Acotación de la solución de una ecuación de difusión reacción con condiciones de frontera no lineales

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(1)Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. SI C. A. S. ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE MATEMÁTICAS. TE. TESIS. ACOTACIÓN DE LA SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DE. B. IB. LI O. DIFUSIÓN - REACCIÓN CON CONDICIONES DE FRONTERA NO LINEALES. Autor: JULIO JOSÉ AUGUSTO BECERRA SAUCEDO Asesora: Mg. Roxana Fabiola Rodrı́guez Escobedo Trujillo - Perú 2013. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(2) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. SI C. A. S. ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE MATEMÁTICAS. TESIS. ACOTACIÓN DE LA SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DE NO LINEALES. Autor: JULIO JOSÉ AUGUSTO BECERRA SAUCEDO. B. IB. LI O. TE. DIFUSIÓN - REACCIÓN CON CONDICIONES DE FRONTERA. Asesora: Mg. Roxana Fabiola Rodrı́guez Escobedo. Trujillo - Perú 2013. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(3) S. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. SI C. A. JURADO. Dr. José Olivencia Quin̂ones. TE. Presidente. Secretario. B. IB. LI O. Mg. Roxana Fabiola Rodrı́guez Escobedo. Mg. Hernán Cuti Gutiérrez Vocal. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(4) A SI C. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. DEDICATORIA. S. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Dedicado a:. mis padres Julio y Cecilia,. a mis hermanos Leslie y Fernando, y a la Escuela Académico. Profesional de Matemáticas de. B. IB. LI O. TE. la Universidad Nacional de Trujillo.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(5) A SI C. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. AGRADECIMIENTO. S. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Agradezco a Dios, porque su voluntad permitió que terminara con bien esta carrera.. Agradezco también a las siguientes personas que hicieron posible el desarrollo y culminación de este trabajo:. A mis padres por el apoyo incondicional brindado ante cualquier situación, en especial las adversas.. A mi asesor, Dr. Ulices Zavaleta Calderón, por la orientación y ensen̂anzas. TE. brindadas como profesional y persona.. A la Mg. Roxana Rodrı́guez Escobedo por la ayuda y paciencia mostradas. LI O. durante el desarrollo de la tesis, y. por sus valiosas sugerencias en el desarrollo de esta Tesis.. B. IB. al Dr. Wilson Maco Vazquez, coordinador del curso de Seminario de Tesis II,. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(6) A SI C. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. PRESENTACIÓN. S. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Señores miembros del jurado:. Presento ante ustedes el Trabajo de Tesis titulado:. “ACOTACIÓN DE LA SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DE DIFUSIÓN - REACCIÓN CON CONDICIONES DE FRONTERA NO LINEALES”,. con la finalidad de analizar y detallar las condiciones locales para la acotación local de la solución de una ecuación de difusión - reacción con condiciones de frontera no lineales y de determinar posibles cotas para dicha solución, en cumplimiento del reglamento de Grados y Tı́tulos de la Universidad Nacional de Trujillo para optar. Bch. Julio José Augusto Bcerra Saucedo.. B. IB. LI O. TE. el Tı́tulo de Licenciado en Matemáticas.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(7) A SI C. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. LISTA DE SÍMBOLOS. S. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Rn : espacio euclidiano n - dimensional.. R+ : conjunto de números reales positivos.. R+ 0 : conjunto de números reales no negativos. Ω : subconjunto Rn . Ω : clausura de Ω.. |x| : norma euclidiana de x ∈ Rn . |x| = (x21 + x22 + ... + x2n )1/2 . u : función real de variable vectorial. u : Ω × R+ 0 −→ R.. TE. ∆ : operador de Laplace o Laplaciano. ∆u =. LI O. ∇ : operador gradiente. ∇u = (. ∂u ∂u ∂u + + ... + . ∂x1 ∂x2 ∂xn. ∂u ∂u ∂u , , ..., ). ∂x1 ∂x2 ∂xn. sup f (x) : supremo de f (x) para x ∈ [a, b]. x∈[a,b]. IB. ı́nf f (x) : ı́nfimo de f (x) para x ∈ [a, b]. B. x∈[a,b]. máx{a, b} : máximo de a ó b. mı́n{a, b} : mı́nimo de a ó b. C(Ω) : conjunto de funciones reales y continuas sobre Ω. C k (Ω) : conjunto de funciones reales y k - veces diferenciables sobre Ω, cuyas derivadas son continuas sobre Ω.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(8) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT viii. C ∞ (Ω) : conjunto de funciones reales e infinitamente diferenciables sobre Ω. || . ||B : norma sobre el espacio de Banach B.. A. S. < , >H : producto interno sobre el espacio de Hilbert H.. SI C. L2 (Ω) : conjunto de funciones reales sobre Ω, medibles y cuadrado integrables.. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. L∞ (Ω) : conjunto de funciones reales sobre Ω, medibles y esencialmente acotadas. L1+ (Ω) : conjunto de funciones reales no negativas sobre Ω, medibles e integrables. H01 (Ω) : conjunto de funciones reales con soporte compacto sobre Ω, tales que éstas. B. IB. LI O. TE. y sus derivadas (en el sentido débil) pertenecen a L2 (Ω).. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(9) Jurado. A SI C. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. Índice general. S. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Dedicatoria. Agradecimiento Presentación Sı́mbolos Resumen. TE. Abstract. Introducción. LI O. I. Preliminares. IV. V. VI. VII. XI. XII. XIII. 1. 1.1. Algunos conceptos fı́sicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1. 1.2. Espacios de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2. 1.3. Convergencia puntual y uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. 1.4. Función de Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. 1.5. Cota superior asintótica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4. 1.6.. Teorema del punto fijo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5. 1.7.. Desigualdad de Gronwall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5. 1.8. Operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6. 1.9. Principio de comparación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7. IB B. III. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(10) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. ÍNDICE GENERAL. 1.10. Existencia y unicidad de la solución de la. x. ecuación: ∆u = f (u). 8. 1.10.1. Comentario sobre las “soluciones explosivas” . . . . . . . . . .. 8. 1.10.2. Existencia y unicidad de la solución de la ecuación ∆u = f (u). 9. A. S. Soluciones explosivas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. SI C. 1.11. Métodos de solución para ecuaciones del tipo difusión - reacción. Teo-. rema de existencia y unicidad de soluciones. . . . . . . . . . . . . . . 11. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. 1.11.1. Método de semigrupos de operadores . . . . . . . . . . . . . . 11 1.11.2. Existencia y unicidad de solución de una ecuación de difusión - reacción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14. 1.11.3. Método de diferencias finitas (MDF) . . . . . . . . . . . . . . 18 1.12. Solución propia minimal de una ecuación de difusión - reacción . . . . 20 1.12.1. Solución propia de una ecuación de difusión -. reacción. con condición inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20. 1.12.2. Construcción de la solución propia minimal de un problema de difusión - reacción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22. II. Acotación de la solución de una ecuación de difusión - reacción. 24. 2.1. Acotación de la solución de una ecuación de difusión - reacción . . . . 30 35. Referencias Bibliográficas. 36. Anexos. 41. B. IB. LI O. TE. Conclusiones. A. Explosión en ecuaciones de difusión - reacción. 42. B. Cotas para la solución de problemas de difusión - reacción. 46. C. Simulación y resultados numéricos. 49. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(11) A SI C. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. RESUMEN. S. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. En este trabajo se hace un estudio analı́tico sobre la acotación local de la solución de una ecuación de difusión - reacción con condiciones de frontera no lineales apoyándose en dos construcciones, la de la solución de una ecuación del tipo elı́ptica con explosión en la frontera y la del concepto de solución propia minimal para ecuaciones del tipo parabólico.. Se demuestra que, si las condiciones de frontera y el término no lineal de la ecuación de difusión - reacción son acotadas potencialmente en una vecindad del dominio, entonces la solución es acotada en esa vecindad.. Se llega a concluir que la acotación de la solución es posible y de manera local,. TE. y que generalmente dependen del término no lineal, de la condición en la frontera y. LI O. del dominio. Ası́ mismo se contrasta el resultado obtenido con otros y se analiza la. IB. posibilidad de extender la acotación en la frontera a todo el dominio.. B. Además se presentan simulaciones numéricas de las soluciones de ecuaciones. particulares del tipo difusión - reacción cuyos resultados son constrastados con el análisis realizado.. Palabras claves: ecuación de difusión - reacción, solución acotada, solución propia minimal, solución explosiva, condiciones de frontera no lineales.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(12) A SI C. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. ABSTRACT. S. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. In this work do a analytic study on the local boundedness of the solution of diffusion - reaction equation with nonlinear boundary conditions lean in two constructions, the solutions of equation of elliptic type with blow up boundary and of the concept of minimal proper solution for equations of parabolic type.. Show, if the boundary conditions and the nonlinear factor of diffusion - reaction equation are bounds potency in a neighborhood of domain, the solution is bounds in this neighborhood.. The conclusion is what la boundedness is possible and local, and generally depend of nonlinear factor, the boundary condition and domain. Also contrast the. TE. result obtain with others and examine the possibility of extend the boundedness on. LI O. the boundary to all domain.. IB. Moreover present numerics experiments of the solutions of particular. B. diffusion - reaction equations whose results are contrast with the analysis make.. Key words: diffusion - reaction equation, bounded solution, proper minimal solution, blow up solution, boundary conditions nonlineares.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(13) A SI C. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. INTRODUCCIÓN. S. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Muchos problemas fı́sicos son modelados analizando el balance de dos fenómenos: la difusión y la reacción. Según [25], entiéndase al primero como la dispersión de las especies (sustancias) involucradas en el proceso a lo largo del dominio fı́sico del problema (movimiento local), y el segundo, como el proceso de interacción mediante el cual se generan o se consumen las especies involucradas (crecimiento, interacciones, cambios de estado, etc) .. Las ecuaciones de difusión - reacción son modelos matemáticos que explican cómo la concentración de una o más especies distribuidas en un espacio (dominio) se transforman bajo la influencia de dos procesos: reacciones quı́micas locales y difusión. Estos tipos de ecuaciones cubren una amplia variedad de modelos fı́sicos en. TE. muchos campos de la ciencia, como por ejemplo, procesos biológicos de. LI O. aparición de manchas en la piel de ciertos animales [24, 25, 39], ondas viajantes. IB. [20, 24], dinámica de poblaciones y reacciones quı́micas [24], entre otros.. B. En general, una ecuación de difusión - reacción es una ecuación en derivadas. parciales de segundo orden de la forma: ∂u (x, t) = div(k(x).∇u(x, t)) + f (x, t, u(x, t), ∇u(x, t)), ∂t. (1). donde x ∈ Ω ⊂ Rn , Ω es un conjunto abierto, t ∈ [0, +∞), k : Ω −→ R una función denominada generalmente función de coeficiente de difusión, u : Ω × R+ 0 −→ R la n función incógnita, f : Ω × R+ 0 × R ×R −→ R una función continua que representa. la reacción asociada al fenómeno fı́sico. La ecuación (1) es también llamada ecuación del tipo parabólico. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(14) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. ÍNDICE GENERAL. xiv. Asociados a la ecuación (1) puede considerarse tanto condiciones iniciales como condiciones de frontera, del tipo Dirichlet, Neumman o mixtas.. particular,. se. considera. Ω. conjunto. abierto. y. acotado,. g : Rn × R + 0 −→ R, g = g(x, u(x, t)). SI C. k(x) = 1, ∀x ∈ Ω, f = f (x, u(x, t)),. un. S. en. A. Si. y las condiciones de frontera de Dirichlet y Neumman se obtiene el problema de. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. difusión - reacción que es objeto de estudio de este trabajo:  ∂u(x, t)  +   = ∆u(x, t) + f (x, u(x, t)), (x, u(x, t)) ∈ Ω×, R+ 0 ,t ∈ R ,   ∂t     u(x, 0) = u0 (x), x∈Ω. (2). +. x ∈ ΓD , t ∈ R ,.   u(x, t) = 0,      ∂u(x, t)    = g(x, u(x, t)), ∂η. x ∈ ΓN , t ∈ R+ ,. donde Γ = ∂Ω = ΓD ∪ ΓN es una partición disjunta de la frontera de Ω, f y g son funciones suaves. Los subı́ndices D y N en Γ indican la parte de la frontera con condiciones del tipo Dirichlet y Neumman, respectivamente. u0 ∈ L∞ (Ω), u0 (x) ≥ 0 para x ∈ Ω. Para obtener soluciones positivas de (2) se toman ciertas hipótesis sobre las funciones no lineales f y g:. TE. f (x, 0) ≥ 0, ∀ x ∈ Ω,. LI O. |f (x, u)−f (x, v)| ≤ k1 |u−v|, k1 ≥ 0. g(x, 0) ≥ 0, ∀ x ∈ ΓN .. y. (3). |g(x, u)−g(x, v)| ≤ k2 |u−v|, k2 ≥ 0, (4). esto es, f y g son funciones de Lipschitz en la segunda variable. Es importante. B. IB. recalcar que, según [2], esta hipótesis se puede debilitar a que f y g sean localmente. Lipschitz. Ası́ el problema de investigación del presente trabajo que planteado como sigue: ¿Bajo qué condiciones sobre las funciones no lineales f y g, la solución del problema (2) es acotada en una vecindad de un punto x0 ∈ ∂Ω, uniformemente para todo t > 0?. El estudio de la acotación de la solución del problema (2) se aborda en vista. que en los diferentes problemas de difusión - reacción es importante determinar Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(15) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. ÍNDICE GENERAL. xv. las caracterı́sticas del término que representa la reacción ası́ como de la condición inicial para garantizar la existencia, unicidad y acotación de soluciones; también es. SI C. A. y u0 para las cuales es factible el estudio analı́tico y numérico del mismo.. S. importante el establecimiento de condiciones de una amplia clase de funciones f, g. En la actualidad existe una amplia y diversa bibliografı́a de trabajos destinados. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. al estudio de las ecuaciones diferenciales parciales, y en particular, las ecuaciones de difusión - reacción. Turing ([24]) formuló en 1952 el primer modelo de morfogénesis mediante un sistema de ecuaciones de difusión - reacción no lineal y demostró que un sistema con estas caracterı́sticas, definido en un dominio espacial acotado y bajo ciertas condiciones (iniciales y de frontera) continuas evoluciona a un patrón espacial heterogéneo debido a pequen̂as perturbaciones de las concentraciones de las sustancias.. Pinsky. en. su. trabajo. [31],. consideró. soluciones. clásicas. LI O. TE. u ∈ C 2 (Rn × (0, +∞)) ∩ C(Rn × [0, +∞)) de la ecuación de difusión - reacción:    ut (x, t) = Lu(x, t) + f (x, u(x, t)), (x, t) ∈ Rn × (0, +∞),    (5) u(x, 0) = g(x) ≥ 0, x ∈ Rn ,      u(x, t) ≥ 0,. B. IB. donde. n X. n. X ∂2 ∂ L= ai,j (x) + bi (x) ∂xi ∂xj ∂xi i,j=1 i=1. es un operador elı́ptico no degenerado, g ∈ C(Rn ) y f localmente Lipschitz en x, con f → −∞ cuando u → +∞. Uno de los principales resultados a los que llegó Pinsky es la existencia de una cota universal para la solución del problema (4), esto es, demostró que existe una función continua no negativa M (x, t) tal que: 0 ≤ u(x, t) ≤ M (x, t).. (6). Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(16) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. ÍNDICE GENERAL. xvi. En [1], se toma el caso f = f (x, t, u(x, t), ∇u(x, t)) para el problema (5) y se llegó a la existencia una cota universal para u(x, t) definida en un tiempo [0, T ], T > 0, dependiente de la medida (en el sentido de Lebesgue) del dominio y de. SI C. A. S. constantes determinadas por las normas de f y u0 .. Existen muchos trabajos que tratan sobre la posibilidad de acotar la solución. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. de (2) ó (5) en el sentido débil, esto sea en la forma variacional o en el campo de semigrupos de operadores, para detalles ver [21, 26, 27, 40].. Un fenómeno asociado con frecuencia a las ecuaciones de difusión - reacción es el de explosión (blow - up en la literatura inglesa), esto es, puede ocurrir que la solución “explote” en un tiempo finito (para más detalles ver [7, 10, 13, 14]). Arrieta y Rodriguez en [3, 4] hacen un estudio para el problema (2) con las suposiciones (3) y (4) y establecieron condiciones sobre los términos de reacción y de frontera para las cuales la solución u presenta explosión en caso de ser no acotada. Los resultados a los que llegaron fueron que, si se condicionan cotas por potencias de u sobre f y g, la solución bien podrı́a ser acotada en una vecindad de ∂Ω para cualquier condición inicial u0 ∈ L∞ (Ω) o presentar una explosión en un punto x0 ∈ ∂Ω (lo que resulta. TE. además determinado por los denominados exponentes crı́ticos, ver [13, 14, 33]). En 2007 Arrieta [2] expuso sus resultados sobre la acotación local en la frontera para el. LI O. problema (2), consideró soluciones no negativas y bajo ciertas hipótesis sobre f, g. B. IB. y u0 demostró que existe una constante M ≥ 0 tal que sup. u(x, t) ≤ M .. 0≤t<∞,x∈B(x0 ,δ)∩Ω. Los resultados en [2, 3, 4] se basan en el estudio del comportamiento asintótico de las soluciones del problema elı́ptico de la forma:   ∆u(x) = f (u(x)), x ∈ Ω,  u(x) = +∞,. (7). x ∈ ∂Ω,. donde Ω ⊂ Rn , conjunto abierto y acotado. Este tipo de problema fue estudiado por Keller [23], Osserman [29], Costin y Dupaigne en [11, 12]. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(17) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. ÍNDICE GENERAL. xvii. Otro concepto en el que se apoyaron los trabajos de Arrieta y Rodrı́guez es el de las soluciones propias minimales (que son una extensión de la solución clásica construida en base a sucesiones), desarrollado por Vázquez y Galaktionov en [18, 19]. SI C. A. S. y por Rossi y Quiróz en [35].. En este trabajo se analizan a detalle las condiciones dadas en [2] y se realizan. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. simulaciones numéricas para casos particulares del problema (2) y se estiman valores aproximados de las cotas de sus soluciones confrontados con los resultados de otros autores.. Los resultados de existencia y unicidad de la solución para el problema (2) se basan en la Teorı́a de Semigrupos, referenciados en [6, 24, 26]. El estudio analı́tico para establecer las condiciones de acotación de la solución del problema se desarrolla en el Capı́tulo II. Se incluyen además anexos tratando sobre el fenómeno de explosión, algunos resultados sobre acotación y simulaciones numéricas de las. B. IB. LI O. TE. soluciones de algunos problemas de la forma (2) ó (5).. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(18) A SI C. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. Capı́tulo I. S. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. Preliminares. En el siguiente capı́tulo se mencionan las definiciones y resultados que se utilizan en el desarrollo del presente trabajo. Para las demostraciones de los principales resultados se indica la bibliografı́a respectiva.. 1.1.. Algunos conceptos fı́sicos. A continuación se presentan algunos conceptos fı́sicos que ayudarán a un mejor. TE. conocimiento y entendimiento de las ecuaciones de difusión - reacción. - Fenómeno fı́sico. LI O. Un fenómeno fı́sico es la transformación de un cuerpo que no cambia la. B. IB. naturaleza de la materia de la cual está constituido. En la mayorı́a de los casos los fenómenos fı́sicos son reversibles.. - Reacción quı́mica o fenómeno quı́mico Una reacción quı́mica es un proceso quı́mico (termodinámico) en el cual una o más sustancias, por efecto de un factor energético, se transforman cambiando su estructura molecular en otras, llamadas usualmente productos. - Difusión La difusión es un fenómeno fı́sico (irreversible), donde partı́culas (especies, sustancias) de algún fluido se dispersan en un medio fı́sico, aumentando el des-. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(19) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.2 Espacios de funciones. 2. orden “molecular” del sistema conjunto formado por las partı́culas difundidas y el medio donde se difunden.. S. - Ecuación de difusión - reacción. A. una ecuación de difusión - reacción es un modelo matemático que describe. SI C. cómo una o más sustancias distribuidas en el espacio o dominio cambian bajo. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. la influencia de dos procesos: reacciones quı́micas y difusión.. Las ecuaciones de difusión - reacción se aplican en la modelización de procesos tanto quı́micos como fı́sicos. Encontramos ejemplos de tales aplicaciones en biologı́a [25, 24], fı́sica [38], quı́mica [24], entre otros.. 1.2.. Espacios de funciones. Definición 1.1 Sea Ω un subconjunto abierto y no vacı́o de Rn con n ≥ 1. Se definen:. (a) El espacio L2 (Ω) es el conjunto de clases de equivalencia de funciones de valor R real (o complejo) medibles u : Ω −→ R tal que Ω |u(x)|2 dx < ∞.. LI O. TE. L2 (Ω) es un espacio de Banach con la norma Z 1 ||u||L2 = ( |u(x)|2 dx) 2 . Ω. B. IB. (b) El espacio L∞ (Ω) es el conjunto de clases de equivalencia de funciones de valor real (o complejo) medibles u : Ω −→ R tal que ∃ M ≥ 0, |u(x)| ≤ M c.t.p.. L∞ (Ω) es un espacio de Banach con la norma ||u||L∞ (Ω) = ||u||∞ = ı́nf{M ≥ 0 : |u(x)| ≤ M c.t.p. en Ω}.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(20) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.3 Convergencia puntual y uniforme. 1.3.. 3. Convergencia puntual y uniforme. Como uno de los nuevos conceptos que se aborda en este trabajo es el concepto. SI C. convergencia en espacios de Banach que se definen a continuacion:. A. S. de “solución propia”, que se verá en la sección 1.12, se necesitan algunos tipos de. Definición 1.2 Sea X, ||.||X ) un espacio Banach y {xn }n∈N una sucesión en X.. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. La sucesión {xn }n∈N converge a x ∈ X si y sólo si ∀ > 0 ∃ N > 0, tal que ∀n > N implica que ||xn − x||X < .. Definición 1.3 Sean (X, ||.||X ) y (Y, ||.||Y ) espacios de Banach. {fn }n∈N es una sucesión de funciones, fn : X −→ Y . La sucesión {fn }n∈N converge en el punto x0 ∈ X si y sólo si la sucesión {fn (x0 )}n∈N ∈ Y es convergente.. Definición 1.4 Sean (X, ||.||X ) y (Y, ||.||Y ) espacios de Banach. {fn }n∈N una sucesión de funciones, fn : X −→ Y y f : E −→ Y , donde E ⊂ X. {fn }n∈N converge puntualmente a f en el conjunto E si y sólo si ∀ > 0 ∃ N = N (x, ) > 0, tal que ∀n > N implica que ||fn (x) − f (x)||Y < , ∀x ∈ E.. Definición 1.5 Sean (X, ||.||X ) y (Y, ||.||Y ) espacios de Banach. {fn }n∈N una. TE. sucesión de funciones, fn : X −→ Y y f : E −→ Y , donde E ⊂ X. {fn }n∈N converge. LI O. uniformemente a f en el conjunto E si y sólo si ∀ > 0 ∃ N = N () > 0, N ∈ N,. IB. tal que si n > N implica implica que ||fn (x) − f (x)||Y < , ∀x ∈ E.. B. 1.4.. Función de Lipschitz. Definición 1.6 La función f : Ω ⊂ Rn −→ Rm es (globalmente) Lipschitz en el conjunto Ω si y sólo si ∃ L > 0 tal que: |f (x) − f (y)| ≤ L|x − y|,. ∀ x, y ∈ Ω.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(21) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.5 Cota superior asintótica. 4. Definición 1.7 La función f : Ω ⊂ Rn −→ Rm es localmente Lipschitz en Ω si y sólo si dado un punto arbitrario x0 ∈ Ω, ∃ L0 > 0 y una vecindad V0 ⊂ Ω del punto x0 tales que. S. ∀ x, y ∈ V0 .. A. |f (x) − f (y)| ≤ L0 |x − y|,. SI C. Es decir, una función es localmente Lipschitz en un abierto Ω cuando es posible definir una constante de Lipschitz entorno a cualquier punto x0 ∈ Ω.. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. Ahora bien, es posible que, la constante de Lipschitz “explote” (tienda al infinito) si se intenta que el abierto V0 cubra todo Ω.. Definición 1.8 Sea la función f : Ω ⊂ Rn × R −→ Rm , f = f (x, t). f es localmente Lipschitz respecto a la variable x (uniformemente en la variable t) en Ω × R si y sólo si dado un punto arbitrario x0 ∈ Ω, ∃ L0 > 0 y una vecindad V0 ⊂ Ω del punto x0 tales que. |f (x, t) − f (y, t)| ≤ L0 |x − y|,. 1.5.. ∀ (x, t), (y, t) ∈ V0 × R.. Cota superior asintótica. En análisis de algoritmos una cota superior asintótica es una función que sirve de. TE. cota superior de otra función cuando el argumento tiende a infinito. Este argumento. LI O. será necesario cuando se traten en el capı́tulo II los teoremas de unicidad para las denominadas soluciones “explosivas”.. IB. Definición 1.9 Sean Ω ⊂ R y la función g : Ω −→ R. Se define la cota superior. B. asintótica de g(x), usualmente se utiliza la notación de Landou: O(g(x)), como el conjunto de funciones acotadas superiormente por g(x), esto es: O(g(x)) = {f : Ω −→ R / ∃ c ∈ R, x0 ∈ Ω : ∀ x ≥ x0 : |f (x)| ≤ c|g(x)|}. A pesar que O(g(x)) está definido como un conjunto se acostumbra escribir f (x) = O(g(x)) en lugar f (x) ∈ O(g(x)).. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(22) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.6 Teorema del punto fijo. 5. Ejemplo 1.1 la función x + 10 puede ser acotada superiormente por 11x2 . Para demostrarlo basta notar que para todo valor de x ≥ 1 se cumple que x + 10 ≤ 11x2 . Por tanto,. 1.6.. SI C. A. S. x + 10 = O(11x2 ). Teorema del punto fijo. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. Teorema 1.1 Sean S un subconjunto cerrado de un espacio de Banach (X, ||.||X ) y la función T : S −→ S tal que:. ||T (x) − T (y)||X ≤ k||x − y||X ,. ∀ x, y ∈ S, 0 ≤ k < 1.. Entonces T tiene un único punto fijo en S, es decir, existe un único x∗ ∈ S que satisface T (x∗ ) = x∗ .. 1.7.. Desigualdad de Gronwall. Teorema 1.2 Sean λ : [a, b] −→ R continua y µ : [a, b] −→ R+ continua y no. LI O. TE. negativa. Si una función continua y : [a, b] −→ R satisface Zb. y(t) ≤ λ(t) +. µ(s)y(s)ds,. a. B. IB. para a ≤ t ≤ b, entonces, sobre el mismo intervalo, Zt y(t) ≤ λ(t) +. λ(s)µ(s)e. Rt s. µ(τ )dτ. ds.. a. En particular, si λ(t) = λ es una constante, se tiene y(t) ≤ λe. Rt s. µ(τ )dτ. .. Si además, µ(t) = µ es una constante, entonces y(t) ≤ λeµ(t−a) .. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(23) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.8 Operadores. 1.8.. 6. Operadores. ||x||X ≤1. (X, ||.||X ). y. (Y, ||.||Y ). espacios. de. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. Definición 1.11 Sean. SI C. ||L|| = sup ||L(x)||Y ≤ k.. A. un operador lineal. L es un operador acotado si y sólo si ∃K > 0 tal que:. S. Definición 1.10 Sean (X, ||.||X ) y (Y, ||.||Y ) espacios de Banach. L : X −→ Y. Banach.. L : E ⊂ X −→ Y un operador lineal. L es un operador cerrado si y sólo si ∀ {xn }n≤1 ⊂ E, xn → x, Lxn → y implica que x ∈ E, y = L(x).. Definición 1.12 Sean (X, ||.||X ) y (Y, ||.||Y ) espacios de Banach. L : X −→ Y un operador. L es un operador compacto si y sólo si ∀ {xn }n≤1 ,. tal que. máxn ||xn || ≤ C para C ≥ 0 implica que ∃ E{xnk }k≥1 tal que L(xnk ) converge. Definición 1.13 Sean (H, < . >H ) un espacio de Hilbert y L : E ⊂ H −→ E un operador lineal, con Ē = H. L es un operador simétrico (o hermı́tico) si y sólo si < Lx, y >H =< x, Ly >H ∀ x, y ∈ E.. Definición 1.14 Sean (H, < . >H ) un espacio de Hilbert y L : E ⊂ H −→ E. TE. un operador lineal y simétrico, con Ē = H. L es un operador positivo si y sólo si. B. IB. LI O. < x, Lx >H > 0 ∀ x ∈ E.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(24) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.9 Principio de comparación. Principio de comparación. (1.1). C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. SI C. A. Considerar el problema  ∂u(x, t)    − ∆u(x, t) = f (x, t, u(x, t)), (x, t) ∈ Ω × (0, T )    ∂t u(x, 0) = u0 (x), x∈Ω      u(x, t) = 0, x ∈ ∂Ω, t ∈ (0, T ),. S. 1.9.. 7. donde Ω ⊂ Rn , conjunto abierto y acotado, u : Ω × [0, T ) −→ R, u0 ∈ L∞ (Ω) y f : Ω × [0, T ) × R −→ R.. Sean los conjuntos: GT = Ω × (0, T ), ḠT = Ω̄ × [0, T ) y ΓT = Ω × {0} ∪ ∂Ω × (0, T ). El siguiente teorema permite comparar dos soluciones de (1.1) en GT . Teorema 1.3 Sean u, v ∈ C 2 (GT ) ∩ C(ḠT ) tales que: f (x, t, u) + ∆u(x, t) −. ∂v(x, t) ∂u(x, t) ≤ f (x, t, v) + ∆v(x, t) − , ∂t ∂t. sobre GT . Además u ≥ v sobre ΓT . Entonces: u(x, t) ≥ v(x, t). ∀ (x, t) ∈ GT .. LI O. TE. Corolario 1.1 Sean u1 , u2 ∈ C 2 (GT ) ∩ C(ḠT ) soluciones de la ecuación: ∂u(x, t) = ∆u(x, t) + f (x, t, u), ∂t. (x, t) ∈ GT ,. u1 (x, t) = u2 (x, t). ∀ (x, t) ∈ GT .. B. IB. y además u1 (x, t) = u2 (x, t) sobre Ω × (0, T ). Entonces:. Para las demostraciones respectivas de estos resultados consultar [24].. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(25) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.10 Existencia y unicidad de la solución de la Soluciones explosivas.. 1.10.. ecuación: ∆u = f (u). 8. Existencia y unicidad de la solución de la. A. Comentario sobre las “soluciones explosivas”. SI C. 1.10.1.. S. ecuación: ∆u = f (u). Soluciones explosivas.. En el estudio de problemas modelados por ecuaciones de difusión - reacción se. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. posee, por lo general, una teorı́a de existencia y unicidad para tiempos cortos, sin embargo puede ocurrir que la solución “deje de existir” en un tiempo finito. La forma más simple en que aparece este fenómeno es cuando la solución tiende a infinito a medida que la variable temporal t se acerca a un tiempo finito, T > 0. Para ilustrar mejor la idea, sea el problema:.   u0 (t) = f (u). (1.2).  u(0) = u0 > 0,. donde f es positiva, creciente y regular. En particular, cuando f (u) = up , p > 1, esta ecuación tiene como única solución a:. 1. TE. u(t) = Cp (T − t)− p−1 , 1. −1 donde T = u1−p y Cp = (p−1)− p−1 . En este ejemplo simple puede verse que 0 (p−1). LI O. la solución u(t) es regular para todo 0 < t < T y que u(t) → +∞ cuando t % T . Cuando esto ocurre se dice que u “explota” (blow - up en la literatura inglesa), es. IB. decir, lı́mt%T u(t) = +∞, a este valor de T se le denomina tiempo de explosión.. B. Motivado por este ejemplo, el concepto de explosión (blow - up) puede ser descrito como el fenómeno por el cual la solución no está globalmente definida porque tiende al infinito en un tiempo finito.. Los primeros resultados rigurosos que prueban la aparición de este fenómeno de explosión en ecuaciones en derivadas parciales fueron los obtenidos por Kaplan (1963) y Fujita (1966) ([14]). Vazquez y Galaktionov en [18, 19], Pérez [30] y Pulkkinen [32] estudiaron el caso de explosión en ecuaciones parabólicas. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(26) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.10 Existencia y unicidad de la solución de la Soluciones explosivas.. ecuación: ∆u = f (u). 9. semilineales, es decir, ecuaciones de la forma (1), y De Pablo en [13], establece condiciones en las que se presenta explosión para la ecuación (2) sin condiciones de. 1.10.2.. SI C. A. S. frontera.. Existencia y unicidad de la solución de la ecuación. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. ∆u = f (u) Para propósitos de este trabajo se considera el problema:   ∆u(x) = f (u(x)),. x ∈ Ω,.  u(x) = +∞,. x ∈ ∂Ω,. (1.3). donde Ω ⊂ Rn , es un conjunto abierto y acotado, u : Ω −→ R y f ∈ C 1 (Ω). La condición de frontera significa que: lı́m. x→x0 ,x∈Ω. u(x) = +∞,. ∀ x0 ∈ ∂Ω.. Una función u que satisface (1.3) es llamada solución con explosión en la frontera. TE. (boundary blow - up solution o large solution).. Ejemplo 1.2. B. IB. LI O. Cuando f (u(x)) = eu(x) , se obtiene el problema:   ∆u(x) = eu(x) , x ∈ Ω,  u(x) = +∞,. x ∈ ∂Ω,. que fue estudiada por L. Bierberbach (1916), y determinó que existe una única solución u ∈ C 2 (Ω) para el caso Ω ⊂ R2 . Definición 1.15 Una función f : [τ, +∞] −→ R es definida positiva al infinito si y sólo si ∃ a > τ tal que f (a) > 0 y f (t) ≥ 0, ∀ t > a.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(27) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.10 Existencia y unicidad de la solución de la Soluciones explosivas.. ecuación: ∆u = f (u). 10. Ejemplo 1.3 1. Sea la función f (x) = ln(x), entonces para a = e se tiene que f (e) > 0 y. S. f (x) ≥ 0, ∀x ≥ e, por tanto f (x) = ln(x) es definida positiva al infinito.. SI C. A. 2. La función f (u) = βup , con β > 0 y p > 1, es definida positiva al infinito, pues. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. basta con tomar > 0, ası́ se tiene f () > 0 y f (u) > 0 ∀u > .. El problema (1.3) fue estudiado por Keller [23] y Osserman [29]. Ellos establecieron las condiciones suficientes sobre Ω y f para la existencia de soluciones, y formularon el siguiente resultado:. Teorema 1.4 Sea Ω ⊂ Rn , conjunto abierto y acotado con frontera suave, f ∈ C 1 (Ω) y definida positiva al infinito tal que: Z+∞. 1. p. a. F (t). Zt. dx < +∞,. donde F (t) =. f (s)ds.. (1.4). a. Entonces el problema (1.3) admite al menos una solución. Demostración:. TE. Para la demostración consultar [23] ó [29].. IB. LI O. La condición (1.4) es denominada Condición de Kelller - Osserman.. B. Teorema 1.5 Si Ω es la bola unitaria en Rn , y asúmanse las hipótesis del. teorema anterior. Entonces la solución del problema (1.3) es única. Demostración: Para la demostración consultar [12].. Observar que, el teorema anterior es válido también para cualquier bola B(0, r) ⊂ B(0, 1) para 0 < r < 1. Pero si el conjunto Ω fuera una bola con radio mayor que 1, o en otro caso, fuese cualquier otro conjunto, cómo determinar la Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(28) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.11 Métodos de solución para ecuaciones del tipo difusión - reacción. Teorema de existencia y unicidad de soluciones. 11. unicidad de la solución del problema (1.3). Para ello, se tiene el siguiente teorema establecido por O. Costin , L Dupaigne y O. Goubet en 2011:. S. Teorema 1.6 Sea ∂Ω de clase C 3 , y que su curvatura principal es no negativa.. (1.3).. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. Demostración:. SI C. A. Además f cumple (1.4), es no decreciente y positiva al infinito y que existe M ∈ R √ tal que F es convexa en (M, +∞). Entonces existe una única solución al problema. Para la demostración consultar [11].. 1.11.. Métodos de solución para ecuaciones del tipo difusión - reacción. Teorema de existencia y unicidad de soluciones.. Existen diferentes métodos, tanto análiticos como numéricos, que son utilizados para solucionar ecuaciones en derivadas parciales, en particular, para. TE. solucionar ecuaciones de difusión - reacción. Entre los métodos analı́ticos se tienen el método variacional, el método espectral (ver [24]), el método de semigrupos (el. LI O. cual se detallará a continuación, y está basado en [6, 26]), el método de funciones de Green, los métodos topológicos (ver [38]), entre otros. Entre los métodos numéricos. IB. se tiene con más frecuencia los métodos de diferencias finitas (MDF) [17], el de los. B. elementos finitos (MEF), el de los volúmenes finitos (MVF), y otros.. 1.11.1.. Método de semigrupos de operadores. Si bien esta teorı́a no resuelve de manera explı́cita un problema de difusión reacción, al menos nos proporciona un marco funcional adecuado para aproximar soluciones y establecer en que espacios estan dichas soluciones.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(29) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.11 Métodos de solución para ecuaciones del tipo difusión - reacción. Teorema de existencia y unicidad de soluciones. 12. La noción de semigrupo es una de las más importantes para describir procesos dependientes del tiempo en términos del análisis funcional. Por ejemplo,. u(0) = u0. SI C. u̇(t) = Au(t),. A. S. para un proceso fı́sico descrito por la ecuación:. con A como generador de un semigrupo {T (t)}t≥0 , entonces la solución del. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. problema (1.20) es u(t) = T (t)u0 para todo u0 ∈ D(A).. Definición 1.16 Un semigrupo {T (t)}t≥0 sobre un espacio de Banach (X, ||.||X ) es una familia de operadores lineales acotados T (t) : X −→ X para todo t ≥ 0 tal que:. (a) T (t + s) = T (t) o T (s),. ∀ t, s ≥ 0. (b) T (0) = I, con I como el operador identidad sobre X.. Definición 1.17 Sea (X, ||.||X ) un espacio de Banach. El generador de un semigrupo {T (t)}t≥0 es un operador lineal A : D(A) ⊂ X −→ X tal que Aw = lı́m+ t→0. T (t)w − w , t. ∀ w ∈ D(A). TE. siempre y cuando el lı́mite exista.. LI O. Definición 1.18 Sea (X, ||.||) un espacio de Banach. Un semigrupo {T (t)}t≥0 es. fuertemente continuo si y solamente si la aplicación t 7→ T (t)w es continua en. B. IB. [0, +∞) para todo w ∈ X, esto es, lı́m T (t)w = T (s), t→s. ∀ w ∈ X.. Definición 1.19 Sea (X, ||.||X ) un espacio de Banach. Un semigrupo {T (t)}t≥0 es uniformemente continuo si y solamente si: ||T (t) − I||X → 0, para t → 0+ .. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(30) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.11 Métodos de solución para ecuaciones del tipo difusión - reacción. Teorema de existencia y unicidad de soluciones. 13. A continuación se mencionan algunos resultados que irán preparando la base para los teoremas de existencia y unicidad de soluciones del problema (2).. 1. A : D(A) ⊆ X −→ X es un operador lineal.. A. SI C. tiene un generador A, el cual satisface las siguientes propiedades:. S. Teorema 1.7 Todo semigrupo fuertemente continuo de operadores acotados {T (t)}t≥0. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. 2. si x ∈ d(A), entonces T (t)x ∈ D(A) y Ṫ (t)x = T (t)Ax = AT (t)x, ∀t > 0. Teorema 1.8 Sea {T (t)}t≥0 un semigrupo fuertemente continuo, entonces existen constantes ω ≥ 0 y M ≥ 1 tales que:. ||T (t)|| ≤ M eωt .. Lema 1.1 Si A es el generador infinitesimal de un semigrupo fuertemente continuo, entonces el dominio D(A) es denso en X y A es un operador lineal cerrado.. En [6] se tiene un resultado interesante:. Teorema 1.9 Sea L : D(L) ⊂ H −→ X un operador denso definido positivo. TE. sobre un espacio de Hilbert H, con ran(L) = H, y sea el inverso un operador compacto. Sean λk los autovalores de L correspondientes a las autofunciones φk tal. LI O. que {φk } es un sistema ortonormal completo. Entonces −L genera un semigrupo. IB. {T (t)}t≥0 sobre H: T (t) = e−Lt , t ≥ 0 donde, para:. B. x=. +∞ X. ck φk ∈ H,. k=1. se tiene e. −Lt. x :=. +∞ X. e−λk t ck φk .. k=1. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(31) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.11 Métodos de solución para ecuaciones del tipo difusión - reacción. Teorema de existencia y unicidad de soluciones. 14. Teorema 1.10 Sea Ω ⊂ Rn , un conjunto abierto y acotado. El operador −∆ en H 2 (Ω) ∩ H01 (Ω) satisface las siguientes propiedades sobre el espacio H = L2 (Ω):. S. 1. Es un operador denso en H = L2 (Ω) y definido positivo.. SI C. A. 2. La inversa de ∆ es compacto.. 3. El operador L = −∆ genera un semigrupo fuertemente continuo sobre. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. H =L2 (Ω).. La idea de aplicar el marco de semigrupos para problemas no lineales de ecuaciones en derivadas parciales ha sido ampliamente utilizado en problemas de difusión no lineal (Galaktionov, Vázquez [18, 19], Arrieta [2, 5] y Kovács [6]).. 1.11.2.. Existencia y unicidad de solución de una ecuación de difusión - reacción. Considerar el problema de Cauchy:. TE.   u̇(t) + Au(t) = f (t, u(t)), t > 0. (1.5).  u(0) = u0 ∈ X,. LI O. donde (X, ||.||X ) es un espacio de Banach, −A es el generador de un semigrupo fuertemente continuo {T (t)}t≥0 sobre el espacio X, f : [0, T ] × X −→ X es una. B. IB. función continua en t y Lipschitz en u. Definición 1.20 La función u : [0, T ) −→ X es una solución clásica de (1.5) en. [0, T ) si y sólo si u ∈ C 1 ((0, T )), u(t) ∈ D(A), ∀ t ∈ (0, T ) y u satisface el problema (1.5). Definición 1.21 u es solución débil del problema (1.5) si y sólo si u es solución de la ecuación integral Zt T (t − s)f (s, u(s))ds,. u(t) = T (t)u0 +. (1.6). 0. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(32) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.11 Métodos de solución para ecuaciones del tipo difusión - reacción. Teorema de existencia y unicidad de soluciones. 15. El siguiente teorema asegura la existencia y unicidad de solución débil para problemas de la forma (1.5).. S. Teorema 1.11 Sea f : [0, T ]×X −→ X una función continua en t y globalmente. A. Lipschitz sobre X. Si −A es el generador de un semigrupo fuertemente continuo. SI C. {T (t)}t≥0 , entonces para cada u0 ∈ X el problema de valor inicial (1.5) tiene una única solución débil u ∈ C([0, T ]; X). Además la aplicación u0 7→ u es Lipschitz de. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. X en C([0, T ]; X). Demostración:. Para u0 ∈ X se define la función: F : C([0, T ]; X) −→ C([0, T ]; X) como Zt. T (t − s)f (s, u(s))ds.. (F u)(t) = T (t)u0 +. (1.7). 0. Sea ||u||1 la norma de u ∈ C([0, T ]; X). De (1.21) se tiene que: Zt. ||(F u)(t) − (F v)(t)||X = ||. T (t − s)[f (s, u(s)) − f (v, v(s))]ds||X. 0. Zt. ≤. ||T (t − s)||.||f (s, u(s)) − f (v, v(s))||X ds. 0. LI O. TE. Zt. ≤. M L||u − v||1 ds ≤ M Lt||u − v||1 ,. 0. B. IB. donde M es la cota de ||T (t)|| en [0, T ]. Ası́ se obtiene ||(F u)(t) − (F v)(t)||X ≤ M Lt||u − v||1 .. (1.8). Luego por inducción se tiene: n. n. Zt. ||(F u)(t) − (F v)(t)||X ≤ M L. (M Ls)n−1 (M Lt)n ||u − v||1 ≤ ||u − v||1 , (n − 1)! n!. 0. juntando extremos se tiene ||(F n u)(t) − (F n v)(t)||X ≤. (M Lt)n ||u − v||1 , n!. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(33) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.11 Métodos de solución para ecuaciones del tipo difusión - reacción. Teorema de existencia y unicidad de soluciones. 16. (M Lt)n < 1, entonces por n! el teorema del punto fijo, F tiene un único punto fijo u ∈ C([0, T ]; X). Este punto. luego, para un n suficientemente grande se tendrá que. S. fijo es la solución de la ecuación integral dada en la definición 1.21 y por tanto es la. SI C. A. solución débil del problema (1.5).. Sea v una solución débil del problema de valor inicial (1.5) con condición inicial. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. v0 , entonces: ||(F u)(t) − (F v)(t)||X = ||u(t) − v(t)||X. Zt. ≤ ||T (t)u0 − T (t)v0 ||X + ||. T (t − s)f (s, u(s)) − f (v, v(s))ds||X. 0. Zt. ≤ M ||u0 − v0 ||X + M L. ||u(s) − v(s)||X ds,. 0. y usando la desigualdad de Gronwall, implica que:. ||u(t) − v(t)||X ≤ M eM LT ||u0 − v0 ||X. finalmente. ∀t ∈ [0, T ],. TE. ||u − v||1 ≤ M eM LT ||u0 − v0 ||. lo cual implica que si u0 = v0 , entonces u(t) = v(t), ∀t ∈ [0, T ] . Por lo tanto, la. LI O. solución del problema (1.6) es única. Además, de la última desigualdad se obtiene. IB. que la aplicación u0 7→ u es Lipschitz.2. B. Corolario 1.2 Si A y f satisfacen las condiciones del Teorema 1.11 entonces. para cada g ∈ C([0, T ]; X) la ecuación integral Zt T (t − s)f (s, w(s))ds. w(t) = g(t) + 0. tiene una única solución débil w ∈ C([0, T ]; X). Teorema 1.12 Sea f : [0, +∞) × X −→ X, f = f (t, u) una función localmente Lipschitz en u y globalmente Lipschitz en t. Si −A es el generador de un semigrupo Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(34) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.11 Métodos de solución para ecuaciones del tipo difusión - reacción. Teorema de existencia y unicidad de soluciones. 17. fuertemente continuo {T (t)}t≥0 sobre un espacio de Banach (X, ||.||X ), entonces para cada x0 ∈ X existe un tmax ≤ +∞ tal que el problema de valor inicial (1.5) tiene una. S. única solución débil en [0, tmax ). Si tmax < +∞ entonces lı́mt→tmax ||u(t)|| = +∞.. A. Teorema 1.13 Si −A es el generador de un semigrupo fuertemente continuo. SI C. {T (t)}t≥0 sobre un espacio de Banach (X, ||.||X ) y sea f : [0, T ] × X −→ X una función diferenciable entonces la solución débil de (1.5) para u0 ∈ D(A) es una. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. solución clásica.. Para los detalles de las demostraciones de los teoremas anteriores ver [6].. Teorema 1.14 (Existencia y unicidad de solución).. Sean Ω ⊂ Rn , un subconjunto abierto, convexo y acotado, q : Ω × [0, T ) × R una función continua y diferenciable en la tercera variable con derivada acotada. Entonces el problema:   ∂u(x,t)   − ∆u(x, t) + q(x, t, u(x, t)) = g(x, t) (x, t) ∈ QT    ∂t u(x, 0) = u0 (x) x∈Ω      u(x, t) = 0 (x, t) ∈ ΓT ,. (1.9). LI O. TE. donde QT = [0, T ) × Ω y ΓT = [0, T ) × ∂Ω, tiene una única solución débil.. Demostración:. B. IB. La formulación del problema abstracto a (1.9) es:   u̇(t) + Au(t) = F (t, u(t)), t > 0. (1.10).  u(0) = u0 ∈ L∞ , donde F (t, u(t)) = −q(·, t, u(·, t)) + g(·, t) y constante k > 0 se tiene: |. ∂q(x, t, u) | ≤ k. ∂u. ∂q es acotada, es decir, para alguna ∂u. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(35) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.11 Métodos de solución para ecuaciones del tipo difusión - reacción. Teorema de existencia y unicidad de soluciones. 18. Para usar el Teorema 1.11 se tiene que probar que la función F es localmente Lipschitz en u: Z. |. =. ∂q(t, x, w(t, x)) 2 | |u(t, x) − v(t, x)|2 dx ∂u. A. Ω Z. S. | − q(t, x, u(t, x)) + g(t, x) − (−q(t, x, v(t, ·)) + g(t, x))|dx. =. SI C. ||F (t, u) −. F (t, v)||2L2. Ω. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. ≤ k 2 ||u − v||2L2 ,. Ası́ se tiene que F es Lipschitz en u. Por tanto, por el Teorema 1.11 la ecuación (1.10) tiene una única solución débil 2.. Obsérvese que si la función h(x, t, u) = g(x, t)−q(x, t, u) es diferenciable entonces por el Teorema 1.13, la solución débil del problema (1.10) es una solución clásica.. A continuación se describe de forma muy breve el método de diferencias finitas, puesto que para la simulación numérica se ha hecho uso de este método numérico (ver Anexo C).. Método de diferencias finitas (MDF). TE. 1.11.3.. LI O. Este método consiste en introducir una malla sobre una región (dominio) y. aproximar las derivadas del problema planteado por medio de técnicas de. IB. aproximación de las derivadas como lo es, por ejemplo, la descomposición de una. B. función en su serie de Taylor.. Considerar el problema de difusión:  ∂u(x, t) ∂ 2 u(x, t)   = α , x ∈ (0, L), t > 0, k ∈ R,   ∂t ∂x2     u(x, 0) = u0 (x), x ∈ (0, L),    u(0, t) = f (t),      u(L, t) = g(t),. (1.11). t > 0, t > 0,. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(36) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.11 Métodos de solución para ecuaciones del tipo difusión - reacción. Teorema de existencia y unicidad de soluciones. 19. El dominio es discretizado de la forma: dados n y m se particionan los conjuntos [0, L] y [0, T ] por medio de xi = ih y tj = jk con h =. L n. yk=. T . m. Las derivadas de. A. SI C. u(x + h, t) + u(x − h, t) = 2u(x, t) + h2 uxx (x, t) + O(h4 ). S. u respecto de t y x se expresan en su serie de Taylor:. y. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. u(x, t + k) − u(x, t − k) = 2ut (x, t) + O(k 2 ).. Considerando que los datos tomados son puntuales y “despreciando” los errores, se aproxima la solución u(xi , tj ) por ui,j . Entonces la ecuación de (1.11) es escrita en su forma discreta (denominada ecuación en diferencias) como: ui,j+1 − ui,j ui+1,j − 2ui,j + ui−1,j =α k h2. que al operar, y dando el valor de r =. αk h2. queda en la forma:. ui,j+1 = rui−1,j + (1 − 2r)ui,j + rui+1,j ,. (1.12). esta última fórmula es también conocida como fórmula explı́cita. Al solucionar el sistema (1.12), unido a las condiciones iniciales y de frontera, se obtiene el valor de. B. IB. LI O. TE. la solución u en cada punto (xi , tj ).. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(37) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.12 Solución propia minimal de una ecuación de difusión - reacción. 20. Hasta este momento se ha garantizado la existencia y unicidad de solución para el problema (2). Pero para probar los resultados principales de este trabajo, se necesita una “definición” de solución clásica de (2) que esté definida para todo t ≥ 0.. Solución propia minimal de una ecuación de. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. 1.12.. SI C. A. S. Un camino para llevar a cabo esto es el concepto de “solución propia minimal”.. difusión - reacción. El concepto de solución propia minimal fue introducido por Baras y Cohen [6] y fue desarrollado por Galaktionov y Vazquez, ver [18, 19], para el caso de problemas de difusión - reacción con condiciones de frontera tipo Dirichlet.. 1.12.1.. Solución propia de una ecuación de difusión reacción con condición inicial. Para empezar a formalizar el concepto de solución propia considerar el siguiente. LI O. TE. problema de valor inicial:    ∂u(x, t) = ∆u(x, t) + f (u(x, t)), x ∈ Ω, t ∈ R+ , ∂t  u(x, 0) = u0 (x), x ∈ Ω,. (1.13). IB. Sea X = L2 (Ω), X es un espacio de Banach y B ⊂ X, el cual puede se puede. B. tomar de tal forma que la ecuación (1.13) genere un semigrupo {T (t)}t≥0 en B. Según [19] es posible tomar B =L1+ (Rn ) ∩ L∞ (Rn ). Además se considera que f es Lipschitz en R+ .. Considerar ahora una familia de operadores “aproximación” lineales y acotados {Pn : X −→ B ⊂ X}n∈N tal que: (p1) La familia Pn es ordenada, esto es, para cada u ∈ X y n > m se tiene que Pn u ≥ Pm u. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(38) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.12 Solución propia minimal de una ecuación de difusión - reacción. 21. (p2) Pn es uniformemente continua. (p3) Pn u → u en X cuando n → ∞.. T (t)u = lı́m G(t)Pn u. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. n→∞. SI C. sobre X, u ∈ X y t > 0. Se define T (t) en la forma:. A. S. Definición 1.22 Sean (X, ||.||X ) un espacio de Banach, {G(t)}t≥0 un semigrupo. (1.14). como la extensión de G(t).. Teorema 1.15 Sea T (t) la extensión de G(t). Entonces {T (t)}t≥0 es un semigrupo en X. El lı́mite es independiente de la sucesión aproximante Pn que satisface (p1) − (p3). Demostración:. Para la demostración consultar [19].. A {T (t)}t≥0 se le denomina semigrupo lı́mite de {G(t)}t≥0 .. LI O. por:. TE. Definición 1.23 Para cada u0 ∈ X la función u : Ω × [0, +∞) −→ R+ definida. u(x, t) = T (t)u0 (x). (1.15). B. IB. es la solución propia del problema (1.13).. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(39) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.12 Solución propia minimal de una ecuación de difusión - reacción. 1.12.2.. 22. Construcción de la solución propia minimal de un problema de difusión - reacción. S. La idea de la construcción de la solución propia minimal para el problema (2) es. SI C. A. la aproximación inferior de las funciones no lineales f y g por sucesiones monótomas. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. {fn } y {gn } tal que la solución un (x, t) del problema aproximante:  ∂u(x, t)  +   − ∆u(x, t) = fn (x, u), (x, u) ∈ Ω × R+ 0 ,t ∈ R   ∂t     u(x, 0) = u0 (x), x∈Ω   u(x, t) = 0,      ∂u(x, t)    = gn (x, u), ∂η. (1.16). x ∈ ΓD , t ∈ R+. x ∈ ΓN , t ∈ R+ ,. esté definida globalmente en el tiempo.. Por las propiedades de la monotonı́a, se tiene que, para cada punto (x, t) la sucesión {un (x, t)}n∈N es monótona creciente. Ası́ estos elementos convergen a u(x, t) ∈ [0, +∞] (observar que no se excluye el hecho que u podrı́a ser +∞). Esta función es, por la definición 1.23, la solución propia.. TE. Para la ecuación (2) se construyen las soluciones propias minimales como sigue:. LI O. sea fn (x, u) = mı́n{f (x, u), n} y gn (x, u) = mı́n{g(x, u), n}. Observar que si f y g son localmente Lipschitz en u y uniformamente en x, esto es, para cada R > 0 existe. B. IB. un L(R) > 0 tal que: |f (x, u) − f (x, v)| ≤ L(R)|u − v|,. |u|, |v| ≤ R,. x ∈ Ω.. (1.17). y similarmente para g, entonces fn y gn , satisfacen la misma relación de Lipschitz. Esta condición y el hecho que las funciones fn y gn son acotadas por encima de n implica que las soluciones de (1.16) están definidas para todo t ≥ 0. Ahora, observar también que por la monotonı́a de fn y gn , fn ≤ fn+1 y gn ≤ gn+1 , se tiene que 0 ≤ un (x, t) ≤ un+1 (x, t) y por lo tanto un (x, t) % un+1 (x, t) cuando n → ∞.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(40) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 1.12 Solución propia minimal de una ecuación de difusión - reacción. 23. Más aún si u(x, t) < ∞ para cada (x, t) ∈ Ω̄ × [0, T ] entonces ésta coincide con la solución clásica para t ∈ [0, T ].. S. Puesto que las aproximaciones un (x, t) son soluciones clásicas y están definidas. SI C. A. para todo t ≥ 0, es posible aplicar el principio de comparación para estas. aproximaciones que será el mismo para sus lı́mites, las soluciones propias minimales.. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. En particular si 0 ≤ u0 ≤ v0 entones: u(x, t, u0 ) ≤ u(x, t, v0 ) para todo t ≥ 0 (donde u(x, t, u0 ) y v(x, t, v0 ) son las soluciones de las ecuación (1) con condiciones iniciales u0 y v0 , respectivamente ), entendiéndose que si u(x, t, u0 ) = +∞ en algún punto (x, t) entonces se tendrá que u(x, t, v0 ) = +∞. Similarmente, si g ≤ g̃ entonces la solución propia minimal para g está acotada superiormente por la solución propia minimal para g̃.. En resumen, la solución propia minimal es la extensión, en caso de presentarse explosión, de la solución clásica después del tiempo de explosión.. Ejemplo 1.4. Del problema (1.2), es posible extender la solución clásica obtenida a ū = ū(t). LI O. TE. definida como:. ū(t) =.  1  Cp (T − t)− p−1 , t ∈ [0, T )  +∞,. t ∈ [T, +∞).. IB. De hecho se demuestra que ū(t) es solución de (1.2), para la prueba de esto y un. B. estudio más detallado ver [35].. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(41) S. Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. SI C. A. Capı́tulo II. Acotación de la solución de una ecuación de difusión - reacción En este capı́tulo se prueba el resultado principal de esta Tesis.. La idea, de manera general, consiste en construir super soluciones locales acotadas alrededor de un punto x0 ∈ ΓN . Se busca en primer lugar extender el uso de las soluciones singulares (o explosivas) del problema:. x ∈ B(0, R),.  z(x) = +∞,. x ∈ ∂B(0, R),. LI O. TE.   −∆z(x) + βz p (x) = 0,. (2.1). donde p > 1, β y R números reales positivos, B(0, R) ⊂ Rn , con n > 1, es la bola. B. IB. de centro 0 y radio R y z : B(0, R) −→ R.. Luego, se compara dicha solución con la solución del problema (2) en una vecindad del punto x0 ∈ ΓN . Se establece ası́ la acotación local a la solución del problema (2).. Primero se necesita de algunos resultados con respecto al problema (2.1), que se detallan a continuación.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(42) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 25. Lema 2.1 Sean R, β y β0 números reales positivos, con β < β0 . Sea la función H : B(0, R) −→ R, definida como:. β. 1 p−1. 2. (R − |x|)− p−1. (2.2). S. C. A. HR,β (x) =. Si δ ∈ (0, 1) es tal que:. entonces. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. 1 (β0 − β)C p−1 =1+ 1−δ β(n − 1). SI C. 1. donde C = ( 2(p+1) ) p−1 . (p−1)2. − ∆HR,β (x) + β0 (HR,β (x))p ≥ 0,. (1 − δ)R < |x| < R.. (2.3). (2.4). Demostración:. Para cuestiones de simplicidad se denota por H la función HR,β . Se define la función h : (0, R) −→ R como: h(r) =. C. 1 β p−1. 2. (R − r)− p−1 = H(x), donde. se tiene la relación: r = |x| Entonces:. ∂H dh ∂r = , ∂xi dr ∂xi ∂ 2H d2 h ∂r 2 dh ∂ 2 r = ( ) + ∂x2i dr2 ∂xi dr ∂x2i. TE. ∂r xi ∂ 2 r 1 x2i − 3 . Luego: = , = ∂xi r ∂x2i r r. LI O. donde:. B. IB. ∆H(x) =. =. n X ∂ 2H i=1 2. n n n n X d2 h ∂r 2 X dh ∂ 2 r d2 h X x2i dh X 1 x2i = ( ) + = 2 + ( − 3) ∂x2i dr2 ∂xi dr ∂x2i dr i=1 r2 dr i=1 r r i=1 i=1. d h dh n − 1 + ( ). dr2 dr r. Ası́ se obtiene que: − ∆H + β0 H p = −h00 − donde se usa: 0 =. N −1 0 h + β0 hp , r. 0 < r < R.. d . dr. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.

(43) Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT. 26. Ahora se desarrollan:. β. 1 p−1. (. −2p −2p 1 2(p + 1) p−1 1 2(p + 1) 2(p + 1) p−1 = ( p−1 ( )(R − r) ) )(R − r) 1 2 (p − 1)2 (p − 1)2 β p−1 (p − 1). −2 1 1 2(p + 1) p−1 p−1 ]p = βhp (r) (R − r) ) 1 (p − 1)2 β p−1. C Y A M DE A TE C I M EN Á C TI IA C S A S FÍ. = β[(. −p−1 −2 )(R − r) p−1 , p−1. SI C. C. h00 (r) =. (. A. β. 1 p−1. S. C. h0 (r) =. por tanto, se llega a la igualdad:. h00 (r) = βhp (r).. Por otro lado, observar que la siguiente desigualdad es evidente: −2. − (R − r) p−1 ≤. −p−1 2(p + 1)2 (R − r) p−1 p−1. puesto que el miembro izquierdo es negativo y el miembro derecho, positivo. La desigualdad anterior equivale a: (. −p−1 −2 1 2(p + 1) p−1 −2 1 2(p + 1) 2p−1 1 p−1 ( p−1 (R − r) p−1 (R − r) ) ) ≤ ( ) 1 1 2 2 (p − 1) p − 1 β p−1 (p − 1) β p−1. TE. o también:. −2. LI O. C(R − r) p−1 (. −p−1 2 1 2(p + 1) 2p−1 1 ) 1 ≤( ) p−1 (R − r) p−1 1 2 p − 1 β (p−1) (p − 1) β p−1. IB. pero, al acomodar el miembro derecho:. B. (. −p−1 p −2p 2(p + 1) 2p−1 1 2(p + 1) 2(p + 1) p−1 1 ) p−1 (R − r) p−1 1/(p−1) = β(R − r)( ) (R − r) p−1 2 2 2 p/(p−1) (p − 1) β (p − 1) (p − 1) β 1−p p = C β(R − r)h ,. por tanto, al simplificar la última desigualdad se tiene que: h0 (r) ≤ C 1−p β(R − r)hp (r) y esto es equivalente a: N − 1 0 (N − 1) 1−p h ≤ C β(R − r)hp , r r. 0 < r < R.. Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/.