UNIVERSIDAD NACIONAL DE R´IO CUARTO
Facultad de Ciencias Exactas, F´ısico-Qu´ımicas y Naturales Departamento de Matem´atica
Tesis de Licenciatura
EL MODELO DE ARROW-DEBREU Y SU RELACI ´
ON CON
LOS TEOREMAS DE PUNTO FIJO
Agust´ın G. Bonifacio
The paradox is now fully established that the utmost abstractions are the true weapons with which to control our thought of concrete fact.
A. N. Whitehead, Science and the Modern World.
El objeto de toda ciencia, sea natural o psicol´ogica, consiste en coordinar nuestras experiencias de modo que el todo forme un sistema l´ogico. La ´unica justificaci´on de nuestros conceptos y sistemas de conceptos reside en el hecho de que son ´utiles para representar el complejo de nuestras experiencias; pero fuera de ello no poseen otro t´ıtulo de legitimidad.
Albert Einstein, El Significado de la Relatividad.
Los beneficios de la axiomatizaci´on de la teor´ıa econ´omica han sido numerosos. Hacer los supuestos de una teor´ıa enteramente expl´ıcitos permite un mejor juicio sobre el alcance que posee para explicar una situaci´on particular. La axiomatizaci´on, al insistir en el rigor matem´atico, ha llevado repetidamente a los economistas a un entendimiento m´as profundo de los problemas que estaban estudiando, y al uso de t´ecnicas matem´aticas que se adaptan mejor a esos problemas. Ha establecido bases seguras desde las cuales la exploraci´on puede comenzar en nuevas direcciones. Ha liberado a los investigadores de la necesidad de cuestionar la obra de sus predecesores en todo detalle. El rigor sin dudas completa una necesidad intelectual de muchos economistas te´oricos contempor´aneos, quienes lo buscan por motivo propio, pero tambi´en es un atributo de una teor´ıa que es una herramienta de pensamiento efectiva. Otros dos atributos de una teor´ıa efectiva son su simplicidad y su generalidad. Nuevamente, sus atractivos est´eticos bastan para hacerlos fines deseables en s´ı mismos para quien dise˜na una teor´ıa. Pero su valor para la comunidad cient´ıfica va mucho m´as all´a de lo est´etico. La simplicidad hace a una teor´ıa ´util para un gran n´umero de investigadores. La generalidad la hace aplicable a una amplia gama de problemas. A´un desde otro punto de vista, la axiomatizaci´on de la teor´ıa econ´omica ha ayudado a la profesi´on al poner a su alcance el grandiosamente eficiente lenguaje de la matem´atica. ´Este ha permitido a los economistas comunicarse entre s´ı, y a pensar con gran econom´ıa de medios. Al mismo tiempo, el di´alogo entre economistas y matem´aticos se ha vuelto m´as intenso y, simult´aneamente, la teor´ıa econ´omica ha comenzado a influir en la matem´atica.
Deseo expresar mi agradecimiento al Dr. Hugo Cuenya por permitirme realizar esta in-vestigaci´on, por la confianza depositada al aceptar dirigirme y la dedicaci´on con la cual me gui´o a lo largo de la preparaci´on de este escrito.
Resumen
En este trabajo se estudia el modelo de Arrow y Debreu de una econom´ıa competitiva de propiedad privada y su relaci´on con los teoremas de punto fijo. Se demuestran el teorema de punto fijo de Brouwer y su extensi´on a correspondencias, el teorema de punto fijo de Kakutani. ´Este ´ultimo se aplica luego al estudio de la existencia de equilibrios en juegos de
´Indice
1. Introducci´on 3
2. Teoremas de punto fijo 6
2.1. El teorema de Brouwer . . . 6
2.2. El teorema de Kakutani . . . 9
3. Juegos de N personas 15 3.1. Existencia de equilibrio . . . 16
3.2. Ejemplos . . . 16
4. Econom´ıas abstractas 19 4.1. Existencia de equilibrio . . . 20
4.2. Un enfoque alternativo . . . 21
5. El modelo de Arrow-Debreu 25 5.1. Consumidores . . . 25
5.1.1. Preferencias y funciones de utilidad . . . 25
5.1.2. Supuestos sobre los consumidores . . . 27
5.2. Productores . . . 31
5.2.1. Supuestos sobre los productores . . . 31
5.3. Relaci´on entre producci´on y consumo . . . 34
5.4. Definici´on de econom´ıa . . . 35
5.5. Una econom´ıa Arrow-Debreu es una econom´ıa abstracta . . . 37
5.6. Existencia de equilibrio . . . 38
5.7. Ejemplos . . . 43
5.8. Existencia de equilibrio con preferencias incompletas o intransitivas . . . 46
6. Equivalencia entre el equilibrio competitivo y el teorema de Kakutani 50 6.1. El lema de Gale-Debreu-Nikaido . . . 51
6.2. El teorema de Sonnenschein-Mantel-Debreu . . . 53
6.3. La equivalencia . . . 57
1.
Introducci´
on
El modelo matem´atico de una econom´ıa competitiva de Le´on Walras (1870) se concibi´o co-mo un intento de explicar el estado de equilibrio de un gran n´umero de agentes econ´omicos interactuando a trav´es de mercados. Walras percib´ıa que la teor´ıa que propon´ıa necesitaba de un argumento matem´atico para apoyar la existencia de al menos un equilibrio competitivo, y de esta forma, lograr la consistencia l´ogica de su modelo. Sin embargo, por m´as de medio siglo la igualdad del n´umero de ecuaciones y de inc´ognitas del modelo walrasiano permaneci´o como la ´unica (y poco convincente) observaci´on acerca de la existencia de equilibrio.
Trabajos pioneros de John von Neumann resultaron de gran relevancia para resolver el problema de existencia. De hecho, muchos consideran el a˜no 1944, en el cual se publica la primera edici´on de su libro Teor´ıa de los Juegos y Comportamiento Econ´omico en coautor´ıa con el economista Oskar Morgenstern, como el a˜no del nacimiento simb´olico de la econom´ıa matem´atica contempor´anea. Este hecho anunci´o una profunda transformaci´on de la teor´ıa econ´omica.
Von Neumann estableci´o la existencia de un par de estrategias de equilibrio para un juego de suma cero de dos personas y luego, trabajando en un problema de crecimiento econ´omico, prob´o un lema topol´ogico que fue reformulado poco tiempo despu´es por Shizuo Kakutani como un teorema de punto fijo para una correspondencia.
John Nash, en 1950, aplic´o este teorema de punto fijo para establecer la existencia de puntos de equilibrio en un juego de N personas, liberando as´ı a la teor´ıa de los juegos de las limitaciones impuestas en la formulaci´on de von Neumann y Morgenstern al probar existencia de equilibrio en contextos generales con m´as de dos jugadores y sin suponer colaboraci´on entre ellos, inaugurando as´ı la teor´ıa de juegos no cooperativos.
Dos a˜nos m´as tarde, en 1952, Gerard Debreu generaliz´o la idea de Nash al definir una econom´ıa abstracta o juego generalizado y probar existencia de un equilibrio social para tal modelo, nuevamente gracias al teorema de Kakutani. Esta generalizaci´on de Debreu, al poner en manifiesto c´omo el accionar colectivo restringe el comportamiento individual de los agentes econ´omicos, le permiti´o poco tiempo despu´es junto con Kenneth Arrow garantizar la existencia de un estado de equilibrio para una econom´ıa competitiva, al reformularla como una econom´ıa abstracta, en el cl´asico modelo de Arrow-Debreu de 1954.
El objetivo del siguiente trabajo consiste en realizar un estudio pormenorizado de los resultados previamente comentados, con especial ´enfasis en el modelo de Arrow y Debreu de una econom´ıa competitiva. Cabe se˜nalar que hemos seleccionado algunas demostraciones que consideramos importantes para esta monograf´ıa, en tanto que otras de caracter m´as t´ecnico y general ser´an omitidas. El an´alisis se completa con un aporte de los autores a la literatura actual respecto a generalizaciones de los teoremas de punto fijo y de econom´ıas abstractas.
El trabajo se organiza de la siguiente manera. En la secci´on 2 se presenta y demuestra el teorema de punto fijo de Brouwer a trav´es de un lema de no retracci´on, cuya prueba es anal´ıtica. Luego se estudia la extensi´on del teorema de Brouwer a correspondencias, el deno-minado teorema de punto fijo de Kakutani, que ser´a la principal herramienta para establecer los teoremas de existencia de equilibrio en los modelos econ´omicos que analizaremos.
En la secci´on 3 se introduce el concepto de juego de N personas, la prueba de existencia de equilibrio para esos juegos y algunos ejemplos. A continuaci´on, en la secci´on 4, se amplia el modelo anterior para reconocer el papel que la escasez juega en un sistema econ´omico y se prueba existencia de equilibrio para las denominadas econom´ıas abstractas, en dos versiones diferentes.
La secci´on 5 presenta el modelo de Arrow y Debreu de una econom´ıa competitiva. Luego de discutir en detalle las diferentes partes del modelo (consumidores, productores y sus rela-ciones), observaremos que una econom´ıa de este tipo puede verse como una econom´ıa abstracta y que, a su vez, su equilibrio puede ser derivado en consecuencia del teorema de existencia de equilibrio para econom´ıas abstractas. El cl´asico teorema de Arrow y Debreu sobre existencia de un equilibrio competitivo se obtiene luego modificando levemente algunas hip´otesis para que posean mayor relevancia econ´omica. Despu´es de unos ejemplos de econom´ıas competiti-vas, se presenta un resultado bastante general acerca de la existencia de equilibrio competitivo a´un cuando las preferencias de los consumidores son incompletas o intransitivas.
La relaci´on entre la existencia de equilibrios en el modelo de Arrow-Debreu y la existencia de puntos fijos se estudia detenidamente en la secci´on 6 donde, caracterizando los equilibrios competitivos en t´erminos de las correspondencias de exceso de demanda, brindamos adem´as otra prueba de existencia de equilibrio para el modelo, mucho m´as sencilla que la anterior: el lema de Gale-Debreu-Nikaido. La equivalencia entre las t´ecnicas de punto fijo y los equilibrios competitivos vendr´a de la mano del teorema de Sonnenschein-Mantel-Debreu.
2.
Teoremas de punto fijo
2.1.
El teorema de Brouwer
Definici´on 2.1 Dado un conjunto S y una funci´on f : S −→ S, decimos que x ∈ S es un punto fijo de f siempre que x=f(x).
Uno de los teoremas m´as importantes para asegurar la existencia de puntos fijos, de natu-raleza topol´ogica, es el teorema de Brouwer:
Teorema 2.1 (Brouwer, 1910) Sea S ⊂R` un conjunto no vac´ıo, compacto y convexo y sea
f :S−→S una funci´on continua. Entonces f tiene un punto fijo.
La demostraci´on del teorema se llevar´a a cabo utilizando un lema debido a Kannai [11], acerca de la imposibilidad de existencia de una retracci´on C(2) de la bola unitaria a su borde:
Lema 2.1 (Kannai, 1981) Sea B := {x ∈ R` : |x| ≤ 1}. Entonces no existe una funci´on
f : B −→ ∂B de clase C(2) que sea a su vez una retracci´on, esto es, que cumpla f(x) = x
para todo x en ∂B :={x∈ R` :|x|= 1}. Aqu´ı| · | denota la norma eucl´ıdea usual y C(2) es
el conjunto de funciones dos veces continuamente diferenciables.
Prueba. Supongamos que existe una tal retracci´on f(x) = (f1(x), . . . , f`(x)). Sea J(x) el
determinante jacobiano de f en x. DesarrollandoJ(x) por la primera columna obtenemos
J(x) =
`
X
i=1
(−1)i+1∂f1
∂xi
Ei(x) (2.1)
donde Ei(x) es el determinante de la matriz que surge de la matriz
M(x) =
∂f2
∂x1 . . .
∂f`
∂x1 ... ... ...
∂f2
∂x` . . .
∂f`
∂x`
(2.2)
al omitir la i-´esima fila. Como f(x)∈∂B, P`i=1f2
i(x)≡1. En consecuencia
P` i=1
∂fi
∂xj(x)≡0
paraxenB y as´ıJ(x)≡0 enB, al ser una de las columnas de la matriz jacobiana combinaci´on lineal de las restantes.
`
X
i=1
(−1)i+1 ∂
∂xi
(f1Ei) = `
X
i=1
(−1)i+1∂f1
∂xi
Ei+ `
X
i=1
(−1)i+1f1
∂Ei
∂xi
usando (2.1) y el hecho de que J(x)≡0 en B encontramos que
0 =
Z
B
J(x) =
Z
B `
X
i=1
(−1)i+1 ∂
∂xi
(f1Ei) +
Z B f1 ` X i=1
(−1)i∂Ei
∂xi . (2.3) Sin embargo, ` X i=1
(−1)i∂Ei
∂xi ≡
0. (2.4)
Para ver que (2.4) es cierto, parai6=j denotemoscij(x) al determinante de la matriz obtenida
de M(x) al omitir la i-´esima fila y reemplazar la fila
µ
∂f2
∂xj
, . . . , ∂f` ∂xj
¶
por
µ
∂2f 2
∂xi∂xj
, . . . , ∂
2f
`
∂xi∂xj
¶
.
Aplicando la regla para diferenciar determinantes1 se ve claramente que ∂Ei
∂xi =
P
j6=icij. La
igualdad de las derivadas segundas cruzadas implica adem´as que cij = (−1)j−i−1cji si i < j,
al desplazarse la fila de derivadas segundas j −i−1 veces al pasar decij acji, por lo cual `
X
i=1
(−1)i∂Ei
∂xi
=
`
X
i=1
(−1)iX
j6=i
cij = `
X
i=1
X
j<i
(−1)icij + `
X
i=1
X
j>i
(−1)j−1cji = 0.
Sustituyendo (2.4) en (2.3) vemos que se llegar´a a una contradicci´on una vez que probemos que Z B ` X i=1
(−1)i+1 ∂
∂xi
(f1Ei)6= 0.
Para ello aplicaremos el teorema de la divergencia al campo vectorial cuyai-´esima componente es (−1)i+1f
1(x)Ei(x) 2. Como para cada x ∈ ∂B el vector normal unitario exterior a ∂B en
1Si A(x) = (a
ij(x))1≤i,j≤` entonces ∂detA
∂x =
P`
i=1detAi, donde Ai se consigue al reemplazar en A la i-´esima fila por ¡∂ai1
∂x , . . . , ∂ai`
∂x
¢ .
2El teorema de la divergencia de Gauss establece que siB ⊂R` es una regi´on y ϕes un campo vectorial
definido sobreB entonces
Z
B
divϕ= Z
∂B n·ϕ,
ese punto coincide con x llegamos a que Z B ` X i=1
(−1)i+1 ∂
∂xi
(f1Ei) =
Z ∂B f1 ` X i=1
(−1)i+1xiEi.
Consideremos la i-´esima proyecci´on xi : R` −→ R que realiza la asignaci´on x 7−→ xi, y
definamos la funci´on gi := fi −xi. Al ser f una retracci´on, gi ≡ 0 en ∂B, por lo tanto si
x ∈ ∂B, ∇gi(x) es normal a ∂B o, equivalentemente, ∇gi(x) es paralelo a x. Se sigue que
existe un escalar λi = λi(x) tal que ∇gi(x) = λix. Ahora bien, como ∇gi = ∇fi − ∇xi,
conclu´ımos que
∇fi(x) = ∇xi(x) +λix,
siempre que x ∈ ∂B. Esto implica que podemos reescribir a la matriz M de la siguiente manera:
M(x) =
λ2x1 . . . λ`x1
1 +λ2x2 . . . λ`x2
... . .. ...
λ2x` . . . 1 +λ`x`
Considerando esto ´ultimo tenemos que
`
X
i=1
(−1)i+1xiEi(x) =
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
x1 λ2x1 . . . λ`x1
x2 1 +λ2x2 . . . λ`x2
... ... . .. ...
x` λ2x` . . . 1 +λ`x`
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
x1 0 . . . 0
x2 1 . . . 0
... ... ... ...
x` 0 . . . 1
¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯
=x1,
y al ser f1(x) =x1 en ∂B llegamos al resultado
Z
∂B
f1(x)
`
X
i=1
(−1)i+1x
iEi(x) =
Z
∂B
x2 1 >0,
y con esto a una contradicci´on con (2.3). ¤
Prueba del Teorema de Brouwer. Sea dim(S) =k ≤`. Bastar´a probar el teorema considerando la bola unitaria Bk ={x∈ Rk :|x| ≤ 1}, ya que al tener la misma dimensi´on3
3Ladimensi´on de un conjunto convexoS
⊂R` se define como la dimensi´on del menor espacio af´ın de R`
que S y al ser Bk tambi´en compacta y convexa ambos conjuntos son homeomorfos4 y en
consecuencia es f´acil ver quex∈S es un punto fijo de f si y s´olo si φ−1(x)∈B
k es un punto
fijo de ψ = φ−1 ◦f ◦φ : B
k −→ Bk, siendo φ : Bk −→ S el homeomorfismo en cuesti´on.
Veamos entonces que ψ :Bk −→Bk tiene un punto fijo. Supongamos que no. La compacidad
de Bk y la continuidad de ψ implican la existencia de un ε > 0 tal que |ψ(x)−x| ≥ε para
todox enBk. Seag :Bk−→Bk una funci´on de claseC(2) tal que |g(x)−ψ(x)|< ε/2 enBk,
que existe por el teorema de aproximaci´on de Stone-Weierstrass. Entonces g(x)6=x, ya que
ε≤ |ψ(x)−x| ≤ |ψ(x)−g(x)|+|g(x)−x|< ε/2 +|g(x)−x|,
y as´ı|g(x)−x|> ε/2 en Bk. Definamos a continuaci´on la funci´on h:Bk −→∂Bk como
h(x) =
(
el ´unico punto en ∂Bk que adem´as se encuentra en la
semirrecta con origen en g(x) que pasa por x.
h(x) =αg(x) + (1−α)x para alg´unα ≤0 que satisfaga|αg(x) + (1−α)x|= 1. Puede verse que siempre existe un tal α = α(x) y que es C(2) respecto a x 5, por lo tanto h es de clase
C(2), al serlo g y α. Notemos que, para x ∈ ∂B
k, h(x) = x. As´ı, llegamos a que h es una
retracci´on de clase C(2), lo que es absurdo por el lema anterior. Concluimos entonces que ψ
tiene un punto fijo y, en consecuencia, que f tambi´en.¤
2.2.
El teorema de Kakutani
Una generalizaci´on del teorema de Brouwer se debe a Kakutani, quien extendi´o el resultado a funciones multivaluadas o correspondencias, que definimos a continuaci´on:
Definici´on 2.2 Dados dos conjuntos S y T, una correspondencia ϕ : S −→ 2T es una funci´on de S a la familia de subconjuntos de T.
4Ver, por ejemplo, el teorema 2.8 de Nikaido [16] para una demostraci´on de este hecho.
5
|αg(x) + (1−α)x|= 1⇐⇒p(α) =|g(x)−x|2α2+ 2(g(x)·x− |x|2)α+ (|x|2−1) = 0. El discriminante de la funci´on cuadr´aticap(α) es:
∆ = 4(g(x)·x− |x|2)2−4|g(x)−x|2(|x|2−1).
Observaci´on 2.1 A lo largo de todo este trabajo, salvo que se especifique expl´ıcitamente lo contrario, asumiremos que las correspondencias toman valores no vac´ıos.
El concepto de continuidad de una correspondencia se introduce en tres etapas. Conside-remos una sucesi´on {xn} ⊂S y una sucesi´on{yn} ⊂T:
Definici´on 2.3 Diremos que una correpondenciaϕ :S−→2T essemicontinua superior-mente en x0 ∈ S si existe un entorno de x0 en el cual ϕ est´a acotada y si dadas las
sucesiones xn →x0 e yn →y0 conyn∈ϕ(xn)se cumple que y0 ∈ϕ(x0). ϕ es semicontinua
superiormente si lo es en cada punto de S.
Observaci´on 2.2 Con esta definici´on, ϕ(x0) es compacto. Esto es cierto ya que ϕ(x0) es
acotado y, para ver que es cerrado, consideremos {zn} ⊂ ϕ(x0) : zn → z0. Sean {xn} =
{x0} → x0 y {yn} = {zn}. Claramente zn ∈ ϕ(xn) = ϕ(x0) y en consecuencia z0 ∈ ϕ(x0).
Notemos tambi´en que siT es compacto siempre existe un entorno dex0 dondeϕest´a acotada.
De hecho, al ser ϕ(S)⊂T,ϕ(S) est´a acotado y podemos tomar a todo S como el entorno en cuesti´on.
Definici´on 2.4 Una correspondencia ϕ : S −→ 2T se dice semicontinua inferiormente en x0 ∈S si dada la sucesi´on xn →x0 en S y dado y0 ∈ϕ(x0), existe una sucesi´on {yn} en
T tal que yn →y0 conyn∈ϕ(xn). ϕ se dice semicontinua inferiormentesi lo es en cada punto de S.
Definici´on 2.5 Diremos que una correspondencia ϕ : S −→ 2T es continua en x
0 ∈ S si
es tanto semicontinua superior como inferiormente en ese punto. ϕ ser´a continua si lo es en cada punto de S.
Lema 2.2 Sea ϕ : S −→ 2T una correspondencia. Si T es compacto entonces son equiva-lentes:
(i)ϕ es semicontinua superiormente en x0,
(ii) Para todo entornoU de ϕ(x0)existe un entorno V dex0 tal queϕ(V) :=Sx∈V ϕ(x)⊂
U y, adem´as, ϕ(x0) es compacto.
Prueba. (i) ⇒ (ii). Supongamos que ϕ es semicontinua superiormente (s.c.s.) enx0. Por la nota anterior sabemos que ϕ(x0) es compacto. Consideremos un abierto U ⊃ ϕ(x0) y sea el
conjunto
Claramente x0 ∈ V y ϕ(V) ⊂ U. Bastar´a ver que V es un conjunto abierto. Probemos
entonces que Vc = {x ∈ S : ϕ(x)∩ Uc 6= ∅} es cerrado. El gr´afico de la correspondencia
ϕ es el conjunto G(ϕ) = {(x, y) ∈ S ×T : y ∈ ϕ(x)}. As´ı, si πS : S ×T −→ S es la
proyecci´on can´onica y M :=G(ϕ)∩(S×Uc) = {(x, y) ∈ S ×T : y ∈ ϕ(x)∩Uc}, tenemos
que πS(M) ={x∈S :ϕ(x)∩Uc 6=∅}=Vc.
Sea una sucesi´on{xn} ⊂Vc tal quexn→x0 ∈S. Comoxn∈πS(M), para cadanexiste un
yntal que (xn, yn)∈M. Esto implica queyn ∈ϕ(xn) y queyn ∈Uc.Uc es compacto, ya que es
cerrado enT, que es compacto por hip´otesis. Por lo tantoyntiene una subsucesi´on convergente
a un y0 en Uc, que sin p´erdida de generalidad supondremos es la misma yn. Ahora, la s.c.s.
de ϕ nos dice que y0 ∈ ϕ(x0); por lo tanto (x0, y0) ∈ M y x0 = πS((x, y)) ∈ πS(M) = Vc.
As´ıx0 ∈Vc y Vc es cerrado.
(ii) ⇒ (i) 6. Supongamos que dadas {x
n} ⊂ S y {yn} ⊂ T con xn → x0, yn → y0 y
yn∈ϕ(xn) ocurre quey0 ∈/ ϕ(x0). Comoϕ(x0) es compacto yT es un espacio eucl´ıdeo (y por
ende Hausdorff), tambi´en es cerrado. En consecuencia existe un ε >0 tal que7 W :=B(y 0, ε)
cumple W ∩ϕ(x0) =∅. U = Wc es un abierto que contiene a ϕ(x0), entonces por hip´otesis
existe un abierto V tal que x0 ∈ V y ϕ(V) ⊂ U. Como xn → x0, xn ∈ V para n grande.
Esto implica que yn ∈ϕ(xn)⊂U paran grande. As´ı|yn−y0|> ε para esos n y yn 9y0, un
absurdo.
Resta ver que existe un entorno de x0 en el cual ϕ est´a acotada. Consideremos un ε >0
tal que ϕ(x0)⊂intB(0, ε), que existe al ser ϕ(x0) compacto. La hip´otesis (ii) nos asegura la
existencia de un entorno de x0 con la propiedad deseada. ¤
Lema 2.3 Sea ϕ : S −→ 2T una correspondencia. Si ϕ es semicontinua superiormente y S es compacto, entonces ϕ(S) es compacto.
Prueba. Sea {Uα}α∈A un cubrimiento por abiertos de ϕ(S). Para cadax∈ S, ϕ(x) es
com-pacto y est´a en consecuencia cubierto por una cantidad finita de elementos del cubrimiento deϕ(S), digamos, Uαx
1, . . . , Uαxnx. Definamos el abiertoO(x) =
Snx
i=1Uαx
i.ϕ(x)⊂O(x). Por el
lema anterior, para cadaO(x) existe unVx entorno dextal queϕ(Vx)⊂O(x).{Vx}x∈S es un
cubrimiento de S, y siendo S compacto existe un subcubrimiento finito {Vxi}
m
i=1. En
conse-cuencia los correspondientes O(xi) cubren aϕ(S) (ya que ϕ(S)⊂Smi=1ϕ(Vxi)⊂
Sm
i=1O(xi)).
6Para esta implicaci´on la compacidad deT es innecesaria.
Por la definici´on de los O(xi), ϕ(S) queda cubierto por una cantidad finita de elementos de
{Uα}α∈A. ¤
Definici´on 2.6 Una correspondencia ϕ : S −→ 2T tendr´a valores convexos (cerrados, compactos, etc.)cuando para cadax∈S el conjunto ϕ(x)sea convexo (cerrado, compacto, etc.).
Definici´on 2.7 Un x ∈ S es un punto fijo para una correspondencia ϕ : S −→ 2S si se cumple que x∈ϕ(x).
El teorema de Kakutani se presenta a continuaci´on:
Teorema 2.2 (Kakutani, 1941) Sean S un conjunto no vac´ıo, compacto y convexo de un espacio eucl´ıdeo de dimensi´on finita y ϕ :S −→2S una correspondencia semicontinua supe-riormente con valores convexos. Entonces ϕ tiene un punto fijo.
Prueba. Como S es compacto es totalmente acotado. Esto significa que para todo ε > 0 existe un conjunto finito {aε
1, . . . , aεnε} ⊂S tal que S⊂
Snε
i=1B(aεi, ε). Para cadaaεi, seabεi un
elemento arbitrario de ϕ(aε i).
Para cadaε, definamos a continuaci´on nε funciones continuas θiε:S −→R por
θεi(x) = m´ax{ε− |x−aεi|,0}, i= 1, . . . , nε.
Es evidente, por su definici´on, que cada θε
i es no negativa. Adem´as,
Pnε
i=1θεi(x) >0, ya que
si esto no fuera cierto tendr´ıamos que, para todo i, θε
i(x) = 0 y, en consecuencia,|x−aεi| ≥ε
para todo i, con lo cualx /∈S.
Podemos obtener a trav´es de las funciones anteriores las siguientes funciones ponderadoras (que tambi´en son continuas):
wiε(x) = θ
ε i(x)
Pnε
i=1θεi(x)
,
y, a su vez, definir la funci´on fε:S −→S dada por
fε(x) =
nε
X
i=1
wiε(x)bεi.
(La imagen de S por fε est´a en S ya que wε
i(x) ≥ 0,
Pnε
i=1wεi(x) = 1, cada bεi ∈ S y S es
Como fε es continua y S es no vac´ıo, compacto y convexo, el teorema de Brouwer nos asegura la existencia de un punto fijo xε=fε(xε).
Sea ahora una sucesi´on εm →0 cuando m → ∞. La sucesi´on {xεm} ⊂S asociada posee
una subsucesi´on convergente a un l´ımite ˆx∈S, por serScompacto. Sin p´erdida de generalidad supongamos:
(i) εm →0 cuando m→ ∞, (ii) xεm →xˆ cuandom → ∞,
(iii) fεm(xεm) = xεm.
Probaremos que ˆxes un punto fijo deϕ. Consideremos el conjunto8 O
δ =ϕ(ˆx) +Uδ, donde
Uδ =B(0, δ), paraδ >0.
Oδ es un abierto que contiene a ϕ(ˆx). Esto es cierto ya que al ser Uδ abierto cualquier
trasladado x+Uδ sigue si´endolo y porque Oδ = Sx∈ϕ(ˆx)(x+Uδ). Oδ tambi´en es convexo, al
ser suma de conjuntos convexos.
ComoOδ es un abierto que contiene a ϕ(ˆx) yS es compacto, la semicontinuidad superior
de ϕ nos garantiza la existencia de un Vε =B(ˆx, ε) tal que ϕ(Vε)⊂Uδ, por el lema 2.2. Por (i) y(ii) sabemos que existir´a unM tal quem≥M implica tantoεm < ε/2 comoxεm ∈Vε/2.
Se sigue que, para m≥M, siwεm
i (xεm)>0 resulta aεim ∈Vε, ya que
|aεm
i −xˆ| ≤ |aεim−xεm|+|xεm−xˆ|< εm+ε/2< ε/2 +ε/2 = ε.
Como aεm
i ∈Vε, vale que bεim ∈ϕ(a εm
i )⊂ϕ(Vε)⊂Oδ. En consecuencia, al ser por (iii)
xεm =
nεm
X
i=1
wεm
i (xεm)bεim
xεm resulta combinaci´on convexa de elementos de O
δ, que es convexo, siempre que m ≥ M.
Entonces xεm ∈O
δ sim ≥M. Tomando l´ımite cuandom→ ∞,(ii) nos dice que ˆx∈O2δ (ya
que ˆx podr´ıa estar en∂Oδ). Pero como δ es arbitrario, en definitiva tenemos que ˆx∈Oδ para
cualquier δ >0. Esto significa que podemos escribir, para todo δ >0, ˆx=xδ+uδ con xδ en
ϕ(ˆx) y uδ enUδ. Calculemos la distancia de ˆxal conjunto ϕ(ˆx):
d(ˆx, ϕ(ˆx)) = inf
x∈ϕ(ˆx)|xδ+uδ−x| ≤x∈infϕ(ˆx)|xδ−x|+|uδ|=|uδ|.
As´ıd(ˆx, ϕ(ˆx))≤ |uδ| para todo δ, con lo que d(ˆx, ϕ(ˆx)) = 0. Al ser ϕ(ˆx) compacto tambi´en
es cerrado y como d(ˆx, ϕ(ˆx)) = 0 llegamos a que ˆx∈ϕ(ˆx).¤
3.
Juegos de
N
personas
La idea de que la procuraci´on individual del beneficio propio promueve el bienestar social es la esencia del pensamiento econ´omico liberal, y fue inmortalizada en la mano invisible
de Adam Smith. Sin embargo, para realizar an´alisis formales es necesario hacer operativa esa idea. El primer intento exitoso de formalizaci´on se debe a John Nash9, quien en [15] defini´o un
juego de N personas, su correspondiente equilibrio (o soluci´on) y condiciones bajo las cuales la existencia de equilibrio queda asegurada.
SeaN ={1, . . . , i, . . . , n}el conjunto de jugadores. El jugadori-´esimo se caracteriza por un conjunto de acciones disponiblesa priori,Ai ⊂R`, y por una funci´on de pagosfi. Suponiendo
comportamiento racional (optimizador), este jugador tratar´a de elegir una acci´on ai ∈ Ai de
manera quefi alcance un m´aximo para ese ai. El problema est´a en que fi no s´olo depende de
las acciones del jugador i, sino que tambi´en depende del accionar del resto de los jugadores. Esto se formaliza diciendo que el dominio defies el producto cartesiano de todos los conjuntos
de acciones, A =Qi∈NAi. As´ı, fi : A −→R. Dada una acci´on para cada jugador, o sea, un
a ∈ A, el i-´esimo de ellos obtendr´a un pago fi(a). Si N−i = {1, . . . , i−1, i+ 1, . . . , n} es
el conjunto de jugadores que excluye al i-´esimo de ellos, podemos definir A−i = Qj∈N−iAj.
Un elemento a−i de A−i recoge las acciones de todos los jugadores salvo i. Notemos que
A=Ai×A−i 10.
Dado el comportamiento del resto de los jugadores (es decir, una−i ∈A−i), cada jugador
tratar´a de maximizar su funci´on de pagos. La consecuci´on simult´anea por parte de todos los jugadores del ´optimo es la soluci´on del juego, denominada equilibrio de Nash. Formalmente resumimos lo anterior en las siguientes definiciones:
Definici´on 3.1 Un juego de N personas es una lista (Ai, fi)i∈N donde para cada jugador
i, Ai ⊂R` y fi :A −→R es una funci´on, siendo A=Qi∈NAi.
Definici´on 3.2 Un equilibrio de Nash es una∗ = (a∗i, a∗−i)∈A tal que para todo i en N,
fi(a∗) = m´ax ai∈Ai
fi(ai, a∗−i), siendo a∗
−i un elemento de A−i =Qj∈N−iAj.
9Si bien la Teor´ıa de los Juegos surge con el trabajo seminal de John von Neumann y Oskar Morgenstern
[24], la formulaci´on general de un juego no cooperativo de N personas, modelo mucho m´as general que los estudiados por von Neumann y Morgenstern, se debe a Nash.
10Este, en realidad, es un abuso de notaci´on, ya que en un producto cartesiano el orden importa. Sin
3.1.
Existencia de equilibrio
Las hip´otesis bajo las cuales un juego posee un equilibrio son sugeridas por el teorema de punto fijo de Kakutani, como demostr´o John Nash11 [15]:
Teorema 3.1 (Nash, 1950) Si para cada i en N, Ai es no vac´ıo, compacto y convexo, y fi es una funci´on continua que adem´as cumple con ser lineal en su i-´esima variable, entonces el juego (Ai, fi)i∈N tiene un equilibrio.
Prueba. Definamos, para cada i, la correspondencia µi :A−→2Ai donde
µi(a) =
½
x∈Ai :fi(x, a−i) = m´ax y∈Ai
fi(y, a−i)
¾
,
que es el conjunto de acciones ´optimas para el i-´esimo agente12. La maximizaci´on puede
llevarse a cabo ya quefi es continua y Ai es compacto y no vac´ıo, es decir,µi(a)6=∅. Adem´as
µi(a) es convexo, ya que dados x, y ∈µi(a) y α∈[0,1] se cumple
fi(αx+ (1−α)y, a−i) = αfi(x, a−i) + (1−α)fi(y, a−i) = m´ax z∈Ai
fi(z, a−i)
al ser fi(x, a−i) = fi(y, a−i) = m´axz∈Aifi(z, a−i). La correspondencia µi, por su parte, es
semicontinua superiormente. Para ver esto, tomemos una sucesi´on{an} ⊂Atal quean →a0y
una sucesi´on{xn} ⊂A
i tal quexn→x0conxn ∈µi(an). Tomemos un punto arbitrarioy∈Ai.
Entonces para todo n se tiene que fi(xn, an−i) ≥ fi(y, an−i). Cuando n → ∞, fi(x0, a0−i) ≥
fi(y, a0−i) y como y∈Ai era arbitrario x0 ∈µi(a0).
Si a continuaci´on definimos la correspondencia µ : A −→ 2A por µ(a) = Q
i∈Nµi(a) y
tenemos en cuenta que el producto de compactos es compacto, el producto de convexos es convexo y que el producto de correspondencias semicontinuas superiormente es una corres-pondencia semicontinua superiormente, por el teorema de Kakutani µ tiene un punto fijo
a∗ ∈µ(a∗). Este punto fijo es el equilibrio del juego. ¤
3.2.
Ejemplos
Dos ejemplos (algo estilizados) de juegos se presentan ahora13:
11Premio Nobel en Econom´ıa, 1994.
12En realidad la correspondencia s´olo depende del conjunto A
−i, pero a efectos expositivos preferimos
escribir µi:A−→2Ai.
13Estos son ejemplos de juegos bastante particulares de dos personas denominados´ juegos bimatriciales,
Ejemplo 3.1 (El dilema del prisionero) Sean N = {1,2}, ` = 1, A1 = A2 = {1,2} (en
consecuencia A=A1×A2 ={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}) y f1, f2 :A −→R definidas por:
f1(1,1) =−1, f2(1,1) =−1,
f1(1,2) = 0, f2(1,2) =−10,
f1(2,1) =−10, f2(2,1) = 0,
f1(2,2) =−8, f2(2,2) =−8.
En este juego los jugadores 1 y 2 son ladrones que han sido arrestados por un detective y se encuentran incomunicados entre s´ı. El detective no tiene pruebas concluyentes del delito que 1 y 2 han cometido. A cada uno de ellos a la hora de ser interrogados se le presentan dos alternativas: “confesar el delito” (alternativa 1) o “no confesarlo” (alternativa 2). Si uno de los ladrones confiesa y el otro no, el primero ser´a utilizado de testigo (y no ser´a penalizado, recibiendo 0) contra el otro (que ser´a penalizado con -10). Si ambos confiezan, ambos ser´an penalizados (pero no tanto, recibiendo cada uno -8) y, finalmente, si ambos deciden no confesar ser´an sobrese´ıdos (y recibir´an por la molestia que les ha provocado toda la situaci´on -1). El nombre del juego proviene de que, precisamente por su estructura, el ´unico equilibrio del juego esa∗ = (2,2), es decir, que ambos confiesen. Sin embargo, los dos estar´ıan mejor si decidieran no confesar en absoluto.
Ejemplo 3.2 (Piedra, papel, tijera) Sean N = {1,2}, ` = 1, A1 = A2 = {1,2,3} y f1, f2 :
A−→R definidas por:
f1(1,1) = 0,
f1(1,2) =−1,
f1(1,3) = 1,
f1(2,1) = 1,
f1(2,2) = 0,
f1(2,3) =−1,
f1(3,1) =−1,
f1(3,2) = 1,
f1(3,3) = 0,
Si tomamos 1 = piedra, 2 = papel y 3 = tijera en A1 y A2, ´este es el t´ıpico juego “piedra,
papel, tijera”. Este juego, como era de esperarse, no tiene ning´un equilibrio. Para ver es-to, supongamos que existe un equilibrio (i∗, j∗). Entonces f
1(i∗, j∗) = f2(i∗, j∗) = 1, pero
4.
Econom´ıas abstractas
A pesar de que un juego de N personas es muy ´util para analizar situaciones sociales de interdependencia estrat´egica, no llega a describir de manera precisa el papel que juega la escasez en un sistema econ´omico. Si bien la maximizaci´on de la funci´on de pagos representa un criterio de asignaci´on (basado en el postulado de racionalidad), la escasez de los recursos no se explicita en ninguna parte (recordemos que el problema econ´omico radica en asignar recursos
escasos entre diferentes alternativas). Por ello fue necesario ampliar el modelo anterior para reconocer que el accionar colectivo restringe las posibilidades de elecci´on de cada uno de los integrantes de la econom´ıa. Dado el comportamiento del resto, en una econom´ıa el i-´esimo agente s´olo podr´a elegir su acci´on ´optima en un subconjunto de su conjunto de acciones Ai,
ya que la escasez de recursos limitar´a su accionar. Podemos entonces definir la restricci´on en el comportamiento del i-´esimo agente como una correspondencia ϕi :A−i −→2Ai, que puede
ser expresada como una correspondencia ϕi :A−→2Ai.
Considerando estas restricciones, Debreu14en [5] ampli´o el concepto de juego al definir una
econom´ıa abstracta15. Ahora cada agente se caracteriza no s´olo por su conjunto de elecciones
y su funci´on de pagos, sino que tambi´en posee una correspondencia que restringe sus posibi-lidades de elecci´on:
Definici´on 4.1 Una econom´ıa abstracta es una lista (Ai, fi, ϕi)i∈N donde Ai ⊂ R`, fi :
A −→ R es una funci´on y ϕi : A −→ 2Ai es una correspondencia16 que restringe para cada
a∈A el conjunto de acciones del i-´esimo agente a un subconjunto ϕi(a)⊂Ai.
Observaci´on 4.1 A ser´a llamado el conjunto de elecci´on total, y para el i-´esimo agente, Ai
ser´a su conjunto de elecci´on, fi su funci´on de pagos y ϕi surestricci´on.
Definici´on 4.2 Un elementoa∗ = (a∗
i, a∗−i)deAes unequilibrio socialsi para cadai∈N,
fi(a∗) = m´ax ai∈ϕi(a∗)
fi(ai, a∗−i).
Observaci´on 4.2 Veamos c´omo estas definiciones generalizan a un juego y su correspon-diente equilibrio de Nash. Si tenemos una econom´ıa abstracta (Ai, fi, ϕi)i∈N en la cual para
cada i ∈ N se cumple que para todo a ∈ A es ϕi(a) = Ai, es decir, si las restricciones “no
14Premio Nobel en Econom´ıa, 1981.
15Tambi´en denominadajuego generalizado.
hacen nada”, la econom´ıa abstracta y su equilibrio social se reducen a un juego deN personas y a un equilibrio de Nash. Sin embargo, cuando las restricciones s´ı act´uan los conceptos de soluci´on son diferentes, ya que la maximizaci´on en la econom´ıa abstracta se realiza sobre un conjunto m´as peque˜no.
4.1.
Existencia de equilibrio
Antes de establecer el teorema de existencia de equilibrio social para econom´ıas abstractas haremos un par´entesis para hablar de cuasiconcavidad17, la que resultar´a fundamental para
todo lo que sigue:
Definici´on 4.3 Sea f : A −→ R con A convexo. f se dir´a cuasic´oncava si cualquiera de las dos afirmaciones siguientes se cumple:
(i)α ∈(0,1), x, y ∈A con f(x)≥f(y) implicanf((1−α)x+αy)≥f(y)
(ii) ∀c∈R el conjunto Bc ={x∈A:f(x)≥c} es convexo.
Veamos que (i) y (ii) son equivalentes:
(i) ⇒ (ii). Sean c∈R,x, y ∈Bc y sin p´erdida de generalidad tomemos f(x)≥f(y)≥c.
Dado α∈(0,1), (i) implicaf((1−α)x+αy)≥f(y)≥c, por lo tanto (1−α)x+αy∈Bc y
Bc es convexo.
(ii) ⇒ (i). Sean x, y ∈ A y supongamos f(x) ≥ f(y). El conjunto Bf(y) es convexo, por
(ii). Dado α ∈ (0,1) y sabiendo que x, y ∈ Bf(y) tenemos (1 −α)x+αy ∈ Bf(y), esto es,
f((1−α)x+αy)≥f(y).
Definici´on 4.4 Una funci´on fi : A −→ R es cuasic´oncava en su i-´esima variable si, dado a−i ∈A−i, para todo c∈R el conjunto {x∈Ai :fi(x, a−i)≥c} es convexo.
Ya estamos en condiciones de establecer el teorema de existencia de equilibrio social para una econom´ıa abstracta:
Teorema 4.1 (Debreu, 1952) Si para cadaien N, Ai es no vac´ıo, compacto y convexo;fi es una funci´on continua que es cuasic´oncava en su i-´esima variable y ϕi es una correspondecia continua de valores convexos, entonces la econom´ıa abstracta(Ai, fi, ϕi)i∈N tiene un equilibrio social.
Antes de comenzar la prueba notemos que, dado a ∈A, el conjunto de acciones ´optimas para el i-´esimo agente viene ahora dado por:
µi(a) =
½
x∈ϕi(a) :fi(x, a−i) = m´ax y∈ϕi(a)
fi(y, a−i)
¾
.
µi as´ı definida es una correspondencia entreA y 2Ai. El siguiente lema establece condiciones
para lograr que µi sea semicontinua superiormente:
Lema 4.1 Si tanto fi : A −→ R como ϕi : A −→ 2Ai son continuas, µi : A −→ 2Ai es semicontinua superiormente.
Prueba. Recordemos que tantoµicomoϕitienen como dominio al conjuntoA−i =Qj∈N−iAj.
Tomemos una sucesi´on{an
−i} ⊂A−i tal que an−i →a0 ∈A−i y una sucesi´on {xn} ⊂Ai tal que
xn →x0 con xn ∈µ
i(an−i). Ya que, para cada n, xn ∈ϕi(an−i) y ϕi es semicontinua
superior-mente, tenemos que x0 ∈ϕ
i(a0). Por otro lado, seaz0 ∈ϕi(a0) arbitrario. Al ser ϕi
semicon-tinua inferiormente existe una sucesi´on {zn} ⊂ Ai, que converge a z0, tal que zn ∈ ϕi(an−i).
Entonces, para cada n, fi(xn, a−ni) ≥ fi(zn, an−i) y en el l´ımite fi(x0, a0) ≥ fi(z0, a0). Como
z0 ∈ϕ
i(x0) era arbitrario, hemos probado que x0 ∈µi(a0).¤
Prueba del Teorema de Equilibrio Social. Ya que tantofi como ϕi satisfacen los
supuestos del lema 4.1, µi es semicontinua superiormente. Como µi(a) = ϕi(a)∩ {x ∈ Ai :
fi(x, a−i)≥m´axy∈ϕi(a)fi(y, a−i)},ϕi(a) es convexo y{x∈Ai :fi(x, a−i)≥m´axy∈ϕi(a)fi(y, a−i)}
tambi´en es convexo (por serfi cuasic´oncava en sui-´esima variable), tenemos queµi(a) es
con-vexo, al ser intersecci´on de convexos y, por tanto,µ(a) = Qi∈Nµi(a) es convexo. A=Qi∈NAi
es no vac´ıo, compacto y convexo. Por ´ultimo,µ:A−→2A es semicontinua superiormente, al
ser producto cartesiano de correspondencias semicontinuas superiormente. Por el teorema de Kakutani, µtiene un punto fijo, que resulta ser el equilibrio social de (Ai, fi, ϕi)i∈N.¤
4.2.
Un enfoque alternativo
Otra definici´on de una econom´ıa abstracta puede realizarse considerando, para cadai, una correspondencia Pi :A−→2Ai en vez de una funci´on de pagos fi. De hecho, si definimos las
correspondencias Pi (denominadas correspondencias de preferencias) como:
un equilibrio social se puede caracterizar entonces como un elemento a∗ de A tal que para cada i deN tenemos que a∗i ∈ϕi(a∗) y Pi(a∗)∩ϕi(a∗) =∅.
Si nos encontramos bajo las hip´otesis del teorema 4.1, las correspondencias de preferencias verifican lo siguiente:
Pi tiene un gr´afico abierto (por continuidad de fi),
Para cada a ∈ A, Pi(a) es convexo (por cuasiconcavidad de fi en su i-´esima variable)
y en consecuencia ai ∈/ Pi(a) es equivalente a ai ∈/ coPi(a), donde coPi(a) denota la c´apsula convexa18 de P
i(a).
El gr´afico dePise define como el conjuntoG(Pi) := {(a, x)∈A×Ai :x∈Pi(a)}. Para probar
que es abierto consideremos una sucesi´on{(an, xn)} ⊂Gc(Pi) = {(a, x)∈A×Ai :fi(x, a−i)≤
fi(a)} que converja al punto (a0, x0). Como para todo n se cumple que (an, xn)∈ Gc(Pi), se
tiene fi(xn, a−i,n)≤fi(an). Tomando l´ımite y recordando que fi es continua
fi(x0, a−i,0) = l´ım
n→∞fi(xn, a−i,n)≤nl´ım→∞fi(an) =fi(a0),
por lo que (a0, x0) ∈ Gc(Pi), Gc(Pi) es cerrado y G(Pi) es abierto. Para ver que Pi(a) es
convexo, tomemos x, y ∈ Pi(a) y α ∈ (0,1). Sin p´erdida de generalidad podemos asumir
fi(x, a−i) ≥ fi(y, a−i) > fi(a). La cuasiconcavidad en la i-´esima variable de fi implica que
fi((1−α)x+αy, a−i)≥fi(y, a−i)> fi(a) y, por ende, que (1−α)x+αy∈Pi(a).
Por todas las observaciones anteriores, otra manera de trabajar con una econom´ıa abs-tracta es definirla tomando como concepto primitivo a las correspondenciasPi, deslig´andonos
completamente de las funciones de pagos de los agentes. Formalmente,
Definici´on 4.5 Una econom´ıa abstracta (de tipo II) es una lista (Ai, Pi, ϕi)i∈N donde
Ai ⊂ R` y Pi, ϕi : A −→2Ai son correspondencias. Un equilibrio social (de tipo II) es un
a∗ ∈A tal que, para todo i∈N, a∗
i ∈ϕi(a∗) y Pi(a∗)∩ϕi(a∗) =∅.
Un teorema de existencia de equilibrio social para tal econom´ıa abstracta, que hace uso de las observaciones ya mencionadas, se debe a Shafer y Sonnenschein [19]:
Teorema 4.2 (Shafer y Sonnenschein, 1975) Si para cada i ∈ N, Ai es no vac´ıo, compacto y convexo; Pi es una correspondencia con gr´afico abierto tal que ai ∈/ coPi(a)para todo a∈A y ϕi es una correspondencia continua a valores convexos, entonces la econom´ıa abstracta
(Ai, Pi, ϕi)i∈N tiene un equilibrio social.
Prueba. Sea gi : A×Ai −→ R la distancia de un elemento (a, x) ∈ A×Ai al conjunto cerrado Gc(P
i), i. e.,
gi(a, x) =d((a, x), Gc(Pi)).
Entonces gi(a, x) = 0 si (a, x) ∈ Gc(Pi) y gi(a, x) > 0 si (a, x) ∈ G(Pi). Definamos las
correspondencias µi :A−→2Ai por
µi(a) =
½
x∈ϕi(a) :gi(a, x) = m´ax y∈ϕi(a)
gi(a, y)
¾
.
Por el lema 4.1, µi es s.c.s. En consecuencia, la correspondencia coµi :A −→2Ai definida por
a 7→ coµi(a) tambi´en es s.c.s. 19. Como el producto cartesiano de correspondencias s.c.s. es
s.c.s., la correspondencia µ:A−→2A definida por
µ(a) = Y
i∈N
coµi(a)
es s.c.s. y por el teorema de Kakutani posee un punto fijo a∗. Para cada i∈N,a∗i ∈coµi(a∗).
Como adem´as µi(a∗) ⊂ ϕi(a∗) y ϕi(a∗) es convexo, coµi(a∗) ⊂ ϕi(a∗) y as´ı a∗i ∈ ϕi(a∗).
Resta ver que Pi(a∗)∩ϕi(a∗) = ∅ para todo i ∈ N. Supongamos que para alg´un i tenemos
Pi(a∗)∩ϕi(a∗) =6 ∅ y sea y en esa intersecci´on. El par (a∗, y) pertenece a G(Pi). Entonces
gi(a∗, y)>0, lo que implica que gi(a∗, x)>0 para todox∈µi(a∗) (porque estosxmaximizan
gi en ϕ(a∗)). Entonces, x ∈ µi(a∗) ⇒ gi(a∗, x) > 0 ⇒ (a∗, x) ∈ G(Pi) ⇒ x ∈ Pi(a∗), lo que
nos dice que µi(a∗) ⊂ Pi(a∗). Como en consecuencia coµi(a∗) ⊂ coPi(a∗), llegar´ıamos a que
a∗i ∈coPi(a∗), lo que es absurdo.¤
Observaci´on 4.3 Una de las pruebas m´as generales de existencia de equilibrio social para una econom´ıa abstracta, definida sobre un espacio vectorial topol´ogico localmente convexo (e.v.t.l.c.) fue realizada por Yannelis y Prabhakar en [25]:
Teorema 4.3 (Yannelis y Prabhakar, 1983) Sea la econom´ıa abstracta (Ai, Pi, ϕi)i∈N, donde
N es un conjunto numerable y para cada i:
(i)Ai es un subconjunto no vac´ıo, compacto, convexo y metrizable de un e.v.t.l.c., (ii) ϕi tiene valores convexos,
(iii) la correspondencia clϕi : A −→ 2Ai definida por clϕi(a) = ϕi(a) es semicontinua superiormente,
19Dada una correspondenciaϕ:S
−→2T s.c.s., si T es convexo, entonces la correspondencia coϕes s.c.s.
(iv) tanto Pi como ϕi tienen secciones inferiores abiertas20, (v) ai ∈/coPi(a) para todo a∈A,
entonces esta econom´ıa abstracta posee un equilibrio social, definido en este contexto como un a∗ ∈A tal que para cada i∈N se tiene que a∗
i ∈ϕi(a∗) y Pi(a∗)∩ϕi(a∗) =∅.
Prueba. Ver [25].
20Una correspondencia ψ: X
−→2Y tienesecciones inferiores abiertas si
5.
El modelo de Arrow-Debreu
Un caso particular de econom´ıa abstracta es el denominado modelo de Arrow-Debreu21,
presentado en [1], que en poco tiempo se convirti´o en el modelo can´onico de sistema econ´omico utilizado por los economistas para sus an´alisis te´oricos.
La importancia del modelo Arrow-Debreu radica en que, bajo ciertos supuestos sobre los elementos que describen a la econom´ıa, es posible asegurar la existencia de un vector de precios que coordina los comportamientos individuales de todos los participantes de esa econom´ıa. De esta forma, el modelo hace operativo el concepto de mercado, entendido por la corriente principal de la ciencia econ´omica como un sistema de informaci´on que brinda se˜nales a los agentes econ´omicos que lo componen a trav´es de los precios, siendo estos ´ultimos la materializaci´on de lo posible y lo deseado dentro de la sociedad.
Lo que el modelo trata de describir es una econom´ıa de propiedad privada con una cantidad finita de integrantes,m consumidores y n productores, y con una cantidad finita de` bienes. El espacio de bienes entonces es R`, suponiendo que cada vector de R` es una canasta de
bienes, describiendo la h-´esima coordenada de cada vector las cantidades del h-´esimo bien existentes en esa canasta.
5.1.
Consumidores
Existen m consumidores, i= 1, . . . , m. El i-´esimo consumidor se caracteriza por un sub-conjunto no vac´ıo Xi deR`, una relaci´on binaria -i definida enXi y un vector ei ∈R`.
5.1.1. Preferencias y funciones de utilidad
El conjuntoXi es el conjunto de consumo del i-´esimo consumidor y re´une todas las
alter-nativas posibles de consumo que ´este poseea priori. Haremos la convenci´on de que los insumos del consumidor (sus consumos) tendr´an signo positivo y que las cantidades producidas por ´este tendr´an signo negativo. Por otra parte, se supone que cada consumidor llega al mercado con una dotaci´on inicial de bienes ei, los cuales valuados al sistema de precios existente en la
econom´ıa determinar´an, junto con su participaci´on en la propiedad del sector productivo, su restricci´on presupuestaria. La modelizaci´on de los gustos del i-´esimo consumidor se realiza a
21En honor a dos de sus principales creadores, los premios Nobel Kenneth Arrow y Gerard Debreu. Suele
trav´es de una relaci´on binaria -i⊂Xi×Xi. As´ı, para x, y ∈ Xi, x-i y quiere decir que “x
es a lo sumo tan deseado como y”. Bajo los supuestos usuales -i es una relaci´on completa y
transitiva (y en consecuencia reflexiva).
En toda la discusi´on que prosigue prescindiremos del sub´ındicei, para alivianar la notaci´on: Definici´on 5.1 Una relaci´on binaria -⊂X ×X es un orden de preferencias si cumple con ser completa, esto es,∀x, y ∈X :x-y o y-x; y transitiva, es decir, ∀x, y, z∈X :x
-y, y-z implica x-z.
Es inmediato ver que un orden de preferencias es reflexivo, ya que al ser completo, tomando
y = x tenemos que x - x. Ahora bien, de esta relaci´on podemos derivar dos nuevas: dados
x, y ∈X, como siempre tenemos que x- y o y -x, si ambas se cumplen diremos que estas elecciones son indiferentes y escribiremos x ∼y, mientras que si tenemos x - y y no y - x
diremos quex≺y(a leerse “yes preferido ax”). La relaci´on binaria∼as´ı definida es tambi´en sim´etrica (es de equivalencia) y particiona a X en clases de equivalencia (denominadasclases de indiferencia).
Si bien esta forma de modelizar los gustos de los consumidores es enteramente razonable (y ´util), no nos permite caracterizar los gustos de cada consumidor a trav´es de una funci´on continua. Surge entonces la siguiente interrogante: ¿Bajo que condiciones se puede asegurar que en un conjunto completamente ordenado por las preferencias del consumidor es posible definir una funci´on real continua que preserve ese orden?
La representaci´on de un orden de preferencias a trav´es de una funci´on num´erica fue estu-diada rigurosamente por Debreu en [6], en un contexto mucho m´as general.
Definici´on 5.2 u:X −→R es una funci´on de utilidad si x-y es equivalente a u(x)≤
u(y), es decir, si preserva el orden de preferencias establecido en X.
Teorema 5.1 (Debreu, 1954) Sea X un espacio topol´ogico completamente ordenado por el orden de preferencias -, que adem´as cumple el segundo axioma de numerabilidad. Si para cada x0 ∈ X los conjuntos {x ∈ X : x - x0} y {x ∈ X : x0 - x} son cerrados, existe una funci´on de utilidad u:X −→R continua.
Prueba. Ver [6].
Corolario 5.1 En el caso particular de queX sea un subconjunto de R` con la m´etrica usual completamente ordenado por -, si para cada x0 ∈ X los conjuntos {x ∈ X : x - x0} y
Prueba. Es consecuencia directa del hecho que R` con la m´etrica usual satisface el segundo axioma de numerabilidad y del teorema 5.1. ¤
Observaci´on 5.1 Las funciones de utilidad no son ´unicas para cada orden de preferencias subyacente, ya que si u es una funci´on de utilidad para -, y g : R −→ R es estrictamente creciente, entonces g◦u tambi´en es una funci´on de utilidad para -. Un ejemplo de un orden de preferencias no representable a trav´es de una funci´on de utilidad es el de las preferencias lexicogr´aficas: sea X = R2
+ y definamos (x1, x2) - (y1, y2) sii “x1 < y1” o “x1 = y1 y
x2 ≤ y2”. Supongamos que u representa el orden lexicogr´afico. Entonces para cada x1, al
ser (x1,1) ≺ (x1,2), existe un racional r(x1) tal que u(x1,1) < r(x1) < u(x1,2). Adem´as, si
x0
1 < x1 se cumple quer(x01)< r(x1), al ser r(x01)< u(x01,2)< u(x1,1)< r(x1). r:R+ −→Q
as´ı definida es inyectiva, un absurdo.
5.1.2. Supuestos sobre los consumidores
A continuaci´on presentaremos y analizaremos algunos de los supuestos que usualmente se realizan sobre las preferencias y los conjuntos de consumo:
Supuesto C 1 (Supuesto de continuidad de las preferencias)Para cadax0 ∈X
ilos conjuntos
{x∈Xi :x-i x0} y {x∈Xi :x0 -i x} son cerrados22, i= 1, . . . , m.
Otro supuesto relativo a los consumidores es el siguiente:
Supuesto C 2 (Supuesto de convexidad de las preferencias) Si x yx0 son dos puntos de X
i
tales que x≺i x0 y α∈(0,1], entonces x≺i (1−α)x+αx0, i= 1, . . . , m.
La importancia de estos supuestos radica en el siguiente teorema:
Teorema 5.2 Bajo C1 y C2 existe una funci´on de utilidad ui : Xi −→ R continua y cua-sic´oncava representando -i.
Prueba. Olvidemos el sub´ındice i, por comodidad. Ya vimos que C1 implica la existencia de u continua. Veamos que C2 implica que tambi´en es cuasic´oncava, esto es, que ∀c ∈ R el conjunto Bc ={z ∈X :u(z)≥c} es convexo. Para esto es suficiente observar que
x, x0 ∈X con x-x0 y α ∈[0,1] implican x-(1−α)x+αx0, (5.1)
22Esto es equivalente a decir que
{(x, x0)
∈ Xi×Xi : x-i x0} es cerrado enXi×Xi (ver lema 15.2 en
ya que tomando c ∈ R; z1, z2 ∈ Bc; α ∈ [0,1] y suponiendo (sin p´erdida de generalidad)
que z1 - z2 tenemos z1 - (1−α)z1+αz2, o equivalentemente, u(z1)≤ u((1−α)z1+αz2).
Como u(z1)≥c, al cumplirse quez1 ∈Bc, queda u((1−α)z1+αz2)≥c, lo que nos dice que
(1−α)z1+αz2 ∈Bc y por lo tantoBc es convexo.
Probemos entonces que (5.1) es cierto. Pongamos [x, x0] := {(1−α)x+αx0 :α∈[0,1]} y
supongamos que (5.1) no vale: entonces x-x0 y existex1 ∈[x, x0] :x1 ≺x. Esto implica que
existe x2 ∈[x1, x] tal que x1 ≺x2 ≺x. (5.2) En efecto, si (5.2) no fuera cierto tendr´ıamos que ∀y ∈ [x1, x] : y - x1 o x - y. Sean ahora
U = {y ∈ X : y - x1} y V = {y ∈ X : x - y}. Tanto U como V son cerrados, por C1.
Podemos escribir
[x1, x] = ([x1, x]∩U)∪([x1, x]∩V).
Ambos conjuntos ([x1, x]∩U y [x1, x]∩V) son no vac´ıos y cerrados, y adem´as cumplen con
ser disjuntos, ya quez ∈[x1, x]∩U∩V implicax-z -x1 y por transitividadx-x1, lo que
es absurdo. Hemos en consecuencia dejado a [x1, x] disconexo, otro absurdo.
Retomando la prueba de (5.1), tenemos que x1 ∈ [x, x0] con x1 ≺ x, que x2 ∈ [x1, x] con
x1 ≺x2 ≺xy adem´as quex-x0.x1 ∈[x, x0] yx2 ∈[x1, x] implican quex1 ∈[x2, x0]. Adem´as
de x2 ≺ x - x0 se deduce que x2 ≺ x0. Por C2 llegamos a que x2 ≺ x1, lo que tambi´en es
absurdo. ¤
Lema 5.1 ConsideremosS ⊂Rl compacto y no vac´ıo y definamosM :R` −→Rpor M(p) =
m´axp·S:= m´axx∈Sp·x. Entonces M es continua.
Prueba. Sea {pn} → p0. Para cada pn existe un xn ∈ S : M(pn) = pn· xn. Como S es compacto podemos tomar una subsucesi´on convergente {xnk} → x0 ∈ S. Veamos entonces
que M(pnk)→p0·x0 cuando k→ ∞. Esto es cierto ya que
|pnk·xnk−p0·x0|=|pnk·xnk−pnk·x0+pnk·x0−p0·x0| ≤ |pnk|·|xnk−x0|+|x0|·|pnk−p0| →0
cuandok→ ∞. Tomemos ahora unx∈S arbitrario. Comopnk·xnk ≥pnk·xpor definici´on de
M, tomando l´ımite llegamos a quep0·x0 ≥p0·x, lo que nos dice queM(p0) =p0·x0. Hemos
demostrado que para toda {pn} →p0 existe una subsucesi´on {pnk} tal queM(pnk)→M(p0). ¤
Definici´on 5.3 Dados un vector de precios p∈R` y un nivel de riqueza w ∈R, la restric-ci´on presupuestaria del i-´esimo agente asociada con el par (p, w) es la correspondencia
βi :R`×R−→2Xi definida por
βi(p, w) ={x∈Xi :p·x≤w}.
El siguiente lema establece condiciones bajo las cualesβi resulta continua:
Lema 5.2 Si se cumple C3 y w0 >m´ınp0 ·Xi, entonces βi es continua en (p0, w0).
Prueba. Primero notemos que si vale C3 el dominio de βi es D = {(p, w) ∈ R`+1 : w ≥
m´ınp·Xi} ya que siw <m´ınp·Xi entonces∀x∈Xi tendr´ıamosp·x > w y as´ıβi(p, w) = ∅.
Por el lema anterior la funci´on p 7→ m´ınp·Xi es continua, y en consecuencia D es cerrado.
Esto es as´ı ya que si consideramos una sucesi´on{(pn, wn)} ⊂D: (pn, wn)→(p0, w0) tenemos
que como ∀n vale wn ≥m´ınpn·Xi,
w0 = l´ım
n→∞wn ≥nl´ım→∞m´ınpn·Xi = m´ınp0·Xi.
Veamos que βi es semicontinua superiormente en (p0, w0). Como βi(p0, w0) ⊂ Xi que
es compacto, βi(p0, w0) est´a acotado; adem´as si tomamos una sucesi´on {(pn, wn)} ⊂ D :
(pn, wn) → (p0, w0) y una sucesi´on {zn} ⊂ Xi : zn → z0 con zn ∈ βi(pn, wn) tenemos
pn·zn≤wn. Haciendo n → ∞queda p0·z0 ≤w0, lo que nos dice que z0 ∈βi(p0, w0).
Para ver la semicontinuidad inferior tomemos una sucesi´on {(pn, wn)} ⊂ D : (pn, wn) →
(p0, w0) y z0 ∈βi(p0, w0), es decir, p0·z0 ≤w0.
Si p0 · z0 < w0, tomando la sucesi´on {zn} = {z0} tenemos trivialmente que zn →
z0. Podemos hacer zn ∈ βi(pn, wn), o lo que es equivalente, z0 ∈ βi(pn, wn) para n
suficientemente grande ya que como
wn−pn·z0 = (wn−w0) +w0−p0 ·z0+ (p0−pn)·z0
podemos elegir N tal que n≥N implique
wn ≥pn·z0,
al serwn →w0, pn →p0 y w0 > p0·z0. La sucesi´on constantementez0 tomando n ≥N
Si p0 · z0 = w0, como por hip´otesis existe un x0 ∈ Xi tal que p0 ·x0 < w0 tenemos
p0·x0 < p0·z0. Consideremos la familia de hiperplanos Hn = {z ∈ R` : pn·z = wn}.
Como Hn →H0, existir´a un N tal que para n > N la recta x0z0 intersecta a Hn en un
solo punto, digamos ¯zn. Si definimos
zn=
(
¯
zn, si ¯zn∈[x0, z0]⊂Xi
z0, en caso contrario
{zn} es una sucesi´on que satisface las condiciones en la definici´on de semicontinuidad
inferior. ¤
Definici´on 5.4 Para dos vectores x, y ∈R`, “x≤y”significa “x
h ≤yh” para cada coordena-da h= 1, . . . , `, mientras que “x¿y” significa “xh < yh” para cada coordenada h= 1, . . . , `.
Supuesto C 4 (No riqueza m´ınima) Para todo i existe x0
i ∈Xi tal que x0i ¿ei.
Bajo C4 cada consumidor puede eliminar una cantidad positiva de cada bien de su dotaci´on inicial y a´un obtener un consumo posible. Esto es lo mismo que decir que el consumidor no se encuentra en un estado de riqueza m´ınima.
Una relajaci´on de C3 puede realizarse al no pedir la acotaci´on de los Xi. En cambio es
necesario exigir
Supuesto C 5 (Segundo supuesto sobre los conjuntos de consumo) Para todo i, Xi es no vac´ıo, cerrado, convexo y posee una cota inferior para ≤, esto es, existe un χi ∈ R` tal que
χi ≤x para todo x∈Xi.
5.2.
Productores
Existen n productores, j = 1, . . . , n. El j-´esimo productor se caracteriza por un sub-conjunto no vac´ıo Yj de R`, denominado su conjunto de producci´on, que re´une todas las
listas de producciones posibles para ´el dado su conocimiento tecnol´ogico. Convendremos que las cantidades producidas ser´an n´umeros positivos y que las cantidades de insumos ser´an n´umeros negativos. Por razones que se explican m´as adelante, los precios pueden nor-malizarse para el an´alisis del equilibrio, restringi´endolos a vivir en el simplex `-dimensional
P` ={p = (p1, ..., ph, ..., p`) ∈ R` : 0 ≤ ph ≤ 1 , P`h=1ph = 1}. Dado entonces un vector de
precios p ∈ P`, el productor buscar´a producir un yj ∈ Yj tal que su beneficio sea el m´aximo
posible:
Definici´on 5.5 La funci´on de beneficio m´aximo del j-´esimo productor πj :P` −→R se define como πj(p) = m´axp·Yj.
5.2.1. Supuestos sobre los productores
A continuaci´on analizamos los supuestos que haremos a lo largo del trabajo con respecto a los productores:
Supuesto P 1 (Capacidad de inacci´on) Para todo j, 0∈Yj.
Este supuesto dice que el j-´esimo productor tiene siempre la posibilidad de no hacer nada. Supuesto P 2 Para todo j, Yj es compacto y convexo.
Supuesto P 3 Sea Y =Pnj=1Yj, entonces Y es cerrado y convexo.
La cerradez del conjunto debe interpretarse como en C5. La convexidad, conjuntamente con P1, implican que, si y es posible, tambi´en lo es αy para cualquier 0 ≤ α ≤ 1. En otros t´erminos, prevalecen rendimientos no crecientes a escala.
Lema 5.3 Si vale P3, Y =Pnj=1co(Yj).
Prueba. La demostraci´on se basa en dos hechos generales, que explicamos a continuaci´on. Dada una cantidad finita de conjuntos Aj ⊂R`,j = 1, . . . , nse cumplen
n
X
j=1
Aj ⊂ n
X
j=1
y
n
X
j=1
co(Aj) = co
à n X j=1 Aj ! . (5.4)
Para ver (5.3), sea F : Qnj=1Aj −→ R` definida por F(a1, . . . , an) = Pnj=1aj. F es
claramente continua y adem´as F(Qnj=1Aj) = Pnj=1Aj, entonces n
X
j=1
Aj =F
à n Y j=1 Aj ! ⊂F à n Y j=1 Aj ! = n X j=1
Aj.
Probemos (5.4). Notemos primero que el conjuntoPnj=1co(Aj) es convexo. Esto es as´ı ya que
si y1, y2 ∈ F(Qnj=1co(Aj)) entonces existen x1, x2 ∈ Qnj=1co(Aj) (que es convexo) tales que
F(x1) =y1 y F(x2) =y2. ComoF es lineal, si α∈[0,1]
αy1+ (1−α)y2 =αF(x1) + (1−α)F(x2) =F(αx1+ (1−α)x2)∈F
à n Y
j=1
co(Aj)
!
.
Ahora como Pnj=1co(Aj) es convexo y Pnj=1Aj ⊂ Pnj=1co(Aj) tenemos que co(Pnj=1Aj) ⊂
Pn
j=1co(Aj). Para ver la otra inclusi´on probaremos que dados dos conjuntosA1 y A2 se tiene
co(A1)+co(A2)⊂co(A1+A2), obteni´endose el resultado general v´ıa inducci´on. Tomemos`+1
reales αi ≥0 conPi`=1+1αi = 1, `+ 1 elementos xi deA1 y un ydeA2. ComoPi`+1=1αixi+y=
P`+1
i=1αi(xi+y) vale que co(A1) +y= co(A1+y)23. Adem´as,
co(A1) +A2 =
[
y∈A2
co(A1) +y=
[
y∈A2
co(A1+y)⊂
[
y∈A2
co(A1+A2) = co(A1+A2),
es decir, co(A1) +A2 = co(A1+A2). Finalmente,
co(A2) + co(A1)⊂co(A2+ co(A1))⊂co(A1+A2),
mostr´andose que de hecho co(A2) + co(A1)⊂co(A1+A2).
Apliquemos (5.3) y (5.4) para probar el lema. Como Y = Pnj=1Yj, por (5.4) al ser Y
convexo tenemos que Y = coY = co(Pnj=1Yj) = Pnj=1co(Yj), o sea, Y = Pnj=1co(Yj). Por
otro lado, al ser co(Yj)⊂ co(Yj), aplicando (5.3) a los co(Yj) y recordando que Y es cerrado
obtenemos
Y =
n
X
j=1
co(Yj)⊂ n
X
j=1
co(Yj)⊂ n
X
j=1
co(Yj) = Y =Y,
23Ver teorema 2.4 de [16], en el cual se establece que la c´apsula convexa de un conjuntoA
⊂R` es igual al
y en consecuencia Y =Pnj=1co(Yj).¤
Supuesto P 4 (Irreversibilidad) Y ∩(−Y) = {0}.
Con esto ´ultimo se quiere decir que si la producci´on y6= 0 es posible entonces la producci´on −y (en la cual los insumos pasan a ser productos y los productos insumos) no lo es.
Supuesto P 5 (Eliminaci´on Libre) Y ⊃ −R`
+.
La eliminaci´on libre significa que si una producci´on total tiene todos sus outputs nulos, es posible. En otros t´erminos, a todos los productores conjuntamente les es posible librarse de todas las mercanc´ıas. La importancia de este supuesto radica en que implica un vector de precios de equilibrio con todas sus componentes no negativas:
Lema 5.4 P5 implica que, en equilibrio, p≥0.
Prueba. Si bien la definici´on de equilibrio se realiza m´as adelante, una condici´on necesaria para el mismo es que para cadaj y dadop, exista un m´aximo dep·yj enYj. Esto es equivalente
a que exista un m´aximo de p·y en el conjunto de producci´on total Y, y esto ocurrir´a s´olo si
p ≥ 0. Para ver esto, supongamos que alg´un componente de p, digamos ph, es negativo. En
ese caso podr´ıamos aumentar arbitrariamente p·y aumentando (en valor absoluto) el input total de la mercanc´ıa h-´esima.¤
Lema 5.5 (Smale, 1982) Bajo P3, P4 y P5, dados un b ∈ R` y un n ∈N, existe un c∈R tal que si y1, . . . , yn∈Y yPnj=1yj ≥b entonces |yj|< c para cada j = 1, . . . , n.
Prueba. Sea K := {y ∈ Y : |y| = 1}. K 6= ∅, ya que por ejemplo si denotamos por 1h al
h-´esimo vector can´onico de R`, −1h ∈K para todoh= 1, . . . , `, por P5. Ahora bien,
0∈/ coK,
ya que si lo hiciera podr´ıamos escribir 0 = Pri=1αiyi, con yi ∈K, 0< αi <1, Pri=1αi = 1 y
r ≤`+ 1. As´ı,
−α1y1 =α10 +
r
X
i=2
αiyi ∈Y,
y como α1y1 ∈ Y (ya que α1y1 = (α2+. . .+αr)0 +α1y1) tendr´ıamos que α1y1 ∈Y ∩(−Y),
