MODELO DEL FORMULARIO BÁSICO DE ÁLGEBRA

MODELO DEL FORMULARIO BÁSICO DE ÁLGEBRA

(Rogamos nos comuniquen las posibles erratas detectadas)

ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA

CONJUNTOS NUMÉRICOS Expresa los conjuntos numéricos

Conjuntos numéricos:     Naturales: 



0,1, 2, 3,



Enteros: 



, 3,  2, 1, 0, 1, 2, 3,



Racionales: a ; ,a b b 0

b

 

_   _

 

Irracionales: No se puede expresar como cociente de dos números enteros. Ejemplos: 2 , , e

Reales: Incluye racionales e irracionales. Su representación es la recta real. Complejos: 



a bi a b ; ,  ; i 1



Define Valor absoluto: si 0 si 0

a a

a

a a

 

 _{ }

 . Propiedades:



a b

,



1. 0 2. 3.

a

a b a b

a b a b

   

  

Define distancia entre dos puntos: d a b( , ) a b

Define intervalo abierto e intervalo cerrado:

  



 





, ,

, ,

a b x a x b

a b x a x b

   

   

Operaciones con números reales: Además de la suma, resta, producto y cociente habituales que hacen al conjunto un cuerpo conmutativo, existen Potencias an ; a Base nExponente (ayuda)

 





0 1

; ; ;

1

; 1 ;

m

n n

m n m n m n m m n n n

p

n n

a

a a a a a a a b a b

a

a a a a

a

  



      

  

Radicales ; Índice. A Radicando.

k n

n k

n _A  _{B A B n}  _a _an _(ayuda)

Ejemplos:

 

 

3

6 2 3

2 2

2 4 2 ; 8 2. No es válido ya que es equivalente 2 2

-2 4 2. No es válido ya que -2 2i 2i 2

 _{    }

 

       



Expresar:

 

; ; ;

n p

n k n k p n n n _n n k n k

n

a a

a a a b a b a a

b b

 

     

Para sumar y restar radicales, éstos deben tener el mismo índice y el mismo radicando. 3 3 7 3 3 6 3 2 3 3

2 2  2 2 2  2 2 2 5 2 (ayuda)

Racionalizar













2 5 2 5

2 5 7 2 10 7 2 10

3 3

2 5 2 5 2 5

 

  

   



  

Complejos (ayuda)

2 2 Forma binómica

; ; cos y

Forma polar

z a bi _b

r a b arctg a r b r sen

z r a

  

  

       



 _

Complejos Conjugados: z  2 3 ;i z   2 3i

Expresar en forma polar

 

2

135

1 1

2

2 1 3

2 3 1 3 135º 4 2 2 2 90º 2 r

z i z

arctg r z i       _{   }  _     _    _{   }  _{ }    _{ }  _     _{ }   _ 

Expresar en forma binómica y en forma polar:





 

1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 3 2 3 2

Siendo 2 ₁ ; 2

90º 135º

2

Binómica: 2 2 2 3

Polar: 11arctg

r

r

z i z i

arctg

z z i i i

z z z      _{ }     _  _{ }   _  _   _{       }   _{ }  





 

1 2 135º

1 2 90º

2 1

2 1 2

1 2

135º 90º 225º 3

2

Siendo 2 ₁ 3 ; 2 2

90º 135º

2

Binómica: 2 2 2 2 2 2 2 2 Polar: 3 2 2 3

r

r

z i z i

arctg

z z i i i i i



 



1

2 135º

1 2 90º

2 1 2 1 2 1 2

135 90 45 3

2

Siendo 2 ₁ 3 ; 2 2

90º 135º

2

2 2 _{2 1 2}

Binómica:

2 2 2 2 2

3 3

Polar:

2 2

r

r

z i z i

arctg

i i i

z i i

i

z i i i

z z z      _{ }     _   _{ }    _  _   _{     }  _{    }                _{   }     







  















1 2 135º

1 2 90º

2 1 1 135º n 2 90 3 2

Siendo 2 ₁ 3 ; 2 2

90º 135º

2 Binómica: 2

Polar: 3 3 cos 135 135

2 Polar: 2 _{90 360}

k k k k n n r r

z i z i

arctg

i z

k i sen k

r z _k n      _{ }     _   _{ }    _  _   _{ }              _{  }  

Sucesiones numéricas:

 

a_n donde n . Término general: a_n (ayuda) Progresión aritmética



1



2 1 1 ( 1) ; ; diferencia

2 n

n n

a a n

a   a d a   a n d S   d 

Progresión geométrica

1 1

2 1 1 ; ; razón

1

n n

n n

a r a

a a r a a r S r

r

  

      



Progresión geométrica ilimitada: 1 _{; 1} 1

a

S r

r

 

 Convergente

Poner un ejemplo de progresión aritmética y otro ejemplo de progresión geométrica con 4 términos en ambos casos y obtener respectivamente la suma utilizando las fórmulas correspondientes.

Progresión aritmética:





1

1 4 4

1, 2, 3, 4 10 ; 1 , 4 , 4 , 1

2 n

S  a a n d

      

Progresión geométrica: 2 3 1

8 2 1

1, 2, 2 , 2 15 ; 1 , 2 , 8

2 1 n

S   a r a

     



Polinomios (ayuda)

1 2

1 2 1 0

( ) _n n _n n

P x a x a_ x   a x a x a . Grado: Mayor exponente Cociente: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Divisor

( ) Resto ( )

D x P x

P x Q x D x R x

R x Q x       _   Factorización:



1



2

 



1 2

( ) _{n n} ; , , _n Raíces del polinomio

Teorema del resto: Si se divide un polinomio P x( ) entre (x a ) se obtiene un cociente C x( ) y u resto R P x: ( ) (x a C x) ( )R.

El resto de la división de un polinomio P x( ) entre (x a ) coincide con el valor numérico del polinomio para xa, RP a( ).

Teorema del factor: Si el resto de dividir un polinomio P x( ) entre (x a ) es cero el polinomio es divisible por (x a ) y se puede realizar la descomposición factorial P x( ) (x a C x) ( ). Se dice que a es una raíz o un cero del polinomio.

( )

C x es el cociente de la división y (x a ) es un factor de P x( )

Teorema fundamental del Álgebra: Todo polinomio de grado n posee n raíces reales o complejos conjugados.

Fórmula de las ecuaciones algebraicas de 1º y 2º grado

2 2

0

4 0

2

b

ax b x

a

b b ac

ax bx c x

a

    

  

    

Igualdades notables















2 _{2 2}

2 2 2

2 2 2 2

a b a b ab

a b a b ab

a b a b a b

   

   

   

Halla por el Método de Ruffini las raíces del polinomio P x( ) y exprésalo en

factores. 5 3 2

( ) 8 6 7 6

P x x  x  x  x

1

1 0 1

-8 1

6 -7

7 -1

-6 6 1

1 1 1

-7 2

-1 -5

6 -6

0

-1

1 2 -1

-5 -1

-6 6

0

2

1 1 2

-6 6

0 1 3 0

5 3 2 2

( ) 8 6 7 6 ( 1) ( 1)( 2)( 3)

Expresa en fracciones simples la fracción:

2 2

6 ( 2) ( 1)

3 2 1 2 3 2

Términos en : 1 7 Terminos Independientes: 2 6 8

x A B A x B x

x x x x x x

x A B A

A B B

 _{  }                   _  2

6 7 8

3 2 1 2

x

x x x x

 _  _

   

Logaritmos:

log ; Si logaritmo neperiano. 1

lim 1 2, 71828 x

a

n n

b x a b a e

e n         _{ }          (ayuda)

Cálculo de logaritmos

log

log ( ) log log log log log log log

log log

log 1 0 ; log 1 a

a a a

a a a

c a a n a a b a a

b c b c

b

b c

c

b c b

b b n a b a           log Cambio de base a base : log

log c a

c

b

a c b

a

 (ayuda)

Resuelve la ecuación:

3 3

5 3

27 5 3 3 3

log 3

125 3 5 5 5

x x x x           _{ } _{ } _{ } _{ }            Combinatoria

Escribe las fórmulas





1, 2, 3

1 2 3

1 2 3

,

,

, Permutaciones ordinarias: !

! Permutaciones con repetición: ;

! ! ! !

Variaciones ordinarias:

! Variaciones con repetición:

Combinaciones ordinarias: n n m n n m n m P n n PR n m V m n VR m C    _{  }           





, , 1, ! ; ! !

Combinaciones con repetición: 1,

n m n m n n

m n n

m m

V C P

n n m n

CR _{ } Cm n n

 

_{ }  

  

  

Escribe los números combinatorios



!



! !

m m

n n m n

  

  _

 

m m m

Expresa la fórmula del binomio de Newton y resalta el término general





1 1

Término 1

0 1

n _{n n n h h n}

h

n n n n

a b a a b a b b

h n

 



       

 _{ } _{ }  _{ }  _{ }

       

Octavo término del desarrollo de





14 _{7 7 7}

8

14

1 ( 1) 3432

7

: ( 1) 8 7

x x x

T h h

  

    

  

  

 _{   }



TRIGONOMETRÍA

Equivalencia entre grados y radianes: 360º2 rad

Razones trigonométricas: Seno, Coseno, Tangente, Cosecante, Secante y Cotangente y sus relaciones fundamentales.

Lado opuesto Lado contiguo

; cos ;

Hipotenusa Hipotenusa cos

1 1 1

cos ; sec ; co

cos

sen

sen tg

ec tg

sen tg



  



  

  

  

  

Indica los signos de las razones trigonométricas en cada cuadrante.  Cuadrante 1º: Seno y coseno positivos

 Cuadrante 2º: Seno + y coseno –

 Cuadrante 3º: Seno y coseno negativos  Cuadrante 4º: Seno – y coseno +

Expresa una tabla con los valores de las razones trigonométricas de los ángulos: 0º , 30º , 45º , 60º , 90º , 180º.

0º

30º 6 

45º 4 

60º 3 

90º 2

 180º 

Seno 0 1

2

2 2

3 2

1 0

Coseno 1 ₃

2

2 2

1 2

0 -1

Tangente 0 1

3

1 ₃  0

Relación entre las razones trigonométricas:

2 2

2 2

2

2 2

2

cos 1

1

1 sec

cos 1

1 cos

sen

tg

ctg ec

sen

 

 



 

 

 _{ }

 

  

  

  

Reducción de las razones trigonométricas (seno, coseno y tangente) a) Ángulos complementarios (suman 90º)

(90º ) cos 2

cos cos(90º ) s 2

(90º ) cot 2

sen sen

en

tg tg g

   

   

   

  _ _{  }

 

 _{ }



  _ _{  }

 _ _ 

  _ _{  }

  

 



b) Ángulos suplementarios (suman 180º)













(180º )

cos cos(180º ) cos (180º )

sen sen sen

tg tg tg

   

   

   

   

 

    



 _{    }



c) Ángulos que se diferencian en 90º (90º ) cos

2

cos cos(90º ) 2

(90º ) 2

sen sen

sen

tg tg ctg

   

   

   

  _ _{  }

 

 _{ }



 _{ }

    

 _ _ 

  _ _{   }

 _ _ 

d) Ángulos que se diferencian en 180º













(180º )

cos cos(180º ) cos (180º )

sen sen sen

tg tg tg

   

   

   

    

 

    



 _{   }



e) Ángulos que suman 360º

Ejemplo:

 





 





 





2 (360º )

cos cos 2 cos(360º ) cos

2 (360º )

sen sen sen sen

tg tg tg tg

    

    

    

      

 

     



 _{      }



f) Ángulos de amplitud mayor que 360º

Son las mismas razones que las del ángulo reducido correspondiente

Ejemplo:



2



3 (1920º ) (5 360 120) (120º ) (60º )

2

sen k sen

sen sen sen sen

    

 

     

Fórmulas de las razones trigonométricas (seno, coseno y tangente) a) Relaciones de la Suma y Diferencia

Ejemplo:













cos cos cos cos cos

1

sen sen sen

sen sen

tg tg

tg

tg tg

     

     

 

 

 



 _{    }

 _{   }



 _

 _{ }

 

b) Ángulo doble

 

 

 

2 2

2

2 2 cos

cos 2 cos 2 2

1

sen sen

sen tg

tg

tg

  

  

 

 

 _{ }

 _{ }

 

 

 

c) Ángulo mitad 1 cos

2 2

1 cos cos

2 2

1 cos 2 1 cos

sen

tg

 

 

 



 _{   } 

  _{ } 

 _

 _{   }   _{ } 

 _{  }

 _{ }    



d) Transformación de sumas en productos

2 cos

2 2

2 cos

2 2

cos cos 2 cos cos

2 2

cos cos 2

2 2

A B A B

sen A sen B sen

A B A B

sen A sen B sen

A B A B

A B

A B A B

A B sen sen

 

 _{  }

 

 

 _{  }



 _{ }

 _{  }



 _{ }

    



GEOMETRÍA BÁSICA

Elementos de un triángulo:

Ángulos, Lados y Vértices. Los lados opuestos al vértice se nombran con la misma letra del vértice opuesto pero en minúscula.

Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos correspondientes iguales y sus lados proporcionales

 Altura: Recta perpendicular desde un vértice al lado opuesto. Las alturas coinciden en un punto llamado Ortocentro.

 Mediatriz: Recta perpendicular a un lado en su punto medio. Las mediatrices coinciden en un punto llamado Circuncentro que es el centro de la circunferencia circunscrita.

 Bisectriz: Recta que divide a un ángulo en dos partes iguales. Las bisectrices coinciden en un punto llamado incentro que es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo que es tangente a los lados.

Triángulos rectángulos:

Uno de los ángulos es recto es decir ˆ o bien 90º 2

A .

 Teorema de Pitágoras: 2 2 2

a b c La hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

 Teoremas de la altura: 2

h  m n. La altura es media proporcional entre los dos segmentos en que divide al lado.

 Teorema del cateto: 2

c  a n. El cuadrado de un cateto es media proporcional entre la hipotenusa a y la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa.

Resolución de triángulos:

 Suma de los ángulos de un triángulo = 180º

 Teorema del seno: 2

Radio circunferencia circunscrita

a b c

R sen A sen B sen C R

 _{  }

    

 Teorema del coseno:

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 cos 2 cos 2 cos

a b c b c A

b a c a c B

c a b a b C

     



    



      

 Fórmulas del área de un triángulo:

2

2 2 2

( )( )( )

2

b h S

b c senA a c senB a b senC

S

S p p a p b p c

a b c p

    

     

   

 

    



   



Representa las figuras geométricas básicas del plano, comenta alguna característica y escribe su Área:

Triángulo: Base Altura 2

A 

Rombo: ; Diagonal mayor Diagonal menor 2

D D d

A

d

  

 _{ }

 Romboide: ABase Altura

Trapecio:





Base mayor Base menor 2

Altura

B B b h

A b

h

 

 

 _ 

   Polígono regular:

Perímetro (suma de las longitudes de los lados)

Apotema (distancia del centro al punto medio de un lado) 2

p p a A

a

  

 _{ }



Angulo central: 360º; n número de lados

n 

Angulo interior: (n 2)180º; n número de lados

n





Círculo: 2 ₂ Longitud de la circunferencia Radio del círculo

L R L

R

A R

 

 

 



 _{  }

 

Corona circular:A



R2r2



Sector circular:

2

; Angulo central en radianes 2

R

A  

Representa las figuras geométricas básicas del espacio, comenta alguna característica y escribe su Área y Volumen:

Fórmula de Euler: Caras + Vértices = Aristas + 2

Prisma Recto:

Area lateral 2

; Area de la base Altura

L T L B

B B

A

A A A

A

V A h

h

 

 

  _

 _{ } 

 _{ }



El prisma es un poliedro formado por dos caras paralelas e iguales y por dos caras laterales. Si las caras laterales y las bases son perpendiculares el prisma es recto

Ortoedro: Los ángulos diedros forman 90º.

2( )

, , Lados de las caras

A ab ac bc

a b c

V abc

  



 

  

Cubo: Todas las aristas son iguales y los ángulos diedros forman 90º.

2 3

6 ;

A l V l

Pirámide Recta:

Area lateral ; Area de la base

Altura 3

L T L B

B B

A

A A A

A A h

V

h

 

 



  _

  



 _{ }

 _

Tetraedro regular:

2 3

3 2 12

A l

l V

   

  

Formado por 4 caras que son triángulos equiláteros Esfera:

2

3 4 4 3

A R

V R

     

 

Cilindro: A 2 R h₂( R)

V R h

 

 

 

 

Formado al girar un rectángulo sobre uno de sus lados.

Cono: ₂

( )

1 3

A R g R

V R h





 

  

 

Formado al girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. La hipotenusa del triángulo es la generatriz del cono. El cateto sobre el que gira es la altura del cono.

ÁLGEBRA LINEAL

VECTORES

Concepto de vector libre

Un vector fijo es un segmento orientado o Módulo: Longitud del segmento

o Dirección: Recta sobre la que se aplica el vector o cualquier recta paralela a esta.

o Sentido: Indicado por la punta de la flecha Vector nulo: coincide el origen con el extremo. Vector unitario: tiene módulo unidad.

Al conjunto de los vectores fijos se designa por F3

Dos vectores son equipolentes si tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido.

La equipolencia es una relación de equivalencia que divide al conjunto de los vectores fijos en clases de equivalencia. A cada una de estas clases se denomina vector libre que queda representada por un vector cualquiera de la clase.

Al conjunto de los vectores libres se designa por 3

V

Propiedad fundamental: Sea

 

AB



Operaciones con vectores

Suma: Sean a b, dos vectores libres, su suma es otro vector libre que se obtiene: Tomar un punto arbitrario O situar en ese punto el vector a

y a partir de su extremo situar el vector b . Uniendo O con el extremo de b se obtiene el vector suma ab

Propiedades: u v w, , vectores libres  Asociativa:



uv



  w u



vw



 Conmutativa: u  v v u

 Existencia del vector nulo: u 0 u

 Existencia del vector opuesto: u  ( u) 0

Producto de un número real por un vector:

3 3

Módulo:

Dirección: La de

El mismo que si 0 Sentido:

El opuesto a si 0

k u k

k u V u

u V

u k

u k



 _

  

 _{  } 

_{ } 

  _{ }

 _

 _ 



Espacio vectorial: Con las operaciones anteriores SUMA y PRODUCTO DE VECTOR POR NÚMERO REAL se dice que 3

V tiene estructura de espacio vectorial

Combinación lineal: Un vector 3

vV es combinación lineal de los

vectores 3

1, 2, 3

u u u V si se puede expresar: v a u_{1 1}a u_{2 2}a u_{3 3} siendo dichos coeficientes de la combinación lineal números reales

 3

1

u V u u

     Todo vector es combinación lineal de si mismo  0     0 u₁ 0 u₂ 0 u₃ El vector cero es siempre combinación lineal

Dependencia e independencia lineal:

 Independencia lineal: a u1 1a u2 2a u3 3  0 a1 a2 a3 0

 Dependencia lineal: : a u_{1 1}a u_{2 2}a u_{3 3}   0 a_i 0 Si un conjunto de vectores es linealmente dependientes uno al menos es combinación lineal de los demás.

Base y Coordenadas de un vector: Cualquier conjunto de tres vectores





3

1, 2, 3 de

B u u u V forman una base de 3

V . Todo vector de 3

Producto escalar de dos vectores: u v u v cos u v



      _{ }  

El producto escalar de dos vectores es un número real que sólo vale 0 si uno de ellos es 0 ó el ángulo 90º

o Interpretación geométrica: El valor absoluto del producto escalar de dos vectores es igual al módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre el primero.

o Propiedades:  u u 0  u v  v u

 u



v w



   u v u w

 k u v





  

 ku   v u

 

kv

o Expresión analítica:  1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3

x x u x u x u

x y x y x y x y

y y u y u y u

  



    

   



o Módulo de un vector: 2 2 2

1 2 3

x  x x  x x x

o Ángulo de dos vectores: cos u v u v

u v

 

 _{ }

  _

 

Producto vectorial de dos vectores:

El producto vectorial de dos vectores libre es otro vector que tiene a) Módulo: u v u v sen u v



 

    _{ }

 

b) Dirección: Perpendicular a los vectores

u

y

v

c) Sentido: El de avance del sacacorchos que gira de u a v en sentido positivo

o Interpretación geométrica: El módulo del producto vectorial es el área de del paralelogramo formado por esos vectores

o Propiedades:



0 o v=0

0 : o bien

y proporcionales

u

u

v

u

v

 



 

_





 Anticonmutativa:

u

   

v



v

u



 Homogénea:

 

ku

 

v

k u





v



 

u

 

kv

 Distributiva:

u





v



w

 



u



v

 



u



w



o Expresión analítica:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

0

; ; 0

0

i i

i j k i j k j i k

x x i x j x k

x y x x x j k i k j i j j

y y i y j y k

y y y k i j i k j k k

  

    

 

  

 _{ }  _{ }  _{  }  _{ }

 _{  }   

  _{ }  _{  }  _{ }

Producto mixto:



u v w, ,



  u



v w



Es un número real que consiste en el producto escalar de un vector por otro vector que es el producto vectorial de los otros dos vectores.

o Interpretación geométrica.: El valor absoluto del producto mixto es el volumen del paralelepípedo cuyas aristas son los tres vectores. o Propiedades:





u w v

, ,

 

 

u v w

, ,







u v w

, ,

 



v w u

, ,

 



w u v

, ,







u v w

, ,





0 si y sólo si , , son linealmente independientes

u v w





au bv cw

,

,





abc u v w



, ,







u



u v w

', ,

 



u v w

, ,

 



u v w

', ,





o Expresión analítica:



, ,



'

'

' siendo:

'

'

'

''

''

''

''

''

''

x

y

z

u

xi

yj

zk

u v w

x

y

z

v

x i

y j

z k

x

y

z

w

x i

y j

z k

 









_







 







MATRICES Y DETERMINANTES

:

 

1, 2, , 1, 2, , ij

i m

A a

j n

 

 _{ }

 (ayuda)  Matriz: Tabla ordenada en filas y columnas.

11 1

1..

1 1..

: Fila

(

)

: Columna

Diagonal principal:

(En matriz cuadrada)

n

ij ij

i m

m mn ii

j n

a

a

i

a

A

a

j

a

a

a

 





















_

_

_{ }









 

 Dimensión de una matriz: mxn; m filas y n columnas. Caso de matriz cuadrada nxn, se dice que es una matriz de orden n.

 Matrices iguales: La misma dimensión. Los elementos que ocupan el mismo lugar son iguales.

 Trasposición: Cambiar filas por columnas

 Rango: Número de filas (o columnas) linealmente independientes.  Clasificación de las matrices:

o Fila: una sola fila



a

₁

a

₂

a

_n



o Columna: una sola columna

1 2

n

a

a

a

 

 

 

 

 

 

o Cuadrada: Igual número de filas que de columnas o Simétrica: Cuadrada que coincide con su traspuesta:

;

t

ij ji

A



A a



a

o Nula: Todos los elementos son cero

o Diagonal: Cuadrada con elementos nulos fuera de la diagonal o Escalar: Diagonal con elementos iguales

o Identidad: Escalar con elementos unos en la diagonal principal

o Triangular: Cuadrada con elementos nulos por encima de la diagonal principal (inferior) o por debajo (superior).

Operaciones con matrices

 Suma de matrices: En matrices de la misma dimensión

a

_ij



b

_ij

 Propiedades

o Asociativa:

A





B



C

 



A



B





C

o Conmutativa:

A

  

B

B

A

o Neutro:

A

 

0

A

; 0 : Matriz nula

o Opuesto:

A

 

(

A

)



0

 Producto de una matriz por un número real: Multiplicar todos los elementos de la matriz por el escalar.

k a



_ij

 Propiedades

o Distributiva respecto a la suma de matrices

(

)

k A



B



kA kB



o Distributiva respecto a la suma de escalares



k



h A





kA hA



o Asociativa:

k hA

(

)



(

kh A

)

o

1

 

A

A

Con estas 8 propiedades el conjunto de matrices

M

_mxn

( )

tiene estructura de espacio vectorial

 Producto de matrices: Se multiplican filas por columnas. Para que sea posible el producto las columnas de la primera matriz deben coincidir con las filas de la segunda.

p

_ij



a b

_{i1 1j}



a b

_{i2 2j}

 

a b

_{in nj}  Propiedades

o Asociativa:

A B C







 



A B C







o En general NO conmutativo

A B

  

B A

o

A I

 

A

o









1 _{1 1}

t _{t t}

A B

B

A

A B



B



A



 

















 Consecuencias de no ser conmutativo el producto de matrices

o

A B

 

0 No implica que sea nula alguna matriz

o

A B

  

A C

No implica

B



C

o

2 2 2

2 2

(

)

2

(

)(

)

A

B

A

B

A B

A

B A

B

A

B

 





















Matriz Inversa

 Concepto:

A A



1



I

 Cálculo de la matriz inversa: 1



( )



t

Adj A

A

A



_

 Método de Gauss-Jordan: Se sitúa en una matriz la matriz A y a continuación la matriz identidad. Mediante operaciones elementales con las filas se logra a la izquierda la matriz unidad y a la derecha la matriz inversa de A

o



A

I







I

A

1



Determinante de una matriz cuadrada: A

 Concepto: Determinante de una matriz cuadrada es un número que se obtiene con todos los productos posibles (n!) cada producto con n factores de los n2 elementos de la matriz de forma que en cada producto figure un elemento de cada fila y uno de cada columna  Adjunto

( 1)i j ij ij

A     siendo ij el menor complementario del elemento

a

_ij que es un determinante que se obtiene al suprimir la fila

i

y la columna

j

1 1 2 2

det( )A a A_{i i} a A_{i i}  ... a A_{in in}

 Desarrollo por fila y columna

' 11 11 1 1 det( )A a A 



a a A_{p q pq}

' pq

A es el adjunto de a_pq en



₁₁

 Propiedades de los Determinantes

1. Una matriz y su traspuesta tienen el mismo determinante. 2. Al intercambiar dos lineas el determinante cambia de signo.

3. Si se multiplican los elementos de una línea por un número el valor del determinante queda multiplicado por dicho número.

4. Un determinante con dos líneas proporcionales ó iguales vale 0.

5. Si se suma a una línea una combinación lineal de otras paralelas, el determinante no varía.

6. Un determinante es igual a la suma de los elementos de una línea por sus adjuntos.

7. Si en un determinante se descomponen los elementos de una línea en dos sumandos, el determinante puede expresarse como suma de dos determinantes en los que todas las líneas son iguales al inicial salvo la descompuesta de modo que aparece el primer sumando en un determinante y el segundo sumando en el otro.

 Método de Gauss:

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES  Notación matricial

11 12 13 1 1 1 21 22 23 2 2 2 31 32 33 3 3 3

1 2 3

n

n

n

m m m mn n m

a a a a x b

a a a a x b

a a a a x b Ax b

a a a a x b

     

     

     

       

     

     

 _{    }

     

Matriz del Sistema: Matriz de dimensión mxn formada por los coeficientes Vector formado por las incógnitas: x. Las ecuaciones son de 1º grado. Vector formado por los términos independientes: b

 Sistemas equivalentes: Son sistemas con las mismas incógnitas y las mismas soluciones.

 Soluciones de un sistema: Conjunto de números que al sustituirlos por las incógnitas el sistema queda satisfecho.

o Incompatible: Sin solución o Compatible: Con solución

 Determinado: Solución única

 Indeterminado: Más de una solución

 Propiedades que hacen a un sistema equivalente a uno dado o Multiplicar los dos miembros de la ecuación por un número o Sumar a una ecuación otra del mismo sistema

 Resolución de Sistemas Lineales por el Método de Gauss: Transformar el sistema en otro equivalente cuya matriz sea escalonada.

o Si alguna ecuación resulta de la forma 0d d; 0 el sistema es incompatible.

o Si el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas el sistema es compatible determinado

o Si el número de ecuaciones es menor que el número de incógnitas el sistema es incompatible

 Resolución de Sistemas de Cramer: 1

1

det( , , , ) det( , , , )

n i

i n

C B C

x

C C C



Consiste en que cada solución es el cociente de dos determinantes el denominador es el determinante de la matriz del sistema y el superior es un determinante en el que se sustituye la columna i por la columna de términos independientes.

 Teorema de Rouché-Frobenius: Siendo A la matriz del sistema y A’ la matriz ampliada con los términos independientes

o Incompatible: rg A( )rg A( ')

o Compatible: rg A( )rg A( ')

 Determinado: rg A( )nº incógnitas

GEOMETRÍA AFÍN DEL PLANO

Sistema de referencia:



O i j; ,



El origen y dos vectores unitarios y ortogonales entre sí.

Vector de posición de un punto: OP xi yj



  .

 

x y, las coordenadas de P. Recta en el plano:

 Pendiente y ordenada en el origen:

: Pendiente : Ordenada en el origen

m tg y mx b

b



   _{ } 

 Ecuaciones de una recta:

o Vectorial: : y : vectores de posición de y : vector director de la reca ;

p a P A

AP p a u u





 

  _

 

o Paramétrica:









1 2 1 1

2 2 1 2

, ;

,

a a a x a u

y a u u u u





   

 

 _{ }  

 _

o Implícita: AxBy C 0

o Explícita: ymx b

o Punto-pendiente: ya₂ m x



a₁



o Continua: 1 2 1 2

1 2 1 2

( , ) ( , )

P a a x a y a

u u u

u u

  _ 

  

 Vector normal a una recta:

1 2

( ) ( ) ; ( , ) vector normal

A x a B ya n  A B

 Posición relativa de dos rectas:

Secantes: ' ;

' '

Paralelas: ' ;

' ' 0

C Coincidentes: ' ; = ( , );

' ' C' 1

Perpendiculares: ; ' ' 0 '

A B

m m

A B

A B

y mx b _{m m}

A B Ax By C

A B

m m n A B m tg

A B

m A A B B

m



 _{ }

    

 _  

 _{  }

 

 _{ }  _{ }

 _



      



 Ángulo de dos rectas:

2 2 2 2

' '

'

; cos

1 ' _{' '}

A A B B m m

tg

m m _{A B A B}



 



   

  _{ }

Distancias

 Distancia entre dos puntos: d P Q( , )



q₁p₁

 

2 q₂ p₂



2

 Distancia entre punto y recta: 1 2

2 2

( , ) A p B p C

d P r

A B

    

 Distancia entre 2 rectas paralelas: 1 2

2 2

' ( , ) ( , ) A p B p C

d r s d P s

A B

   

 



LUGARES GEOMÉTRICOS

Mediatriz de un segmento: Lugar geométrico de los puntos que equidistan de dos dados A y B

Bisectriz de dos rectas: Lugar geométrico de los puntos que equidistan de dos rectas r y s.

Cónicas:

 Ecuación de una circunferencia y sus elementos notables



 

2



2 2 1 2

1 2

1 2

2 2

2 2

( , ) : Centro : Radio

;

2 2

0

4 4

C c c

x c y c r

r

D E

c c

x y Dx Ey F

D E

r F



    _



 

  

    _{  }

   



 Ecuación de otras cónicas y sus elementos notables:  Elipse:

2 2

2 2 2 2 2

: Semieje mayor

1 : Semieje menor ; <1 (excentricidad) : Semidistancia focal

a

x y c

b b c a e

a b a

c

 

  _    

 

Vértices: ( ,0), '( ,0); (0, ), '(0, ). Centro: (0,0) Focos: ( ,0); '( ,0); ' 2

A a A a B b B b O

F c F c PF PF a

 

  

 Hipérbola:

2 2

2 2 2 2 2

: Semieje real

1 : Semieje imaginario ; >1 (excentricidad) : Semidistancia focal

a

x y c

b a b c e

a b a

c

 

  _    

 

Vértices: ( ,0), '( ,0); (0, ), '(0, ). Centro: (0,0) Focos: ( ,0); '( ,0); ' 2

A a A a B b B b O

F c F c PF PF a

 

  

Asíntotas: y b x y; bx

a a

  

 Parábola: x2 2py

Eje de simetría: . Parámetro: distancia entre Foco y Directriz

Vértice: (0,0). Directriz: . Foco: 0,

2 2

OY p

p p

O y F



  

 _{ }

 

 Implícita: F x y( , )0

 Explícita: y f x( )

Curvas en coordenadas polares

 Coordenadas polares: ( , ) : Distancia del punto al polo (origen) : Angulo de OP con el eje polar

r P r





  

 Conversión de unas coordenadas a otras

2 2 2

cos

( , ) ( , )

r x y

x r

P x y P r _y

y rsen tg

x









   

 _ 

 _ 



 _

GEOMETRÍA AFÍN DEL ESPACIO

Sistema de referencia: Sistema de referencia:



O i j k; , ,



El origen y tres vectores unitarios y ortogonales entre sí.

Vector de posición de un punto:

OP xi yj zk



   .



x y z, ,



son las coordenadas del punto P. Coordenadas de un vector en el sistema de referencia

1 2, 3 1 1 2 2 3 3

1 2, 3

( , )

( , , )

( , )

A a a a AB OB OA b a b a b a

B b b b

  

      _{ }



Coordenadas del punto medio del segmento AB (notación anterior)

3 3 1 1_, 2 2_,

2 2 2

a b a b a b

M      _

 

Ecuaciones de un plano:  Vectorial:

: vector de posición de P (punto genérico del plano) : vector de posición de A (punto fijo del plano) , : parámetros

, : vectores directores del plano

p a

p a u v

u v





 

      _

  

 Paramétrica:

1 2 3 1 1 1

2 2 2 1 2 3 3 3 3 1 2 3

( , , ) con ( , , )

( , , )

A a a a

x a u v

y a u v u u u u

z a u v v v v v













   



 _{  }  _

 

 _{  }  _

 

 Implícita

0

AxBy Cz  D

La ecuación implícita puede obtenerse:

1 1 1 2 2 2 3 3 3

0

x a u v y a u v z a u v



 



Ecuaciones de una recta:  Vectorial:

: vector de posición de P (punto genérico de la recta) : vector de posición de A (punto fijo de la recta)

: parámetro

: vector director de la recta

p a p a u

u





     _{ }

 

 Paramétrica:

1 1

1 2 3 2 2

1 2 3 3 3

( , , ) con

( , , )

x a u

A a a a

y a u

u u u u

z a u







  

   

 _{ }

   



 Continua: 1 2 3

1 2 3

z a x a y a

u u u

  _  _

 Implícitas: 0 Intersección de dos planos

' ' ' ' 0

Ax By Cz D A x B y C z D

    

 _{   }



Posición relativa entre recta y plano:  Recta contenida en el plano  Recta paralela al plano

 Recta que corta al plano en un punto Posición relativa entre dos planos:

' ' '

: 0

; ' : ' ' ' ' 0

'

' ' ' '

A B C

M

A B C

Ax By Cz D

A x B y C z D A B C D

M

A B C D





 _ 

  

   

   

 _{   } 

 

  _{ }



 _{ }



 Planos coincidentes: rg M( )rg M( ') 1

 Planos paralelos: rg M( ) 1 rg M( ')2

 Planos secantes: rg M( )rg M( ')2

Posición relativa entre tres planos:

' ' '

: 0

'' '' '' ' : ' ' ' ' 0 ;

'' : '' '' '' '' 0

' ' ' ' '

'' '' '' ''

A B C

M A B C

Ax By Cz D

A B C

A x B y C z D

A B C D

A x B y C z D

M A B C D

A B C D







  

 _ 

  

   

 _{  }

 _{   }   

 



 

 _{   } 

 _{ } _ 

 

 _{ }



  



o 3 planos paralelos

o 2 planos coincidentes y otro paralelo

 Se cortan en una recta: rg M( )rg M( ')2. Estudiar los casos o 2 planos coincidentes y otro que los corta en la recta o 3 planos que e cortan en la recta

 Cierto corte: rg M( ) 2 rg M( ')3. Estudiar los casos o Se cortan 2 a 2.

o 2 planos paralelos y otro que los corta  Se cortan en un punto: rg M( )rg M( ')3

Posición relativa entre dos rectas: Estudiar su posición relativa  Rectas coincidentes

 Rectas paralelas  Rectas secantes  Rectas que se cruzan

Haz de planos paralelos: AxByCz D 0 : , , fijos, con variableA B C D

Haz de planos secantes: AxByCz D





A x' B y' C z' D'



0

Ángulos:

o Entre dos Rectas: cos r s

r s

u u u u



 



o Entre dos Planos:





'

'

cos , ' n n ; vectores normales a los planos

n n

 

 

 

  

o Entre Recta y Plano:

 

, r

r

u n sen r

u n







  

Ortogonalidad y paralelismo entre Recta y Plano:

Ortogonales: : Paralelos: 0

r

r

r u n

u n









 



 _{ }



Proyección ortogonal de una Recta sobre un Plano: La proyección ortogonal de la recta r sobre el plano



es la recta que se obtiene como intersección del plano



con el plano



' perpendicular al plano



que pasa por la recta r.

Distancias:

 Entre dos puntos: d A B( , ) AB



x₂ x₁

 

2 y₂ y₁

 

2 z₂ z₁



2



      

 De un Punto a un Plano: 1 1 1

2 2 2

( , ) Ax By Cz D

d P

A B C



   

 

 Entre dos planos paralelos:

2 2 2

' ( , ') D D

d

A B C

 

 

 De un Punto a una recta: ( , )

r r

r

A P u d P r

u



 

 Entre dos rectas paralelas: d r s( , )d P r( , )s

 Entre dos rectas que se cruzan:

det , , ( , )

r s r s

r s

A A u u d r s

u u



 

 

 





Perpendicular común a dos rectas y mínima distancia: 1. Se toma el vector P P_{r s}



que une un punto genérico de r con otro genérico de s.

2. Se exige 0

0

r s r

r s s

P P u

P P u





 _{ } 



 _{ } 

3. Se resuelve el sistema y se sustituyen los valores de los parámetros obtenidos tanto en P P_{r s}



como en cada uno de los puntos.

4. La perpendicular común es la recta que pasa por P_r y P_s el módulo del vector d r s( , ) P P_{r s}



 es la mínima distancia siendo P_r y P_s los pies de la perpendicular común.

Volúmenes:

o Volumen del paralelepípedo: V det AB AC AD, ,

  

 

 _{ }

 

o Volumen del tetraedro: 1 1det , ,

6 6

T

V V AB AC AD

  

 

  _{ }

 

Ecuaciones de curvas y superficies en el espacio  Paramétricas e Implícitas de una superficie:

1 2 3

( , )

( , ) ( , , ) ( , )

x f t s

y f t s F x y z c z f t s

 

   

   

 Paramétricas e Implícitas de una curva:

1

1 1

2

2 2

3

( )

( , , ) ( )

( , , ) ( )

x f t

F x y z c y f t

F x y z c z f t

 

 

  

  _

  