MODULO ALGEBRA LINEAL MODULO

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MODULO

ÁLGEBRA LINEAL

CAMILO ZÍÑIGA

A mi padre, JUAN ARTURO ZÚÑIGA R., quien fue el primero en enseñarme el hermoso mundo de la matemáticas, y quien me ha apoyado incondicionalmente en todas mis empresas.

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

–

UNAD

–

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA

UNIDAD DE CIENCIAS BÁSICAS

Bogotá D. C., 2008

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COMITÉ DIRECTIVO

Jaime Alberto Leal Afanador Rector

Gloria Herrera

Vicerrectora Académica

Roberto Salazar Ramos

Vicerrector de Medios y Mediaciones Pedagógicas

Maribel Córdoba Guerrero

Secretaria General

MÓDULO

CURSO ÁLGEBRA LINEAL PRIMERA EDICIÓN

Universidad Nacional Abierta y a Distancia

ISBN

2008

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AL ESTUDIANTE

El propósito del curso es que el estudiante apropie de manera significativa los elementos teóricos fundamentales de Algebra Lineal y desarrolle las competencias pertinentes para contextualizarlos en su campo de formación disciplinar.

El Algebra Lineal es un área de las matemáticas que en las últimas décadas ha tenido un significativo desarrollo con el aporte de las ciencias computacionales. Su aplicabilidad en diversos campos del saber ha generado la necesidad de articularla al proceso formativo del profesional de hoy en día como herramienta de apoyo para resolver problemas en las más diversas disciplinas. En este sentido y por su carácter mismo, el curso hace aportes significativos al desarrollo de las competencias y aptitud matemática en el estudiante, en tanto potencia habilidades de pensamiento de orden superior, como la abstracción, el análisis, la síntesis, la inducción, la deducción, etc.

El curso académico se estructura básicamente en dos unidades didácticas. La primera contempla los Vectores, Matrices y Determinantes, la segunda Sistemas de Ecuaciones Lineales, Rectas, Planos e Introducción a los Espacios Vectoriales.

A través del curso académico de Algebra Lineal se dinamizan procesos de resignificación cognitiva y fortalecimiento del desarrollo de operaciones meta cognitivas mediante la articulación de los fundamentos teóricos a la identificación de núcleos problémicos en los diferentes campos de formación disciplinar.

Es importante que desde ahora el estudiante se compenetre con la dinámica del uso de los recursos informáticos y telemáticos como herramientas de apoyo a los procesos de aprendizaje. En este sentido, el curso académico de Algebra Lineal articulará a su desarrollo actividades mediadas por estas tecnologías, como búsquedas de información en la Web, interactividades sincrónicas o asincrónicas para orientar acciones de acompañamiento individual o de pequeño grupo colaborativo y acceso a información disponible en la plataforma virtual de la universidad.

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TABLA DE CONTENIDO

UNIDAD I

1. VECTORES EN _R2……….9

1.1 NOCION DE DISTANCIA……….11

1.2 SEGMENTOS DIRIGIDOS………14

1.3 DEFINICION ALGEBRAICA DE VECTOR……….20

1.4 ALGUNAS OPERACIONES CON VECTORES………..23

1.4.1 Multiplicación de un vector por un escalar……….23

1.4.2 Suma de Vectores………35

1.4.3 Diferencia de vectores………..39

1.4.4 Producto escalar………43

1.5 PROYECCIONES………..52

2. VECTORES EN _R3………..58

2.1 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS………62

2.2 VECTORES BASE………..66

2.3 PRODUCTO VECTORIAL………..72

PROBLEMAS………. 77

AUTOEVALUACION……….. 79

3. MATRICES………..81

3.1 OPERACIONES CON MATRICES………83

3.1.1 Suma de matrices………84

3.1.2 Multiplicación por escalar………87

3.1.3 Multiplicación de matrices………..88

3.2 OPERACIONES SOBRE MATRICES………...92

3.2.1 Forma escalonada y forma escalonada reducida……95

3.2.2 Inversa de una matriz………..99

3.2.3 Matrices Elementales………105

3.2.4 La Factorización LU………..119

4. DETERMINANTES………131

4.1 ALGUNAS PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES………138

4.2 INVERSAS……….140

INTERPRETACION GEOMETRICA DEL PRODUCTO CRUZ….………147

PROBLEMAS………155

AUTOEVALUACION……….159

UNIDAD II

5. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES………163

5.1 PRIMER METODO PARA RESOLVER ECUACIONES LINEALES ELIMINACION GAUSSIANA………..………186

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5.3 TERCER METODO PARA RESOLVER ECUACIONES LINEALES

REGLA DE CRAMER………..195

5.4 CUARTO METODO PARA RESOLVER ECUACIONES LINEALES EMPLEANDO LA FACTORIZACION LU……….198

5.5 QUINTO METODO PARA RESOLVER ECUACIONES LINEALES EMPLEANDO LA MATRIZ INVERSA………..203

SISTEMAS LINEALES HOMOGENEOS…….……….206

6. RECTAS EN _R3………..………208

7. PLANOS………..………220

8. ESPACIOS VECTORIALES………..………..228

PROBLEMAS………..235

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UNIDAD 1

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OBJETIVO GENERAL

Que el estudiante comprenda el conjunto de conocimientos relacionados con los fundamentos básicos que constituyen el campo teórico y aplicativo de los vectores, matrices y determinantes a través del estudio y análisis de fuentes documentales y situaciones particulares en diferentes campos del saber.

OBJETIVOS ESPECIFICOS

 Evidenciar en el estudiante una apropiación conceptual que refleje el entendimiento de nociones como la de vector, complementado con un manejo pertinente de las operaciones con los mismos.

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1.1 NOCION DE DISTANCIA

Ahora abordemos el problema de dos puntos del plano. Nuestro interés es encontrar la distancia entre ellos.

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100 100 8 6 2 2 2 2      a a a

Dado que _a es una distancia, entonces consideramos únicamente los valores positivos, es decir, 10



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           1 0 0 0 1 1 0 0 1 1

E , por lo tanto

             1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 E                  1 0 0 0 6 1 0 0 0 1 2

E , por lo tanto

            1 0 0 0 6 0 0 0 1 1 2 E             1 0 0 0 1 0 0 2 1 3

E , por lo tanto

            1 0 0 0 1 0 0 2 1 1 3 E             1 6 0 0 1 0 0 0 1 4

E , por lo tanto

            1 6 0 0 1 0 0 0 1 1 4 E                  3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 5

E , por lo tanto

            3 0 0 0 1 0 0 0 1 1 5 E                  1 0 0 0 1 0 3 5 0 1 6

E , por lo tanto

                   1 0 0 0 1 0 3 5 0 1 1 6 E                  1 0 0 6 1 1 0 0 0 1 7

E , por lo tanto

                   1 0 0 6 1 1 0 0 0 1 1 7 E

Ahora realicemos el siguiente producto

1 7 1 6 1 2 1 1      E E E

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                                                        3 0 0 0 1 0 0 0 1 1 6 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 2 1 1 0 0 0 6 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1                                    1 0 0 6 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 3 5 0 1

Realicemos los productos de izquierda a derecha, tenemos:

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Seguimos                                     1 0 0 6 1 1 0 0 0 1 3 6 0 3 5 4 1 3 5 2 1 Finalmente             2 6 0 1 4 1 2 2 1

En conclusión, hemos visto que dada una matriz A, si esta es invertible, tanto A como su

inversa pueden ser escritas como el producto de matrices elementales (ya que, las

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UNIDAD 2

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OBJETIVO GENERAL

Que el estudiante comprenda los fundamentos teóricos que soportan la concepción de los sistemas lineales, rectas, planos y los principios de espacio vectorial, a través del complejo ejercicio mental de abstracción, estudio, análisis e interpretación de fuentes bibliográficas referenciadas y casos específicos de aplicación en diferentes áreas del conocimiento.

OBJETIVOS ESPECIFICOS

 Evidenciar en el estudiante una apropiación conceptual que refleje el entendimiento de nociones como la de un plano o de una recta en el espacio. Complementado con un manejo pertinente de las diversas formas en que son obtenidas y empleadas las ecuaciones que las representan.

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5.5 QUINTO METODO PARA RESOLVER SISTEMAS LINEALES

EMPLEANDO LA MATRIZ INVERSA

El objetivo es resolver un sistema de la forma _AX __b (con A de _n__n), donde A es invertible.

Partiendo del sistema _AX __b, podemos multiplicar a izquierda por _A1 (Que existe, dado que A es invertible), con lo que nos queda:

b A AX

A1  1 Agrupando obtenemos



A1A



X  A1b Simplificando

 

I X  A1b Finalmente

b A X  1

La ultima afirmación, nos indica que se _A es de _n__n e invertible, entonces la solución del sistema lineal _AX __b, la encontramos de la forma _X _ _A1_b.

Ejemplo

Dado el sistema lineal

17 4 5 7 11 4 21 10 3 2 3 2 1 3 2 1 3 2 1          x x x x x x x x x

Determine si el sistema tiene solución única o no. De tener solución única, encuentre su inversa y úsela para resolver el sistema.

Solución

Para determinar si el sistema tiene solución única o no, debemos calcular su determinante. Si este nos da diferente de cero (0), entonces el sistema tendrá única solución y además la inversa de la matriz de coeficientes existirá (y esta será única)

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225 4 5 7 1 1 4 10 3 2      DetA

Recordemos que tenemos dos procedimientos para hallar la inversa: 1. Empleando el método de reducción de Gauss- Jordán

2. Empleando determinantes ( _AdjA

A A * det 1 1   )

Voy a emplear el método de reducción de Gauss- Jordán. Se deja al estudiante la invitación a realizarlo también por el otro método.

1 2 1

f f₂ 4f₁

1 3 7f f  2 7 1 f 2 1 2 3 f f  2 3 2 11 f

f  3

225 14

f

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Por lo tanto, dado que la matriz A pudo ser reducida (por medio de operaciones

elementales) a la matriz identidad, se tiene que la matriz del lado derecho es la inversa de A. Es decir,                      225 14 225 11 25 3 225 38 225 62 25 1 225 13 225 38 25 1 1 A

Finalmente, para obtener la solución del sistema, consideramos la ecuación _X _ _A1_b. Donde,            17 11 21 b Por tanto,                               17 11 21 225 14 225 11 25 3 225 38 225 62 25 1 225 13 225 38 25 1 X            2 1 2 X

Es decir, la solución es _x₁ _2;_x₂ _1;_x₃ _2

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