 (d2 − d1 ) + C2 (d2 − d3 ) F3 = C2 (d3 − d2 ). Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(21) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 5. AS. que en forma matricial es      F1 C1 −C1 0 d1           =  F2   −C1 C1 + C2 −C2   d2       F3 0 −C2 C2 d3. Y. Fernando Ysmael Cenas Chacón. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. De esta forma hemos ensamblado las matrices de ambos elementos, obteniendo la matriz de rigidez para el sistema.. Este esquema, llevado a cabo para dos elementos, puede generalizarse sin mayores problemas a un número mayor de elementos. El MEF actúa esencialmente de esta forma: una vez dividido el dominio en elementos, imponemos las condiciones sobre cada elemento, luego las condiciones de compatibilidad entre ellos, y de todo ello resulta un sistema global para el problema.. Nótese también una peculiaridad interesante del método. Puesto que sobre cada elemento solo intervienen los desplazamientos de sus nodos, y la conexión entre elementos es escasa (es decir, un único nodo solo está en dos elementos), en cada ecuación aparecerán muy pocos nodos, lo que significa que la matriz de rigidez será una matriz con muchos ceros.. 2.1.2.. Problema de conducción del calor en una barra. Problema Fı́sico. Sea una barra de longitud 1. Sujeta a una fuente de calor f .. IO TE. Sea u(x) = la temperatura de la barra en x. Sea q(x) = el flujo de calor en el punto x, de la barra. La temperatura en los extremos de la barra es cero.. BL. Usando la Ley de Fourier, la cual dice que el flujo del calor es directamente. BI. proporcional al gradiente de la temperatura, se cumple las siguientes leyes: −q = ku0 ; q0 = f ; u(0) = u(1) = 0;. Ley de Fourier. (2.1). Ley de Conservación. (2.2). Condiciones de Contorno. (2.3). donde k es la conductividad térmica. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(22) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Fernando Ysmael Cenas Chacón. 6. Modelo Matemático. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC.     u(0) = u(1) = 0. AS. Y. Sustituyendo la primera ecuación (2.1) en la segunda (2.2) se obtiene el problema:    −(ku0 )0 = f  . Si K = cte = 1, entonces el problema anterior se puede escribir como    −u00 = f       u(0) = u(1) = 0. Los dos modelos anteriores conducen a presentar el problema de contorno de Dirichlet,.   −u00 = f, x ∈ (0, 1) = Ω (P )  u(0) = u(1) = 0. El cual está listo para ser trabajado utilizando las herramientas matemáticas del. BI. BL. IO TE. análisis como veremos en el siguiente capı́tulo.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(23) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 7. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. Capı́tulo 3. AS. Y. Fernando Ysmael Cenas Chacón. Formulación Variacional: Residuos Ponderados 3.1.. Formulación Variacional del Problema de Valor de Contorno. La formulación variacional de cualquier problema exige, como requisito previo, el conocimiento del funcional que lo gobierna. Lamentablemente, a veces, dicho funcional es difı́cil y, en algunos casos hasta imposible de obtener, debiéndose, por lo tanto, recurrir a otro tipo de solución. Una solución alterna consiste en utilizar. IO TE. el llamado método de los residuos ponderados, el cual proporciona un medio muy eficiente de obtener las ecuaciones de elementos finitos, a partir de dichas ecuaciones. Debido a las diferentes posibilidades en la selección de las funciones peso que. pueden emplearse, existen distintos criterios de residuos ponderados: colocación,. BL. subdominio, mı́nimos cuadrados, Galerkin, etc. Entre estos, el más usado en las aplicaciones de elementos finitos es el método de Galerkin, el cual constituye la base. BI. matemática de la mayorı́a de los programas computacionales basados en el MEF.. 3.1.1.. Método Residuos Ponderados. El método de los residuos ponderados es un método general y poderoso para obtener soluciones aproximadas de ecuaciones diferenciales ordinarias o ecuaciones. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(24) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Fernando Ysmael Cenas Chacón. 8. diferenciales parciales. Muchos de los métodos numéricos se basan en el método. Y. general de los residuos ponderados. Una aplicación para el problema de contorno,. dominio Ω. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. A(u) = f, en Ω. AS. en el cual se busca una función u que es solución de una ecuación diferencial en un. (3.1). y que satisface condiciones especificadas sobre el contorno Γ del dominio B(u) = g, sobre ∂Ω = Γ. (3.2). La función incógnita puede ser un campo escalar o vectorial y pertenece a un espacio funcional V , de igual manera la ecuación diferencial puede ser una ecuación simple o un sistema de ecuaciones lineales o no lineales.. En el caso lineal las ecuaciones (3.1) y (3.2) forman una ecuación diferencial con condiciones de contorno   A(u) = Au = f, en Ω  B(u) = Bu = g, sobre ∂Ω = Γ. (3.3). Sea û una solución aproximada en un subespacio funcional V del espacio V , este espacio es construido de manera que incorpora información de las condiciones de contorno.. Al sustituir û en la ecuación (3.3) generalmente no será satisfecha, existiendo. IO TE. por tanto un residual r = r(û), dado por. r = Aû − f. también llamado error residual, el cual generalmente no es cero.. BL. La mejor aproximación û es aquella que minimiza el residual r en todo el dominio. Ω según algún criterio, tal como:. BI. Distribuir el error en todo el dominio Ω, según una función de peso w ∈ W. (Función escalar o vectorial según el número de ecuaciones de sistemas), W algún espacio apropiado de funciones, de tal manera que el error acumulado en todo el dominio sea nulo, es decir se cumpla la ecuación Z rw dΩ = 0 Ω. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(25) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Fernando Ysmael Cenas Chacón. 9. o equivalentemente Z (A(û) − f )w dΩ = 0. Y. (3.4). Ω. AS. El criterio es sin embargo más potente en el sentido que debemos asegurar que si (3.4) es satisfecha para toda función w ∈ W entonces la ecuación diferencial (3.1). CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. debe ser satisfecha en todos los puntos del dominio. En efecto: si existiera un punto o una parte de dominio tal que A(u) 6= f , entonces se puede hallar o construir una R R función w tal que Ω A(û)w dΩ 6= Ω f w dΩ. Si las condiciones de contorno son también satisfechas entonces realizamos la misma operación. Z. (B(û) − g)v dΓ = 0. (3.5). Γ. para v ∈ Ŵ espacio definido en el contorno de Γ, es decir, tenemos la identidad Z Z (A(û) − f )w dΩ + (B(û) − g)v dΓ = 0, ∀ w ∈ W, v ∈ Ŵ (3.6) Ω. Γ. En los cálculos anteriores se asume que las integrales utilizadas en la ecuación (3.6) existen en base a la elección de los espacios respectivos.. Ahora, en muchas ocaciones es factible utilizar algunas técnicas del cálculo para llegar a cabo algunas modificaciones del integrando, la integración por partes por ejemplo, además de utilizar las propiedades de las funciones según los espacios donde ellas permanecen, y la ecuación (3.6) se pueden escribir en la forma: Z Z (D(û)Cw − f w) dΩ + (F(û)Ev − gv) dΓ = 0, ∀ w ∈ W, v ∈ Ŵ. (3.7). Γ. IO TE. Ω. Donde D y F generalmente contienen derivadas de orden menor que las derivadas. que contienen los operadores A y B. Esto significa que, se necesita un orden menor de continuidad para û a cambio de mayor orden de continuidad para w y v.. BL. La ecuación (3.7) es más permisiva que la original, por lo que se llama la formu-. lación débil de la ecuación (3.3), y de alguna manera sorprendente, por su uso, que. BI. esta ecuación es fı́sicamente mucho más realista que la ecuación diferencial original la cual implica mayor suavidad en las soluciones. Finalmente haciendo una notación apropiada la ecuación anterior se puede presentar en la siguiente forma a(û, w) = l(w) w ∈ W. (3.8). Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(26) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 10. (3.9). AS. Por tanto, la formulación variacional débil (3.1) es el siguiente:   Hallar û ∈ V tal que  a(û, w) = l(w), ∀ w ∈ W. Y. Fernando Ysmael Cenas Chacón. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. La presentación integral de (3.6) o (3.9) es la base para realizar la aproximación por elementos finitos.. Trabajaremos con el problema (P ) dado en el capı́tulo anterior, es decir, sea   −u00 = f, x ∈ (0, 1) = Ω (P )  u(0) = u(1) = 0 Para la formulación variacional, debemos construir un espacio funcional apropiado. Consideramos Ω ⊂ R, conjunto abierto, C ∞ (Ω) denota el espacio de funciones infitamente diferenciables definidas sobre Ω, es decir:. C ∞ (Ω) = {f : Ω → R, infinitamente diferenciable}. Para cada ϕ ∈ C ∞ (Ω) se define su soporte, por:. sop ϕ = {x ∈ Ω / ϕ(x) 6= 0}. Además definimos el espacio de funciones,. C0∞ (Ω) = {ϕ ∈ C ∞ (Ω) / sop ϕ es compacto}.. IO TE. Sea ϕ ∈ C0∞ (Ω) arbitraria, multiplicando la ecuación diferencial de (P ) por ϕ e. integrando en Ω = (0, 1) (esta operación se justifica más adelante con la presentación de los residuos ponderados), se tiene,. BL. Z. 1. Z. 00. 1. − ϕu dx =. ϕf dx. 0. 0. BI. integrando por partes   Z 1 Z 1 0 1 0 0 − ϕu |0 − u ϕ dx = ϕf dx ∀ϕ ∈ C0∞ 0. −ϕu. 0. |10. Z. 1. +. 0. 0. 0. Z. 1. ϕ(x)f (x) dx ∀ϕ ∈ C0∞. u (x)ϕ (x) dx = 0. 0. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(27) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 11. Como ϕ(0) = ϕ(1) = 0, ∀ϕ ∈ C0∞ se cumple, Z 1 Z 1 0 0 u (x)ϕ (x) dx = ϕ(x)f dx,. (3.10). 0. AS. 0. ∀ϕ ∈ C0∞. Y. Fernando Ysmael Cenas Chacón. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. Esta ecuación (3.10) se le conoce como la forma variacional de (P ). Z ϕ2 (x) dx < ∞} el espacio Ahora, por otro lado, sea L2 (Ω) = {ϕ : Ω → R / Ω. de funciones cuadrado integrables sobre Ω, evidentemente que se cumple C ∞ (Ω) ⊂ L2 (Ω). 0. Definición 3.1 Dada v ∈ L2 (Ω), se dice que v ∈ L2 (Ω) en el sentido de distribucional, si existe z ∈ L2 (Ω) tal que Z Z 0 vϕ dx = zϕ dx, − Ω. ∀ϕ ∈ C0∞ (Ω),. Ω. 0. y se escribe v := z.. En virtud de la definición anterior, podemos introducir el Espacio de Sobolev. 0. H 1 (Ω) = {v ∈ L2 (Ω) / v ∈ L2 (Ω)},. el cual es un Espacio de Hilbert, dotado del siguiente producto interno Z. 0. 0. (u · v + u v ) dx,. < u, v >H 1 (Ω) =. ∀u, v ∈ H 1 (Ω),. Ω. 1. IO TE. de ello, se sigue que la norma H (Ω) esta dado por. ||u||H 1 (Ω). || · ||H 1 (Ω) : H 1 (Ω) → R Z 02 1/2 =< u, u >H 1 (Ω) = { (u2 + u ) dx}1/2 , ∀u ∈ H 1 (Ω). Ω. la clausura de C0∞ (Ω) en H 1 (Ω), es decir. H01 (Ω) = C0∞ (Ω) en H 1 (Ω).. BI. BL. Además, denotamos por. H01 (Ω). Este espacio puede caracterizarse como (ver [20], sección 1.3), H01 (Ω) = {u ∈ H 1 (Ω) / u(0) = u(1) = 0}. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(28) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Fernando Ysmael Cenas Chacón. 12. En este espacio se puede plantear la forma variacional del problema exigiendo que. Y. la solución sea bien más general, es decir, que tenga menos condiciones de regulari-. AS. dad, que en el caso de la solución buscada (P ), que toma el nombre de solución débil.. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. Formulación débil de (P ): En base a la construcción de los espacios anteriores y por la densidad de C0∞ en H01 podemos usar (3.10) para presentar la formulación débil del problema (P ).    Hallar u ∈ H01 (Ω) Z Z (f v) 0 0  u v dx = f v dx,  Ω. ∀v ∈ H01 (Ω). Ω. Tambien llamada formulación variacional del problema (P ) en el espacio H01 (Ω). Observación 3.1. a) La solución de (P ) se llama solución fuerte de (P ). b) La solución de (f v) se llama solución débil de (P ). Notación abstracta para la formulación variacional (f v). Para presentar el problema en la forma abstracta introduzcamos las siguientes notaciones:. Z  0 0  u v dx, forma bilineal en H01 (Ω)  a(u, v) = Z Ω   l(v) = f v dx, forma lineal en H01 (Ω) Ω. IO TE. Luego (f v) se escribe en la forma:.   Hallar u ∈ H 1 (Ω) 0 (f v)  a(u, v) = l(v), ∀v ∈ H 1 (Ω) 0. BL. Esta es la notación abstracta de la formulación variacional.. BI. 3.2.. Formulación General del Método de los Residuos Ponderados. Puesto que solo es posible obtener una representación finita del estado continuo de las variables asociadas a un problema dado, existe un error o residuo inherente. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(29) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Fernando Ysmael Cenas Chacón. 13. al carácter aproximado de la solución.. Y. Sea la solución aproximada en el subespacio finito dimensional VN ∈ V de la. αj ϕj. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. ûN =. N X. AS. forma. j=1. donde {ϕj } es una base de VN y α = (α1 , α2 , . . . , αN ) son parámetros por determinar.. Cuando ûN es sustituida en la ecuación diferencial generalmente esta no será satisfecha, se tiene el residual,. r = AûN − f. La mejor aproximación ûN es aquella que minimiza el residual r en todo el dominio Ω, con los pesos residuales.. Sea {ωj }N j=1 una familia de pesos previamente elegida, generalmente funciones.   Hallar α ∈ RN tal que  R rω dΩ = 0, j = 1, . . . , N j Ω. (3.11). La elección de estas familias de pesos, determina los diferentes métodos de pesos residuales.. (a) Método de Colocación:. Se construye de la siguiente manera:. IO TE. Elegir N puntos diferentes en el dominio {ξj }N j=1 ⊂ Ω.. Se elige como pesos las funciones generalizadas (delta de Dirac) (3.12). BL. ωj (x) = δ(x − ξj ), j = 1, . . . , N. BI. Luego se sustituye en la fórmula (3.11) y se transforma en r(ξj ) = [AûN (ξj ) − f (ξj )] = 0, j = 1, ..., N. (3.13). Lo cual significa que las aproximaciones ûN hace que la ecuación (3.3) sea satisfecha por lo menos en los puntos elegidos {ξj }N J=1 .. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(30) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Fernando Ysmael Cenas Chacón. 14. Y. (b) Método de Colocación de Subdominios:. Ωj = Ω. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. Ωj ⊂ Ω,. N [. AS. Se divide el dominio Ω en N subdominios,. j=1. Se elige el peso ωj = XΩj , donde XΩj es la función caracterı́stica asociada a Ωj . Al sustituir en (3.11) se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones Z. r(x) dΩ = 0,. rj =. j = 1, ..., N. (3.14). Ωj. donde Ωj es el subdominio asociado a XΩj. (c) Método de Mı́nimos Cuadrados:. Hallar α ∈ RN , tal que el cuadrado del residual sea mı́nimo, es decir   Z 1 2 r dΩ mı́n I(α) = 2 Ω α∈RN Obviamente para minimizar esta función hallamos los puntos crı́ticos resolviendo la ecuación,. ∇I = 0. IO TE. la cual es equivalente a resolver el sistema de ecuaciones Z. r Ω. ∂r = 0, ∂αj. j = 1, 2, ..., N,. (3.15). Observando la ecuación (3.15) podemos decir que, si el residual es pesado con ∂r , ∂αj. i = 1, ..., N sobre todo el dominio tendrı́a que anularse en la. BL. las funciones. BI. solución minimizante α.. 3.2.1.. Método de Ritz - Galerkin. Sea V un espacio de Hilbert, L una funcional lineal en V , a una funcional bilineal en V, que satisfacen las propiedades i) y ii) que se verán en la definición (6.1), es decir, es lineal, acotado, positivo y simétrico.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(31) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Fernando Ysmael Cenas Chacón. 15. Ahora, sea VN un subespacio de dimensión finita de V .. AS. Y. Sea el siguiente problema variacional   Hallar u ∈ V tal que (P)  a(u, v) = L(v), ∀v ∈ V.. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. El problema aproximado (P A) para (P) se presenta de la siguiente manera,   Hallar û ∈ V tal que N N (P A)  a(û , v) = L(v), ∀v ∈ V . N. 3.2.2.. N. Método de Galerkin. Ahora trabajamos con problemas donde no necesariamente se presentan como la minimización de formas cuadráticas y se escriben en la forma general siguiente:   Hallar u ∈ V tal que  A(u) = f. (3.16). donde A es un operador diferencial y V es un espacio de Hilbert.. Estos problemas, en su mayorı́a, pueden llegar a formularse variacionalmente   Hallar u ∈ V tal que  a(u, v) = L(v), ∀v ∈ V. (3.17). El método de Galerkin es usado tanto en el problema (3.16) como en el problema. IO TE. (3.17).. Para deducir el método de Galerkin que aproxima la solución de (3.16) o (3.17). se considera primero una sucesión de subespacios de dimensión finita VN ⊆ V y se. BL. plantea los siguientes problemas aproximados (por simplicidad trabajamos con el. BI. problema (3.17)).   Hallar û ∈ V tal que N N  a(û , v) = L(v), ∀v ∈ V N. (3.18) N. Esta formulación aproximada se le conoce con el nombre de Método de Galerkin. A continuación veamos que resolver (3.18) se reduce a resolver un sistema lineal de ecuaciones.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(32) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Fernando Ysmael Cenas Chacón. 16. En efecto, sea {ϕj }N j=1 una base de VN , llamado conjunto de funciones base, debemos hallar escalares {αj }N j=1 ,. ûN =. N X. αj ϕj. j=1. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. Luego el problema (3.18) se convierte en. AS. Y. (α = (α1 , α2 , ..., αN )T ∈ RN ) tal que.     Hallar α1 , α2 , ..., αN ∈ R tal que N X  αj a(ϕj , v) = L(v), ∀v ∈ VN  . (3.19). j=1. Como v es arbitrario en VN , se elige los elementos de la base previamente dada, obteniendo el problema equivalente..     Hallar α1 , α2 , ..., αN ∈ R tal que N X  αj a(ϕj , ϕi ) = L(ϕi ), i = 1, 2, ..., N  . (3.20). j=1. . . b  1     ···   donde bi = l(ϕj )  Luego, sea b =    ···    bN y K = (mij )N ×N donde mij = a(ϕj , ϕi ),. d i, j = 1, N.   Hallar α ∈ RN tal que  Kα = b. (3.21). BL. IO TE. Por tanto la formulación (3.20) se escribe como. La V - elipticidad de la forma bilineal a, garantiza la solución única de (3.21).. BI. Este método de Galerkin pertenece a la familia de los Métodos de Pesos Residuales.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(33) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 17. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. Capı́tulo 4. AS. Y. Fernando Ysmael Cenas Chacón. El Método de los Elementos Finitos. El Método de Elementos Finitos (MEF) es un método numérico que permite obtener la solución aproximada de una ecuación diferencial o parcial con condiciones de frontera. El MEF permite tratar con menos dificultad los problemas de dominios irregulares. La base del método, es dividir el dominio del problema en un número finito de subdominios (elementos) y la función desconocida se aproxima por un conjunto finito de funciones definidas en cada elemento, estas funciones son representadas mediante funciones de interpolación simples con coeficientes desconocidos; para determinar dichos coeficientes será necesario resolver un sistema de ecuacio-. IO TE. nes. El sistema de ecuaciones es obtenido aplicando el procedimiento variacional de Ritz o Galerkin, y finalmente, la solución del problema de valor en la frontera es. BL. conseguida resolviendo el sistema de ecuaciones.. BI. 4.1.. Pasos Básicos del Método de Elementos Finitos. El proceso de solución por el método de Elementos Finitos de un problema de valor de frontera debe abarcar los siguientes pasos:. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(34) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Fernando Ysmael Cenas Chacón. Discretización del Dominio. Y. 4.1.1.. 18. AS. La discretización del dominio Ω es tal vez el paso más importante en el análisis de Elementos Finitos porque la manera en el cual el dominio es discretizado afec-. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. tará el requerimiento de almacenaje en el computador, el tiempo computacional y la precisión de los resultados numéricos.. El Dominio Ω se subdivide en pequeños dominios Ωe (e = 1, ...M ), estos subdominios son usualmente interpretados como elementos.. Figura 4.1: Elementos finitos básicos (a) uno-dimensional, (b) dos dimensional, (c) tres dimensional. Para un dominio unidimensional los elementos son de la forma que se muestra en la [Fig.4.1(a)] los cuales son lı́neas rectas o curvas, los elementos a menudo son. IO TE. pequeños segmentos interconectados que forman la lı́nea original, para un dominio bidimensional, los elementos son usualmente pequeños triángulos y/o rectángulos [Fig.4.1(b)]. Los elementos rectangulares satisfacen mejor para discretizar regiones rectangulares, mientras los elementos triangulares pueden ser usados para regiones. BL. irregulares. En una solución tridimensional, el dominio puede ser subdividido en. BI. tetraedro, prismas triangulares [Fig.4.1(c)], entre los cuales el tetraedro es el más simple y más adaptable a dominios de volumen arbitrarios. Un elemento lineal tiene dos nodos, uno en cada extremos, un elemento triangular. tiene tres nodos localizados en tres vértices. La descripción de un nodo contiene sus valores de las coordenadas, número local y número global. El número local del nodo indica su posición en el elemento y el número global especı́fica su posición en el. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(35) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Fernando Ysmael Cenas Chacón. 19. Discretización de la Variable. AS. 4.1.2.. Y. sistema entero.. Se selecciona una función de interpolación que provee una aproximación de la. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. incógnita en un elemento. Esta función generalmente esta constituida por una combinación de funciones base polinomiales llamadas también funciones forma, de primer orden (lineal), segundo orden (cuadrático), u orden mayor y depende del tipo de elemento. Los polinomios de mayor orden, si bien se aproximan más a la solución, su formulación usualmente resulta más complicada. Por tanto, las bases de funciones lineales son aún ampliamente usadas. Una vez que el orden del polinomio se seleccionó, podemos derivar una expresión para la incógnita en un elemento, digamos el elemento e en la siguiente forma. ûeN. =. N X. ûej ϕej. j=1. donde N es el número de nodos en el elemento, ûej el valor de u en el nodo j del elemento y ϕej la función forma.. El grado más alto de la función forma ϕej corresponde al orden del elemento; por ejemplo, si ϕej es un polinomio lineal, el elemento e es un elemento lineal.. Discretización de la Ecuación. IO TE. 4.1.3.. Un gran paso en el proceso de los elementos finitos, es discretizar la ecuación. diferencial hasta formular un sistema de ecuaciones algebraicas. Para este paso, usaremos el método de Galerkin en la forma que se ha detallado en la sección anterior.. BL. Este proceso transforma las ecuaciones diferenciales en un sistema de ecuaciones. BI. algebraicas, que en el caso de ser un problema lineal las ecuaciones algebraicas se pueden escribir en forma matricial. Este proceso tiene tres subpasos: 1. Formulaciones de las ecuaciones elemento: se obtiene utilizando las funciones forma locales y usando Ritz o Galerkin sobre cada elemento e.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(36) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Fernando Ysmael Cenas Chacón. 20. 2. Ensamblaje de las ecuaciones elemento: usando la matriz de conectividad, se. Y. suma apropiadamente todos los sistemas elemento obteniendo un sistema de. AS. ecuaciones global.. 3. Imposición de las condiciones de contorno: El sistema obtenido, es singular. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. mientras no se incorpore las condiciones de contorno, cuya implementación genera un sistema viable para resolverse.. El resultado final es un sistema de ecuaciones, que será resuelto computacionalmente. Es necesario mencionar que estos subpasos estan intimamente ligados uno del otro.. 4.1.4.. Solución del Sistema Discreto. Finalmente el proceso de los elementos finitos es resolver el sistema de ecuaciones algebraicos, como la matriz de rigidez es del tipo sparse, es decir la mayorı́a de entradas son ceros; generalmante son matrices banda, el método que usaremos será de gran utilizad si se mejora la complejidad computacional.. 4.2.. Aplicación del Método de Elementos Finitos Unidimensional. IO TE. En la [Fig. 4.2] se muestra un sistema que puede ser modelado mediante la. ecuación de Poisson. d2 u dx2. = −f,. 0 ≤ x ≤ L).  u(0) = T , u(L) = T 1 2. BL. (P ).  . En esta primera etapa presentaremos una discretización por elementos finitos. BI. lineales siguientos los pasos antes mencionados.. 4.2.1.. Discretización del Dominio. El dominio Ω = (0, L) del problema, se divide en un número finito de segmentos de lı́nea llamados elementos, tal que:. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(37) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 21. AS. Y. Fernando Ysmael Cenas Chacón. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. Figura 4.2: Barra larga y delgada sujeta a condiciones de frontera fijas a una fuente continua de calor a lo largo de su eje. a) La intersección de dos elementos es a lo más la frontera. b) La unión de todos los elementos es el dominio entero.. c) En cada elemento se eligen dos nodos que lo denotamos xe1 , xe2 , ubicados en los extremos del elemento.. d) Se utiliza el subı́ndice para denotar la numeración local y global, y para diferenciar a ambos se utiliza además un superı́ndice e (para el elemento) en la numeración local. El cual sirve para relacionar la numeración local con la numeración global, según alguna prescripción.. Por ejemplo, la numeración de los nodos del elemento e, tienen la siguiente relación:. xe1 = xe−1 ,. xe2 = xe. IO TE. e) El conjunto de elementos junto con sus nodos constituyen la llamada malla de elementos finitos.. Discretización de la Variable. BL. 4.2.2.. En esta sección eligiremos las funciones base, las cuales deben cumplir las si-. BI. guientes propiedades: i) ϕj es lineal sobre cada elemento, es decir la restricción de ϕj al elemento e, llamada función forma, es un polinomio lineal.. ii) ϕj es continua sobre todo el dominio.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(38) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Fernando Ysmael Cenas Chacón. 22. Y. iii) Cada ϕj esta asociada al nodo j, por la relación ϕj (xi ) = δij. AS. iv) {ϕj }N j=1 es linealmente independiente.. La aproximación de Galerkin de la solución del problema (P ) esta dado por: ûj ϕj. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. ûN (x) =. N X. (4.1). j=1. De la elección de la base, se observa que ûN (x) es lineal sobre cada elemento, de manera que:. ûN (x)|Ωe = ce1 + ce2 x = ueN (x). (4.2). Se definen los valores nodales ue1 , ue2 en el elemento e, como los valores aproximados de u en los nodos del elemento y se debe cumplir: u(xe1 ) ≈ ue1 = ueN (xe1 ). (4.3). u(xe2 ) ≈ ue2 = ueN (xe2 ). (4.4). Utilizando (4.3) determinaremos: cei , i = 1, 2 de (4.2) de la siguiente manera ueN (xe1 ) = ue1 = ce1 + ce2 (xe1 ). ueN (xe2 ) = ue2 = ce1 + ce2 (xe2 ).. IO TE. la forma matricial de este sistema de ecuaciones es      e 1 x1 ce ue    1 =  1 ue2 ce2 1 xe2. (4.5). Resolviendo ce1 , ce2 en términos de ue1 , ue2 obtenemos ue1 xe2 − ue2 xe1 xe2 − xe1. ce2 =. ue2 − ue1 xe2 − xe1. BL. ce1 =. BI. Sustituyendo en la aproximación (4.2) tenemos la siguiente expresión. ue1 xe2 − ue2 xe1 ue2 − ue1 + e x xe2 − xe1 x2 − xe1 xe − x e x − xe1 e = e2 u + u x2 − xe1 1 xe2 − xe1 2 2 X = uei ϕei (x). ueN (x) =. (4.6). i=1. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(39) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Fernando Ysmael Cenas Chacón. 23. xe2 − x , xe2 − xe1. Las funciones ϕei (x),. ϕe2 (x) =. x − xe1 xe2 − xe1. xe1 ≤ x ≤ xe2. (4.7). AS. ϕe1 (x) =. Y. donde. i = 1, 2 se llaman funciones forma o funciones base locales. 2.. 2 X i=1. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. asociadas al elemento e y cumplen con las siguientes propiedades:   0, i 6= j 1. ϕei (xej ) =  1, i=j ϕei (x) = 1. 3. Esta base local {ϕei }2i=1 se relaciona con la base {ϕj }N j=0 por: ϕe−1 (x)|Ωe = ϕe1 (x),. (4.8). ϕe (x)|Ωe = ϕe2 (x). (4.9). BI. BL. IO TE. Ası́, si le  = xe − xe−1 ,   0, x < xe−1     x−xe−1  , xe−1 < x < xe le e ϕ (x) = xe+1 −x   xe < x < xe+1  le+1 ,     0, x > xe+1. Figura 4.3: Funciones base y funciones forma. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(40) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Fernando Ysmael Cenas Chacón. 24. Observación. AS. tipo de elemento (Geometrı́a del elemento, número de nodos).. Y. La derivación de las funciones base no depende del problema, estas dependen del. Si en la aproximación de u se eligiera funciones de base de mayor grado, esto. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. necesitarı́a la identificación de nodos adicionales en el elemento.. Existe una relación entre el orden de aproximación para la variable u y el número de nodos en el elemento.. 4.2.3.. Discretización de la Ecuación. Usando el Método de Galerkin. Para implementar este método utilizaremos el problema (P ), presentado en la sección (4.1).  . (P ). d2 u dx2. = −f,. 0 ≤ x ≤ L).  u(0) = u , u(L) = u 1 2. El error residual para la ecuación (P ) es, r=. d2 u + f (x) dx2. (4.10). Para la formulación variacional sobre el elemento Ωe , tomamos la integral peso. IO TE. residual sobre Ωe , donde ϕei son las funciones de interpolación.  Z xe2  2 e d u (x) + f (x) ϕei (x) dx = 0, i = 1, 2 dx2 xe1 Z. xe2. Z d2 ue (x) e ϕi dx = − dx2 xe1. xe2 xe1. f (x)ϕei (x) dx. (4.11). BL. Integrando por partes el término del lado izquierdo de (4.11) obtenemos: Z xe2 e Z xe2 xe 2 e due (x) 2 du (x) dϕei e e d u (x) dx = ϕ (x) − dx i = 1, 2 (4.12) ϕi i dx2 dx xe dx dx xe1 xe1 1. BI. Asi hemos dado el importante paso de bajar el término de mayor orden en la for-. mulación, de una segunda a primera derivada. Evaluando los términos individuales de la ecuación (4.12) Para i = 1, el primer término del lado derecho de la ecuación (4.12) puede evaluarse como ϕe1. due dx. xe2. = ϕe1 (xe2 ) xe1. due (xe2 ) due (xe1 ) − ϕe1 (xe1 ) dx dx. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(41) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Fernando Ysmael Cenas Chacón. 25. due dx. xe2. =− xe1. due (xe1 ) dx. (4.13). AS. ϕe1. Y. Sin embargo ϕe1 (xe2 ) = 0 y ϕe1 (xe1 ) = 1 y por lo tanto. De manera similar, para i = 2 due dx. xe2. due (xe2 ) dx. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC ϕe2. =. xe1. (4.14). Asi, el primer término del lado derecho de la ecuación (4.12) representa las condiciones de frontera naturales en los extremos de los elementos. Reagrupando (4.13) y (4.14) en la ecuación (4.12) tenemos: Para i = 1. Z. xe2 xe1. 2 e. u due (xe1 ) dx = − − dx2 dx. d ϕe1. Z. xe2. due dϕe1 dx xe1 dx dx. (4.15). Para i = 2. Z. xe2 xe1. 2 e. u due (xe2 ) dx = − − dx2 dx. d ϕe2. Z. xe2. due dϕe2 dx xe1 dx dx. (4.16). Al sustituir (4.15) y (4.16) en (4.11) obtenemos: Para i = 1. Z. xe2. due dϕe1 due (xe1 ) dx = − + dx xe1 dx dx. Z. xe2 xe1. f (x)ϕe1 dx. (4.17). IO TE. Para i = 2. Z. xe2. due dϕe2 due (xe2 ) dx = + dx xe1 dx dx. Z. xe2 xe1. f (x)ϕe2 dx. (4.18). En el lado derecho de cada ecuación, el primer término representa una de las. BL. condiciones de frontera del elemento, y el segundo es el efecto de la función fuerza del sistema (en este caso la fuente de calor f (x)) Ahora veamos los términos del. BI. lado izquierdo. Para i = 1, el término es: Z xe2 e e du dϕ1 dx xe1 dx dx como ϕe1 =. xe1 −x xe2 −xe1. entonces. dϕe1 dx. =. −1 xe2 −xe1. (4.19). y además. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(42) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Fernando Ysmael Cenas Chacón. due dx. =. 1 (−ue1 xe2 −xe1. + ue2 ). luego para i = 1 xe2. due dϕe1 dx = xe1 dx dx. Z. ue1 − ue2 ue1 − ue1 dx = e e 2 xe2 − xe1 xe1 (x2 − x1 ). CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. Analogamente para i = 2 Z Z xe2 e e du dϕ2 dx = xe1 dx dx. xe2. AS. Z. Y. ue = ϕe1 ue1 + ϕe2 ue2 y su derivada es. 26. (4.20). xe2. −ue1 + ue2 −ue1 + ue2 dx = e 2 e xe2 − xe1 xe1 (x2 − x1 ). (4.21). reemplazamos (4.20) y (4.21) en (4.17) y (4.18) respectivamente tenemos: Z xe2 ue1 − ue2 due (xe1 ) =− + f (x)ϕe1 dx (4.22) xe2 − xe1 dx xe1 −ue1 + ue2 due (xe2 ) = + xe2 − xe1 dx. Z. xe2 xe1. f (x)ϕe2 dx. (4.23). expresando (4.22) y (4.23) en forma matricial, obtenemos la versión final de las ecuaciones de los elementos.. Z xe2  e e f (x)ϕe1 dx  du (x1 )    e − dx 1 −1 1 xe   u1 = + Z x1e (4.24) due (xe2 ) e e e 2 x2 − x1 −1 u2 1 e dx f (x)ϕ2 dx | {z } {z } | e x 1 {z } Matriz de rigidez del elemento Condición de frontera | Efectos extremos . Ejemplo 4.1 Resolver la ecuación dado en el problema (P ) para una barra de 10cm con condiciones de frontera de u(0) = 40 y u(10) = 200 y una fuente de calor. IO TE. uniforme de f (x) = 10. BL. El problema a resolver será:   d2 u = −10 dx2  u(0) = 40, u(10) = 200. Solución Analı́tica: Integrando dos veces obtenemos u(x) = −5x2 + ax + b.. BI. Al usar las condiciones de frontera: para x = 0, tenemos 40 = −5(0)2 + a(0) + 40. con lo cual obtenemos, b = 40 y para x = 10, 200 = −5(10)2 + a(10) + 40 lo cual da a = 66. por lo tanto, la solución final es: u(x) = −5x2 + 66x + 40. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(43) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Fernando Ysmael Cenas Chacón. 27. La representación de elemento finito consiste en cuatro elementos de igual lon-. Y. gitud y cinco nodos.. AS. Solución Aproximada: Emplearemos cuatro elementos de igual longitud es decir xe1 − xe2 = 2, 5 e = 1, 2, 3, 4. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. Para el primer elemento e = 1 Z xe2 Z e f (x)ϕ1 dx = xe1. Z. 0,25. 10. 0. xe2 xe1. f (x)ϕe2. Z. 2, 5 − x dx = 12, 5 2, 5. 0,25. 10. dx =. 0. x dx = 12, 5 2, 5. . .    du(x1 )    − dx 1  1 −1 u1 12, 5 = + du(x2 ) u2 12, 5 −1 1 12, 5 dx. .     du(x1 )    − dx 0, 4 −0, 4 12, 5   u1 = + du(x2 ) u2 12, 5 −0, 4 0, 4 dx. Para el segundo elemento e = 2 Z 5. 10. 2,5. Z. 5. 10. IO TE. 2,5. . (4.25). 5−x dx = 12, 5 2, 5. x − 2, 5 dx = 12, 5 2, 5.      du(x2 )   − dx −0, 4 12, 5 u 2   + = du(x3 ) 12, 5 u3 −0, 4 0, 4 dx 0, 4. (4.26). BL. Analogamente para e = 3, e = 4.. BI. Ensamblaje de las ecuaciones para el sistema total . 0, 4 −0, 4   −0, 4 0, 4    0 0    0 0  0 0. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.     du(x1 )      0  u1  − dx + 12, 5                 du(x2 )        0  u + 12, 5 2    dx      0 0 = 0                    0  0 0                     0 0 0. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(44) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Fernando Ysmael Cenas Chacón. 28.     du(x1 )      − dx + 12, 5 0, 4 −0, 4 0 0 0  u1                        −0, 4 0, 4 + 0, 4 −0, 4 0 0    u2   12, 5 + 12, 5           du(x3 )  0 + 12, 5 −0, 4 0, 4 0 0 u3 = dx                   0     0 0 0 0 0  0                      0 0 0 0 0 0 0      du(x1 )        − 0, 4 −0, 4 0 0 0  u + 12, 5 1   dx                     −0, 4 0, 8  −0, 4 0 0  u2  25             0 −0, 4 0, 4 + 0, 4 −0, 4 0 u3 = 12, 5 + 12, 5               du(x4 )       0    0 −0, 4 0, 4 0 u4   dx + 12, 5                    0 0 0 0 0 0 0. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. AS. Y. .     du(x1 )         − u + 12, 5 1   dx                      −0, 4 0, 8 −0, 4  u 0 0  25 2             0 −0, 4 0, 8 −0, 4 0  u3 = 25                   12, 5 + 12, 5    u4   0  0 −0, 4 0, 4 + 0, 4 −0, 4                du(x5 )     u5 0 0 0 −0, 4 0, 4 + 12, 5 dx . 0, 4. −0, 4. 0. 0. 0. Finalmente el ensamblaje queda de la siguiente manera.     du(x1 )        0, 4 −0, 4 0 0 0 u1  − dx + 12, 5                       −0, 4 0, 8 −0, 4  u 0 0  25 2             0 −0, 4 0, 8 −0, 4 0  u3 = 25                      u4   0  0 −0, 4 0, 8 −0, 4  25               du(x5 )     u5 0 0 0 −0, 4 0, 4 + 12, 5 dx. BL. IO TE. . Por las condiciones iniciales u(0) = u1 = 40,. (4.27). u(10) = u5 = 200. BI. En la primera fila 0, 4u1 − 0, 4u2 = −. du(x1 ) + 12, 5 dx. obtenemos du(x1 ) − 0, 4u2 = −3, 5 dx. (4.28). Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(45) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Fernando Ysmael Cenas Chacón. 29. du(x5 ) + 12, 5 dx. AS. −0, 4u4 + 0, 4u5 = −. Y. de la misma forma en la quinta fila. obtenemos du(x5 ) = −67, 5 dx. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC −0, 4u4 −. (4.29). reemplazando (4.28) y (4.29) en (4.27) obtenemos el siguiente sistema.. du(x1 ) dx. − 0, 4u2. = −3, 5. 0, 8u2. − 0,4u3. = 41. −0, 4u2. + 0, 8u3. −0, 4u3. − 0, 84. + 0, 8u4. −0, 4u4 −. donde. du(x1 ) dx. y. du(x5 ) dx. = 25. = 105. du(x5 ) dx. = −67, 5. son incógnitas.. La solución del sistema es du(x1 ) dx. = 66; u2 = 173, 75; u3 = 245,. Luego:. u4 = 253, 75;. du(x5 ) dx. = −34. En el primer elemento u1 = ϕ11 u1 + ϕ12 u2 = 40 + 53, 5x. IO TE. En el segundo elemento u2 = ϕ21 u2 + ϕ22 u3 = 102, 5 + 28, 5x En el tercer elemento u3 = ϕ31 u3 + ϕ32 u4 = 227, 5 + 3, 5x En el cuarto elemento u4 = ϕ41 u4 + ϕ42 u5 = −21, 5x + 415. BI. BL. donde. 2, 5 − x , 2, 5 5−x ϕ21 = , 2, 5 7, 5 − x , ϕ31 = 2, 5 10 − x ϕ41 = , 2, 5 ϕ11 =. x 2, 5 x − 2, 5 ϕ22 = 2, 5 x − 5 ϕ32 = 2, 5 x − 7, 5 ϕ43 = 2, 5 ϕ12 =. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

(46) Biblioteca Digital. Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 30. BI. BL. IO TE. CA D MA E TE CIE MA NC TI IAS CA S FIS IC. AS. Y. Fernando Ysmael Cenas Chacón. Figura 4.4: Aproximación de una función mediante (a) elementos constantes (b) elementos de variacional lineal. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Atribucion-No Comecial-Compartir igual bajo la misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.5/pe/.

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