Espectro de la energía cinética turbulenta para la capa limite planetaria

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(1)Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO ESCUELA DE POST GRADO. PO. SG. RA DO. PROGRAMA DE DOCTORADO EN CIENCIA E INGENIERIA. CA. DE. “ ESPECTRO DE LA ENERGIA CINETICA TURBULENTA PARA LA CAPA LIMITE PLANETARIA “. TE. TESIS PARA OPTAR EL GRADO ACADÉMICO DE. IO. DOCTOR EN CIENCIAS E INGENIERÍA. BL. AUTOR MS : GILBERTO SEBASTIÁN ALVA CASTILLO. BI. ASESOR:DOCTOR OBIDIO RUBIO MERCEDES Trujillo - Perú 2011. 1 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(2) La Presente Tesis está dedicada a:. SG. DEDICATORIA. RA DO. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. PO. Mi Madre, Clelia Natividad Castillo León , por su inmenso amor y por haberme dado todo lo que soy.. DE. A mis Hijos, Zhixing Gricel, Daniel Abraham y Alma Rosa por su amor y por ser mi futuro.. CA. A mis Hermanos, Aideé Mireya, Rosa Teresa y Pedro Amado por toda su comprensión.. BI. BL. IO. TE. A mis Sobrinos, Carlos Eduardo, Flor Margarita, Rubén Jesús y Pamela Natividad por su grata y constante presencia en mi vida.. 2 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(3) SG. RA DO. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. a. mi. amigo. y. tutor. de. la. presente. DE. Agradezco. PO. AGRADECIMIENTO. investigación, Doctor Obidio Rubio Mercedes por todos. CA. los momentos de trabajo. amenos y académicos que. BI. BL. IO. TE. hemos compartido.. 3 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(4) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. INDICE. pag. Resumen y abstract Introducción .................................................................................................. 7. RA DO. I.. 1.1. Ecuaciones físicas-matemáticas que rigen el flujo de los fluidos ......... 8 1.2. Flujos laminares y turbulentos .............................................................. 10. SG. 1.3. Ecuación de la Energía y la ecuación de Navier-Stokes en la Capa. Límite Planetaria ................................................................................... 12. PO. 1.4. Series de Fourier .................................................................................. 14 Materiales y Métodos .................................................................................... 17. III.. Cálculos Resultados y Discusión ................................................................ 20. DE. II.. 3.1. Forma espectral de las ecuaciones del movimiento de fluidos .............. 20 3.2. Espectro de la Energía Cinética.Turbulenta .......................................... 22. CA. 3.3. Condiciones de isotropía y la transferencia de la energía ..................... 24 3.4. Solución analítica de la ecuación del Espectro de la Energía. TE. Turbulenta para la Capa Límite Planetaria ............................................ 30 3.5. Obtención el modelo espectral 3-D ....................................................... 33. IO. 3.6. Solución Numérica del espectro de la Energía usando Matlab ........... 37 Conclusiones ................................................................................................ 51. V.. Recomendaciones ........................................................................................ 52. Referencia Bibliográfica ............................................................................... 54. BI. VI.. BL. IV.. 4 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(5) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. RESUMEN La Capa Límite Planetaria,(PBL) capa de la atmósfera que rodea a la tierra flujos termales producto del calentamiento solar, presenta. RA DO. influenciada por. diariamente variaciones turbulentas del espectro de su energía; hecho que afecta el normal desarrollo de la vida de todos los seres vivientes de nuestro planeta. De allí que, es necesario, conocere interpretar las variaciones de este espectro. Este hecho nos plantea encontrar:Un modelo de la variación del espectro de la energía. SG. en la PBL. Estimar una solución analítica y desarrollar algoritmos para interpretar y validar dicha solución.Usando resultados de la base del conocimiento, la. PO. experimentación, la analogía y la dimensionalidad de ecuaciones, se determinó las ecuaciones que rigen el movimiento de los fluidos en el universo espaciotiempo relacionadas a los parámetros de la PBL. El uso del análisis de Fourier,. DE. permitió determinar la ecuación de la variación de la energía cinética turbulentaen la PBL. La dificultad de la solución de este modelo, nos llevó a considerar el caso de fluidos homogéneos e isotrópicos,. para determinar la transferencia de la. CA. energía entre números de onda. Haciendo adecuaciones a las fuerzas mecánicas y termales que se presentan en la PBL, siguiendo lineamientos de Kristensen y. TE. Lenschow (1989) y usando los resultados. de los parámetrosobtenidos. experimentalmentepor Nunez et al. (2003). se determinó analíticamente la energía. IO. turbulenta .En la presente investigación se ha encontrado la ecuación en números de onda de la variación de la Energía Cinética Turbulenta (TKE), asociada a la. BL. capa límite Planetaria, relacionada a sus variaciones dadas en la capa límite. BI. neutral y convectiva, su solución e interpretación analítica y numérica. Palabras claves. Energía Cinética Turbulenta, Espectro, Capa Límite. Planetaria, Capa Límite Convectiva, Capa Límite Neutral.. 5 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(6) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. ABSTRACT The Planetary boundary layer (PBL) of the atmosphere that encircles the earth, influenced by thermal fluxes as a product of the solar warming, presents. RA DO. daily turbulent variations of the spectrum of its energy, which affects the normal development of life of all the living beings of our planet. Therefore, it is necessary to know and interpret the variations of this spectrum.This fact leads us to find out:A model of the variation of the spectrum of the energy in the PBL as well as to estimate an analytical solution and develop algorithms to find out and validate such. SG. a solution.By using results based in knowledge, experiment, analogy and dimensionalities of the equations, the equations that govern the movement of the fluids in the universe, space – time, adequate to the parameters of the PBL were. PO. determined. The use of the Fourier analysis allowed us to determinate the equations of the variation of the turbulent kinetic energy TKE) in the PBL. The of the solutions of this model led us to consider the case of the. DE. difficulty. homogenous and isotropic fluids to determinate the transference of the energy among wake numbers. Likewise, by considering special conditions of the. CA. mechanical and thermal forces presented in the PBL. as well as following the suggestion from Kristensen and Lenschow (1989) and by using the results of the parameters experimentally obtained by Nunes et al.,(2003), the turbulent energy. TE. was analytical determined.In this research, the equation in wave numbers of the variations of the turbulent and Kinetic Energy, associated to the Planetary. IO. Boundary Layer, related to its variations given in the neutral and convective. BL. boundary layer as well as its solution and numerical and analytical interpretation. BI. was found.. Key words: Turbulent kinetic energy, spectrum, Planetary boundary layer,. convective boundary Layer, Neutral boundary layer.. 6 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(7) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. I. INTRODUCCIÓN. La troposfera, capa más baja de la atmósfera y de mayor importancia en. RA DO. cuanto a fenómenos meteorológicos, se divide en tres niveles. El primer nivel que rodea a la tierra es conocida como La Capa Límite Planetaria. En esta capa, durante el día, cuando la radiación solar que llega al suelo es intensa, el aire caliente asciende, creando convección térmica y una estructura de inestabilidad en la parte más baja de la atmósfera (turbulencia convectiva o térmica). Después. SG. de la puesta de Sol la superficie terrestre no recibe radiación solar pero si emite radiaciones de onda larga (ley de Stefan Boltzman), consecuentemente, el suelo y. PO. el aire en contacto con él, así, como las capas más bajas de la atmósfera se van enfriando más rápidamente que las capas más altas. De esta manera se obtiene mayor temperatura en las alturas y por tanto una capa térmicamente estable, el. DE. aire con estratificación estable tiende a suprimir la turbulencia. A medida que aumenta la altura, la inversión se debilita o desaparece, dando paso a una capa residual con estratificación neutral. De allí que: en la Capa Límite Planetaria. CA. (PBL) se forman tres componentes. La capa de mezcla o convectiva (CBL), la capa neutral y la capa estable nocturna. La turbulencia en la PBL, es generada. TE. y mantenida por dos fuerzas: vientos cortantes (factores mecánicos) y flotamiento (factores termales). Los primeros dominan la capa neutral y la mayoría de la capa 1997).. IO. estable, mientras que el flotamiento determina la convectividad (Griebel et al.,. BL. En la capa límite Planetaria se observan dos cambios acentuados de. acuerdo al ciclo diurno. La capa límite convectiva que inicia su crecimiento con la. BI. salida del sol y la capa límite neutral que se incia con la puesta del sol y decrece con la salida del sol. Existen diferentes investigaciones relacionadas a la PBL, por ejemplo, Deardorf (1979) hace predicciones sobre la altura de la capa límite; BatchvarovaGryning (1990) presentan un esquema basado sobre el equilibrio entre los factores 7. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(8) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. mecánicos y termales; Angevine et al. (2001) establecen la transición de la CBL como el periodo del tiempo desde la salida del sol de la CBL alcanzando 200 metros sobre la superficie; Lapworth (2006) ha obtenido relaciones entre el viento y la temperatura durante el crecimiento de la CBL; Nunez et al. (2008) han. RA DO. obtenido resultados de la energía cinética turbulenta de la capa límite en la mañana mediante modelos teóricos; Nunez et al. usan dos modelos analíticos para determinar el creciemiento de la convección a partir de la capa neutral, luego hacen una comparación con la simulación de los remolinos largos para tres niveles. verticales,. obteniendo. similaridad. en. sus. resultados;Moeng. y. SG. Sullivan(1993) obtienen resultados sobre comparaciones relativas de la velocidad de corte y el flotamiento que guian el flujo de la PBL, hacen una simulación de remolinos largos para cuatro casos extremos : altas velocidades de corte y bajo. PO. flotamiento, alto flotamiento y bajas velocidades de corte y dos casos intermedios. Kristrensen y Lenschow (1988), postulan un modelo simple para el tensor spectral. DE. anisotropico, determinando parámetros para el caso isotrópico en el cual deduce que la energía tridimensional es determinada por la energía unidimensional. 1.1. Ecuaciones. CA. longitudinal.. físicas-matemáticas que rigen el flujo de los. TE. fluidos. (Campos et al., 2003 :1 – 4). IO. 1.1.1. Leyes físicas y el movimiento de fluidos La ley de la conservación de la masa permitió obtener la. BI. BL. ecuación de continuidad para fluidos ( Griebel et al., 1997;14 -18). t. div( U ). 0. para fluidos incompresible donde densidad. es constante,. la ley se expresacomo:. U ( x, t ) x. 0,. α = 1, 2, 3. (1.1). 8 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(9) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. donde, U ( x, t ). (U 1 ( x, t ),U 2 ( x, t ),U 3 ( x, t )) es. la. ( x1 , x2 , x3 ) es la posición, la densidad ρ(x, t) = cte. =. x. velocidad, cte. , t es el. tiempo. conservación. del momento, basada en. RA DO. La ley de. la. segunda ley de Newton, permitió encontrar, en base a hechos observacionales y experimentales la ecuación no lineal de Navier-. 1. (U .grad )U. grad ( P).  f. U. cte. (1.2). cte. PO. t. U. SG. Stokes ( N-S),. donde μ es la Viscosidad dinámica, ν = μ/ρ la viscosidad  cinemática, P la presión y f es una fuerza de cuerpo externa por sin fuerzas externas,. DE. unidad de volumen. Estas ecuaciones,. TE. CA. tensorialmente se expresan como:. U. BL. IO. U t. U x. 1 cte. P x. 2. U. 0,. = 1, 2, 3. ,. = 1,2,3 (1.3). Usando el cambio de variables. donde V, L y T son. BI. U ( x, t ) x. ~ U. U , V. ~ x. x , L. ~ t. t , T. velocidad , longitud y tiempo característicos. dados, se obtuvo, la ecuación de continuidad y la ecuación de N-S. en forma adimensional. ~ U ~ x. 0. 1, 2, 3. 9 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(10) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. ~ U cte. ~ cteU. t. ~ P ~ x.  U ~ x. ~ 1 2U Re ~ x ~ x. 1, 2, 3. (1.4). RA DO. donde Re = LV/ν es el Número de Reynolds. Osborne Reynolds (1883),encontró una relación entre fuerzas inerciales y fuerzas viscosas para caracterizar la turbulencia. (1.5). PO. SG. fuerzas inerciales LV Re = fuerzas viscosas =. DE. 1.2. Flujos Laminares y turbulentos. Cuando, entre dos partículas en movimiento existe gradiente de velocidad, o sea que una se mueve más rápido que la otra, se desarrollan. CA. fuerzas de fricción que actúan tangencialmente a las mismas. Las fuerzas de fricción tratan de introducir rotaciones entre las partículas en movimiento, simultáneamente. la. viscosidad. trata. de. impedir la. rotación.. TE. pero. Dependiendo del valor relativo de estas fuerzas se pueden producir diferentes estados del flujo. Cuando el gradiente de velocidad es bajo, la. IO. fuerza de inercia es mayor que la de fricción, las partículas se desplazan. BL. pero no rotan, o lo hacen pero con muy poca energía, el resultado final es un movimiento en el cual las partículas siguen trayectorias definidas, y todas las. BI. partículas que pasan por un punto en el campo del flujo siguen la misma trayectoria. Este tipo de flujo fue identificado por O. Reynolds y se. denomina “ flujo laminar ”, queriendo significar con ello que las partículas se desplazan en forma de capas o láminas. Al aumentar el gradiente de velocidad se incrementa la fricción entre partículas vecinas al fluido, y estas, adquieren una energía de rotación apreciable, la viscosidad pierde su efecto, 10. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(11) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. y debido a la rotación las partículas cambian de trayectoria. Al pasar de unas trayectorias a otras, las partículas chocan entre sí y cambian de rumbo en forma errática. Éste tipo de flujo se denomina "flujos turbulentos”. turbulentos son impredecibles, así que,. para. RA DO. Los movimientos. obtener resultados, fue necesario descomponer su velocidad instantánea en función de la velocidad promedio y la velocidad de fluctuación. (McCombo., (1989)).. ó. U. SG. La velocidad mediadenotada por U. para efectos. PO. prácticos y T suficientemente grande se define como t T. U ( x, t ). U ( x, t ). 1 U ( x, t )dt T t. (1.6). DE. La velocidad instantánea es igual a la suma de la velocidad promedio con la velocidad de fluctuación:. Uα(x,t) =. CA. ↕. U α(x,t). +. ↕. velocidad. promedio. de fluctuación. IO. Instantánea. (1.7). ↕. velocidad. TE. Velocidad. μα(x,t). La velocidad de fluctuación está ligada a los movimientos turbulentos.. BL. Se consideró un medio homogéneo para mantener invariante la `medida. BI. promedio de la velocidad. La ley de la conservación de la energía y la aproximación de. Bossinesq permitió adecuar estas ecuaciones al estudio de la capa límite Planetaria (Griebel et al., (1997)).. 11 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(12) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. 1.3. Ecuación de la Energía y la ecuación de Navier – Stokes en la Capa Límite Planetaria Para que las ecuaciones de movimiento de fluidos se adecuen a los. RA DO. flujos de la PBL es necesario, determinar los efectos de la variación de la temperatura sobre el flujo o la transferencia de calor dentro del flujo. Para incluir la temperatura T en nuestro modelo matemático debemos considerar las propiedades termodinámicas de los fluidos. El principio de conservación de la energía, nos lleva, a la ecuación de la energía, que para una difusividad termal. SG. , constante, una disipación viscosa, despreciable y, una fuente de.  u.gradT. T. q. (1.8). DE. T t. PO. calor q , se expresa como:. Los cambios de temperatura sobre un fluido generan variaciones en su densidad. Cuando el fluido se calienta, crece en volumen, se hace más. CA. liviano y asciende, lo que implica la generación de fuerzas de flotamiento las cuales dependen de la temperatura, hechos que hacen más difíciles de tratar. TE. las ecuaciones no lineales de los fluidos. Lo adecuado es,. usar la. aproximación de Boussinesq, dada por:. IO. La densidad es constante excepto en los términos de flotamiento. BL. Todas las otras propiedades del fluido son asumidas constantes. BI. La disipación viscosa es muy pequeña, se puede dejar de considerar La primera afirmación significa que la ecuación de continuidad retiene. su forma incompresible y que en la ecuación de momento la densidad varía solamente en función de la gravedad. La segunda y tercera condición, simplifican las ecuaciones al efecto que el foco de interés es ubicado las. 12 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(13) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. fuerzas de flotamiento termales, las que caracterizan a la capa límite planetaria..  u cte ( t.   (u.grad )u ). grad ( P).  (T) f. U. RA DO. La ecuación del momento Eq.3..2, toma la forma dimensional. (1.9). Una simplificación adicional de la aproximación de Boussinesq,. cte. (1. (T ( x, t ) Tcte )), con. 1. cte. cte. y Tcte. (1.10). son cantidades constantes conocidas y. DE. donde. T. PO. (T ). SG. asume larelación lineal de densidad ρ y la temperatura T, dada por:. coeficiente de. es el. expansión termal, considerada también constante. La.   (u.grad )u ). grad ( P). U. cte. (1.  (T ( x, t ) Tcte )) f. (1.11). TE.  u cte ( t. CA. Eq.(3.7) con esta aproximación, se expresa. Se aplicará el análisis de Fourier a esta ecuación a fin de obtener el. BL. IO. espectro de la energía turbulenta en la PBL. La teoría fenomenológica de los fluidos dada anteriormente, no. BI. permitió observarla variación de los parámetros de la disipación de la energía. Para poderapreciar la conexión entre, coeficientes de cambios turbulentos, disipación de la energía, y la energía cinética turbulenta, fue necesario ingresar al análisis de Fourier.. 13 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(14) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. 1.4. Series de Fourier Dada la función a(x) definidas en un intervalo L. cumpliendo. las. condiciones para ser representadas por una serie de Fourier (Zdunkowski y. a( x). A(m) exp( i m. 2 mx) L. A(m) exp(i. 2 mx) L. SG. donde las amplitudes son dadas por L. 1 2 a( x) exp( i kx)dx L0 L. (1.12). (1.13). PO. A(k ). RA DO. Boot., 2003:326--327), a(x) tiene una expansión dada por:. Si multiplicamos las funciones a(x) y b(x) y sus expansiones tenemos. A(n) exp(i. 2 2 nx) B(m) exp(i mx) L L. DE. a( x)b( x). A(n) B(m) exp(i. 2 (m n)) x L. CA. de donde se obtiene la identidad de Parseval: L. (1.14). TE. A(n) A( n). 1 2 a ( x)dx L0. IO. la suma se hace sobre n. Si a(x) representara una de las componente de la velocidad u(x). En. BL. este caso obtenemos el valor promedio de la energía cinética por unidad de masa L. BI. 1 u 2 ( x) dx L0 2. u2 2. U (n)U ( n) 2. Eu. (1.15). 14 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(15) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Generalizando el tratamiento en tres dimensiones y formalmente admitiendo la dependencia del tiempo de la función a( x, t ) . La expansión en serie de Fourier es:. A(l1 , l 2 , l 3 , t ) exp[ i 2 ( l1. l2. l3. l1 x1 L1. l l2 x 2 , 3 x3 )] L2 L3. 2 li Li. k. i1k1 i2 k 2. i3 k 3. i1 x1 i2 x2. i3 x3. (1.17). PO. i 1,2,3 ,. SG. donde se ha Introducido, el radio vector de posición r  , el vector de los números de onda k k , mediante. ki. (1.16). RA DO. a(r , t ). l1. l2. l3. (1.18). CA. k. DE. y se introdujo formalmente la suma sobre el vector número de onda k. a(r , t ). TE. la representación simplificada fue. A(k , t ) exp(ik.r ). A(n, t ) exp(in.r ) (1.19). IO. k. BL. A partir de aquí se necesitó:. BI. 1. Aplicar el análisis de Fourier a las ecuaciones que rigen el movimiento de los fluidos en la PBL, Eq. (1.11), y a partir de élla,. 2. Obtener la ecuación de la variación del espectro de la energía turbulenta en la capa límite Planetaria,. 15 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(16) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. 3. Determinar la transferencia de la energía turbulenta entre diferentes regiones de su espectro, 4. Resolver la ecuación del espectro de la energía turbulenta, siguiendo. RA DO. resultados de Kristensen y Lenschow (1989), usando los parámetros que rigen los fluidos en la PBL,sugeridos por Nunez et al.,(2008) y finalmente, 5. Hacer. el. software. en. el. paquete. matlab. para. determinar. el. SG. comportamiento del espectro de la capa límite planetaria determinados por el espectro de la capas neutral y convectiva. y comparar los. BI. BL. IO. TE. CA. DE. PO. resultados analíticos y computacionales para su validación.. 16 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(17) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. II. MATERIALES Y METODOS 2.1. El objeto de estudio. diurno de. RA DO. El objeto de estudio fue analizar el comportamiento del espectro la Capa Límite Planetaria mediante la evolución del espectro de. la Capa Límite Convectiva.. La atmósfera, se divide en cinco capas, que en forma ascendente se. SG. llaman, Tropósfera, Estratósfera, Mesósfera, Termósfera o Ionósfera y Exósfera. La tropósfera, es la capa más baja y de mayor importancia en. PO. cuanto a fenómenos meteorológicos se refiere, tiene tres niveles, la tropopausa, la tropósfera libre y el primer nivel que rodea a la tierra conocida. DE. con el nombre de Capa Limite Planetaria (PBL).. La Capa Límite Planetaria tiene una altura promedio metros, variando su espesor,. de 1000. en función de factores físicos, según la. CA. topografía del terreno, intensidad del viento, advección del calor, humedad, grado de calentamiento o enfriamiento del suelo. Esta capa, por estar en. TE. contacto con la superficie terrestre que recibe la energía solar, presenta variaciones bruscas de la velocidad y de la temperatura de los fluidos,. IO. generando así, intercambio de masa, calor, momento y una serie de fenómenos físicos, de suma importancia para los seres vivientes. La. BL. transferencia de calor vía convección, determina movimientos masivos entre partes calientes y frías de los fluidos. Los fluidos al calentarse aumentan de. BI. volumen y por tanto disminuyen su densidad ascendiendo y desplazando al fluido que está en la parte superior y que se encuentra a menor temperatura, el cual,. por tener mayor densidad sus moléculas son atraídas por la. gravedad de la Tierra; a este fenómeno convectivo, se le conoce como el efecto de flotamiento en la atmósfera; el mismo que permite la explicación de los vientos, la formación de nubes , ciclones, precipitaciones etc., 17 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(18) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. involucrando la transferencia de enormes cantidades de calor absorbido por el agua. Esta capa presenta cambios en su ciclos diurnos, la capas convectiva, la capa estable y la capa residual dando variaciones de su. RA DO. espectro que se necesita modelar y analizar su comportamiento.. 2.2. Métodos y técnicas. La presente investigación se inició con el uso de las leyes de conservación de la masa, y del momento, para obtener las ecuaciones de. SG. continuidad y de Navier – Stokes que rigen al flujo de los fluidos. Su representación en forma adimensional permitió determinar el criterio de. PO. Reynolds que permite caracterizar la turbulencia, vía relaciones entre fuerzas inerciales y viscosas . Para el estudio de la turbulencia se descompone la velocidad instantánea en la suma de la velocidad promedio y la velocidad de. DE. fluctuación esta última caracteriza a la turbulencia. Fue necesario considerar fluidos homogéneos e incompresibles para mantener invariantes las propiedades estadísticas promedios en fluidos con densidad constante. Se. CA. usó la ley de la conservación de la energía y la aproximación de Boussinesq para adecuar estas ecuaciones del movimiento al flujo de los fluidos en la. TE. capa límite convectiva de la PBL.. IO. El uso del análisis de Fourier, permitió determinar la forma espectral de las ecuaciones del movimiento de fluidos y la ecuación del espectro de la. BL. energía cinética turbulenta en la PBL.. BI. Considerando. fluidos homogéneos e isotrópicos, se determinó la. transferencia de energía entre diferentes números de ondas. usando. la. aproximación de Heisenberg, quien considera el caso estacionario o al menos casi- estacionario de la turbulencia. Determinando así mismoregiones para el espectro de producción de la energía y la disipación de la misma, hecho que se hizovía el uso del análisis dimensional. 18. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(19) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. En la ecuación de la Energía turbulenta para números de onda se ignoró las fuerzas mecánicas, la fuente termal se consideró como una función de variables separables para adecuarla a la transición entre la capa límite neutral y la turbulencia de la capa limite convectiva; así mismo se la teoría de Heisenberg. para representar el término. de la. RA DO. consideró. transferencia de energía en función de la viscosidad de turbulencia.. La solución de la energía turbulenta relacionada con la capa límite Planetaria,. se. hizo. identificando,. los. parámetros. extraídos. SG. experimentalmente siguiendo a Nunez et al., (2008) y los resultados de Kristensen y Lenschow, (1989), hechos que permitieron obtener la energía tridimensional en base a la energía unidimensional y así se determinó la. PO. fuente termal y la energía turbulenta.. DE. Se usó el paquete matemático Matlab para determinar numéricamente los resultados de los parámetros de la capa límite y su debida interpretación. El software para este problema en computadoras normales se complicó. CA. debido a: los grandes números, limitaciones de memoria, precisión y otros, motivo por el cual se restringió los datos en los algoritmos y así se obtuvo mejores resultados para la evaluación de los parámetros y la variación de la. BI. BL. IO. TE. energía cinética turbulenta en la capa límite Planetaria.. 19 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(20) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. III. RESULTADOS Y DISCUSIÓN 3.1. Forma espectral de las ecuaciones del movimiento de fluidos. RA DO. La ecuación de continuidad. Expandiendo el vector velocidad u (r , t ) de acuerdo a la Eq,(1.19) y usando las propiedades de las derivadas en las series de Fourier, se tiene la ecuación de continuidad, . u. U (n, t ) . n i exp(in.r ) 0. 0 , en la forma. SG. (3.1). obteniéndose que: la amplitud. PO. del vector velocidad U (k , t ) es. ortogonal al vector número de onda k. 0,. U(k, t). k. (3.2). DE. U (k , t ) . k. Con los resultados obtenidos, se consiguió la ecuación de la energía. CA. cinética turbulenta, parte fundamental de nuestra investigación.. IO. obtuvo  u cte ( t. TE. La ecuación del momento. Agregando a la ecuación de momento  (Eq.(1.11)),la producción mecánica m2 ( x, t ) dada por vientos cortantes se. grad ( p). U. cte. (1.  (T ( x, t ) Tcte )) f.  m2 ( x, t ). BL.   (u.grad )u ). BI. O equivalentemente. u t. .(uu ). 1. grad ( p). 2. u. cte. (1. (T ( x, t ) Tcte )) f. 1. m 2 ( x, t ). cte. (3.3). 20 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(21) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. denotando,. =. 1. p , h1 (T ( x, t )).  (T ( x, t ) To )) f , m1 ( x, t ). (1. cte. 1. m2 ( x, t ) suprimiendo la notación vectorial y. expandiendo en serie de. cte. RA DO. Fourier, todos los términos de la Eq.(3.3) esta se transformó en:. (3.4.). los vectores m , n , q. Haciendo. PO. donde la suma se hace sobre. SG. U (n, t ) exp( in.r ) i (m q).U (m, t )U (q, t ) exp( i (m q).r ) t i (n, t )n exp( in.r ) n 2U (n, t ) exp( in.r ) M 1 (n, t ) exp( in.r ) H 1 (n, t ) exp( in.r ). m q k la expresión de la Eq. (3.4) se convirtió en. CA. DE. U (n, t ) exp( in.r ) ik.U (m, t )U (k m, t ) exp( ik.r ) t i (n, t )n exp( in.r ) n 2U (n, t ) exp( in.r ) M 1 (n, t ) exp( in.r ) H 1 (n, t ) exp( in.r ). TE. esta ecuación, para n k. (3.5.) se escribe en la forma. BL. IO. U (k , t ) exp( ik.r ) ik.U (m, t )U (k m, t ) exp( ik.r ] t i (k , t )k exp( ik.r ) k 2U (k , t ) exp( ik.r ) M 1 (k , t ) exp( ik.r ) H 1 (k , t ) exp( ik.r ). BI. (3.6.). 21 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(22) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. ahora, con una suma simple sobre m para cada k, obtenemos la forma espectral de la ecuación del momento. i (k , t )k. k 2U (k , t ) M1 (k , t ) H1 (k , t ). (3.7). RA DO. U (k , t ) ik.U (m, t )U (k m, t ) t. SG. 3.2. Espectro de la Energía Cinética.Turbulenta. El valor promedio dado en la Eq. (1.15), ahora para la velocidad. u2 2. U (n, t ) . U ( n, t ) 2. E (t ). E (k , t ). (3.8). k. DE. L. 1 u2 dV ' V 0 2. PO.  u u ( x, t ) con sus tres componentes da la energía cinética. en razón de encontrar una ecuación para la energía E( k ,t), primero se. CA. reemplazó el vector número de onda k en la Eq.(3.7) por - k y se denotó esta ecuación por. (Eq.3.7a),. multiplicando (Eq.3.7) por U ( k , t ) y la. TE. (Eq.3.7a) por U (k , t ) , sumando y sabiendo que el término Π desaparece. IO. debido a la Eq.(3.2), se obtuvo. U(k, t) . U( k, t) 2νν 2 U(k, t ) . U ( k , t ) ik . U (n, t )U (k n, t ) . U ( k , t ). BL. t ik . U (m, t )U ( k m, t ) . U ( k , t ) M 1 (k , t ) . U ( k , t ) M 1 ( k , t ) . U (k , t ). H 1 (k,t) .U(-k,t) H 1 ( k,t) .U(k,t). BI. (3.9.). la suma se hace sobre m y n , sustituyendo en el primer término del. lado derecho k. k n. y, - k. -k - m en el segundo término en la Eq.(3.9),. seobtuvo:. 22 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(23) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. RA DO. E (k , t ) i 2 k 2 E (k , t ) k . U (k k ' , t )U (k ' , t ) . U ( k , t ) dt 2 k' i 1 k . U (k ' k , t )U ( k ' , t ) . U (k , t ) M 1 (k , t ) . U ( k , t ) M 1 ( k , t ) . U (k , t ) 2 2 k' 1 H 1 (k , t ) . U ( k , t ) H 1 ( k , t ). U (k , t ) 2. se introdujo la abreviación. W (k , k ' , t ) k'. k'. (3.11). PO. k'. i k . U (k k ' , t )U (k ' , t ) . U ( k , t ) 2 i k . U (k ' k , t )U ( k ' , t ) . U (k , t ) 2. SG. W (k , t ). (3.10). W (k , k , t ) es una función antisimétrica, y representa la transferencia de la energía entre vectores números de onda. Notando el término. DE. mecánico y el término térmico por:. 1 (M1 (k , t ) . U ( k , t ) M1 ( k , t ) . U (k , t )) 2. (3.12). H (k , t ). 1 ( H1 (k , t ) . U ( k , t ) H1 ( k , t ) . U (k , t )) 2. (3.13). TE. CA. M (k , t ). la Eq. (3.10) conduce a la forma final de la ecuación estimada del. BL. IO. espectro de la Energía cinética en la PBL, motivo de nuestro trabajo. BI. E (k , t ) W (k , t ) M (k , t ) H (k , t ) 2 k 2 E (k , t ) t. k. E (k , t ) es. (3.14).  k es el vector número de onda, M (k , t ) es la producción mecánica, el espectro de la energía en el espacio,. E (k , t ) representa la t. tendencia de E a crecer o decrecer en el tiempo, W (k , t ). W (k , k ' , t ) k'. 23 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(24) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. representa el cambio de energía entre el vector número de onda k con otros vectores números de onda, 2 k 2 E (k , t ) describe la disipación de la energía cinética, la cual es transformada en energía interna y H (k , t ) denota el. RA DO. término de fuente termal.. 3.3. Condiciones de isotropía y la transferencia de la energía. SG. El análisis de la Eq. (3.14) es difícil por la dependencia de la función  de transferencia sobre el espectro del vector velocidad U (k , t ) . Es necesario introducir la condición de isotropía (donde las propiedades del material son.  U (k , t ). . U ( k , t ) E (k , t ). DE. PO. independientes de las direcciones), para suprimir la dependencia direccional  de U (k , t ) y E (k , t ) . Ahora consideramos las transformaciones. E(k , t ) donde k.  k. (3.15). .. TE. k. CA. para que la velocidad y la energía dependan solo del número de onda.  k. Si bien es cierto que, mucho del significado físico se pierde, desde que. IO. la turbulencia generalmente depende de la dirección, más, este proceso es necesario,. a fin de obtener resultados analíticos. Se necesitó obtener. BL. información sobre la transferencia de la energía, de allí que se consideró, la. BI. Eq (3.14) sin la fuente termal ni la producción mecánica. E (k ) 2 k 2 E (k ) dt.  k'. W(k, k' ). donde se ha suprimido t en E (k , t ). (3.16). Se consideró que, las amplitudes discretas E (k ) del espectro de la energía representan un cierto elemento de volumen en el k- espacio. Si 24 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(25) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. dividió E (k ) por un elemento de volumen suficientemente pequeño. Vk , y se. obtuvo la densidad del espectro de la energía. E (k ) . Vk. RA DO. (k ). desde que la energía contenida dentro de una celda esférica delgada de radio k , y anchura Δ k es dada por. (3.17). (k ) k. 4 k 2 k , se obtuvo la energía. Vk. de onda, dada por. (k ). (k ) por unidad de números. 4 k 2 (k ) . Dividiendo (3.16) por. PO. con. E (k ). SG. 4 k 2 (k ) k. (k ) Vk. Vk se obtuvo. 1 Vk.  k'. W(k, k' ). (3.18). CA. (k ) 2 k 2 (k ) dt. DE. la ecuación estimada para la densidad de la energía. multiplicando (3.18) por 4πk2 resultó una ecuación estimada para la. 2 k2. (k ). 4 k2 Vk.  k'. W(k, k' ). (3.19). BL. IO. (k ) dt. TE. energía por unidad de números de onda. En razón de tratar la interacción del número de onda k , con cualquier. BI. otro número de onda k , reemplazamos la suma sobre k por una integral sobre el volumen dVk'. T (k , k ' ). 4 (k ' ) 2 dk ' e introduciendo la función. 4 k2 4 (k ' ) 2 W (k , k ' ) Vk Vk'. (3.20). 25 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(26) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. en (3.19), se obtuvo finalmente, la forma compacta de la ecuación estimada para el espectro de la energía por unidad de número de onda:. 2 k2. (k ). (3.21). T (k , k ' )dk ' 0. RA DO. (k ) dt. la función T (k , k ' ) describe el cambio de energía en el k-espacio entre el número de onda k y todas los otros números de onda.. SG. La aproximación de Heisenberg, (Stansic, M. (1985)),considera el caso estacionario o al menos casi- estacionario de la turbulencia, para. PO. explicar la transferencia de la energía de los remolinos grandes a los más pequeños en términos de una “viscosidad de remolino” [Hinze(1959)]. Heisenberg, asume que, debe existir un número de onda k *, en el que, el. (k ) es dividido en dos regiones por k *.. DE. espectro. En la región I, donde k < k *, de pequeños números de onda (largas la turbulencia es fuertemente influenciada por. CA. longitudes de onda). TE. parámetros externos.. En la región II, donde. k >k *. de grandes números de. IO. onda(pequeñas longitudes de onda), las influencias externas no son importantes o no existen. En este rango, Heisenberg asume que, el. BL. espectro debe ser caracterizado por leyes universales. En esta región de. universalidad, la transferencia de energía es siempre de menores a mayores. BI. números de onda. Heisenberg postuló que, en esta transferencia de energía, la acción de los remolinos de números de onda grandes sobre los remolinos de números onda pequeños es muy parecida en analogía al término friccional 2 k 2 (k ) , él asume, para una viscosidad de turbulencia la relación. T (k , k ). 2k H k 2. (k ) g (k , (k )). (3.22) 26. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(27) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. La función g (k , (k ) ) es considerada una función universal, k H = 0.5 ±0.03. Del análisis dimensional se dedujo que, la función de transferencia. T (k , k ). 2k H k 2. (k ). RA DO. T (k , k ) toma la forma: [Zdunkowski y Boot (2003:335-337)].. (k ) ( k )3. (3.23). SG. Usando los criterios de Heisenberg, para obtener resultados de la transferencia de la energía. Para calcular el espectro de la energía en la. PO. región k > k *, Heisenberg asume la condición de estado estacionario, siendo así necesario, compensar la pérdida de estabilidad de la energía turbulenta por la disipación, con. la ganancia de una cantidad igual. DE. Además, se asume que, la generación de la energía. de energía.. (k ) toma lugar en la. región k < k *. Eventualmente, la energía producida en la región de. CA. producción es transportada a las ondas cortas donde será disipada. La. TE. ecuación (3.21) con esta consideración tomó la forma:. (k ) dt. 2 k2. (k ). T (k , k ' )dk '. (3.24). (k ). IO. 0. En razón de obtener una ecuación, para un intervalo espectral entero. BL. integramos (3.24) sobre un rango de números de onda al número de onda k. BI. >k * k. dt. (k )dk. 0. k. k. (k ) 2 (k )dk. 2 0. k. dk T (k , k )dk 0. 0. (k )dk. (3.25). 0. la producción y disipación de la energía deben ser balanceadas, esto es, 27 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(28) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. k. (k )dk. (k ) 2. 2. 0. (k )dk. (3.26). M. 0. aquí. es la disipación de la energía por unidad de masa.. M. RA DO. Considerando el término de tendencia (primer término de la Eq. (3.24)) igual a cero, y usando (3.26) se obtuvo la expresión k. k. 2. (k ). 2. (k )dk. k. dk T (k , k )dk. 0. 0. dk T (k , k )dk. M. 0. 0. desde que, T (k , k ) = - T (k , k ). k. SG. k. k. dk T (k , k )dk 0. (3.27). M. 0, sustituyendo la. 0. PO. función de transferencia Eq. (3.23) en esta ecuación, se obtuvo, la ecuación del espectro de la energía para la condición de estado estacionario forma. en la. k. DE. 2(. (k ) dk ) (k ) 2 (k ) 3 0. kH. K. (k )dk. (k ) dk , (k ) 3. kH. es. conocida. TE. k. deHeisenberg,. al. resolver. la. (3.28). M. CA. k. como Eq.(3.28). el. coeficiente para. de. cambio. (k ) [Zdunkowski. y. IO. Boot.,(2003:338-339)], se obtuvo. (. 8 2/3 ) ( 9k H. M. )2/ 3 k. 5/3. (1. 8 3k 4 ) 3 M k H2. 4/3. (3.29). BI. BL. (k ). el espectro es separado en dos regiones números de onda por el. número de onda kc , dado por kc. (. M 3. )1/ 4. (3.30). 28 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(29) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. en la forma siguiente. (k ). (. 8 2/3 ) ( 9k H. M. )2/ 3 k. 5/3. (1. 8 k 4 ( ) ) 3k H2 kc. 4/3. (3.21). RA DO. para k > kc , la segunda expresión dentro del segundo paréntesis excede al número 1. Ignorando el 1, se obtuvo la ecuación. kc :. (k). (. kH 2. esta región. M 2. )2 k. 7. (k). k -7. (3.22). SG. k. es conocida como el rango de disipación, donde el. PO. espectro de energía depende de la viscosidad y decae proporcionalmente a. k 7 . Ahora, se consideró la región definida por. k*. k. kc , y desde que,. 1 omitiendo ahora la segunda expresión dentro del segundo paréntesis. kC. DE. de la Eq. (3.21) y se obtuvo:. kc :. (k). (. 8 2/3 ) ( 9k 2H. M. CA. k. )2 / 3 k. 5/3. (k) k -5/3 (3.23). TE. k*. en el rango espectral de ondas largas,. (k ) es proporcional a k. .. o el. IO. Dicho rango espectral se conoce como la región de transferencia. 5/ 3. subrango inercial. En esta región, la viscosidad puede ser ignorada. La. BL. noción física es que la producción y disipación ocurra en regiones espectrales diferentes, así que los remolinos en el sub rango inercial reciban. BI. su energía inicialmente de los remolinos largos y transfieran su energía a los remolinos más pequeños. La transferencia toma lugar de tal modo que la producción es exactamente balanceada por la disipación. Observaciones demuestran que, en el rango de producción k < k *, la parte de la izquierda. del espectro de la energía se comporta como k 4 (Fig. 3) .. 29 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(30) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. 3.4. Determinación de parámetros y la solución analítica de la ecuación del Espectro de la Energía Turbulenta para la Capa Límite Planetaria. RA DO. Para encontrar, la solución de la Eq. (3.14) restringida a números de ondas y asociada al crecimiento diurno de la capa límite convectiva comenzando en la capa límite neutral, usamos un. modelo teórico del. espectro neutral y convectivo, que denominamos MT y que consiste en dividir el problema en dos partes. SG. La primera es la elaboración de un espectro convectivo y neutral uniD).. PO. dimensional, 1-D, y de allí la construcción del espectro tridimensional (3La segunda parte es el empleo del espectro 3-D en el crecimiento de la. DE. capa límite convectiva.. La ecuación para la evolución del espectro de la TKE para turbulencia homogénea e isotrópica en números de onda es dada. en la Eq.(3.14.),. TE. W (k , t ) M (k , t ) H (k , t ) 2 k 2 E (k , t ). (3.24). IO. E (k , t ) t. CA. resultados que coinciden con Hinze (1995),. Se empleó, la teoría de Heisenberg para representar el término de la. BL. transferencia de energía (Campos Velho 2003):. BI. W (k , t ) =-2. T. k 2 E (k , t ). (3.25). el coeficiente de viscosidad turbulenta. T. T. (k ) es tomado de. Degracia et al., (2003),. 30 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(31) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. T. 0.038(. zC. )1 / 3 (. U 4/3 ) w* nI. (3.26). z C es la altura de la capa límite convectiva CBL. w*. [ zC. ( w. v. v. )]1/ 3 ,. g es el coeficiente de flotamiento T0. Q* es el promedio del flujo de calor. ). g ) T0. g  (w T0. v. v. de la superficie. ) es el flujo de calor sensible de la superficie. SG. Hs (. g  (w T0. RA DO. w* es la escala de la velocidad convectiva (Deardorff 1970). PO. U es la componente longitudinal de la velocidad del viento .. Sabemos ya, que la TKE es subdividida en tres regiones espectrales. En el subrango de producción, el espectro tiene su máximo y la frecuencia. DE. ne caracteriza esos remolinos. En el subrango de disipación, existe una frecuencia nd de los remolinos que proveen la principal contribución a la. CA. disipación. Entre esas zonas espectrales, en el subrango inercial, hay frecuencias nI que son características de remolinos que transfieren TKE en. ne. nI. nd .. TE. un proceso de cascada de energía. Además, tenemos. Basados en Kaimal et al., (1976), se asume que la frecuencia representativa. IO. del subrango inercial puede ser calculado como:. BI. BL. nI. 10U / z C. (3.27). La función de disipación no dimensional es. donde la tasa de disipación media de la TKE. zC / w*3. (3.28). se obtiene, siguiendo. Hojstrup (1982) para el caso convectivo 0.753 / 2 (w*3 / zC ),. (3.29) 31. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(32) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Para resolver la Eq.(3.24), reemplazamos en ella la Eq.(3.25) y considerando, la fuente termal, como una función de variables separables, H (k ) f (t ) , donde la función f (t ) , es la función de Heaveside, de. H (k , t ). RA DO. este modo, este término determina la transición entre la turbulencia de la capa límite neutral y la turbulencia de la capa límite convectiva. En el tiempo t = 0, tenemos una capa con flujo de calor cero, esto es, en nuestro caso una capa neutral. Por tanto, la Eq. (3.24) sin la producción mecánica puede ser. E (k , t ) 2 k2( T t E(k, t) E h (k , t ). ) E (k , t ). SG. reescrita como:. H (k , t ). (3.30). PO. E h (k , t ) * H (k , t ). DE. donde E h (k , t ) representa la solución por integración del tiempo sin la fuente del calor y la operación “*” denota la convolución:. E h (k , t. CA. E h (k , t ) * H (k , t ). ) H (k , )d. (3.31). IO. TE. La transferencia de energía Eq.(3.24) tiene la solución. E0 ( K )e. BL. E (k , t ). 2. T. )t. 1 e 2k ( H (k )[ 2 2k ( T. T. )t. ). ]. Eo (k ) es el espectro 3-D de la capa neutral ,. (3.32). en t=0,. BI. donde E (k ). 2k 2 (. Cuando t → ∞, la Eq (3.32) se reduce a:. E (k ). H (k ) 2k ( T ). (3.33). 2. 32 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(33) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. ecuación que debe ser el espectro para la capa límite convectiva bien desarrollada. De acuerdo a la Eq.(3.32), la energía cinética turbulenta (TKE) puede. RA DO. ser dividida en una contribución neutral (primer término de la parte derecha) y una contribución convectiva (segundo término de la parte derecha). Para la contribución Neutral, solamente efectos mecánicos son tomados en cuenta como fuente para la TKE, mientras la contribución convectiva tiene a la vez efectos mecánicos y termales. De la Eq.(3.32), la evolución del tiempo. SG. demuestra que la contribución neutral decrece mientras que la contribución convectiva crece.. PO. Para determinar la parametrizaciones de H (k ) , se debe igualar el lado [Kristensen et al., (1989).. DE. derecho de la Eq. (3.33), con el espectro de la energía convectiva 3-D,. CA. 3.5. Obtención el modelo espectral 3-D. La Eq. (3.32) representa una solución de evolución para la ecuación. TE. diferencial dinámica para el espectro de la energía cinética turbulenta E (k ) . Sin embargo, la solución está relacionada con el espectro 3-D [Kristensen. IO. et al., (1989: 152-158)] sugiere obtener el espectro 3-D a partir del espectro. BL. longitudinal 1-D; FL (k ),. BI. E (k ). Donde s FL. k. d 1 dFL k dk k dk 3. lL. 2 L. 2k. 2. 4. k. 2. 14 4 / 3 2 / 3 s g ( s)ds k s g ( s)ds 9 0 2. 0. (3.34). k 2 , para la estabilidad neutral y convectiva donde: 1. (3.35). 5. l k {1 ( L ) 2u L } 6u L a(u L ) 33. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(34) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Para la turbulencia isotrópica se tiene las identidades de los espectros unidimensionales FV (k ). 1 ´FL (k ) kFL (k ) 2. FT (k ). (3.36). 2 L. RA DO. Los parámetros de la Eq.(3.35) son:. ,es la varianza de la componente de la velocidad longitudinal,. l L es la escala de la longitud integral longitudinal, L. ) es una constante dimensional,. SG. a(. La constante dimensional es dada por. 5 ) 6 1 1 ( ) ( ) 2 3. El parámetro. (3.37). DE. a( ). PO. (. gobierna la curvatura del espectro en el dominio de. L. CA. transición del subrango inercial hacia números de onda más bajos.. 2 L. 2 f0 (. , l L , u L ; s). IO. g ( s). TE. La función g (s) es dada por:. f0 (. 2 T. , lT , uT ; s). f0 (. 2 V. (3.38). , lV , uV ; s). BL. donde, la función f 0 ( i , li , ui ; s) es i , li , u i ; s). BI. f0 (. donde i. (. 1 ) 96. 2 i. a 2 (u i ) a 2 (u i ) ( 2 s) li li. L, T ,V ,los valores. i. 4 1/ 6. x n 1. c n (u i ) 2. 5. a (u ) [1 ( 2 i s) ui ] 6ui li. , a( i ) y l i para. (3.39) n. ambas condiciones. convectiva y neutral , son extraídas de Kristensen et al., (1989), aquí. 34 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(35) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. 40(1. )C ( ) 2. C3 ( ). 10 (5 6 )(5 12 )(7 12 ) C4 ( ) 9. )(1 2 )(5 6 ) 10 (5 6 )(5 12 )(5 18 ) 27 (3.40). RA DO. )(1 2 )(2. 140 (1 3. C1 ( ). Los parámetros que determina el modelo MT, para la CBL son lavarianza. 2 L. ,y. 2 T. , sigue de Panofsky et al., (1977).. Usamos el punto en vez de coma para separar en un número la parte. 2 T 2 *. w. 0.3 4. w. u*2 w*2. PO. 2 L 2 *. SG. decimal de la parte entrera, debido a notaciones de ordenadores.. (3.41). 2 nL. 2 nT. ,. ,. DE. Kristensen et al.,(1989) sugieren las siguientes varianzas, 2 nV. 4.77u*2 , 2.68u*2 , 1.46u*2. (3.42). CA. para la varianza horizontal se usó, la Eq.(3.41) y para la vertical la Eq.. TE. (3.42).. IO. u* es la velocidad de fricción del viento. De resultados obtenidos en Kristensen et al., 1989 y Nunes et al.,. BL. 2008 tenemos, los datos de parámetros asociados a nuestro modelo MT. 1. Escalas de longitud, longitudinal, transversal y vertical. BI. lL = 150m, lT = 173.8m. y lV =96.1m. 2. Parámetros u L = 0.52, uT = 0.49 y. uV = 0.68. 3. La altura de la CBL, z C = 1000m. 35 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(36) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. 4. constantes dimensionales Eq. (3.37). 5 ) 6 1 1 ( ) ( ) 2 3 (. obtenemos. reemplazando. a(uL ) 2.3168 ,. a(uT ). 0.52,. L. T. 0.49,. V. 0.68. RA DO. a(u ). 2.5433,. a(u V ) 1.5646. .. SG. Las constantes procesadas de la Eq. (3.40) se muestra en la tabla 1. Tabla 1. Las constantes se obtienen de la Eq. 3.40 para los correspondiente. C1 (. T. ). C1 (. V. ). 1.1466. 0.6161. C2 (. L. ). C2 (. T. ). 7.2755. 6.0826 C 2 (. V. C3 (. L. ). 76.9478. C4 (. L. ). 485.4148. C3 (. T. ) 11.9374. C4 (. T. ). 412.5500. 48.7780 C3 (. V. ). DE. ). 3.7794. CA. L. ). uV = 0.68. 154.0129 C 4. V. ). 761.8348. TE. C1 (. PO. valores de u L = 0.52, uT = 0.49 y. IO. Los parámetros variando con el tiempo son, la velocidad fricción u* , la 2. , estos. BL. escala de la velocidad convectiva w* y la varianza de la velocidad. valores experimentales indicados en Nunez et al., (2008), se muestran en la. BI. tabla 2.. 36 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(37) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Tabla 2. Parámetros variando con el tiempo asociados a lacapa límite convectiva. 1. 2. 3. (ms 1 ). 0.48. 0.66. 0.70. 0.70. w* (ms 1 ) 2 4u*2 , L. 0.00. 1.38. 1.74. 1.99. 0.9216. 1.7424. 1.96. 1.96. 0.9216. 1.7424. 1.96. 1.96. 0.3364. 0.6360. 0.7154. 0.7154. *. 2 T 2 V. 4u. 2 * , 2 , *. 1.46u. RA DO. 0. SG. Tiempo(horas). 3.6. Solución Numérica del espectro de la Energía usando Matlab los. programas k. d 1 dFL k dk k dk 3. 2k. 2. 4. Matlab. para. k. determinar E (k ) ,. 2. 14 4 / 3 2 / 3 s g ( s)ds k s g ( s)ds . 9 0 2. 0. en. DE. E (k ). hizo. PO. Se. CA. Los parámetros k y s se toman de acuerdo a la tabla 3.. Tabla 3. Valores de los números de onda k 0.2. TE. K S=k^(-2). 25. 0.4. 0.6. 0.8. 1. 6.25. 2.7778. 1.5725. 1. IO. Este programa se dividió en dos.. k3. d 1 dFL dk k dk. lL. con FL. 2k. 2. 4. 2 f0 (. 2 L. , l L , u L ; s). f0 (. 2 T. k. 2. 14 4 / 3 2 / 3 s g ( s)ds k s g ( s)ds 9 0 2. 0. Con g (s). 1 5. k. El segundo para calcular. 2 L. l k {1 ( L ) 2u L } 6u L a(u L ). BI. BL. El primero para calcular. , lT , uT ; s). f0 (. 2 V. , lV , uV ; s) y. 37 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(38) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. 2 i. a 2 (ui ) a 2 (ui ) ( 2 s) li li. 4 1/ 6. cn (ui ). x n 1. 5. 2. a (u ) [1 ( 2 i s)ui ]6ui li. n. RA DO. f 0 ( i , li , ui ; s). 1 ( ) 96. Con el valor de E (k ) , se calculó H (k ). 2k ^2(. ) * E(k ) , con. T. (t ). T. dependiente del tiempo y con una viscosidad cinemática constante temperatura ambiente 2 L. 1. se ingresó mediante. SG. lL. Para el cálculo de FL. a. 5. PO. l k {1 ( L ) 2u L } 6u L a(u L ). un programa las correspondientes funciones para FL para t = 0, 1,2,3 horas. CA. function r =FFoL(k). DE. Modelo del programa para el cálculo de FL (k ) en el tiempo t = 0.. l = [150, 173.8, 96.5]; u = [0.52, 0.49, 0.68]; au = [2.3168, 2.5433, 1.5646];. TE. m = l(1) / au(1); p = -5/(6*(u(1)); r = (0.9216*l(1)/pi)*(1+(k*m)^2*u(1) )^p; en. forma. similar. se. obtienen. FF1L,FF2L,FF3L,. en. los. IO. correspondientestiempos mostrado en la tabla 4.De estos resultados se. BL. obtiene las derivadas.. BI. Tabla 4. Energía Longitudinal dependiente del tiempo y del número de onda k. 0.2. 0.4. 0.6. 0.8. 1. FFoL(k). 0.0336. 0.0037. 0.0010. 0.00004. 0.00002. FF1L(k). 0.0638. 0.0070. 0.0019. 0.000076. 0.000037. FF2L(k). 0.0714. 0.0078. 0.0021. 0.000085. 0.000042. FF3L(k). 0.0714. 0.0078. 0.0021. 0.000085. 0.000042. 38 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(39) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. y se evaluó la funciones k 3. d 1 dFL dk k dk. en k = 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1. Modelo de las derivadas de la energía longitudinal en el tiempo t = 0. RA DO. horas function q=DFFoLsym(k). % funcion simbolica de le energía 1-D y su Derivadas en t=0 clc. SG. clear all. fprintf('Energia Longitudinal en el tiempo t =0, FFoL(k)\n') k = sym('k');. PO. FFoL(k). fprintf('Der. Energ. Longitudinal en t=0, k^3*diff((1/k)*diff(FFoL(k))) \n'). DE. q=k^3*diff((1/k)*diff(FFoL(k))) k = sym(„k‟); k. ans = 0.5473. subs(DFFoLsym(k),k,0.4). ans = 0.0612. subs(DFFoLsym(k),k,0.6). ans = 0.0168. subs(DFFoLsym(k),k,08). ans = 0.0067. subs(DFFoLsym(k),k,1). ans = 0.0033. IO. TE. CA. subs(DFFoLsym(k),k,0.2). BL. Derivadas de la energía longitudinal en el tiempo t=1hora ans = 1.0347. subs(DFF1Lsym(k),k,0.4). ans = 0.1157. subs(DFF1Lsym(k),k,0.6). ans = 0.0317. subs(DFF1Lsym(k),k,0.8). ans = 0.0126. subs(DFF1Lsym(k),k,1). ans = 0.0062. BI. subs(DFF1Lsym(k),k,0.2). 39 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(40) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. subs(DFF2Lsym(k),k,0.2). ans = 1.1639. subs(DFF2Lsym(k),k,0.4). ans = 0.1301. subs(DFF2Lsym(k),k,0.6). ans = 0.0357. subs(DFF2Lsym(k),k,0.8). ans = 0.0142. subs(DFF2Lsym(k),k,1). ans = 0.0070. RA DO. Derivadas de la energía longitudinal en el tiempo t = 2 horas. Derivadas de la energía longitudinal en el tiempo t = 3 horas ans = 1.1639. subs(DFF3Lsym(k),k,0.4). ans = 0.1301. subs(DFF3Lsym(k),k,0.6). ans = 0.0357. subs(DFF3Lsym(k),k,0.8). ans = 0.0142. subs(DFF3Lsym(k),k,1). ans = 0.0070. PO. SG. subs(DFF3Lsym(k),k,0.2). i , li , u i ; s). (. 1 ) 96. 2 i. a 2 (u i ) a 2 (u i ) ( 2 s) li li. 1/ 6. 4. x. c n (u i ) 5. n 1. a 2 (u ) [1 ( 2 i s) ui ] 6ui li. n. CA. f0 (. DE. Se hizo los programas para hallar los valores de. TE. Modelo para el cálculo de foL en los tiempos t=0 function A = foL0sym(s). IO. % ingreso de las constantes C(n,i) , i = L,T,V c = [ -1.1416, 0.6161, -6.0816; -7.2755, 3.7794, -48.7780; 76.9478, 11.9374, -. BL. 154.0129; 485.4148, 412.55, 485.4148]; % ingreso de longitudes L,T,V. BI. l = [150, 173.8, 96.1];. % ingreso de parametros de curvatura ui , i =L,T,V u = [0.52, 0.49, 0.68];. %ingreso de parametros a(ui) au = [2.3168, 2.5433, 1.5646]; r=0; 40 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(41) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. % ingreso de la varianza de la velocidad para l= L,T,V y t= 0,1,2,3 horas varV = [0.9216, 1.7424, 1.96,1.96; 0.9216, 1.7424, 1.96, 1.96; 0.3364,.6360, 0.7154, 0.7154]; m=au(1)/l(1); p=5/(6*u(1)); for n=1:4. RA DO. r=r+c(n,1)* (1+ (s.*m.^ 2 ).^u(1)) .^(-(p+n)); end. A = (1/(96*pi))*varV(1,1).*(((au(1).^2)/l(1))*(s.*m.^2).^(-1/6)).*r;. SG. Tabla 5. Caso longitudinal, valores de s = 25, 6.25, 2.7778, 1.5725, 1 y para L,T, V. 25. 6.25. 2.7778. 1.5725. 1. foL0sym(s). 0.0982. 0.1492. 0.1818. 0.2061. 0.2265. foL1sym(s). 0.1857. 0.2821. 0.3437. 0.3897. 0.4282. foL2sym(s). 0.2089. 0.3173. 0.3866. 0.4383. 0.4816. foL3sym(s). 0.2089. 0.3173. 0.3866. 0.4383. 0.4816. DE. PO. S. S. 25. 2.7778. 1.5725. 1. foT0sym(s). 0.0767. 0.1183. 0.1453. 0.1655. 0.1824. foT1sym(s). 0.1449. 0.2237. 0.2747. 0.3128. 0.3448. foT2sym(s). 0.1632. 0.2516. 0.3090. 0.3519. 0.3879. foT3sym(s). 0.1632. 0.2516. 0.3090. 0.3519. 0.3879. Tabla7. Caso vertical. S. 25. 6.25. 2.7778. 1.5725. 1. foV0sym(s). 0.0148. 0.0211. 0.0250. 0.0279. 0.0303. foV1sym(s). 0.0280. 0.0399. 0.0472. 0.0527. 0.0573. foV2sym(s). 0.0315. 0.0449. 0.0531. 0.0593. 0.0664. foV3sym(s). 0.0315. 0.0449. 0.0531. 0.0593. 0.0644. BI. BL. IO. TE. 6.25. CA. Tabla6. Caso Transversal. 41 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(42) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Determinación de g ( s). 2 f0 (. 2 L. , l L , u L ; s). f0 (. 2 T. , lT , uT ; s). f0 (. 2 V. , lV , uV ; s). y el cálculo de. 2k. k. 2. 14 4 / 3 2 / 3 s g ( s)ds k s g ( s)ds 9 0 2. 0. usando. integración. vía. Simpson. 1/3. RA DO. 2. k 4. para. cada. valor. del. correspondiente k = 0.2,0.4,0.6,0.8,1, y la Integral desde 0. 1 hasta 25 con. SG. n=4.. Cálculo de la integral para k=0.2 ,s=k^(-2)=25,usando Simpson 1/3 , n=4. 2k. 2. k. 2. 14 4 / 3 2 / 3 s g ( s)ds k s g ( s)ds 9 0 2. 0. (5.42). PO. k 4. DE. ingreso de las dos funciones dentro del integrando function r = goLTV0sym(s). CA. r = (s.^2).*(2*foL0sym(s)-foT0sym(s)-foV0sym(s));. TE. function r = hoLTV0sym(s). IO. r = (s.^2/3).*(2*foL0sym(s)-foT0sym(s)-foV0sym(s));. BL. Programa integralgh0 para el tiempo t=0. %integral de goLTV0sym y hoLTV0sym desde0.1 a 25 caso k = 0.2 ,s = k^(-2). BI. n = 4; a = 0.1; b = 25; h = (b-a)/n; x = a: h: b; for k = 1:n+1 f(k) = goLTV0sym(x(k)); g(k) = hoLTV0sym(x(k)); end. 42 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(43) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Ig = (h/3)*(f(1)+4*sum(f(2:2:n))+2*sum(f(3:n-1))+f(n+1)); Ih = (h/3)*(g(1)+4*sum(g(2:2:n))+2*sum(g(3:n-1))+g(n+1));. RA DO. I0 = 2*(0.2)^4*(Ig)-(14/9)*((0.2)^4/3)*(Ih) Al procesar el programa de la Integral 3.42 en el tiempo t =0 desde 0. 1 hasta 25 usando Simpson para el valor de k = 0.2, s = k^-2 = 25 se obtiene. SG. I0=1.7919 Para el valor k = 0.2, s = k^(-2) =25 En el tiempo t = 1, I1 = 3.3879 En el tiempo t = 2, I2 = 3.8110. DE. En el tiempo t = 3, I3 = 3.8110. PO. En el tiempo t = 0, I0 = 1.7919. Para el valor de k = 0.4, s = k^(-2) = 6.25 En el tiempo t = 0, I0 = 0.6589. CA. En el tiempo t = 1, I1 = 1.2458. En el tiempo t = 2, I2 = 1.4014. TE. En el tiempo t = 3, I3 = 1.4014. Para el valor de k = 0.6, s = k^(-2) = 2.7778. IO. En el tiempo t = 0, I0 = 0.3526 En el tiempo t = 1, I1 = 0.6667. BL. En el tiempo t = 2, I2 = 0.7499. BI. En el tiempo t = 3, I3 = 0.7499 Para el valor de k = 0.8, s = k^(-2) = 1.5725 En el tiempo t = 0, I0 = 0.2237 En el tiempo t = 1, I1 = 0.4229 En el tiempo t = 2, I2 = 0.4757 En el tiempo t = 3, I3 = 0.4757 43. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(44) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Para el valor de k = 1, s = k^(-2) = 1 En el tiempo t = 0, I0 = 0.1563 En el tiempo t = 1, I1 = 0.2955 En el tiempo t = 2, I2 = 03324. RA DO. En el tiempo t = 3, I3 = 0.3324. Tabla 8. Determinación de la Energía E(k), suma de las derivadas e integrales de acuerdo a los valores de t y k. T=1. T=2. T=3. k=0.2. 2.3356. 4,4226. 4.9749. 4.9749. k=0-4. 0.7201. 1.3615. 1.5315. 1.5315. k=0.6. 0.3694. 0.6984. 0.7856. 0.7856. k=0.8. 0.2304. 0.4355. 0.4899. 0.4899. k =1. 0.1596. 0.3057. 0.3394. 0.3394. SG. T=0. DE. PO. No onda/tiempo. 0.038(. T. CA. Se determinó los valores de. zC. )1 / 3 (. U 4/3 ) w* nI. Tabla 9. Valores de la viscosidad de remolino de acuerdo al tiempo. TE. Tiempo en horas. (t ). t=1. t=2. t=3. 0.0000. 2.1079. 2.6578. 3.0397. IO. T. t=0. viscosidad cinemática estimada a 20 grados centígrados. BI. BL. = 0.00002. Tabla 10. Suma de los valores de la viscosidades cinemática y de remolino Tiempo en horas T (t ) +. t=0. t=1. t=2. t=3. 0.00002. 2.10792. 2.65782. 3.03972. 44 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(45) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. Tabla 11. La fuente Termal se determinó de H (k ). 2k ^2(. ) * E (k ). T. T=0. T=1. T=2. T=3. k = 0.2. 0.000004. 0.7458. 1.0678. 1.2098. k = 0.4. 0.000005. 0.9184. 1.3025. 1.4897. k = 0.6. 0.000005. 1.0600. k = 0.8. 0.000006. 1.1750. k=1. 0.000006. 1.2888. RA DO. Nº onda\tiempo. 1.5033. 1.7194. 1.6666. 1.9061. 1.8041. 2.0634 2. Calculamos la Energía final E (k , t ). 1 e 2k ( H (k )[ 2k 2 ( T. )t. T. SG. E 0 ( k )e. 2k 2 (. )t. ). ]. PO. T. E0 (k ) es constante la que consideramos, como la unidad. T=0. k=0.2. 0.000002. k=0.4. T. ).. T=1. T=2. T=3. 0.1686. 0.2126. 0.2432. 0.000006. 0.6745. 0.8505. 0.9727. k=0.6. 0.000014. 1.5177. 1.9136. 2.1886. k=0.8. 0.000026. 2.6981. 3.4020. 3.8908. 0.000040. 4.2158. 5.3156. 6.0794. TE. IO. k=1. CA. onda\tiempo. DE. Tabla 12 Valores dela suma de viscosidades 2k ^2(. Nº onda\tiempo. BL. T=0. T=1. T=2. T=3. k=0.2. 0.00000. -0.1686. -0.4252. -0.7296. BI. Tabla 13. Valores de la suma de viscosidades en función del tiempo - 2k ^2(. k=0.4. 0.00000. -0.6745. -1.7010. -2.9181. k=0.6. 0.00000. -1.5177. -3.8272. -6.5058. k=0.8. 0.00000. -2.6981. -6.8040. -11.6724. k=1. 0.00000. -4.2158. -10.6312. -18.2382. T. )t. 45 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(46) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación. con estos datos tenemos, la contribución neutral debido a efectos mecánicos. Tabla 14. Valores de los efectos mecánicos Exp(Bt) T=0. T=1. T=2. T=3. k=0.2. 1. 0.8448. 0.6517. 0.4821. k=0.4. 1. 0.5094. 0.1825. 0.0540. k=0.6. 1. 0.2192. 0.0218. 0.0015. k=0.8. 1. 0.0673. 0.0011. 0.000009. k=1. 1. 0.0148. 0.00002. 0.00000001. SG. RA DO. Nº onda\tiempo. k=0.2. 0. k=0.4. 0. k=0.6. 0. k=0.8. 0. k=1. 0. T=1. T=2. T=3. 0.6865. 1.7319. 2.5763. 0.6680. 1.2520. 1.4473. 0.5453. 0.7685. 0.7844. 0.4062. 0.4893. 0.4899. 0.3012. 0.3394. 0.3394. DE. T. CA. Nº onda\tiempo. PO. Tabla 15.Contribucción Convectiva: efectos termales y mecánicos. TE. Tabla 16. Finalmente la Energía Total T=0. T=1. T=2. T=3. K=0.2. 1. 1.5313. 2.3836. 3.0584. K=0.4. 1. 1.1774. 1.4345. 1.5013. K=0.6. 1. 0.7645. 0.7903. 0.7859. K=0.8. 1. 0.4735. 0.4904. 0.4899. 1. 1. 0.3160. 0.3394. 0.3394. BI. BL. IO. Nº onda\tiempo. Programas: graficas del comportamiento de la energía en la capa. neutral, en la capa convectiva y de la energía total. 46 Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

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