CAPITULO 3 APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN

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Ing. Armando Duarte

CAPITULO 3

APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

DE SEGUNDO ORDEN

Sea la posición del cuerpo medida hacia abajo a partir de la posición del extremo del resorte sin estirar. La ley de Hooke dice que la fuerza que ejerce el resorte sobre el cuerpo es

Cuál es la ecuación que gobierna el movimiento de una masa

vibrante que se encuentra en el extremo de un resorte vertical.

m

[image:1.595.174.452.356.605.2]

k k k

Figura 11. Masa unida a un Resorte vertical Resorte sin estirar

Posición de equilibrio

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Donde es una constante que depende del resorte. Si 0 , el resorte esta estirado y la fuerza es ascendente. Si 0 , el resorte esta comprimido y la fuerza es descendente. La otra fuerza que actúa sobre el cuerpo es su peso

Donde es la aceleración de la gravedad. De acuerdo con la segunda ley de Newton, la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo es

Sea

. Entonces y la fuerza neta se anula cuando

. Así es la posición de equilibrio del cuerpo, medida hacia abajo

a partir de la posición del extremo del resorte sin estirar.

Si , es la posición del cuerpo medida hacia abajo a partir de la posición de equilibrio. Como ´ ´ y ´´ ´´ resulta

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Siendo . En este modelo se ha despreciado la fuerza de

resistencia del medio y por ello se le llama movimiento libre_. Experimentalmente se ha comprobado que, si la velocidad del cuerpo de masa no es demasiado grande, la fuerza resistiva del medio es

proporcional al módulo de la velocidad

y su dirección es tal que

siempre se opone al movimiento.

Si el lector quiere profundizar sobre este tema, véase William E. Boyce y

Richard C. Di Prima Introducción a las Ecuaciones Diferenciales

Editorial Limusa México (1972) Pág. 137-141

Luego la ecuación diferencial que rige el movimiento vertical amortiguado del cuerpo es

O equivalentemente

₀

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3.1 Sistema de masa resorte horizontal:

Supongamos que se tiene un resorte horizontal conectado a una pared con una masa constante unida a él. Se supondrá que la fuerza total está compuesta por tres fuerzas:

a) Fuerza ejercida por el resorte _!

b) Fuerza de fricción o resistiva que actúa sobre la masa _" c) Cualquier otra fuerza externa

Aplicando la segunda ley de Newton del movimiento obtenemos

! "

Sea # la longitud del resorte sin masa unida. Se introduce un sistema de coordenadas en el que 0 se localiza a una distancia # de la pared. Entonces es la distancia de este origen a la masa. Ahora podemos expresar las diferentes fuerzas, en términos de . Suponga que el resorte satisface la ley de Hooke

Figura 12. Sistema masa resorte con dispositivo de amortiguamiento

Posición de Equilibrio

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Debido al sistema de coordenadas elegido, la distancia que se alarga el resorte y la ley de Hooke se convierten en _! donde es una constante positiva, llamada constante del resorte.

Muchos tipos de fuerzas resistivas a bajas velocidades son aproximadamente proporcionales a la velocidad, es decir,

" $ _{&'( 0}

La constante se llama constante de amortiguamiento. Por último, se supone que las fuerzas externas dependen solo del tiempo y no de la

posición o la velocidad

)

Sustituyendo en la segunda ley de Newton

₎

Esta ecuación diferencial por lo general se escribe en la forma

₎

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Observe que , son todas constantes no negativas. En ocasiones es conveniente pensar en la fuerza resistiva como debida a un dispositivo unido, como un pistón que se mueve en un fluido. Un dispositivo de este tipo se llama una configuración equivalente.

Respuesta libre: Supongamos que no existe una fuerza externa diferente

de cero, las soluciones de la ecuación diferencial homogénea que resulta

₀

Se conocen como respuesta libre o natural del sistema masa-resorte. Esta es la forma en la que reacciona el sistema para las condiciones iniciales dadas, si se le permite proceder sin interferencia externa. El comportamiento resultante puede variar bastante, dependiendo de si se tiene amortiguamiento o no.

Movimiento Armónico Simple (Sin amortiguamiento + , )

Supongamos que no hay interferencia + , de manera que la respuesta libre de un sistema masa-resorte está dada por la ecuación diferencial

0

La cual podemos escribir como

0 '(-

Y su solución general se escribe en forma más sencilla

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Forma Amplitud Fase

La solución general de la ecuación diferencial homogénea, es una combinación lineal de &'0 0-(. Esta suma se puede expresar como

./&'0 .0-( 1&'0 ∅

Desarrollando la fórmula de la identidad trigonométrica en el miembro de la derecha e igualando términos, se llega a:

3./ 1&'0∅

. 10-(∅

Se ve que 1 ∅ son las coordenadas polares del punto ._/, ..

Por el teorema de Pitágoras

[image:7.595.240.418.389.541.2]

1 4./ . Figura 13. Amplitud 1 y fase ∅

1 4./ .

∅

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La variable ∅ se llama ángulo de fase y 1 la amplitud o amplitud de oscilación. Resulta útil dibujar el triángulo y especificar el cuadrante, para

determinar el ángulo de fase.

5(∅ ._.

/

Sin embargo ∅ 5(6/78₇₉ es correcta solo si ∅ está en el primero o

cuarto cuadrante. Si ∅ se encuentra en el segundo o tercer cuadrante, entonces

∅ : 5(6/_;.

./<

La forma amplitud fase permite obtener una gráfica relativamente sencilla de la solución

1&'0 ∅

[image:8.595.177.418.505.689.2]

Que es un coseno trasladado.

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Uno de los tiempos en los que la solución toma un máximo es _=>∅ .

La masa oscila en forma senoidal alrededor de 0 . La solución es periódica en el tiempo, su periodo ? es

? 2:

y su frecuencia, es decir, el número de ciclos por unidad de tiempo

) _?1 _2:

De aquí que 2:) , como en un periodo el ángulo del coseno cambia 2: radianes algunas veces se llama frecuencia circular.

Ejemplo 18: La constante de un resorte de acero se mide colgando una

masa de 1 Kg del resorte y observando que el resorte se estira 25 cm. La masa de un kilogramo es retirada y ahora se cuelga del resorte una masa de 0.5 Kg, la masa se jala hacia abajo 25 cm y se deja libre con una velocidad de 1 0⁄ . Determine el movimiento resultante.

Solución: Tómese el valor de la aceleración de gravedad 9.8 0⁄ determinamos el valor de la constante del resorte, igualando su peso a la fuerza elástica del resorte

∆

O bien

∆ 1 9.80.25 39.2 I ⁄

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0

Sustituyendo los datos proporcionados

1 2

196_{5 0 ; 0}1_{4 ,}´0 1

La cual podemos escribir como

392_{5 0}

MN_O Entonces P√/_O , así la solución general está dada por

./&'0 R70√10_{5 T .}0-( R70√10_{5 T}

Aplicando las condiciones iniciales 0 /

U , ´0 1 obtenemos los

valores de las constantes ._/ /_U y . √/_/U la solución buscada al

problema de valores iniciales es

1

4 &'0 R70√105 T √10140 0-( R70√105 T

Pasando a su forma amplitud fase

V_{3920 &'0 R}247 70√10_{5 0.0901T}

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V_{3920 &'0 R}247 70√10_{5 0.0901T}

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Ejercicios Propuestos 14

1. Una masa de 30 g se une a un resorte. En equilibrio el resorte se alargó 20 cm. El resorte se jala hacia abajo otros 10 cm y se suelta. Establezca la ecuación diferencial para el movimiento resultante.

2. Una masa de 6 g se une a un sistema masa resorte con una constante de resorte de 30 0⁄ ¿Cuáles deben ser las condiciones iniciales para obtener una respuesta con amplitud 3 y

ángulo de fase de W

U?

3. Suponga que el modelo de un sistema masa resorte es

0

Las cantidades /$ y / son la energía cinética y la energía

potencial elástica. Su suma es la energía mecánica total.

Demostrar que la energía mecánica total del sistema masa resorte

es constante. Sugerencia: multiplique la ecuación por

luego

integre.

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3.2 Respuesta libre con Fricción + 0

Supongamos ahora que la fricción no es despreciable, de manera que la dinámica del sistema masa-resorte se describe por la ecuación diferencial

₀

La ecuación característica es X X 0 cuyas raíces son

X _{2 Y}√ ₂ 4

Se consideran tres casos dependiendo si 4 es positivo, negativo o cero.

Caso 1. Subamortiguamiento Z, √[\]^

En este caso existe un par de raíces complejas conjugadas X _ Y `a

donde _ b y ` √U6b 8 de manera que la solución de la ecuación

diferencial está dada por

-6c_d.

/&'0` .0-(`e

Pasando a su forma amplitud fase

4._/_.

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Esta es una solución amortiguada conocida como subamortiguamiento

Con la fricción la amplitud oscila con una seudofrecuencia circular

` √4 ₂ V4₄ ₄ V

4

La seudofrecuencia de un oscilador subamortiguado es menor que la frecuencia natural, conforme aumenta la resistencia , la seudofrecuencia disminuye (el periodo aumenta).

Ejemplo 19: Una masa de 0.5 kg está colocada en un resorte que tiene

constante 2 I ⁄ el amortiguamiento es . La masa se jala hacia abajo 1 m y se suelta. Describa la gráfica del movimiento para 0.1 , 0.25 y 1.75

Grafica 21. Oscilaciones Subamortiguadas

4./ .-6c

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Solución: La ecuación diferencial que modela el movimiento es

1

2

_{2 0 0 1 ,}´0 0

La ecuación característica es /

X X 2 0 cuyas raíces son

X Y af4

De manera que la solución general de la ecuación diferencial es

-6b_g._/_{&'0 f4}_._{0-( f4}_h

Que corresponde a un movimiento subamortiguado si 2 , las condiciones iniciales implican que

._/ 1

. _√4

Y la solución al problema de valores iniciales es

-6b_{i&'0 f4}

√4 0-( f4 j

En su forma de amplitud fase

2

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Donde

∅ 5(6/_;

√4 <

A continuación se muestran las gráficas de los respectivos valores de amortiguamiento

Caso 2. Sobre amortiguamiento Z+ √[\]^

En este caso, conocido como sobre amortiguamiento la ecuación característica X X 0 para la ecuación diferencial

₀

Grafica 22. Oscilaciones subamortiguadas para para

0.1 , 0.25 y 1.75

0.1 1.75

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Tiene dos raíces negativas

X/ ₂√

₄

2

X ₂√

₄

2

Observe que 4 tomando raíz cuadrada en ambos miembros

√ _{4 √} _{, entonces la solución general es}

./-"9 .-"8

→ 0 Cuando → ∞ ya que las raíces X_/ y X son negativas.

Ejemplo 20: Un sistema masa-resorte, tiene los valores de sus

componentes 0.5, 3 4. Sujeto a las condiciones iniciales 0 2 y ´0 0. Determine la ecuación del movimiento resultante y su representación gráfica.

Solución: La ecuación diferencial que modela el sistema masa resorte

está dada por

1 2

3_{4 0 0 2 ,}´0 0

Cuya ecuación característica es /X 3X 4 0 ó bien X 6X 8 0

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La solución general de la ecuación diferencial dada es

./-6 .-6U

Aplicando las condiciones iniciales a esta solución general se obtiene

2 0 ./ .

0 ´_{0 2.}

/ 4.

Cuya solución es ._/ 4, . 2. Por lo tanto

4-6 _2-6U

Grafica 23. Sobreamortiguamiento

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Caso 3. Amortiguamiento CríticoZ+ √[\]^

En este caso √4 y muestra la existencia de una raíz real repetida X b , por lo tanto la solución general de la ecuación diferencial

₀

Esta dada por

./-6

m

8n .-68nm

La solución para el caso de amortiguamiento critico es distinta de la del caso de sobre amortiguamiento. Sin embargo dependiendo de los valores de ._/,. la solución de amortiguamiento critico tiene una gráfica que tiene la misma forma general de la dada para el caso de sobre amortiguamiento.

Ejemplo 21: Un cierto dispositivo se puede modelar como un sistema

masa resorte. La constante del resorte es 10 0⁄ y la constante de amortiguamiento es 20 0⁄ .

a) Determine la masa de tal manera que el sistema masa-resorte resultante tenga un amortiguamiento crítico.

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10 & 0⁄ . Determine y resuelva las ecuaciones del movimiento.

c) Muestre la gráfica del movimiento resultante.

Solución:

a) El amortiguamiento critico ocurre si 4 0. Es decir, 400 40 0. Entonces, la masa deseada es 10 .

b) La ecuación del movimiento es

10 20_{10 0; 0 5 ,}´_{0 10}

La ecuación característica es 10X 20X 10 0

simplificando se tiene X 1 0, que tiene una raíz real repetida de valor -1. La solución general es entonces

./-6 .-6

Aplicando las condiciones iniciales a esta solución general se obtiene

5 0 ._/ 10 ´_{0 .}_/_.

Cuya solución es ._/ 5, . 15. Por lo tanto

5-6_15-6

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Ing. Armando Duarte Grafica 24. Amortiguamiento critico

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Ejercicios Propuestos 15

1. Una masa de 1 gramo está unida a un resorte. El resorte se alarga 20 cm y regresa al reposo. Se jala la masa hacia abajo 1 cm desde el reposo y se suelta con una velocidad de 7 & 0⁄ hacia abajo. determine el movimiento resultante.

2. Un resorte con una constante 8 0⁄ tiene una masa unida que lo alarga 245 cm. El coeficiente de amortiguamiento es 8 0⁄ . En el tiempo 0 la masa se encuentra en posición de equilibrio y tiene una velocidad de 3 & 0⁄ hacia abajo. Determine el movimiento resultante

3. Demuestre que en el caso de amortiguamiento critico √4 la masa puede cambiar de dirección a lo más una vez.

4. Se sabe que un sistema masa resorte con una masa de 1 g vibra a 5 Hz sin amortiguamiento, pero solo vibra a 4 Hz cuando hay subamortiguamiento. Determine el coeficiente de amortiguamiento.