El Papel de los Esquemas, las Conexiones y las Representaciones Internas y Externas dentro de un Proyecto de Investigación en Educación Matemática. Fernando Hitt.

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(1)CAPÍTULO 11. EL PAPEL DE LOS ESQUEMAS, LAS CONEXIONES Y LAS REPRESENTACIONES INTERNAS Y EXTERNAS DENTRO DE UN PROYECTO DE INVESTIGACIÓN EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA. FERNANDO HITT fhitta@data.net.mx Departamento de Matemática Educativa del Cinvestav-IPN, México. Los conceptos de esquema y representaciones internas y externas no son de reciente creación. Sin embargo, posiblemente por el desarrollo tecnológico de las representaciones gráficas, esos conceptos se empezaron nuevamente a analizar y a relacionar con aspectos teóricos actuales como los sistemas semióticos de representación y sus implicaciones en la articulación entre representaciones internas. Estas nuevas orientaciones teóricas han propiciado nuevas maneras de investigar y explicar los fenómenos ligados al aprendizaje de conceptos matemáticos. Además, bajo estos acercamientos, el análisis del error, cuando se desarrolla alguna tarea específica, se realiza desde un punto de vista holístico, intentándose esclarecer las conexiones internas que dan pie a ese comportamiento.. INTRODUCCIÓN A través de los años se ha ido consolidando un área de investigación que tiene que ver directamente con el estudio de fenómenos ligados al aprendizaje de las matemáticas y de su enseñanza, la educación matemática. Esta tiene que ver con diferentes áreas de conocimiento y por tal motivo intervienen diferentes tipos de componentes en el diseño de un proyecto de investigación. Dentro del contexto de un programa de estudios de posgrado en el área de la educación matemática, generalmente una parte de la población es de maestros de matemáticas que están interesados en iniciarse en la investigación y se enrolan en un programa de posgrado. Otra parte la constituyen estudiantes recién graduados que han finalizado una carrera de licenciatura en matemáticas, física o ingeniería y que En Gómez, P., y Rico, L. (Eds.). Iniciación a la investigación en didáctica de la matemática. Homenaje al profesor Mauricio Castro. Granada: Editorial Universidad de Granada..

(2) 166. FERNANDO HITT. tienen especial interés sobre la enseñanza de las matemáticas y quieren continuar sus estudios en un programa de posgrado. Muchos de los candidatos a realizar estudios en nuestra institución (DME del Cinvestav-IPN) tienen la idea de que la realización de un posgrado a nivel de Maestría en Ciencias en el área de Matemática Educativa, los hará mejores maestros en el aula de matemáticas. Consideran que a través de sus estudios desarrollarán mejores estrategias de enseñanza. Incluso, muchos de estos candidatos consideran que diseñando lecciones de matemáticas más apropiadas se podrá resolver el problema del aprendizaje de las matemáticas. No queremos decir con esto que están equivocados, más bien, lo que queremos enfatizar aquí, es que en sus apreciaciones es notorio que están pensando en un problema de enseñanza y que han reflexionado menos en el estudio de los fenómenos ligados al aprendizaje de la matemática. Conforme avanzan en sus estudios, estos estudiantes se dan cuenta que la problemática en torno a la educación matemática es mucho más amplia de lo que pensaban. En Hart y Hitt (1999) y Hitt (1996a) se podrá consultar sobre el proceso específico, paso a paso, de la estructuración de un proyecto de investigación en el área de la educación matemática. Nuestra intención, en este capítulo, es la de proporcionar elementos de reflexión que apuntan a aspectos teóricos con respecto a la problemática del estudio de fenómenos ligados al aprendizaje de las matemáticas.. PROBLEMÁTICA DESDE UNA PERSPECTIVA GLOBAL Los investigadores dentro del área de la educación matemática como rama científica han mostrado que la problemática es tan compleja que se requiere realizar investigación profunda y que la solución al problema del aprendizaje de las matemáticas está muy lejos de ser alcanzada. Por ejemplo, Herbst y Kilpatrick (1999) citando a Brousseau mencionan lo siguiente: ¿Debe colocarse al aprendizaje y enseñanza de las matemáticas dentro de un contexto especial para ser estudiado? ¿No son suficientes el conocimiento general, sentido común e innatas habilidades pedagógicas para producir un buen maestro de matemáticas? Parece que una buena teoría epistemológica […] es esencial para contestar estas preguntas. La didáctica estudia la comunicación del conocimiento y teoriza sus objetos de estudio. (Brousseau, 1997, p. 24) La didáctica intenta proporcionar un explicación unitaria y sistemática de los fenómenos asociados con la producción y circulación del conocimiento matemático (Brousseau, 1990, 1997, pp. 47-75).. La experiencia que han adquirido los investigadores en educación matemática les permite opinar sobre la imposibilidad de plantearse problemas de investigación que tengan características muy generales y que se lleven a cabo dentro de los estándares de los programas de estudio respectivos. Por ejemplo, ha habido maestros de matemáticas que han visto que sus alumnos tienen problemas para acreditar un curso de cálculo, y entonces, ellos se plantean la posibilidad de realizar estudios de posgrado que impli-.

(3) EL PAPEL DE LOS ESQUEMAS, LAS CONEXIONES Y LAS REPRESENTACIONES INTERNAS…. 167. quen la escritura de un nuevo texto de matemáticas, de tal manera que pueda resolver los problemas de aprendizaje de los conceptos del cálculo. Cuando tenemos propuestas como la anterior, les sugerimos que se concentren en algún concepto matemático que sea de su interés y se inicia una discusión sobre los problemas de aprendizaje de ese concepto. Poco a poco, el candidato se da cuenta que la búsqueda de explicaciones a los fenómenos ligados al aprendizaje de ese concepto en cuestión no es una tarea simple y que estructurar un proyecto de investigación alrededor de ese problema le permitirá cumplir con las formalidades de la institución adscrita y avanzar sobre sus inquietudes relativas a los problemas de aprendizaje de conceptos relativos al tema que le interesa. El estudio sobre la adquisición de un concepto matemático se puede realizar desde muchos puntos de vista, y es allí donde el investigador que dirige el programa de estudios del candidato le otorga un apoyo fundamental. Al mencionar que en el área de la educación matemática es importante el estudio de fenómenos ligados al aprendizaje de conceptos matemáticos, debemos ser conscientes de que es necesario apoyarse en alguna teoría del aprendizaje para explicar esos fenómenos. Por tal motivo, debemos leer sobre teorías del aprendizaje y decidir cuál es la que mejor nos puede apoyar en la explicación de los fenómenos relacionados con el problema de investigación. Realizando una rápida búsqueda bibliográfica sobre el tema que interesa en bases de datos conocidas (Biblioteca local, ERIC, ZDM, Internet,…) se pueden encontrar trabajos interesantes relacionados con el problema de investigación. Incluso, empezando con “un buen artículo” que trate sobre lo que interesa, las referencias que ese autor haya utilizado, posiblemente servirán como primeras lecturas. Tomemos un ejemplo; supongamos que el estudiante de posgrado está interesado en el estudio de los fenómenos ligados al aprendizaje del concepto de función de variable real, una vez que se ha percatado de la especial importancia de ese concepto para el aprendizaje del cálculo. Como resultado de la búsqueda bibliográfica, seguramente se encontrarán artículos que mencionan que para el aprendizaje de ese concepto es importante considerar a los sistemas semióticos de representación, la formación de representaciones internas y la visualización matemática, por nombrar algunos. Esto nos indica que se deben clarificar los fundamentos teóricos en los que se sustentará la hipótesis de investigación. Es decir, una vez que se tiene cierta claridad con respecto al problema de investigación, se debe escribir la hipótesis de investigación en términos de lo que se espera a través de realizar diferentes actividades. El diseño de esas actividades tiene, obligatoriamente, que ver con los supuestos teóricos.. LA CONSTRUCCIÓN DE CONCEPTOS Si se está interesado, por ejemplo, en los sistemas semióticos de representación y en la importancia de las tareas de conversión entre diferentes representaciones, se debe tener presente algunos aspectos teóricos que presentan autores como Duval (1993, 1995, 1999), Hiebert y Carpenter (1992), Janvier (1987), Kaput (1991), entre otros..

(4) 168. FERNANDO HITT. Aún leyendo los aspectos teóricos que proponen estos autores, es necesario entender su teoría con respecto al problema de investigación. Incluso, en muchos casos, para entender esos aspectos teóricos de esos investigadores es necesario consultar a otros autores que posiblemente son los que les proporcionaron un sustento básico. Por ejemplo, los investigadores antes mencionados, de manera independiente, tratan sobre el papel de las representaciones en la construcción de conceptos matemáticos y se apoyan en trabajos como los de Piaget y Skemp, entre otros. Clarifiquemos un poco alrededor de estos últimos autores y con respecto a las representaciones. La teoría constructivista de Piaget sufrió, como toda teoría en evolución, transformaciones como las promovidas por Skemp (1986) y que quedaron plasmadas en su libro The Psychology of Learning Mathematics. Skemp escribió sobre la construcción de conceptos en general y de la construcción de conceptos matemáticos en lo particular (pp. 19-64). Parte de lo desarrollado por Skemp es lo siguiente:. Figura 1. …Consideraremos a los conceptos como adaptaciones a estructuras conceptuales, llamadas esquemas… Abstrayendo y clasificando. En un nivel bajo, nosotros clasificamos cada vez que reconocemos un objeto,…De estas variaciones abstraemos ciertas propiedades invariantes, y estas propiedades persisten en la memoria más allá que el recuerdo de una presentación particular del objeto. Abstraer es una actividad por medio de la cual llegamos a ser conscientes de similitudes (en la práctica diaria). Clasificar significa juntar nuestras experiencias sobre las bases de estas similitudes. Un concepto entonces requiere para su formación cierto número de experiencias las cuales tienen algo en común. Un concepto es un objeto puramente mental.. Es bien sabido que los objetos matemáticos no son directamente accesibles por medio de los sentidos y solamente a través de las representaciones semióticas tenemos acceso a esos objetos. Por tal motivo, es importante analizar el papel que juegan las representaciones en la construcción del conocimiento matemático. Nuevamente en términos de la idea de esquema, Skemp (pp. 35 y 45) dice: Cada uno de estos conceptos por su naturaleza está dentro de una estructura con otros conceptos. Cada uno de estos se deriva de otros anteriores y contribuye a.

(5) EL PAPEL DE LOS ESQUEMAS, LAS CONEXIONES Y LAS REPRESENTACIONES INTERNAS…. 169. la formación de nuevos conceptos, o sea, forman parte de una jerarquía. …Comprender algo significa asimilarlo en un esquema apropiado.. El trabajo de Hiebert y Carpenter (1992), nos explica esas ideas dentro del marco teórico de las redes formadas por representaciones internas, generadas por la manipulación de representaciones externas. Por ejemplo, en la siguiente cita de Hiebert & Carpenter (p. 67), se ha transformado la idea de esquema de Piaget y Skemp en la idea de red, bajo la siguiente explicación: Comprensión: Iniciamos definiendo comprensión en términos de la manera en que la información es representada y estructurada. Una idea matemática o procedimiento o hecho es entendido si su representación mental es parte de una red de representaciones. El grado de entendimiento es determinado por el número y la fuerza de las conexiones. Una idea matemática, procedimiento, o hecho es entendido profundamente si éste está ligado a una red existente con fuertes o más numerosas conexiones.. Desde este punto de vista teórico podemos analizar cómo ha sido la instrucción sobre el concepto de función. Es un hecho que la enseñanza del concepto de función se restringe regularmente al paso de una expresión algebraica o tabla a una representación gráfica. Se ha señalado por varios autores (Duval, 1988; Hitt, 1996b), entre otros, que se descuida en la instrucción el paso de una representación gráfica a una expresión algebraica, siendo ésta una tarea difícil pero necesaria en este contexto teórico para la construcción del concepto de función. De hecho, en paquetes de software de matemáticas son muy pocos los que han desarrollado actividades en este sentido. Se ha dejado solo al estudiante para que establezca una conexión de las representaciones gráficas hacia las expresiones algebraicas. Los aspectos teóricos sobre el papel de las representaciones y sus interpretaciones sobre conexiones han seguido evolucionando y cada vez tenemos mejores acercamientos a la explicación de los fenómenos ligados al aprendizaje en este contexto teórico. En los estudios de Duval (1993, 1995), él caracteriza un sistema semiótico como un sistema de representación de la manera siguiente: un sistema semiótico puede ser un registro de representación, si permite tres actividades cognitivas relacionadas con la semiosis: 1) La presencia de una representación identificable.... 2) El tratamiento de una representación que es la transformación de la representación dentro del mismo registro donde ha sido formada... 3) La conversión de una representación que es la transformación de la representación en otra representación de otro registro en la que se conserva la totalidad o parte del significado de la representación inicial.. Sobre la construcción de conceptos Duval (p. 46) establece que dado que cada representación es parcial con respecto a lo que representa, debemos considerar como abso-.

(6) 170. FERNANDO HITT. Figura 2. Modelo de la representación centrado en la función de objetivación. Las flechas 1 y 2 corresponden a las transformaciones internas a un registro. Las flechas 3 y 4 corresponden a las transformaciones externas, es decir, a las conversiones por cambio de registro. La flecha C corresponde a lo que llamaremos comprensión integradora de una representación: supone una coordinación de dos registros. Las flechas punteadas corresponden a la clásica distinción entre representante y representado. Naturalmente, este esquema considera el caso más simple de la coordinación entre dos registros. lutamente necesario la interacción entre diferentes representaciones para la formación del concepto. Podemos apreciar que hay cierta coincidencia con respecto a la formación de conceptos entre estos autores. Además, Hiebert y Carpenter (1992, p. 74) afirman que “Mientras más estructurada esté la red, menos piezas sueltas se extraen separadamente. Recordar una parte de la red implica el recuerdo en su conjunto de la red, reduciendo el número de items aislados que deben ser recordados”. Vemos que los sistemas semióticos de representación, y todavía más importante, los registros de representación, deben ser analizados bajo estos supuestos teóricos. Tomemos por ejemplo, el registro gráfico, y supongamos que queremos analizar los problemas del paso de la representación gráfica de las funciones lineales de los reales en los reales a sus expresiones algebraicas. El trabajo de Duval (1988) nos explica que la dificultad del paso de la representación gráfica a una ecuación (el trabajo de Duval es sobre rectas en el plano y el paso a ecuaciones) tiene que ver con el desarrollo de la habilidad para distinguir las variables visuales que entran en juego en la resolución de un ejercicio como el de pasar de la gráfica de una recta a la ecuación. Duval distingue 18 variables visuales que tienen que ver con la posición de la recta en el plano y su cruce con los ejes. Schoenfeld et al. (1989) también señalan aspectos visuales que considera una alumna para la construcción de una ecuación y que la llevan a cometer errores. En este trabajo mencionan que a través de la entrevista clínica, se percataron de que la alumna considera como esencial la intersección de una recta con el eje de las x, ya que de manera directa le proporciona información para la construcción de una expresión algebraica de la forma y = mx + b . El trabajo de Schoen-.

(7) EL PAPEL DE LOS ESQUEMAS, LAS CONEXIONES Y LAS REPRESENTACIONES INTERNAS…. 171. feld et al. nos indica que la estructura interna que ha construido la joven no es la que supuestamente se esperaba en el contexto educativo al que ella pertenece. Lo que queremos enfatizar aquí, es que un solo concepto es analizado desde la perspectiva de los registros de representación y si un alumno comete errores, se debe intentar explicar cada uno de esos errores en ese contexto teórico. Un aspecto que no menciona el trabajo de Duval (1993, 1995) es el relativo al papel de las representaciones en la resolución de problemas. Bajo los aspectos teóricos que estamos tratando, entonces cobra una relevancia la noción de transferencia, que se muestra esencial en el terreno de la resolución de problemas. Hiebert y Carpenter (p. 76), señalan lo siguiente: La estructura que proponemos retiene la noción de representación interna. De hecho, proponemos que la manera como las representaciones internas están conectadas ayuda a explicar la potencialidad para la transferencia. Pero, nosotros también sugerimos que las situaciones de cada problema en las que los estudiantes se comprometen influyen en la naturaleza de las representaciones internas y sus conexiones a otras representaciones. En otras palabras, la situación o contexto influye en la cantidad de transferencias que realmente ocurren.. En esta línea, se intersecan nuestras inquietudes con la perspectiva más general de los sistemas semióticos de representación. Según esta orientación, un concepto se va construyendo mediante tareas que impliquen la utilización de diferentes sistemas de representación y promuevan la articulación coherente entre representaciones (ver Figura 2). Desde esta orientación teórica, el conocimiento de un individuo sobre un concepto es estable si él o ella es capaz de articular diferentes representaciones del concepto libre de contradicciones. Así, en la resolución de problemas, las representaciones están en el corazón mismo de la actividad matemática. Además, la articulación de diferentes representaciones del concepto libre de contradicciones tiene que ver con la transferencia. Herbst y Kilpatrick (1999, p. 5) señalan en relación con la transferencia que: “Este punto no es extraño a los Norteamericanos, quienes le deben al NCTM (National Council of Teachers of Mathematics) los esfuerzos pioneros de aquellos que abogaban por la necesidad de ‘enseñar para transferir’…”. Veamos un ejemplo relacionado con el concepto de función. Se les solicitó a 30 profesores de enseñanza media (ver Hitt, 1996b, 1998) que de la representación gráfica de un fenómeno que tiene que ver con el llenado de un recipiente (variable independiente altura de un líquido, y variable dependiente el volumen), dibujaran la forma de un recipiente que cumpliera con las características del fenómeno representado.. Figura 3..

(8) 172. FERNANDO HITT. La cuestión radica en que hubo 24 de 30 respuestas correctas en el primer caso y solamente 11 respuestas correctas en el segundo. ¿Por qué no se dio la transferencia a la segunda pregunta del conocimiento utilizado para responder la primera? De acuerdo con el trabajo de Schoenfeld (1999) en relación con la transferencia él menciona: La pregunta central aquí es: ¿Cómo encontrar el sentido a las maneras en las cuales la gente usa su conocimiento en circunstancias diferentes de las circunstancias en las cuales el conocimiento fue adquirido? La transferencia está en todos lados [es “ubiquitous”]. No podríamos sobrevivir si no fuéramos capaces de adaptar lo que sabemos a circunstancias que difieren, al menos en cierto grado, de las circunstancias en las que se aprendió.… El punto clave es deducir qué transferencias se dieron, sobre qué base y cómo y por qué esas conexiones a veces son productivas.. Como se puede apreciar, la variación en los ejercicios propuestos a los profesores no es muy grande; la mayoría de los profesores contestó correctamente al primer inciso (proporcionando un recipiente cilíndrico, Figura 4), para el segundo inciso lograron imaginarse el recipiente en dos partes. Pero en lugar de pensar en dos cilindros uno más ancho en la primera parte y otro menos ancho encima del primero (ver Figura 6), se desviaron hacia la construcción de un recipiente como el que se muestra en la Figura 5 (respuesta de 12 profesores). Pareciera que la forma de la gráfica implicara en forma directa la forma del recipiente, sin necesidad de analizar y conectar la gráfica con el fenómeno de acuerdo a las variables que entran en juego y que tienen que ver con un razonamiento que conecte lo figural con lo analítico.. Figura 4.. Figura 5.. Figura 6.. Se puede dar una explicación en el contexto del papel que juega la intuición en este tipo de preguntas (ver Hitt, 1995). Es decir que el carácter global de la intuición se antepone al pensamiento analítico. Fischbein (1987, p. 53) nos dice al respecto: “La intuición es también descrita como una visión global, sintética, opuesta al pensamiento analítico”. En la enseñanza de las matemáticas la gran mayoría de los profesores continúan privilegiando el sistema de representación algebraico sin considerar que las investigaciones en torno al aprendizaje apuntan al equilibrio que se le debe otorgar al uso de las diferentes representaciones en la construcción de conceptos. Esta tendencia posiblemente en forma inconsciente pareciera que ha influido para que algunos de estos profesores no hayan construido conexiones explícitas de manera que en una situación como la anterior pudieran tener un mejor desempeño..

(9) EL PAPEL DE LOS ESQUEMAS, LAS CONEXIONES Y LAS REPRESENTACIONES INTERNAS…. 173. Relativo a la idea de transferencia, Hiebert y Carpenter (p. 77) mencionan: “Las situaciones propuestas por los problemas influyen en la manera en cómo se forman las representaciones internas y cómo se estructuran. A su vez, la estructura de redes internas de conocimiento define el potencial para la transferencia”. Los errores más frecuentes se manifiestan durante la manipulación de una representación dentro de un mismo sistema de representación, que generalmente es el aritmético en los primeros niveles escolares y en el algebraico posteriormente; otro tipo de error se puede presentar cuando hay una elección inadecuada de un sistema semiótico al resolver un problema matemático. Entre las explicaciones que proporcionan algunos de los autores mencionados en este documento, la construcción inadecuada de un concepto se pudiera deber a una carencia de articulación entre diferentes registros semióticos de representación. Pero, al analizar el trabajo de estos autores relacionado con los sistemas semióticos de representación, un aspecto que no es claro es el lugar del error cuando se trata de un obstáculo de corte epistemológico.. ANÁLISIS DE ERRORES DESDE UN PUNTO DE VISTA HOLÍSTICO De acuerdo con la clasificación de errores, proporcionada por Brousseau, podemos señalar aquellos que son producto de la enseñanza; es decir que son generados por la manera como se enseña. Existen otros errores que tienen que ver con los obstáculos de corte epistemológico y que, de acuerdo a la teoría de Bachelard (1938), se pueden detectar al realizar un análisis de la historia de las ideas científicas. Brousseau (1976) interpretó el trabajo de Bachelard en el contexto de la educación matemática, en donde el obstáculo epistemológico se debería de detectar tanto en los individuos como en la historia de las ideas matemáticas. Señalando que, en este contexto, ese tipo de error es difícil de erradicar, persistirá a lo largo de la vida del individuo y lo que la instrucción puede hacer es proporcionar elementos que le permitan luchar en contra de ese conocimiento mal adaptado. En el contexto teórico que estamos tratando, la instrucción deberá promover mejores conexiones (articulaciones) entre representaciones de manera que la red interna que se esté formando en el individuo le permita contrastar e intentar disminuir la fuerza de ese conocimiento detectado y señalado como obstáculo epistemológico. Bajo este punto de vista, en estudios sobre el conocimiento construido del concepto de función en estudiantes y profesores de enseñanza media, se ha descubierto que aún en tareas rutinarias el comportamiento de los estudiantes e incluso de algunos profesores puede ser el de proporcionar respuestas que a primera vista pudieran clasificarse como un error simple. Hitt (1996b) señala que pueden existir obstáculos de corte epistemológico que impiden el buen desempeño de estudiantes y profesores en la resolución de ejercicios rutinarios. Por ejemplo, a la pregunta que se muestra en la Tabla 1, propuesta a 30 profesores de matemáticas de enseñanza media, su desem-.

(10) 174. FERNANDO HITT. peño en un caso fue muy buena (29 correctas) y en el otro caso 21 correctas ¿Por qué? ¿Es la siguiente representación la gráfica de alguna función? Respuestas correctas Respuestas incorrectas. 29 1. 21 9. Tabla 1. La explicación que se puede proporcionar sobre el comportamiento de estos profesores de enseñanza media es que la figura de la izquierda, por algún motivo, implica que el profesor haga una conexión con la idea de la prueba de la línea vertical para ver si es o no la representación de una función. En cambio, la figura de la derecha parece desencadenar en algunos profesores una conexión con la noción de funciónfórmula. Es decir, parte de la población asoció una fórmula a la representación grá2. 2. 2. fica (circunferencia- x + y = r ) concluyendo rápidamente que la representación es la de una función de variable real. Hemos realizado un análisis de la historia de una idea matemática, el de función, y hemos detectado que el surgimiento del concepto está bajo esas ideas intuitivas que relacionan función-fórmula-continuidad (ver Hitt, 1994), implicando de ese estudio que esa noción intuitiva de función representa un obstáculo de corte epistemológico, y que los errores detectados en algunos profesores obedecen a que no han sobrepasado ese obstáculo. Las preguntas anteriores no bastarían para decidir sobre qué tipo de explicación otorgar al error cometido. Se debe, por tanto, profundizar en esa dirección. Las actividades que vienen a continuación y que se propusieron a la misma población tenían la finalidad de verificar nuestra hipótesis de investigación de que en algunos profesores existe un obstáculo de corte epistemológico. Uno de los puntos cruciales en la investigación en educación matemática es el diseño de actividades encaminadas a la detección de fenómenos que expliquen, en cierta medida, la estructura interna que tenga un individuo sobre un concepto dado. Por ejemplo, el fenómeno detectado sobre la idea intuitiva del concepto de funciónfórmula-continuidad, tanto en estudiantes y algunos profesores de enseñanza media, así como a través de un análisis de la historia de la matemática, es posible detectarlo en otras poblaciones a través de las siguientes actividades, además de las ya presenta-.

(11) EL PAPEL DE LOS ESQUEMAS, LAS CONEXIONES Y LAS REPRESENTACIONES INTERNAS…. 175. das en los párrafos anteriores en relación con las curvas en el plano (ver Hitt, 1996b, 1998). Tres problemas para analizar un mismo fenómeno: función-fórmula-continuidad Construir dos funciones f1 y f2 con dominio los números reales y contradominio los números reales, tal que : f1(-5) = 2 = f2(-5);. f1(0) = 1 = f2(0);. f1(5) = 6 = f2(5). Construir tres funciones f1, f2 y f3 con dominio los números reales y contradominio los números reales, tal que: | f1(x) | = | f2(x) | = | f3(x) | = 2 , para cualquier x real. Dada la propiedad f(f(x)) = 1, para cualquier x real, construir dos funciones diferentes que la satisfagan, ya sea con una gráfica o proporcionando explícitamente la función. Tabla 2. Tres actividades relacionadas con un fenómeno de aprendizaje En la resolución de esos ejercicios, una idea implícita latente es que para poder tener éxito en esos ejercicios es necesario “romper con la idea” (sobrepasar un obstáculo epistemológico) de función asociada a la triada función-fórmula-continuidad (ver Hitt, 1994, 1995, 1996b y 1998).. REFLEXIONES FINALES Hemos tomado en consideración primeramente algunos aspectos teóricos sobre la construcción de conceptos desde el punto de vista de Piaget y Skemp; también hemos visto que el estudio sobre el papel que juegan las representaciones externas en la construcción de representaciones internas dio pie a la formulación de la idea de conexión (Hiebert y Carpenter, 1992). Tomando en consideración los lineamientos teóricos de Duval (1993, 1995), hemos visto que los registros de representación, bajo la promoción de articulaciones entre representaciones de esos registros, nos explica la construcción de conceptos matemáticos. Ello, como consecuencia de que las representaciones de los objetos matemáticos son parciales con respecto a lo que representan. Es decir, que es absolutamente necesario contar con actividades de conversión en por lo menos dos registros de representación para que las representaciones en juego, por ser complementarias, proporcionen un soporte a la construcción del concepto en cuestión. Por ejemplo, en el caso de la construcción del concepto de función entran en juego el registro de representación de la lengua natural, el de las expresiones algebraicas, tabulares, gráficas y figurales. Los acercamientos anteriores dan cuenta de la construcción de conceptos en ese contexto teórico. Un aspecto que todavía está en desarrollo se refiere al papel de la idea de transferencia en la resolución de problemas. Esta noción teórica es importante.

(12) 176. FERNANDO HITT. poder analizarla desde el punto de vista que se ha enfatizado a lo largo del documento. También hemos querido enfatizar que bajo los supuestos teóricos a los que nos hemos restringido implican que el análisis de errores no se puede hacer en forma aislada. Incluso, la valoración sobre el conocimiento de los estudiantes debe ser analizado sobre actividades que intenten esclarecer las posibles conexiones (articulaciones) realizadas por los estudiantes durante la construcción de algún concepto dado. La valoración es más holística que puntual. Un ejercicio o problema no es suficiente. Bajo estos supuestos teóricos el diseño de actividades de conversión entre registros de representación y el análisis de los comportamientos de los estudiantes podrán proporcionar elementos para entender qué construcción sobre un concepto dado ha realizado un estudiante. En caso de que el análisis muestre algún tipo de error cometido por el estudiante, ello implica estudiar el error desde diferentes puntos de vista y realizar actividades para saber la naturaleza del mismo.. REFERENCIAS Bachellard, G. (1938). La Formation de L'Esprit Scientifique. 10ème édition (1977). France: Librairie Philosophique J. Vrin. Brousseau G. (1976). Les obstacles épistémologiques et les problèmes en mathematiques. En Comptes-rendus de la XXVIII rencontre de la CIEAEM (pp. 101-107). Brousseau, G. (1997). Theory of Didactical Situations in Mathematics. 1970-1990, (Balacheff, N., Cooper, M., Sutherland, R. And Warfield, V., translators and editors.) Dordrecht: Kluwer. Duval, R. (1988). Graphiques et équations: l'Articulation de deux registres. Annales de Didactique et de Sciences Cognitives, 1, 235-253. Traducción: Gráficas y ecuaciones: la articulación de dos registros. En Sánchez, E. (Ed.). Antología en Educación Matemática. México: Departamento de Matemática Educativa del Cinvestav-IPN. Duval, R. (1993). Registres de représentation sémiotique et fonctionnement cognitif de la pensée. Annales de Didactique et de Science Cognitives, 5, 37-65. Traducción: Registros de representación semiótica y funcionamiento cognitivo del pensamiento. En Hitt, E. (Ed.) Investigaciones en Matemática Educativa II. México: Grupo Editorial Iberoamérica. Duval, R. (1995). Semiosis et pensée humaine: Registres sémiotiques et apprentissage intellectuels. Suisse: Peter Lang. Fischbein, E. (1987). Intuition in Science and Mathematics. An Educational Approach. Dordrecht: D. Reidel Publishing Company. Hart, K., y Hitt, F. (Eds.). (1999). Dirección de Tesis de Doctorado en Educación Matemática. Una Perspectiva Internacional. México: University of Nottingham-Cinvestav-IPN. Herbst, P. & Kilpatrick, J. (1999). Pour Lire Brousseau. For the Learning of Mathematics, 19, 1, 3-10..

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