Vectores en el plano y el espacio

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(1)

Vectores en

R

2

y

R

3 Yoel E. Gutiérrez T. UNEXPO - PUERTO ORDAZ 1. Espacio vectorial

De…nición 1..1 Sean: V un conjunto no vacío,Rel cuerpo de los números reales, +y dos operaciones, llamadas suma y producto, respectivamente. La cuaterna (V;+;R; ) es un espacio vectorial si y sólo si se veri…can los siguientes axiomas o reglas:

1. Para cada u y v en V,u+v está en V:

2. La suma es conmutativa en V.

u+v =v+u:

3. La suma es asociativa en V.

(u+v) +w=v+ (u+w):

4. Existe un elemento neutro para la suma en V; denotado por 0:

u+ 0 = 0 +u=u:

5. Todo elemento u en V; admite inverso aditivo u opuesto en V; denotado por

u.

u+ ( u) = ( u) +u= 0:

6. Para cada enR; yuenV, el producto

u; está en V:

7. El producto satisface la asociatividad mixta.

( u) = ( )u:

8. El producto es distributivo respecto de la suma en R:

( + )u= u+ u:

9. El producto es distributivo respecto de la suma en V:

(u+v) = u+ v:

10. La unidad del cuerpo de los números reales es neutro para el producto.

1u=u:

Observaciones

1. Los elementos de V se llaman vectores y se denotan poru; v; w; : : :

2. Los elementos de R se llaman escalares y se denotan por ; ; ; : : :

3. El elemento neutro para la suma de tores es único y recibe el nombre de vec-tor nulo.

4. Para cada elemento deV el inverso adi-tivo u opuesto es único y recibe el nom-bre de vector opuesto.

5. El producto u; donde 2R y u 2V, se llama producto del escalar por el vectoru.

6. A menudo hablaremos del espacio vec-torial V, sobrentendiendo que nos refe-rimos a la cuaterna(V;+;R; ):

2. Vectores en R2

Si enR2se de…ne la suma por

(a; b) + (c; d) = (a+c; b+d)

y el producto de números reales por elemen-tos deR2 mediante

(a; b) = ( a; b)

resulta el espacio vectorialR2sobre el cuerpo

(2)

Observaciones

1. Los pares ordenados (a; b) que son el-ementos de R2 son vectores. Por esta

razón, cuando escribimos P(a; b), quer-emos decir el punto P cuyas coorde-nadas son a y b: En cambio, si el par es pensado como vector, escribiremos v = (a; b)y diremos el vectorv con com-ponentesa y b:

2. Si P(a; b) es un punto de R2 al vector v = (a; b)lo llamaremos vector de posi-ción del punto P:

3. 0 = (0;0)es el vector nulo o vector cero. 4. El vector v = ( a: b) es el vector

opuesto del vector v = (a; b):

5. Si u = (a; b) y v = (c; d) son vectores, entonces

u v = u+ ( v)

= (a; b) + ( c; d) = (a+ ( c); b+ ( d)) = (a c; b d)

O sea, la diferencia de u menos v es la suma deu con el opuesto de v.

2.1 Representación geométrica de vectores bidimensionales

El segmento de recta dirigido que tiene como punto inicialP y como punto …nalQse denota porP Q!y su longitud por P Q :! Dos segmentos de recta dirigidos que tienen la misma longitud y dirección son equivalentes. El conjunto de todos los segmentos de recta dirigidos que son equivalentes a un segmento de recta dirigido dadoP Q!es un vector en el plano y se denota por v =P Q:!

Es importante notar que un vector en el plano se puede representar por medio de mu-chos segmentos de recta dirigidos diferentes,

todos con la misma longitud y la misma di-rección. El segmento de recta dirigido cuyo punto inicial es el origen a menudo se con-sidera el representante más adecuado de un conjunto de segmentos de recta dirigidos equivalentes. Un segmento de recta dirigido cuyo punto inicial es el origen puede repre-sentarse de manera única por medio de las coordenadas de su punto …nal.

Seav el vector

v = (a; b)

considerado mediante sus componentes, en-toncesv queda repreentado de manera única por medio del segmento de recta dirigido cuyo punto inicial es el origen y cuyo punto …nal es (a; b): Se dice que esta represen-tacuón dev está en forma canónica o están-dar.

Los procedimientos siguientes pueden usarse para convertir un vector dado medi-ante un segmento de recta dirigido en un vec-tor dado mediante sus componentes o vicev-ersa.

1. Si P(a1; b1) y Q(a2; b2) son los puntos

inicial y …nal de un segmento de recta dirigido, el vector v representado por

!

P Qdado mediante sus componentes es v = (a; b)

= (a2 a1; b2 b1):

2. Si v = (a; b); v puede representarse por el segmento de recta dirigido, en la rep-resentación canónica o estándar, que va deP (0;0) a Q(a; b):

Observaciones y de…niciones

1. La longitud, magnitud o norma dev = (a; b) es

(3)

2. Si kvk= 1; v es un vector unitario. 3. kvk= 0 si y sólo siv es el vector nulo0: 4. Se llama ángulo director de un

vec-tor bidimensional v 6= 0 al ángulo formado por el semieje positivo X y la representación estándar de v, medido en sentido antihorario. Si es medido en grados se tiene que 0 < 360o:

Si es medido en radianes, entonces 0 <2 :

5. El signi…cado geométrico de las opera-ciones en el espacio vectorial R2 es el

siguiente:

(a) La suma de dos vectores no col-ineales del plano queda represen-tada por la diagonal del paralelo-gramo que forman. Este resultado es conocido con el nombre de ley del paralelogramo.

(b) El producto de un número real por un vector no nulo v = (a; b); es el vector v que tiene el mismo sentido que v; la misma dirección si >0;y dirección opuesta si < 0:Corresponde a una dilatación si

j j>1y a una contracción sij j< 1: Si = 0; entonces se obtiene el vector nulo.

3. Sistema tridimensional de coorde-nadas rectangulares

De…nición 3..1 El conjunto de todas las tríadas de números reales se llama espa-cio numérico tridimensional y se representa porR3: Cada tríada ordenada(x; y; z)recibe el nombre de punto en el espacio numérico tridimensional.

Para representar a R3 en un espacio

geométrico tridimensional, consideremos las distancias dirigidas de un punto a tres planos

perpendiculares entre sí. Los planos se for-man primeramente al tomar tres rectas mu-tuamente perpendiculares que se cortan en un punto llamado origen y se representa con 0. Esta rectas, llamadas ejes coordenados, se designan como eje x; eje y e eje z. Gen-eralmente, el ejexy el eje y se toman en un plano horizontal y el eje z es vertical. En cada eje se selecciona un sentido positivo. Si las direcciones positivas se escogen como en la Figura 1, el sistema coordenado se llama sistema derecho. Si las direcciones positivas se escogen como en la Figura 2, el sistema coordenado se llama sistema izquierdo.

x

y z

0

Fguira 1

x

y

z

0

Figura 2

(4)

tres ejes determinan tres planos, llamados planos coordenados. Estos son: El planoxy; que contiene a los ejes x e y: El plano yz; que contiene a los ejesy yz:El planoxz;que contiene a los ejes xy z:

Los planos coordenados dividen al espa-cio en ocho partes, llamados octantes. Lla-maremos primer octante, al octante determi-nado por los tres semiejes positivos.

El sistema construido nos permitirá es-tablecer una correspondencia biunívoca en-tre los puntos del espacio y las tríadas or-denadas de números reales. En efecto, si la tríada ordenada de números reales (x; y; z) está asociada con el puntoP del espacio, las coordenasx; yezson las distancias dirigidas deP desde los planosyz; xzyxy; respectiva-mente. Estas tres coordenas se llaman coor-denadas cartesianas u ortogonales del punto, y escribiremosP(x; y; z). Por lo tanto, iden-ti…camosR3 con el espacio geométrico

tridi-mensional y se llama punto a una tríada or-denada(x; y; z):El punto(4;2;3)se muestra en la Figura 3.

x

y z

0

Fguira 3 (0,0,3)

(0,2,0)

(4,0,0) (4,2,3)

.

Teorema 3..1 (Distancia en el espacio )

La distancia entre los puntos P (a1; b1; c1) y

Q(a2; b2; c2) es

d(P; Q) = P Q

=

q

(a1 a2)2+ (b1 b2)2+ (c1 c2)2

Teorema 3..2 (Punto medio) El punto medio del segmento de recta comprendido entre los puntos P (a1; b1; c1) y Q(a2; b2; c2) es

M a1+a2 2 ;

b1+b2

2 ;

c1 +c2

2

De…nición 3..2 Sea f(x; y; z) = 0 una ecuación en las variables x; y; z: La grá-…cade esta ecuación es el conjunto de pun-tos(x; y; z)enR3 cuyas coordenas satisfacen la ecuación. A esta grá…ca la llamaremos super…cie en R3: Esto es, el conjunto

S = (x; y; z)2R3 f(x; y; z) = 0

es una super…cie en R3:

De…nición 3..3 Una esfera es el conjunto de todos los puntos de R3 que están a una misma distancia de un punto …jo. El punto …jo es el centro de la esfera y la medida de la distancia constante es el radio.

Teorema 3..3 La ecuación canónica de la esfera de radior y centro en C(h; k; l) es

(x h)2+ (y k)2+ (z l)2 =r2:

Teorema 3..4 La grá…ca de una ecuación de segundo grado de la forma

x2+y2+z2+Hx+Ky+Lz+M = 0

es una esfera, un punto o el conjunto vacío.

(5)

4. Vectores en R3

Si en R3se de…ne la suma por

(a1; b1; c1) + (a2; b2; c2)

= (a1+a2; b1+b2; c1+c2)

y el producto de números reales por elemen-tos de R2 mediante

(a1; b1; c1) = ( a1; b1; c1)

resulta el espacio vectorialR3sobre el cuerpo de los números reales.

Los resultados obtenidos para R2

tam-bién se cumplen para R3: Observaciones

1. Los tríos ordenados (a; b; c) que son elementos de R3 son vectores. Por

esta razón, cuando escribimosP (a; b; c), queremos decir el punto P cuyas coor-denadas son a; b y c: En cambio, si el par es pensado como vector, escribire-mos v = (a; b; c) y diremos el vector v con componentesa; b y c:

2. Si P(a; b; c) en un punto de R3 al vec-torv = (a; b; c)lo llamaremos vector de posición del punto P:

3. 0 = (0;0;0) es el vector nulo o vector cero.

4. El vector v = ( a; b; c)es el vector opuesto del vector v = (a; b; c):

5. Si u = (a1; b1; c1) y v = (a2; b2; c2) son

vectores, entonces u v = u+ ( v)

= (a1; b1; c1) + ( a2; b2; c2)

= (a1 a2; b1 b2; c1 c2)

6. Si v el vector

v = (a; b; c)

considerado mediante sus componentes, entonces v queda repreentado de man-era única por medio del segmento de recta dirigido cuyo punto inicial es el origen y cuyo punto …nal es (a; b): Se dice que esta representacuón de v está en forma canónica o estándar.

7. Si P (a1; b1; c1) y Q(a2; b2; c2) son los

puntos inicial y …nal de un segmento de recta dirigido, el vector v representado porP Q!dado mediante sus componentes es

v = (a; b; c)

= (a2 a1; b2 b1; c2 c1):

8. Si v = (a; b; c); v puede representarse por el segmento de recta dirigido, en la representación canónica o estándar, que va deP (0;0;0)a Q(a; b; c):

9. La longitud, magnitud o norma dev = (a; b; c)es

kvk=pa2+b2 +c2:

10. Sikvk= 1; v es un vector unitario. 11. kvk= 0si y sólo siv es el vector nulo 0:

5. Propiedades básicas de los vec-tores en R2 y R3

5.1 Vectores paralelos y normal-ización

De…nición 5..1

1. Dos vectoresu yv no nulos son parale-los si existe una escalar tal que u =

(6)

2. Dos vectores u y v no nulos tienen la misma dirección si existe una escalar

>0 tal que u= v:

3. Dos vectores u y v no nulos tienen di-recciones opuestas si existe una escalar

<0 tal que u= v:

Teorema 5..1 Si v es un vector y un es-calar, entonces

k vk=j j kvk:

Teorema 5..2 Si v es un vector no nulo, el vector

u= v

kvk = 1

kvkv

es un vector unitario que tiene la misma di-rección que el vector v.

El proceso de multiplicar el vectorv por

1

kvk se llamanormalización dev.

Teorema 5..3 Si v es un vector no nulo de

R2 y es su ángulo director, entonces

v =kvk(cos ; sen ):

El vectoru= (cos ; sen )es unitario y tiene la misma dirección que v.

5.2 Vectores unitarios canónicos En R2 tenemos dos vectores unitarios

muy especiales, a los que llamaremos vec-tores unitarios canónicos. Estos son los sigu-ientes:

i= (1;0); j = (0;1):

Estos vectores apuntan en las direcciones positivas de los ejes x e y, respectivamente. Una de las propiedades más importantes de estos vectores es que todo vector deR2 se

ex-presa como una combinación lineal de ellos dos. En efecto,

v = (a; b)

= (a;0) + (0; b) = a(1;0) +b(0;1) = ai+bj:

Similarmente, en R2 tenemos tres vec-tores unitarios canónicos

i= (1;0;0); j = (0;1;0); k = (0;0;1)

que apuntan en las direcciones positivas de los tres ejes. todo vector de R3 se expresa

como una combinación lineal de ellos tres. En efecto,

v = (a; b; c)

= (a;0;0) + (0; b;0) + (0;0; c) = a(1;0;0) +b(0;1;0) +c(0;0;1)

= ai+bj+ck:

6. El espacio vectorial Rn

Sin es un número natural mayor que 0, denotamos porRnal conjunto den-uplas or-denadas de númeos reales. Esto es

Rn=f(v1; v2; : : : ; vn)=v1; v2; : : : ; vn 2Rg:

Como en el caso deR2 y

R3;de…nimos la

suma por

(u1; u2; : : : :; un) + (v1; v2; : : : :; vn)

= (u1+v1; u2+v2; : : : ; un+vn)

y el producto de números reales por elemen-tos deR2 mediante

(v1; v2; : : : :; vn)

= ( v1; v2; : : : :; vn):

Es muy fácil probar que estas opera-ciones cumplen las propiedades enunciadas en la de…nición de un espacio vectorial. En consecuencia, Rn; provisto de estas dos

op-eraciones, es un espacio vectorial y sus ele-mentos se llaman vectores. Cuando a la n-upla la ponemos com un vector, la denotare-mos así:

(7)

La norma o longitud del vector v = (v1; v2; : : : :; vn) se de…ne de la forma

esper-ada

kvk=

q

v2

1+v22+ +vn2:

Si es un escalar es fácil probar que

k vk=j j kvk:

En Rn tenemos n vectores unitarios

canónicos:

e1 = (1;0; : : : ;0)

e2 = (0;1;0; : : : ;0)

.. .

en = (0; : : : ;0;1)

Todo vectorv = (v1; v2; : : : :; vn) es

com-binación lineal de estos vectores

v = (v1; v2; : : : :; vn)

= v1e1+v2e2+ +vnen

7. Producto punto

De…nición 7..1 Sean u = (u1; u2; : : : :; un) y v = (v1; v2; : : : :; vn) dos vectores de Rn; se llama producto punto, producto interno o producto escalar de u y v al número real

u v =u1 v1+u2 v2+ +un vn

Teorema 7..1 (Propiedades fundamen-tales del producto punto). Si u; v y w

son vectores y un número real, entonces

1. u u 0

2. u u= 0 si y sólo si u= 0:

3. u v =v u

4. ( u) v = (u v)

5. u (v+w) =u v+u w

6. kuk=pu u

7.1 Ángulo entre dos vectores

El producto punto nos permite calcular el ángulo entre dos vectores.

Teorema 7..2 Sean u y v dos vectores en

R2 y sea ;0 ;el ángulo que forman. Entonces

u:v =kuk kvkcos

Del teorema anterior es inmediato que si es el ángulo formado por los vectores no nulosu y v; entonces

cos = u:v

kuk kvk

De…nición 7..2 Dos vectores no nulou yv

son perpendiculares u ortogonales si el án-gulo entre ellos es 2:El vector nulo es ortog-onal a todo vector.

Teorema 7..3 Los vectores u y v son per-pendiculares si y sólo si u:v = 0:

Teorema 7..4 (Desigualdad de Cauchy-Schwarz). Para todo par de vectores u y v

ju:vj kuk kvk

En el teorema anterior, la igualdad se cumple si y sólo si alguno de los vectores es nulo o si son paralelos.

Teorema 7..5 (Desigualdad triangu-lar).Para todo par de vectores u yv

ku+vk kuk+kvk

Geométricamente, este teorema nos dice que la longitud de un lado de un triángulo es menor que la suma de las longitudes de los otros tres lados.

u

v u+v

(8)

7.2 Ángulos y cosenos directores De…nición 7..3 Se llaman ángulos direc-tores de un vecto no nulo v de R3, a los án-gulos ; y que forma el vector v con los semiejes positivos x; y e z: Los cosenos de estos ángulos,

cos ; cos y cos

reciben el nombre de cosenos directores dev.

x

y z

α β

λ

Figura 5

Los ángulos directores ; y pueden verse como los ángulos que forman el vector v con los vectores unitarios i; j y k, respec-tivamente. Por los tanto, si v = (v1; v2; v3),

tenemos:

cos = v i

kvk kik = v1 kvk

cos = v j

kvk kjk = v2 kvk

cos = v k

kvk kkk = v3 kvk

De estas igualdades obtenemos:

v = (v1; v2; v3)

= (kvkcos ;kvkcos ;kvkcos ) = kvk(cos ;cos ;cos )

Por lo tanto v

kvk = (cos ;cos ;cos )

Esto es, el vector unitario en la dirección del vector v tiene por componentes los cosenos directores del vector. Además, por ser (cos ;cos ;cos ) un vector unitario,

cos2 + cos2 + cos2 = 1:

7.3 Proyección ortogonal

Sean u y v dos vectores no nulos. Bus-camos construir un triángulo rectángulo que tenga el vecto v por hipotenusa y por base una vectorru, paralelo al vectoru.

u ru

v w

Figura 6

El tercer lado del triángulo esw=v ru; el cual debe ser perpendicular al vector u. Por lo tanto

(v ru) u = 0 u v rkuk2 = 0

r = u v

kuk2

Luego, la base del triángulo rectángulo que tiene av por hipotenusa es el vector

ru= u v

kuk2u;

al cual llamaremos proyección ortogonal de v sobre u, y denotaremos por Proyuv:

Esto es

Proyuv =

u v

(9)

Nótese que

ru= u v

kuk u

kuk:

Como el vector kuuk es unitario en la dirección de u, el escalar u v

kuk es la longitud del vector

ru:A este escalar lo llamaremos componente de v en la direccción de u y lo denotaremos por Compuv: Esto es

Compuv =

u v

kuk:

De…nición 7..4 Sea u6= 0 y v dos vectores de R3

1. La proyección ortogonal de v sobre u es el vector

Proyuv =

u v

kuk2u

2. La componente de v en la dirección de

u o proyección escalar dev sobreues el escalar

Compuv =

u v

kuk:

8. Producto vectorial

El producto vectorial o producto cruz, sólo se de…ne enR3:El resultado de esta

op-eración es otro vector y no un escalar, como en el producto escalar.

De…nición 8..1 Sean u= (u1; u2; u3)yv =

(v1; v2; v3): el producto vectorial o producto cruz es el vector

uxv =

(u2v3 u3v2; u3v1 u1v3; u1v2 u2v1)

Presentamos a continuación esta fórmula en términos de determinantes. Recordemos

que el determinante de una matriz de orden 2x2 está dado por

a b

c d =ad bc

y el determinante de una matriz de orden 3x3 está dado por

a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

= a1

b2 b3

c2 c3

a2

b1 b3

c1 c3

+a3

b1 b2

c1 c2

Ahora retomamos la de…nición de pro-ducto vectorial. La fórmula de la de…nición, en términos de determinantes, la escribimos así:

uxv = u2 u3

v2 v3

; u1 u3 v1 v3

; u1 u2 v1 v2

;

uxv = u2 u3

v2 v3

i u1 u3 v1 v3

j+ u1 u2 v1 v2

k;

o

uxv =

i j k

u1 u2 u3

v1 v2 v3

:

Teorema 8..1 Para cualquier vector u de

R3 se cumple que

1. uxu= 0

2. ux0 = 0

Teorema 8..2 El vector uxv es ortogonal a ambos u y v:

Teorema 8..3 Si u; v y w son vectores de

R3 y es un escalar, se cumple que

(10)

2. (ru)xv =r(uxv)

3. ux(v+w) =uxv +uxw; (Distributivi-dad)

4. (u+v)xw=uxw+vxw; (Distributivi-dad)

5. u (vxw) = (uxv) w; (Triple producto escalar)

6. ux(vxw) = (u w)v (u v)w; (Triple producto vectorial)

El producto vectorial no es asociativo. Esto es, existen vectoresu; v y w tal que

ux(vxw)6= (uxv)xw

Teorema 8..4 Si es el ángulo entre los vectores u y v (0 ), entonces

kuxvk=kuk kvksen

Observaciones

1. Siu y v son vectores no nulos, entonces uxv = 0 si y sólo si u y v son paralelos. 2. Geométricamente, kuxvk es el área del paralelogramo determinado por los vec-tores u y v:

u v

θ

| v| sen

θ

Figura 7

En efecto, la base del paralelogramo es

kuk y su altura es kvksen : Luego, su área es

A = Base x Altura = kuk kvksen = kuxvk

8.1 Triple producto escalar

De…nición 8..2 Sean u = (u1; u2; u3), v =

(v1; v2; v3) y w = (w1; w2; w3) tres vectores de R3: El triple producto escalar deu; v yw

es el número

u (vxw) =

u1 u2 u3

v1 v2 v3

w1 w2 w3

Si los tres vectores u; v y w son no nu-los, determinan un paralelepípedo como se muestra en la Figura 8.

u

v w h θ

Figura 8 N

Si V es el volumen de este paralelepípedo, entonces

V =Ah;

dondeAes el área de la base yhes la altura. Pero tenemos que

A=kvxwk:

Por lo tanto

V =kvxwkh: (1) Sea N un vector ortogonal tanto a v como a w; de modo que el ángulo comprendido entre N y u sea el más pequeño, esto es 0 2: Por lo tanto es inmediato que N puede ser vxw, o bien, vxw: Si son es-tas las condiciones, se tiene que

(11)

Luego

N:u=kNk kukcos =kvxwkh: (2)

Como el volumen de un paralelepípedo es una real positivo y, N=vxw ó N = vxw: Entonces por (1) y (2) es inmediato que

V = jN:uj = ju:Nj = ju:(vxw)j:

Bibliografía

1. Armando O Rojo (1983). Álgebra II. 8a edición. Libreria el Eteneo Editorial.

Buenos Aires.

2. David C. Lay (2001). Álgebra Lineal y Sus Aplicaciones. Segunda edición. Pearson Educación. México.

3. Emilio Prieto Sáez (1999). Lecciones elementales de álgebra lineal para economía y empresa. Editorial Cen-tro de Estudios Ramón Areces, S.A. Madrid.

4. Grossman, S. (1997). Álgebra lin-eal con aplicaciones. Quinta edición. McGraw-Hill.

5. Jorge Saenz (2013). Cálculo vector-ial. Primera edición. Hipotenusa. Bar-quisimeto.

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Figura 4

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Figura 5

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Figura 6

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Referencias