MODELO DE RESPUESTA OBJ 1 PTA 1

(1)

Área de Matemática

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Matemática II (178-179) VICERRECTORADO ACADEMICO Fecha: 03/10/2009 ÁREA DE MATEMÁTICA

MODELO DE RESPUESTA

OBJ 1 PTA 1

Usando el ÁLGEBRA DE LÍMITE, Calcular:

xlím→−3

2 ₇ 3

3

2

15

3 11 (1

)

x x

x

− −

⎛

₊

⎞

⎜

⎟

⎜

⎟

+

− +

⎜

⎟

⎝

⎠

RESPUESTA

xlím→−3

2 ₇

3

2

15

3 11 (1

)

x x

x

− −

⎛

₊

⎞

⎜

⎟

⎜

⎟

+

− +

⎜

⎟

⎝

⎠

= 2 3 7 lim 3 3 3

2

15

3 lim

11 (1

)

x x x x

x

→− − − →−

⎛

₊

⎞

⎜

⎟

⎜

⎟

+

− +

⎜

⎟

⎝

⎠

Resolvamos la base y el exponente de la expresión, aplicando las propiedades del álgebra de Límite (Págs. 38 y 40, Modulo I, Matemática II, UNA):

• Efectuemos para

xlím→−3 3

2 15 3 11 (1 )

x x x x ⎛ ₊ ₊ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + − + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ =

(

3

)

2 15

x 3 3

11 (1 )

x 3 lím lím x x x x ⎛ ₊ ₊ ⎞ ⎜ ⎟ →− ⎝ ⎠ + − + →− =

( )

3 3 1 (2 15) 2 15

x 3 3x 3

x 3 x 3 3

11 (1 ) ( 11) (1 )

x 3 x 3 x 3 x 3

lím lím

lím lím lím lím

x

x x

x

x x x x

⎛ ⎞ ₊ ₊ + + _{⎜ ⎟} →− →− →− _{→− ⎝ ⎠ =} + − + + − + →− →− →− →− = = 3

1

2 ( )

(15)

( )

x

3 x

3

3 x

3 ( )

(11)

(1)

( )

x

3 x

3 lím

lím

x

+

→−

+

−

→−

= 3 1 6 15 .( 3)

1 3

2 3 11 1 3

− + + −

= − + − +

• Efectuemos para

xlím→−3

(2)

=

2

( ) (7)

x 3 x 3

( 3 )

x 3

lím lím

lím x

x −

→− →−

− →−

=

2

( ) (7)

x 3 x 3

( 3 )

x 3

lím lím

lím x

x −

→− →−

− →−

= 2

( 3) 7 2

3 ( 3).( 3)

− − ₌

− −

Finalmente:

xlím→−3

2 7 3

3

2 15

3

11 (1 )

x x

− −

⎛ ₊ ₊ ⎞

⎜ ⎟

+ − +

⎜ ⎟

⎝ ⎠

=

2 3

3

1

2

4 ⎛ ⎞ =

⎜ ⎟

⎝ ⎠

OBJ 2 PTA 2

Calcular:

x

lím

→

8

3

7

3

8 x

x

+

−

RESPUESTA

Al evaluar el límite obtenemos la indeterminación del tipo 0/0. Para eliminarla hagamos un cambio de variable.

Sea

x

=

u

3, de donde

u

=

3

x

, cuando

x

→

8

tenemos que

u

→

2

, luego:

x

lím

→8

3

7 3

8

x x

+ −

− =u

lím

→2 3

7

3

8 u

u

+ −

−

, multipliquemos y dividamos por la

conjugada de 7+ −u 3:

u

lím

→2 3

7 3

8

u u

+ −

− =

u

lím

→

2

2 2

3 3

( 7 3).( 7 3) ( 7 ) (3)

u 2

( 8).( 7 3) lím ( 8).( 7 3)

u u u

u u u u

+ − + + + −

= →

− + + − + +

u

lím

→2 3 3

7 9 2

u 2

( 8).( 7 3) lím ( 8).( 7 3)

u u

u u u u

+ − ₌ −

→

− + + − + +

Factoricemos el polinomio ( 3 8

u − ):

2

( 2)

ulím2 ( 2).( 2 4).( 7 3)

u

u u u u

−

(3)

2

1 1 1

u

lím

→2(u +2u+4).( 7+ +u 3) = (4+ +4 4).(3 3)+ = 72

Finalmente:

x

lím

→

8

3

7 3 1

8 72

x x

+ − ₌

−

OBJ 3 PTA 3

Estudiar la continuidad de la función f(x) : D→IR ,definida por:

f(x)=

, si x 0

0 , si x 0 1- x

, si x 0 1-x

senx

x <

=

>

RESPUESTA

Una función f(x): R→R es continua en x=xo si cumple con las siguientes

condiciones:(Pág. 99 Módulo I, Matemática II, UNA):

1) f(x) está definida en x=xo

2) Existe un número L , tal que

x 0

lím x

→ f(x)= L

3) f(x) =

x 0

lím x

→ f(x)= L

Puesto que la función está definida por tramos, los posibles puntos de discontinuidad de la función f(x) son:

• x=0 donde se “separan” en tramos

• x=1, anula el denominador del segundo tramo

Comprobemos si se verifican o no la condiciones de continuidad para cada caso:

En efecto:

Estudiemos la continuidad de f(x) en x=0

(4)

2) Verifiquemos que exista el

xlím→0f(x), para ello calculemos los límites laterales:

x 0 x 0

1

lím ( ) lím 1

1

x f x

x

+ +

→ →

−

= =

− , x 0 x 0

lím f x( ) lím senx 1

x

− −

→ = → =

Como ( ) ( ) ( ) 1

x 0

x→lím0+ f x =xlím→0− f x ⇒ lím→ f x =

3)Como f(0)=0 es diferente al

xlím→0f(x)=1, por lo tanto, la función f(x) NO es continua en x=0

Análogamente estudiemos la continuidad de f(x) en x=1

1) f(1) no existe

2) Verifiquemos que exista el

xlím→1f(x), para ello calculemos los límites laterales:

x 1

1 lím ( )

2

f x

+

→ = , x 1

1 lím ( )

2

f x

−

→ = (¡¡VERIFIQUELO!!), luego, 1

1 ( ) xlím→ f x = ₂

3)Como f(1) no existe y

1

1 ( )

xlím→ f x =₂, por lo tanto, la función f(x) NO es continua en x=1

En conclusión, podemos afirmar:

• f(x) No es continua para x = 0.

• f(x) No es continua para x = 1, pero podría serlo si redefinimos la función y tomamos f(1) = ½

• f(x) es continua para cualquier otro valor x de R

OBJ 4 PTA 4

Calcular la derivada de la función: f(x) =

2

3 (4 5 )

cos

x x

sen

e

−

RESPUESTA

Aplicando Propiedades de Derivada y la Regla de la Cadena: (Págs. 53 y 62, Módulo II, Matemática II UNA) y recordando las derivadas de las funciones:

(sen x)` = cosx ; (cos x)` = - senx; (ex )`= ex ; (x)n = n. x n-1, n∈R,se tiene:

Por qué?

(5)

Sea y= f(x) =sen3cose(4x2−5 )x =

(

2

)

3 (4 5 )

cos x x

sen e − aplicando la derivada de una

potencia y la regla de la cadena:

(

₍₄ 2 _{5 )}

) (

2 ₍₄ 2 _{5 )}

) (

₍₄ 2 _{5 )}

)

2 ₍₄ 2 _{5 )} ₍₄ 2 _{5 )}

3. cos x x . cos x x 3. cos x x .(cos cos x x.(cos x x ) )

y′= sen e − sen e − ′ = sen e − e − e − ′

(

₍₄ 2 _{5 )}

)

2 ₍₄ 2 _{5 )} ₍₄ 2 _{5 )} ₍₄ 2 _{5 )}

3. cos

x x

.(cos cos

x x

.(

x x

).(

x x

) )

y

′

=

sen

e

−

e

−

sene

−

e

−

′

(

2

)

2 2 2 2

(4 5 ) (4 5 ) (4 5 ) (4 5 ) 2

3. cos x x .(cos cos x x .( x x ).( x x ).(4 5 ) )

y′= sen e − e − −sene − e − x − x ′

(

₍₄ 2 _{5 )}

)

2 ₍₄ 2 _{5 )} ₍₄ 2 _{5 )} ₍₄ 2 _{5 )}

3. cos

x x

.(cos cos

x x

.(

x x

).(

x x

).(8

5))

y

′ =

sen

e

−

e

−

sene

−

e

−

x

−

OBJ 5 PTA 5

Se desea construir una caja abierta sin cara superior (ver figura adjunta) y de base cuadrada con 108 pulgadas cuadradas de material. ¿Cuáles serán las dimensiones de la caja para que el volumen sea máximo?

RESPUESTA

Volumen de la caja: V = x2h (Función a maximizar)

Como esta función tiene dos variables (x, h) debemos usar los datos del problema para eliminar una de ellas.

El material usado se obtiene sumando el área de la base y el área de las cuatro caras laterales, así:

Área de la base: 2

x , Área de cada cara lateral: xh

Área total de la superficie: S =x2 +4xh=108

Hallando h en esta ecuación tenemos:

108 0

, 4

108 108 4

2 2

< < −

=

− =

x x

x h

x xh

(6)

4 27 ) 4 108 ( ) (

3 2

2 x

x x

x

V = − = −

Derivando e igualando a cero:

6 ,

36 ,

108 3

, 0 4 3 27 ) (

' 2 2

2

± = =

= =

−

= x x x x

x V

Solo tomamos el valor positivo de x porque se trata de una longitud

Valor crítico: x = 6

Para este valor crítico, hallemos h:

3 24 72 24

36 108 4

108 2

= = − = − =

x x h

Finalmente las dimensiones de la caja son:

Longitud de la base: x = 6 pulgadas y Altura de la caja: h = 3 pulgadas.

Volumen de la caja: V = x2h = 36(3) = 108 pulgadas cúbicas (Obsérvese la gráfica)

Nota: Usando el criterio de la segunda derivada se puede probar que, en efecto,

los valores de valores de x y h corresponden al máximo volumen.

FIN DEL MODELO DE RESPUESTA