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DEFINICION DE LA DERIVADA DE UNA FUNCION La derivada de una función

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Academic year: 2018

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(1)

DERIVADAS

DEFINICION DE LA DERIVADA DE UNA FUNCION

La derivada de una función respecto de (x) es la función ´ (se lee “f prima de (x) y está dad por:

´ lim

El proceso de calcular la derivada se denomina derivación. Se dice que es derivable en c si existe ´ , es decir,

lim existe

(2)

Al calcular el límite lim lo que sucede es que el punto Q empieza a acercarse hacia el punto P hasta que llegar muy próximo a él (ver gráfica), en ese momento se está calculando la derivada de f(x) en el punto x=c representada por la pendiente de la recta tangente en el punto (c,f(c)).

REGLAS DE DERIVACIÓN 1. Derivada de una constante

Sea la función , donde c es una constante o número real. La derivada será

´ 0.

Ejemplo 1:

9 ´ 0

Ejemplo 2:

9 ´ 0

Ejemplo 3:

9 ´ 0

2. Derivada de una potencia de x

Sea la Función , la derivada será ´ , donde n es cualquier número real.

Ejemplo 1:

´ 3 3"

Ejemplo 2:

# ´ 5# 5%

Ejemplo 3:

& " &´ 2" 2

3. Derivada de una constante por una función

Sea la Función , la derivada será `

(3)

6% ´ 64% 24

Ejemplo 2:

2 ´ 23 6"

Ejemplo 3:

+ 5, +´ 56, 30-

Ejemplo 4:

. 6 .´ 61 6 6

4. Derivada de una suma o resta de funciones

La derivada de una suma y/o diferencia de funciones es la suma y/o diferencia de las derivadas de cada uno de los términos por separado. Entonces:

Sea 0 1 2 1 +3

La derivada será ´ 0´ 1 2´ 1 +´3

Ejemplo 1:

2% 8" 9 3

´ 8 16 9 Derivar cada término por separado aplicando las reglas anteriormente vistas.

Ejemplo 2:

. 5" 3 12 20

.´ 10 9 12 Derivar cada término por separado aplicando las reglas anteriormente vistas.

Ejemplo 3:

3% 8" 2

(4)

Exponentes fraccionarios 56 y términos de la forma 6√8.

Los términos de la forma 6√8 para expresarlos como exponente se aplica la propiedad de radicación 6√8 56.

Ejemplo 1: derivar la función 49: 2;< √<

El primer paso es convertir los radicales en exponentes

49: 2;< √< función inicial

Convertir el término √< en exponente aplicando 6√8 56

49: 2;< 9<

´ 4 ="> 9: 2 =#> ;< => 9< Derivar cada término por separado aplicando las reglas anteriormente vistas.

´ 29::<:< Simplificando, resultado final.

Ejemplo 2: derivar la función ? 9; 5√@ 2 4

El primer paso es convertir los radicales en exponentes

? 9; 5√@ 2 4 función inicial

Convertir los términos con radical en exponente aplicando 6√8 56

? 9; 5<@ 2 4

?´ =#> 9; 5 = %>

<

@ 23 Derivar cada término por separado aplicando las reglas anteriormente vistas.

# @;# %

9

(5)

5. Derivada de un producto de funciones

Sea A 2, la derivada será ´ A 2´ 2 A ´.

Es decir, la derivada de un producto de dos funciones es: “la primera, por la derivada de la segunda, más la segunda por la derivada de la primera".

6. Derivada de un cociente de funciones Sea B

CB ,la derivada será ´

CBA´BBAC´B 0CB3:

Es decir, la derivada de un cociente de dos funciones es: “la segunda, por la derivada de la primera, menos la primera por la derivada de la segunda; dividida entre la segunda al cuadrado”.

El producto y cociente de funciones se desarrollará más adelante.

7. Regla de la cadena

Si 03 , entonces la derivada es ´ 03A ´

La regla de la cadena se utiliza para derivar funciones algebraicas de los siguientes tipos:

√ 1< Funciones Raíz

2 1# Función con paréntesis elevado a una potencia

Es importante aclarar que la regla de la cadena es de amplio uso en las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas.

Ejemplo 1: derivar 2" 3,

(6)

´ 62" 3#A 4 Organizar términos el 4x pasa a la izquierda

´ 242" 3# Resultado final

Ejemplo 2: derivar & √< " 12. Aplicando la propiedad de radicación se transforma el radical en exponente.6D8 56

& √< " 12 " 129<

Aplicar propiedad de radicación

& " 129< 03, en este caso la función " 12 es la función interna y se encuentra elevada a la .

&´ " 12:<A 2 12

&´ 2 12" 12:< Pasar (2x-12) a la izquierda

&´ " 4 " 12:< Simplificar

&´ =:<B%>

B:"B:< Bajar el término

" 12:< con potencia positiva

&´ =:<B%>

DB< :"B: Convertir en radical el término

" 12:<

(7)

8. Función exponencial e , aplicación de la regla de la cadena

Si E F su derivada es ´E F A E´, la variable E es el exponente de (e) y E´ significa derivada de (u).

Ejemplo 1: derivar 2 "B

2 "B Función inicial

2´ "BA 2 Pasar el número 2 a la izquierda

2´ 2"B Respuesta

Ejemplo 2: derivar 2 B 9

:B

2 B9:B Función inicial

"9: 1B 9

:B El término "

9

: 1 pasa a la izquierda

Ejemplo 3: derivar 2 %B<#B

2 %B<#B

Función inicial

2´ %B<#B

A 12" 5 Aplicar fórmula ´E FA E´

2´ 12" 5%B<#B

(8)

9. Función logaritmo Natural (Ln), aplicación de la regla de la cadena Si E GE su derivada es ´E

FA E´, la variable (u) es la que acompaña al logaritmo natural y (u´) es la derivada de (u).

Ejemplo 1: derivar + G

+ G Función inicial

+´ BB<: Organizar la expresión como fracción para simplificar

B Respuesta

Ejemplo 2: derivar G5% 4"

G5% 4 Función inicial

´ #B@%BA 20 8 Aplicar la fórmula ´E FA E´

´ "B#B@<%BHB Organizar los términos como fracción para simplificar

´ %BI#BB#B<:%"J Factorizar por factor común y simplificar

´ %I#B#B<:%"J Respuesta

Ejemplo 3: derivar G√" 1

G√" 1 Función inicial

(9)

Para derivar la función " 19: mirar el tema de regla de regla de la cadena para funciones algebraicas visto anteriormente.

´ "BB:K9:

"B:9: Organizar los términos como fracción para simplificar

´ BB:K9:

B:9: Simplificar los términos de bases iguales " 1

´ B

B:9:B:9: Aplicar propiedad de potenciación de bases iguales

´ B:B Respuesta

DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

A continuación se presentan las derivadas de las funciones trigonométricas: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante.

10. Función Seno

Si E LE, su derivada es ´E ME A E´, la variable (u) es la que acompaña al Seno y (u´) es la derivada de u.

Ejemplo 1: derivar L" 1

L" 1

´ M" 1 A 2 Pasar el término 2x a la izquierda

(10)

11. Función Coseno

Si E ME, su derivada es ´E LE A E´, la variable (u) es la que acompaña al Coseno y (u´) es la derivada de u.

Ejemplo 2: derivar 2 M√2 4

2 M√2 4

2 M2 49: Convertir el radical √2 4 a exponente

Para derivar la función 2 49: mirar el tema de regla de regla de la cadena para funciones algebraicas visto anteriormente.

2´ L=2 49:> A 03"2 49:3 Simplificar y organizar (u´)

2´ 3"2 49:L=2 4:9> Pasar a la izquierda 3"2 49:

2´ 3"2 49: L=2 49:> Respuesta

12. Función Tangente

Si E NE, su derivada es ´E L"E A E´, la variable (u) es la que acompaña a la tangente y (u´) es la derivada de u.

Ejemplo 3: derivar tan 2% "

(11)

´ Sec"2% " A 8 2 Pasar el término 8 2 a la izquierda

´ 8 2 Sec"2% " Respuesta

13. Función Secante

Si E E, su derivada es ´E LE A tanE A E´, la variable (u) es la que acompaña a secante y (u´) es la derivada de u.

Ejemplo 4: derivar ? Sec √ 2

? Sec √ 2

? Sec 9: 2 Convertir el término √ a exponente

?´ Sec =9: 2> A N =9: 2> A "

9

: Aplicar ´E LE tanE A E´

"9:Sec =9: 2> N =9: 2>

14. Función Cotangente

Si E E, su derivada es ´E "E A E´, la variable (u) es la que acompaña a cotangente y (u´) es la derivada de u.

Ejemplo 5: derivar cot 5"

cot 5"

´ csc"5" A 10 1 Aplicar ´E "E A E´

´ 10 1 csc"5"

(12)

15. Función Cosecante

Si E E, su derivada es ´E cscE A cot E A E´, la variable (u) es la que acompaña a cosecante y (u´) es la derivada de u.

Ejemplo 6: derivar . csc 5√< # 2

. csc 5√< # 2

. csc 5;< 2 Convertir el término 5√< # en exponente

.´ csc =5;< 2> =5;< 2> A "#:<

.´ "#:<csc =5;< 2> =5;< 2> Aplicar ´E cscE cot E A E´

DERIVADAS DE PRODUCTOS Y COCIENTES

Regla del producto. Multiplicación de funciones

Sea A 2, la derivada será ´ A 2´ 2 A ´.

Regla del cociente. División de funciones

Sea CBB ,la derivada será ´ CBA´BBAC´B0CB3:

Como se puede observar es un producto de funciones, para derivar se utiliza:

´ A 2´ 2 A ´

Identificación de los términos en la función √ 3

(13)

2 √ 3 3"

Calculamos las derivadas

´ 1

2´ 12 3"A 1

" 39: Simplificando

Aplicando la regla del producto para √ 3

´ A 2´ 2 A ´

´ A =" 39:> 39:A 1 Remplazando en la fórmula

´ B"A 39: 39: Simplificar la expresión

´ 39: B

" 3 Factorizar 3 por facto común

´ 39: B

" 3 Simplificar, romper paréntesis

´ 39:

" 3 Operar términos semejantes

´ <:B

B 9: Pasar el término 3

9: al denominador cambia de signo

el exponente por propiedad de potenciación

´ <:B

√B Convertir el término del denominador en radical. Respuesta

Ejemplo 2: derivar "BB< BCB

Como se puede observar es un cociente de funciones, para derivar se utiliza:

´ CBA´BBAC´B0CB3:

Identificación de los términos en la función "BB< BCB

(14)

Calculamos las derivadas

´ 3"

2´ 2

Aplicando la regla de cociente para "BB<

´ CBA´BBAC´B0CB3:

´ "BAI B"B:JIB: <JA" Remplazar en la fórmula

´ ,B<"B B:"B: < Realizar operaciones

´ %B"B< B:: Reducción de términos semejantes, respuesta

Como se puede observar es un producto de funciones, para derivar se utiliza:

´ A 2´ 2 A ´

Identificación de los términos en la función + "B:%M7

"B:%

2 M7

Calculamos las derivadas

´ "B:%

A 4

´ 4"B:%

2´ L7 A 21"

2´ 21"L7

Aplicando la regla del producto para + "B:%M7

(15)

Remplazando en la fórmula

+´ "B:%

A I21"L7 J M7 A 4"B:%

+´ 21"L7 "B:%

4M7 "B:%

Organizar y simplificar

+´ "B:%21L7 4M7 Factorizar por factor común

+´ "B:%

21L7 4M7 Respuesta.

Ejemplo 4: derivar X B@ B B<" BCB

Como se puede observar es un cociente de funciones, para derivar se utiliza:

´ CBA´BBAC´B0CB3:

Identificación de los términos en la función X BB<"@ CBB

G3%

2 2

Calculamos las derivadas

´ 31% A 12

´ 123% 4

2´ 3"

Aplicando la regla de cociente para X B@

B<"

´ CBA´BBAC´B0CB3:

´ B<"A=@Y>XI B@JA B:

B<": Remplazando en la fórmula

´ %B:ZY B:XI B@J

B<": Realizar operaciones y organizar

´ %B:HBK9B< B"::XI B@J

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