Objetivos de la lección

Lección 10: División de

Polinomios

Objetivos de la lección

Al finalizar esta lección los estudiantes:

•

Dividirán polinomios de dos o más términos

por polinomios de uno y dos términos.

•

Aplicarán el método de la división larga al

dividir por un binomio.

Introducción

•

La división de polinomios es muy útil en

muchas aplicaciones relativas a la economía,

física e ingeniería, entre otras.

•

Entre estas aplicaciones se encuentran la

teoría de números, el análisis numérico, la

teoría de operadores, la teoría de

Introducción

•

Para dividir polinomios podemos aplicar varios

métodos.

•

En esta lección estudiaremos cómo se dividen

polinomios de dos o más términos por

polinomios de uno y dos términos.

•

Estudiaremos el método de la división larga y el

método de la división sintética.

•

La división larga aplica a todo tipo de polinomio.

La división sintética aplica solo a unos casos

Comprendiendo la División

•

La división es una operación matemática que

consiste en saber cuántas veces un número (el

divisor

) está contenido en otro número (el

dividendo

).

•

Ejemplo:

–

Cuando decimos “6 dividido por 2” (6 ÷ 2),

queremos determinar cuántas veces está contenido

el 2 dentro de 6.

–

En este ejemplo, el 2 es el

divisor

y el 6 es el

DIVIDENDO = (DIVISOR ∙ COCIENTE) + RESIDUO

Componentes de la División

•

Los componentes de la división son los siguientes:

–

Dividendo

–

Divisor

–

Cociente

–

Residuo

•

Se le llama

cociente

al resultado de la división y

residuo

al sobrante que se obtiene luego de restar el

producto del cociente por el divisor.

•

La relación existente entre estos componentes es la

siguiente:

) Dividendo

- (cociente x divisor) Residuo

Relación entre los Componentes de

la División

•

A veces es conveniente expresar la relación de división

anterior de otra manera.

•

Si dividimos cada lado de la ecuación anterior por el divisor,

DIVIDENDO = (DIVISOR ∙ COCIENTE) + RESIDUO

DIVISOR DIVISOR DIVISOR

•

Obtenemos la siguiente expresión:

•

Observa que el residuo es una parte fraccionaria del divisor.

DIVIDENDO = (DIVISOR ∙ COCIENTE) + RESIDUO

DIVIDENDO = COCIENTE + RESIDUO

DIVISOR DIVISOR

1

Relación entre los Grados de los

Componentes de la División

•

Al dividir polinomios encontramos que el grado del

residuo debe ser menor que el grado del divisor.

•

Recuerda que el residuo es una parte fraccionaria del

divisor.

•

Así también, la división de polinomios asume que el

grado del dividendo será mayor o igual que el grado del

divisor ya que, de lo contrario, el cociente tendría

exponentes negativos y entonces no sería un

polinomio.

•

Esta relación nos permite comparar con facilidad los

grados de todos los componentes involucrados en la

operación.

Formas de Expresar la División

•

Existen tres formas de expresar la división:

–

Forma 1

: a ÷ b, donde “a” es el dividendo y “b”

es el divisor.

–

Forma 2

: , donde “a” es el dividendo y “b”

es el divisor.

–

Forma 3

: , donde “a” es el dividendo y “b”

es el divisor.

a

b

b

a

Formas de Expresar la División

•

Es necesario que podamos intercambiar entre una

expresión y otra para poder entender mejor y llevar a

cabo el proceso de división.

•

_{Por ejemplo:}

-En la expresión (

x

_{+ 2x + 1) ÷ (x + 1)}

_{debemos saber}

que la expresión a la izquierda del signo de división

(

x

_{+ 2x + 1)}

_{es el}

_dividendo

_{y la que aparece a la}

derecha del mismo (

x + 1)

es el

divisor

.

-Podemos expresar esa división de esta otra forma, en

la cual el dividendo se coloca dentro de la casita de

división y el divisor se coloca fuera de la misma:

-También, podemos expresar esa división de la siguiente

manera:

1

2

1

x

x

x

1

1

2

2

Ejemplo 1

•

Exprese la siguiente división usando la forma 2

(casita de división):

•

Cuando tenemos la forma de fracción, el

polinomio que está en el numerador es el

dividendo y el que está en el denominador es

el divisor.

•

En la forma 2 el dividendo es el término que

va dentro de la casita de división y el divisor el

que va fuera:

3

12

7

2

x

x

x

12

7

3

x

x

Ejemplo 2

•

Exprese la siguiente división usando la forma 3

(forma de fracción):

•

En la forma 1 el dividendo es el término que

que está a la izquierda del símbolo de división

y el divisor es el que está a la derecha:

•

En la forma 3 el dividendo es el término que

va en el numerador y el divisor el que va en el

denominador:

2

6

5

2

x

x

x

)

2

(

)

6

5

División por un Monomio

Ejemplo 1

:

(16x

_{– 8x}

_{+ 5x}

_{– 2x}

_{) ÷ 4x}

•

Para dividir por un monomio es conveniente

expresar la división de esta forma:

•

Observa que esto es una expresión racional, es decir,

una fracción con numerador y denominador.

•

En una expresión racional, el denominador es común

a todos los términos del numerador, por lo tanto

podemos re-escribir la expresión de la siguiente

forma:

x

x

x

x

x

4

2

5

8

16

x

x

x

x

x

x

x

x

4

2

4

5

4

8

4

16

División por un Monomio

•

En una expresión como la anterior, donde tenemos

varios monomios divididos por otro monomio,

aplicamos leyes de exponentes para simplificar cada

expresión:

•

Esto es, se dividen los coeficientes numéricos que se

puedan dividir y se restan los exponentes de las

variables que tienen bases iguales.

–

Siempre se resta el exponente de la variable que está en el

numerador menos el exponente de la variable que está en

el denominador.

–

Si los coeficientes numéricos no se pueden dividir, se dejan

expresados tal como están o se simplifican si tienen algún

factor común entre sí.

x x x

x x

x x

x

4 2 4

5 4

8 4

División por un Monomio

•

Aplicando las leyes de exponentes en el ejercicio

anterior tenemos:

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

2

1

4

5

2

4

4

2

4

5

4

8

4

16

Cuando tenemos un polinomio que se divide por un monomio,

dividimos cada término del polinomio por el monomio, en

Ejemplo 2

Divide ( ) por 4x.

•

Escribimos en forma de fracción y dividimos

cada término del polinomio por el monomio 4x.

Luego aplicamos leyes de exponentes y

simplificamos:

4

8

12

x

3

x

2

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

4

4

4

4

8

4

12

4

4

8

12

x

x

x

1

4

1

2

Ejemplo 3

Divide ( ) por

•

Escribimos en forma de fracción y dividimos

cada término del polinomio por el monomio .

Luego aplicamos leyes de exponentes y

simplificamos:

3

2

4

3

5

4

5

3

8

x

y

x

y

x

y

3 2 3 2 3 2 4 3 3 2 5 4 3 2 3 2 4 3 5 4

5

3

8

5

3

8

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

5

3

8

x

y

xy

División de Polinomios por un

Binomio:

División por un binomio

Divide ( ) por ( ).

•

Cuando tenemos un polinomio dividido por un

binomio aplicamos el

método de la división

larga

.

•

El método de división larga es similar al

proceso que utilizamos para dividir dos

números cardinales cualesquiera.

•

En la próxima pantalla repasaremos la división

de números cardinales.

8

5

2

x

Repaso de División de Cardinales

•

Si deseamos dividir (4565 ÷ 25) utilizamos la casita de

división y colocamos el dividendo y el divisor en el lugar

correspondiente. Luego procedemos a dividir de la siguiente

manera:

•

Ahora veamos el mismo proceso aplicado a polinomios.

Cociente

Dividendo Divisor

Residuo

4565

25

182

-25

206

-200

División por un binomio

•

Divide ( ) por ( ) .

₅

₈

x

x

x

3

8

5

3

x

x

x

2 _{y el resultado es x.}

x

2. Se coloca el resultado x en el cociente.

x

3. Se multiplica el cociente x por todo el divisor (x+ 3) y se coloca debajo del dividendo.

x

_{+ 3x}

4. Ahora tendríamos que restar:

(x2 + 5x) – (x2 _{+3x). Veremos en la}

División por un binomio

•

Divide por .

(

x

5

x

8

)

(

x

3

)

8

5

3

x

x

x

x

6. Se efectúa la suma del opuesto y se baja el próximo término del

dividendo. Observa que el primer término x2 _{y -x}2 _{se eliminan.}

-

x

₊

_-3

_x

5. Recuerda que la resta de polinomios se convierte en la suma del opuesto de cada término del segundo polinomio:

(x2 + 5x) – (x2 _{+3x) =}

(x2 _{+ 5x) + (-x}2 _{+ -3x)}

Observa que los signos del segundo polinomio cambian al opuesto de lo que eran y ahora se suma, y no se resta.

2x + 8

División por un binomio

•

Divide por .

(

x

5

x

8

)

(

x

3

)

8

5

3

x

x

x

x

11. Se efectúa la suma del opuesto. Observa que el primer término 2x se elimina.

-

x

₊

_-3

_x

2x + 8

8. Se divide 2x y el resultado es 2. x

9. Se coloca el resultado + 2 en el cociente.

10. Se multiplica el cociente +2 por todo el divisor (x+ 3) y se obtiene 2x + 6. Se coloca este resultado debajo del

anterior. Ahora tendríamos que restar y como restar equivale a sumar el

opuesto tendríamos:

(2x + 8) – (2x +6) = (2x + 8) + (-2x + -6)

+ 2

-2

x +

-6

12. Hemos finalizado el proceso ya que no tenemos ningún otro término en el dividendo que tengamos que bajar. El resultado es (x + 2) con residuo 2.

División por un binomio

•

Divide por .

₅

₈

x

x

x

3

Podemos expresar esta división de la siguiente manera:

8

5

3

x

x

x

x

-x

_{+ -3x}

2x + 8

+ 2

-2x + -6

2

3

2

)

2

(

3

8

5

2

x

x

x

x

x

Observa que el residuo 2 es una parte fraccionaria del divisor.

Ejemplo 2

•

Divide por .

₍

₅

₃

₆

₈

₎

x

x

x

x

(

x

1

)

8

6

3

5

1

x

x

x

x

x

4 _{y el resultado es 5x}3_.

x

2. Se coloca el resultado 5x3 _{en el}

cociente.

5x

3. Se multiplica el cociente 5x3 _{por todo}

el divisor (x - 1) y se coloca debajo del dividendo.

5x

_{- 5x}

4. Ahora tendríamos que restar:

(5x4 _{+ x}3) – (5x4 – 5x3_{). Veremos en}

Continuación de Ejemplo 2

•

Divide por .

₅

₃

₆

₈

x

x

x

x

x

1

8

6

3

5

1

x

x

x

x

x

5x

-5

x

_{+ 5}

_x

6. Se efectúa la suma del opuesto y se baja el próximo término del

dividendo. Observa que el primer término 5x4 _{y -5x}4 _{se eliminan.}

5. Recuerda que la resta de polinomios se convierte en la suma del opuesto de cada término del segundo polinomio:

(5x4 _{+ x}3) – (5x4 – 5x3_{) =}

(5x4 _{+ x}3_{) + (-5x}4 _{+ 5x}3₎

Continuación de Ejemplo 2

•

Divide por .

₅

₃

₆

₈

x

x

x

x

x

1

8

6

3

5

1

x

x

x

x

x

5x

-5x

_{+ 5x}

6x

– 3x

8. Se divide 6x3 _{y el resultado es 6x}2_.

x

9. Se coloca el resultado + 6x2 _{en el}

cociente.

10. Se multiplica el cociente + 6x2 _{por todo el}

divisor (x - 1) y se obtiene 6x3 – 6x2_{. Se}

coloca este resultado debajo del anterior. Ahora tendríamos que restar y como restar equivale a sumar el opuesto tendríamos:

(6x3 – 3x2) – (6x3 – 6x2_{) =}

(6x3 – 3x2_{) + (-6x}3 _{+ 6x}2₎

-6

x

_{+ 6}

_x

3x

_{- 6x}

+ 6x

11. Se eliminan los primeros términos 6x3 _{y -6x}3 _{y el resultado es 3x}2 _.

Continuación de Ejemplo 2

•

Divide por .

₅

₃

₆

₈

x

x

x

x

x

1

8

6

3

5

1

x

x

x

x

x

5x

-5x

_{+ 5x}

6x

– 3x

-6x

_{+ 6x}

3x

_{- 6x}

+ 6x

13. Se repite el proceso de dividir, luego multiplicar, luego restar, finalmente bajar el próximo y último término.

-3x

_{+ 3x}

+ 3x

-3x - 8

- 3

3x - 3

- 11

Continuación de Ejemplo 2

•

Divide por .

₅

₃

₆

₈

x

x

x

x

x

1

8

6

3

5

1

x

x

x

x

x

5x

-5x

_{+ 5x}

6x

– 3x

-6x

_{+ 6x}

3x

_{- 6x}

+ 6x

-3x

_{+ 3x}

+ 3x

-3x - 8

- 3

3x - 3

- 11

Podemos expresar esta división de la siguiente manera: 1 11 ) 3 3 6 5 ( 1 8 6 3

5 4 3 2 _{3 2}

x x x x x x x x x

Observa que el residuo -11 es una parte fraccionaria del divisor.

Reflexión

•

Cuando se aplica la división larga hay dos

reglas que hay que considerar antes de

proceder a dividir.

–

El dividendo y el divisor tienen que estar

ordenados en forma descendente de acuerdo al

grado mayor de una de las variables.

–

Si faltara alguna potencia de la variable en el

dividendo

, hay que reservar este espacio con un

cero. Esto significa que hay 0x ó 0x

_{ó 0x}

_,

Ejemplo 3:

•

En este ejemplo tanto el dividendo como el divisor están

ordenados en forma descendente, pero, en el dividendo

faltan las potencias de

x

_y

_x

_{por tanto, tenemos que}

reservar el espacio de estas dos potencias con un CERO.

•

Dividimos 125x

_{por 5x y tenemos 25x}

_.

8

0

0

125

2

5

x

x

x

x

2

5

8

125

x

x

8

0

0

125

2

5

x

x

x

x

25x

Continuación Ejemplo 3:

•

Luego multiplicamos 25x

_{por todo el divisor (5x -2) y}

tenemos:

•

Ahora tenemos que restar, por tanto, sumamos el opuesto y

tenemos:

2

5

8

125

x

x

8

0

0

125

2

5

x

x

x

x

25x

125x

– 50x

8

0

0

125

2

5

x

x

x

x

25x

-125

x

_{+ 50}

_x

50x

_{+ 0x}

Observa que si no

hubiéramos reservado el espacio de la potencia de x2 _{, no hubiéramos}

Continuación Ejemplo 3:

•

Volvemos a dividir, esta vez, 50x

_{por 5x que nos da 10x.}

Luego multiplicamos 10x por el divisor (5x – 2). Finalmente

sumamos el opuesto y bajamos el próximo término.

2

5

8

125

x

x

8

0

0

125

2

5

x

x

x

x

25x

-125x

_{+ 50x}

50x

_{+ 0x}

Continúa en la próxima pantalla.

+ 10x

-50

x

_{+ 20}

_x

Continuación Ejemplo 3:

•

No hemos terminado de dividir ya que aunque se bajó el

último término, todavía no hemos obtenido el residuo.

•

Volvemos a dividir, esta vez, 20x por 5x que nos da +4. Luego

multiplicamos 4 por el divisor (5x – 2) y sumamos el opuesto.

El resultado obtenido es el residuo.

2

5

8

125

x

x

8

0

0

125

2

5

x

x

x

x

25x

-125x

_{+ 50x}

50x

_{+ 0x}

+ 10x

-50x

_{+ 20x}

20x

8

+ 4

-20

x

+ 8

Ejemplo 4:

•

Se ilustra el proceso para dividir:

•

El resultado es:

2

5

9

4

x

x

x

5

0

9

0

2

x

x

x

x

x

-x

_{+ 2x}

2x

9x

-2x

_{+ 4x}

-5x

_{+ 0x}

5x

10x

-10x – 5

Residuo

10x – 20

x

_{+ 2x}

_5x

₁₀

–

₂₅

2

25

10

5

2

3

x

x

Ejemplo 4:

•

Se ilustra el proceso para dividir:

•

El resultado es:

2

5

9

4

x

x

x

5

0

9

0

2

x

x

x

x

x

-x

_{+ 2x}

2x

9x

-2x

_{+ 4x}

-5x

_{+ 0x}

5x

10x

-10x – 5

Residuo

10x – 20

x

_{+ 2x}

_5x

₁₀

–

₂₅

2

25

10

5

2

3

x

x

División Sintética

•

La división sintética es un proceso de división

sintetizado o resumido.

•

Esto implica que es un proceso más corto, lo

único que solo aplica cuando el divisor tiene la

forma (x – a), o sea el coeficiente de x es 1.

•

La división sintética se conoce también por el

Método de Ruffini

.

División Sintética

•

Compara la columna de la izquierda con la de la

derecha. ¿Qué observas?

•

La columna a la izquierda ilustra el método de

división larga. La columna a la derecha ilustra el

mismo proceso, excepto que solo aparecen los

coeficientes, no aparecen las variables.

8

5

3

x

x

x

x

-x

_{+ -3x}

2x + 8

+ 2

-2x + -6

2

8

5

1

3

1

1

-1 + -3

2 + 8

+ 2

División Sintética

•

Veamos otro ejemplo

•

Observa que como estamos dividiendo por un divisor donde el

primer término tiene coeficiente 1, el coeficiente del cociente

es igual al coeficiente del primer término del dividendo,

excepto por el signo opuesto.

7

3

4

2

x

x

x

x

4x

-4x

_{+ 8x}

5x

_{+ x}

+ 5x + 11

-5x

_{+ 10x}

11x + 7

-11x + 22

29

7

1

3

4

4

-4

+ 8

5 + 1

+

5

+

11

-5

+ 10

11 + 7

-11

+ 22

29

División Sintética

•

Veamos otro ejemplo

•

Observa que los coeficientes en color rojo son siempre el

opuesto de los primeros coeficientes del dividendo (en color

azul). Esto produce que siempre se eliminen los primeros

términos cuando se van a sumar.

7

3

4

2

x

x

x

x

4x

-4x

_{+ 8x}

5x

_{+ x}

+ 5x + 11

-5x

_{+ 10x}

11x + 7

-11x + 22

29

1 – 2

4

3

1

7

4

-4

+ 8

5

+ 1

+ 5 + 11

-5

+ 10

11

+ 7

-11

+ 22

29

División Sintética

•

Veamos otro ejemplo

•

Observa que los coeficientes en color rojo se pueden obtener

también si en vez de sumar el opuesto se divide por el

opuesto del divisor. Estos es, en vez de dividir por (x -2) y luego

sumar el opuesto, se puede dividir por (-x+2) y luego sumar en

vez de restar.

7

3

4

2

x

x

x

x

4x

-4x

_{+ 8x}

5x

_{+ x}

+ 5x + 11

-5x

_{+ 10x}

11x + 7

-11x + 22

29

7

1

3

4

4

-4 + 8

5 + 1

+ 5 + 11

-5 + 10

11 + 7

-11 + 22

Reflexión

•

En la división sintética se sintetiza el proceso

de división larga al tomar en consideración las

observaciones anteriores.

•

Ilustraremos el proceso de división sintética

usando el mismo ejercicio anterior.

•

Veamos en la próxima pantalla:

2

7

3

4

x

x

x

Ejemplo 1:

+2 4 -3 1 7

2

7

3

4

x

x

x

x

Aquí se colocan los coeficientes del

dividendo en orden descendente. Si falta alguna potencia de la variable, se reserva el espacio con un cero

Este es el símbolo que se usa para representar la división sintética

Continúa en la próxima pantalla.

Se coloca esta línea para separar los coeficientes de la suma

Ejemplo 1:

+2 4 -3 1 7

2

7

3

4

x

x

x

x

1 El proceso comienza siempre bajando el primer término.

2. Luego se multiplica el primer coeficiente por el coeficiente que

representa el divisor y se coloca debajo del

segundo término del dividendo.

3. Se suman los

segundos coeficientes.

4. Se repite el paso 2 y 3 pero con el nuevo

coeficiente hallado.

4 5 11 29

8 10 22

Ejemplo 1:

+2 4 -3 1 7

2

7

3

4

x

x

x

x

4 5 11 29

8 10 22

RESIDUO

COCIENTE

Observa que al dividir por un divisor de grado 1 (x-a), se producirá un cociente de grado uno menos que el grado del

dividendo. Esto es, si el dividendo es de grado 3, el cociente será de grado 2.

Grado 3

Grado 1

Es por esto que podemos construir el cociente

asignando a los

coeficientes encontrados, comenzando con la

variable en un grado menos que el grado del dividendo. Las demás potencias de las variables quedarán en forma

Ejemplo 1:

+2 4 -3 1 7

2

7

3

4

x

x

x

x

4 5 11 29

8 10 22

2

29

)

11

5

4

(

2

7

3

4

x

x

x

x

x

x

x

4x

_{+ 5x+ 11}

Grado 1 Grado 2

Grado 0

Como el residuo es parte

fraccionaria del divisor tenemos que 29 representa: 29

x - 2

Ejemplo 2:

1 6 -1 -30

2

30

6

x

x

x

x

+ 2

Colocamos el opuesto del coeficiente en el divisor.

Bajamos el primer coeficiente.

1

Multiplicamos el

coeficiente por el divisor y lo colocamos debajo del segundo coeficiente.

2

8

multiplicar y sumar hasta obtener el residuo.

16

15

30

0

Ejemplo 2:

1 6 -1 -30

2

30

6

x

x

x

x

+ 2

1

2

8

16

15

30

0

x

_{+ 8x+ 15}

Grado 1 Grado 2 Grado 0 RESIDUO

15

8

0

)

15

8

(

2

30

6

3

x

x

x

x

x

x

x

x

Ejemplo 3:

2 7 0 -5

3

5

7

2

x

x

x

-3

Colocamos el opuesto del coeficiente en el divisor.

Bajamos el primer coeficiente.

2

Multiplicamos el

coeficiente por el divisor y lo colocamos debajo del segundo coeficiente.

-6

1

multiplicar y sumar hasta obtener el residuo.

-3

-3

9

4

Ejemplo 3:

2 7 0 -5

3

5

7

2

x

x

x

-3

2

-6

1

-3

-3

9

4

3

2

x

x

RESIDUO

3

4

x

3

4

)

3

2

(

3

5

7

2

Ejemplo 4:

1 0 0 0 -1

1

1

x

x

+1

1

1

1

-1

1

1

1

1

0

1

x

x

x

1

0

x

)

1

(

1

1

Instrucciones

•

En tu libreta, realiza los ejercicios a

continuación.

Ejercicios de Práctica

•

Divide los polinomios a continuación.

2 2 5 6

6

36

18

24

x

x

x

x

₄

₃

₆

x

x

5

15

20

45

y

y

y

y

)

2

(

)

22

14

32

(

a

b

a

b

a

b

a

b

3

4

9

y

y

11

7

Ejercicios de Práctica

•

Divide los polinomios a continuación.

7

x

)

3

(

)

21

10

(

x

x

x

)

4

(

)

16

8

(

a

a

a

)

4

2

(

)

14

6

4

(

y

y

y

)

2

(

)

6

5

2

(

x

x

x

x

x

4

32

)

2

(

a

a

4

2

6

)

2

2

(

y

y

y

2

12

3

)

9

2

(

x

x

x

Ejercicios de Práctica

•

Divide los polinomios a continuación.

1

4

)

1

(

x

x

x

)

1

(

)

5

2

2

(

x

x

x

x

)

4

(

)

19

11

(

a

a

a

)

3

(

)

18

25

3

(

x

x

x

)

2

(

)

16

(

y

y

4

47

)

7

(

a

a

)

6

2

9

3

(

x

x

x

)

8

4

2