DERIVADAS
DEFINICION DE LA DERIVADA DE UNA FUNCION
La derivada de una función respecto de (x) es la función ´ (se lee “f prima de (x) y está dad por:
´ lim
El proceso de calcular la derivada se denomina derivación. Se dice que es derivable en c si existe ´ , es decir,
lim existe
Al calcular el límite lim lo que sucede es que el punto Q empieza a acercarse hacia el punto P hasta que llegar muy próximo a él (ver gráfica), en ese momento se está calculando la derivada de f(x) en el punto x=c representada por la pendiente de la recta tangente en el punto (c,f(c)).
REGLAS DE DERIVACIÓN 1. Derivada de una constante
Sea la función , donde c es una constante o número real. La derivada será
´ 0.
Ejemplo 1:
9 ´ 0
Ejemplo 2:
9 ´ 0
Ejemplo 3:
9 ´ 0
2. Derivada de una potencia de x
Sea la Función , la derivada será ´ , donde n es cualquier número real.
Ejemplo 1:
´ 3 3"
Ejemplo 2:
# ´ 5# 5%
Ejemplo 3:
& " &´ 2" 2
3. Derivada de una constante por una función
Sea la Función , la derivada será `
6% ´ 64% 24
Ejemplo 2:
2 ´ 23 6"
Ejemplo 3:
+ 5, +´ 56, 30-
Ejemplo 4:
. 6 .´ 61 6 6
4. Derivada de una suma o resta de funciones
La derivada de una suma y/o diferencia de funciones es la suma y/o diferencia de las derivadas de cada uno de los términos por separado. Entonces:
Sea 0 1 2 1 +3
La derivada será ´ 0´ 1 2´ 1 +´3
Ejemplo 1:
2% 8" 9 3
´ 8 16 9 Derivar cada término por separado aplicando las reglas anteriormente vistas.
Ejemplo 2:
. 5" 3 12 20
.´ 10 9 12 Derivar cada término por separado aplicando las reglas anteriormente vistas.
Ejemplo 3:
3% 8" 2
Exponentes fraccionarios 56 y términos de la forma 6√8.
Los términos de la forma 6√8 para expresarlos como exponente se aplica la propiedad de radicación 6√8 56.
Ejemplo 1: derivar la función 49: 2;< √<
El primer paso es convertir los radicales en exponentes
49: 2;< √< función inicial
Convertir el término √< en exponente aplicando 6√8 56
49: 2;< 9<
´ 4 ="> 9: 2 =#> ;< => 9< Derivar cada término por separado aplicando las reglas anteriormente vistas.
´ 29::<:< Simplificando, resultado final.
Ejemplo 2: derivar la función ? 9; 5√@ 2 4
El primer paso es convertir los radicales en exponentes
? 9; 5√@ 2 4 función inicial
Convertir los términos con radical en exponente aplicando 6√8 56
? 9; 5<@ 2 4
?´ =#> 9; 5 = %>
<
@ 23 Derivar cada término por separado aplicando las reglas anteriormente vistas.
?´ # @;# %
9
5. Derivada de un producto de funciones
Sea A 2, la derivada será ´ A 2´ 2 A ´.
Es decir, la derivada de un producto de dos funciones es: “la primera, por la derivada de la segunda, más la segunda por la derivada de la primera".
6. Derivada de un cociente de funciones Sea B
CB ,la derivada será ´
CBA´BBAC´B 0CB3:
Es decir, la derivada de un cociente de dos funciones es: “la segunda, por la derivada de la primera, menos la primera por la derivada de la segunda; dividida entre la segunda al cuadrado”.
El producto y cociente de funciones se desarrollará más adelante.
7. Regla de la cadena
Si 03 , entonces la derivada es ´ 03A ´
La regla de la cadena se utiliza para derivar funciones algebraicas de los siguientes tipos:
√ 1< Funciones Raíz
2 1# Función con paréntesis elevado a una potencia
Es importante aclarar que la regla de la cadena es de amplio uso en las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas.
Ejemplo 1: derivar 2" 3,
´ 62" 3#A 4 Organizar términos el 4x pasa a la izquierda
´ 242" 3# Resultado final
Ejemplo 2: derivar & √< " 12. Aplicando la propiedad de radicación se transforma el radical en exponente.6D8 56
& √< " 12 " 129<
Aplicar propiedad de radicación
& " 129< 03, en este caso la función " 12 es la función interna y se encuentra elevada a la .
&´ " 12:<A 2 12
&´ 2 12" 12:< Pasar (2x-12) a la izquierda
&´ " 4 " 12:< Simplificar
&´ =:<B%>
B:"B:< Bajar el término
" 12:< con potencia positiva
&´ =:<B%>
DB< :"B: Convertir en radical el término
" 12:<
8. Función exponencial e , aplicación de la regla de la cadena
Si E F su derivada es ´E F A E´, la variable E es el exponente de (e) y E´ significa derivada de (u).
Ejemplo 1: derivar 2 "B
2 "B Función inicial
2´ "BA 2 Pasar el número 2 a la izquierda
2´ 2"B Respuesta
Ejemplo 2: derivar 2 B 9
:B
2 B9:B Función inicial
2´ "9: 1B 9
:B El término "
9
: 1 pasa a la izquierda
Ejemplo 3: derivar 2 %B<#B
2 %B<#B
Función inicial
2´ %B<#B
A 12" 5 Aplicar fórmula ´E FA E´
2´ 12" 5%B<#B
9. Función logaritmo Natural (Ln), aplicación de la regla de la cadena Si E GE su derivada es ´E
FA E´, la variable (u) es la que acompaña al logaritmo natural y (u´) es la derivada de (u).
Ejemplo 1: derivar + G
+ G Función inicial
+´ BB<: Organizar la expresión como fracción para simplificar
+´ B Respuesta
Ejemplo 2: derivar G5% 4"
G5% 4 Función inicial
´ #B@%BA 20 8 Aplicar la fórmula ´E FA E´
´ "B#B@<%BHB Organizar los términos como fracción para simplificar
´ %BI#BB#B<:%"J Factorizar por factor común y simplificar
´ %I#B#B<:%"J Respuesta
Ejemplo 3: derivar G√" 1
G√" 1 Función inicial
Para derivar la función " 19: mirar el tema de regla de regla de la cadena para funciones algebraicas visto anteriormente.
´ "BB:K9:
"B:9: Organizar los términos como fracción para simplificar
´ BB:K9:
B:9: Simplificar los términos de bases iguales " 1
´ B
B:9:B:9: Aplicar propiedad de potenciación de bases iguales
´ B:B Respuesta
DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
A continuación se presentan las derivadas de las funciones trigonométricas: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante.
10. Función Seno
Si E LE, su derivada es ´E ME A E´, la variable (u) es la que acompaña al Seno y (u´) es la derivada de u.
Ejemplo 1: derivar L" 1
L" 1
´ M" 1 A 2 Pasar el término 2x a la izquierda
11. Función Coseno
Si E ME, su derivada es ´E LE A E´, la variable (u) es la que acompaña al Coseno y (u´) es la derivada de u.
Ejemplo 2: derivar 2 M√2 4
2 M√2 4
2 M2 49: Convertir el radical √2 4 a exponente
Para derivar la función 2 49: mirar el tema de regla de regla de la cadena para funciones algebraicas visto anteriormente.
2´ L=2 49:> A 03"2 49:3 Simplificar y organizar (u´)
2´ 3"2 49:L=2 4:9> Pasar a la izquierda 3"2 49:
2´ 3"2 49: L=2 49:> Respuesta
12. Función Tangente
Si E NE, su derivada es ´E L"E A E´, la variable (u) es la que acompaña a la tangente y (u´) es la derivada de u.
Ejemplo 3: derivar tan 2% "
´ Sec"2% " A 8 2 Pasar el término 8 2 a la izquierda
´ 8 2 Sec"2% " Respuesta
13. Función Secante
Si E E, su derivada es ´E LE A tanE A E´, la variable (u) es la que acompaña a secante y (u´) es la derivada de u.
Ejemplo 4: derivar ? Sec √ 2
? Sec √ 2
? Sec 9: 2 Convertir el término √ a exponente
?´ Sec =9: 2> A N =9: 2> A "
9
: Aplicar ´E LE tanE A E´
?´ "9:Sec =9: 2> N =9: 2>
14. Función Cotangente
Si E E, su derivada es ´E "E A E´, la variable (u) es la que acompaña a cotangente y (u´) es la derivada de u.
Ejemplo 5: derivar cot 5"
cot 5"
´ csc"5" A 10 1 Aplicar ´E "E A E´
´ 10 1 csc"5"
15. Función Cosecante
Si E E, su derivada es ´E cscE A cot E A E´, la variable (u) es la que acompaña a cosecante y (u´) es la derivada de u.
Ejemplo 6: derivar . csc 5√< # 2
. csc 5√< # 2
. csc 5;< 2 Convertir el término 5√< # en exponente
.´ csc =5;< 2> =5;< 2> A "#:<
.´ "#:<csc =5;< 2> =5;< 2> Aplicar ´E cscE cot E A E´
DERIVADAS DE PRODUCTOS Y COCIENTES
Regla del producto. Multiplicación de funciones
Sea A 2, la derivada será ´ A 2´ 2 A ´.
Regla del cociente. División de funciones
Sea CBB ,la derivada será ´ CBA´BBAC´B0CB3:
Como se puede observar es un producto de funciones, para derivar se utiliza:
´ A 2´ 2 A ´
Identificación de los términos en la función √ 3
2 √ 3 3"
Calculamos las derivadas
´ 1
2´ 12 3"A 1
2´ " 39: Simplificando
Aplicando la regla del producto para √ 3
´ A 2´ 2 A ´
´ A =" 39:> 39:A 1 Remplazando en la fórmula
´ B"A 39: 39: Simplificar la expresión
´ 39: B
" 3 Factorizar 3 por facto común
´ 39: B
" 3 Simplificar, romper paréntesis
´ 39:
" 3 Operar términos semejantes
´ <:B
B 9: Pasar el término 3
9: al denominador cambia de signo
el exponente por propiedad de potenciación
´ <:B
√B Convertir el término del denominador en radical. Respuesta
Ejemplo 2: derivar "BB< BCB
Como se puede observar es un cociente de funciones, para derivar se utiliza:
´ CBA´BBAC´B0CB3:
Identificación de los términos en la función "BB< BCB
Calculamos las derivadas
´ 3"
2´ 2
Aplicando la regla de cociente para "BB<
´ CBA´BBAC´B0CB3:
´ "BAI B"B:JIB: <JA" Remplazar en la fórmula
´ ,B<"B B:"B: < Realizar operaciones
´ %B"B< B:: Reducción de términos semejantes, respuesta
Como se puede observar es un producto de funciones, para derivar se utiliza:
´ A 2´ 2 A ´
Identificación de los términos en la función + "B:%M7
"B:%
2 M7
Calculamos las derivadas
´ "B:%
A 4
´ 4"B:%
2´ L7 A 21"
2´ 21"L7
Aplicando la regla del producto para + "B:%M7
Remplazando en la fórmula
+´ "B:%
A I21"L7 J M7 A 4"B:%
+´ 21"L7 "B:%
4M7 "B:%
Organizar y simplificar
+´ "B:%21L7 4M7 Factorizar por factor común
+´ "B:%
21L7 4M7 Respuesta.
Ejemplo 4: derivar X B@ B B<" BCB
Como se puede observar es un cociente de funciones, para derivar se utiliza:
´ CBA´BBAC´B0CB3:
Identificación de los términos en la función X BB<"@ CBB
G3%
2 2
Calculamos las derivadas
´ 31% A 12
´ 123% 4
2´ 3"
Aplicando la regla de cociente para X B@
B<"
´ CBA´BBAC´B0CB3:
´ B<"A=@Y>XI B@JA B:
B<": Remplazando en la fórmula
´ %B:ZY B:XI B@J
B<": Realizar operaciones y organizar
´ %B:HBK9B< B"::XI B@J