CÁLCULO II
RESUMEN DE ASIGNACIONES 2017-2
ASIGNACIÓN 1 ón
1 a Escriba el significado matemático exacto de las siguientes afirmaciones donde y son números reales.
i
ii
iii
iv
v
vi
vii
viii
ix
b Muestre usando la definición de límite que i si y
a
b
c , si
ii lo mismo que la aparte i cambiando por
2 Calcule
i .
ii , para n .
iii , para .
n, m
iv , donde
v , donde
vi , donde
vii
3 Use la tabla de derivadas de 3.22 y 3.23 para construir una tabla para integrales.
4 Usamos la notación = ( Sustente cada una de las siguientes afirmaciones: i Si es una primitiva cualquiera de en el intervalo de trabajo , entonces
.
ii .
iii ,
iv .
v .
vi Use v para demosrar iv.
vi Complete la demostración de la Proposición 5.3 del texto.
5 Calcule
i
ii
iii -12
iii
iv -12
v
-
6 Suponga integrable en un intervalo y que Sustente u objete la siguiente afirmación: si y son funciones continuas en entonces
7 Calcule
8 Calcule lim
9 Para las funciones , dé: i Tres primitivas.
ii , usando cada una de la primitivas de i). iii El área bajo la curva en .
10 Con respecto a "las funciones con dominio todo tales que ": i Calcule todas ella
ii Dé la afirmación en comillas en términos de cálculo integral.
a calcule un ala invertible de de máximo dominio. b llámela función arco ,
c derive arco . d grafique arco .
i
ii . iii iv
v
vi
12 Usando el punto 11, dé una tabla de 6 primitivas mostrando cláramente el intervalo donde son válidas.
13 Para cada una de las primitivas de la tabla del punto 11 debe dar: i un ejemplo NO TRIVIAL de su uso en integrales.
ii en la parte i muestre que está trabajando en un dominio que no es ficticio. iii dé un ejemplo de una integral definida con dominio ficticio. Como la resuelve?
14 Determine si está en el rango de cada una de sus funciones . Si lo está calcule
arco
Si no lo está redefina apropiadamente la función arco, llámela (note la mayúscula) y ahora calcule
ASIGNACIÓN 2
Las funciones "inversas" de las funciones trigonométricas dan lugar a errores de los cuales el estudiante no es conciente ni siquiera cuando se gradua. En los puntos a que siguen alertamos sobre eso. Consideramos las siguientes funciones:
i
ii . iii iv
v
vi
15 Para cada de i a vi calcule un ala invertible de de máximo dominio. Para distinguirla de la normal inicie el nombre con mayúscula. Por ejemplo en cambio de De cada una de estas funciones debe entonces dar dominio, codominio (es decir darla en la forma ) y gráfico.
16 Para cada ala invertible de de la lista a la inversa llámela función arco y a Dé donimio, codominio y definición de .
b Calcule la derivada de arco . c Grafique .
d Reescriba la parte b en forma de integral.
e Dé un ejenplo de integral definida de la parte c y DEMUESTRE QUE TAL INTEGRAL TIENE SENTIDO.
17 Para cada una de las funciones :
i Determine si está en el rango de .
ii En el caso positivo de la parte i), calcule
18 Si no está en el rango de , para al menos de ellas.
i redefina apropiadamente la función arco, de manera que está en el rango de
.
ii calcule
19 En el ejercicio 5.7 del texto dé 5 partes cuyas primitivas sea funciones arco.
20 Calcule
21 Sobre la función (logaritmo natural)
a Defínala (domino codominio y fórmula de definición). b Demuestre la fórmula para su derivada.
c Demuestre que es estrictamente creciente (y entonces 1-1). d Determine su concavidad.
e Acepte que (esta fórmula se demostrará mas adelante) y calcule
Para eso use que y que
(justifique primero esta igualdad por cambio de variable). f Dé el rango o recorrido de
g Dé un ala invertible de . Llamela
22 En el ejercicio 5.7 dé 5 partes cuyas primitivas sean funciones .
23 la inversa de llámela y
a Defínala (domino codominio y fórmula de definición). b Demuestre la fórmula para su derivada.
d Dé su grafico a partir del grafico de .
e Del gráfico deduzca propiedades de así intevalos de crecimiento y decrecimiento; puntos criticos y su tipo (máximos etc),
f Cierto o falso: es la única función tal que
En el ejercicio 5.7 dé 5 partes cuyas primitivas sea funciones .
24 Justifique en caso de ser ciertas las siguientes afirmaciones i
ii ( ) iii
25 Con respecto a "las funciones con dominio todo tales que ": i Calcule todas ella
ii Dé la afirmación en comillas en términos de cálculo integral.
iii De las funciones calculadas en i, cuantas de ellas (y cuales) se anulan en 2. vi De las funciones calculadas en iii, para cuantas de ellas (y cuales) su derivada se
26 Muestre que se comporta como una función tipo exponencial. Es decir que a 0 1
b
c Defina para Muestre que
Muestre que ) tiene sentido.
e ) =
f Se llama a el número de Neper y se denota . Muestre que
g Dé cada una de las fórmulas de este numeral en terminos de la potencia de la? parte f.
27 Cierto o falso (justifique):
i) ii) iii) . Sugerencia: Escriba x como y
use cálculo diferencial para tratar de confirmar cada igualdad.
28 Cierto o falso (justifique): i
ii)
iii)
iv)
29 Defina cada una de las funciones hiperbólicas (dé dominio, codominio y fórmula). 30 Calcule la derivada de cada una de las funciones hiperbólicas.
31 Dé en términos de primitivas el enunciado del numeral precedente. 32 Dé (calcule) una primitiva de
33 Dé las funciones . Note las mayúsculas. 34 En el ejercicio 5.7 dé partes cuyas primitivas sean funciones hiperbólicas.
35 Defina y grafique cada una de las funciones hiperbólicas inversas. Llámelas arco(ejemplo ).
36 Complete y demuestre a b c d
e
f en terminos del
37 En el numeral precedente, a patrir de cada formula proponga una formula para funciones arco hiprebólicas.
ASIGNACIÓN 3
38 Use inetegraci para calcular el volumen de un cono circular recto con radio deón la base y altura .
39 Suponga que en un cono circular recto y a una ditancia del vertice el area del circulo correspondiente se denota A . Muestre que =
A
40 Medida desde la base a una altura y, la densidad de un solido cónico recto es y Si la base del cono tiene de área y de altura cual es la masa del
sólido.
Un sistema lineal de fuerzas consiste de un eje lineal en donde actúan fuerzas F , i=1,2,...,n, a
distacias x respectivamente de on origen O. Se llama el momento (S) del sistema a (S)= F La fuerzas son frecuentemente reemplzadas por masas de
cuerpos suspedidios sobre un varilla de masa despreciable generalmente porque es mas larga y esta equilibrada en O. Cuando se trabaja con masas entonces (S)= donde
representa la i-esima masa. Aqui tratamos la generalizacion de para sistemas continuos en cambio de discretos como el mencionado.
Por ejenplo:
41 Calcule el momento , de una viga empotrada en un muro que debe sobresalir al vacio 2 metros si está hecha de concreto con densidad 100 g/cm , cuadrada y de lado 20 cm.
Solución: calculemos d a una distancia .
d= (d )= ( d )= ( )= cm 100 g/cm cm = 40000 dx (g cm). Por tanto el momento total será
= 40000 dx=40000 g cm
42 El centro de masa del sistema es el tal que x x = . Calcúlelo para el ejercicio precedente
En este caso =V que es fácilmente calculable =100 g/cm (2020200)cm
Así que el centro de masa es x= = =100 cm
ASIGNACIÓN 4 43 6.22 Número 8 44 6.21 Ejemplos 45 6.22 Número 3
46 6.22 Número 4, desde hasta . 47 Grafique =k para k>0.
48 Calcule la ecuación polar del círculo con diámetro sobre el eje polar y de radio r 49 Calcule la ecuación polar de la linea recta paralela al eje polar y a distancia dek
el.
51 En los ejercicos 47 a 49 calcule la ecuacion correspondientes y el grafico simétrico al dado, con relación al eje polar
52 En los ejercicos 47 a 49 la ecuación correspondientes y el gráfico simétrico al dado, con relación a la vertical al eje polar (vertical polar) que pasa por el origen. 53 Grafique y calcule todas las soluciones de x .
54 grafique y calcule todas las soluciones de x =2+3i.3
55 las partes a, c, e, g, i, k, m, o, q, de 17 de los ejercicios suplementarios del capitulo 7
56 18 de los ejercicios suplementarios del capítulo 7. 57 16 de los ejercicios suplementarios del capítulo 7.
58 13
59 12
60 9, pares
61 4
62 1
ASIGNACIÓN 5
63 Recuerde que dado un conjunto V con operación + , entonces (V,+) se dice un grupo abeliano si + es asociativa, conmutativa, modulativa (el módulo se denota 0) e invertiva (el inverso aditivo de se denota " "). x -x Muestre que en un grupo V se cumple
i Si y son modulos de entonces 0 0 + 0 = 0 .
ii Hay propiedad cancelativa (si en , V v+a=w+a entonces v=w). iii
-
0=0.iv Para cualquier de v V, -(-v)v.
v Sea vV. Si w con i=1, 2 son elementos de que cumplen V v+w para i=1, 2, entonces w =w . Esta propiedad se conoce como "la unicidad del inverso".
vi v+v=v v=0.
64 Con la notación del capítulo 8 del texto cuales son grupos abelianos
i) , ii) (los racionales), iii) (los enteros), iv) (los naturales),
v) , vi) F(I), vii) In[I], viii) C[I], ix) B[I].
i En las propiedaes e1 a e4 determine en donde están (V o ):
a cada una de los lados de las igualdades.
b cada elemento que está dentro de un paréntesis. c cada elemento que está por fuera de un paréntesis.
ii En una multiplicación por escalar con kkv y vV se tiene. a kv=0 k=0 o v=0.
b 0v=0
c k0=0
d (-1)v=-v
iii Con la notación del capítulo 8 del texto cuales tienen multiplicación por escalar
i) , ii) (los racionales), iii) (los enteros), iv) (los naturales), v) , vi) F(I), vii) In[I], viii) C[I], ix) B[I]
66 Un prupo abeliano V con una multiplicacion por escalar kv se dice un espacio vectorial. Suponga que es un espacio vectorial y suponga que V WV. Si
i W
ii wWkwW (W es cerrado para kv) iii v,wW v+wW (W es cerrado para +) entoces se dice que W es un subespacio vectorial de V.
Muestre que si W es un subespacio vectorial de V entonces a W tiene una operación suma.
b W tiene una multiplicación por escalar kw.
c W, con esa suma y esa multiplicación por escalar, es un espacio vectorial. 67 Con la notación del capítulo 8 del texto cuales son subespacios de cuales otros,
Conatruya cadenas lo mas largas posibles: i) , ii) (los racionales), iii) (los
enteros), iv) (los naturales), v) , vi) F(I), vii) In[I], viii) C[I], ix) B[I] 68 Suponga que V es un espacio vectorial. Una asignación que a cada v de V le
asigna un NUMERO REAL denotado v se dice UNA NORMA en V si i v (redundante: ya se dijo)
ii v 0 para todo v. iii v+w v + w iv kv =|k| v
Cuales de los siguientes son normas y en tal caso de quien? En su respuesta debe identificar V. Si hay varias posibilidades debe mencionarlas todas.
i El valor absoluto.
ii 10 veces el valor absoluto. iii para (x,y), +y
iv ab 2 f (x)dx
69 Solucione usando series la ecuación diferencial y +xy 2y= x -6x+43
71 Use la serie de e para calcular la derivada 109 es esta función en x=0.
72 Calcular la derivada 109 de e en x=2
73 Sobre la serie de arctg x, vía series geométricas,
i calcúlela en el mayor intervalo posible y determine su centro. ii comparela con la serie de Taylor de arctg x dada en l litertura. 74 Sobre la serie de Taylor de ln x alrededor de 2
a calcule la
b aproxime ln x por un polinomio de Taylor con un margen de error de 3 cifras decimales.
