2 ln ln ln lim lim ln lim ln1 ln lim 2 4 ˆ lim ln

(1)

www.jlmat.es [1] Matemáticas II

Opción A

Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 2 puntos)

Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva

y

=

e

1−x2 en los puntos de intersección con la recta

1 y

=

.

( )

(

)

( )

2 2 1 2 1 2 1 1 1 2

:

1 ₁

1

0 ;

1,1

1 :

1 ,

1

x x

Calculemos los cortes entre la recta y la curva

y

_x

e

x

entonces los puntos son p

y p

x

y

e

las pendientes de las rectas tangentes a la curva en esos puntos serán

m

f

f x

e

m

f

− − −

=



₌



⇒

₌

⇒

_{− =}

⇒

₌

_{= −}



= −

=





′

=



=



′

=

−



( )

(

)

(

)

(

)

2 ₁ 2 ₁

2 0 2 0 1 1 2

1

2

2 3 0

2

1

2 ,

1

2

1 1 2

1

x x

m

f

x

x e

m

f

La ecuación de una recta en forma punto pendiente es y

y

m x

x

entonces las rectas pedi

r

y

x

r

y

das so

x

n

r

y

r

y

x

−



=

′

= −

′

⇒

_{= − ⋅}

_{⇒ }

′

=

− =



− =

−

≡

−

= −

−

⇒

≡





≡

− =

+

− =

≡

−

− =

+

⇒



Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 3 puntos) Calcula los límites siguientes:

(

)

1 3

1 1 1 1 1

2 2

3 4 2 3 1

0 0 0 0 0

1 1

1 2

2

0

0 0 0

0 ˆ

lim

3

6

6 lim

lim

:

lim

0

6

x x x x x

x x

x

x x x

x x

indeterminación

e

x

e

x

e

L Hopital

x

e

not

x

e

a

e

+ + + + + + + + − − − − − − − − → → → → → − − → → → →

↓

⋅ ∞

−

⋅

−

⋅

′

=

−





−

⋅

₌

₊





⋅





=







∞





−



≙

(

)

(

)

2 2 2

0 0 0 0

2

0 0 0

2

2 0

1

1 2 ln

ln

ln lim

lim ln

lim

ln1 ln

lim

2

4 ˆ

lim

0 ln

1

0

1 m

1 l

1 i

tg x tg x

x tg x

x x x x

x x x

x

A

tg x

x

cotg x

sen x

sen x cos x

x

L Hopital

A

x

sen

A

x

→ → → → → → → →



_

_





_

_



₋





⇒

₌

_

_

_

_

₌

_

_

_

_

₌

_

_⋅

₋

₌





=











_







_



_







_



−

⋅

′

=

⇒

₌

⇒

₌

−

≙

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

2 2

2 2 2

2

1

1 lim

lim

1

1 i

1

1 m

1

2 l

x x x x

sen x

c

os x

π π π

sen x

π

→ → → →

⋅ −

₌

⋅ −

₌

(2)

www.jlmat.es [2] Matemáticas II Ejercicio 3. (Puntuación máxima: 3 puntos)

Calcula m, n y b para que la función definida de la forma:

f x

( )

mx

n x

si

x

si

x

=

+

<

+

≥







2

5

1

3

1

cumpla las

hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [-2, b], y determina el valor intermedio garantizado por el teorema.

( )

[

]

(

)

( )

2 ₅ ₁

3 1 1

, 2 , , 2, 2

, , 1. 1

mx nx si x

f x

x si x

Para que se cumplan las hipótesis del teorema de Rolle f x debe ser continua en b derivable en b y f f b

f x por ser polinómica es siempre continua salvo en x Imponemos que f x sea continua en x f

 ₊ ₊ _<

=

+ ≥



− − − =

= = ⇒

( )

(

)

( )

(

)

( )

1

1 1

2 1

1 1

0

1 lim

lim lim 3 1 4

1 4 , lim 5 4 1 0

lim lim 5 5

, , 1. 1 1 1

1 lim

x

x x

x

x x

h

f x

f x x

f f x m n m n

f x mx nx m n

f x por ser polinómica es siempre derivable salvo en x Imponemos que f x sea derivable en x f f

f

+ +

− −

→

→ →

→

→ →

+ −

+ _→

=

= + =

 

= =_ ⇒ _{+ + =} ⇒ _{+ + =}

= + + = + +



′ ′

= = ⇒ ₌

′ =

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

(

)

(

)

₍

₎

0 0 0

2 ₂ ₂

0 0 0 0

0 0

1 1 3 1 1 4 3

lim lim lim 3 3

1 1 1 1 5 4 2 1 2

1 lim lim lim lim

2

lim lim 2 2

1

2 3

h h h

h h h h

h h

f h f h h

h h h

f h f m h n h mh mh nh m n mh mh nh

f

h h h h

h mh m n

mh m n m n

h

m n

entonces m n

m n

+ + + +

− − − −

− −

→ → →

− _→ _→ _→ _→

→ →

+ − ₌ + + − ₌ ₌ ₌

+ − + + + + − + + + + + + +

′ = = = = =

+ +

= = + + = +

+ = −

+ = ⇒

+ =

( )

2

2 2

4 5 5 1

3 1 1

4 5 5 2 1

2 2 31

3 1 1

4 5 5 31 4 5 26

4

5

0 2

x x si x

f x

x si x

b b si b

Ahora debe cumplirse f f b f y f b

b si b

b

m n

b b b b

 ₋ ₊ _<



⇒ ⇒ =

 

+ ≥

 

 ₋ ₊ _{− < <}

− = ⇒ ₋

=

 

= −



= =

+ ≥



− + = ⇒ ₋ ₋ ₌ ⇒ _{= −} 13

4

o b=

(

)

( )

0

(

)

0 0

3 1 31

2 ,10 / 0

8 5 1

0 8 5 0 2 ,

1

10 3

0

1

5 8 b

Busquemos entonces x f x

x si x

f x f x x que está en

si x b

x

  

 _{+ =} _⇒



′

∈ − =

− < 

′ = ⇒ ′

=

= ⇒ _{− =} ⇒ ₋



≥ 

Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 2 puntos) Se considera la ecuación

x

3

+

λ

x

2

−

2 x

=

1

.

a) Probar que si λ >2, la ecuación admite alguna solución menor que 1. b) Probar que si λ <2, la ecuación admite alguna solución mayor que 1.

( )

3 2 3 2 3 2

0 0

2 1 2 1 0 ; 2 1 ,

, 0 .

x x x x x x sea la función f x x x x f x es una función siempre

continua por ser polinómica y los puntos x tales que f x son raíces de la ecuación

λ λ λ

+ − = ⇒ ₊ ₋ _{− =} ₌ ₊ ₋ ₋

(3)

www.jlmat.es [3] Matemáticas II

( )

[ ]

( )

[ ]

( )

0 0

) 2 , 0,1 , 0 1 0 1 2 0 , ,

, 0,1 0 1.

) 0 2 , 1, 2 , 1 2 0 2 4 3 0 , ,

a Para f x es continua en con f y f entonces por el teorema de

Bolzano x tal que f x la ecuación admite alguna solución menor que

b Para f x es continua en con f y f entonces p

λ λ

λ λ λ

> = − < = − >

∃ ∈ = ⇒

≤ < = − < = + >

( )

[

]

( )

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

0 0

3 2

2 3 2 3 2

, 1, 2 0 1.

0 , 1 , 2 , 1 2 0 2 2 2 2 2 1

2 8 12 6 4 4 4 2 1 2 6 3 0

or el teorema

de Bolzano x tal que f x la ecuación admite alguna solución mayor que

Para f x es continua en con f y f

f por el teorema

λ λ λ λ λ λ λ λ

λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ

∃ ∈ = ⇒

< − = − < − = − + − − − −

− = − + − + − + − + − = − + > ⇒

(

)

( )

0 0

,

1 , 2 0 1.

de Bolzano

x λ tal que f x la ecuación admite alguna solución mayor que

∃ ∈ − = ⇒

Opción B

Sea

α

un número real fijo. Probar que existe un único número real

β

>0, que es solución de la ecuación

ln

x

+

x

=

α

.

( )

1 2 1 2

( )

1

( )

2

1 2

. ln ,

ln 0.

ln , , , 0 , 0

es un número real fijo La ecuación x x sólo puede tener soluciones positivas puesto

que x no está definido para x

Sea la función f x x x supongamos que existen x x con x x tales que f x f x

x y x serán entonc

α α

α

+ =

≤

= + − ∈ℝ < < = =

( )

[

]

(

)

( )

(

)

( )

1 2 1 2 1 2

1 2

ln .

, ,

, 0.

1 1

1 0 1 0 1 , 1

0

es soluciones de la ecuación x x

f x es continua en x x y derivable en x x y además f x f x por el teorema de Rolle

c x x tal que f c

f x f x x por tanto c contradicción puesto que

x x

x c x la ecua

α

+ =

= ⇒

′

∃ ∈ =

′ = + ⇒ ′ ₌ ⇒ _{+ =} ⇒ _{= −} _{= −} ⇒

< < < ⇒

( )

[ ]

( )

.

0

1 ln 1 1 .

1 ln 1, , 1 1 0 ln 0

1,

ción no puede tener dos soluciones reales

Veamos que la ecuación tiene una solución

Si x x es solución de la ecuación

Si la función f x x x es continua en f y f por el

teorema de Bolzano

β

α β

α α α α α α

β α

>

= ⇒ + = ⇒ =

> ⇒ _{= +} ₋ _{= − <} ₌ _> ⇒

∃ ∈

(

)

( )

[ ]

( )

( ) (

)

( )

0

1 0 0 .

1 , 0 ln 0, lim ln

ln ,1 , ln 0 1 1 0

,1 0 1 0 0

x

tal que f que es solución de la ecuación

Si tal que ya que x

entonces f x x x es continua en f y f por el teorema

de Bolzano tal que f

β α β β

α α ε ε ε α

α ε ε ε ε α α

β ε ε β β β

+ →

< < = ⇒ _{∃ >}

< ⇒ _{∀ ∈} _{∃ >} ₊ _{− <} _{= −∞}

= + − = + − < = − > ⇒

∃ ∈ < < < = ⇒ _{∃ >}

ℝ

.

(4)

Supóngase que

f

es continua para todo número real

x

, excepto para

x

=

6

. Si

g x

( )

x

=

−

3

2

¿para qué

valores de x puede asegurarse la continuidad de la función

f

g

?

( )

(

) (

)

(

)( )

(

( )

)

( )

(

)( )

0 0 0

, 6.

3

, 2 2 , 2

2.

f x es una función continua para todo número real x salvo para x

x

g x es continua x x

f g x f g x es continua en x x g x es continua en x x y f x es continua en x g x

Por tanto la función f g x no es continua en x

Veamos cuando g

=

= ∀ ∈ −∞ + ∞

−

= = ⇔ = =

=

∪

( )

(

)( )

(

)( )

(

) ( ) (

)

3

6 6

, 2 2 , 4 4

2

4 ,

4 , 4

.

x

x x entonces f x no es continua en x g y la función x

f g x no es continua en x Tenemos entonces que f g x es continua∀ ∈ −∞x +

= ⇒ ₌ ₌

∞

= ⇒

−

= ∪ ∪

Estúdiese la derivabilidad de la función

f x

( )

= + −

x

1 ln

x

y hállese la ecuación de la recta tangente a la función en el punto x=2.

( ) (

)

( )

0,

1 ln 1 ln

1 ln

, .

,

Dom f x

x x si o x e

f x x x f x

x x si x e

f x es suma de funciones derivables f x es derivable en todos los puntos de su dominio salvo quizás en

el punto x e

Veamos si f x es derivable en x e para ello debe cumplirse que

= + ∞

+ − < <



= + − ⇒ ₌_

− + ≥

 ⇒ =

′

=

( )

(

)

( )

(

)

(

)

(

) (

)

( )

(

)

( )

(

)

(

)

(

) (

)

0 0 0 0

1 1

1 ln 1 ln 1

ˆ

lim lim lim lim 1

1 1 1

1 ln 1 ln 1

ˆ

lim lim lim lim 1

1

1 1 1 1

h h h h

f e f e

f e h f e e h e h e h e h _e _h

f e L Hopital

h h h e

f e h f e e h e h e h e h _e _h

f e L Hopital

h h h e

e e

− − − −

+ + + +

− +

− _→ _→ _→ _→

+ _→ _→ _→ _→

′ =

−

+ − + + − + − + − + ₊

′ = = = ′ = = −

+

+ − + − + + − − + + ₊

′ = = = ′ = = +

− ≠ + ⇒

≙

( )

(

( )

)

( )

( ) (

)

(

)

(

)

2.

1 1

2 2 2 1 ln 2 2 3 ln 2. , 1 2

2 1

2 2 2 3 ln 2 2

2

f e f e observar que f x si es continua en x e

Calculemos ahora la recta tangente a f x en x

Como e f f Para x e f x f

x

Entonces la recta ped

f x no es deriv

ida es y

able en

y x

e

x

f f

−′ ≠ +′ ⇒ =

=

′ ′

< ⇒ _{= + −} ⇒ _{= −} _< _{= −} ⇒ ₌

′

− = ⋅ − ⇒ _{− −}

=

= − ⇒ 2 ln 2

(5)

Sea

f

una función continua y derivable tal que

f

( )

0 =

3

. Calcular cuánto tiene que valer

f

( )

5

para asegurar que en el intervalo

[ ]

0 ,

5

existe un

c

tal que

f

′

( )

c

=

8

.

[ ]

(

)

(

)

( )

0 , 5 0 , 5

5 0 5 3

, 0 ,5 8 5 43

5 0 5

f es una función continua y derivable f será continua en y derivable en por el teorema del

f f f

valor medio de Lagrange c tal que f c f

⇒ ⇒

− −

′

∃ ∈ = ⇒ ₌ ⇒ ₌