PRUEBA DE ACCESO (LOGSE) UNIVERSIDAD DE BALEARES SEPTIEMBRE - 2008 (RESUELTOS por Antonio Menguiano) MATEMÁTICAS II Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos

Texto completo

(1)

I

I..EE..SS..““CCAASSTTEELLAARR””BBAADDAAJJOOZZ

A. Menguiano PRUEBA DE ACCESO (LOGSE)

UNIVERSIDAD DE BALEARES SEPTIEMBRE - 2008

(RESUELTOS por Antonio Menguiano)

MATEMÁTICAS II Tiempo máximo: 1 horas y 30 minutos

Se valorará la corrección y la claridad en el lenguaje (matemático o no matemático) em-pleado por el alumno. Penalizan los errores de cálculo. Los errores graves, y especial-mente, aquellos que lleven a resultados incoherentes o absurdos, serán penalizados con la aplicación del 50 % sobre la calificación en cuestión. Se valorarán todas las partes que sean correctas, aunque el resultado final no lo sea.

Contesta de manera clara y razonada una de las dos opciones propuestas. Cada cuestión se puntúa sobre 10 puntos. La calificación final se obtiene de dividir el total entre 4.

OPCIÓN A

1º) Determina todas las matrices de la forma 

     = 0 z y x

X que conmuten (X · A = A · X)

con la matriz 

     = 4 3 2 1 A . ---      − = − = ⇒           − = − = = ⇒               = = + + = + = + ⇒       + + =       + + ⇒ ⇒                + + =       + + + + =             =       + + =       + + + + =             = x y x z y x z x z y y z y y x z x z z x y x y z x y z x z z y x y x y z x y z x y z x y z x z y x X A z z y x y x z z y x y x z y x A X 3 2 3 2 3 3 2 3 3 2 4 2 4 3 2 3 3 4 3 2 2 4 2 3 3 4 3 2 0 3 4 3 0 2 0 · 4 3 2 1 · 2 4 2 3 0 2 0 4 2 3 4 3 2 1 · 0 ·

Las matrices X son de la forma x R

x

x x

X  ∀ ∈

(2)

2º) Determina el punto A del plano π ≡2xy+ z=0 más próximo al punto P(1, 1, 1).

---

El haz de rectas paralelas y perpendiculares al plano π ≡2xy+ z=0 tienen como vector director al vector normal del plano π, que es n =

(

2, −1, 1

)

.

De las infinitas rectas del haz anterior, la que pasa por P es     

+ =

− =

+ = ≡

λ λ λ

1 1

2 1

z y x

r .

La solución es el punto Q de intersección del plano π con la recta r es:

(

) (

) (

)

   

  ⇒

  

   

 

  

   

 

= − =

= + =

= − =

− = =

+

= + =

+ + + − + =

+ + − − +

      

    

+ =

− =

+ = ≡

= + − ≡

3 2 , 3 4 , 3 1

3 2 3 1 1

3 4 3 1 1

3 1 3 2 1

3 1 ;

; 0 1 3

; ; 0 2 6 ; ; 0 1

1 4 2 ; ; 0 1

1 2 1 2

1 1

2 1

0 2

Q z

y x z

y x r

z y x

λ λ

λ λ

λ λ

λ λ

λ λ

λ λ π

(3)

3º) Se considera la función

( )

1 2 + = x x x

f . Se pide:

a ) Calcular

( )

f

( )

x

x lím y x f x lím −∞ → +∞ → .

b ) Calcular los extremos relativos.

c ) Hacer un dibujo de la función.

--- a )

( )

( )

0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 . det 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 . det 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = + − = = ∞ + ∞ − = + −∞ → = + −∞ → ⇒ ⇒ ∞ ∞ − = + −∞ → = −∞ → = + = = ∞ + ∞ = + +∞ → = + +∞ → ⇒ ⇒ ∞ ∞ = + +∞ → = +∞ → x x x lím x x x x x lím In x x x lím x f x lím x x x lím x x x x x lím In x x x lím x f x lím b )

Para estudiar los extremos relativos, derivamos:

( )

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

f

( )

x

x x x x x x x x x x x x f ' 1 1 1 1 1 2 1 1 2 · 1 · 1 ' 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = + − = + + − = + − + = + − + =

Para que una función tengo un máximo o un mínimo relativo es condición nece-saria que se anule la primera derivada:

( )

(

)

0 ;; 1 0 1 ;; 1

1 1 0

' 2 2 1 2

2 2 = − = ⇒ = − = + − ⇒

= x x x

x x x

f .

Para diferenciar los máximos de los mínimos recurrimos a la segunda derivada: si es negativa para los valores que anulan la primera derivada se trata de un máximo y, en caso contrario de un mínimo:

(4)

(

)

(

)

(

(

)

)

f

( )

x x

x x x x

x x x x

x x x x

' ' 1

3 2 2

1 6 4 2 1

4 4 2 2

3 2

2 3

2 2 3 3

2

2 3

= +

+ − −

= +

− + − = +

+ − − − =

( )

( )( )

[

( )

]

( )

[

]

( )

(

)

8 0 1

12 1

1

3 2 1 · 2 1

1

3 1 · 2 1 1 · 2 1 '

' 3 3

2 2

− =

> = +

+ + =

+ −

+ − − − − − =

Mínimo para x

f

( )

( )

  

 

− −

− = + − = + −

− = −

2 1 , 1 : 2

1 1 1

1 1 1

1

1 2 Mínimo relativo P

f

( )

(

)

(

)

( )

(

)

8 0 1

4 1

1

3 2 1 · 2

1 1

3 1 · 2 1 · 1 · 2 1 '

' 3 3

2 2

=

< − = +

+ − −

= +

+ − −

= Máximo para x

f

( )

     ⇒

= + = + =

2 1 , 1 : 2

1 1 1

1 1 1

1

1 2 Máximo relativo Q

f

Observación: El máximo relativo se podía haber obtenido teniendo en cuenta que la función es simétrica con respecto al origen por cumplir que f(x) = - f(-x).

c )

Teniendo en cuenta que el eje X es asíntota de la función, según se demuestra en el apartado a ), la represtación gráfica, aproximada, es la que aparece en el gráfico ad-junto.

**********

X Y

f(x)

O

1

1

P

(5)

4º) a ) Se considera la curva y=ekx, k>0. Escribe la ecuación de la función A(k) que nos da el área de la región limitada por esta curva y las rectas y = 0, x = 0 y x = 1.

b ) Hacer un dibujo de la situación.

c ) Calcula A

( )

k k

lím

0

→ .

---

a )

La curva kx

e

y= tiene todas sus ordenadas positivas, por lo cual, el área en función de k viene expresada por la siguiente integral definida:

( )

[ ]

(

)

(

)

A

( )

k

k e e

k

e e k e

k dt k e t

x

k t x

dt k dx

t kx dx

e k A

k k

k k

t k

t kx

= − = − =

= − =

=

⇒      

   

= → =

= → =

= =

=

1 1

· 1

· 1 ·

1 · 1 · 0

0 1

· 1

· 0 0

0 1

0

b )

Teniendo en cuenta que se trata de una función exponencial de base positiva es monótona creciente y su recorrido es

(

0, +∞

)

y, por ser =0

−∞ →

kx

e x

lím

, siendo k > 0, el eje de abscisas es asíntota horizontal de la curva. Corta al eje de ordenadas en el punto A(0, 1).

La representación gráfica de la situación es la de la figura: Y

O X

A

(6)

c )

( )

=== ⇒ ⇒

{

}

→ =

Ins er LHopital

e k e k

lím k

A k

lím k

´ .

det 0

0 0

1 1 0

1 1

0 0

0

1 1 1 1 1 0

0

= = = →

e e

k

lím k

(7)

OPCIÓN B

1º) Demuestra, para matrices de dimensión 2 x 2, que “el determinante de un producto de matrices es el determinante del producto de las matrices”. ¿Es cierto que “el determi-nante de una suma de matrices es la suma de los determidetermi-nantes de las matrices”?

---

Sean las matrices 

    

=

d c

b a

A y 

    

=

p z

y x

X . Su producto es:

   

 

+ +

+ +

=

           

=

dp cy dz cx

bp ay bz ax p

z y x d c

b a X

A· · .

El determinante del producto es el siguiente:

(

)(

) (

)(

)

X A bcpx adyz

bcyz adpx bdpz

bcpx adyz

acxy bdpz

bcyz adpx acxy

dz cx bp ay dp cy bz ax dp cy dz cx

bp ay bz ax X

A

· ·

= −

− +

= −

− −

− +

+ +

=

= + +

− + +

= + +

+ +

=

Los valores de los determinantes de las matrices son:

X yz xp p z

y x X A

bc ad d c

b a

A = = − = ;; = = − =

El producto de los determinantes es el siguiente:

(

ad bc

)(

xp yz

)

adpx adyz bcpx bcyz A X X

A · = − − = − − + = ·

. ·

· B A X como se pedía demostrar

A =

Veamos si se cumple que A+ X = A + X :

   

 

+ +

+ +

=

     

+

     

= +

p d z c

y b x a p z

y x d c

b a X A

(

)(

) (

)(

)

X A yz cy bz bc px dx ap ad

z c y b p d x a p d z c

y b x a X A

+ = − − − − + + + =

= + + − + + = + +

+ +

(8)

X A yz px bc ad p z

y x d c

b a X

A + = + = − + − = +

.

demostrado ha

se como X

A B

A+ ≠ +

(9)

2º) Determina un punto de la recta r

(

x, y, x

) (

= 0, 1, −1

) (

+ 1, 2, 3

)

t más próximo al punto P(1, 1, 1).

---

El haz de planos perpendiculares a la recta r

(

x, y, x

) (

= 0, 1, −1

) (

+ 1, 2, 3

)

t tie-nen como vector normal al vector director de r que es n =

(

1, 2, 3

)

.

El haz de planos tiene por ecuación general α ≡x+2y+3z+D=0.

De l0s infinitas planos del haz anterior, el que contiene al punto P(1, 1, 1) tiene que satisfacer su ecuación:

(

)

1 2 ·1 3·1 0 ;; 6 2 3 6 0

1 , 1 , 1

0 3

2

= − + + ≡

− = =

+ + +

⇒   

= + + + ≡

z y x D

D P

D z y x

π α

.

La solución es el punto Q de corte de la recta r y el plano π, que es el siguiente:

La expresión de r por unas ecuaciones paramétricas es     

+ − =

+ = = ≡

t z

t y

t x r

3 1

2

1 .

(

) (

)

   

  ⇒

 

  

 

 

  

 

= + − =

= + = =

= =

− =

= − + − + + =

− + − + + +

      

    

+ − =

+ = = ≡

= − + + ≡

2 1 , 2 , 2 1

2 1 2 3 1

2 1 1

2 1

2 1 ;

; 0 1 2 ; ; 0 7 14

; ; 0 6 9 3 4 2 ; ; 0 6 3 1 3 2 1 2

3 1

2 1

0 6 3 2

Q z

y x t

t t

t t

t t

t t

t z

t y

t x r

z y x π

(10)

3º) Se considera la función

( )

1 2 − = x x x

f . Se pide:

a ) Calcular

( )

( )

f

( )

x

x lím y x f x lím x f x lím +∞ → −∞ →

→1 ; .

b ) Calcular los extremos relativos.

c ) Hacer un dibujo de la función.

--- a )

( )

( )

( )

( )

( )

⇒ → ≠ → ⇒                   ∞ + = = − = − → ∞ − = = − = − → ⇒ → − + + + + + − − − − x f x lím x f x lím x x x lím x x x lím x f x lím 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2

La función carece de límite para x = 1.

( )

∞ + = = + = ∞ − ∞ = = − −∞ → = − −∞ → ⇒ ⇒ ∞ − ∞ = − −∞ → = −∞ → 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 . det 1 2 2 2 2 2 x x x lím x x x x x lím In x x x lím x f x lím

( )

∞ + = = + = ∞ − ∞ = = − +∞ → = − +∞ → ⇒ ⇒ ∞ ∞ = − +∞ → = +∞ → 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 . det 1 2 2 2 2 2 x x x lím x x x x x lím In x x x lím x f x lím b )

(11)

(

x

)

(

x

)

f

( )

x x

x x

x x

' ' 1 2 1

4 2 2 2 2 2

3 3

2 2

= − = −

+ − + − − =

Para que existan máximos o mínimos relativos es condición necesaria que se anu-le la primera derivada:

( )

(

(

)

)

(

)

( ) ( )

( )

(

)

( )

(

)

( )

4 .

(

2, 4

)

1 2

2 2 ; ; . 0

2 1 2 1 2

2 2

' '

0 , 0 .

0 0 ; ; . 0

2 1 2 1

0 2 0

' '

2 ;

; 0 ;

; 0 2 ;

; 0 1

2 0

'

2 3

3

2 1

2

P Mín f

Mín f

O Máx f

Máx f

x x

x x x

x x x

f

= − =

> = = − =

=

< − = − = − =

= =

= − =

− −

=

c )

Con objeto de facilitar el dibujo de la función, vamos a determinar sus asíntotas, que son las siguientes:

Horizontales: son los valores finitos que toma la función cuando x tiende a valer infini-to; son de la forma y = k.

Del primer apartado sabemos que

( )

( )

=+∞ +∞

→ = −∞

x f x

lím x

f x

lím

, de donde se deduce que la función no tiene asíntotas horizontales.

Verticales: son los valores de x que anulan el denominador: x−1=0 ⇒ x=1

Oblicuas: Para que una función racional tenga asíntotas oblicuas es necesario que el grado del numerador sea una unidad mayor que el grado del denominador; como en nuestro caso ocurre eso, tiene asíntotas oblicuas.

( )

( )

[

]

n

x x x

lím

x

x x x x

lím x

x x x

lím mx

x f x

lím n

m x

x x x

lím x

x x

x lím x

x f x

lím m

= = − ∞ → = −

+ − ∞ → =

   

 

− − ∞ → = − ∞

→ =

= = − ∞ → = − ∞ → = ∞

→ =

1 1 1

1

1 1

2 2 2

2 2 2

1 + =

y x

oblícua Asíntota

(12)

**********

x

=

1

f(x)

X Y

P

y = x + 1

(13)

4º) Dibuja la región limitada por las curas y = sen x, y = cos x, y las rectas x = 0 y x=π . Calculad el área del recinto.

---

Las gráficas de las funciones seno y coseno se diferencian en que tienen un desfa-se de

2

π (90º). (La palabra coseno se deriva de complemento del seno)

Se trata de dos funciones continuas cuyo dominio es R y el recorrido de ambas es [-1, 1]; el periodo de ambas es

( )

2π .

Teniendo en cuenta que el coseno de un ángulo es igual al seno del ángulo com-plementario, las gráficas de las funciones seno y coseno son las que se indican a conti-nuación, expresadas en el intervalo de un giro.

Como puede observarse, en el intervalo comprendido por las dos rectas verticales

4

0 =π

= y x

x , las ordenadas de la curva y = cos x son mayores que las de y = cos x y en el intervalo comprendido entre las rectas verticales xy x

4 son mayores las orde-nadas de y = sen x que las de y = cos x, por lo cual el área pedida es la siguiente:

(

)

(

)

[

] [

]

(

)

(

)

( )

u S

sen x

sen sen

sen

sen x

sen sen

sen

x sen x x

x sen dx x x

sen dx

x sen x S

= =

+ − =

+ + − − − − − + =

= +

+ −

− −

− +

=

=

   

 

   

− −

− +

   

 

+ −

   

+

=

= −

− + +

= −

+ −

=

2

4 4

0 4

4 0

2 2 1 1 2

2 4 2

2 2

2 0 1 1 0 2

2 2

2

4 4

cos cos

0 cos 0 4

cos 4

4 4

cos cos

0 cos 0 4

cos 4

cos cos

· cos ·

cos

π π

π π

π

π π

π π

π

π π π

π

π π

**********

0

0

2π π

π

π/2

S

/2

3π/2

π/2 π/6 π/3

π

= x

y = cos x

4

π

= x

-1 x = 0

1

Figure

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