Escuela Superior Politecnica del Litoral
Algebra Lineal
Prof. Ing. Maria Nela Pastuizaca
INTRODUCCION AL ALGEBRA LINEAL
Para el estudio del algebra lineal hay que tener claros los siguientes conocimientos:
Vectores
Un vector tiene magnitud, dirección y sentido.
Dos vectores y , son paralelos si y solo si es múltiplo escalar de :
Dos vectores =(a,b,c) y =(d,e,f), son iguales si y solo si = = (a=d,b=e,c=f)
Suma:
Conmutativa Asociativa
Existencia del neutro
Existencia del inverso
Multiplicación:
( + ) = +
( + )= + Distributivos
Desigualdad:
Ejemplo:
Dados =(1,0,2) =(-1,3,4) Determine:
2 +3 =(2,0,4)+(3,9,-12)=(-1,-9,-8) Combinación lineal
Definición de producto punto:
Sean =(a,b,c) y =(d,e,f) vectores en R F:
(ad+be+cf)
Angulo entre vectores:
Ortogonalidad entre vectores:
Dos vectores son ortogonales si y solo si . =0
Que dos vectores sean ortogonales implica que el angulo comprendido entre ellos es 90°, osea son vectores perpendiculares.
Vectores unitarios:
Un vector es unitario si y solo si su magnitud es 1
Ortonormalidad entre vectores:1
Dos vectores y son ortonormales si y solo si ambos son unitarios y son ortogonales entre ellos.
Proyección Escalar:
Sean y , dos vectores en R , la proyección escalar del vector sobre se define de la siguiente forma
Proyección Vectorial:
Sean y , dos vectores en R , la proyección vectorial del vector sobre se define de la siguiente forma:
Matrices
Una matriz es un arreglo de números agrupados en filas y columnas:
En donde representa cada número ubicado en la matriz, donde i es el número de fila y j es el número de columna
En este caso A es una matriz de m×n
Dos matrices A y B son iguales si y solo si A=B y
Producto escalar:
Sea A una matriz de m×n y K un escalar que pertenece a R, la multiplicación de una matriz por un escalar se define de la siguiente forma:
Suma de matrices:
A+B y
Propiedades:
Producto entre matrices:
Sea la matriz A de m×n y B de n×p, se define la multipicacion de matrices como una nueva matriz C de m×p, C=AB, tal que:
Es decir, cada elemento de la matriz producto C es obtenido sumando los productos de cada elemento de la fila i de la matriz A por el correspondiente elemento de la columna j de la matriz B.
Propiedades:
Asociativa Elemento neutro Distributiva
Distributiva
No es posible B×A, ya que la multiplicación entre matrices no es conmutativa.
Antes de definir los tipos de matrices existentes se necesita conocer los siguientes conceptos:
Traza: Es la suma de los elementos de la diagonal principal de una matriz. Se denota tr(A)
Transposición de una matriz: Dada una matriz A de orden m×n, para obtener la matriz transpuesta, la cual se denota por , se deben intercambiar los elementos de las filas por las columnas. La nueva matriz es de orden n×m.
Tipos de matrices:
Matriz cuadrada:
Es una matriz que tiene igual numero de columnas y de filas, es decir m=n
Matriz identidad:
Es una matiz que tiene todos sus elemento iguales a cero, excepto los de la diagonal principal que cada uno es igual a 1.
Matriz triangular superior:
Es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos bajo la diagonal principal iguales a cero.
Matriz triangular inferior:
Es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos sobre la diagonal principal iguales a cero.
Matriz nula:
Es una matriz en la que todos sus elementos son iguales a cero.
Matriz diagonal:
Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos sobre y bajo la diagonal principal iguales a cero. Esto es si i≠j
Matriz simétrica:
Una matriz cuadrada A, se dice que es simétrica, si y solo si,
Matriz antisimetrica:
Una matriz cuadrada A, se dice que es antisimetrica, si y solo si,
Esto implica que los elementos de la diagonal principal sean iguales a cero.
Inversa de una matriz:
Dada una matriz cuadrada A, su inversa, la cual se denota por es una matriz que cumple con:
La matriz inversa, en caso de existir, es única.
Matriz Regular:
Es aquella matriz que tiene inversa.
Es aquella matriz que no tiene inversa.
Propiedades:
Doble inversa Inversa de la transposición
Inversa de la multiplicación por un escalar Inversa de la multiplicación entre matrices
Determinantes:
El determinante de una matriz cuadrada A, el cual se denota por det(A) o , es un valor escalar.
El determinante se lo puede obtener de la siguiente manera:
Teorema:
Si A es una matriz triangular superior o inferior o es una matriz diagonal, entonces , es decir se multiplican todos los elementos de su diagonal principal.
Propiedades de los determinantes:
Teorema:
A es invertible, si y solo si, det(A)≠0.
Sistemas de ecuaciones lineales
Un sistema de m ecuaciones lineales con n incognitas es un conjunto de ecuaciones lineales que son verificadas simultáneamente, y puede escribirse de la forma:
Donde A es la matriz de coeficientes, x es la matriz de variables y b es la matriz de términos independientes.
La representación del sistema de ecuaciones de la matriz aumentada es de la siguiente forma:
Sistemas de ecuaciones lineales homogéneos
Si en un sistema de ecuaciones se cumple que la matriz de términos independientes es una matriz nula, entonces se dice que dicho sistema es homogéneo
Solución de un sistema de ecuaciones lineales:
Es una sucesión ordenada de números reales, que tienen la propiedad que cada ecuación se convierte en una proposición verdadera al reemplazar cada valor en cada una de sus variables.
Ejemplo:
De las siguientes funciones, hallar el conjunto solución: p(x,y):x+2y=1
q(x,y):x+y=1
Solución:
Armamos nuestro sistema de ecuaciones
Luego lo representamos de la forma de matriz aumentada:
Ahora aplicamos Gauss o Gauss-Jordan
Los valores que satisfacen las 2 ecuaciones son x=1 e y=0, por lo tanto Ap(x,y)={(1,0)} En este caso la sulucion del sistema es única.
Existen 3 tipos de soluciones:
Solución única, infinitas soluciones o puede no tener solución. Sistema
Sistema no homogéneo
Sistema homogéneo
Para identificar el tipo de solución aplicando el método de gauss, se debe analizar recursivamente las últimas filas de la matriz aumentada, una vez reducida. En este análisis puede ocurrir que:
-Si la ultima ecuación tiene la forma , el sistema tiene solución única -Si la última ecuación tiene la forma el sistema tiene infinitas soluciones y es una variable libre.
-Si la última ecuación tiene la forma , donde k es un número real diferente de 0, el sistema no tiene solución.
Teorema:
Sea la matriz A de coeficientes, si det(A)≠0, entonces la solución del sistema de ecuaciones lineales es única. En caso de que det(A)=0, el sistema tiene infinitas soluciones o es inconsistente.
Problemas:
1.-De los siguientes sistemas de ecuaciones, sepárelos en sus respectivas matrices de coeficientes, matrices de variables y matrices de términos independientes y halle la solución:
Única Infinitas
No tiene solución
2.- Considere la matriz
Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones:
3.- Sea la matriz
a.- Halle los valores de , para los que la matriz A no tenga inversa.
b.- Tomando =1, resuelva el siguiente sistema escrito en forma matricial:
4.- Calcule a y b para que los sistemas sean consistentes:
5.- Encontrar el valor, o valores, del parámetro que hace que el sistema:
6.- Supongamos que la matriz es invertible. Probar que la solución del
sistema: verifica que .
7.- Sean las matrices: A= y halle los valore de y para que
A=B
8.- Con respecto al sistema de ecuaciones
Es verdad que:
a.-El sitema no tiene solución b.- La solución es única