Juan Carlos Marcos Sánchez Año 2013

Algunas contribuciones de Herón de

Alejandría a las matemáticas aplicadas.

Perspectiva histórica y moderna

Juan Carlos Marcos Sánchez

Contenido

1 Introducción 1

2 La obra de Herón 3

2.1 Relación de tratados . . . 5

3 La fórmula de Herón 9 3.1 Observaciones . . . 15

3.2 Otras pruebas de la fórmula de Herón . . . 18

3.2.1 Segunda prueba de la fórmula de Herón [14, 11] . . 18

3.2.2 Tercera prueba de la fórmula de Herón . . . 20

3.3 La fórmula de Herón y la generalización de Brahmagupta 22 3.4 Consecuencias . . . 22

3.5 Perspectiva moderna de la fórmula de Herón . . . 25

3.5.1 Triángulos de Herón . . . 27

3.5.2 Tetraedros heronianos . . . 31

4 Otras contribuciones de Herón a la matemática aplicada 33 4.1 Aproximación de la raíz cuadrada de un número . . . 34

4.2 Aproximación de la raíz cúbica de un número . . . 37

4.3 Las ecuaciones cuadráticas . . . 38

4.4 Algunas contribuciones en Geometría . . . 40

4.4.1 Volúmenes de algunos cuerpos geométricos . . . . 41

5 Conclusión 45

SECCIÓN 1

Introducción

Herón el Viejo, conocido también comoHerón de Alejandría, es popular en el contexto matemático actual, principalmente por la fórmula que recibe su nombre, la fórmula de Herón, que determina el área de un triángulo conocidos sus ladosa,byc, dada por:

∆=

q

s(s a)(s b)(s c) (1.1)

dondesrepresenta el semiperímetro del triángulo, es decir, s = a+₂b+c. Sin embargo quizá sea más desconocida su faceta real de ingeniero mecánico o incluso de agrimensor. En estas notas pretendemos dar una imagen aproximada de la traza matemática de este ilustre científico del siglo I d.C., revisando en la medida de lo posible su faceta como tecnó-logo. Por supuesto, y haciendo honor al título de este trabajo, buceare-mos en el elenco de propuestas que este célebre griego nos ha dejado a nivel práctico, y estudiaremos cómo han evolucionado algunas de ellas históricamente.

Los datos referentes a su vida son algo confusos. De origen humilde, parece ser que fue zapatero en su juventud. Algunas tendencias han apuntado a dos posibles etapas de referencia sobre su existencia: una afirma que vivió alrededor del 150 a.C., la otra que lo hizo entorno al 250 d.C. Sin embargo,Neugebaueren 1938 descubrió una alusión que Herón hizo en uno de sus trabajos a un eclipse reciente, que ha sido posible iden-tificar con uno que aconteció en Alejandría, ciudad natal (seguramente) de Herón, el 13 de Marzo del año 62. Actualmente se data su nacimiento sobre el año 10 d.C., y su desaparición sobre el 75 d.C. (datación debida aHoward Eves).

Fig. 1.1: Aunque no nos han llegado imágenes de Herón, esta imagen suya es una representación artística perteneciente a una traducción alemana de su

Pneumatica, edición que data del año 1688.

Sea como fuere, lo que sí es seguro es que Herón vivió posterior-mente aArquímedes. Decimos esto pues se ha podido constatar que Ar-químedes influyó notablemente en la obra de Herón, dado que usó re-sultados precisos suyos frecuentemente [7, p. 162]; al parecer, incluso la fórmula atribuida a Herón ya era conocida por el propio Arquímedes1_. Estos comentarios no pretenden inducir una idea equivocada de la figura de Herón que pueda atemperar su calidad o categoría como matemático. La fórmula fue demostrada por él de una manera podríamos decir es-cabrosa, pues utilizó una prueba geométrica realmente intrincada, pero no por ello menos ingeniosa o elegante, provista de razonamientos geo-métricos ciertamente abstractos. Por otra parte, sería algo injusto recor-dar a Herón únicamente por la fórmula que lleva su nombre, y olvirecor-dar su contribución a las matemáticas eminentemente prácticas o aplicadas. In-tentaremos en estas notas ayudar a profundizar en sus virtudes (y caren-cias) matemáticas y dejaremos al lector que decida en qué nivel de im-portancia se ha de colocar a la figura de Herón.

SECCIÓN 2

La obra de Herón

Herón fue un escritor eminentemente práctico, y sus obras tenían un marcado carácter recopilatorio y enciclopédico. Trataban sobre temas de índole matemática o física. De los escritos que realizó es razonable de-ducir que enseñó en elMuseo en Alejandría1_{. Sus trabajos realmente} pare-cen apuntes o notas sobre cursos que pudo impartir sobre Matemáti-cas, Física, Neumática2y Mecánica. Unos claramente son libros de texto, mientras que otros son aparentemente borradores de notas de lectura preparadas para futuros libros de texto de estudiantes [9].

Pappus3_{relató la contribución de la obra de Herón en el Libro VIII de} 1_{Tras la muerte deAlejandro Magno, los territorios conquistados en Asia Menor, Oriente} Medio, Oriente Lejano y África fueron repartidos entre los generales del conquistador. El sucesor de Alejandro en Grecia,Casandro de Macedonia, ayudó aDemetrio de Faleroa llegar al poder en Atenas. Como gobernante de Atenas, hizo venir aTeofrasto,miembro de laescuela peripatética(la escuela peripatética fue un círculo filosófico que seguían las enseñanzas de su fundador,Aristóteles, quien la fundó en 335 a. C., abriendo su primera escuela filosófica en elLiceo en Atenas), para fundar unLiceoal estilo de laAcademia de Platón. Años después, Demetrio fue destronado y desterrado. Mientras tanto,Ptolomeo, uno de los generales de Alejandro, se consolidó como rey del Egipto conquistado. Allí era conocido comoPtolomeo I Sóter. Ptolomeo invitó a Teofrasto a hacerse cargo de la educación de su heredero, invitación que éste rechazó en favor de Demetrio de Falero

Sería precisamente Demetrio quien sugirió a Ptolomeo la idea de crear un gran centro de investigación en la ciudad deAlejandría, fundada por Alejandro Magno en el año 332 a.C. en el delta del Nilo. Este centro de investigación, que se debería llamarMuseo, también tendría unaBibliotecaligada a él (labiblioteca de Alejandría) de gran importancia. Se estima que la fecha de la fundación de estas dos instituciones fue alrededor del 290 a.C., cuando seguramente se iniciaron las obras de dichas instituciones.

2_{Laneumáticaes la tecnología que emplea el aire comprimido como modo de transmisión}

de la energía necesaria para mover y hacer funcionar mecanismos (fuente: Wikipedia).

3_{Pappus de Alejandríafue el último gran matemático de la escuela alejandrina. Se le}

conoce principalmente por suscomentariosa losElementosdeEuclidesy alAlmagestode

susColecciones Matemáticas. En él, Pappus escribió [9]:

Los mecánicos de la escuela de Herón dicen que la Mecánica puede dividirse en partes teórica y práctica; la parte teórica se compone de geometría, aritmética, astronomía y física, la parte práctica de la metalurgia, arquitectura, carpintería y pintura y cualquier cosa que tenga que ver con el uso de las manos.

[...] los antiguos también describen como mecánicos a los asombrosos trabajadores, de los que algunos trabajan por medio de la neumática, como Herón en su Pneumatica, algunos usando cuerdas y sogas, queriendo imitar los movimientos de las cosas vivas, como Herón en sus Autó-matas y Balanzas,... o usando agua para predecir el tiempo, como Herón en su Hydria, que parece tener afinidades con la ciencia de la predicción del tiempo mediante el sol.

La influencia de Arquímedes en sus obras está acompañada también de reminiscencias de las matemáticas mesopotámica y egipcia. Por un lado, Herón investigó sobre las configuraciones geométricas desde un punto de vista práctico o geodésico4. Proporcionó técnicas para dar la solución de un determinado problema geométrico sin pretender ser pre-ciso en los resultados o valores obtenidos. Estamos frente a una con-ducta semejante a la presentada en la matemática mesopotámica, en la que nunca se detallaba la distinción entre lo que era una medida exacta o una aproximada. Sin embargo, ello no significó que Herón no fuese riguroso en sus razonamientos, llegando a demostrar resultados nuevos de la geometría euclídea. Pese a todo, Herón dedica sus mayores esfuer-zos no en la geometría clásica sino en técnicas de medición, y en oca-siones proporcionó diversos resultados de aproximación sin justificación alguna. En este sentido aparece claramente influenciado por diversas téc-nicas egipcias, dejándose impregnar por su carácter, incluso en el ámbito geométrico. Es evidente la orientación práctica de su obra, dirigida pre-dominantemente a estudiantes, agrimensores, albañiles o técnicos en ge-neral.

Ptolomeo. Su obra principal fueColección matemática, una colección de los conocimientos

matemáticos de su época (siglos III-IV).

La obra de Herón 5

2.1

Relación de tratados

En este apartado nos hemos basado en las referencias [5, 6, 11]. Una ex-tensa lista de trabajos atribuidos a Herón han conseguido llegar hasta nuestros días, si bien la autoría de algunos de ellos está todavía por cla-rificar. Estos trabajos se agrupan en varias categorías: trabajostécnicos, sobremecánicaymatemáticos. Se proporciona seguidamente una relación de los más relevantes.

1. Métrica. La historia de esta obra es ciertamente detectivesca. Se tuvo conocimiento de ella durante mucho tiempo por los matemáti-cos, pues fue citada por el comentador Eutocio en el siglo VI d.C., pero no se conocía el paradero de ningún ejemplar, hasta que en 1894 el historiadorPaul Tanneryencontró un fragmento de ella en un escrito parisiense del siglo XIII. Por fin, en 1896R. Schöne encon-tró un manuscrito completo en la ciudad turca de Constantinopla, editado posteriormente por su hijoH. Schöne.

Métrica es una recopilación de métodos de medición que consta de tres libros. En el libro I, Herón trata el área de figuras planas: triángulos, cuadriláteros, polígonos regulares de 12 lados, superfi-cies de conos, cilindros, prismas, pirámides, esferas, etc. También da un método, conocido ya por los babilonios dos mil años antes para obtener una aproximación de la raíz cuadrada de un número. Herón da el procedimiento a semejanza de los babilonios, propor-cionando una «receta» para un caso particular. Describiremos de-talladamente más adelante este procedimiento de cálculo. Es tam-bién de este libro (capítulo I) la fórmula del área de un triángulo descrita en (1.1), más concretamente en la Proposición I.8. En el Li-bro II, Herón trata la medida del volumen de varias figuras en el espacio, como esferas, cilindros, conos, prismas, pirámides, etc. El Libro III tiene que ver con la división de volúmenes y áreas según una proporción dada. Este problema ya fue tratado e investigado porEuclides, de manera que este libro tiene mucho en común con el trabajo de aquél. Herón también da en este libro un método para calcular la raíz cúbica de un número. En particular, Herón deter-mina la raíz cúbica de 100. La forma de hacerlo ha sido generali-zada posteriormente, por lo que nos resultará interesante estudiar dicha generalización5_.

2. Sobre la Dioptra. Esta obra comienza (capítulos I a V) con el

estu-5_{Véase §4.2.}

Fig. 2.1:Instrumentos ideados por Heron: la dioptray unnivel.

dio de ladioptra6, un instrumento que sirvió a los antiguos para el mismo propósito que un teodolito en la actualidad. Después tratará problemas de agrimensura. Los problemas sobre los que versa se pueden catalogar en tres tipos:

(a) Alturas y distancias (b) Ingeniería.

(c) Medida.

Contiene un capítulo sobre astronomía en el que da un método para encontrar la distancia entre Alejandría y Roma usando la diferencia entre las horas locales y un eclipse lunar observado en cada ciudad. También es de esta obra un método para excavar un túnel bajo una montaña trabajando conjuntamente desde los extremos.

3. Pneumatica, obra formada por dos libros, sobre aparatos mecáni-cos que funcionan con aire, vapor o presión de agua. Es destaca-ble reseñar que en su prefacio se trata el concepto de vacío de forma científica por primera vez. El primer libro consta de 43 capítulos, y el segundo de 37. Herón comienza esta obra con diversas considera-ciones teóricas sobre presión de fluidos. Es curioso observar en ella cómo existen diversas teorías que son ciertamente erróneas, si bien se aprecian otras correctas. Le siguen diversas descripciones de lo que bien podrían ser juguetes mecánicos para niños.

Al final deDioptrahay una descripción de unodómetro, un sistema de engranajes combinados (de ruedas dentadas) que servía para

6_{Ladioptraes un instrumento astronómico que usaban los astrónomos griegos para}

La obra de Herón 7

contar las vueltas de una rueda y por extensión la longitud de dis-tancias recorridas por móviles provistos de ruedas. En esta obra Herón también menciona un trabajo suyo sobre relojes hidráuli-cos, constituido por cuatro libros, obra que también fue aludida por Pappus, pero de la que no nos ha llegado más que fragmentos suyos procedentes de Proclus(Hypotyposis, capítulo IV) y del pro-pio Pappus en diversos comentarios sobre la Sintaxis de Ptolomeo reproducida porTheon de Alejandría [6].

Es interesante también destacar que de entre las más de cien máquinas que describe en esta obra, Herón habla de la eolipila, una invención precursora de la turbina de vapor. La Enciclopedia Británicadescribe la eolipila como sigue:

La eolipila era una esfera hueca montada de forma que pudiera girar sobre un par de tubos huecos que proveían vapor a la esfera procedente de un caldero. El vapor escapaba de la esfera por uno o más tubos inclinados que sobresalían de su ecuador, causando que girara la esfera. La eolipila es el primer aparato conocido que transforma el vapor en movimiento giratorio.

4. El Teatro Autómata. En este trabajo Herón describe un teatro de marionetas que funciona mediante cuerdas, bidones y pesas. Esta obra es también llamadaSobre el arte de la construcción de autómatas. 5. Belopoeïca. Esta obra trata de la construcción de máquinas de guerra. Tiene algunas similitudes con el trabajo de Philony tam-bién con el trabajo deMarco Polión Vitruvio, que fue un arquitecto e ingeniero romano que vivió durante el siglo I d.C. en el Imperio del César Augusto.

6. Quirobalista. Es un tratado sobre catapultas. Fue pensado para for-mar parte de un diccionario de catapultas, pero es casi seguro que Herón no llegara a terminarlo.

7. Mecánica. Herón escribió un importante número de tratados so-bre mecánica. Dio métodos de levantamiento de grandes pesos y describió máquinas de mecanismos simples. De su Mecánica sólo han llegado hasta nosotros fragmentos del griego original en tres libros. En particular, esta obra aborda bastante minuciosamente las ideas debidas a Arquímedes. El libro I examina cómo construir for-mas tridimensionales en una proporción dada de una determinada figura. También examina la teoría del movimiento, ciertos proble-mas sobre estática y la teoría de la balanza. En el libro II Herón discute el levantamiento de objetos pesados con una palanca, una

polea, una cuña o un tornillo. Hay también un estudio sobre cen-tros de gravedad de figuras planas. El libro III examina métodos de transporte de objetos por medios como trineos o el uso de manive-las y echa un vistazo a manive-las prensas del vino.

8. Definiciones. Contiene 133 definiciones de términos geométricos empezando con puntos, líneas, etc.W.R. Knorr[8] proporciona ar-gumentos que apuntan a que este trabajo en realidad es debido a Diofanto.

9. Geometría. Parece más bien una versión diferente del primer capí-tulo de laMétricabasado por completo en ejemplos. Aunque se fun-damenta en la obra de Herón, no se escribió para ella.

10. Estereométrica I y II. En estos trabajos Herón mide objetos tridi-mensionales. Están basados, al menos en parte, en el segundo capí-tulo de la Métrica, igualmente con ejemplos.

11. Mensurae. Mide una variedad entera de diferentes objetos y está conectado con partes de Stereometrica y Metrica, aunque debe ser principalmente el trabajo de un autor posterior.

12. Catóptrica. Varios historiadores han atribuido esta obra aPtolomeo, aunque actualmente la mayoría vuelven a creer que es una obra genuina de Herón. Aquí Herón investiga fenómenos físicos de flexión de la luz con los espejos. Herón pensaba que la visión re-sultaba de rayos luminosos emitidos por los ojos. Creía que esos rayos viajaban a una velocidad infinita. Contiene problemas cuyo propósito es construir espejos o combinaciones de ellos para refle-jar objetos en una determinada dirección. Por ejemplo, para hacer que un objeto se refleje en un espejo tal y como se observaría en la realidad, o para conseguir que una persona pudiera observar su espalda, o incluso para distorsionar imágenes, utilizándose en algu-nas situaciones espejos cóncavos o convexos. Herón establece aquí elprincipio de mínima distanciadel trayecto recorrido por la luz, y de-muestra laley fundamental de la luz, por la que el ángulo de inciden-cia de un rayo de luz en un espejo es igual al ángulo de reflexión.

SECCIÓN 3

La fórmula de Herón

Como se ha descrito en la introducción, Herón es conocido sobre todo por la fórmula que lleva su nombre (fórmula 1.1), que determina el área de un triángulo conocidos sus lados. Esta fórmula tiene evidentemente una aplicación práctica muy interesante, pues podemos usarla para medir por ejemplo la superficie de cualquier recinto poligonal cerrado realizando una triangulación en él y midiendo los lados de los triángulos obtenidos. Así, el área de un recinto como el de la figura 3.1 puede ser obtenida mediante la triangulación que se construye en base a un punto interior. Midiendo todos los segmentos que aparecen, es fácil determinar el área total como la suma de las áreas de los triángulos obtenidos. Todo ello sin necesidad de obtener la altura de ninguno de ellos. Este problema podemos encontrarlo por ejemplo cuando deseamos computar el área de una parcela de terreno.

La fórmula ∆ = ps(s a)(s b)(s c)del área de un triángulo de lados a, b, c y semiperímetro s ha sido atribuida desde hace bastante tiempo a Arquímedes quien conocía una demostración seguramente diferente a la dada por Herón, la cual es un paradigma de prueba geo-métrica abstracta, aunque muy laboriosa. Creemos que aunque Herón no fuese el primero en obtenerla, esta fórmula bien puede hacerse merece-dora de llevar su nombre, pues la manera de probarla es realmente heroi-ca, toda una conquista (haciendo un juego de palabras, a Herón también se le ha llamado en lengua anglosajonaHero, es decir,héroe), pero también muy ingenua: veremos un par de demostraciones de la fórmula de Herón que perfectamente se pueden integrar en el currículum de educación se-cundaria, y que son mucho más directas que la del ilustre griego.

Por otra parte, si realizásemos un análisis retrospectivo de las

Fig. 3.1:Triangulación de un recinto para obtener su área, usando la fórmula de Herón.

ciones de esta fórmula, podríamos advertir que aunque es sencilla y ele-gante, en la época de Herón era una fórmula con un problema añadido: la aparición en ella de un radical cuadrático era un inconveniente en el siglo I d.C. Podemos entender entonces que Herón acudiera a métodos numéricos antiguos (babilónicos) para aproximar mediante un número racional el valor de una raíz inexacta.

Estudiemos detenidamente cómo probó Herón «su» fórmula.

Teorema 3.1 Para un triángulo de ladosa,byc, y área∆, se cumple que:

∆=qs(s a)(s b)(s c),

dondeses el semiperímetro del triángulo, es decir,s= 1₂(a+b+c).

Demostración según Herón [5]. En la demostración, Herón usa algunos resultados geométricos importantes que no demostramos aquí. Estos re-sultados son los siguientes:

R-1 Las bisectrices de los ángulos de un triángulo se cortan en un punto que es el centro del círculo inscrito en el triángulo, denominado

incentro. Esta proposición fue probada por Euclides.

La fórmula de Herón 11

R-3 En un triángulo rectánguloBAC, córtese por la mitad el lado ABen

Dy constrúyase DMperpendicular a AB. Al trazarMA, entonces el triángulo MAD4 es congruente con MBD.4

R-4 Si AHBOes un cuadrilátero con las diagonales AByOH, y si H AB[

y HOB[ son ángulos rectos, entonces se puede trazar un círculo que pase por los vértices A,O,By H.

R-5 Los ángulos opuestos de un cuadrilátero cíclico (inscrito en una cir-cunferencia) suman dos ángulos rectos.Este resultado también fue demostrado porEuclides.

Consideremos un triángulo de vérticesA,ByC, y lados opuestosa,b ycrespectivamente. Podemos suponer sin pérdida de generalidad que el ladoABes de mayor o igual tamaño que los otros lados. Consideremos

su circunferencia inscrita centrada en el incentro(punto de corte de las bisectrices de los ángulos interiores) y searsu radio.

Los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita con el triángulo los denominaremosDen el ladoAB,Een el ladoBCyFen el ladoCA. Representaremos asimismo porOal incentro.

Fig. 3.2: IncentroO, inradio r y circunferencia inscrita de un triángulo arbi-trario de lados a,by c.

Del hecho de que el área del triángulo rectángulo sea obviamente la

suma de las áreas de los triángulosAOB,4 BOC,4 AOC, se obtiene que:4

∆= ar

2 + br

2 + cr

2 =r

a+b+c

2 =rs

expresión que relaciona el área del triángulo con el inradio y el semi-perímetro. Sin embargo, aunque pueda parecer que la prueba de la fór-mula de Herón está cerca, la realidad es bien distinta.

Es fácil comprobar la congruencia entre los siguientes pares de trián-gulos:

4

AOD AOF4 BOD4 BOE;4 COE4 COF4

de donde los lados correspondientes serán iguales y entonces será:

AD=AF, BD=BE, CE=CF, y los ángulosAOD[ =AOF,[ BOD[ =[BOE,COE[ =[COF.

La fórmula de Herón 13

semiperímetro del triángulo original. En efecto:

BG = BD+AD+AG=BD+AD+CE= 1

2(2BD+2AD+2CE)

= 1

2[(BD+BE) + (AD+AF) + (CE+CF)]

= 1

2[(BD+AD) + (BE+CE) + (AF+CF)]

= 1

2(AB+BC+AC) = 1

2(c+a+b) =s ComoBG=s, no es difícil comprobar que:

(a) s c=AG. (b) s b=BD. (c) s a=AD.

Fig. 3.3: Construcción realizada durante la demostración de la fórmula de Herón.

A continuación, trazaremos la rectaOLperpendicular aOB, cortando al lado ABen un punto que llamaremosK. Construiremos también una

recta perpendicular a BGdesde A, que es secante conOLen un punto que llamaremos H. Asimismo, consideraremos la recta BH. Por R-4el cuadrilátero AOBHes cíclico, por lo que los ángulos opuestos AHB[ y

[

AOBsuman 180 .

Por otra parte, los ángulos de vértice el incentro representados por

α = FOC[ = COE,[ β = [EOB = BOD[ yγ = FOA[ = AOD[ cumplen

trivialmente que 2α+2β+2γ=360 , es decir,α+β+γ=180 . Como β+γ= AOB, entonces[ α+AOB[ =180 =AHB[+AOB, de manera que[

entonces seráα=AHB[ ( ).

Podemos observar que el triánguloCOF4 es semejante alBH A4 puesto que los ángulosCFO[yBAH[ son rectos y tienen un ángulo igual: α =

[

AHB. De esta semejanza se puede obtener la proporción entre los lados homólogos de los triángulos que sigue:

AB AH = CF OF = AG r (3.1)

pensando queCF=AG y OF = r.

Por otro lado, también el triángulo KAH4 es semejante a KDO4 pues los ángulos KAH[ y KDO[ son rectos, y los ángulos AKH[ y DKO[ son iguales por ser opuestos por el vértice. De nuevo la semejanza entre esos triángulos arroja las siguientes relaciones de proporcionalidad:

AH AK = OD KD = r KD ) AH r = AK KD.

Teniendo en cuenta la relación dada en (3.1), es fácil obtener la siguiente:

AB AG =

AK

KD. (3.2)

Seguidamente, consideremos el triánguloBOK4 cuya altura esOD =

r. PorR-2, los triángulosKOD4 y ODB4 son semejantes, por lo que KD

r = r

BD ,KD BD=r

2_{. (3.3)}

Podemos hacer ahora que

AB AG +1=

AK KD+1,

AB+AG

AG =

AK+KD

KD ,

BG AG =

La fórmula de Herón 15

De lo anterior, si multiplicamos en el primer miembro porBG/BGy en el segundo porBD/BDla igualdad seguirá siendo cierta, con lo que:

BG2 AG BG =

AD BD KD BD

por (3.3)

= AD BD

r2 .

De la igualdad entre las razones anteriores se desprende que los pro-ductos cruzados coinciden, por lo que:

r2 BG2=AG BG AD BD.

Por último, y atendiendo a relaciones encontradas con anterioridad, podemos decir que

r2s2= (s c)s(s a)(s b) =s(s a)(s b)(s c), de donde:

∆=r s=qs(s a)(s b)(s c)

como se deseaba probar.

3.1

Observaciones

Como ya se advirtió, la prueba que Herón proporcionó de su fórmula es realmente complicada por los continuos vaivenes que realiza en sus razonamientos, con argumentos que a priori no indican que lleven a una prueba inmediata. El primer motivo por el que esta prueba parece inusitadamente confusa, tras observar los complejos caminos por los que parece discurrir, es el hecho de inscribir una circunferencia en el triángulo, pues las propiedades de los círculos no tienen una conexión aparentemente evidente con el área de un polígono triangular, que es una figura rectilínea [5].

Tras unos primeros razonamientos, Herón encuentra unas relaciones para los elementos de la fórmula final, lo que podría indicar que Herón ya pudiera conocer la fórmula antes de ser demostrada, y la prueba no es más que el reflejo de una meta prefijada, no el fruto de unos razona-mientos que quizá por fortuna o bien por azar pudieran haberle llevado a la meta final. Argumentamos entonces que la tediosa prueba es el fruto de la obstinación de nuestro ilustre matemático por probar algo que le era conocido, lo que refuerza la idea de que Herón era un matemático eminentemente práctico, pero no por ello descuidaba asentar sus razona-mientos sobre pilares sólidos, rigurosamente bien estructurados. Nuestro parecer no advierte que fuese un matemático menor; la prueba que dio de su fórmula así lo indica.

Fig. 3.4:Circunferencia inscrita e incentro.

Uno de los puntos clave de su demostración, siguiendo aW. W. Dun-ham, fue llegar a la igualdad marcada por un( )en la prueba anterior, que aunque en el momento de su aparición no parecía que fuese determi-nante, en los razonamientos sucesivos se comprueba que es un elemento de especial importancia en la semejanza de determinados triángulos y por tanto en la obtención de las relaciones que probarán la fórmula final. Tras una serie de relaciones que Herón encuentra, resulta realmente magnífico apreciar cómo este matemático griego encaja todos los resulta-dos obteniresulta-dos de una manera sublime pero a la vez rigurosa. Esta capaci-dad de coordinar lo que parecía un galimatías es lo que nos parece más glorioso (o «heroico») de su demostración.

En la prueba de la fórmula de Herón aparecen elementos geométricos de un triángulo, como elincentro, elinradioy lacircunferencia inscrita. En algunos problemas encontrados en las colecciones heronianas aparecen las fórmulas:

a,b= (r+s)

p

(r+s)2 _8rs 2

siendoayblos catetos de un triángulo rectángulo de perímetro 2se in-radior. Nos parece interesante y útil mostrar de dónde procede la expre-sión anterior.

En un triángulo (rectángulo o no), sabemos que el incentro es el centro de la circunferencia inscrita, el cual está determinado por las bisectrices de los ángulos de dicho triángulo. Gráficamente podemos visualizar la situación con un ejemplo para un triángulo rectángulo (véase la figura 3.4).

La fórmula de Herón 17

concurren en los puntos de tangencia de la circunferencia con el trián-gulo rectántrián-gulo de referencia. Estas líneas discontinuas determinan tam-bién las alturas de los tres triángulos, que apoyándose en los lados del triángulo original, se distinguen mediante las bisectrices resaltadas.

Del hecho de que el área del triángulo rectángulo A = a b₂ sea ob-viamente la suma de las áreas de los tres triángulos menores descritos anteriormente, se obtiene que (véase la primera prueba de la fórmula de Herón): ab 2 = ar 2 + br 2 + hr 2 =r

a+b+h

2 =rs,

de donde obtenemos una primera relación de interés:

ab=2rs. (3.4)

De (3.4) podemos decir que:

r= ab

2s = ab a+b+h.

Teniendo en cuenta además que el triángulo original es rectángulo, se cumplirá el teorema de Pitágoras en él, por lo queh2_=a2_+b2_{. Entonces:}

r+s = ab

a+b+h +

a+b+h

2 =

(a+b+h)2_+2ab 2(a+b+h) = a

2_+b2_+h2_{+2ab+2ah+2bh+2ab} 2(a+b+h)

= 2(a

2_+b2_{) +4ab+2h(a+b)} 2(a+b+h)

= a

2_+b2_+2ab+h(a+b) a+b+h

= (a+b)

2_+h(a+b) a+b+h =

(a+b)(a+b+h)

a+b+h

= a+b, es decir,

a+b=r+s. (3.5)

De las relaciones (3.4) y (3.5) obtenidas, deducimos que los catetosay bdel triángulo rectángulo cumplen el siguiente sistema de ecuaciones:

x+y=r+s x y=2rs ,

y cada uno de los valoresxeyque determinan la solución del sistema an-terior, como es sabido,satisfacen igualmente la ecuación cuadráticasiguiente:

z2 (r+s)z+2rs=0.

Por último, aplicando la fórmula de obtención de las soluciones de la ecuación cuadrática para la ecuación anterior, se sigue que:

a,b = z= (r+s)

p

( (r+s))2 _{4 2rs} 2

= (r+s)

p

(r+s)2 _8rs

2 ,

deduciéndose de esta forma las expresiones originales.

3.2

Otras pruebas de la fórmula de Herón

Existen al menos otras dos pruebas distintas a la proporcionada por Herón de su famosa fórmula, que la demuestran de una manera más di-recta. Una de ellas es una prueba trigonométrica, la otra es una prueba geométrico-algebraica. Por su relativa sencillez creemos que merecen ser presentadas en estas notas, pues bien podrían incluirse en el currículum de Matemáticas de un curso de secundaria o quizá de Bachillerato.

3.2.1

Segunda prueba de la fórmula de Herón [14, 11]

Sean a, b y c las longitudes de los lados de un triángulo arbitrario. Podemos suponer que ces mayor o igual queay bsin pérdida de ge-neralidad. Llamaremoshal valor de la altura del triángulo respecto dec. Es claro que esta altura es interior al triángulo.

El semiperímetro ess= a+b+c

2 , de modo que podemos establecer las siguientes relaciones:

2s=a+b+c 2(s a) = a+b+c

2(s b) =a b+c 2(s c) =a+b c

Sean pyqlas proyecciones deaybsobre el ladoc, respectivamente. Es evidente quep+q=c. Aplicando el teorema de Pitágoras sobre cada uno de los triángulos rectángulos determinados porhtendremos:

La fórmula de Herón 19

Fig. 3.5:Elementos del triángulo usados en la segunda prueba de la fórmula de Herón.

Comoq=c p, entonces

q2= (c p)2=c2 2cp+p2;

sumando en ambos términosh2y aplicando el teorema de Pitágoras ob-tendremos:

h2+q2=h2+c2 2cp+p2)b2=a2 2cp+c2,

y despejandop:

p= a

2_+c2 _b2

2c .

Seguidamente, comoh2 = a2 p2entonces h = pa2 _p2_{y entonces} será:

∆ = ch

2 = 1 2c

s

a2 a

2_+c2 _b2 2c

2

= 1

2

s

(ac)2 a2+c2 b2 2

2 .

Elevando al cuadrado:

∆2 ₌ 1

4

(2ac)2 (a2+c2 b2)2

4

= 1

16

h

(2ac)2 (a2+c2 b2)2i

= 1

16((2ac) + (a

2_+c2 _b2_{))((2ac) (a}2_+c2 _b2₎₎

= 1

16((a+c)

2 _b2_)(b2 _{(a c)}2₎

= (a+c+b)(a+c b)(b+a c)(b a+c)

16

= (a+b+c)( a+b+c)(a b+c)(a+b c)

16

= 2s 2(s a) 2(s b) 2(s c)

16

= s(s a)(s b)(s c).

Se desprende de forma inmediata la fórmula de Herón.

En la demostración anterior sólo se ha utilizado esencialmente argu-mentos algebraicos, apoyados por la tradicional fórmula del área de un triángulo y del teorema de Pitágoras, lo que choca frontalmente con la aportada por Herón. Ello nos hace pensar que Herón estaba matemática-mente más adiestrado en métodos numéricos y geométricos (que en pro-cedimientos algebraicos), influido posiblemente por babilonios y egip-cios en los primeros, y por Arquímedes y Euclides en los segundos.

Hemos querido también introducir la demostración anterior pues permite hacer algunas consideraciones prácticas más generales que aportaremos más adelante.

3.2.2

Tercera prueba de la fórmula de Herón

Podemos suponer sin pérdida de generalidad que el lado mayor del triángulo de lados a, by c es a. En tal caso, la alturah de dicho trián-gulo viene dada por la expresión h = c senB, donde B es el ángulo determinado porayc(véase la figura 3.6).

El área del triángulo vendrá dada por:

∆= a h

2 =

a c senB

2 . (3.6)

La fórmula de Herón 21

Fig. 3.6: Elementos de referencia en la demostración trigonométrica de la fórmula de Herón.

Despejando cosB,

cosB= a

2_+c2 _b2

2ac .

Del hecho de que sen2_{B=1 cos}2_{B, y teniendo en cuenta que de (3.6)} se obtiene despejando que senB= 2_ac∆, tenemos que:

2∆ ac

2

= 1 a

2_+c2 _b2 2ac

2

, 16∆

2

4a2_c2 =

4a2_c2 _a2_+c2 _b2 2 4a2_c2

, 16∆2= (2ac)2 a2+c2 b2 2

, 16∆2= 2ac+a2+c2 b2 2ac a2 c2+b2 , 16∆2=h(a+c)2 b2i hb2 (a c)2i

, 16∆2= (a+c+b)(a+c b)(b+a c)(b a+c),

donde hemos hecho uso reiteradamente de las conocidas identidades no-tables. Notando por 2s=a+b+cal perímetro del triángulo, de lo ante-rior se sigue que:

16∆2 = (a+c+b)(a+c b)(b+a c)(b a+c) = 2s 2(s b) 2(s c) 2(s a)

, ∆2=s(s b)(s c)(s a).

La fórmula de Herón se obtiene ya de forma inmediata.

3.3

La fórmula de Herón y la generalización de

Brahmagupta

Un resultado interesante que se deriva de la fórmula de Herón es la ge-neralización descubierta por el matemático hindú Brahmagupta alrede-dor del año 620 d.C. [15]. Este matemático observó que el radicando que aparece en la fórmula de Herón está constituido por un producto de fac-tores simétricos, a saber:

a+b+c a+b c a b+c a+b+c

Si completásemos de forma simétrica con un nuevo sumando los factores anteriores, llamémosled, restándolo al primer factor y sumándolo a los otros tres, obtenemos las siguientes expresiones:

a+b+c d a+b c+d a b+c+d a+b+c+d que determinan de una manera directa lafórmula del área de un cuadrilátero cíclico, es decir, inscrito en un círculo, cuya fórmula es:

∆= 1

4

q

(a+b+c d)(a+b c+d)(a b+c+d)( a+b+c+d)

En el caso particular de que sea d = 0, es decir, el cuadrilátero es un triángulo, se deduce de forma inmediata la fórmula de Herón, por lo que la fórmula de Brahmagupta la generaliza efectivamente.

Queda decir para finalizar que la fórmula del área de un cuadrilátero arbitrario viene dada por la siguiente expresión:

∆ = 1₄p[(a+b+c d)(a+b c+d)(a b+c+d)( a+b+c+d)

16 abcd cos2α],

donde α es el ángulo mitad de la suma de dos ángulos opuestos del

cuadrilátero. En particular, si el cuadrilátero es cíclico, entoncesα=90 ,

derivándose de aquí la fórmula de Brahmagupta.

3.4

Consecuencias

De la fórmula de Herón se pueden deducir algunas cuestiones prácticas de interés. Aquí presentamos algunas.

La fórmula de Herón 23

2. En un triángulo de ladosa,b,c, si se cumple la relación: s(s c) = (s a)(s b),

entonces el triángulo original esrectángulocon hipotenusa igual a c. Esta condición nos aporta otro argumento ligeramente distinto del teorema de Pitágoras para determinar si un triángulo es rectán-gulo o no, sabiendo únicamente el valor de sus lados. En efecto, si se tiene ques(s c) = (s a)(s b), sustituyendospor a+b₂+c y haciendo algunos cálculos, se llegaría pronto a que:

(a+b+c)(a+b c) = ( a+b+c)(a+c b), de donde multiplicando y simplificando, debería ser:

a2+2ab+b2 c2= a2 b2+c2+2ab.

Agrupando en un solo miembro los términos que dependen deay b, y en el otro los que dependen dec, tendríamos entonces que:

2a2+2b2=2c2,a2+b2=c2,

por lo que el triángulo es rectángulo, con hipotenusa igual a c y catetos de ladosayb.

3. SegúnJ. W. Wilson[11], la fórmula permite razonar que el triángulo que con un determinado perímetro alberga un área máxima debe ser equilátero. En efecto: siendo 2s = a+b+c, tenemos que 2ses constante. Es conocida la siguiente desigualdad

(s a)(s b)(s c) (s a) + (s b) + (s c)

3

3

que relaciona la media aritméticay la media geométricade las canti-dadess a,s bys c. Simplificando:

(s a)(s b)(s c) (s a) + (s b) + (s c)

3

3

= 3s (a+b+c)

3

3

= 3s 2s

3 3

= s

3

27

Y la igualdad se produce si y sólo si s a = s b = s c, o lo que es lo mismo, si y sólo si a = b = c, y por tanto el triángulo

es equilátero. En tal caso, la fórmula de Herón nos proporciona el área máxima para un perímetro sfijo cuando el producto anterior sea máximo y por tanto:

∆max=

q

s(s a)(s b)(s c) =

s

ss 3

27 = s2 p

27 = s2 3p3.

4. En el caso de que consideremos un triángulo rectángulo, se de-muestra que es posible obtener el teorema de Pitágoras de la fór-mula de Herón. El área del triángulo de catetosbyce hipotenusa aes claramenteA= 1₂bc. Comos = a+₂b+c, entonces son claras las relaciones: s a = a+₂b+c,s b = a b₂+c,s c = a+b c₂ . De la fórmula de Herón obtenemos:

A =

q

s(s a)(s b)(s c)_,A2=s(s a)(s b)(s c)

, A2= a+b+c

2

a+b+c 2

a b+c 2

a+b c 2 , 16A2= (a+b+c)( a+b+c)(a b+c)(a+b c)

, 16A2=2b2c2+2a2c2+2b2c2 a4+b4+c4 .

Como hemos visto,A= 1₂bc, por lo que 16A2=4b2c2, y por tanto: 4b2c2=2b2c2+2a2b2+2a2c2 a4+b4+c4

Agrupando en el primer miembro convenientemente:

(b4+2b2c2+c4) 2a2b2 2a2c2+a4 = 0,

(b2+c2)2 2a2 b2+c2 +a4 = 0,

b2+c2 a2 2 = 0,

por lo que b2+c2 a2=0, de donde se sigue en efecto el teorema de Pitágoras.

5. La fórmula de Herón es esencialmente equivalente al teorema de Pitágoras para tetraedros rectangulares. Este teorema afirma que si A,ByC son las áreas de las caras triangulares ortogonales de un tetraedro rectangular, entonces el área D de la «cara hipotenusa» cumple:

D2=A2+B2+C2

La fórmula de Herón 25

Fig. 3.7:Teorema de Pitágoras para tetraedros rectangulares.

3.5

Perspectiva moderna de la fórmula de

Herón

En este apartado pretendemos dar un breve repaso a la trascendencia que la fórmula estudiada ha transmitido hasta nuestros días. Por un lado, se ha perseguido expresarla mediante métodos modernos de represen-tación. Por otra parte, será interesante apreciar cómo ha influido esta fór-mula en la generación de una teoría geométrica: el estudio de los trián-gulos heronianos o de Herón.

Otros enfoques de la fórmula de Herón

1. La fórmula de Herón puede expresarse de una manera técnica-mente más elegante utilizando determinantes [13]. Como siempre, sia,bycson los lados de un triángulo arbitrario, y representamos por∆a su área, entonces se prueba que

16∆2=

0 a b c

a 0 c b b c 0 a c b a 0

=

0 1 1 1

1 0 c2 b2 1 c2 0 a2 1 b2 a2 0

.

2. Una presentación dotada de gran simetría de la fórmula de Herón

Fig. 3.8:La fórmula de Herón puede expresarse de una manera más compacta en términos de las secciones de las circunferencias mutuamente tangentes centradas en los vértices de un triángulo (como se muestra en la fórmula

(3.7)).

es la siguiente:

(4∆)2= a2 _b2 _c2

0

@ 11 11 11

1 1 1

1 A

0 @a

2

b2 c2

1 A.

3. Expresando las longitudesa,bycen términos de los radios a0,b0 yc0 de las circunferencias mutuamente tangentes centradas en los vértices del triángulo (véase la figura 3.8), entonces podemos es-cribir:

a=b0+c0 b=a0+c0 c=a0+b0 y puede probarse que el área del triángulo es:

∆=

q

a0_b0_c0_(a0_+b0_+c0_{), (3.7)}

lo que determina una expresión del área del triángulo realmente elegante.

La fórmula de Herón 27

triángulos que teniendo sus lados de longitud entera, también poseen área entera (más generalmente, teniendo lados y área racionales). La teoría que se desprende de estas consideraciones es enriquecedora, y es nuestra intención confirmar este hecho.

3.5.1

Triángulos de Herón

La fórmula de Herón ha contribuido al estudio más preciso de aquellos triángulos de los que es relativamente asequible obtener su área desde un punto de vista aritmético, más propio de la teoría de números. Los definimos a continuación:

De…nición 3.2 UnTriángulo de Herónes un triángulo con lados de lon-gitud racional y área racional (véase[12]). Una definición más restrictiva sobre la que nos centraremos a continuación es la que considera que es-tos triángulos deben tener lados de longitud entera y área entera (véanse

[1, 10]).

Es evidente que un tal triángulo debe cumplir que el producto

s(s a)(s b)(s c)

ha de ser un cuadrado perfecto. Estos triángulos curiosamente ya se en-cuentran catalogados por el ilustre matemático suizoLeonhard Euler. Exis-ten versiones paramétricas proporcionadas porBramaguptayCarmichael, por las que los triángulos de Herón (con lados y área enteros) son de la forma (véase [12]):

a=n(m2+k2)

b=m(n2+k2)

c= (m+n)(mn k2)

s= (mn)(m+n)

∆=kmn(m+n)

donden,m,k2N, mcd(n,m,k) =1, 1 n m, m 2_n 2m+n <k

2_<mn. El lector puede comprobar que algunos ejemplos de triángulos hero-nianos vienen descritos por las siguientes ternas que especifican las lon-gitudes de sus lados:

(3, 4, 5),(5, 5, 6),(5, 5, 8),(5, 12, 13),(6, 8, 10),(10, 10, 12), etc.

El estudio de estas cuestiones ha permitido también realizar un catá-logo de los triángulos de Herón con perímetro menor que 217_{. Pero esto} no termina aquí. Los investigadores han desarrollado una nueva línea de exploración basada en los triángulos de Herón y sus propiedades. Veamos algunos resultados de interés que hasta ahora se han encontrado sobre ellos. No presentamos pruebas de ninguno, pero se presentan refe-rencias que indican dónde se pueden encontrar algunas de ellas.

Existen infinitas parejas de triángulos de Herón no congruentes que tienen igual área e igual perímetro[1].

Es siempre posible encontrar un triángulo de Herón de inradio un valor k2N,k 1prefijado de antemano[1].

Si p es un número primo congruente con 1 módulo 4, entonces existe un triángulo de Herón cuyo circunradio es igual a p[1]. En 1905,Schubertconjeturó que los triángulos de Herón con media-nas de longitud racional no existían. Sin embargo,Buchholzy Rath-bun(en 1997) demostraron que esta afirmación era falsa, al encon-trar los triángulos de la tabla siguiente cuyas longitudes (represen-tadas porm1ym2) de dos de sus medianas cumplen la condición requerida.

a b c m1 m2 ∆

73 51 26 35₂ 97₂ 420

626 875 291 572 433₂ 55440

4368 1241 3673 1657 7975₂ 2042040

14791 14384 11257 21177₂ 11001 75698280

28779 13846 15155 3589₂ 21937 23931600

1823675 185629 1930456 2048523₂ 3751059₂ 142334216640

Tabla 3.1:Triángulos heronianos de medianas racionales.

La fórmula de Herón 29

que tuviesen igual área e idéntico perímetro. Logró encontrar el par:

(a,b,c) = (135, 352, 377) (x,y,y) = (132, 366, 366)

que tienen por área∆ = 23760 y perímetrop =864. Se ha consta-tado que no existen más parejas de triángulos en idénticas condi-ciones de manera que el triángulo rectángulo tenga un lado menor de longitud inferior a 400 000.

Para terminar, vamos a dar una perspectiva novedosa del estudio y catalogación de los triángulos de Herón y sus propiedades utilizando los conceptos de las cevianas de un triángulo y el Gergonne-centro, ambos definidos a continuación:

De…nición 3.3 Dado un triángulo de vérticesA,ByCy lados opuestosa,

bycrespectivamente, definiremos lascevianascomo las líneas que pasan por los vértices y los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita al triángulo con sus lados opuestos. Se demuestra que estas líneas se cortan en un mismo punto denominadoGergonne-centro.2

Fig. 3.9:Cevianas y Gergonne-centro de un triángulo.

En la figura 3.9, las cevianas son los segmentos BE,CF y AD, y el Gergonne-centro es el punto S. Un primer resultado que es interesante 2_{Las denominaciones anglosajones correspondientes a los términos introducidos son} ce-vianyGergonne point. La traducción deGergonne-centroes del autor (N. del A.)

destacar es que existe una relación entre algunas secciones de las cevianas y los lados del triángulo, a saber:

AS SD =

2(s a)

s c =λ.

En este contexto, si el triángulo es de Herón, entonces el valorλ 2 Q.

Además, si a c ) 0 < λ 2. Atendiendo a este valor, es posible

catalogar los triángulos de Herón. En efecto, se define unaλ familia de

triángulos de lados

(a,b,c) = (2(m2+λ2n2), (2+λ)(m2 2λn2), λ(m2+4n2)) (3.8)

donde n,m 2 N son primos relativos tales que m > p2λ n. Se

de-muestra (véase [10]) que esta familia describe el conjunto completo de triángulos de Herón de lados de longitud entera.

Un interesante resultado que se desprende de esta perspectiva de los triángulos de Herón es el siguiente:

Problema 3.4 (Hoppe) La familia (3.8)proporciona paraλ = m

2

6n2 otra

familia de triángulos dada por:

(a,b,c) = (m2+3n2, 2(m2+3n2), 3(m2+3n2))

teniendo sus lados en progresión aritmética.

Algunos problemas que resuelve esta perspectiva son enunciados a continuación:

Problema 3.5 Encontrar un triángulo de Herón de manera que dos de sus lados difieran en un número entero dado.

Problema 3.6 Encontrar un triángulo de Herón cuyo perímetro es un cuadrado perfecto.

Problema 3.7 Encontrar un par de triángulos heronianos que tengan igual perímetro.

La fórmula de Herón 31

Fig. 3.10: Ejemplo de tetraedro heroniano.

3.5.2

Tetraedros heronianos

Sólo deseamos aquí hacer una breve referencia a una generalización de la teoría de triángulos heronianos. Un tetraedro de HerónoHerónianoes un tetraedro no necesariamente regular cuyos lados, áreas laterales y vo-lumen son todos números enteros. El tetraedro de Herón cuyo lado de mayor longitud es lo más pequeño posible (figura 3.10) es el tetraedro de lados (51, 52, 53, 80, 84, 117), cuyas caras son los triángulos(117, 80, 53),

(117, 84, 51),(80, 84, 52),(53, 51, 52), y con áreas laterales 1170, 1800, 1890, 2016 y volumen 18144.Veamos algunos ejemplos nuevos atendiendo a al-guna condición adicional:

1. Tetraedros con igual área lateral:

Área Volumen Lados

64584 170016 595, 429, 208, 116, 276, 325 64584 200928 595, 507, 116, 208, 276, 325

2. Tetraedros con el mismo volumen:

Área Volumen Lados

244272 3564288 697, 697, 306, 185, 185, 672 298248 3564288 1344, 697, 697, 153, 680, 680

El estudio de los tetraedros de Herón es también cuando menos in-teresante, pero lógicamente no nos enfrentaremos a él. Creemos sufi-ciente mostrar una pincelada de estos objetos, y advertir de la riqueza de resultados que su estudio ha ido generando.

SECCIÓN 4

Otras contribuciones de

Herón a la matemática

aplicada

Herón fue muy prolífico en lo concierniente a la obtención de pará-metros geométricos y numéricos. Como ingeniero y agrimensor, Herón contribuyó a la obtención de elementos geométricos y aritméticos que tienen interés en la matemática aplicada. Son sustanciales sus aporta-ciones al cálculo numérico de las raíces cuadradas utilizando aproxima-ciones racionales, o al cálculo de aproximaaproxima-ciones también racionales de la raíz cúbica de un número. La necesidad de poder aplicar satisfacto-riamente diversas relaciones que permiten obtener el área de diversos polígonos influyó notablemente en la preocupación de Herón por encon-trar una aproximación racional de la raíz cuadrada de un número que no fuese cuadrado perfecto.

En los apartados subsiguientes nos dedicaremos a presentar una visión muy superficial de las contribuciones de Herón en matemáticas, todas orientadas a su aplicación práctica. Somos conscientes de que nos olvidaremos de muchas cuestiones adicionales, pero una revisión de to-das podrían hacer de estas notas un compendio casi interminable. Nos centramos por ello en diversas aportaciones a la matemática aplicada ya clásicas.

4.1

Aproximación de la raíz cuadrada de un

número

En suMétrica,1 a propósito del estudio del triángulo de lados (7, 8, 9), Herón proporciona un método numérico para obtener una aproximación de su área. Usando (1.1) es fácil establecer que∆2 = 720. Como 720 no posee raíz racional, Herón aporta en lenguaje retórico un procedimiento que conduce a una aproximación racional suya. Este procedimiento ya se usaba en Mesopotamia bastantes siglos antes. Herón describió el proceso de la manera siguiente:

Como 720 no tiene raíz racional, podemos obtenerla sin mucha diferencia como sigue. Como el cuadrado perfecto que le sucede inmediatamente es729, cuya raíz es27, dividiremos

720entre 27, lo que da262₃. Sumaremos 27a esto, lo que da

532₃, y lo dividimos por la mitad, dando261₂1₃. La raíz de720

estará entonces muy próxima a 261₂1₃. De hecho, si multipli-camos este número por sí mismo, el producto es720₃₆1, luego la diferencia es ₃₆1.

Si deseamos hacer la diferencia aún más pequeña, tomaremos

720₃₆1 y de nuevo 729, y procediendo de la misma manera encontraremos un resultado que se diferencia mucho menos que ₃₆1.

En notación moderna, podemos generalizar el método empleado por Herón para obtener una aproximación racional de la raíz cuadrada de un número entero positivo A(que no sea un cuadrado perfecto). Conside-remos un número naturalatal que su cuadrado es el cuadrado perfecto más próximo al númeroA. Entonces podemos escribirA= a2 b, para un ciertob 2 N. La primera aproximación dada por Herón para la raíz cuadrada deAes:

a1= 1 2 a+

A

a . (4.1)

La segunda aproximación, obtenida por reiteración de la primera paraa1 sería:

a2= 1 2 a1+

A a1 .

Lógicamente, este proceso puede repetirse indefinidamente, lo que pro-porcionará una aproximación cada vez mejor de la raíz deA.

Otras contribuciones de Herón a la matemática aplicada 35

Si se sustituye la expresiónA=a2 _{ben (4.1), obtendríamos que:}

a1=a b 2a.

No parece que Herón usara esta fórmula cuando el signo es negativo, salvo en su obraStereometrica I, en donde da una aproximación a la raíz de 63 por:

p

63 8 1

16.

Circunstancialmente, enMétrica(Libro I) se puede encontrar otra aproxi-mación para esta raíz dada por:

p

63 71₂1₄1₈₁₆1,

que es la obtenida sin ninguna duda al aplicar la fórmula (4.1) para 82=

64:

a1= 1 2 8+

63

8 =

1 2 8+7

7

8 =7121418161.

En todas las consideraciones realizadas por Herón durante la búsqueda de aproximaciones racionales de la raíz cuadrada de un número se aprecia la continua influencia de la numeración egipcia al usar las fracciones unitarias muy insistentemente, o la fracción especial 2₃.

El procedimiento utilizado por Herón permite obtener, reiterándolo indefinidamente, una sucesión de números racionalesfangque converge a la raíz buscada, hecho que probamos a continuación. El método de Herón para el cálculo de la raíz cuadrada de un número positivoA con-siste en un procedimiento iterativo, que partiendo (sin pérdida de gene-ralidad) de un valora0>pA>0, construye mediante recursividad una sucesión de números reales positivos de ley

an= 1

2 an 1+ A an 1

.

Demostraremos a continuación que la sucesión de números reales fangn2Nasí definida es convergente, y su límite es:

lim

n!∞an=

p A,

para lo cual probaremos tres cosas:

1. an>0,8n2N.

2. La sucesiónfang_n2Nes monótona decreciente. 3. fangn2Nestá acotada.

Comoa0>0)a1= a

2 0+A

2a0 >0. Ya es fácil obtener recursivamente quean>0,8n2N.

Probemos ahora quefangn2Nes monótona decreciente. Supongamos que elegimosa0 2 Rverificando quea0 >pA > 0. En tal caso es tam-biéna2₀> A. El siguiente término de la sucesión es

a1= 1 2 a0+

A a0

= 1

2 a2

0+A a0

!

.

De esta forma:

a1 a0= 1

2

a2₀+A a0

!

a0= a

2

0+A 2a20 2a0

= A a

2 0 2a0

<0,

dado quea2₀>A. Hemos obtenido quea1<a0. En general, como:

an+1 = 1 2 an+

A an = 1 2 2 6 6

41₂ an 1+ A an 1

+ A

1

2 an 1+ A an 1

3 7 7 5 = 1 2 2 6 6 6 4

a2_{n 1}+A 2an 1

+ 2A

a2_{n 1}+A an 1

3 7 7 7 5=

a2_{n 1}+A 4an 1

+ Aan 1

a2_{n 1}+A,

entonces:

an+1 an =

a2_{n 1}+A 4an 1

+ Aan 1

a2

n 1+A

a2_{n 1}+A 2an 1

= Aan 1

a2

n 1+A

a2_{n 1}+A 4an 1

= 4Aa

2

n 1 a4n 1+2Aa2n 1+A2

4an 1 a2_{n 1}+A

= a

4

n 1+2Aa2n 1 A2

4an 1 a2_{n 1}+A

= a

2

n 1 A

2

4an 1 a2n 1+A

<0

De modo que an+1 an < 0 , an+1 < an. Hemos razonado en-tonces quean+1<an, y de ello se desprende que la sucesiónfangn2Nes

Otras contribuciones de Herón a la matemática aplicada 37

Una primera consecuencia de este hecho es que la sucesión está aco-tada superiormente (pora0). Que también lo está inferiormente es porque an >0,8n2N, con lo que la sucesiónfangn2Nestá acotada:

0<an <a0,8n2N, n 1.

Como sabemos, toda sucesión monótona y acotada es convergente. Representemos por`al límite de esta sucesión:

`= lim n!∞(an).

Evidentemente` 0 ya quean>0,8n2N. Además:

` = lim

n!∞an =nlim!∞ 1

2 an 1+ A an 1

= 1

2 nlim!∞an 1+ A lim

n!∞an 1

!

= 1

2 `+ A

` ,

lo que nos asegura que el valor de`es no nulo pues el límite existe. De esta manera se tendrá que:

` = 1

2 `+ A

` ,2`= `2_+A

` ,2`

2_=`2_+A

, `2=A,

de donde se obtiene finalmente que`=pA.

Y en efecto, el método de Herón permite aproximar el valor de la raíz cuadrada de un número real positivoA.

4.2

Aproximación de la raíz cúbica de un

número

Herón nos dejó en suMétrica(Libro III) un método para aproximar la raíz cúbica de un número que no fuese cubo perfecto, que le serviría para determinar aproximaciones racionales de la raíz cúbica de cantidades, con el fin de obtener, entre otras cosas, el volumen de un cono truncado con una sección paralela a la base, en una proporción dada. Como en el caso de la aproximación de la raíz cuadrada, Herón proporcionó la de la raíz cúbica enlenguaje retórico, concretando el procedimiento para el número 100:

Tómense los cubos inmediatamente anterior y posterior a100, que son 64y 125. Entonces 125 100= 25y 100 64= 36. Multiplíquese 5 (raíz cúbica de 125) por 36, lo que da 180. Súmese 100, obteniéndose 280. Divídase 180por 280, resul-tando ₁₄9. Por último, se ha de aumentar lo obtenido a la raíz del cubo menor, lo que da4₁₄9. Esta cantidad estará tan próxi-ma como es posible de la raíz cúbica de100unidades.

De este ejemplo se puede aventurar una generalización para obtener una aproximación racional de la raíz cúbica de un número. Sea A el número del que queremos conocer su raíz cúbica. Sean a3 y (a+1)3

los cubos más próximos al número A tales que a3 < A < (a+1)3. Llamemos:

d1= A a3 d2= (a+1)3 A

La expresión que determina la raíz cúbica de A, sugerida por Wertheimy demostrada porG.Enerström2, es la siguiente:

3 p

A=a+ (a+1)d1 (a+1)d1+ad2

Otra fórmula más general proporcionada porG. DeslauriersyS. Dubuc [4] viene dada por la expresión:

3 p

A=a+ bd1

(bd1+ad2)(b a),

donde a3 _{< A < b}3_{, y d}

1 = A a3, d2 = b3 A. En la expresión, no se precisa que los cubos que acotan al número Asean consecutivos. Es evidente que esta última expresión proporciona la conjeturada por Wertheim en el caso particular de que los cubos sean consecutivos. Esta expresión proporciona además aproximaciones tanto o más buenas como próximas sean los cubos que acotan a la cantidad de referencia de la que se desea extraer su raíz cúbica.

4.3

Las ecuaciones cuadráticas

Existe también algunas contribuciones al álgebra de las ecuaciones cuadráticas que merecen ser destacadas. En su obraMétrica, Herón

Otras contribuciones de Herón a la matemática aplicada 39

porciona una aproximación de la solución mayor de la ecuación

x2 14x+462 3 =0,

que esx = 81₂, solución que difiere en menos de 3 centésimas del valor real. Herón no proporcionó la otra solución de esta ecuación, que también es positiva.

EnGeométrica, Herón resuelve los siguientes problemas:

(a) Obtener un cuadrado tal que la suma de su área y su perímetro sea 896.

(b) Conocida la suma del diámetro, perímetro y área de un círculo, en-contrar cada uno de ellos.

En (a), Herón considera la ecuación x2+4x = 896. Para resolverla, Herón toma la mitad de 4 y suma su cuadrado, para completar cuadrados en el primer miembro.

En el segundo caso, Herón da una ecuación cuadrática y otra casi idéntica a ella para resolver. Las dos ecuaciones son:

11 14d

2₊29

7 d=212 (4.2)

11 14d

2₊29 7 d=67

1 2

Lo que hace Herón para solventar estas ecuaciones es multiplicar convenientemente para que el coeficiente cuadrático resulte un cuadrado perfecto, con la finalidad última de completar cuadrados. En las ecua-ciones anteriores multiplica en los dos miembros por 154 (= 11 14), obteniéndose:

112d2+58 11 d= 212 154

671₂ 154

según los dos casos expuestos en (4.2). Completando cuadrados, se sigue que

(11d+29)2= 32648+841

10395+841 , de donde:

11d+29=

p

33489=183 p

11236=106 ,d= 14

7

según los casos.

Los problemas planteados en (a) y (b) exponen abiertamente la sepa-ración existente entre la perspectiva geométrica de Herón y la geometría clásica3_{. Herón presenta en este problema una comparación de medidas} que no tienen las mismas dimensiones (unas son lineales mientras que otra es superficial). Según la axiomática deEudoxo(axioma de homogenei-dad4), estos problemas no tienen solución posible, pero desde un punto de vista numérico es perfectamente planteable5.

El álgebra que aportó nuestro ilustre griego planteaba y resolvía de-terminados problemas mediante lo que se da en llamarálgebra retórica, que ya se utilizaban mucho antes de la época clásica griega. Con el ál-gebra retórica sólo se dan procedimientos para resolver los problemas planteados, no justificando en ningún momento los argumentos utiliza-dos en sus resoluciones.

4.4

Algunas contribuciones en Geometría

Herón contribuyó en geometría a obtener de forma aproximada, en-tre otras muchas cosas, el área de figuras planas notables (polígonos regulares, círculo, algunos cuadriláteros, segmentos circulares,...), o los volúmenes del cono, cilindro, paralelepípedos (y prismas en general), pirámide, esfera, toro o los poliedros regulares o sólidos platónicos.

Daremos a continuación un breve repaso a diversas expresiones obtenidas por Herón en suMétrica.

Área de los polígonos regulares de 3 a 12 lados y del círculo

La tabla 4.1 proporciona una recopilación de algunas fórmulas aportadas por Herón para la obtención (siempre de forma aproximada) del área de varios polígonos regulares. En ella, p representa a la apotema del polí-gono yaes su lado. En algún caso se proporciona las distintas fórmulas que Herón aportó en diversas obras suyas, más concretamente enMétrica y Geométrica. También incluiremos posteriormente la forma que Herón proporcionó para obtener el área del círculo y la longitud de su circunfe-rencia, evidenciando la influencia de Arquímedes en sus consideraciones y aproximaciones del númeroπ.

3_{Seguimos en nuestros comentarios aC. B. Boyer(véase [3, p. 228]).}

4_{Elaxioma de homogeneidadpostula que dos magnitudes pueden compararse cuando}

am-bas poseen idénticas unidades de medida. Por tanto, no tiene sentido comparar una mag-nitud lineal con otra superficial o volumétrica, por ejemplo.

Otras contribuciones de Herón a la matemática aplicada 41

Es un ejercicio interesante, que dejamos para el lector, comprobar el grado de fiabilidad de las fórmulas de la tabla aludida, determinando los errores que se cometen en ellas al compararlas con los valores reales.

Área Longitud

A= 11

14d 2₌ 44

14r

3 _`= 44 7 r

En la tabla anterior se muestran relaciones del área de un círculo y la longitud de su circunferencia aportadas por Herón. Los valoresrydson respectivamente el radio y el diámetro de un círculo.

Herón mencionó en suMétricavalores más precisos deπque los

da-dos por Arquímedes pero que no considera convenientes para su uso a nivel práctico, seguramente porque implica trabajar con fracciones de números relativamente grandes. Estas aproximaciones vienen dadas por la siguiente acotación:

211875 67441 <π<

197888 62351

que hoy sabemos que es errónea, pues 211875₆₇₄₄₁ > 3, 1416, si bien la acotación inferior es ligeramente superior a la aproximación clásica de

π.6

4.4.1

Volúmenes de algunos cuerpos geométricos

Para terminar la exposición sobre las aportaciones que Herón nos ha dejado matemáticamente hablando para su aplicación práctica, hemos querido mostrar también una breve relación de fórmulas para obtener el volumen de algunos cuerpos geométricos dadas por nuestro ilustre matemático (tabla 4.2). Como siempre, hemos de insistir en que las fór-mulas continuamente daban una aproximación del valor real, y sólo pre-tendían en este caso la obtención del volumen utilizando técnicas elemen-tales, orientadas como ya se ha mencionado anteriormente a ser usadas por estudiantes en particular y agrimensores, albañiles o técnicos en ge-neral.

6_{ComoHeathcomenta en [6, p. 329], una ligera corrección debida al historiadorPaul}

Tanneryproporciona una acotación más precisa deπ. Dicha acotación es:

211872 67441 <π<

195882 62351, que sí es una acotación correcta.

Polígono Apotema Área del polígono

Triángulo p=

r 3 4a 2 r 3 16a 4 13 30a 2

Pentágono p= 2

3a Métrica 5 3a 2 Geométrica 12 7 a 2 Hexágono Métrica_r 27 4 a 4 Geométrica 13 5 a 2

Heptágono ₁p 2a = 43 21 43 12a 2

Octógono p= 1

2a 29 12 29 6 a 2 Eneágono 51 8 a 2

Decágono p= 3

2a 15 2 a 2 Endecágono 66 7 a 2

Dodecágono p= 15

8 a

45 4 a

2

Otras contribuciones de Herón a la matemática aplicada 43 Cuerpo V olumen Significado de los datos

Pirámide truncada

V

=

1 2(

a + a 0 ) 2 + 1 3 1 2(

a a 0 ) 2 h a y a 0 son los lados de las bases mayor y menor y h es la altura Cono tr uncado V = 11 14 1 2(

a + a 0) 2 + 1 3 1 2(

a a 0) 2 h a y a 0son los diámetr os de las dos bases, y h es la altura Esfera V = 11 21 d 3 d es el diámetr o de la esfera T or o π a 2: ac = V : π c 2 2 a , V = 2 π 2ca 2 a es el radio de cada sección cir cular del tor o según el eje de revoluci ón. c es la distancia de su centr o a este eje T abla 4.2: V ol úme n es d e algun os cu er p os geométricos dados p o r He rón.

SECCIÓN 5

Conclusión

Herón evidenció en todo momento un sentido práctico en sus exposi-ciones matemáticas. Visto desde una perspectiva moderna, puede pare-cer que Herón fue un matemático poco formalista, algo carente del rigor que modernamente se potencia desde el ámbito matemático. Pero en sen-tido práctico, como decimos, Herón destacó por su interés en los procedi-mientos más que en las explicaciones o argumentos teóricos. No estamos seguros de que esta perspectiva fuese la más conveniente en la época en que le tocó vivir, pero lo que sí es cierto es que Herón contribuyó bastante a que las matemáticas de su época tuviesen un sentido primordialmente instrumental, incluso sin descuidar los planteamientos rigurosos.

Somos conscientes de que no hemos abordado en estas notas, como la ocasión merece, su faceta de ingeniero. Creemos que es oportuno destacar su perspectiva pragmática en la transmisión del conocimiento sin mermar por ello su formación científica, de la que estamos seguros que fue muy completa, profunda y reveladora.

Más que un gran matemático, Herón fue posiblemente un gran cientí-fico. El lector tiene ahora todo el tiempo que desee para opinar sobre esta afirmación.

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