INSTITUCIÓN UNIVERSITARIA COLEGIOS DE COLOMBIA Bioestadística
Profesor: Julián Andrés Tamayo Cardona
CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDAD
Introducción a la probabilidad
EJERCICIOS RESUELTOS DE PROBABILIDAD
1. Se estimó que un 30% de los estudiantes de último curso de un campus universitario estaban seriamente preocupados por sus posibilidades de encontrar trabajo, el 25% por sus notas y el 20% por ambas cosas. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante de último curso elegido al azar en el campus esté seriamente preocupado por al menos una de las dos cosas?
Del problema identificamos dos eventos
Evento A: los estudiantes de último curso de un campus universitario están seriamente preocupados por sus posibilidades de encontrar trabajo
Evento B: los estudiantes de último curso de un campus universitario están seriamente preocupados por sus posibilidades de encontrar trabajo
Representemos gráficamente el problema mediante un diagrama de Venn
Nos preguntan acerca de la probabilidad de que ocurra al menos una de las dos cosas, es decir, que puede ocurrir el evento A, el evento B o ambos eventos, por tanto se reduce a la suma de todas tres probabilidades identificadas en el diagrama:
P(ocurra al menos una de las dos cosas) = 0.10 + 0.20 + 0.05 = 0.35
2. El propietario de una tienda de música sabe que el 30% de sus clientes pide ayuda a los dependientes y que el 20% hace una compra antes de abandonar el local. Además sabe que el 15% de los clientes pide ayuda y hace una compra. ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente haga al menos una de estas dos cosas?
Del problema identificamos dos eventos
Evento A: los clientes piden ayuda a los dependientes
Representemos gráficamente el problema mediante un diagrama de Venn
Nos preguntan acerca de la probabilidad de que el cliente haga al menos una de las dos cosas, es decir, que puede ocurrir el evento A, el evento B o ambos eventos, por tanto se reduce a la suma de todas tres probabilidades identificadas en el diagrama:
P(ocurra al menos una de las dos cosas) = 0.15 + 0.15 + 0.05 = 0.35
3. Un estudio de mercado en una ciudad indica que, durante cualquier semana, el 18% de los adultos vieron un programa de televisión orientado a temas financieros y empresariales, el 12% leen una publicación orientada a esta temática y el 10% realizan ambas actividades.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un adulto de esta ciudad, que ve el programa de televisión, lea la publicación mencionada?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un adulto de esta ciudad, que lee la publicación, vea dicho programa de televisión?
Del problema identificamos dos eventos
Evento A: los adultos ven un programa de televisión orientado a temas financieros y empresariales
Evento B: los adultos leen una publicación orientada a temas financieros y empresariales
a) Este es un problema de “probabilidad condicional”, es decir, que es la probabilidad de que ocurra un evento, sabiendo que también sucede otro evento. Nos preguntan acerca de la probabilidad de que suceda el evento B sabiendo que ya ha sucedido el evento A.
Utilizando la siguiente formula, tenemos:
P(B/A) = P(A∩B)/P(A)
P(A) = 0.18 P(B) = 0.12 P(A∩B) = 0.10
Reemplazando…
P(A/B) = 0.10/0.18 = 0.55
b) Nos preguntan acerca de la probabilidad de que suceda el evento A sabiendo que ya ha sucedido el evento B
P(A/B) = P(A∩B)/P(B)
Reemplazando…
P(A/B) = 0.10/0.12 = 0.83
4. El 25% de las familias de cierta comunidad autónoma española no sale fuera de la misma durante las vacaciones de verano. El 65% veranea por el resto de España, y el 10% restante se va al extranjero. De los que se quedan en su comunidad, sólo un 10% no utiliza el coche en sus desplazamientos. Esta cantidad aumenta al 30% entre los que salen por el resto de España, y al 90% entre los que viajan al extranjero.
a) Calcula el porcentaje de familias de esa comunidad que utiliza el coche en sus desplazamientos de vacaciones de verano.
b) Una familia no usa coche en sus vacaciones de verano. ¿ Cuál es la probabilidad de que salga de su comunidad moviéndose por el resto de España?.
Solución:
a)
P (Coche) = P (C ∩ Com.) + P (C ∩ Esp.) + P (C ∩ Ext.) = 0.25*0.90 + 0.65*0.70 + 0.10*0.10 = 0.225 + 0.455 + 0.01 = 0.690
b)
P (No Coche) = P (C’ ∩ Com.) + P (C’ ∩ Esp.) + P (C’ ∩ Ext.) = 0.25*0.10 + 0.65*0.30 + 0.10*0.90 = 0.025 + 0.195 + 0.09 = 0.310
o bien: P (No Coche) = 1 − P(Coche) = 1 − 0.690 = 0.310
P(Esp./No Coche) = P ( C’ ∩ Esp.)/ P (C’) = 0.65*0.30/0.310 = 0.629
5. En una oficina, el 70% de los empleados son asturianos. De entre los asturianos, el 50% son mujeres, mientras que de los no asturianos sólo son hombres el 20%.
a) ¿Qué porcentaje de empleados no asturianos son mujeres?
b) Calcula la probabilidad de que un empleado de la oficina sea mujer.
c) Fernando trabaja en dicha oficina. ¿Cuál es la probabilidad de que sea asturiano?
Solución:
a)
P(M/A’) = 1 − 0.2 = 0.8
b)
P (M) = P (M ∩ A) + P (M ∩ A’) = 0.7*0.5 + 0.3*0.8 = 0.35 + 0.24 = 0.59
c)
P (H) = 1 − 0.59 = 0.41
o bien: P (H) = P (H ∩ A) + P (H ∩ A’) = 0.7*0.5 + 0.3*0.2 = 0.35 + 0.06 = 0.41
P (A/H) = P (A ∩ H)/P (H) = 0.7*0.5/0.41 = 0.853
6. En cierto curso de un centro de enseñanza el 62.5% de los alumnos aprobaron Matemáticas. Por otro lado, entre quienes aprobaron Matemáticas, el 80% aprobó también Física. Se sabe igualmente que sólo el 33.3% de quienes no aprobaron Matemáticas aprobaron Física.
a) ¿Qué porcentaje consiguió aprobar ambas asignaturas a la vez? b) ¿Cuál fue el porcentaje de aprobados en la asignatura de Física?
c) Si un estudiante no aprobó Física, ¿qué probabilidad hay de que aprobara Matemáticas?
a)
P (Mat ∩ Fis) = P (Mat)*P (Fis/Mat) = 0.625*0.8 = 0.5 → 50%
b)
P (Fis) = P (Mat ∩ Fis) + P (No Mat ∩ Fis) = 0.625*0.8 + 0.375*0.333 = 0.6248 → 62.48%
c)
EJERCICIOS PROPUESTOS DE PROBABILIDAD
1. Se realizó una prueba de riesgo ergonómico a un grupo de trabajadores de una empresa de asistencia sanitaria. La valoración se recoge en la tabla adjunta. Sea A el suceso “tiene un riesgo mayor o igual a Alto” y sea B el suceso “tiene un riesgo menor a Medio”
Nivel de riesgo Número de Trabajadores
Muy bajo 3
Bajo 12
Medio 19
Alto 16
Muy alto 10
Total 60
a) Calcular la probabilidad del suceso A. R/ 0.43 b) Calcular la probabilidad del suceso B. R/ 0.25
c) Calcular la probabilidad del complementario del suceso A. R/ 0.57 d) Calcular la probabilidad de la intersección de los sucesos A y B. R/ ø e) Calcular la probabilidad de la unión de los sucesos A y B. R/ 0.68
2. En una empresa se presentan 3 accidentes por lo general (A, B, C). Realizada una investigación, se estima que en la población: un 20% presenta A, 16% presenta B, 14% presenta C, 8% presenta A y B, 5% presenta A y C, 4% presenta B y C, y el 2% presenta los tres accidentes.
a) ¿Qué porcentaje de personas presenta al menos un accidente? R 0.35 b) ¿Qué porcentaje de personas no presentan accidentes? R/ 0.65
c) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona de esta empresa, que haya presentado el accidente A, presente el accidente C? R/ 0.25
d) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona de esta empresa, que haya presentado el accidente B, presente el accidente A? R/ 0.5
e) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona de esta empresa, que haya presentado el accidente C, presente el accidente B? R/ 0.285
3. Se ha realizado un pequeño estudio a un grupo de trabajadores de una empresa. Entre sus conclusiones está que un 40% ha recibido asistencia en prevención de accidentes laborales. Además, el 20% de los que recibieron con anterioridad asistencia en prevención de accidentes sufrieron algún tipo de accidente laboral. Un 70% de trabajadores que no recibieron asistencia en prevención de accidentes sufrieron alguno de estos, durante su labor.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un trabajador no reciba asistencia en prevención de accidentes laborales? R/ 0.60
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un trabajador reciba asistencia en prevención de accidentes laborales y no tenga algún tipo de accidente? R/ 0.32
d) ¿Cuál es la probabilidad de que un trabajador sufra algún tipo de accidente? R/ 0.5 e) ¿Cuál es la probabilidad de que un trabajador no sufra algún tipo de accidente? R/ 0.5 f) Si un trabajador sufre algún tipo de accidente, ¿cuál es la probabilidad de que haya recibido asistencia en prevención de accidentes laborales? R/ 0.16
g) Si un trabajador no sufre algún tipo de accidente, ¿cuál es la probabilidad de que no haya recibido asistencia en prevención de accidentes laborales? R/ 0.36
4. En un grupo de personas, al 50% les han puesto alguna vez una multa de tráfico. Por otro lado, al 60% nunca ha sufrido un accidente de tránsito. Finalmente, el 12,5% les han puesto alguna vez una multa y nunca han sufrido alguna vez un accidente.
a) Entre las personas que les han puesto una multa, ¿qué porcentaje no han tenido nunca un accidente? R/25%
5. En cierta floristería recibieron cantidades iguales de rosas y gladiolos, de color blanco o amarillo. El 60% de los gladiolos son de color amarillo, mientras que el 70% de las rosas son de color blanco.
a) Si elegimos una rosa, ¿qué probabilidad tenemos de que sea de color amarillo? R/0.4 b) ¿Qué proporción de flores son de color blanco? R/ 0.5
6. Si S
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
y A
0,2,4,6,8
,B
1,3,5,7,9
, C
2,3,4,5
, D
1,6,7 , enumere los elementos de los conjuntos que correspondan a los siguientes eventos:a. AC
b. AB c. C
d.
CD
Be. AB f. ACD
7. Si A y B son mutuamente excluyentes y P(A)0.3 y P(B)0.5, encuentre:
a. P
AB
b. P
Ac. P
AB
8. Sean A1, A2 y A3, tres eventos aleatorios en un espacio muestral S. Escriba expresiones en notación de probabilidad para los siguientes eventos en términos de A1, A2 y A3.
a) Al menos uno de los tres eventos ocurre b) Los tres eventos ocurren
c) Solamente A2 ocurre d) A1 y A2 ocurre, pero no A3 e) Ningún evento ocurre
a) un vendedor vende diariamente una cantidad de automóviles igual a 0, 1, 2 y 3. por reglamento interno no puede vender más de 3 unidades. Las probabilidades de venta son las siguientes: P(0) = 0.19, P(1) = 0.38, P(2) = 0.29, P(3)= 0.15
b) La probabilidad de que llueva mañana es de 0.52 y la que no llueva es de 0.3 c) La probabilidad de que un impresora cometa 0 errores es de -0.25.
10. En una determinada labor se puede experimentar tres tipos de accidentes. Sea Ai,i1,2,3 el evento en que en la labor se presenta el accidente de tipo i. Suponga que:
12 . 0 ) (A1
P P(A2)0.07 P(A3)0.05
13 . 0 ) (A1A2
P P(A1A3)0.14 P(A2 A3)0.10 01
. 0 ) (A1A2 A3 P
a) ¿Cuál es la probabilidad de que en la labor no se presente un accidente de tipo 1? b) ¿Cuál es la probabilidad de que en la labor no se presente ningún accidente?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que en la labor se presente tanto el accidente 1 como el accidente 2?
