Juan Pedro Quintanilla Lozano Página 1 de 33
Tema 1. Campo gravitatorio.
1. Momento de una fuerza.
1.1. Sólido rígido
Se llama sólido rígido a un sistema de partículas en la que distancia relativa entre ellas permanece constante con el tiempo (Fig.1). Un sólido rígido por lo tanto no cambia ni su forma ni su volumen durante su movimiento.
Fig. 1. En un sólido rígido el módulo del vector d, permanece invariante en el tiempo.
En el movimiento de un sólido rígido distinguimos un movimiento de traslación y uno de rotación en torno a un eje fijo. En el movimiento de traslación cada uno de los puntos se mueve con una velocidad igual a la del cuerpo en su conjunto. En el movimiento de rotación en torno a un eje fijo, todos los puntos describen trayectorias circulares con la misma velocidad angular.
1.2. Magnitudes que caracterizan el movimiento circular.
Ángulo girado (φ) se mide en radianes (rad). El ángulo también se puede expresar en vueltas o revoluciones o en grados, siendo su equivalencia la siguiente:
1 revolución o vuelta = 2π radianes = 360 º
En un movimiento circular a la vez que el punto móvil recorre un arco, s, su vector de posición describe un ángulo o posición angular, φ (Fig. 2). Ambas magnitudes se relacionan mediante la siguiente expresión:
s r
Velocidad angular (ω) es la variación del ángulo respecto al tiempo.
d dt
Su unidad en el SI es el radian por segundo (rad/s). Es una magnitud vectorial cuyo módulo viene dado por la expresión d
dt
, dirección la de la recta
perpendicular al plano de la circunferencia y de sentido el de avance de un sacacorchos que gira como el punto.
Las velocidades lineales y angulares se relacionan mediante la expresión:
s r
v v r
t t
La relación vectorial entre estas tres magnitudes se deduce considerando que es perpendicular a r, y v es perpendicular a r y (Fig. 3); por tanto la expresión vectorial será:
v r
Fig. 3. El vector velocidad y el vector velocidad angular son perpendiculares.
Aceleración angular (α) es la variación de la velocidad angular respecto al tiempo.
d dt
Su unidad en el SI es el radian por segundo al cuadrado (rad/s2). Es una magnitud vectorial cuyo módulo viene dado por la expresión d
dt
, dirección la de una
Juan Pedro Quintanilla Lozano Página 3 de 33
Fig. 5. Par de fuerzas.
Si la relación modular v r, la derivamos con respecto al tiempo obtenemos:
dv dr dw
r dt dt dt
El primer sumando el segundo miembro es nulo ya que la trayectoria es circular y por tanto r en módulo es constante; y teniendo en cuenta las definiciones de aceleración instantánea (módulo del vector aceleración) y aceleración angular, obtenemos:
a r
Por otra parte, hay que tener en cuenta que para que un cuerpo siga una trayectoria circular debe estar sometido a una aceleración dirigida hacia el eje de giro llamada aceleración normal o centrípeta (Fig 4.). La aceleración normal o centrípeta (an)
expresa la variación de la dirección del vector velocidad, y cuyo valor viene dado por la ecuación:
2 2 n
v
a r
r
La aceleración normal es una magnitud vectorial cuya dirección es perpendicular a la trayectoria en cada punto, su sentido hacia el centro de curvatura y su módulo es el cociente entre el cuadrado del módulo del vector velocidad y el radio de curvatura, r, de la trayectoria.
Fig 4. Componentes intrínsecas de la aceleración.
1.3. Par de fuerzas
Fig. 6. Momento de una fuerza respecto a un punto.
1.4. Momento de una fuerza
Para describir el efecto de la fuerza que produce un giro se utiliza una magnitud vectorial denominada momento de una fuerza (M ) (Fig. 6). El momento de una fuerza respecto a un punto es el producto vectorial del vector de posición r del origen de la fuerza del punto, por la propia fuerza (F)
M r F
El resultado de un producto vectorial es otro vector M :
Módulo: M r F sen
Dirección: perpendicular al plano que determinan los vectores r y F .
Sentido: el de avance de un sacacorchos que va de r a F por el camino más corto.
La unidad del momento de una fuerza en el SI es: m ∙ N.
La rotación será mayor cuanto mayor será el momento, por tanto, cuanto más alejados estemos del origen (r) y cuanto mayor sea el valor de la fuerza aplicada (F), más fácilmente ser conseguirá el giro.
1.5. Estática del sólido rígido
Un cuerpo se encuentra en equilibrio cuando la resultante de las fuerzas y momento resultante sobre él sean nulos, independientemente del punto elegido para obtener ambos.
Equilibrio de traslación: F 0
Equilibrio de rotación: M 0
2. Momento angular o cinético de una partícula.
Supongamos una partícula de masa m, cuyo vector de posición en un instante determinado es r, moviéndose con una velocidad v con respecto a un punto O, origen del vector r. Definimos el momento angular o cinético (L) de la partícula con respecto a O, como un vector resultado del producto vectorial del vector de posición ( r) por el vector momento lineal ( p) de la partícula.
Juan Pedro Quintanilla Lozano Página 5 de 33
Fig. 7. Momento angular. El resultado de un producto vectorial es otro
vector L:
Módulo: L r p sen r m v sen
Dirección: perpendicular al plano que determinan los vectores r y p.
Sentido: el de avance de un sacacorchos que va de r a p por el camino más corto.
La unidad del momento angular en el SI es: kg ∙ m2/s
En un movimiento circular r tiene la misma dirección del radio de la circunferencia y v es tangente a la misma. Son por tanto, vectores mutuamente perpendiculares en todo momento:
0 90 L r p sen r m v sen r m v sen
Para que un cuerpo que se mueva con MCU el módulo del momento angular es constante, ya que en una circunferencia el radio tiene un valor constante y el cuerpo mantiene constante su masa y el módulo de la velocidad.
El momento angular también se puede expresar en función del momento de inercia I. El momento de inercia es una medida de la resistencia de un objeto a experimentar cambios en su movimiento de rotación respecto de un eje. Es el análogo rotacional de la masa.
El momento de inercia I de una partícula de masa m, respecto a un punto o a un eje, es el producto de su masa por el cuadrado de su distancia al eje:
2 I m r
Es una magnitud escalar y su unidad en el SI es kg ∙ m2.
La componente de L en la dirección del eje de giro, OZ, tiene por módulo: 0
90 L r m v sen r m v sen
y como v = ω∙ r, resulta:
2
L r m r L m r L I
En forma vectorial:
3. Ecuación fundamental de la dinámica de rotación.
Como L r p, si derivamos ambos miembros respecto al tiempo, tendremos:
d L d d r d p
r p p r
dt dt dt dt
Derivando p respecto al tiempo, obtendremos:
d p d d v
m v m m a F
dt dt dt
Por tanto:
d L
v p r F
dt
El producto vectorial vp se anula porque son vectores paralelos ( p m v), por lo que su producto vectorial vale cero. Por tanto:
d L
r F M
dt
Se deduce: “El momento de la fuerza que actúa sobre una partícula es igual a la variación que experimenta el momento angular de esa partícula”
Como I es invariante con el tiempo para el sólido rígido, derivándola con respecto a él, nos queda:
( )
d L d I d
M I I
dt dt dt
expresión que constituye la ecuación fundamental de la dinámica de rotación.
4. Teorema de conservación del momento angular. Principio de conservación del momento angular. Fuerzas centrales.
4.1. Teorema de conservación del momento angular.
Si el momento total de las fuerzas exteriores que actúan sobre el sistema es nulo, entonces: M 0 d L 0 L cte
dt
Para un sólido rígido que gira alrededor de un eje fijo, se puede expresar de la forma:
0 0
d I
M I cte
dt
Juan Pedro Quintanilla Lozano Página 7 de 33
Fig. 8. Fuerza central.
Pudiéndose enunciar el correspondiente teorema de conservación del momento angular:
“Si el momento total de las fuerzas exteriores, que actúan sobre un sistema de partículas o sólido rígido es nulo, entonces el momento angular del sistema constante con el tiempo”
4.2. Principio de conservación del momento angular.
Para un sistema aislado (sistema sobre el que no actúan fuerzas exteriores) el anterior teorema puede enunciarse como el principio de conservación del momento angular:
“El momento angular de un sistema aislado permanece constante con el tiempo”
4.3. Fuerzas centrales.
Una fuerza es central (Fig. 8) cuando su dirección pasa siempre por un punto fijo llamado centro. Su dirección es, por tanto, la recta que une el cuerpo con dicho punto.
Cuando una partícula está sometida a una fuerza central será nulo el momento de dicha fuerza, por tener r y F la misma dirección. En consecuencia L es constante. Siendo el vector L perpendicular al plano que forma r y v, su constancia en dirección, nos demuestra que el
plano de r y v es siempre el mismo, es decir, la trayectoria es plana.
Ejemplos de fuerzas centrales son: la fuerza recuperadora de un muelle, la fuerza de atracción que ejerce el Sol sobre la Tierra, el peso de los cuerpos o la fuerza de atracción electrostática.
5. Introducción histórica sobre la concepción del universo.
En el 340 a. C., Aristóteles estableció que la Tierra era redonda y que el Sol, la Luna, los planetas y las estrellas se movían en orbitas circulares alrededor de ella. Este modelo que suponía la Tierra como el centro del universo se denominó teoría geocéntrica, teoría ampliada por Ptolomeo en el siglo II d. C.
Ciertas incoherencias sobre la teoría anterior llevaron a Copérnico en el siglo XVI a establecer el modelo heliocéntrico que se fundamenta en que el Sol estaba estacionario en el centro siendo la Tierra y el resto de los planetas los que orbitaban en torno a él. Esta teoría fue asumida un siglo más tarde por Galileo y Kepler.
Fig. 9. Elipse.
Fig. 10. Recorrido elíptico de un planeta con el Sol en un foco
Fig. 11. Ilustración de la segunda ley de Kepler 6. Leyes de Kepler.
En 1596 Johannes Kepler (1571-1630) recopilando resultados obtenidos de las observaciones astronómicas de Brahe, da las siguientes leyes empíricas del modelo planetario, que no explican las causas de estos movimientos:
Primera ley
“Todos los planetas se mueven en órbitas elípticas con el Sol situado en un foco”
Una elipse es el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a dos puntos llamados focos F es constante: r1 + r2 = cte (Fig. 9). La distancia a es el
semieje mayor y b el semieje menor. El círculo es un caso especial en que los dos focos coinciden en un punto y los dos semiejes son iguales en longitud (a = b = r, donde r es el radio de la circunferencia).
La figura 10 muestra una trayectoria elíptica de un planeta con el Sol en un foco. La órbita terrestre es casi circular; la distancia
al Sol en el perihelio (punto más próximo) es de 1,48 ∙ 1011 m, y en el afelio (punto más lejano) de 1,52 ∙ 1011 m. El semieje mayor, que es la semisuma de estas distancias (ra + rp)/2, vale 1,50 ∙ 1011 m para la órbita
terrestre. La distancia media Tierra-Sol define la unidad astronómica (UA):
1 UA = 1,50 ∙ 1011 m Segunda ley
“La recta que une cualquier planeta con el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales, es decir, la velocidad areolar se mantiene constante”
Juan Pedro Quintanilla Lozano Página 9 de 33
Fig. 12.
cuando está más próximo al Sol que cuando está más lejos, de tal manera que el área barrida por el radio vector en un determinado intervalo de tiempo es la misma a lo largo de toda la órbita.
La segunda ley de Kepler, resulta del hecho de que la fuerza ejercida por el Sol sobre un planeta está dirigida hacia el Sol.
Esta es una fuerza central. La figura 12a muestra un planeta que se mueve en una órbita elíptica alrededor del Sol. En el tiempo dt, el planeta se desplaza una distancia dr = vdt y el radio vector barre el área indicada en la figura. Esta es la mitad del área del paralelogramo formado por los vectores r y d r, es decir, r d r . Por lo tanto, el área dA barrida por el radio vector r en el tiempo dt es:
1 1
2 2
dA d r
r r v
dt dt
Por otra parte,
L L r p r mv r v
m
nos queda:
1 2 dA
L dt m
Como la fuerza es central L cte dA cte dt
Asimismo, por el hecho que L es constante se sabe que m r v sen φ también lo es. Tanto en le perihelio como el afelio φ = 90o (Fig. 12b), por lo que:
p p a a
r v r v
Tercera ley
“El cuadrado del periodo de cualquier planeta es proporcional al cubo del semieje mayor de su órbita”
Fig. 14. Ley de gravitación universal Fig. 13. Órbita circular: Fg Fc
media entre un planeta y el Sol y T es el periodo de revolución del plantea, la tercera ley de Kepler establece que:
2 3
T Cr o
2
3 T C
r
en donde la constante C tiene el mismo valor para todos los planetas.
Para comprobar la tercera ley de Kepler, vamos a considerar órbitas circulares (Fig. 13), en las cuales se ha de cumplir que la fuerza centrípeta de la Tierra es igual a la fuerza gravitatoria:
2
2 2
s p s
g c p
GM m v GM
F F m v
r r r
Teniendo en cuenta que: 2
v r r
T
Obtenemos:
2 2 2
2 3
2
4 4
s
s
GM r
T r
r T GM
7. Ley de la gravitación universal.
Newton publicó en el año 1686, a partir de las leyes de Kepler, la ley de la gravitación universal, según la cual:
“Todos los cuerpos se atraen entre sí con una fuerza directamente proporcional al producto de sus masa e inversamente proporcional al cuadrado de las distancia que los separa (Fig. 14)”
La expresión matemática de esta ley es:
1 2 2 r m m
F G u
r
donde:
F es la fuerza con la que se atraen los dos cuerpos, es decir, la fuerza con la que 1
Juan Pedro Quintanilla Lozano Página 11 de 33
Fig. 16. Experiencia de Cavendish
m1 y m2 representan las masas consideradas.
r es la distancia entre ellas (medida entre los centros de los cuerpos).
r
r u
r
es el vector unitario en la dirección que une a ambos cuerpos (va de 1 a 2).
G es la constante de gravitación universal, cuyo valor es: G = 6,67 ∙ 10-11 N ∙ m2/kg2. La pequeñez de esta constante hace que no se note la
atracción entre los cuerpos que nos rodean.
De acuerdo con la tercera ley de Newton, la fuerza con la que m2 atrae a m1 es al opuesta a la fuerza con la que m1 atrae a m2(Fig. 15).
12 21 F F
El módulo de la fuerza gravitatoria ejercida por una partícula de masa m1 sobre otra partícula de masa m2 a una distancia r viene dada por:
1 2 2 m m
F G
r
Algunos de los aspectos más significativos de esta ley son:
La constante de gravitación universal es independiente del medio, por tanto, su valor es igual en el vacío que en cualquier otro medio.
Las fuerzas gravitatorias son atractivas en todos los casos.
Las fuerzas gravitatorias son centrales e inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia que separa las masas.
7.1. Determinación de la constante de gravitación universal
En 1798 Henry Cavendish (1731-1810) determinó con la balanza de torsión el valor de G (Fig. 14), al medir la atracción entre dos masas conocidas.
Consiste en tomar dos bolitas metálicas (A y B) de masa m (Fig. 16), y colocarlas en los extremos de una varilla muy ligera de longitud l, colgada por su centro O, de un hilo de cuarzo resistente a la torsión. Colocamos delante y detrás de
ellas sendas bolas de plomo (C y D) de gran masa M, que atraerán a las bolitas A y B con una fuerza F dada por la ley de gravitación de Newton. Se habrá formado un par de fuerzas y la varilla AOB girará un ángulo φ, consiguiéndose el equilibrio cuando el momento del par de fuerzas que actúa sobre la varilla, sea igual al momento del par de torsión del hilo (Cφ), siendo C la constante de torsión del hilo de cuarzo, constante característica de él.
Suponiendo que en la posición de equilibrio de la varilla (A´OB´) las fuerzas son perpendiculares a ella, y que las distancias entre los centros de A´ y C y de B´ y D son iguales, e iguales a r, se habrá de verificar: Cφ = Fl = GMml/r2.
De la anterior ecuación obtenemos el valor de G en función de magnitudes conocidas:
2 C r G
Mml
resultando para valor de G, el expresado anteriormente.
Juan Pedro Quintanilla Lozano Página 13 de 33 8. Campo gravitatorio. Intensidad. Energía potencial gravitatoria. Potencial
gravitatorio.
8.1. Concepto de campo.
Si se empuja un objeto con la mano, a esta fuerza de interacción entre dos cuerpos se le da el nombre de fuerza de contacto. Sin embargo, hay muchos cuerpos que “interactúan” sin estar en contacto. Por ejemplo, la interacción que existe entre el Sol y la Tierra y la interacción entre un imán y un clavo situado a cierta distancia. Para explicar estas interacciones se introduce el concepto de campo.
Campo es una región del espacio cuyas propiedades son perturbadas por la presencia de una partícula. Un campo queda definido mediante magnitudes que toman valores diferentes en cada punto del espacio y en tiempo.
Cuando las magnitudes son vectoriales, el campo es vectorial, como por ejemplo, u n campo de fuerzas gravitatorias o eléctricas. Mientras que si las magnitudes son escalares, el campo es escalar, como por ejemplo, un campo de temperaturas o de presiones.
8.2. Campo gravitatorio.
Un campo gravitatorio es la región del espacio en el que se aprecia la perturbación provocada por la masa de un cuerpo.
Para que se ponga de manifiesto es necesario que se introduzca en el campo otro cuerpo con masa. La interacción que se origina es una fuerza de atracción gravitatoria entre el cuerpo que crea el campo y el que introducimos en él.
El campo gravitatorio al ser un campo vectorial se representa gráficamente mediante líneas de campo. Las líneas de campo son líneas tangentes en cada punto al vector definido en ellos. En el caso de los campos de fuerzas se llaman líneas de fuerza.
En un campo gravitatorio, las líneas de campo son líneas tangentes a la unidad de masa situada en reposo en el interior de dicho campo. Estas líneas son abiertas, de dirección radial y su sentido es siempre entrante hacia la masa que origina el campo. Dado que la fuerza que actúa es única en cada punto, las líneas de fuerza del campo gravitatorio no se cortan. En la figura 17, se representa las líneas de fuerza del campo gravitatorio creado por una masa puntual M.
Fig. 17. Líneas del campo creado por una masa puntual
Fig. 19. Líneas de campo creado por dos masas diferentes.
Fig. 18. Líneas de campo creado por dos masas iguales
Fig. 20. Campo creado por una masa M en un punto P.
Si una masa es mayor que la otra, el punto donde se anula el campo está más próximo al cuerpo de menor masa (Fig. 19).
8.3. Intensidad de campo gravitatorio.
La intensidad del campo gravitatorio en un punto es la fuerza que actúa sobre la unidad de masa colocada en el punto. Es, por tanto, una magnitud vectorial, de la misma dirección y sentido que la fuerza, y se representa por g. Así, el campo creado por una masa M en un punto A situado a una distancia r de
la masa es:
2
2 r
r GMm
u
F r GM
g g u
m m r
donde r es el vector de posición del punto respecto al cuerpo que crea el campo, y ur es un vector unitario en su dirección y sentido.
Como la fuerza gravitatoria es de atracción, g y r
Juan Pedro Quintanilla Lozano Página 15 de 33
Fig. 21. Principio de superposición. En módulo:
2 GM g
r
A la intensidad de campo se le llama simplemente campo. 8.3.1.Principio de superposición
Cuando en una región del espacio existen varias masas (Fig. 21), el campo creado en un punto es la suma vectorial de los campos que producirían cada una de ellas separadamente. Esto se conoce como principio de superposición.
1 2 3 i
gg g g g
8.3.2.Intensidad del campo gravitatorio terrestre.
La intensidad del campo gravitatorio terrestre en un punto es la fuerza con que la Tierra atrae a la unidad de masa, colocada en el punto.
Considerando la Tierra como una esfera, el valor de la intensidad del campo gravitatorio terrestre, teniendo en cuenta únicamente la atracción gravitatoria, para cualquier punto exterior a ella y que se encuentra a una distancia r de su centro será:
2 GM g
r
La expresión vectorial de campo gravitatorio terrestre es:
2 r GM
g u
r
en el que M es la masa de la Tierra y r es la distancia desde el centro de la Tierra hasta el punto.
La intensidad del campo en la superficie de la Tierra (r = RT) será:
2 0 2 9,81 N/kg o m/s
T GM g
R
Fig. 22. Campo gravitatorio terrestre en el interior de la Tierra Ahora bien, su valor será tanto menor cuanto más alejado esté el punto por encima de la superficie de la Tierra. Así, la intensidad del campo gravitatorio terrestre en el exterior de la Tierra (r = RT + h):
2 ( ) h T GM g R h
Siendo h la altura sobre la superficie de la Tierra. Dividiendo gh entre go, se obtiene:
2 2 2
2 2
2
( )
( ) ( )
h T T T
h o
o T T
T GM
g R h R R
g g
GM
g R h R h
R
La intensidad del campo gravitatorio terrestre en el interior de la Tierra (Fig. 22) es:
int int 2 GM g r
donde Mint es la masa de la
esfera interior de la Tierra. Considerando constante la densidad de la Tierra:
int 3 3 4 4 3 3 T T T T M M M V R r
La masa de la esfera interior es:
3
int T 3 T r
M M
R
Por tanto, el campo en el interior de la Tierra a una distancia r del centro es:
3 int
int 2 2 T 3 o
T T
GM G r r
g M g
r r R R
La expresión que da el valor de g en función de la profundidad, p, (r + p =RT), es:
Juan Pedro Quintanilla Lozano Página 17 de 33
Fig. 23. Variación de g con respecto a r
La variación del campo gravitatorio terrestre con respecto a la distancia al centro de la Tierra viene dado por la función (Fig. 23):
2
; ( )
;
o T
T
T
T
r
g r R
R g r
M
G r R
r
El campo gravitatorio aumenta linealmente con la distancia desde el centro hasta alcanzar un máximo en la superficie de la Tierra y disminuye, según una rama de parábola, con el cuadrado de la distancia al centro.
8.4. Energía potencial gravitatoria.
8.4.1.Trabajo y energía.
El trabajo (W) es una magnitud que nos ayuda a medir cuánta fuerza ejercemos para desplazar un objeto de un puno a otro:
si b
a
W
F d r FcteW F rLa energía de un sistema (E) es la capacidad del mismo de realizar un trabajo. Hay distintos tipos de energía:
La energía cinética (Ec) es la energía asociada al movimiento de un cuerpo. La
energía cinética de una partícula de masa m se define como:
2 1 2 c
E mv
La energía potencial (Ep) es la energía almacenada asociada con la configuración
de un sistema. La energía potencial se define según la interacción o fuerza que la origina:
p
dE F
d r
Fig 24. Trabajo a lo largo de una trayectoria cerrada.
8.4.2.Fuerza conservativa.
La energía potencial sólo puede definirse bien, si es causada por una fuerza conservativa.
Fuerza conservativa es aquella para la cual el trabajo realizado sobre una partícula es cero si el trayecto recorrido por la partícula es una superficie cerrada (Fig. 24).
0 A
A
W
Fd r
Fd rEsta definición implica que el trabajo realizado por una fuerza conservativa es independiente de la
trayectoria seguida, únicamente depende de la posición inicial y final.
0
B A B A
AFd r BFd r AFd r BFd r
Podemos por tanto expresar el trabajo como una diferencia de valores entre los dos puntos de una determinada magnitud física que será función de la posición, y que llamaremos energía potencial de la partícula.
1 2 ( B A)
B B
B
A A p p p p p p A
W
Fd r E E E E E E
Fd rLa expresión diferencial de la anterior es:
p p
dE
dE Fd r F
d r
8.4.3.Campo de fuerzas conservativas
Un campo de fuerzas es conservativo cuando el trabajo realizado por fuerza conservativa es independiente de la trayectoria seguida, depende únicamente de las posiciones inicial y final, pero no de las posiciones intermedias.
B A
AFd r BFd r
Si la trayectoria es cerrada, el punto inicial y final coinciden y el trabajo es nulo. Luego el trabajo a lo largo de una trayectoria cerrada es nula.
0 C
Juan Pedro Quintanilla Lozano Página 19 de 33
Cuando se cumple esta condición la fuerza conservativa puede ser obtenida como: p
dE F
d r
Podemos por tanto expresar el trabajo como:
1 2 ( B A)
B B
A A p p p p p
W
Fd r E E E E E8.4.4.Energía potencial gravitatoria.
La interacción gravitatoria es conservativa, es decir, cualquier trabajo realizado por una fuerza conservativa sobre una trayectoria cerrada es cero. En el caso de fuerzas conservativas, se puede definir una magnitud llamada energía potencial, Ep, a partir de
la expresión:
p
p
dE
F dE F d r
d r
y, si integramos entre los puntos A y B:
B A
B
p p A
E E
Fd rEn el caso de fuerza gravitatoria:
1 2 2 r m m
F G u
r Sustituyendo, obtenemos: 1 2 2 B A B r
p p A
m m
E E G u d r
r
Como ures un vector unitario en la dirección y sentido de r. Se demuestra que r
u d rdr, por tanto:
1 2
1 2 1 2
2
1 1 1
B A
B B
p p A
A A B
m m
E E G dr Gm m Gm m
r r r r
Para conocer el valor de la energía potencial en un punto del campo, se debe elegir como origen de la energía potencial el infinito, con lo que la energía potencial gravitatoria de las masas m1 y m2 a distancia r, es:
Fig. 25. Eptotal = Ep12 + Ep13+Ep23 De esta manera puede definirse la energía potencial gravitatoria en un punto como el trabajo que hay que realizar para trasladar la partícula de masa m2 desde el infinito
hasta el punto, en presencia de m1. El signo menos nos indica que en un punto del
espacio la energía potencial es menor que en el infinito.
Es una magnitud escalar, y su unidad en el SI es el Julio (J). 8.4.4.1. Energía potencial gravitatoria terrestre.
Consideremos un cuerpo que se encuentra sobre la superficie de la Tierra y luego asciende a una altura h de la misma. La diferencia de energía potencial entre ambos punto es:
sup
1 1
h erfice
p p p T T
T T T T
h
E E E GM m GM m
R R h R R h
Para puntos que se encuentran en las proximidades de la superficie terrestre (h ≪ RT), se puede hacer la aproximación RT
RTh
RT2:2
T
p o
T
GM
E mh mg h
R
Esta expresión solo es válida con el origen de potenciales sobre la superficie terrestre y para puntos situados en sus proximidades.
8.4.4.2. Energía potencial de un sistema de partículas.
La energía potencial de un sistema formado por más de dos partículas (Fig. 25) se obtiene sumando las energías correspondientes a las combinaciones de partículas tomadas de dos en dos:
Eptotal = Ep12 + Ep13+Ep23
8.5. Potencial gravitatorio.
Los campos de fuerzas conservativos se pueden caracterizar además de por su intensidad por otra magnitud, el potencial.
El potencial gravitatorio (V) en un punto es la energía potencial gravitatoria por unidad de masa colocada en ese punto:
p
E GM
V
m r
Juan Pedro Quintanilla Lozano Página 21 de 33
Fig. 27. Líneas de fuerza y superficies equipotenciales
Fig.26. V V1 V2 V3 Vi
Definimos diferencia de potencial entre dos puntos del campo gravitatorio mediante
la expresión: ´
´ ´
P
dE dW
dV dV dW m dV
m m
o bien: ' `
´ B
B
B B
A
A B A A A A B
W
V V W m dV W m V V
m
Diferencia de potencial entre dos puntos del campo gravitatorio terrestre, es el trabajo que realiza el campo, al pasar la unidad de masa de un punto a otro punto.
Recordando que:
p
B A B A
dE F
dV
d r g V V g d r
d r F
g m
Si hacemos: 2 →∞ implica que VB = 0 por lo que el potencial en el punto (P) será:
A r
V
g d rInterpretando el valor del potencial en un punto como el trabajo que es necesario realizar para trasladar la unidad de masa desde el infinito a dicho punto.
8.5.1.Potencial en un punto debido a una distribución de masas puntuales
De acuerdo con el principio de superposición, cuando en una región del espacio existen varias masas, el potencial gravitatorio en un punto es la suma de los potenciales que producirían cada una de ellas separadamente (Fig. 26).
1 2 3 i
V V V V V
8.5.2.Superficies equipotenciales.
Fig. 28. Movimiento de los satélites. 9. Movimiento de planteas y satélites.
La ley de la gravitación universal y el estudio del campo gravitatorio permiten determinar el movimiento de los cuerpos celestes que orbitan en torno a un centro de atracción gravitatoria. Así, podemos conocer el periodo o la distancia a la que orbitan los planetas del Sol o los satélites en torno a un determinado planeta.
Los avances en tecnología ha permitido colocar en espacio satélites artificiales con el fin de investigar sobre el espacio exterior (como las naves que viajaron a la Luna o a Marte), facilitar las comunicaciones o las predicciones meteorológicas.
9.1. Satélites que orbitan a la Tierra.
Los satélites describen orbitas estacionarias alrededor de la Tierra (Fig. 28), para los cuales:
La órbita es circular.
La fuerza gravitatoria es la fuerza centrípeta que mantiene al satélite en movimiento.
9.1.1.Cálculo del la velocidad orbital.
La velocidad orbital se determina igualando
los módulos de la fuerza centrípeta y la fuerza gravitatoria.
2 2 2
T s T T T
g c s
T
GM m v GM GM GM
F F m v v
r r r r R h
siendo v la velocidad orbital del cuerpo que gira; MT la masa de la Tierra
(5,98 ∙ 1024 kg); y, r el radio de la órbita que describe el satélite, es decir, la suma del radio de la Tierra RT (6370 km) más la altura (h) a la que se encuentra sobre la
superficie de la Tierra.
9.1.2.Cálculo del periodo de revolución.
Para calcular el tiempo que tarda el satélite en completar su órbita, además de igualar ambas fuerzas, relacionaremos la velocidad orbital con su correspondiente velocidad angular.
2 2 2
T s T
g c s
GM m v GM
F F m v
r r r
Teniendo en cuenta que: v r 2 r T
Juan Pedro Quintanilla Lozano Página 23 de 33
Fig. 29. Satélite geoestacionario. Obtenemos:
32
2 2 2 2 3
2 3
2
4
4 4 4 T
T
T T T
R h
GM r r
T r T
r T GM GM GM
9.1.3.Satélites geoestacionarios.
Se llaman satélites geoestacionarios (Fig. 29) aquellos que orbitan en torno a la Tierra manteniéndose siempre encima de un mismo punto.
Para un observador terrestre, estos satélites no cambian de posición con el tiempo, es decir, parece que no se mueven.
Para ello, es necesario que el periodo de revolución sea el mismo que el de la Tierra y que orbiten en el plano del ecuador terrestre, así se garantiza que el valor de la fuerza gravitatoria sea la misma en todo su recorrido.
9.2. Energía de los satélites.
Los satélites que estudiamos están sometidos únicamente a la acción del campo gravitatorio, ello nos permite calcular fácilmente su energía mecánica:
2 1 2 m c p
GMm
E E E mv
r
Para el satélite que orbita, Fg Fc, de donde se deduce:
2 2 2
GMm v GM
m v
r r r
Así, la energía mecánica de un satélite es:
1
2 2
m m
GM GMm GMm
E m E
r r r
Fig. 30. En el paso de 1 a 2 la energía se conserva.
Fig. 31. Para pasar de 2 a 3 hemos de 9.2.1.Velocidad de lanzamiento para poner un satélite en órbita.
Supongamos que se lanza un satélite desde la superficie de la Tierra (posición 1) (Fig. 30) hasta alcanzar una órbita determinada (posición 2). Aplicando el principio de conservación de la energía mecánica:
1 2 1 1 2 2
m m c p c p
E E E E E E
2 2
1 2
1 1
2 T 2
GMm GMm mv mv R r 2 2 1 2 1 1
2 T 2
GM GM
v v
R r
En la posición 2, Fg Fc:
2 2 2 2 2 v GMm GM m v
r r r
Relacionando las dos últimas expresiones simplificadas:
2 2
1 1
1 1 1
2
2 T 2 T 2
GM GM GM GM GM
v v
R r r R r
La velocidad de lanzamiento necesaria para poner un satélite en órbita es:
1 1 1 2 2 T v GM R r
Siendo r es el radio de la órbita del satélite; es decir r = RT + h, y h es la altura a la
que se encuentra por encima de la superficie de la Tierra. 9.2.2.Cálculo de la energía para pasar de una órbita a otra.
Supongamos que un satélite pase de la órbita 2 a la órbita 3 (Fig. 31). Tendremos que comunicarle una energía que sea la diferencia ente la que tiene el satélite en cada una de estas órbitas.
La energía que tiene el satélite en una órbita es:
2 1 2 m c p
GMm
E E E mv
r
Juan Pedro Quintanilla Lozano Página 25 de 33
En cualquier órbita:
2 2 2
g c
GMm v GM
F F m v
r r r
Así, la energía mecánica de un satélite es:
1 1
2 2
m m
GM GMm GMm
E m E
r r r
La energía necesaria para pasar de una órbita de radio r2 a otra de radio r3, siendo
r2<r3 es:
3 2
3 2 2 3
1 1 1 1 1
2 2 2
GMm GMm
E E E E GMm
r r r r
9.2.3.Velocidad de escape.
Se llama velocidad de escape (vE) a la velocidad inicial mínima necesaria para que un cuerpo escape de la Tierra.
Supongamos que un cuerpo (Fig. 32) que partiendo de la superficie de la Tierra de masa M y radio R llega al infinito (punto en que la interacción gravitatoria se anua) con velocidad cero, se puede calcular la velocidad mínima para que llegue al infinito, aplicando el principio de conservación de la energía mecánica al punto de lanzamiento y al infinito.
La energía mecánica en el infinito es nula, ya que el cuerpo alcanza dicho punto con velocidad cero y la energía potencial gravitatoria también se anula. Así pues, sino se tiene en cuenta la atracción gravitatoria del resto de astros:
inf
2 1
0 2
lanzamiento inito
m m c p c p E
GMm
E E E E E E mv
R
2
2
E o
GM
v g R
R
Fig. 33. En B se desprenden los cohetes y se inicia la trayectoria libre
Fig. 34. Distintos tipos de órbitas en función de la velocidad y posiciones iniciales 9.3. Tipos de trayectoria en función de las condiciones iniciales y de la energía.
Para poner un satélite en órbita se le hace ascender mediante cohetes hasta una distancia ro
del centro de la Tierra, llegando a ese punto con velocidad vo paralela a la superficie. En ese punto
inicia el movimiento bajo la acción exclusiva de la atracción terrestre.
Determinaremos el tipo de trayectoria que seguirá a partir de B (Fig. 33) en función de vo y
de la energía del satélite.
Se pueden dar los siguientes casos (Fig. 34): a) Órbitas circulares. La energía mecánica es
negativa. La velocidad característica de una órbita circular es: c
o
GM v
r
b) Órbita elíptica. La energía mecánica es negativa. La velocidad inicial del satélite debe estar en el intervalo
o
GM r <ve<
2
o
GM
r , es decir, vc<ve< 2vc.
c) Trayectorias hiperbólicas. La energía mecánica positiva y distinta de cero. En estas trayectorias el cuerpo puede llegar teóricamente al infinito con cierta
velocidad, ya que la energía sería tan solo la cinética, y como hemos visto, no nula.
d) Trayectorias parabólicas. La energía total es nula. La velocidad para esta trayectoria es: 2
o
GM
Juan Pedro Quintanilla Lozano Página 27 de 33
Fig. 35. Flujo del vector campo Ea través del elemento área d A.
Fig. 36. Concepto de ángulo sólido. 10. Teorema de Gauss para el campo gravitatorio.
10.1. Flujo.
Se llama flujo, , al número de líneas de campo que atraviesan una superficie.
El flujo elemental del vector E a través de una superficie infinitamente pequeña d A (Fig. 35), es el producto escalar:
cos
d E d A E dA
siendo φ el ángulo formado por E y la normal a la superficie.
Si la superficie es finita:
cos AE d A AE dA
Su unidad es el Weber (Wb).
10.2. Deducción matemática del teorema de Gauss.
Llamamos campos centrales newtonianos a los campos centrales cuya intensidad varía con la inversa del cuadrado de la distancia al centro. Es decir, tiene la forma:
2 r; en notación escalar: 2
C C
E u E
r r
Donde C es una constante engloba a las magnitudes que crean el campo, llamadas “fuentes del campo” (masas en el campo gravitatorio y cargas en el campo eléctrico).
Para formular el teorema de Gauss conviene definir previamente el concepto de ángulo sólido. Si tenemos un elemento de superficie d A, y un punto P a una distancia r de ella, como en la figura 36, se llama ángulo sólido elemental d, a la abertura espacial delimitada por los rayos que partiendo de P contornean dA, y se expresa como el área normal a r dividida por el cuadrado de la distancia, es decir:
2 cos
dA d
r
Fig. 37. El ángulo sólido abarcado por la esfera A es 4π
Fig. 38. Si e es interior a A, el flujo a través de ella no es nulo.
Si dA pertenece a la esfera, A, de radio R, concentrada en P (Fig.37), el ángulo φ es cero y el ángulo sólido abarcado por toda ella es:
2
2 2
1 4
4 A
R dA
R R
Supongamos ahora que en el punto P, interior a la superficie cerrada A (Fig. 38) existe una fuente de campo e. El flujo de campo a través de A es:
cos AE d A AE dA
y si el campo es newtoniano:
2 cos 4
A A
C
dA C d C
r
Por otra parte, si la superficie A encierra n fuentes de campo, puesto que cada fuente proyecta sus propias líneas y subtiende un ángulo sólido completo, entonces:
1 4
n i i
C
Esta expresión se conoce como el teorema de Gauss:
1 4
n i A
i
E d A C
y expresa que el flujo del campo a través de cualquier superficie que encierra diversas masas o cargas, depende exclusivamente de las fuentes encerradas en la superficie.
10.3. Teorema de Gauss para el campo gravitatorio.
La expresión del teorema de Gauss para un campo central y newtoniano es:
4 AE d A C
Juan Pedro Quintanilla Lozano Página 29 de 33
Fig. 40. El campo en P exterior Fig. 39. Representación del teorema de Gauss.
En nuestro caso es: C Gm, con lo que el campo creado por una masa puntual m es:
4 Ag d A GM
El flujo de campo gravitatorio a través de una superficie cerrada es igual al producto, con signo negativo, 4Gpor la masa encerrada en su interior, no influyendo para nada en él las masas que existan en el exterior.
Resumen
El flujo del campo gravitatorio:
Sg d S
Si la intensidad del campo posee el mismo valor en todos los puntos de la superficie:
cos S
g d S g S g S
El flujo a través de una superficie esférica de radio r que encierra una masa M y el centro de de la esfera es el punto de masa M (Fig. 39), entonces en todos los puntos de la superficie el módulo del campo es el mismo: g GM2
r
. Por tanto:
2 2
cos GM 4 ( 1) 4
g S r GM
r
10.4. Cálculo de la intensidad del campo gravitatorio producido por una esfera homogénea.
Vamos a calcular el campo a una distancia r del centro de una esfera homogénea. a) En un punto P exterior a la esfera
homogénea (r > a) (Fig. 40).
cos
Ag d A Ag dA Ag dA
como g sólo depende de r y A es una esfera, es constante al integrar, luego:
2 4 A
g dA g r
Fig. 41. El campo en P interior. por otra parte: 4GM en la que M es la masa total, luego: g GM2
r
La intensidad del campo gravitatorio que produce una distribución esférica y homogénea de masa m en un punto exterior, es la que produciría una masa puntual colocada en el centro de la distribución.
b) En un punto P interior a la esfera homogénea (r < a) (Fig. 41).
cos
Ag d A Ag dA Ag dA
y por otra parte: 4GM´donde M´es la masa encerrada dentro de A’ (M´ < M), luego: g GM2 ´
r
; la esfera es homogénea
luego su ρ es constante y de valor:
3 3
3
3 3
´
4 4
3 3
´
M M
a r
r r
M M g GM
a a
Juan Pedro Quintanilla Lozano Página 31 de 33 Actividades.
1. Basándose en la conservación del momento angular explica por qué un patinador sobre hielo cierra los brazos para girar más rápido.
2. Diseña una tabla donde reflejes las principales magnitudes de la dinámica de traslación y sus equivalentes en la dinámica de rotación.
3. El cometa Halley se mueve en una órbita elíptica alrededor del Sol. En el perihelio se encuentra a 8,75 ⋅ 107 km del Sol, y en el afelio, a 5,26 ⋅ 109 km. Determina en cuál de estos puntos es mayor la velocidad del cometa y cuánto mayor es en uno de ellos que en el otro.
4. Venus describe una órbita elíptica alrededor del Sol. Su velocidad en el afelio es de 3,48 ⋅ 104 m/s y en el perihelio es de 3,53 ⋅ 104 m/s. Si la distancia que separa el afelio del perihelio es de 1,446 UA, determina a qué distancia se encuentra Venus del Sol en cada una de esas posiciones. Dato: 1 UA = 1,496 ⋅1011 m.
5. Si la órbita de un planeta es elíptica, ¿en qué punto de su trayectoria tendrá velocidad lineal máxima? ¿Y si la órbita fuera circular?
6. a) Enuncie las leyes de Kepler y razone si la velocidad de traslación de un planeta alrededor del Sol es la misma en cualquier punto de la órbita. b) Justifique si es verdadera o falsa la siguiente afirmación: «la gravedad en la superficie de Venus es el 90 % de la gravedad en la superficie de la Tierra y, en consecuencia, si midiésemos en Venus la constante de gravitación universal, G, el valor obtenido sería el 90 % del medido en la Tierra».
7. La distancia media de Marte al Sol es 1,468 veces la de la Tierra al Sol. Encontrar el número de años terrestres que dura un año marciano.
8. En cada uno de los vértices de un triángulo equilátero de 6 m de lado tenemos un cuerpo de 5 kg. a) Calcula la fuerza que el conjunto ejerce sobre otro cuerpo de 10 kg que se encuentra en el baricentro del triángulo. b) ¿Y si el cuerpo que está en el baricentro fuese de 100 kg?
9. ¿En qué punto se equilibran las atracciones que ejercen la Tierra y la Luna sobre un cuerpo? Distancia entre los dos astros = 384400 km. La masa de la Tierra es 81 veces mayor que la de la Luna.
11. Calcular la masa del Sol, suponiendo que la Tierra describe una órbita circular alrededor de él, sabiendo que la distancia entre el Sol y la Tierra 1495 ∙ 105 km. Dato: G = 6,67 ⋅10−11 N ⋅m2⋅kg−2.
12. Calcula la distancia al centro de la Tierra de un punto donde la aceleración de la gravedad es g/4. Dato: radio terrestre = 6,37 ∙ 106 m.
13. Calcula cómo varía la intensidad del campo gravitatorio al elevarnos 1000 m sobre la superficie terrestre. ¿Hasta qué altura deberíamos ascender para que se reduzca en un 10 %? Datos: RT = 6,37 ∙ 106 m, go = 9,81 m/s2.
14. Diga si es cierto o falso y razone la respuesta: “La intensidad del campo gravitatorio aumenta con la distancia a la superficie de la Tierra”.
15. Determina la energía potencial que corresponde a una masa de 800 kg situada en un
punto a 3 veces el radio de la Tierra desde la superficie terrestre. Datos: RT = 6,37 ∙ 103 km, go = 9,81 N/m.
16. Cuatro masas puntuales idénticas de 6 kg cada una están situadas en los vértices de un cuadrado de lado igual a 2 m. Calcula: a) El campo gravitatorio que crean las cuatro masas en el centro de cada lado del cuadrado. b) El potencial gravitatorio creado por las cuatro masas en el centro del cuadrado, tomando el infinito como origen de potenciales. Dato: G = 6,67 ⋅10−11 N ⋅m2⋅kg−2.
17. Dos masas de 5 y 10 kg, están situadas en los puntos (0, 3) y (4, 0) m, respectivamente. a) Calcule el campo gravitatorio en el punto (4, 3) m y represéntelo gráficamente. b) Determine el trabajo necesario para trasladar una masa de 2 kg desde el punto (4, 3) hasta el punto (0, 0) m. Explica si el valor del trabajo obtenido depende de camino seguido. Dato: G = 6,67 ⋅10−11 N ⋅m2⋅kg−2. 18. Determina cuánto valdrá el trabajo que realiza la fuerza de un campo gravitatorio
para desplazar un cuerpo de masa m de un punto A a otro B si ambos pertenecen a la misma superficie equipotencial.
19. Calcular a qué velocidad hay que colocar en su órbita estable a un satélite artificial a una altura de 30000 m sobre la superficie terrestre. Datos: RT = 6370 km,
go = 9,81 N/m.
20. Calcular el periodo de un satélite artificial que está girando a 104 km de altura. Datos: RT = 6370 km, go = 9,81 N/m.
Juan Pedro Quintanilla Lozano Página 33 de 33 22. Un satélite artificial de 100 kg de masa gira en órbita circular de radio 7000 km
alrededor de la Tierra: a) ¿Cuál es la velocidad del satélite en dicha órbita? b) ¿Cuál es su energía mecánica? c) ¿Con que velocidad ha sido lanzado desde la superficie terrestre para ponerlo en esa órbita? Datos: RT = 6370 km, MT = 5,98 ∙ 1024 kg,
G = 6,67 ⋅10−11 N ⋅m2⋅kg−2.
23. Un satélite artificial de 500 kg gira en una órbita circular a 5000 km de altura sobre la superficie terrestre. Calcula: a) Su velocidad. b) Su energía total. c) La energía necesaria para que, partiendo de esa órbita, se coloque en otra órbita circular a una altura de 10000 km. d) En este proceso, ¿cuánto cambia su momento angular? Datos: RT = 6370 km, MT = 5,98 ∙ 1024 kg, G = 6,67 ⋅10−11 N ⋅m2⋅kg−2.
24. a) Calcula la velocidad de escape desde la superficie de la Luna. b) Se lanza verticalmente un objeto desde la superficie de la Luna, con velocidad inicial igual a la de escape. ¿A qué distancia del centro de la Luna se reduce su velocidad a la
mitad de la inicial? Datos: RL = 1,74 ∙ 106 m, ML = 7,34 ∙ 1022 kg,
G = 6,67 ⋅10−11 N ⋅m2⋅kg−2.
