PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE CANTABRIA SEPTIEMBRE - 2008 (RESUELTOS por Antonio Menguiano) MATEMÁTICAS II Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos

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A. Menguiano PRUEBA DE ACCESO (LOGSE)

UNIVERSIDAD DE CANTABRIA

SEPTIEMBRE - 2008

(RESUELTOS por Antonio Menguiano)

MATEMÁTICAS II Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos

1.-El examen consta de tres bloques de ejercicios y cada bloque tiene dos opciones. De cada bloque debe escogerse uno sola de las opciones (A o B).

2.- Debe exponerse con claridad el planteamiento de la respuesta o el método utilizado para su resolución. Todas las respuestas deben ser razonadas.

3.- No se permite el uso de calculadoras gráficas ni programables.

BLOQUE 1

1-A) Razona si son derivables en el valor x = 0 cada una de las siguientes funciones de variable real:

a )

( )

    

> +

= < +

=

0 3

0 2

0 1

x si x

x si

x si x x

f . b )

( )

3 2

x x x

g = + .

Justifica si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa. En el caso de que consideres que la afirmación es falsa pon un ejemplo ilustrativo.

c ) Para cualquier función polinómica de segundo grado existe un punto tal que la recta tangente a la función en ese punto es una recta paralela al eje de abscisas.

d ) Si h:R→R y g:R→R verifica que h'

( )

x =g'

( )

x , entonces h(x) = g(x). ---

a )

Para que una función sea derivable en un punto es condición necesaria que sea continua en ese punto.

( )

(

)

( )

(

)

( )

( )

f

( )

x

x lím x

f x

lím f

x x

lím x

f x

lím

x x

lím x

f x

lím

x

Para _{− +}

+ −

→ ≠ →

≠ = ⇒

  

   

 

  

  

 

= + → = →

= + → = →

⇒ =

0 0

2 0

3 3 0 0

1 1 0 0

0

La función no es continua para x = 0, por lo tanto:

0

= x para derivable es

no función La

b )

Es evidente la continuidad de la función para x = 0.

Una función es derivable en un punto si existen sus derivadas por la izquierda y por la derecha y ambas son iguales.

( )

(

)

g

( )

x

x x

x x

x x

x x

x x x

g '

1 2

2 3

1 2

2 3

2

2 3 '

2 3 2

= + − = + − =

+ −

= .

( ) ( )

1 '

( )

0

2 2

1 0 2

2 0 · 3 0 ' 0

' g g

g = − =− =

+ − =

= + −

( )

x = x3 +x2 es derivable para x=0

g función La

c )

Es cierto.

Las funciones polinómicas de segundo grado son de la forma f

( )

x =ax2 +bx+c,

cuyas derivadas son f'

( )

x =2ax+b y f''

( )

x =2a, lo cual significa que, según que el signo de α sea positivo o negativo, la función tiene un mínimo o un máximo absoluto, respec-tivamente. La recta tangente en un máximo o mínimo es paralela al eje de abscisas.

d )

En general, es falso.

Evidentemente si dos funciones son iguales tienen la misma derivada, pero tam-bién se cumple que todas las funciones que se diferencien en una constante tienen la misma derivada.

1-B) Considera las funciones f, g:R→R definidas por f

( )

x =x+3 y

( )

3 2

3x

x x

g = + .

a ) Dibuja las gráficas de las funciones f y g en el intervalo

[

−3, 1

]

, determinando pre-viamente sus puntos de corte, así como, de la función g, determina los puntos de corte con los ejes, sus extremos relativos (máximos y mínimos) y su curvatura.

b ) Calcula el área de los recintos limitados entre las gráficas de las dos funciones en el intervalo

[

−3, 1

]

.

--- a )

Los puntos de corte de f y g son las soluciones de la ecuación que forman.

( ) ( )

x =g x ⇒ x+3=x3 +3x2 ;; x3 +3x2 −x−3=0 ⇒

f Resolviendo por Ruffini:

1 3 -1 -3

1 1 4 3

1 4 3 0

-1 -1 -3

1 3 0

-3 -3

1 0

Los puntos de corte so A(-3, 0), B(-1, 2) y C(1, 4).

Los puntos de corte con los ejes de la función

( )

3 2

3x

x x

g = + son los siguientes:

(

)

(

₍

)

₎

Eje Y O

A x

O x

x x x

x x

f y X

Eje ⇒

   

− ⇒ − =

⇒ = ⇒ = + =

+ =

=

⇒ ;;

0 , 3 3

0 , 0 0

0 3 ;

; 0 3 ;

; 0 ) (

2 1 2

2 3

Y

O

α

S

X

f(x) = x + 3 g(x) = x3 _{+ 3x}2

-3

A

B

1

C D

Los máximos y mínimos relativos de

( )

3 2

3x

x x

g = + son los siguientes:

( )

(

)

( )

( )

(

)

( )

(

)

     − ⇒ ⇒ − = ⇒ < − = − ⇒ ⇒ = ⇒ > = ⇒ + = − = = = + ⇒ = + = 2 , 2 . 2 . 0 6 2 ' ' 0 , 0 . 0 . 0 6 0 ' ' 6 6 ' ' 2 ; ; 0 ; ; 0 2 3 0 6 3

' 1 2

2 D Máx x para relativo Máx g O Mín x para relativo Mín g x x g x x x x x x x g

Los intervalos de concavidad

( )

∩ y convexidad

( )

∪ son los siguientes:

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

      ∞ + − ⇒ ⇒ > ⇒ − > − ∞ − ⇒ ⇒ < ⇒ − < ⇒ − = ⇒ = + = + = , 1 0 ' ' 1 1 , 0 ' ' 1 1 0 1 6 6 6 ' ' Concavidad x g x Convexidad x g x x x x x g c )

De la observación de la figura se deduce que el área pedida es la siguiente:

BLOQUE 2

2-A) Considera la matriz

          − − = m m m A 2 2 1 1 0 1 0 1 1

, donde m∈R.

a ) Determina para qué valores de m la matriz A es singular (no inversible).

b ) Calcula A-1 _{cuando A sea regular (inversible).}

c ) Calcula la matriz B que cumple: 3AB – A = I para m = 2.

--- a )

Una matriz es singular (no inversible) cuando su determinante es cero.

(

)

(

1

)

0 0 ;; 1

; ; 0 2 ; ; 0 1 1 0 1 0 1 1 0 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 − = = ⇒ = + − = − − = − + − = − + − − = − − ⇒ = m m m m m m m m m m m m m m m m A

La matriz A es singular para m = 0 y para m = -1.

b )

Vamos a determinar A-1 utilizando el método de Gauss-Jordan:

c )

Para m = 2 es

          − = 2 1 1 4 0 1 0 1 1

A y

          − − − − − =           − − − − − = − 1 2 1 4 2 2 4 2 4 · 6 1 6 1 3 1 6 1 3 2 3 1 3 1 3 2 3 1 3 2 1 A .

(

+

)

⇒ = + = = − 3 1 · · ; ; · 3 ; ; ·

3A B A I A B I A A B I A Multiplicando por la izquierda por A-1_{, resulta:}

(

I A

)

I B A

(

I A

)

B A

(

I A

)

A B A

A− = − + = − + = · − · +

3 1 ; ; · · 3 1 · ; ; 3 1 · · ·

· 1 1 1

2-B) Considera el sistema de ecuaciones lineales

(

)

    

+ = + + +

= +

= +

1 1

0 1

m mz y m x

z my

y x

, donde m∈R.

a ) Determina el carácter del sistema según los valores de m.

b ) Resuelve el sistema cuando sea compatible determinado.

c ) Modifica solamente un coeficiente de la última ecuación para que el sistema resul-tante sea compatible para cualquier valor de m.

--- a )

Las matrices de coeficientes y ampliada son las siguientes:

     

   

+ +

=

     

   

+ =

1 0 1

1 1

1 0

0 1 1 ' 1

1

1 0

0 1 1

m m m

m M

y m m

m

M .

El rango de M en función del parámetro m es el siguiente:

(

1

)

1 1

(

1

)

0 0 ;; 1.

1 1

1

1 0

0 1 1

2 1

2 2

2 + − + = + − − = − = − = _⇒ = =

= +

= m m m m m m m m m m

m m

m M

ado Deter

Compatible incógnitas

n M

Rango M

Rango m

m

Para ' 3 º min

1 0

⇒ =

= =

⇒      

≠ ≠

{

}

' 2

1 0 1

0 1 1

1 0 0

0 1 1 '

0 ⇒ ₁ = ₃ ⇒ =

     

   

=

⇒

= M F F Rango M

m Para

ado er

In Compatible incógnitas

n M

Rango M

Rango m

Para =0 ⇒ = '=2< º ⇒ det min

{

}

3 ' 0

1 1 2

2 2 1

0 1 0

1 1 1

, , '

2 0 1

1 2 1

1 1 0

0 1 1

'

1 1 2 4

= ⇒

≠ = − = ⇒

⇒ ⇒

⇒   

 

  

  = ⇒ =

M Rango

C C C M

Rango M

m Para

le Incompatib M

Rango M

Rango m

b )

Resolvemos para m ≠ 0 y m ≠ 1, que resulta el sistema compatible determinado, mediante la Regla de Cramer:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

z

m m m

m m m

m

m m m m

m

m m

m

z

y m

m m

m m

m m m

m

m m

y

x m

m m

m m m

m

m m

m m

m

m m

m

m

x

= − = − =

− − + = −

+ +

=

= − − = − − = −

− − = −

+ =

= − = − =

− − − + + = −

+ +

=

1 1

1 1

1 1

1

0 0

1 1

1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 0 0

0 1 1

1 1

1 1 1

1 1 1

1 0

0 1 1

2 2

2 2

c )

Se trata de que el determinante de la matriz de coeficientes sea distinto de cero, por ejemplo -1, y que no dependa de m.

Por ejemplo el sistema

(

)

    

+ = + + +

= +

= +

1 1

0 1

m mz y m x

z my

y x

λ

.

(

)

λ λ

(

)

λ

λ λ

= − = − = −

= − − + = + − + = +

= m m m m m m m m

m m

m

M 1 1 1 ;; 1

1 1 0

0 1 1

2 2

2

.

Nota: Se ha igualado el valor del determinante a -1 para facilitar la expresión del coefi-ciente que se modifica.

Un ejemplo del sistema pedido es:

(

) (

)

    

+ = + + + −

= +

= +

1 1

1 0 1

m mz y m x m m

z my

BLOQUE 3

3-A) Considera los planos siguientes: π₁ ≡x− y+z=0 y π₂ ≡x+ y−z−2=0. a ) Determina la posición relativa de los dos planos dados.

b ) Halla una ecuación de la recta r que pasa por el punto A(1, 2, 3) y no corta a los pla-nos π1 y π2.

c ) Calcula un punto de la recta

  

= = ≡

z y x

s 0 que equidiste de A(1, 2, 3) y B(1, 1, 2).

--- a )

El estudio puede hacerse por vectores normales o por un sistema de ecuaciones.

Por vectores normales: Los vectores normales son n₁ =

(

1, −1, 1

)

y n₂ =

(

1, 1, −1

)

. Los vectores normales son linealmente independientes, por lo tanto los planos son secantes, o sea, que se cortan en una recta r.

La ecuación de la recta r es

  

= − − +

= + − ≡

0 2 0

z y x

z y x

t .

Por sistema de ecuaciones. Los planos π1 ≡x−y+z=0 y π2 ≡x+ y−z−2=0 determi-nan el sistema

  

= − − + ≡

= + − ≡

0 2 0

2 1

z y x

z y x

π π

cuyas matrices de coeficientes y ampliada son las

siguientes: _

  

 

− − − = 

  

 

− − =

2 1 1 1

0 1 1 1 ' 1

1 1

1 1 1

M y

M .

Según los rangos de M y M’ pueden presentarse los siguientes casos:

Rango M = Rango M’ = 2 → S. C. I. → Los planos se cortan en una recta.

Rango M = 1 ;; Rango M’ = 2 → S. I. → Los planos son paralelos.

Rango M = Rango M’ = 1 → S. C. I. → Los planos son coincidentes.

La matriz M contiene al menor 0 1 1

1 1

≠ −

; el rango de ambas matrices es 2.

(

. . .

)

sec ( tan ).

2

' SCI Los planos son antes se cor en una recta M

Rango M

Rango = = ⇒ ⇒

b )

los planos π1 y π2 es necesario encontrar un vector w que sea paralelo a los dos nos, o sea, que sea perpendicular al mismo tiempo de los vectores normales de los pla-nos. El vector w puede ser cualquier vector que sea linealmente dependiente del pro-ducto vectorial de los vectores normales.

(

0, 2, 2

)

'

(

0, 1, 1

)

2

2 1

1 1

1 1 1

' _{1 2} = + + + − + = + = = ⇒ =

− − = ∧

= i j k k i j j k w w

k j i n n w

La recta r pedida, expresada por unas ecuaciones paramétricas, es la siguiente:

    

+ =

+ = = ≡

λ λ

3 2 1

z y x

r

c )

Los puntos de la recta

  

= = ≡

z y x

s 0 tiene por expresión general P

(

0, y, y

)

.

Dados A(1, 2, 3) y B(1, 1, 2), tiene que cumplirse que PA=PB:

(

) (

) (

)

(

) (

y

) (

y

)

y y y y y y PB

PB

PA y

y y

y y

y y

y PA

= + − =

+ − + + − + = − + − + − =

= + − =

+ − + + − + = − + − + − =

6 6 2 4

4 2

1 1 2

1 0 1

14 10 2

6 9 4

4 1 3

2 0 1

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 ; ; 4 8 ; ; 10 6 6 14 ; ; 6 6 14 10

; ; 6 6 2 14 10 2

; ; 6 6 2 14 10

2 2 2 2 2

= =

+ − = − +

− = + −

+ − = + − +

− =

+ − ⇒

=

y y y

y y

y

y y y

y y

y y

y PB

PA

El único punto que cumple lo pedido es P(0, 2, 2).

3-B) Considera los puntos A(α, 2, α), B(2, -α, 0) y C(α, 0, α + 2) con α∈R. a ) Estudia si los tres puntos están alineados para algún valor de α.

b ) Calcula para qué valor de α los puntos A, B y C son los vértices de un triángulo isósceles y si, en algún caso, el triángulo es equilátero.

c ) Para el valor α = 0 determina una ecuación general del plano π que contiene a B, A y C. Calcula los puntos de la forma P(β, β, β), con β∈R, cuya distancia al plano obtenido es

3 3

2 _.

--- a )

Para que los puntos A(α, 2, α), B(2, -α, 0) y C(α, 0, α + 2) estén alineados es ne-cesario que los vectores u =AB y v =AC sean linealmente dependientes.

(

) (

) (

)

(

) (

) (

)

v

A C AC v

u A

B AB u

= −

= −

+ =

− = =

= − − − − = −

− = − = =

2 , 2 , 0 ,

2 , 2 , 0 ,

, 2 ,

2 ,

2 , 0 , , 2

α α α

α

α α

α α

α α

(

)

??? 1 2

2 0 2

2

2 2

2 0

2

− = →

= →    

 

= − −

= − − ⇒ − = −

− − = −

α α α

α α α

α α

No existe ningún valor real de α para que los puntos A, B y C estén alineados.

b )

El triángulo de vértices ABC es isósceles cuando se cumpla que AB=AC:

(

) (

) ( )

( )

AC

AC v

AC AB

AB u

AB

= = + = + − + = =

= =

+ =

= + + + + + − = − + − − + − = =

=

8 4 4 2

2 0

; ; 8

3

4 4 4

4 2

2

2 2 2

2

2 2

2 2

2 2

α

α α

α α α α

α α

0 8

8

3 2 + = ⇒ =

⇒

=AC α α

AB

Para α = 0 el triángulo ABC es isósceles.

El triángulo sería equilátero cuando sea AB=AC= AC.

Para α = 0 la longitud de los lados iguales es AB=AC= 8=2 2 unidades.

(

) (

) (

)

AB

AC=2 2 ⇒ α −α 2 + 0−2 2 + α +2−α = 0+4+4= 8=2 2= .

c )

Para el valor α = 0 los puntos son A(0, 2, 0), B(2, 0, 0) y C(0, 0, 2) y los vectores son u = AB=

(

2, −2, 0

)

Y v =AC=

(

0, −2, 2

)

.

La ecuación general del plano π es la siguiente:

(

)

0 ;; 4 4

(

2

)

4 0 ;;

(

2

)

0

2 2 0

0 2 2

2 ,

; = − − − − = + − + =

− −

−

≡ x z y x z y

z y x v u C

π

0 2=

− + + ≡x y z π

Sabiendo que la distancia de un punto P0

(

x0, y0, z0

)

a un plano de ecuación gene-ral Ax + By + Cz + D = 0 viene dada por la fórmula

(

)

2 2 2

0 0 0

,

C B A

D Cz By Ax P

d

+ + ±

+ + + =

π , y

siendo

3 3 2

la distancia del punto P(β, β, β) al plano π ≡x+ y+ z−2=0, es:

3 2 ;

; 3 2 3

2 3

3 3 3 3

1 1 1

2 3

3 2

2 1

2 2

2 = =−

⇒

± =

⇒

± = ± = + + ±

− + +

= β β β β β β β β

   



_{− − −} 

  

 

3 2 , 3 2 , 3 2 3

2 , 3 2 , 3 2

2

1 y P

P son pedidos puntos

Los