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Análisis y aplicación del método de la función de la energía transitoria a la solución del problema de estabilidad de sistemas eléctricos de potencia

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(1)

UNIVERSIDAD AUTONOMA DE NUEVO LEON

FACULTAD DE INGENIERIA MECANICA

Y ELECTRICA

DIVISION DE ESTUDIOS SUPERIORES

ANALISIS Y APLICACION DEL METODO DE IA

FUNCION DE LA ENERGIA TRANSITORIA

A LA SOLUCION DEL PROBLEMA DE

ESTABILIDAD DE SISTEMAS ELECTRICOS

DE POTENCIA

T E S I S

QUE PARA OBTENER EL GRADO DE;

MAESTRO EN CIENCIAS EN INGENIERIA

ELECTRICA ESPEOALIDAD POTENCIA

PRESENTA

MIGUEL ANGEL MELENDEZ SANDIT

(2)
(3)
(4)

f a c u l t a d de : l g ' : n l -

\ Ä A

m e o . m c a

V ELECTRÍCA

DIVISION Lí I : ELS VPERI JRIS

ANAUSTE Y m i C A Ü I O S BE: METODO DE LA

. FUNCION

Ä I A.

W m m m Ê

TRANSITARIA

Ä LA SOLI; CIO DIL PR CELEIS A DE

e s t a b i l i d a d

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e l é c t r i c o s

D E P O T L U O i A

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Q U E PI.RA OBTE

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F . GRADO L í

MAESTRO EI

: C J I O O A E E L '

INGENIERIA

T T J D A E POTENCIA

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ECTRJCA ESEL

F R E E - I T T L

MIGUEL ANO: ; MELOKDI2 SANO

MONTERREY. N

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•A?

(5)
(6)

• La E d u c a c i ó n es aouello oue ctued? una vez <aue se ha o l v i d a d o lo nue se aprendió' en la escuela»

Albert Einstein

(7)

A G R A D E C I M I E N T O S

Q u i e r o expresar »i a a s sincero a g r a d e c i m i e n t o al Doctor F l o r e n c i o A b o w t e s por su v a l i o s a asesoría en el t r a n s c u r s o de este traba.io»

A los m a e s t r o s de la E s c u e l a de G r a d u a d o s de F»I»M.E»> »uw e s p e c i a l » e n t e a los I n g e n i e r o s Juan Hanuel Ricaño Casti1 lo y A l b e r t o Roffe Samanieáo» por su asesoría al p r i n c i p i o w al final de este trabajo respectivamente»

A »i cuñado Victor Hanuel Veda F l o r e s por su áran ayuda en la el abo rae i o'n de esta tes i s « en la recopil acidn de inf ormacio'n p a r a llevarla a cabo•

A ni compadre* el Ingeniero H u m b e r t o S a l i n a s B a r r e r a por s u s v a l i o s a s o p i n i o n e s u por sus c o n s e j o s acerca de este trabajo» asi CORO por su awuda en el proceso de val idación de los p r o g r a m a s de computadora afluí presentados»

(8)

D E D I C A T O R I A

(9)

INDICE

INTRODUCCION

C A P I T U L O I» Model seion del S i s t e m a E l é c t r i c o de P o t e n c i a

1 » ! C a r a c t e r í s t i c a s del M o d e l o C1 a'sico »

1*2 Modelo Cle'sico del Sistema una m a o u i n a - b u s infinito»

1*3 Modelo Clásico del Sistema Multimáauina»

CAPITULO II» Me'todos D i r e c t o s p a r a el Estabilidad»

A n á l i s i s de

2» 1 Método de A r e a s Iguales» 2 » 2 Método del P l a n o de Fase» 2 • 3 Método de la Función de la

E n e r s í a Transitoria»

2»4 F o r m u l a c i ó n General del M»F»E»T»

C A P I T U L O III» A p l i c a c i ó n del Ne'todo de la F u n c i ó n de la E n e r g í a Transitoria al caso M u í t i m ^ a u i n a •

3 » 1

3.2

3» 3

3 »4 3>¿

la E n e r g i a F u n c i ó n de

Transi toria

F o r m u l a c i ó n del Centro de Ine re i a »

C a l c u l o de los P u n t o s E o u i l i b r i o de Postfalla*

Reducción de la M a t r i z TBUS» F o r m u l a c i o n del Método»

de

CAPITULO IV» Paouete Energi a

de P r o g r a m a s Transitoria»

de A n a l i s i s de PAG » 3 8 10 11 19 22 22 30 3? 4 ¿ 4 7 48 53 60 70 71 72

4*1 D e s c r i p c i ó n del Paouete » 4 »2 P r o g r a m a FU/CAR »

4 » 3 P r o g r a m a ESTABI» 4 » 4 P r o g r a m a SOLESTABI» 4 . 5 Programa YBUSFET» 4 »6 P r o g r a m a FET»

(10)

CAPITULO V» V a l i d a c i ó n del M »F »E » T > 90

S»1 D e f i n i c i ó n de la M e t o d o l o g í a de 90 v a l i d a c i o n >

5 » 2 Análisis del s i s t e m a de tres 92 sene radores•

5 » 3 Anal isis del S i s t e m a Norte- 109 Noreste de LA C . F » E

3»4 Margen de E n e r g í a Transitoria» 121 CAPITULO VI» C o n c l u s i o n e s y R e c o m e n d a c i o n e s para 125

Trabajos F u t u r o s »

BIBLIOGRAFIA» 1 3 1

(11)

INTRODUCCION

Importancia del Análisis del Comportamiento Dinamico de los Sistemas Eléctricos de Potencia*

El objetivo fundamental en la planeacicín» diseno v operacion de sistemas ele'tricos de potencia es asegurar un servicio confiable a los usuarios de la energía electrice» Un aspecto importante en el ana'l i si s de confiabilidad de un sistema ele'ctrico de potencia <S»E»P»> es determinar si el sistema es capaz de recuperar la condición de eauilibrio una vez QUI ha sido sometido a perturbaciones tales como pe'rdida de generación» fallas» disparos de líneas de transmisión» etc»» El analisis dinamico de estos eventos tiene un alto grado de complejidad debido a la gran cantidad de elementos del S»E»P» aue afectan su funcionamiento w aue deben modelarse a la hora de hacer un estudio dinamico» ademas de aue» en su mejoría» dichos modelos son típicamente no lineales»

Bescripcio'n del Problema de Estabilidad Transitoria»

Una parte importante del ana'lisis del comportamiento dinamico de un S»E»P Io consti tu»e el Analisis de Sincronismo » Este ana'lisis tiene por objetivo determinar si despues de ocurrido un disturbio en el S » E »P• este es capaz de recuperar 1 a condicion de sincronismo o no» Se dice aue en un S»E»P» existe la condicion de sincronismo cuando los rotores de los generadores síncronos giran a la misma velocidad guardando una posicio'n angular fi.ja entre si» Sin embargo» al existir un disturbio aue altere la transferencia de energía entre los generadores v el resto del sistema los rotores tienden a cambiar su velocidad y a tener posiciones angulares variables lo cual puede llegar a causar la pe'rdida de sí nerón i sato entre 1 os generadores» Si el sistema recupera la condicion de sincronismo una vez eliminado el disturbio» se dice aue es estable» Si no» se dice aue es inestable»

(12)

M é t o d o s de Solucion »1 Problema de Estabilidad Transitoria»

En general» los métodos de solucion al problema de estabilidad transitoria pueden agruparse en dos tipos aue sonl Me'todos de Simulación » Me'todos Di rectos»

Me'todos de Simulación»

E s t o s me'todos d e t e r m i n a n la e s t a b i l i d a d del S»E»P» s o l u c i o n a n d o las e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s aue forman el modele dinámico del sistemar e i n t e r p r e t a n d o el c o m p o r t a m i e n t o en el tiempo de las v a r i a b l e s del sistema aue se obtiene al solucionar dichas ecuaciones» La forma mas común de solucionar las e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s del S»E»P» es utilizar técnicas de Integración nume*rlea en la computadora digital •

M é t o d o s Directos»

Estos m é t o d o s determinan si el S»E»P» es estable o no» sin solucionar ^e1 s i s t e m a de e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s aue forman su modelo dinámico»

(13)

El Método de la Función de la Energía Transitoria»

Cuando ocurre un disturbio en el S»E»P» tal c o m o una falla» disparo de generación» etc» ocurre un desbalance entre la e n e r g í a aue aportan los g e n e r a d o r e s al sistema y la oue el si stema absorbe» Este desbalanee provoca un c a m b i o en la energía cinética de los rotores oue si rebasa c i e r t o s límites puede causar la pe'rdida de sinc ron i sao de los generadores» El Método de la Función de la Energía Transitoria <M»F»E»T») es un me'todo d i r e c t o oue determina si el S»E»P» es estable o no c a l c u l a n d o p r i m e r o el valor de la energía aue causa la s e p a r a c i ó n del sistema m e d i a n t e una función conocida como la Funcioli de la Energía Transitoria y c o m p a r á n d o l o luego con el valor límite oue dicha e n e r á i s puede tener para aue n o existe peVdida de sincronismo» el cual se calcula también con la f u n c i ó n a n t e s menc ionada» Este mrftodo u t i l i z a un m o d e l o s i m p l i f i c a d o del S»E»P» c o n o c i d o como Modelo Clasico» el cual es a m p l i a m e n t e usado en estudios de estabilidad transitoria»

.Ademas de las ventajas p r o p i a s de los m é t o d o s di rectos» este m é t o d o presenta resultados muy a p r o x i m a d o s a los aue da el método de simulación» y permite tener una i n t e r p r e t a c i ó n oue hace s e n c i l l a su aplicación incluso en el c a s o muítimaauina» Su a p l i c a d o ? ) se reduce a la p r i m e r a oscl 1 aclo'n del S»E»P» despue"s de o c u r r i d o el disturbio» ya aue p a r a t i e m p o s m a y o r e s de e s t u d i o se c o m p l i c a mucho al tener aue u t i l i z a r s e m o d e l o s del s i s t e m a ma's c o m p l e t o s aue incluyan el efecto de los c o n t r o l e s de voltaje» frecuencia» ete»

Resefta H i s t ó r i c a del Método»

El primer trabajo aue se reporta sobre el M » F » E » T fue p u b l i c a d o en 1947 por M a g n u s s o n <25)» En 1958» P» B» Aylett <21) desarrollo' por prime ra vez la Funcio'n de 1» E n e r g í a T r a n s i t o r i a para s i s t e m a s muí timaauina» Posteriormente» a partir de los trabajos p u b l i c a d o s por G l e s s <10) y El-Abiad

(14)

A partir de 1975 (20)» se introdujo un cambio conceptual ¿»portante en la d e t e r m i n a c i ó n del límite de estabilidad dado por el M»F»E»T»f al c o n s i d e r a r s e la localización del d i s t u r b i o eléctrico como factor determinante p a r a establecer dicho limite*

I n v e s t i g a c i o n e s p o s t e r i o r e s u t i l i z a n d o este concepto han reportado buenos resultados C1»16»17»23)» w a partir de e n t o n c e s este » ¿ t o d o ha dejado de ser tratado d e s d e un p u n t o de vista e s t r i c t a m e n t e m a t e m á t i c o para tomar en cuenta con mauor importancia el sentido físico del p r o b l e m a de estabilidad» siendo ¿sta la dirección en la aue van e n c a m i n a d a s las i n v e s t i g a c i o n e s actuales sobre e'l»

Descripción de la Tesis»

En el primer c a p i t u l o de la tesis se presenta la m o d e l a c i ó n ¿ e n e r a ! del 8»E»P» para e s t u d i o s de estabilidad v p o s t e r i o r m e n t e se desarrolla el modelo c o n o c i d o como clasico» el cual se utiliza a lo lardo de esta tesis»

En el segundo c a p i t u l o se p r e s e n t a la aplicación ^ de los Mtftodos Di rectos de A r e a s I g u a l e s w P l a n o de Fase al ana'lisis de estabi1 idad de un sistema formado por una m b o u i n a c o n e c t a d a a un bus infinito con el fin de validar la aplicación posterior del M»F»£»T» a d i c h o sistema» Ademas se presenta una f o r m u l a c i ó n deneral del H»F»E»T» la cual es aplicable también al c a s o multimaouina»

En el tercer capitulo se presenta el Ana'lisis de E s t a b i l i d a d de S i s t e m a s Multimaciuina u t i l i z a n d o el M»F»E*T» asi como el algoritmo basado en dicho me'todo aue fue e m p l e a d o para su validacio'n en la computadora digital»

En el cuarto capitulo se describe el p a o u e t e de p r o d r a m a s de .computadora aue fue d e s a r r o l l a d o para validar la aplieación del H»F»£»T» en sistemas muítimsQuins»

En el ouinto capítulo se presenta la aplicación del H»F.E» T» a dos sistemas de potencia» el sistema de t r e s g e n e r a d o r e s deseri to en (22) y el sistema Ñ o r t e - N o r e s t e de la Comisión Federal de Electricidad « se valida dicha a p l i c a c i ó n u t i l i z a n d o también el Ne"todo de S i m u l a c i ó n en estos sistemas»

(15)

C o n t r i b u c i o n e s de la Tesis»

L e s c o n t r i b u c i o n e s p r i n c i p a l e s de este trabajo se p u e d e n resumir de 1» siguiente format

1» Presentar en una forma clara los p r i n c i p i o s b á s i c o s del M » F » E » T ,

2» Obtener una f ormul acio'n del M»F»E»T» sue reúna las m e j o r e s c a r a c t e r í s t i c a s de los m é t o d o s e x i s t e n t e s eue se reportan en la literatura»

3» A p l i c a r el M»F»E»T» a un sistema de potencia real» en este caso el sistema N o r t e - N o r e s t e de la C»F»E» y comparar sus resultados con los oue da el m é t o d o de simulación»

A. Presentar ideas para aplicar el A n á f i s i s de Seguridad de Sistemas de

(16)

CAPITULO I

M o d e l a c i ó n del Sistema E l é c t r i c o de P o t e n c i a

Un factor importante en el e s t u d i o d i n á m i c o del. Sistema Eléctrico de Potencia (S»E»P»> es el m o d e l o aue de el se utilize» ya aue de ello depende en g r a n parte aue el resultado del estudio sea lo m a s ce reano posible a la real idad• Al hace r un estudio dinámico» la complejidad del modelo e m p l e a d o va en función del tiempo aue comprende d i c h o estudio» En la fig» <1»1> se muestran los e l e m e n t o s del S»E»P» c u y o s m o d e l o s se incluyen en un e s t u d i o de e s t a b i l i d a d t r a n s i t o r i a •

Ls aplicacio'n del Método de la F u n c i ó n de la Energía Transitoria solo es ve'lida para analizar lo aue sucede durante la primera o s c i l a c i ó n del sistema una vez aue e"ste ha sido sometido a un disturbio»lo aue se conoce como análisis de estabilidad transitoria de primera oscilación» Un m o d e l o p a r t i c u l a r m e n t e útil para este tipo de estudio es el llamado Modelo C l a s i c o del S»E»P»> el cual es simple de obtener y s u s resultados son muw próximos a los del m o d e l o e x a c t o de la fig» <1»1) durante la p r i m e r a oscilación del sistema» por lo aue ha sido e x t e n s a m e n t e usado en e s t u d i o s de p e r d i d a de s i n c r o n i s m o s e g u n . s e reporta en la literatura» D e b i d o a las c a r a c t e r í s t i c a s antes mencionadas» el Modelo C l a s i c o sera u t i l i z a d o en la aplicación del Método de la F u n c i ó n de la E n e r g í a Transitoria»

(17)

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(18)

1*1 C a r a c t e r í s t i c a s del Modelo Clasico»

P a r a o b t e n e r el Modelo C l a s i c o del S»E»F» se hacen las s i g u i e n t e s c o n s i d e r a c i o n e s (22) »

1» La potencia mecanice alimentada a la m a a u i n a síncrona es constante durante el p e r í o d o de estudio»

2» El a m o r t i g u a m i e n t o o potencia asíncroña de la maauina es despreciable»

3» La Bsaulna síncrona se representa e l é c t r i c a m e n t e por una fuente de voltaje de magnitud constante en serie con su reactancia transitoria»

4» El a?>gulo de posicion m e c a n i c e del rotor coincide con el añdulo de voltaje de la fuente con aue se representa e l e c t r i e á m e n t e la maauina»

S» Las c a r d a s del S»E»P» se representan por impedancias constantes»

(19)

PARE" 11

1*2 El M o d e l o Clasico del S i s t e m a una M a o u i n e - B u s Infinito

Un s i s t e m a mu« útil para revisar los c o n c e p t o s de e s t a b i l i d a d del S »E»P * es el sistema formado por una maauina síncrona conectada a un bus infinito» el cual es una fuente de voltaje y frecuencia constantes» En la practica» el b u s infinito generalmente representa a un sistema de potencia de c a p a c i d a d grande en c o m p a r a c i ó n a la maauina» c a p a z de mantener el voltaje la frecuencia c o n s t a n t e s en el b u s para cualauier c o n d l c i o n de operacioñ» En el p r e s e n t e trabajo» dicho s i s t e m a sera' anal izado a detalle p a r a mostrar los c o n c e p t o s b á s i c o s del me'todo de la función de la e n e r g í a transitoria los cuales serafr e x t e n d i d o s p o s t e r i o r m e n t e al c a s o multlmaauina»

El o b j e t i v o de un estudio de estabilidad transi tori a es saber si para un disturbio dado en el S»E»P* existe pe'rdida de s i n c r o n i s m o o no» Una forma de lograr lo anterior es conocer el c o m p o r t a m i e n t o d i n á m i c o del ángulo de posicion e l é c t r i c a del rotor de la m a a u i n a síncrona» referido a un eJe aue g i r a a la velocidad sincrónica (19)»

(20)

1»2»1 Ecuación de Oscilación»

De acuerdo con las leyes de la mecanice clasica» la ecuación aue gobierna el movimiento del rotor de la maquina síncrona <24) es

2 2

Ta « J <d 9m / dt ) (1»1)

Ta " par neto de aceleración apiicado en n-m

2

J = momento de inercia del rotor en kg-m

9m * ángulo de posicion mecanice del rotor en radianes

El ángulo de posicion electrice del rotor Oe se relaciona con Om por la ecuacio'n

»e « 60 f / r.p.i <1»2)

f * frecuencia nominal de la maauina síncrona en hz.

r»p»m» = velocidad nominal de la maauina en revoluciones por minuto»

El ángulo Oe da la posicion electrica absoluta del rotor de la maauina síncrona» por lo aue es necesario referirlo a un eJe aue se mueva a la velocidad sincrónica» con el fin de saber en un momento dado si existe pe'rdida de sincronismo en base al valor de dicho ángulo» Asi» se define

S - ©e - Ws t (1»3)

Ws ® velocidad sincrónica en radianes/seg»

t s tiempo en segundos»

S * ángulo electrico referido a un eJe aue gira a la velocidad sincrónica en rad/seg»

sustituyendo <1»3) y (1.2) en (1.1) y desarrollando?

2 2

(21)

C o n el fin de evitar el m a n e j o de u n i d a d e s es c o n v e n i e n t e expresar el par en el sistema por unidad <p»u»)» Para ello» el par b a s e est

6

Tbase • 8b 10 / Ws <1»5)

d o n d e

8b M potencia base en sva»

Tbase * par base en n-m

el par acelerante en p»u» esta d a d o por

Ta - Ta / Tbase (1»6>

2 2

Ta «

<2

H /

W s ) < d S/dt >

<1*7)

d o n d e

2 - 6

H - C1/2) J Ws 10 / Sb (1»8)

H es conocida c o m o la c o n s t a n t e de inercia de la m a a u i n a s í n c r o n a y se define como su e n e r g í a c i n é t i c a a la v e l o c i d a d nominal en m w - s e g / m v a

La a c e l e r a c i ó n o d e s a c e l e r a c i ó n de la m a a u i n a con respecto a la velocidad sincrónica se debe a un d e s b a l a n c e entre el par m e c á n i c o a p l i c a d o en el rotor por la turbina o p r i m o - m o t o r y el par e l e c t r i c o debido a la carga conectada» D e s p r e c i a n d o las pe'rdides y el amortiguamiento» el par de aceleración de la m a a u i n a es

Ta * Tm - Te <1.9)

d o n d e

Ta • par de aceleración en p»u»

Tm « par meca'nico en p»u»

Te « par electrico en p»u» s u s t i t u y e n d o <1»9) en <1»7)

2 2

(22)

U n e f o r m a as s c o n v e n i e n t e de e x p r e s a r la ec»(I»10> es h a c e r l o en f u n c i ó n de la p o t e n c i a a c e l e r a n t e w no del par» L a

P Òt e n e l a e s d a d a por

d o n d e

P • p o t e n c i a en watts»

T « par en n t - m

W « v e l o c i d a d en radianes/sed»

D a d o oue la v e l o c i d a d a n s u l a r no s u f r e c a m b i o s s i g n i f i c a t i v o s con respecto a la v e l o c i d a d s i n c r ó n i c a (velocidad base)* en el s i s t e m a p»u»

P T W <1»11 )

W - « / Ws » 1

(1.12)

por lo t a n t o

P « T p »u » ( 1 » 1 3 )

s u s t i t u y e n d o ( 1 » 1 3 ) en ( 1 » 1 0 )

2

M d S / dt

2

- Pe Pe ( 1 » 1 4 )

d o n d e

« » 2 H / U s

P» = p o t e n c i a m e c a n i c e en p»u»

Pe • p o t e n c i a e l e t t r i c a en P»U»

(23)

P A G E is

L a e c u a c i ó n < 1 * 1 4 ) e s c o n o c i d a c o a o e c u a c i ó n de oscilacio'n de la » a o u l n a síncrona» P a r a e s t u d i o s d e e s t a b i l i d a d t r a n s i t o r i a d e p r i m e r a o s c i l a c i ó n » la p o t e n c i a » « c a n i c a se s u p o n e c o n s t a n t e » su v a l o r e s d a d o p o r

Í 0 - )

P» - Pe < 1 » 1 6 )

d o n d e

P e • p o t e n c i a e l e t t r i c a u n i n s t a n t e a n t e s del d i s t u r b i o

(24)

P A G E : 1 6

1.2.2 E c u a c i ó n del FI'uJo de Potencia»

En la fia» <1»2) se « u e s t r a el d i a g r a a a unifiliar de un S»E»P» foreado por una »a'euina c o n e c t a d a a un bus infinito» asi coito su c i r c u i t o eauivalente» De la fig» <1»2) <c)»

11

12

d o n d e

rii * rii < en

Y Ì 2 » 7*21

r n

Y 2 1

Y12

Y22

< 1/ZA > + (1/ZB>

Y12 < «12 »

-(1/ZB)

Y22 « Y22 < « 2 2 < 1/ZB) + < 1 / Z C )

(1»17)

<1»18)

<1»1?)

<1»20)

La p o t e n c i a inyectada en el n o d o 1 (potencia entregada por la e a ó u i n a s í n c r o n a ) es»

Pe Re CE II 3 <1»21 )

Pe » E Yll c o s < e i l ) + E V Y12 c o s < « 1 2 - S )

s e a n

<1.22)

Pe - E Yll e o s < 0 1 1 ) < 1 . 2 3 )

B « « 1 2 - IT / 2 <1.24)

Peftax « E V Y12 <1.25)

s u s t i t u y e n d o <1»23>» (1.24) y (1»25) en <1.22)

Pe « Pe 4 Peaax s e n ( S - B ) < 1 » 2 6 )

(25)

n

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Víp'

V - VOLTAJE DEL BUS

1W FINITO

TL-IMPEDANCIA DE

__ LA

LINEA

Z T - l M P E D A N C f A D E L

__ transformador

ZC - I M P E D A N C I A DE L A C A R 6 A

Zi = ¿X'd

Za-Zc

Z3 = ZL

© A ®

í i t ! — r a •

T *

CC)

7A = ?iZa + ZaZ3+Z>Z3 _ Z*

1 3

2 B = Z*

Z A

Zc = Zx

Zi

F I B - i . 2 S I S T E M A DE U N A M A Q U I N A - B U S I N F I N I T O

(A)

"DIAGRAMA UN'FILIAR

(26)

o O <

-r < LT)

UJ

a

(27)

z-PAOC 19

1»3 M o d e l o C l a s i c o del S i s t e m a

El Modelo Clasico para el sera' ahora g e n e r a l i z a d o para

<1»4>» Para e l l o se harén las tuvieron al deducir el modelo

Muítimaauina»

s i s t e m a una mactuina-bus infinito 1 s i s t e m a m u l t i m a o u l n a de la fig»

m i s m a s c o n s i d e r a c i o n e s eue se el s i s t e m a anterior»

1*3*1 E c u a c i ó n de O s c i l a c i ó n

La ecuación de o s c i l a c i ó n p a r a c a d a maouina del S»E»P» de la fig» (1.4) es ana'loáa al de un sistema una m a q u i n a - b u s infinito» es decir

2 2

Mi (d Si /dt > * Pmi - Pei i - 1» ... n (1.27)

La potencia m e c a n i c e de la m a o u i n a i es igual a la p o t e n c i a e l e & t r i c a un instante ante del d i s t u r b i o

<0->

Pmi - Pei 1 * 1 » ... n (1,28)

En el s i s t e m a una m a o u i n a - b u s infinito» el ángulo en el bus infinito se tomo como referencia h se SUPUSO en un valor de 0

grados» oando el ángulo S de la maouina en este caso 1 a d i f e r e n c i a angular entre la m a o u i n a » el b u s infinito» En el s i s t e m a muítimaouina» existen d o s p o s i b i l i d a d e s para elegir una

(28)

z

í

g S

Ö S

Ol,-H

O

<

£ LU

t— ifl

m

zr

(29)

1»3*2 E c u a c i ó n de F l u J o de Potencia»

En «I c a s o da un 8*E»P muí tlmaciulne» la e c u a c i ó n matricial de la lew de Oh» aplicada a la red es

I « r V Í1.29)

I • vector de c o r r i e n t e s n o d a l e s

Y • m a t r i z de a d m i t a n c i a s de la red

V • vector de v o l t a j e s n o d a l e s

La p o t e n c i a eléctrica e n t r e g a d a por la mrfoulna i e s

*

Peí « Re < El II > 1 - 1 » ... n Cl»30>

E n e s t u d i o s de Estabilidad Transitoria aplicando M é t o d o s Di rectos» e s frecuente usar la m a t r i z de a d m i t a n c i a s reducida a los n o d o s de ¿eneracioít» En e s t o s casos» la ec» <1»30) p u e d e e x p r e s a r s e como

n

Pei - <CiJ sen SiJ + DiJ eos S i J ) (1.31) J«1

1*1• ••»» n d o n d e

SiJ - Si - SJ

C U » El EJ B U

DiJ * El EJ G U

T U * GiJ + B1J

» admitancia e q u i v a l e n t e e n t r e el nodo i v el n o d o J

(30)

C A P I T U L O II

M é t o d o « D i r e c t o s p a r e el Ana'llsls de E s t a b i l i d a d »

£1 m o d e l o del S»E»P» u t i l i z a d o p a r a e s t u d i o s de e s t a b i l i d a d t r a n s i t o r i a e s un m o d e l o n o lineal• E s por e l l o aue el m é t o d o » a s u s a d o p a r a resolver el p r o b l e m a de e s t a b i l i d a d e s el de i n t e g r a r las e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s del m o d e l o con el fin de o b t e n e r la respuesta en el t i e m p o del a'nsulo 3 * de e s t a forma s a b e r si el S»E»P» e s e s t a b l e o no* sin embargo» e x i s t e n t a m b i é n M é t o d o s 01 rectos c u y o o b j e t i v o e s d e t e r m i n a r e s t o sin necesidad de c o n o c e r el c o m p o r t a m i e n t o en el tiempo de d i c h o aftgulo»

En e s t e c a p i t u l o se a n a l i z a n p r i m e r a m e n t e d o s m é t o d o s directos» el M é t o d o de A r e a s I g u a l e s w el M é t o d o del Plano de Fase» con el fin de m o s t r a r c o n c e p t o s b á s i c o s p a r a d e s a r r o l l a r el M é t o d o de la F u n c i ó n de la E n e r g í a T r a n s i t o r i a

<M»F*£»T»)p el cual se p r e s e n t a p o s t e r i o r m e n t e a p l i c a d o al s i s t e m a una m a a u i n a - b u s infinito» Finalmente» se p r e s e n t a u n a f o r m u l a c i d h general del M»F»E»T» la cual e s a p l i c a b l e t a m b i é n al c a s o m u l t i m a o u i n a »

2*1 M é t o d o de A r e a s Iguales»

Este es» sin duda» el m é t o d o d i r e c t o m a s u s a d o p a r a e s t u d i o s de e s t a b i l i d a d t r a n s i t o r i a » A u n o u e su ap 1 icacio'n se limita a s i s t e m a s f o r m a d o s por una m a ó u l n a c o n e c t a d a a un b u s i n f i n i t o o por d o s maaulnas» p e r m i t e el ana'lisis de una gran c a n t i d a d de c a s o s p o s i b l e s y e s s e n c i l l o de aplicarse»

(31)

Con el fin de t i M l i f i e a r el analisls» se considerara desconectada la carga local w se d e s p r e c i a r a n las c o n d u c t a n c i a s del circuito» Un diagrama unifiliar de este sistema s i m p l i f i c a d o y su ci rcuito eauivalente aparecen en la f ig.

<2»1)» Asi» la ecuacióh de fluJo de potencia oueda como

Pe - <V E / X ) sen 8 » Pemax sen 8 (2,1)

d o n d e

X » reactancia e a u l v a l e n t e del sistema en p»u»

En la fig» (2»2) aparece t r a f i c a d a Pe en función de S» de acuerdo a la ec» (2»1)» donde Pm e s la potencia m e c a n i c e alimentada a la maouina por la turbina o primomotor» la cual» despreciando pe'rdides» es igual a la potencia e l e c t r i c e entregada por la maouina al resto del sistema (7)»

2 2

« d 8 / dt - Pm - Pemax sen S

de acuerdo a su d e f i n i c i ó n

dS / dt - Ut - W s - U

donde

<2»2)

<2 » 3)

Ut • velocidad angular en un tiempo t en rad/seg» Us • velocidad sincronica en rad/seg»

U " velocidad referida • la sincrónica en rad/seg»

e n t o n c e s

2 2

(32)

fiVtf

( A Ì

X

-orrrn-*PE

vzp'

(B)

F l E - a . i S I S T E M A UNA MAGU/NA-BU5 INFINITO

(33)
(34)

S u s t i t u w s n d o Is ec» (2*1) en Is ec» < 1 » 1 4 )

s u s t . <2»4) en C2»2)

M dW / dt * P» - Peaax sen S

d i v i d i e n d o <2»S) entre C2»3)

M dit / dt P» - Peaax sen S

d S / dt W

M W dtf - <P» - Peaax sen S ) dS

integrando

<2*7)

<2 * S )

<2*6)

<2*7)

M V dW • CP» - Peaax sen S ) d S S

<2.8)

donde s

S « valor de S un instante a n t e s del disturbio»

El líaite inferior de la integral de W dW en la ec» <2»8> es 0 wa oue la velocidad inicial de la aeáuina e s la velocidad s i n c r ó n i c a fals» Asi» de la ec» (2»3)

s

W * Ws - «s » O <2. *9)

2

M U / 2

o b i e n

AEc

<P» - Peftax sen S ) d S

S

(2 » 1 0 )

/•s

Pa dS <2.11>

s

(35)

2»1»1 A p l i c a c i ó n al s i s t e m a una m a a u i n a - b u s infinito

A c o n t i n u a c i ó n se supone una falla trifasica en el p u n t o f de la fig» (2*1)» la cual se libera d e s p u e s de t segundos» Desde el momento en aue ocurre la falla hasta sue se libera

V * 0 (2 » 12 > Pe * 0 (2 » 13)

Entonces» no existe un par e l é c t r i c o aue se oponga al par mecánico aue entrega la turbina de la maauina « el rotor de esta tiende a acelerarse al aumentar su energia cinetica» Al liberar la falla» V se recupera u vuelve a existir el par e l é c t r i c o p r o p o r c i o n a d o por la carga» p r o v o c a n d o aue la maauina se desacelere» Si el exceso de energia cinetica en el rotor c a u s a d o por la falla al liberarse esta se convierte en e n e r g i a e l e c t r i c e v puede ser absorbido c o m p l e t a m e n t e por la red» el s i s t e m a es estable» De no ser asi» la m a a u i n a continüa acelerándose hasta perder s i n c r o n i s m o w el sistema se hace inestable »

E n la fig» (2»3) se m u e s t r a graficamente el c o m p o r t a m i e n t o de la energ/a transitoria usando la característica P - 8 durante la p r i m e r a osci laciofi del sistema d e s p u e s de aplicada la falla» El ángulo Ss da el valor inicial de S en estado estable» Se es el ángulo de apertura de falla a Su marca el límite de e s t a b i l i d a d del sistema» wa aue a partir de él se produce un n u e v a m e n t e un par acelerante en la ma'auina aue provoca la pe'rdida de sinc ronismo »

(36)

Al A 2 <?»14)

d o n d e

f

S

Al P e dS (2»15)

u y s

A2 - Pe dS <2 »16)

8

De Is e c » ( 2 » 1 4 ) pera la condlclon c r í t i c a de estabilidad las rfreas deben ser iguales» es decir

Al A 2 <2 » 17)

Esto se conoce como c rite rio de estabi 1 idad de afeas iguales» La interpretación de la ec» <2.17) e s oue el c a m b i o total de e n e r g í a cinetica durante la p r i m e r a o s e i l a c i ó n es igual a 0» Así» de la ec» <2»12) la condicio?» c r í t i c a de estabi 1 idad es

~ u /S

Pa dS (2.18)

(37)
(38)

2 » 2 M é t o d o del Pleno de Fase»

E s t e es un me'iodo gra'fico oue p e r a l t e determinar si existe o no e s t a b i l i d a d mediante el ana'lisis de las c u r v a s del s i s t e m a en el p l a n o v e l o c i d a d - d e s p l a z a m i e n t o (W - S)» Su aplicación se limita g e n e r a l m e n t e a s i s t e m a s d i n á m i c o s de segundo « tercer orden» «a oue en sistemas de un orden superior resulta imposible visualizar gráficamente las curvas del sistema en el p l a n o de fase» Sin embargo» proporciona gran cantidad de información de los d i f e r e n t e s e s t a d o s del sistema oue se analiza y no reauiere conocer su respuesta en el tiempo»

Con el fin de obtener estas c u r v a s para el sistema analizado por el me'todo de ereas iguales en el p u n t o anterior» la ec» (2 »2) se descompone en dos e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s de primer o r d e n !

dS / dt * tí

Pm - Pemax sen S d« / dt ®

M

dividiendo (2»20J entre (2»19) e integrando

/ « sS

U dW

1

M

(Pm - Pemax sen S)dS

(2.1?)

(2 » 20 >

( 2 » 2 1 )

M u l t i p l i c a n d o la ec» (2*21) en ambos lados por (M>» nos da la ec» (2»8)» C o m p l e t a n d o la integración de la ec» (2»21) « reordenando»

W (2 / M ) CP»(S - S )

+ P e m a x ( c o s 8 - eos S )3

(2»22)

(39)

2»2»1 E s t a b i l i d a d en los P u n t o s de Eauilibrio»

En el p l a n o de fase existen p u n t o s en presenta la condicioln

dW / dt * 0

dS / d t » 0

los c u a l e s se

<2 »23)

E s t o s p u n t o s se conocen coto p u n t o s singulares» L o s p u n t o s s i n g u l a r e s son puntos de eauilibrio» w de acuerdo a la fig» (2»3) en el sistema analizado e x i s t e n d o s p u n t o s de eauilibrio» Ss y Su» Por si»etr¿a» de la fig» (2»3)

u

T - S <2 »24)

C o n el fin de hacer un anallsis de estabilidad en la vecindad de los puntos de e a u i l i b r i o (18)» se obtiene el Jscobiano de la e c u a c i o n e s de estado (2»1?) w <2»20)

I dW / d S

I

dW / dW (

I

I

» I

dW / d« í J - I

I

»

( dW / dS

d o n d e

J * Matriz Jacoblana» »

W » dW / dt

sustituyendo las e c » ( 2 » l ? ) w (2»20) en ( 2 » 2 S ) y d e s a r r o l l a n d o

(2»25)

Pemax

- cos S M

(40)

La ecuación característica para la m a t r i z Jacobiana es

det I s I - J I = 0 <2*27)

d o n d e

s * operador de Laplace

I « m a t r i z identidad

det ° determinante

s u s t i t u y e n d o la ec»<2»26> en <2»27>

s - 1

det (sí - Jl det

Pemax

e o s 8 M

* 0 < 2 » 2 6 )

s + <Pemax / H ) e o s 8 <2*29)

La ecuación <2»29> da los v a l o r e s c a r a c t e r í s t i c o s del sistema p a r a cada punto de eoullibrio»

s e a

s

S » S <2.30)

sust» (2*30) en <2»29> y resolviendo p a r a S

+ \l Pemax s

S J \| e o s S (2»31 ) -

)

M

La ec» (2.31) muestra la e x i s t e n c i a de d o s p o l o s en el eJe JW del P l a n o de Laplace» La interpretación de e*>to es oue el sistema d e s p u e s de una perturbación oueda o s c i l a n d o en torno al p u n t o Ss dentro de c i e r t o s límites en forma permanente» dado oue no existe amortiguamiento» Así» se c o n s i d e r a oue el sistema es estable p a r a Ss»

(41)

CO

( A )

I

i(0

S I

SI

CB')

F I E . Z . H PUNTO DE EQUILIBRIO ESTABLE DE POST FALLA

a } trayecto*^ en el plano de fase

(42)

se«

S « SU - ff - 8 <2»32)

De acuerdo a la ec» (2»33) existen d o s p o l o s uno en el lado d e r e c h o y otro en el lado izouierdo del p l a n o de Laplace sobre el eJe v » Esto da por c o n c l u s i ó n oue el s i s t e m a e s

inestable en Su» En la fig» <2»5) se m u e s t r a n las t r a y e c t o r i a s en el p l a n o de fase oue pasan por este punto» Es interesante

observar oue el sistema es estable p a r a las t r a y e c t o r i a s oue se oriáinan d e n t r o de la trayectoria oue atraviesa Su»la cual se conoce como separatriz» mientras oue en las t r a y e c t o r i a s oue se originan fuera el e'hgulo S tiende a crecer en forma indefinida» por lo ctue la m a q u i n a Pierde s i n c r o n i s m o y el s i s t e m a se hace

inestable» Debido a la forma de las curvas» a Su se le conoce también como punto silla de montar <saddle p o i n t ) <14)» 2 » 2 » 2 Aplicación al sistema una m a o u i n a - b u s infinito

P e r a mostrar la aplicación del p l a n o de fase a la solución del problema de estabilidad» se analizara el m i s m o c a s o de falla trifásica en el p u n t o f de la fig» (2*1) usado en el p u n t o anterior»

Para el sistema baJo falla se aplican las c o n d i c i o n e s d a d a s por la ec» <2»12)» Sustituyendo en <2»22)

2 s

(43)

G)

C A )

w

S i S i

( B )

FlG.â.5

PUH7Ö

DE EQUILIBRIO INESTABLE DE POSTFALLA

TRAYECTORIA EN EL PLANO DE FASE

(44)

U n * vez liberada la falla» la trayectoria del sistema esta dada por

2 s W - (2 / M ) CPm<8 - S )

s <2.35) + P e m a x ( c o s S - eos 8 )J * k

d o n d e

k » constante

El valor de k se calcula para el máximo d e s p l a z a m i e n t o angular oue se supone tendrá' el s i s t e m a una vez liberada la condición de falla» Dicho d e s p l a z a m i e n t o esta dado por el valor del afcgulo 8 en los p u n t o s en oue la trayectoria de p o s t f a l l a cruza el eJe horizontal del plano de fase siendo e n t o n c e s el valor de W igual a cero» Asi

cr s k » - (2/M) CPmíS - S ) +

cr s (2.36) Pemax (eos S - e o s 8 )J

cr

S » ángulo de cruce de la trayectoria en el eJe S

(45)

ó7

Ci)

FI E. TRAYECTORIAS EM EL PLANO DE

(46)

2»2»3 Interpetaciofr Física del Me'todo»

En el me'todo del pleno de feme se » M i c e temblón el concepto de Is energía transitoria» M u l t i p l i c a n d o ambos lados de la ec » (2»34) por (M/2) se obtiene la e n e r g í a cine'tice aue la m a a u i n a síncrona absorbe baJo la condicio'n de falla» m i e n t r a s aue en la ec» (2*35) cada valor de k m u l t i p l i c a d o por (M/2) da un valor de e n e r á i s eue la red puede absorber en postfalla» la cual es c a l c u l a d a con referencia al p u n t o Ss» Dado aue no existe amortiguamiento» la energía representada por (M/2)k se intercambia e n t r e la maauina w el resto del s i s t e m a c a u s a n d o una o s c i l a c i ó n permanente del ángulo 8» El valor máximo de e s t a energía para oue el sistema sea estable es el aue c o r r e s p o n d e a la curva separatriz» o sea

u s (M/2) k ' » - CPmCS - S ) +

u s (2 » 3 7 ) Pemax (eos 8 - eos S ) 3

d o n d e

(47)

2 » 3 M e t o d o de le F u n c i ó n de le E n e r g i e Transitorie»

L o s « ¿ t o d o s de afeas iguales * p l a n o de fase peralten obtener una ecuación oue proporciona la energía transitoria del sisteaa una » a a u i n a - b u s infinito de la flg» <2»1) al o c u r r i r un disturbio» Dicha ecuacidh puede obtenerse de las ec» <2»8) »

(2»21)i w se expresa en la siguiente f o r a * <10»21>

2 s s M U /2 « P » < 8 - 8 ) 4 P e a a x < c o s 8 - eos S ) <2»38)

d o n d e

s

8 » Punto de eaulibrio estable de postfalla»

Peaax » Potencia aaxiaa ciue puede trasmitir la »¿buine síncrona a la red de postfalla»

2»3»1 A p l i c a c i ó n al sisteaa una »actuina-bus infinito»

Al igual oue con los » e t o d o s a n t e r i o r e s u s a d o s en este capitulo» el M»F»E»T (Metodo de la Funclotí de la E n e r g í a T r a n s i t o r i a ) se aplicara al s i s t e a a una » ¿ » u l n a - b u s infinito de la fig» (2»1) suponiendo una falla trifasica en el p u n t o ft la cual se libera despueè de un tiespo t» De la flg» (2»7) la condì cion de estabi 1idad de acuerdo al c r i t e r i o de a f e a s igual es es »

AI < A 2

o bien

Al + AX < A2 + AX (2 » 3 ? )

(48)
(49)

El a'rea A 2 2 e s la energía maxime eue puede absorber la red de postfalla» A partir de la ec»(2»38)» es posible e n c o n t r a r el valor de las areas de la ec»(2»40)» Asi

e s e s

AX » I P» (S - S ) + Pemax (eos S - e o s S > I (2»41)

2

Al » t « «c / 2 I (2»42)

u s u s

A 2 2 « IPm ( 8 - 8 ) 4 Pemax (eos S - e o s S )l (2»43)

Ya eue interesa comparar la magnitud de 1 as áreas» es deseable asegurar oue al calcularse aauellas tengan el m i s m o signo» El área Al siempre es positiva» wa eue p a r a el d i s t u r b i o estudiado representa la energía cine'tice oue g a n a el rotor de la ma'ctuina s í n c r o n a durante la falla» L a s Areas Ax y A 2 2 son negativas» p u e s se interpretan como una energía d e s a c e l e r a n t e para la máouina» producida cuando el par eléctrico debido a la carga e s mayor oue el par mecánico alimentado al rotor» Asi» de acuerdo a lo anterior

e s e s

AX » - C P » ( 8 - 8 ) 4 Pemax (eos 8 - eos 8 )J (2»44>

2

Al « « Wc / 2 (2.45)

U S U S

A 2 2 = -CPm (S - S ) + Pemax (eos S - e o s S )J (2»4A)

lo cual asegura oue estas ares« sean s i e m p r e posi ti vas »

Sea

2 s s V • « W / 2 - Pm(S - S ) - P e m a x ( c o s S - e o s S ) (2»47)

sustituyendo en la ec» (2»40)» para oue el s i s t e m a sea estable (?)

c

(50)

D o n d e

c 2 e s

V * H Uc 7 2 - PmCS - S )

C s < 2» 4 ? )

- PemaxícoiJ S - e o s S )

u U S

-Ver « V « - C P m < S - S ) +

u s <2.50) Pemax (eos S - e o s S ) 3

De la ec»~ <2»48)» coaperando el valor de la e n e r g í a en el momento de liberar la falla con el valor de la energía crítica se puede d e t e r m i n a r estabilidad t r a n s i t o r i a . Dicha función sera' llamada de aauí* en adelante Función de la EnergiTa Transitoria»

En la fig» (2*8) se muestra la gra'fica de potencia contra ángulo p a r a analizar el caso de un s i s t e m a en el aue la red d e postfalla es diferente de la de prefalla» a d i f e r e n c i a del caso hasta ahora analizado» en oue ambas son iguales» Esto sucedería» por ejemplo» si la maquina de la fig» (2»1) estuviera conectada al b u s infinito por d o s 1íheas de transmisión» y la falla se liberara" abriendo una de ellas» ouedando la mactuina enlazada al resto del s i s t e m a a t r a v é s de una 1inea únicamente» Así» la reaetanci a eauivalente entre la maóulna y el b u s infinito aumentaría» y por lo tanto» habría u n a

disminución en el fluJo de potencia máximo oue se puede trasmitir» lo oue se manifiesta en la fig» <2»8) al tener u n a curva de p o s t f a l l a con un valor de cresta menor aue la de prefalla»

Ademas» en la fig» (2»8) se observa aue los p u n t o s de eauilibrio de postfalla no son iguales a los de prefalla» c o m o sucedía en el caso anterior» y deberarf* ser c a l c u l a d o s a s í c o m o la admitancia serie de postfalla entre el bus y la maáuina con el fin de c o n s t r u i r la fúñelo?» V y obtener el valor de Ver»

Una v e n t a j a importante del método e s oue Ia F u n c i ó n de la Energía T r a n s i t o r i a se construye e m p l e a n d o la admitancia y los puntos de e a u i l i b r i o de postfalla» Esto implica oue no se

(51)

F I B . S I S T E M A U M M A Q U l M - ß U S TNFIMITO CON R E D D E POSTFALLA D R É N T E

(52)

PREFALLA-2»3*2 I n t e r p r e t a c i ó n tfsica del Método»

La f u n c i ó n V tiene taabien un s e n t i d o físico» h» eue representa 1 a energía transítori a total del slsteaa» La interpretación de cada uno de sus te'ralnos se presenta a c o n t i n u a d tfn (1 »23)

2

M W / 2 - energía cinética del rotor de la aaouina» s

P» <S - S ) - energía potencial d e b i d a a la posición del rotor»

* ,

Peaax (eos S - eos S ) - energía M a g n é t i c a d e b i d a a la suceptancia del c i r c u i t o entre la a a o u i n a w el ous infinito»

81 se c o n s i d e r a n la c o n d u c t a n c i a s del c i r c u i t o e n t r e la aaftuina u el bus infinito» coao sucede en el s i s t e a s de la f i g » < l » 2 ) la función V tome la siguiente foraa

2 s s V - M W / 2 - P i (S - S ) - C CCos 8 - C o s 6 )

s ( 2 . 5 1 ) + D (Sen S - Sen 8 )

d o n d e

2

P1 • P i - E 011

C » V E B

B - V E G

G + J B * adaitanela e q u i v a l e n t e e n t r e la a a a u i n a síncrona w el b u s infinito»

(53)

La interpretación.física de los n u e v o s t/rmino» e s la siguiente

2

E Gil - Potencia desacelerante debida a la carea local »

s

0 (sen 8 - sen 8 > - Energía disipada por la c o n d u c t a n c i a eoulvalente entre generador w bus infinito»

(54)

2*4 F o r m u l a c i ó n G e n e r a l del H»F »E»T»

E x i s t e n n u m e r o s o s t r a b a j o s p u b l i c a d o s a c e r c a d e la a p l i c a c i ó n d e e s t e m é t o d o a la solucitfh del p r o b l e m a de e s t a b i l i d a d t r a n s i t o r i a » a l g u n o s de los c u a l e s s e m e n c i o n a n m a s a d e l a n t e en la b i b l i o g r a f f e » S i n embargo» t o d o s t i e n e n en c o m ú n un p r o c e d i m i e n t o s i s t e m á t i c o p a r a la a p l i c a c i o ñ del método» el cual se dara' a c o n t i n u a c i ó n

1» F o r m a r la m a t r i z de A d m i t a n c i a s Y B U S d e pofttfalla»

2» E n c o n t r a r el p u n t o de e e u i l i b r i o e s t a b l e de p o s t f a l l a »

3» C o n s t r u i r la f u n c i ó n d e la e n e r g f a t r a n s i t o r i a (M> u s a n d o la m a t r i z Y B U S v el p u n t o de e e u i l i b r i o e s t a b l e c a l c u l a d o s *

A- E n c o n t r a r el p u n t o de e o u i l i b r i o I n e s t a b l e de p o s t f a l l a c r i t i c o w c a l c u l a r la e n e r g í a Ver o e n e r g í a mafcima a u e p u e d e a b s o r b e r el s i s t e m a con f a l l a liberada»

5» O b t e n e r el valor de los á n g u l o s y v e l o c i d a d e s de l a s m e a u i n a s en el m o m e n t o de 1iberaciofí d e la falla» c o n el fin de c a l c u l a r el v a l o r d e V en ese instante» Si se c u m p l e la c o n d i c i ó n d a d a por la ec» (2»48>» el s i s t e m a e s estable» De lo c o n t r a r i o » e s i n e s t a b l e » *

La f o r m u l a c i ó n a n t e r i o r se p u e d e a p l i c a r fa'cllmente al s i s t e m a u n a m a a u i n a - b u s inf i ni to anal i z a d o a n t e r i o r m e n t e » E n el u l t i m o punto» a l g u n o s a u t o r e s han e m p l e a d o una s o l u c i ó n p a r e i al de las e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s del sistema» a u e c o n s i s t e e n la i n t e g r a c i ó n n u m é r i c a de e'stas d e s d e el i n i c i o de la f a l l a h a s t a el m o m e n t o en aue se libera» m i e n t r a s aue o t r o s h a n p r o p u e s t o a l g u n a s a p r o x i m a c i o n e s a la t r a a e c t o r i a del s i s t e m a b a J o f a l l a con c i e r t o é x i t o <2»23>» En n u e s t r o caso» s e O Pt o por e m p l e a r un a l g o r i t m o e f i c i e n t e de i n t e g r a c i ó n t r a p e z o i d a l d e s c r i t o en

(55)

CAPITULO III

A n á l i s i s del Método de la F u n c i ó n de le E n e r g í a Transitori a para el ceso Muítimaauina>

(56)

3*1 Función de le Enerafa Transitoria»

E x i s t e n d i v e r s a s funciones aue han sido d e s a r r o l l a d a s p a r a aplicar este m é t o d o al caso muítlmaouina» Sin embargo» la mayor parte de e l l a s p o d e m o s c l a s i f i c a r l a s de acuerdo al p r o c e d i m i e n t o "con oue han sido obtenidas en d o s tipos» los c u a l e s se

mencionaran a continuación»

-El primer tipo de función es aouel oue c o m p r e n d e las f u n c i o n e s oue han sido o b t e n i d a s usando -el p r o c e d i m i e n t o s i s t e m á t i c o desarrollado por J.L» W i l l i e m s y otros i n v e s t i g a d o r e s p a r a generar funciones a p l i c a b l e s al s e g u n d o me'todo de Lwapunov (12) y consiste en obtener p r i m e r a m e n t e la representación del sistema por medio de la e c u a c i ó n de estado» la cual es. de la forma (12)

»

X - A X - B F ( C ) (3.1)

d o n d e

V m CX (3*2) X • vector de v a r i a b l e s de estado del sistema»

Entonces» una posible función de Lyspunov p a r a e s t e s i s t e m a es

T L

fax

V ( X ) » X P X + r 2oi \ f i ( V i ) dvi (3»3) m Jo

donde

L • n ( n - l ) / 2 (3»4) n » n u m e r o de generadores»

La función V ( X ) al igual oue las a a t r i c e s A» B» C y el vector F ( 7 ) dependen de las v a r i a b l e s de e s t a d o o u e se escogen -para representar el sistema» Tiene la v e n t a j a inherente de una

(57)

El segundo tiro de función fu* desarrollada por P» 0» Awlett en <21> y •» utilizad» en (23)» El p r o c e d i m i e n t o per» obtenerla e s establecer primero las e c u a c i o n e s de aceleración relativa para cada par de generadores» m u l t i p l i c a n d o c » d s una por su correspondiente velocidad relativa e integrando la suma de las e c u a c i o n e s resultantes <9»21»23)» Esto da una función aus representa la energía .total del sistema» teniendo la ventaja da una fácil interpretación física de sus propiedades» « la d e s v e n t a j a de oue emplea la matriz de a d m i t a n c i a s YBUS reducida al n u m e r o de nodos de generación» pues reauiere conocer las a d m i t a n c i a s eauivalentes entre nodos» Esta m a t r i z e s c o m p l e t a y por lo tanto reauiere de mawores recursos de m e m o r i a para su

almacenamiento en la computadora digital»

H a c i e n d o una evaluación de las v e n t a j a s y d e s v e n t a j a s de las f u n c i o n e s generadas por ambos procedimientos» se opto'por usar la del segundo tipo • A continuación» mediante el procedimiento antes mencionado se obtendrá' la función de la energía transitoria del sistema multlmaouina»

3»1»1 D e s a r r o l l o de la Función de Energía Transitoria

Para desarrollar la Función de Energía Transitoria» se p l a n t e a r a n primeramente las ecuaciones de movimiento relativo de

los r» g e n e r a d o r e s oue integran el sistema» Asi» de la e c » < l » 2 7 )

» _

Wi « S i <3»5)

»

Mi Wi - Pmi - Pei i - 1» »»» n <3.6)

En el sistema una ma<¡Tu i na-bus infinito analizado anteriormente solo se utilizaba un» ecuación de m o v i m i e n t o rélativo de la maauine síncrona con respecto al bus infinito» tras del cual el resto del sistema se consideraba como una maoulna de inercia infinita oue gi ra a 1» velocidad s i n c r ó n i c a » En el ceso multim/ouin» existe un» ecuación de aceleración relativa para cad» par de maeuinas» E s necesario» por tanto» obtener e s t a s - e c u a c i o n e s para todas las maouinas»

Si e l e g i m o s de <3»6) la ecuación de la mrfouina p w la de la taliuina r y multiplicamos la ecuacioft de la meouina p por Mr v la de la mactuina r por MP» tendremos i

MP Mr WP • P m p . M r - P e p M r < 3 » 7 )

»

(58)

R e s t a n d o la e c » ( 3 . 8 ) a la (3»7>

MP Mr <Wp-Wr> « Pmp «P - Pep Mr

(3 »9 ) - Pmr M P + Pep M P

La ec» <3»9) da la acelepscloh relativa e n t r e las m a ó u i n a s

P « r» Si repetíaos el mismo p r o c e d i m i e n t o p a r a cada par de maauinas» o b t e n d r e m o s n < n - l ) / 2 e c u a c i o n e s de aceleración

reíativa donde n es el nuaero total de maóuinas» Sumando estas ecuaciones!

n-i n » y ? Mi MJ (WiJ) • i*i JsT7i

< 3»10 >

n-1 n_

7 " r " <P»i MJ - PmJ Mi - Pei MJ • PeJ M i ) J*i+1

donde

• » »

WiJ - Wi - WJ <3»11)

m u l t i p l i c a n d o ambos lados de (3»10) por la velocidad relativa WiJ

n-1 n_ » 2 7 X I «i WJ WiJ WiJ

-i*l J«i+1

<3,12)

n - 1 n

IT C <Pmi

MJ - PmJ M i ) - <Pei MJ - PeJ M i )

J

WIJ i=l J*i+1

integrando

r»-l n /

Z H

i = l J—i +1 )

n^l n til iJ »

Mi MJ WiJ WiJ *

0

(3 » 1 3 )

Si J

(59)

d o n d t

»

tflJ - SiJ (3*14) » • »

S U • Si - SJ <3» 15)

S U * Si - SJ (3*16)

S U • punto de eouilibrlo #ttibl« d« postfalla»

C o n t i n u a n d o

n-1 n 2

(1/2) C H J < l i l J * •

i«l J-i+1

n^l n. a (Pai HJ - P»J H 1 K 8 1 J - 81J ) <3» 1 7 )

i r + i

r

) 8

U

(Pei HJ - PeJ H i ) 8 U 3

81J

Qe la ec» (1.31) » la potencia e l e c t r i c a entregada por li laaulna i e a t » dada por

2 n

Pel - Ci Gii 4 (Cik sen Sik -f Bik cos S i k ) (3.18)

k*i

donde

Sik « Si - Sk (3.19)

Cik - Ei Ek Bik (3.20)

Bik - Ei Ek Gik (3.21)

rik « Gik 4 Bik ~ (3.22)

(60)

Gl i • suma de las c o n d u c t a n c i a s c o n e c t a d * * »1 nodo 1

sustituyendo (3.18) en (3»17> w d e s a r r o l l a n d o

n-1 n 2

V * 2T ^L

i»l

c ( 1 / 2 Ho) Mi W J < W i J

*

J'i+1

s

- (1/Mo) (Pi HJ - PJ M i ) (81J - S U > s

- C U (Cos 81J - Cos 81J >

•Si + 8J - 2 8o

(3.23)

Í

Si + SJ - Z S O s s s Si + SJ - 2 So

DíJ eos 81J d(81 + SJ - 2 8 o ) 3

donde

2

Pi « Pai - El 611 (3»24)

So - ¿ Mi 81 / Ho <3»25)

1 * 1

Mo - > MI (3»2é)

• a

La ecuación (3»23) es la función de le e n e r g í a transitoria pere el sisteme multimaauina» w cade uno de sus tefainos se puede interpretar en forme analoge a la oue se Mizo en el sistema una m a á u i n a - b u s infinito en el c a p i t u l o anterior» M a s adelante» esta función sera"transformada a las c o o r d e n a d a s del centro de inercia»

(61)

3*2 F o r m u l a c i ó n del Centro de Inercia»

D e n t r o del ana'liais de energía transitoria» un p u n t o importante e s definir los c o n c e p t o s de eouilibrlo de frecuencia u s i n c r o n i s m o del S»£»P» La formulación del centro de inercia

(C»I»> p r e s e n t a un marco de referencia adecuado para tratar dichos conceptos» ademas de aue es s e n c i l l o de e n t e n d e r e

interpretar en forma física»

3»2»1 D e f i n i c i ó n del Centro de Inercia»

U t i l i z a n d o los m i s m o s p r i n c i p i o s de la m e c á n i c a c l ó s i c a para introducir el concepto de centro de <¿)» p o d e m o s definir la posiclon enrular del centro de inercia» a la cual suele llamarse centro del añtfulo (6*23)» como

<3 »27)

n

Mo - Y " Mi <3»28)

" S

Ahora» o b t e n d r e m o s una expresión antflorfa a <1»14) para describir el c o m p o r t a m i e n t o dinamico del C»X»

• n

Mo «o - < F m i " p € l ) " P c o* < 3 . 2 9 )

i - 1 » .

Wo « So (3 » 3 0 )

(62)

Así» podemos referir les p o s i c i o n e s angulares w velocidades el centro de inercia

81 - 8o

fr, » «i - Uo

(3.31)

En la fia» (3*1) se presenta una analogía mecanice entre las c o o r d e n a d a s angulares absolutas « las del centro de inercia» donde las inercias Mí representan a las inercias de las m a a u i n a s síncronas del sistema»

De acuerdo referidas al p r o p i e d a d e s !

n

Z

1

Mi

i = l

a la definición dada en (3»27)f las centro de inercia presentan las

variables s i g u i e n t e s

n »

y Mi #1 * O (3.32)

m

n »» £ Mi 61 * O i»l

L a s e c u a c i o n e s de movimiento del sistema pueden ser obtenidas en función de las variables referidas al centro de

inercia» Sust» (3»30) en (1»27)

1*1» » » »n (3»33) Pel - (Mi/Mo) Pcoa

• /V

* Wi

(63)

-t _ cr&g-t; OO

— <

LT) C7 w ce cc -ï O UJ z •H z. S • < S O QÉ O •4. V-•z

» » i

Z O Ui O —t cC Ui o O O l/l u? -c o UI z. uJ f- Q ä s z o O o <y>

.11 3

OÍ5-— ,

(64)

3»2»2 E a u l l i b r l o de Sincronismo»

El »lftttM se dice aue este en e a u l l i b r l o s í n c r o n o si »

* 0

»» 1 • 1» »»»> n (3»34)

61 - 0

Les e c u a c i o n e s anteriores muestran aue las m a a u l n a s del sistema tienen una velocidad » una aceleración relativa n u l a s con respecto al centro de inercia» Esto s i g n i f i c a aue las m a a u l n a s guardan una poslcioh angular flJa con respecto al centro inercia» lo cual es la característica fundamental de este modo de eouilibrio» E n t o n c e s el sistema m e c á n i c a m e n t e hablando es eauivalente a un cuerpo rígido» Las e c u a c i o n e s de e o u i l i b r i o del sistema se obtienen sustituyendo (3»34) en (3»33>

A

«i m #

C3»35) (Pmi - Pei > / Ni «• Pcoa / No

E s importante observar oue el sistema puede ser acelerado dentro de un eouilibrio síncrono» siempre aue la aceleración sea la misma para todas las maaulnas del sistema»

3»2»3 E o u i l i b r i o de frecuencia»

El. sistema se dice aue esta en e a u l l i b r i o de frecuencia si » »

So * 0 (3.36)

(65)

3*2*4 Le función de le Energia Transitori» referida al centro de

Inercia

Con el fin de utilizar las coordenadas del centro de inercia dadas por la ec» (3*31)» la función V puede ser manipulada en forma algebraica w transformada en

V » 1/2 n

i«l

~ 2

«i Wi -

T

Pi <9i - • )

i»l

n - 1

S

j Í «

í

C U (Cos e u - Cos 91J > (3» 3 7 )

di + e j

O U cos e u d («i f 9 J ) 2

«i + «J

El primer tarmino de la ec* cinedica oue causa la pe'rdlda puede descomponerse en la forma

(3*37) representa la energia de sincronismo del sistema» w

n ^ 2 n 2 2 (1/2) Hi «i - (1/2) ^ Mi «i - (1/2) Ho «o (3.38)

trr

La ec» (3*38) muestra aue la energía responsable de la perdida de sincronismo es la energia cinética transitoria total menos la energía cinética oue causa la aceleración del centro de ine rei a» wa aue esta til tima no contribuye a la separación del sistema

(?)» £1 segundo termino representa la energía potencial debida a la posición de los rotores de las maauinas» el tercero la energía magnética absorbida por las suceptencias eeuivalentes entre n o d o s generadores mientras aue el cuarto es la energía disipada por las conductancias eauivalentes entre dichos nodos» La suma de los tres últimos términos de V recibe el nombre de energía potencial»

El Ultimo termino de la ec» (3»37)» el cual representa la energía disipada por las conductancias eauivalentes entre generadores o conductancias de transferencia» para ser integrado

(66)

f t i n

» »

6i - A l * + 6i • • d 01 - Al dx

s » (3•38) 6J - A Jx + 6J • » d 0J ® AJ dx

i»J * 1» »»»• n d o n d e

s Ai • 61 - 61

s

AJ • 6J - 6J 1»J - 1» »»»» n (3»39>

AiJ « A i - AJ

sustituyendo <3»39) y <3»38> en el u l t i m o t e r m i n o de (3*37)» se,obtiene el te'rmino IiJ

r.

IiJ - Ai * AJ | 01J eos C (Ai-AJ)x + 0

s s 61 - 6J > 3 dx

Ai + AJ s s I 1 IiJ « D ij B e n r (AÍ-AJ)x • 61 - 6J ) 3 I

Ai - AJ 1 0

d e s a r r o l l a n d o y sustituyendo limites s s

6i + 6J - 61 - 6J s IiJ * DiJ(sen 61J - sen 61J ) <3»40>

s 61J - 61J

s u s t i t u y e n d o <3»40> en <3»37>

n 2 n s v » 1/2 Y Mi Ui - y P1 <61 - 6 >

i»l 1»1

(3 »41)

(67)

, utiliza el termino a p r o x i m a d o IiJ para incluir ' íí?i conductancias da transferencia» Esta función V sera u t i l i z a d a durante el resto de este trabajo»

Finalmente» definiremos la función de la e n e r é i s Potencial

VP c o m o

v* - - ¿ Pi <»i - © iS) - jFf CCiJicos *1J

i-1 i-1 jíi+l

< 3 »42) a

(68)

3»3 Calculo de los Puntos de E o u i l i b r i o de Postfalla»

Los p u n t o s de eouilibrio del sistema p u e d e n obtenerse de le solución de (3»3S)» Existen varios » ¿ t o d o s pare s o l u c i o n a r estas e c u a c i o n e s <5»8»?»17»20»23) » w en n u e s t r o caso o p t a m o s por aplicar la foraulación presentada en (17)» la cual se describe a continuación»

3»3»1 C a l c u l o del p u n t o de eeullibrio estable»

Al isluel aue en el caso una m a a u l n a - b u s infinito» en el sisteme m u í t i m ó a u i n a sólo existe un p u n t o de e a u l l i b r l o estable en postfalla» Dicho punto puede ser o b t e n i d o t r a n s f o r e a n d o la ec» <3»35) a la forma

(Pal - P e i ) / Mi + C 1«1» »»» n (3.43)

D ó n d e el valor del ángulo de la m a o u i n a n es fijado a 0 (17)» El valor de C es

C ® - Pcoa / Mo (3»44)

La solucion de la ec» ángulos restantes u de C» sistema esta en eauillbrio ma'auinas sufren la misma solución»

(3»43) da los v a l o r e s de los n-1 Este p r o c e d i m i e n t o g a r a n t i z a aue el de sincronismo »a aue todas 1 as

aceleración en el p u n t o dado por la

(69)

3»3»2 C a l c u l o del punto de eouilibrio inestable»

Al o c u r r i r una perturbación en el sistema muítlmaaulna» uno o m a s g e n e r a d o r e s tienden a separarse del resto del sistema por

la pe'rdida de sincronismo» Existe un punto de e a u l l l b r i o inestable p a r a cada comblnacio'h posible de g e n e r a d o r e s aue pierden s i n c r o n i s a o » w por lo tanto un valor de e n e r g í a c r i t i c a aue puede absorber la red asociado con cada punto» Para obtener dichos puntos» haciendo una analogía con el sistema una m a a u i n a - b u s infinito (5) la ec» <3»43) se soluciona usando c o m o valor inicial de cada generador oue se supone pierde s i n c r o n i s m o el ángulo Zi» el cual esta dado por

Zi -

IT -

Si i-1»

»»» (

3

»

45)

P a r a mostrar esto» se supone aue -se desean calcular los puntos de eaulllbrio inestables de un sistema de t r e s generadores» Si el ángulo del generador 1 se toma c o m o refereneia y se supone igual a Qt las c o m b i n a c i o n e s p o s i b l e s para los v a l o r e s iniciales de las posiciones angulares de las msfaulnas 2 y 3 son

CS2» Z 3 ) <Z2» S 3 ) ÍZ2» Z 3 )

C a d a una de las combinaciones anteriores da un punto de eaulllbrio Inestable al resolver <3»43)» Repitiendo el p r o c e d i m i e n t o para un S»E»P. de cuatro g e n e r a d o r e s t e n d r e m o s

<S2» S3» Z 4 ) ( S2» Z3» S 4 ) CZ3» S3» S 4 )

CS2» 73» Z4> <Z2» S3» Z 4 ) ÍZ2» Z3» S 4 )

(Z2» Z3» Z 4 )

G e n e r a l i z a n d o el p rocedimiento» m a q u i n a s p o d e m o s decir aue existen inestables» donde

para un s i s t e m a de n k puntos de e a u i l i b r i o

<n-l)

(70)

La e n e r á i s Ver o energía potencial máxime p a r a cada p u n t o inestable se obtiene evaluando la función de energía potencial

VP coao sigue

u

Ver • V <3.47)

n u s n M n u

• - H Pi <9i - «i > - Z . Z L CCiJicos «iJ i-1 i»l J-i+1

s u - e o s »1J ) - I1J J

d o n d e

u u s s

u «i + «J - 9i - 0J u s

X i J o u Csen 9iJ - sen *iJ )3 (3.48)

u s 0iJ - 9iJ

u

9 * Punto de eouilibrio inestable.

De acuerdo a la literatura existen d o s c r i t e r i o s p a r a elegir el punto inestable critico eue define la e n e r g í a m a x i m a oue el s i s t e m a puede absorber una vez oue se libera la falla»

El prifter criterio consiste en elegir cono p u n t o inestable crítico aeuel oue de la energía miniad de p o s t f a l l a (5»8»9). Esta es u n a condicion suficiente pero no n e c e s a r i a para oue el sistema sea estable» ya ctue la trayectoria del sistema puede pasar lejos de este punto como es el caso cuando los g e n e r a d o r e s eue se supone pierden sineróni smo se e n c u e n t r a n aleJados eléctricamente del punto de falla fio eue redunda en aue se obtengan en o c a s i o n e s resultados e x t r e m a d a m e n t e c o n s e r v a d o r e s sobre todo cuando el sistema tiene mas de 4 g e n e r a d o r e s <23).

Referencias

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