El uso de los determinantes en nomografía

EL USO DE LOS DETERMINANTES

EN

NOMOGRAFIA

POR LUIS R. RUIZ

~

OS determinantes son instrumentos poderosos de análisis y de aplicación que están actualmente al alcance de todos los . estudiantes. Su mecanismo es sumamente sencillo. los co-nocimientos que requiere su empleo son elementales. y en cambio. el campo de acción de ellos y los resultados que se obtienen de su aplicación a diferentes ramas de la matemática son notables; abrevian los procedimientos en álgebra. eQ. geometría analítica y.enge-neral. en las aplicaciones geométricas. permitiendo ver de un modo general las condiciones de las ecuaciones o las relaciones de las varia-bles. evitando la mayor parte de las veces operaciones de eliminación complicadas y transformando con suma rapidez las ecuaciones de relación; su aplicación constante y su difusi6n es actualmente tan grande que no hay ya enseñanza media en los países como Alemania. Francia. Suiza. Italia e Inglaterra. sin que en ella se trate en cursos y conferencias la teoría y uso de los determinantes.

A la vez. la N omografía. o sea la expresión de fórmulasy leyes por diagramas de fácil aplicación. es una de las materias que día a día se extiende más. y el haberse logrado a partir de este año su introducción en los cursos normales de la Escuela Preparatoria. muestra el interés y el claro conocimiento de su importancia en nuestro medio.

A tratar un punto de Nomografía por determinantes es a lo que se encaminan las siguientes líneas.

Se llaman nomogramas de puntos alineados ~quellosen los que los valores de tres variables ligadas por una ecuaCIón se marcan sobre tres líneas. rectas o curvas. de modo tal que si se hace pasar ~na línea recta por tres puntos de valor dado. éstos verihcan la ecuaCIón propuesta.

Llámase soporte a la recta o curva sobre la que van graduados los valores de cada variable. y escala de la variable a aque~la que por medio de trazos anota sobre el soporte los valores de la varIable.

El problema de construir un nomograma de puntos alineados se reduce a encontrar tres escalas que verihquen la ecuación cuando son cruzadas por una transversal.

Consideremos tres puntos de un plano: en general !ormarán un triángulo cuya superhcie estará expr,esada por el determinante

S=~

1

1

1

x

.

x

..

x

en el que x. y: x'. y': x". y" son las coordenadas de los vértices del triángulo: ahora bien. es evidente que si el triángulo tiene una su-perficie nula. sus vértices estarán en línea recta. y por lo tanto. bastará igualar a cero el determinante que expresa la superhcie. para tener la condición. y como el factor un medio no puede ser cero. la condición

será:

1

x y

1

x

.

y

=0

(1)

1

x

..

y

Por otra parte. el determinante anterior expresa la compatibilidad de los coehcientes de tres ecuaciones, de las que siempre conocemos la resultante. que es la ecuación propuesta, y por lo tanto. nos es fácil formar los otros dos. siempre que podamos separar las variables de modo que exista una ecuación y sólo una de cada variable, pues de lo contrario no obtendríamos tres ecuaciones en x e y. dependientes de una sola variable cada una. y sería imposible el graduar los soportes si dos variables quedaran unidas en cualquier ecuación.

Así. pues. el problema consiste en formar dos ecuaciones subordi-nadas a la conocida y compatibles con ella. de modo que el determinan-te de las tres. por las operaciones elementales de los dedeterminan-terminandeterminan-tes. se lleve a la forma (1). en la que. construyendo las tres ecuaciones co-rrespondientes a las tres líneas. que serán cada una de una variable, habremos realizado el nomograma. siendo. por lo demás. evidente que la construcción puede hacerse en ejes rectangulares u oblicuos.

Con el objeto de mostrar de modo más claro. no sólo el mecanismo. sino algunos detalles de limitación de escalas. vamos a poner ejemplos de algunos nomogramas de este tipo. realizados por determinantes.

*

* *

Sea por re:,"lizar un nomograma que nos dé el valor de la hipote-nusa de un triángulo rectángulo en función de los catetos. y para el

uso que los necesitamos lijemos los valores máximos de los catetos

en

100

y

200

centímetros, y el tamaño útil de construcción en

10

por

20

centímetros.

La fórmula que nos proponemos realizar es, pues,

y para obtener el determinante, pondremos las dos subordinadas siguientes

siendo u y v las incógnitas auxiliares; sustituyendo estas dos, en la

primera tendremos u+v=c2, que podremos escribir

u

u

-a2

=0

v

-b

2

₌₀

v- c2

=0

de los que obtendremos el determinante

1

O 1

o

1

1

pero antes de llevarlo a la forma tipo (1), notaremos que es necesario

que tanto a2 como b2no pasen, al dibujarse a escala, de

20

centímetros,

y como a vale

100

centímetros, a2 valdrá

10.000,

por lo que tendremos

que multiplicar los valores reales por

20

diezmilésimos o

0.002;

para

b el valor es

200

y b2es

40.000,

por lo que tendremos que multiplicar

sus valores reales por

20/40,000,

o sea por

0.0005,

y c tendrá el

mul-tiplicador que resulte, pues. no podemos fijar los mulmul-tiplicadores de más de dos variables a la vez; así, pues, para poder construir las escalas

de a2 _{y b}2_de

₂₀

_{cms., multiplicaremos la primera línea por}

_0.002

_y

la segunda por

0,0005,

y' tendremos, cambiando signo a la tercera

columna, a la vez:

10.002

I

O

I

1

O

0.0005

1

0.002

a2

I

0.0005.::

I

=0

y en este determinante no tocaremos los términos

0.002

a% y

0.0005

b%,

que dan ya escalas de dimensiones lijas, pero sí podemos multiplicar

la primera columna por 500

y

la segunda por 2.000. con lo que

obten-,dremo8:

1

°

°

₅₀₀

_2.000

1

0.002 a%

I

0.0005

b21

=

O

c2

'%0

/10

tOO

ahora podemos

a~re~ar

la

se~unda

columna a la primera. lo que no. dará:

11

O

1

1

1

2.500 2.000

y si finalmente dividimos la tercera línea por 2.500. obtendremos un determinante de la forma tipo (1). que será:

1

1

1

o

1

0.8

0.002 a2 0.0005 b2 =0 0.0004 c2

Este nomograma es fácil de construir. pues para ello ele~iremos por ejes coordenados la orilla izquierda del papel y la orilla baja. y tendremos. tomando para el valor de la unidad de x los 10 cms. fijados horizontalmente. que la escala de a tiene por x cero y por y=0.002 aZ_• es decir. es la orilla izquierda del papel¡traduada por y: la escala de b tiene por x una unidad de 10 centímetros y por y=0.OO05. b2•es. por lo

tanto. una paralela al eje de las y.situ~daa los 10 cms. a la derecha. y la escala de c tiene por valor de x ocho décimos de unidad. es decir. ocho centimetros. y por y = 0.0004 c%. es. por tanto. paralela a las ante-rioresy con el eje ¡traduado por los valores de 0.0004 c%. con las que se ha trazado el nomo¡trama propuesto. (El foto¡trabado da dimensio-nes cambiadas. proporcionalmente. de las del ori¡tinal.)

El ti po anterior. de tres escalas rectilíneas y paralelas. no se lo¡tra siempre con facilidad. pues casi se limita a las funciones de suma de variables. y muchas veces es más útillle¡tar a disponer las tres esca-las de esca-las variables en forma de N. construyendo el nomo¡trama en coordenadas cartesianasy ejes oblicuos y disponiendo las escalas de las variables subordinadas. de modo que una quede en la re¡tión posi-tivay otra en la negativa. El tipo obtenido es muy común y de clara lectura.

* * *

Propongámonos construir un nomo¡trama de la cap:,"cidad de re-cipientes cilíndricos hasta 50 cms. de altura y 30 de dlámetro. pero que no excedan de 4 litros de capacidad.

La fórmula que empleamos es

1r

d

2

h

b

V = T que escri iremos

u

4· V-lrd2h= o. a la cual tendremos que unir otras dos subordinadas. de las que una será precisamente V. ya que si eligiéramos d y

h.

nos quedaría un producto que no encajaría en la forma típica

(1).

que no contiene productos de las variables. sino que tiene por origen tres ecuaciones de las que cada una tiene sólo una de las tres cantidades de la ecuación original.

Como. además. tienen que estar en diversas regiones de los ejes coorderiados las escalas elegidas. pondremos: V= u;

h

= -v. que sus-tituídas en la original nos dan: 4u + lr d2v= O.y tendremos las tres

ecua-ciones de las variables V.

h

y d. que escribiremos

-V=o v+h=o 4u+rrd2v =0

de los que obtendremos el determinante

1 o

-V

1 1 h =0

4

7rd2 o

Por otra parte. si el tamaño útil del papel es de 10 x 20 cms .• las escalas de

V

y de h no podrán tener mayor longitud y necesitaremos multiplicar sus valores por módulos que nos permitan no excedernos de la longitud marcada; como conocemos que h vale hasta 50. ten-d.remos su módulo igual a 20 cms. entre 50 cms. que es su valor. ydará 0.4; para

V

tendremos 20 cms. entre 4.000. que dará 0.005; obtenidos los módulos multiplicaremos por ellos las líneas primera y segunda del determinante original y quedará:

0.005

O

4

--0,005

V

0.4

h

=0

O

multiplicando ahora la primera columna por 200 y la segunda por 2.5. nos quedará:

1 O

800

O

1

2.5rrd2

-0.005

V

0.4 h =0

O

agregando la segunda columna a la primera. queda:

1

1

800+2.5"d2

-{).OO5 V

0.4 h

=0

O

y hnalmente, dividiendo la última línea por su prImer término, nos queda

1

1

1

O

1

2.5

d2

800+2.5 d2

-{).OO5 V

O,4h

O

=0

en cuya forma ya podemos construirlo, dentro de las siguientes dis-pOSICIones;

Elegiremos por eje de las x la línea que va del extremo superior izquierdo de la parte útil del papel al extremo inferior derecho, y esta longitud será la unidad de medida para las longitudes sobre este eje; por eje de las y escogeremos la orilla izquierda del papel, y como la parte útil queda hacia abajo, aquí llevaremos las longitudes negativas, yen la región superior (triángulo que queda a la derecha y arriba del eje de las x) llevaremos l~s ordenadas positivas. .

La escala de V tiene por x cero, y por tanto, coincide con el eje de las y, sobre el que llevaremos una graduación cuyos valores son: y=-o.OO5

V

para los valores de

V.

La escala de h tiene por x la unidad, por tanto, es una paralela a la distancia x igual con unodela escala anterior, pero queda en la re-¡tión positiva, y por tanto, en la orilla derecha del papel, donde lleva-remos la graduación y= O.4h, para los valores de h.

La escala de d tiene por y cero, y por tanto, queda sobre el eje de las x, en el que tendríamos que llevar una graduación

x=

800+2.5

d2

que evidentemente quedará dentrodelos límites del nomograma, pues para d= O x vale cero, y para d inhnita, vale x= 1, pero los valores de x son difíciles de calcular con rapidez y es preferible proyectar valores en correspondencia con los de cualquiera de las escalas, pues despe-j ando a d de la fórmula, tendremos:

4.

d2 = 7Th V . y escogiendo elvalo~de h de

v

2000

so

45

40

lO

o

N

om~r.ma

ele la

[

caaClc)R

v=

.~4~

.,.

..

n

-1----..;..-.- .,

---1-modo que la cantidad

1l"t

sea un número redondo. desde este valor

de h. como centro. podemos proyectar valores de la escala V sobre la d \ por la relación d2= n V. en la que para no-tener un valor que produzca intersecciones muy oblicuas. elegiremos varios puntos de proyección para diversos valores de n. pudiéndose comprobar también desde los varios puntos de proyección los últimos valores de la escala d.

yectados de un centro de proyección con los primeros del siguiente. y teniéndose así la seguridad de que la escala está bien marcada.

El uso de los determinantes permite llegar a la forma del nomogra-ma de un modo tan general que no importa que las escalas sean curvJíneas o en el caso de rectas. no paralelas. y para mostrarlo vamos a aplicar el método a algunas otras ecuaciones para que se note la facJidad con la que se establecen las formas de realización de los nomogramas. sí debiendo advertir que como una misma ecuación se puede realizar en diversos tipos. ya sea por la elección de las variables o el sentido en que se construyen las escalas de ellas respecto a los ejes elegidos. o ya porque tratándose de una ecuación en la que un producto se transforma en una suma porque se toman logaritmos y se construyen éstos sobre las líneas. o porque una función exponencial se transforma en un producto por el mismo procedimiento de sustitución de sus logaritmos a las variables u otro artificio semejante. el calcula-dor deberá ensayar varios de los tipos para elegir el que dé mayor legi-bJidad a las escalas y menor oblicuidad a las intersecciones de la trans-versal con las líneas que soportan las graduaciones.

* * *

Tratemos de hacer un nomograma de la ecuación de las lentes:

y para realizarla hagamos las dos subordinadas

~

=u:J. = v. lo que

nos dará por sustitución en la primera las tres ecuaciones

1

u

-T=O

1

v

-1'=0

1

u+v - -

=0

p

de las que obtendremos el determinante

1

o

1

o

1

1

=0

unamos la segunda columna a la primeray a la vez cambiando signos a la última columna. tendremos: .

o

1

1

_f

1

1

_f

1

=0

2

1

1

p

1.0 o~- 1·0

f'

1"

f

f.I f.I

!< 0.6 l.:!.

U '·3

/.~. O'f 1.+

1,

1.

s-1.6 c.8 U

1.1 1.(

/.8 0.9 1.&

l.? l.'

~ -l.• Ro

y dividiendo hnalmente por 21a última línea. nos quedará:

1 O 1

f

1 1

r

1 =0

1 ~ 1

2p

cuya forma corresponde

al

tipo establecido. con tres escalas .paralelas. teniendo la primera x =

O;

la segunda x =

1.

y la tercera x=

% ;

pero es fácil notar que para f

=

O

y

r

=

O

ambas escalas son inhnitas. y además. aun en el caso de empezar por f = 1 y seguir con la serie de valores. las marcas de valores iguales quedan cada vez con escalones más cortos y se van apretando más y más.

Con una unidad de 20 cms. para y se ha realizado este tipo. cuyo determinante. multiplicando por 20 la tercera línea. quedará

1

O 20

_T

1

1

20

_f

=0

1

_%

10

p

habiéndose elegido para unax unidad de 10 cms.• se notará que en cuan-to crecen los valores. la legibilidad y precisión son dehcientes.

* * *

Propongámonos realizarlo de otro modo. haciendo variar

f

y

r

de

O

a 50. y tendremos. partiendo del nomograma original. con sólo el cambio de signo de la última columna:

1

1

O

_T

1

=0

O

1

_f

1 1 1"

p

si multiplicamos por

f

la primera línea. por

r

la segundá y por p la

tercera. tendremos; .

f

o

1

O

f'

1

=0

p p

1

y permutando. quedará:

1

O

f

1

f'

O

=0

multipliqueInos las tres líneas por el cociente de 20 cms.• que es al longitud útil entre 50 CInS. que es la longitud real. y nos quedará:

0.4 O 0.4 0.4

f'

0.4 O.4p

O.4f

O

=0

OAp

y ahora. Inultiplicando por 2.51a primera columna. obtendremos:

1

1

1

O

0.4f'

OAp

O.4f O

=0

O.4p

forma a partir de la cual podremos construir el nomograma; para ello notareInOS que la escala de f está sobre el eje de las y. puesto que x= O; la escala de f' está sobre el eje de las x. puesto quey= O. y la escala de p es la bisectriz del ángulo de los ejes, puesto que la abscisa y la ordenada son iguales.

Nos dará, pues. la construcción tres escalas concurrentes. pudiendo graduar la escala de p por simple paralelismo a partir de las de f o

r.

que son iguales.

Es evidente que si el ápgulo de los ejes fuera de 120 grados. las graduaciones de los tres soportes serían exactamente iguales.

En la construcción no hemos adoptado la igualdad de graduación de los soportes, porque entonces excederían de las dimensiones del papel las escalas.

Pueden COInpararse las dos formas de este nOInograma. para ver CÓInO es posible obtener diversas legibilidades con construcciones hechas a partir de transformaciones de un determinante original.

*

*

*

Cuando la función es más compleja. una o más de las escalas resultan curvilíneas. como lo mostra~án los ejemplos que siguen:

Sea por construir un nomograma para la ecuación x3

+

px

+

q= O, con p y q de Oa~10.

en el que las escalas de p y q son paralelasy rectas, coincidiendo la de p con el eje de lasy, y la de q con la unidad de x, que hemos elegido co-mo 10 centímetros.

-lo

-10

f

Lae~,calda_{de x es evidentemente curva, pues su abscisa}y ordenada en unClon e x son:

X

l

x

3

= - -

y-x+1

-

x+1

y eliminando a x entre estas dos

ecuacio~es,

obtendremos

Y

_

_-

(1-X)3

_X

que será la ecuación del soporte de la graduación de x, que podremos construir por puntos, y después, dando valores sucesivos a p o q, ha-ciendo una de las dos constante, graduar la curva por proyección de los de p o q. Cuando la curva de x es cortada una vez, hay' sólo una raíz real, y cuando es cortada dos veces, hay tres raíces reales, encon-trándose las dos primeras en los dos puntos de corte, y la tercera de signo contrario, cambiando el signo de q y leyendo el tercer punto de corte en estas condiciones.

Cuando los coeficientes de la ecuación son mayores que 10, aun es posible utilizar el nomograma, sustituyendo a la variable una n veces menor y después ell"alor encontrado multiplicarlo por n, escogiendo este número n entero y de valor conveniente, lo que es posible siem-pre a la simple vista; por ejemplo, sea la ecuación

Z3

+

32

Z-

28=0

si sustituimos Z =

3x,

nos dará

27 x

3

+

_{96 x -}

_{28 = O}

y divi~iendo por

27,

tendremos

x

3

+

_{3.56 x-1.037 =0}

de cuya ecuación, con ayuda del nomograma. encontramos la raíz

0.285

y por tanto el valor de Z será

3

X

0.285 = 0.855

sensiblemente.

Con este artificio sumamente simple es posible resolver las ecua-ciones de coeficientes muy grandes con el nomograma construído.

* * *

Sea por construir un nomograma de la fórmula

C= 41

V16-n

2

-nF

4

(l-n)

en la que evidentemente n no puede ser mayor que 4, y c lo limitamos al valor de 10 positivo y negativo.

La fórmula anterior puede. por los procedimientos usuales. po-nerse bajo la forma del determinante

1

1

1

o

e

1

₄

p

=0

n

V

16--n

2

4

-/ . /

-;

-8

e

,-o

-iD

La escala C tiene por abscisa cero, y por tanto, se extiende sobre el eje de las y en ambos sentidos, positivo y negativo.

La escala de 1 tiene por x = 1 y por y =

~

y si eliminamos entre estas

dos últimas ecuaciones a

1.

obtendremos la ecuación 4 y=x2_{que nos}

representa una parábola de eje vertical, que podremos construir por puntos y graduar por simple proyección paralelá de una graduación

del eje de las x, en virtud de que x =

1.

La escala de n tiene x = n e y =

V

16-n

2_{y eliminando entre ambas}

a n, obtendremos X2+y2=

16,

lo que nos muestra que el soporte de

esta escala es una circunferencia que tiene 4 cms. de radio y que po~

dremos graduar a partir de la misma escala que nos sirvió para la parábola, pues también tiene x = n.

Los valores, en sus diversas combinaciones, dan dos cantidadesdis~

tintas para C. pero es fácil en cada caso utilizar la adecuada.

Cuando en la fónnula hay más de tres variables, es posible acoplar dos nomogramas con ayuda de una auxiliar que sólo se utiliza como

pivote sin graduación numerada; así. por ejemplo, la función

f

1

+

f2

+

f3

+

fol = O se puede resolver haciendo

f¡

+

f2= A, que es un

nomograma de tres variables. y después A

+

f

3

+

f4= O, que es otrono~

mograma de tres variables también y haciéndolos coincidir en la

escala A por la que se acoplan y sirve de pivote a las dos transversales.

No nos ocupamos de estos nomogramas porque estas líneas sólo tienen por objeto mostrar en los de tres variables cómo es fácil y

expedito

el

empIco de los determinantes para la solución de estos

pro-blemas tan interesantes de Nomografía.