I
I..EE..SS..““CCAASSTTEELLAARR””BBAADDAAJJOOZZ
A. Menguiano PRUEBA DE ACCESO (LOGSE)
UNIVERSIDAD DE BALEARES SEPTIEMBRE - 2008
(RESUELTOS por Antonio Menguiano)
MATEMÁTICAS II Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos
Se valorará la corrección y la claridad en el lenguaje (matemático o no matemático) em-pleado por el alumno. Penalizan los errores de cálculo. Los errores graves, y especial-mente, aquellos que lleven a resultados incoherentes o absurdos, serán penalizados con la aplicación del 50 % sobre la calificación en cuestión. Se valorarán todas las partes que sean correctas, aunque el resultado final no lo sea.
Contesta de manera clara y razonada una de las dos opciones propuestas. Cada cuestión se puntúa sobre 10 puntos. La calificación final se obtiene de dividir el total entre 4.
OPCIÓN A
1º) Determina todas las matrices de la forma
= 0 z y x
X que conmuten (X · A = A · X)
con la matriz
= 4 3 2 1 A . --- − = − = ⇒ − = − = = ⇒ = = + + = + = + ⇒ + + = + + ⇒ ⇒ + + = + + + + = = + + = + + + + = = x y x z y x z x z y y z y y x z x z z x y x y z x y z x z z y x y x y z x y z x y z x y z x z y x X A z z y x y x z z y x y x z y x A X 3 2 3 2 3 3 2 3 3 2 4 2 4 3 2 3 3 4 3 2 2 4 2 3 3 4 3 2 0 3 4 3 0 2 0 · 4 3 2 1 · 2 4 2 3 0 2 0 4 2 3 4 3 2 1 · 0 ·
Las matrices X son de la forma x R
x
x x
X ∀ ∈
2º) Determina el punto A del plano π ≡2x− y+ z=0 más próximo al punto P(1, 1, 1).
---
El haz de rectas paralelas y perpendiculares al plano π ≡2x− y+ z=0 tienen como vector director al vector normal del plano π, que es n =
(
2, −1, 1)
.De las infinitas rectas del haz anterior, la que pasa por P es
+ =
− =
+ = ≡
λ λ λ
1 1
2 1
z y x
r .
La solución es el punto Q de intersección del plano π con la recta r es:
(
) (
) (
)
⇒
= − =
= + =
= − =
⇒
− = =
+
= + =
+ + + − + =
+ + − − +
⇒
+ =
− =
+ = ≡
= + − ≡
3 2 , 3 4 , 3 1
3 2 3 1 1
3 4 3 1 1
3 1 3 2 1
3 1 ;
; 0 1 3
; ; 0 2 6 ; ; 0 1
1 4 2 ; ; 0 1
1 2 1 2
1 1
2 1
0 2
Q z
y x z
y x r
z y x
λ λ
λ λ
λ λ
λ λ
λ λ
λ λ π
3º) Se considera la función
( )
1 2 + = x x xf . Se pide:
a ) Calcular
( )
f( )
xx lím y x f x lím −∞ → +∞ → .
b ) Calcular los extremos relativos.
c ) Hacer un dibujo de la función.
--- a )
( )
( )
0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 . det 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 . det 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = + − = = ∞ + ∞ − = + −∞ → = + −∞ → ⇒ ⇒ ∞ ∞ − = + −∞ → = −∞ → = + = = ∞ + ∞ = + +∞ → = + +∞ → ⇒ ⇒ ∞ ∞ = + +∞ → = +∞ → x x x lím x x x x x lím In x x x lím x f x lím x x x lím x x x x x lím In x x x lím x f x lím b )Para estudiar los extremos relativos, derivamos:
( )
(
)
(
)
(
)
(
) (
)
f( )
xx x x x x x x x x x x x f ' 1 1 1 1 1 2 1 1 2 · 1 · 1 ' 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = + − = + + − = + − + = + − + =
Para que una función tengo un máximo o un mínimo relativo es condición nece-saria que se anule la primera derivada:
( )
(
)
0 ;; 1 0 1 ;; 11 1 0
' 2 2 1 2
2 2 = − = ⇒ = − = + − ⇒
= x x x
x x x
f .
Para diferenciar los máximos de los mínimos recurrimos a la segunda derivada: si es negativa para los valores que anulan la primera derivada se trata de un máximo y, en caso contrario de un mínimo:
(
)
(
)
(
(
)
)
f( )
x xx x x x
x x x x
x x x x
' ' 1
3 2 2
1 6 4 2 1
4 4 2 2
3 2
2 3
2 2 3 3
2
2 3
= +
+ − −
= +
− + − = +
+ − − − =
( )
( )( )
[
( )
]
( )
[
]
( )
(
)
8 0 112 1
1
3 2 1 · 2 1
1
3 1 · 2 1 1 · 2 1 '
' 3 3
2 2
− =
⇒
> = +
+ + =
+ −
+ − − − − − =
− Mínimo para x
f
( )
( )
− −
⇒
− = + − = + −
− = −
2 1 , 1 : 2
1 1 1
1 1 1
1
1 2 Mínimo relativo P
f
( )
(
)
(
)
( )
(
)
8 0 14 1
1
3 2 1 · 2
1 1
3 1 · 2 1 · 1 · 2 1 '
' 3 3
2 2
=
⇒
< − = +
+ − −
= +
+ − −
= Máximo para x
f
( )
⇒
= + = + =
2 1 , 1 : 2
1 1 1
1 1 1
1
1 2 Máximo relativo Q
f
Observación: El máximo relativo se podía haber obtenido teniendo en cuenta que la función es simétrica con respecto al origen por cumplir que f(x) = - f(-x).
c )
Teniendo en cuenta que el eje X es asíntota de la función, según se demuestra en el apartado a ), la represtación gráfica, aproximada, es la que aparece en el gráfico ad-junto.
**********
X Y
f(x)
O
1
1
P
4º) a ) Se considera la curva y=ekx, k>0. Escribe la ecuación de la función A(k) que nos da el área de la región limitada por esta curva y las rectas y = 0, x = 0 y x = 1.
b ) Hacer un dibujo de la situación.
c ) Calcula A
( )
k klím
0
→ .
---
a )
La curva kx
e
y= tiene todas sus ordenadas positivas, por lo cual, el área en función de k viene expresada por la siguiente integral definida:
( )
[ ]
(
)
(
)
A( )
kk e e
k
e e k e
k dt k e t
x
k t x
dt k dx
t kx dx
e k A
k k
k k
t k
t kx
= − = − =
= − =
=
⇒
= → =
= → =
= =
⇒
=
∫
∫
1 1
· 1
· 1 ·
1 · 1 · 0
0 1
· 1
· 0 0
0 1
0
b )
Teniendo en cuenta que se trata de una función exponencial de base positiva es monótona creciente y su recorrido es
(
0, +∞)
y, por ser =0−∞ →
kx
e x
lím
, siendo k > 0, el eje de abscisas es asíntota horizontal de la curva. Corta al eje de ordenadas en el punto A(0, 1).
La representación gráfica de la situación es la de la figura: Y
O X
A
c )
( )
− = − = − = ⇒ ⇒{
}
⇒→ =
→ Ins er LHopital
e k e k
lím k
A k
lím k
´ .
det 0
0 0
1 1 0
1 1
0 0
0
1 1 1 1 1 0
0
= = = →
⇒ e e
k
lím k
OPCIÓN B
1º) Demuestra, para matrices de dimensión 2 x 2, que “el determinante de un producto de matrices es el determinante del producto de las matrices”. ¿Es cierto que “el determi-nante de una suma de matrices es la suma de los determidetermi-nantes de las matrices”?
---
Sean las matrices
=
d c
b a
A y
=
p z
y x
X . Su producto es:
+ +
+ +
=
=
dp cy dz cx
bp ay bz ax p
z y x d c
b a X
A· · .
El determinante del producto es el siguiente:
(
)(
) (
)(
)
X A bcpx adyz
bcyz adpx bdpz
bcpx adyz
acxy bdpz
bcyz adpx acxy
dz cx bp ay dp cy bz ax dp cy dz cx
bp ay bz ax X
A
· ·
= −
− +
= −
− −
− +
+ +
=
= + +
− + +
= + +
+ +
=
Los valores de los determinantes de las matrices son:
X yz xp p z
y x X A
bc ad d c
b a
A = = − = ;; = = − =
El producto de los determinantes es el siguiente:
(
ad bc)(
xp yz)
adpx adyz bcpx bcyz A X XA · = − − = − − + = ·
. ·
· B A X como se pedía demostrar
A =
Veamos si se cumple que A+ X = A + X :
+ +
+ +
=
+
= +
p d z c
y b x a p z
y x d c
b a X A
(
)(
) (
)(
)
X A yz cy bz bc px dx ap ad
z c y b p d x a p d z c
y b x a X A
+ = − − − − + + + =
= + + − + + = + +
+ +
X A yz px bc ad p z
y x d c
b a X
A + = + = − + − = +
.
demostrado ha
se como X
A B
A+ ≠ +
2º) Determina un punto de la recta r≡
(
x, y, x) (
= 0, 1, −1) (
+ 1, 2, 3)
t más próximo al punto P(1, 1, 1).---
El haz de planos perpendiculares a la recta r≡
(
x, y, x) (
= 0, 1, −1) (
+ 1, 2, 3)
t tie-nen como vector normal al vector director de r que es n =(
1, 2, 3)
.El haz de planos tiene por ecuación general α ≡x+2y+3z+D=0.
De l0s infinitas planos del haz anterior, el que contiene al punto P(1, 1, 1) tiene que satisfacer su ecuación:
(
)
1 2 ·1 3·1 0 ;; 6 2 3 6 01 , 1 , 1
0 3
2
= − + + ≡
⇒
− = =
+ + +
⇒
= + + + ≡
z y x D
D P
D z y x
π α
.
La solución es el punto Q de corte de la recta r y el plano π, que es el siguiente:
La expresión de r por unas ecuaciones paramétricas es
+ − =
+ = = ≡
t z
t y
t x r
3 1
2
1 .
(
) (
)
⇒
= + − =
= + = =
⇒
= =
− =
−
= − + − + + =
− + − + + +
⇒
+ − =
+ = = ≡
= − + + ≡
2 1 , 2 , 2 1
2 1 2 3 1
2 1 1
2 1
2 1 ;
; 0 1 2 ; ; 0 7 14
; ; 0 6 9 3 4 2 ; ; 0 6 3 1 3 2 1 2
3 1
2 1
0 6 3 2
Q z
y x t
t t
t t
t t
t t
t z
t y
t x r
z y x π
3º) Se considera la función
( )
1 2 − = x x xf . Se pide:
a ) Calcular
( )
( )
f( )
xx lím y x f x lím x f x lím +∞ → −∞ →
→1 ; .
b ) Calcular los extremos relativos.
c ) Hacer un dibujo de la función.
--- a )
( )
( )
( )
( )
( )
⇒ → ≠ → ⇒ ∞ + = = − = − → ∞ − = = − = − → ⇒ → − + + + + + − − − − x f x lím x f x lím x x x lím x x x lím x f x lím 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2La función carece de límite para x = 1.
( )
∞ + = = + = ∞ − ∞ = = − −∞ → = − −∞ → ⇒ ⇒ ∞ − ∞ = − −∞ → = −∞ → 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 . det 1 2 2 2 2 2 x x x lím x x x x x lím In x x x lím x f x lím( )
∞ + = = + = ∞ − ∞ = = − +∞ → = − +∞ → ⇒ ⇒ ∞ ∞ = − +∞ → = +∞ → 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 . det 1 2 2 2 2 2 x x x lím x x x x x lím In x x x lím x f x lím b )(
x)
(
x)
f( )
x xx x
x x
' ' 1 2 1
4 2 2 2 2 2
3 3
2 2
= − = −
+ − + − − =
Para que existan máximos o mínimos relativos es condición necesaria que se anu-le la primera derivada:
( )
(
(
)
)
(
)
( ) ( )
( )
(
)
( )
(
)
( )
4 .(
2, 4)
1 2
2 2 ; ; . 0
2 1 2 1 2
2 2
' '
0 , 0 .
0 0 ; ; . 0
2 1 2 1
0 2 0
' '
2 ;
; 0 ;
; 0 2 ;
; 0 1
2 0
'
2 3
3
2 1
2
P Mín f
Mín f
O Máx f
Máx f
x x
x x x
x x x
f
→
⇒
= − =
⇒
> = = − =
→
⇒
=
⇒
< − = − = − =
= =
= − =
− −
⇒
=
c )
Con objeto de facilitar el dibujo de la función, vamos a determinar sus asíntotas, que son las siguientes:
Horizontales: son los valores finitos que toma la función cuando x tiende a valer infini-to; son de la forma y = k.
Del primer apartado sabemos que
( )
( )
=+∞ +∞→ = −∞
→ x f x
lím x
f x
lím
, de donde se deduce que la función no tiene asíntotas horizontales.
Verticales: son los valores de x que anulan el denominador: x−1=0 ⇒ x=1
Oblicuas: Para que una función racional tenga asíntotas oblicuas es necesario que el grado del numerador sea una unidad mayor que el grado del denominador; como en nuestro caso ocurre eso, tiene asíntotas oblicuas.
( )
( )
[
]
nx x x
lím
x
x x x x
lím x
x x x
lím mx
x f x
lím n
m x
x x x
lím x
x x
x lím x
x f x
lím m
= = − ∞ → = −
+ − ∞ → =
− − ∞ → = − ∞
→ =
= = − ∞ → = − ∞ → = ∞
→ =
1 1 1
1
1 1
2 2 2
2 2 2
1 + =
⇒ y x
oblícua Asíntota
**********
x
=
1
f(x)
X Y
P
y = x + 1
4º) Dibuja la región limitada por las curas y = sen x, y = cos x, y las rectas x = 0 y x=π . Calculad el área del recinto.
---
Las gráficas de las funciones seno y coseno se diferencian en que tienen un desfa-se de
2
π (90º). (La palabra coseno se deriva de complemento del seno)
Se trata de dos funciones continuas cuyo dominio es R y el recorrido de ambas es [-1, 1]; el periodo de ambas es
( )
2π .Teniendo en cuenta que el coseno de un ángulo es igual al seno del ángulo com-plementario, las gráficas de las funciones seno y coseno son las que se indican a conti-nuación, expresadas en el intervalo de un giro.
Como puede observarse, en el intervalo comprendido por las dos rectas verticales
4
0 =π
= y x
x , las ordenadas de la curva y = cos x son mayores que las de y = cos x y en el intervalo comprendido entre las rectas verticales x=π y x=π
4 son mayores las orde-nadas de y = sen x que las de y = cos x, por lo cual el área pedida es la siguiente:
(
)
(
)
[
] [
]
(
)
(
)
( )
u Ssen x
sen sen
sen
sen x
sen sen
sen
x sen x x
x sen dx x x
sen dx
x sen x S
= =
+ − =
+ + − − − − − + =
= +
+ −
− −
− +
=
=
− −
− −
− +
+ −
+
=
= −
− + +
= −
+ −
=
∫
∫
2
4 4
0 4
4 0
2 2 1 1 2
2 4 2
2 2
2 0 1 1 0 2
2 2
2
4 4
cos cos
0 cos 0 4
cos 4
4 4
cos cos
0 cos 0 4
cos 4
cos cos
· cos ·
cos
π π
π π
π
π π
π π
π
π π π
π
π π
**********
0
0
2π π
π
π/2
S
3π/2
2π 3π/2
π/2 π/6 π/3
π
= x
y = cos x
4
π
= x
-1 x = 0
1