EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS.

(1)

Facilitador: J. Amauris Gelabert S.

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Ejercicios Resueltos y Propuestos Sobre

Ecuaciones Exponenciales y

(2)

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ECUACIONES EXPONENCIALES.

Una ecuación exponencial, es aquella ecuación en la cual la variable aparece como exponente.

Reglas importantes en las operaciones con potencias.

1.- (b)m _(b)n+1 _{= b}m+n+1

2.- (b𝑚+𝑥)𝑛= bmn+nx

3.- b y

bm = b

y−m

4.- √b𝑛+𝑦₌_(√b) 𝑛 2 +

𝑦 2

Ejemplos.

1.- (4)2 ₍₄₎4-2 ₌₍₄₎2 ₍₄₎2 _{= (4)}4 _{= 256}

2.- (3)2 ₍₈₁₎₌₍₃₎2 ₍₃₎4 _{= (3)}6 _{= 729}

3.- (22₎3₌₂2x3₌₂6₌₆₄

4.- 5 6

53 = 5

6−3₌₅3_{= 125}

5.- √164₌₍₁₆₎4₂_{= (16)}2 _{= 256}

Para multiplicar potencias de igual base se copia la base y se suman los exponentes teniendo en cuenta las reglas de los signos.

Para obtener la potencia de una potencia se copia la base y se multiplican los exponentes

Para realizar la división de potencias de igual base, se copia la base y se restan los exponentes.

Para extraer la raíz de una potencia, se extrae la raíz de la cantidad sub-radical y se divide el exponente de la potencia entre el índice de la raíz.

Observa con

(3)

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Ecuaciones Exponenciales.

EJERCICIOS RESUELTOS.

1. 52X+3 _=3,125

52x+3₌₅5 _Igualamos_{las bases.}

2x+3=5 Igualamos los exponentes.

2x=5-3 Resolvemos la ecuación 2x+3=5.

2x

2 =

2 2

x = 1

2. 162X-4_{= 256}

En este caso, escribimos 16 en función de 42_{y 256 en función de 4}4

(42₎2X-4₌₄4 _{Multiplicamos el exponente del 4 de la izquierda por 2x-4}

44X-8₌₄4_{para igualar las bases.}

4x-8=4 Resolvemos la ecuación 4x-8=4.

4x=4+8

4x 4 =

12 4

x = 3

3. 644a+2 _{= 512}a+8 _{Escribimos 64 Y 512 en función de 8}

(82₎4a+2 _{= (8}3₎a+8 _{se multiplica 2(4a+2) y 3(a+8)} 88a+4 _{= 8}3a+24 _{igualamos las bases iguales}

8a +4=3a+24 igualamos los exponentes y se transponen 3ª y 4

8a-3a=24-4

5a 5 =

20 5

a = 4

4. (24a+2₎₍₈a₎₌₂₅₆

(24a+2₎₍₂3₎a ₌₂8 (24a+2₎₍₂3a₎₌₂8

27a+2 _{= 2}8 7a+2=8 7a=8-2

7𝑎

7 =

6 7

a=0.857

Observa con

(4)

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5. 7292x+1_{= 81}x+6

_6.₉2x-4 ₌27-2x+2

(93₎2x+1_{= (9}2₎x+6₍₃2₎2x-4 _{= (3}3 ₎-2x+2 96x+3_{= 9}2x+12 ₃4x-8 _{= 3}-6x+6 6x+3=2x+12 4x-8 = -6x+6 6x-2x=12-3 4x+6x = 6+8 4x=9 10x = 14 4x

4 = 9

4

10x

10 = 14 10

x = 2.25 x = 1.4

7. (4x+1₎₍₁₆2x-1₎₍₈x+2₎₌₂₅₆ _[((22₎x+1₎₍₍₂4₎2x-1₎₍₂3₎x+2_{]= 2}8

(22x+2₎₍₂8x-4₎₍₂3x+6₎₌ ₂8 ₂2x+8x+3x+6+2-4_{= 2}8 _{2x+8x+3x+6+2-4 = 8} 13x+4= 8

13x = 8-4 13x= 4

13x 13 =

4 13

x= 0.307

8.- (256)x2(64)2x+1 =(16)3x+19.5 (44)x2(43)2x+1 =(42)3x+19.5 (44x2)(46x+3) =(46x+39₎ 44x2+6x+3₌₄6x+39

4x2_+6x+3=6x+39 4x2_{+6x−6x=39−3} 4x2₌₃₆

√4x2_{= √36} 2x=6

2x

2 =

6 2

x=3

• Se expresan las cantidades: 256, 64 y 16 en potencia de 4 y se multiplican los exponentes de las potencias del 4 por los exponentes algebraicos.

• Se aplica la regla del producto de potencias de igual base y se suman los exponentes algebraicamente

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9.- (27)x2+1(81)2x =729 (33₎x2+1₍₃4₎2x₌₃6 (33x2+3)(34x)=36 (33x2+3+8x₎₌₃6 3x2_+8x+3=6 3x2_+8x+3−6=0 3x2_+8x−3=0

Esta ecuación tiene la forma ax2_{+bx−c=0 y su solución se puede obtener mediante la} aplicación de la fórmula general para resolver ecuaciones de 2do grado o por factorización.

x = −b±√b2−4ac

2a

x =(−8)±√(8)

2_{−4(3)(−3)}

2(3)

x =−8 ± √64 + 36

6 =

−8 ± √100 6

x =−8 ± 10

6

x =−8 + 10

6

x1 =

2 6 =

1

2

x2 =

−8−10

6 =

−18

6 = −3

10.- (128)2x−5 ₍₆₄₎2x ₍₂₅₆₎x₌₍₅₁₂₎2x+5

(27)2x−5(26)2x(28)x =(29)2x+5 (214x−35)(212x)(28x) = (218x+45₎

(214x+12x+8x−35) = (218x+45₎

34x−35=18x+45

34x−18x=45+35

16x=80

16x 16 =

80 16

x=5

En cada uno de estos ejemplos, el procedimiento para hallar la solución es muy similar.

Se inicia igualando las bases teniendo en cuenta la regla de la potencia de una potencia:

(nx)y = (n)𝑥𝑦

(6)

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11.- (32)x ₍₂₎x−4 ₍₁₆₎2x−4₌₂₅₆ (25₎x ₍₂₎x−4₍₂4₎2x−4₌₍₂8₎ (25x)(2x−4)(28x−16)=(28₎

(25x+x+8x−4−16 )=(28₎

14x−20=8

14x=8+20

14x=28

14x 14 =

28 14

x=2

12.- (625)

x2+3x+6

(125)4x+8 =

15,625 0.008

(54)x2+3x+6

(53₎4x+8 =

56 5−3

54x2+12x+24

512x+24 = (5)

6−(−3)

(5)4x2+12x+24−12x−24= (5)9

4x2 ₌₉

√4x2_{= √9}

2x=3

2x 2 =

3 2

(7)

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Evaluación.

Resuelve Las Siguientes Ecuaciones Exponenciales.

1.- (√(6414x−18_{)) (512)}x−9_{= 4,096}

2.- (144)x2−x−20 (12)2x−7 =1,728.

3.- (49)x32(343) −1

8 ₌(2,401) 3 4

4.- (256)x2− 34 x−20(64)x−5 =1,024.

5.- (4,096)

2𝑥3−8₍₅₁₂₎2𝑥

(64)3𝑥+15 =64

6.- (2,401)3x ₍₃₄₃₎2x−16 ₍16,807 343 )

x

= 49

7.- (√(81)4m−12_{) (729)}m−8₍₈₁₎m−0.5 _{= 6, 561}

8.- ¿Cuál es el valor de x en la igualdad de dos potencias de igual base, si los exponentes de dichas bases son 2x2_{y 72?}

(8)

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LOGARITMOS NATURALES.

Propiedades de los logaritmos.

1. El logaritmo de la base es igual a la unidad.

Log x x=1.

2. El logaritmo de la unidad es igual a cero.

Log x 1=0.

3. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

Log x (A x B)= log x A + Log x B.

4. El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base.

Log x ay= y log x a.

5. El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo de la cantidad sub-radical dividido entre el índice de la raíz

Log √an = log a

n

6. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.

Log A

B = log A – Log B.

7. Los números negativos no tienen logaritmo.

ECUACIONES LOGARÍTMICAS

Una ecuación logarítmica es aquella ecuación en la cual la variable está afectada por la operación de logaritmación.

Ejemplos.

1. Log2 (x+2)3=6

2. Log3 (x+4)+Log3(x-4)=2

3. Log5 (x+64)-Log5 (x-8)=2

SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN LOGARÍTMICA

Para resolver una ecuación logarítmica debemos dar los siguientes pasos:

1. La ecuación dada se expresa como el logaritmo de una sola expresión.

2. Se expresa de la forma exponencial.

3. Se resuelve la ecuación resultante.

(9)

Facilitador: J. Amauris Gelabert S.

Facilitador: J. Amauris Gelabert S. EJERCICIOS RESUELTOS.

Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas.

1. Log3 (x-4)+ log3 (x+4)=2

Expresamos la ecuación como el logaritmo de una sola expresión.

Log3[(x-4) (x+4)]=2

(x-4)(x+4)=32_{Expresamos la ecuación de la forma exponencial.}

X2_+4x-4x-16=9_{Efectuamos el producto de (x-4) (x+4) y calculamos 3}2

x2 _{– 16= 9}_{Se transpone el -16} x2 _{= 9+16}

x2_{= 25}_{Se aplica radicación en ambos lados.}

√𝑥2_{= √25}_{Se busca raíz cuadrada en ambos lados.}

x = 5

2. Log4 (x2 _{+12x+35)-Log4 (x+7)=2}_{Expresamos la ecuación como el logaritmo de} una sola expresión y factorizamos el denominador.

Log4

(x+7)(x+5)

(x+7)

=2

(x+5)=42_{Expresamos de la forma exponencial.}

X+5=16

x=16-5 se aplica la propiedad del opuesto aditivo y se transpone el 5

x = 11

3.- Log4 (2x2_+6x+12)2₌₃ (2x2_+6x+12)2₌₄3 (2x2_+6x+12)2_{= 64} √(2x2_{+ 6x + 12)}2_{= √64} 2x2_{+6x+12= 8}

2x2_+6x+12-8=0

2x2_+6x+4=0

2(2x2_{)+2(6x)+2(4)=0}

Hacemos a=2x

a2_+6a+8=0_{Buscamos los factores de este trinomio.}

(a+4)(a+2)=0

(2x+4)(2x+2)=0 Se sustituye a a por 2x

(2x+4)(2x+2)

2 x 1 =0 Divido por 2 para volver el trinomio a su forma original

(10)

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(x+2)(2x+2)=0

Se iguala cada factor a cero

x+2=0 x= −2

Los valores de x son: −2 y −1

4.- Log8 (x+1)+ Log8 (x−1)=0

Log₈ [(x+1) (x−1)]=0

(x+1)(x−1)= 80

x2−1=8 x2_{= 8+1} x2_{= 9}

√x2_=√9 x=9

5.- Log₄ √5x + 1 = 1

2 Log4 (x+1)

Log₄ [(√5x + 1 ) − (𝑥 + 1)12 ] = 0

Log

₄

[

(√5x+1 ) √𝑥+1

]

= 0

[√

5𝑥+1

𝑥+1

]

= 4 0

[√

5𝑥+1 𝑥+1

]

=1

[√5𝑥+1_𝑥+1 ] 2

=12 ₌5x+1

x+1 =1

5x+1=x+1 5x − x=1−1 4x=0 4x 4 = 0 4 x= 0 Observa el

procedimiento que se llevó a cabo para resolver cada ecuación logarítmica.

Recuerda que:

1.- (𝑥 + 1)12= √x + 1

2.- (√3x + 8 ) (√1₅) = (√3𝑥+8

5 )

3.-

[√

5𝑥+1 𝑥+1

]

2

= 5x+1

x+1 2x+2=0

2x = −2

2x 2 =

−2 2

(11)

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6.- Log₂₇ x2 _{+ Log}

27 x =1

Log27 [(x2) (x)]=1

(12)

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Ejercicios Propuestos.

Aplique las propiedades de los logaritmos y calcule el valor de las siguientes operaciones.

1.- Log

(

𝟓𝟔𝟒

𝟏𝟖𝟕

)

=

2.- Log √𝟐, 𝟏𝟓𝟔𝟑 =

3.- Log [(720)(245)]=

4.- Log (368)4 ₌

5.- Log (√𝟔𝟕𝟖

𝟏𝟓𝟎 ) =

6.- Log

(

[𝟒𝟗𝟖]𝐱[𝟑𝟕𝟖]

[𝟏𝟖𝟗

𝟖𝟗]

)

=

Exprese de forma exponencial a logarítmica y viceversa.

1.- 𝐋𝐨𝐠_𝟓 625 =4

2.- 𝟕𝟑_{= 343}

3.- 𝐋𝐨𝐠_𝟖 4,096 =4

4.- 𝐋𝐨𝐠𝟏𝟐 1,728=3

5.- 𝟒𝟒=256

6.- 𝟒√𝟏𝟔=2

7.- 𝐋𝐨𝐠𝟓 𝟑

(𝟏𝟐𝟓 𝟐𝟕) = 3

8.- (𝟔)𝟑 = 216

Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas.

1.- Log (x2 _{−16)−Log (x+4)=2}

2.- 𝐋𝐨𝐠_𝟑 (x3 _{−27) −𝐋𝐨𝐠}

𝟑 (x2+x+1)=3

3.- 𝐋𝐨𝐠_𝟖 (x−6)+ 𝐋𝐨𝐠_𝟖(x+6)=2

4.- 𝐋𝐨𝐠_𝟐 (𝟖𝐱+𝟏𝟎

𝟑𝐱+𝟐𝟓) =1

5.- 𝐋𝐨𝐠_𝟒 ( √𝟏𝟎𝐱 − 𝟏𝟔𝟒 ) =2