UT VII Impulso y cantidad de movimiento

UT VII : CANTIDAD DE

Impulso y cantidad de movimiento. Centro de masa. Movimiento del centro de masa. Cantidad de movimiento. Cantidad de movimiento de una partícula. Cantidad de movimiento de un sistema de partículas. Conservación de la cantidad de movimiento. Impulso de una fuerza. Relación entre en impulso y la cantidad de movimiento. Colisiones o choques. Colisiones elásticas e inelásticas en una dimensión. Colisiones en dos y tres dimensiones. Movimiento de un cohete.

En esta Unidad extenderemos a los sistemas de puntos materiales algunos conceptos que desarrollamos en la Dinámica del Punto, particularmente las leyes de

conservación, y algunos conceptos nuevos como ser

centro de gravedad y centro de masa, momento angular,

y colisiones entre partículas. Es decir desarrollaremos la Dinámica de Sistemas.

Consideraremos en algunos casos el tamaño real de los objetos, describiremos sistemas de objetos que

Centro de masa y centro de gravedad

movimiento de todo el cuerpo, es decir se mueve de la misma manera que se movería una sola partícula sometida a las mismas fuerzas externas.

• En los módulos anteriores se ha estudiado la cinemática y dinámica de una partícula. Sin embargo cuando el objeto a estudiar no tiene características de partícula, la descripción del movimiento es menos simple, sobre todo si el cuerpo además de trasladarse, gira y vibra.

• Es un punto en el cual se puede considerar concentrada toda la masa del cuerpo (y podemos tratarlo como una partícula).

Definición: La posición del centro de masa de un sistema formado por N partículas se define como

1

1 1

1

1

con M= N

i i _{N N}

i

c m _{N i i i}

i i

i i

m r

r m r m

M m

Masa total del sistema

y

cm cm cm cm i i i i

r x i y j z k r x i y j z k

1 1 1

1 1 1

, ,

N N N

i i i i i i

i i i

cm _N cm _N cm _N

i i i

i i i

m x m y m z

x y z

m m m

Componentes del

vector r_cm

1 1 2 2

1 2

CM

m x m x

x

m m

Sistema de dos partículas de masas m₁ y m₂

1 2 2 1

2

0, y 2

3

CM

x x d m m x d

El CM se encuentra mas cerca de la

partícula mas masiva.

1 0, 2 y 2 1

2

CM

d

x x d m m x

• Un cuerpo rígido, puede considerarse como un sistema de partículas en que la distancia relativa entre ellas permanece constante.

• Dado el gran numero de partículas y sus espaciamientos tan pequeños, un cuerpo puede considerarse como una gran distribución continua de masa

• Para encontrar el centro de masa, se consideran elementos infinitesimales de masa Δm con coordenadas (x,y,z).

Dividimos el objeto en elementos de masa Δm_i y coordenadas (x_i, y_i, z_i).

con _i i

1

1

1

CM i i

i

CM i i

i

CM i i

i

x x m

M

y y m

M

z z m

M

La integral se extiende a todo el volumen del cuerpo

1

CM

r

r dm

M

Estas ecuaciones son exactas si i —>∞

0 0 0 1 1 lim 1 1 si lim 1 1 lim i i i

CM i i

m

i

i CM i i

m

i

CM i i

m

i

x x m x dm

M M

i

m dm y y m y dm

M M

z z m z dm

1

1

si y

1

1 y

CM

CM

CM

CM

x x dV

M

dm dV M dV y y dV

M

z z dV

M

r r dV

M

Ejemplo: Encontrar el centro de masa de una varilla de

longitud L, de sección transversal A y masa M, de densidad uniforme.

M M

V AL

dV Adx

0 0

2 0

0

1 1

1 1

2 2

L L

cm

L L

M

x x dV x Adx

M M AL

x L

x dx

Centro de masa de un aro semicircular 2 0 2 0 0 2 1 1 ( ) 1

( cos( ) sin( ) )

( cos( ) sin( ) )

sin( ) cos( )

2

cm

cm

r r dm x i y j dm

M M

r i r j r d

M r

i j d

Si un objeto simétrico tiene

distribución de masa uniforme, su centro de masa yace sobre un eje de simetría y sobre cualquier plano de simetría.

Es posible determinar el CM de un objeto plano de forma

irregular suspendiéndolo de

diferentes puntos y trazando las verticales que pasan por los

puntos de suspensión. La

Centro de gravedad

El centro de gravedad de un sistema de partículas es el punto en que puede considerarse que actúa el peso total del mismo, y sus coordenadas están dadas por

1 1 1

1 1 1

, ,

N N N

i i i i i i i i i

i i i

c g N c g N c g N

i i i i i i

i i i

x m g y m g z m g

x y z

m g m g m g

Si g puede considerarse constante, puede sacarse factor

común y cancelarse, coincidiendo el centro de gravedad con el centro de masa.

Componentes del

Movimiento del centro de masa

Si arrojamos un martillo en tiro oblicuo, los puntos materiales que lo constituyen seguirán trayectorias complejas debido a la rotación del mismo, sin embargo, si de alguna manera siguiéramos la trayectoria del centro de masas veríamos que esta es una parábola

Veremos que esto se debe a que el movimiento del CM se debe únicamente a las fuerzas

En la figura, en a) se lanza una pelota que sigue una trayectoria parabólica . En b) se lanza un bate de beisbol, que sigue una

1

1 N

cm i

cm i

i

d r d r

v m

dt M dt

i i d r v dt 1

1

N

cm i i

i

v

m v

M

2 2 1 1 N cm i cm i i

dv d r

a m

dt M dt

1

1

N

cm i i

i

a

m a

M

velocidad de la i-ésima partícula

velocidad del centro de masa

Aceleración del centro de masa

• Las fuerzas que actúan en un sistema de partículas pueden ser internas o externas

• Las fuerzas internas son fuerzas ejercidas sobre las

partículas del sistema por otras partículas que también pertenecen al sistema (por interacción gravitatoria o eléctrica por ejemplo).

• Las fuerzas externas son ejercidas por agentes que no pertenecen al sistema (interacción gravitatoria con una masa externa, por ejemplo).

internas externas

internas externas

internas

externas externa total

pero

0 Por la 3º Ley de Newton

cm _{i i}

i

total i i

i i

i i i

i i

cm

i i

i

i

i cm

i

M a m a

m a F F F

M a F F

F

M a F F

3

1

1 2 3

1 2 3

cm _i i

i

M a m a

m a m a m a

La aceleración de cada

partícula se obtiene aplicando la segunda ley de Newton

i

i i

i

F m a

1 1 1 21 31 1

2 2 2 12 3 2 2

3 3 3 13 2 3 3 ext

ext

ext

m a F F F F

m a F F F F

m a F F F F

Sumando miembro a miembro

21 31 12 3 2 13 23 1 2 3

cm _{ext ext ext}

M a F F F F F F F F F

el principio de Acción y Reacción

21 12

31 13

2 3 3 2

i j j i

F F

F F F F

F F

1 2 3 ext ext total

cm _{ext ext ext}

M a F F F F F

ext cm

M a

F

La aceleración del centro de masa está determinada solo por las

fuerzas externas, y esto es válido, cualquiera sea el número de

Cantidad de movimiento de un sistema de partículas.

Definimos la cantidad de

movimiento de una partícula como p mv F d p_dt

Si el sistema tiene N partículas, la cantidad de movimiento o

momento total es 1 1

N N

i i i

i i

P p m v

Si el sistema esta sometido a acción de fuerzas, la cantidad de movimiento puede cambiar. La rapidez del cambio esta

dada por

i i i

i i

d p d m v

d P

1 1

N N

cm i i i

i i

M v m v p P

_P

_{M v}

_cm

cm

cm

d P

d v

M

M a

dt

dt

ext cm

M a

F

ext

d P

F

dt

Vimos que el movimiento del CM solo esta

determinado por las fuerzas externas

La cantidad de movimiento total P de un

Si para es y para es , y se cumple

La cantidad de movimiento individual de cada partícula puede cambiar tanto por la acción de las fuerzas internas como

externas, pero el cambio de la cantidad de movimiento total P

debido a las fuerzas internas es siempre cero, y solo se debe a las fuerzas externas.

0 0

ext

d P F

dt P Cte

La cantidad de

movimiento total se mantiene constante.

Cuando la fuerza externa resultante que actúa sobre el sistema es nula, la cantidad de movimiento total del sistema se conserva

i

t t P Pi t t_f t_i P Pf

0

ext

F

i f

P

P

es

y

Impulso y momento

2 2

1 1

2

1

2 1

( ) p t

p t

t

t

d v d m v d p

F m a m d p F dt d p F dt

dt dt dt

I F dt I p p p

El impulso de la fuerza F es igual al cambio de momento de la

partícula.

El impulso es un vector que tiene una magnitud igual al área bajo la

curva de fuerza-tiempo. ti tf

t F

La 2º ley de Newton puede escribirse como

La fuerza F que actúa en un tiempo muy corto, se le llama fuerza impulsiva.

El impulso se puede escribir como: I = F_m Δt. Donde F_m es la fuerza promedio durante el intervalo Δt.

Impulso y momento

2

1

t

m

t

I

F dt

F

t

Colisiones - Choques

•

Una colisión es una interacción entre dos o más objetos que tiene lugar en un intervalo corto de tiempo y en una región delimitada del espacio.

•

Puede que las fuerzas de interacción entre los objetos sean grandes, pero no vamos a examinarlas en detalle. Sólo vamos a considerar los objetos antes y después de la colisión y supondremos que durante el tiempo de la

colisión, el impulso debido a las fuerzas externas al sistema es despreciable y por tanto no contribuye a la cantidad de movimiento del sistema.

Considerando la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento (conservación de las componentes)

1 D => 1 ecuación y 2 incógnitas (V_1xf y V_2xf)

2 D => 2 ecuaciones y 4 incógnitas (V_1xf, V_1yf, V_2xf, V_2yf)

3 D => 3 ecuaciones y 6 incógnitas (V_1xf, V_1yf, V_1zf ,V_2xf, V_2yf , V_2zf)

En estas condiciones el problema no tiene solución, ya que tenemos más incógnitas que ecuaciones.

Se necesita mas información.

En algunas colisiones, denominadas elásticas se conserva la energía cinética. Si la Ec no se conserva se denominan inelásticas.

Consideraremos colisiones en una dimensión. Se conserva la cantidad de movimiento:

Inelásticas: cuando parte de la energía cinética total se transforma en energía no recuperable (calor,

deformación, sonido, etc.).

Perfectamente inelásticas: cuando los objetos permanecen juntos después de la colisión.

2 2 2 2

1 1 1 1

1 1 2 2 1 1 2 2 2 m v i 2 m v i 2 m v f 2 m v f

Clasificación de las colisiones

1f 2 f

v

v

v

Las colisiones se clasifican en:

Elásticas: cuando se conserva la energía cinética total, es decir:

1 1i 2 2i 1 1f 2 2f

Para colisiones

perfectamente inelásticas se cumple lo siguiente:

1 1 2 2 1 2

1 2

i i

f f

m v m v

v v v

m m

Si m₂ está inicialmente en reposo v_2i = 0,

entonces: 1 1 1 2 i m v v m m

Si m₁ >> m₂, entonces v v_1i.; Si m₁ << m₂, entonces v 0.

Si v_2i = -v_1i , entonces:

Si en este caso m₁= m₂, entonces: v = 0

1 2 1 1 2 i m m v v m m

Choques elásticos

En colisiones elásticas se conserva el momento y la energía total. Entonces se tiene que:

2 2 2 2

1 1 1 1

1 1 2 2 1 1 2 2

2

m v

i 2

m v

i 2

m v

f 2

m v

f

1 1i 2 2i 1 1f 2 2f

m v

m v

m v

m v

Es fácil mostrar, a partir de lo anterior, que:

1i 1f 2i 2 f

Es fácil mostrar que las velocidades finales de los dos objetos son:

(se obtienen de las ecuaciones de

conservación de la Ec y p)

1 2 2

1 1 2

1 2 1 2

1 2 1

2 1 2

1 2 1 2

2

2

f i i

f i i

m

m

m

v

v

v

m

m

m

m

m

m

m

v

v

v

m

m

m

m

En una colisión elástica la velocidad relativa de los cuerpos en colisión cambia de signo, pero su magnitud permanece inalterada.

1 2

1 2

i i i

i f

f f f

u

v

v

u

u

u

v

v

Si m₁ = m₂, entonces

v

_1f

=

0

y

v

_2f

=

v

_1i. Es decir, dos objetos de masas iguales intercambian sus velocidades.

Si m₁ >> m₂, entonces

v

_1f

v

_1i y

v

_2f

2

v

_1i. Quiere decir que un objeto grande que choca con otro pequeño casi no altera su velocidad pero el objeto pequeño es arrojado con una

velocidad del doble de la del pesado.

Si m₁ << m₂, entonces

v

_1f

-

v

_1i y

v

_2f

(2

m

₁

/

m

₂

)

v

_1i

0

. Cuando un objeto ligero choca con otro pesado, adquiere una velocidad opuesta a la que traía.

Si

v

_2i

=

0

, entonces:

1 2 1

1 1 2 1

1 2 1 2

2 y

f i f i

m m m

v v v v

Colisiones en dos dimensiones

Para el caso de dos dimensiones la conservación del momento se expresa para cada componente como:

1 1 2 2 1 1 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2

ix ix fx fx

iy iy fy fy

m v

m v

m v

m v

Consideraremos el caso en que m₂ está en reposo inicialmente. Después del choque m₁ se mueve a un ángulo θ con la horizontal y m₂ se mueve a un ángulo φ con la horizontal.

1 1 1

2 2

1 1 1 1

2 2 2 2

y 0

0

cos( ) y sin( )

cos( ) y sin( )

xi i yi

xi yi

xf f yf f

xf f yf f

v v v

v v

v v v v

v v v v

Con esta condiciones las ecuaciones de

conservación de la cantidad de

movimiento son:

1 1 1 1 2 2

1 1 2 2

cos( ) cos( ) 0 sin( ) sin( )

i f f

f f

m v m v m v

La ley de la conservación de la energía suministra otra ecuación. Sin embargo, dadas las masas y la velocidad inicial deberá darse alguna de las cantidades restantes

v_1f, v_2f, θ, φ, para poder resolver el sistema de ecuaciones.

2 2 2

1 1 1

1 1 1 1 2 2

2

m v

i 2

m v

f 2

m v

f

1 1 1 1 2 2

1 1 2 2

cos( )

cos( )

0

sin( )

sin( )

i f f

f f

m v

m v

m v

m v

m v

Conservación de la Ec.

Movimiento de un cohete

El cohete al funcionar el motor expulsa por la tobera de escape parte de la masa que lo compone (combustible), por lo que su masa no es constante.

En un instante t dado la masa del cohete mas el combustible es M+Δm

y su velocidad es v. En t+ Δt la masa se reduce a M habiendo expulsado combustible de masa Δm, y velocidad incrementada en Δv. Como no

actúan fuerzas externas sobre el

Si el cohete en un intervalo de tiempo Δt gana una cantidad de movimiento M Δv debido a la expulsión de los gases de combustión, la masa Δm de este gas obtiene un momento

Δm v_e en dirección opuesta, tal que M Δv - Δm v_e = 0

0

si 0

e

M v v m

v dv

t

m dm

Un incremento dm en la masa de combustible expulsado implica una disminución (variación negativa) dM de la masa del cohete, esto es dm = -dM . La ecuación de

conservación del momento queda:

e e

Si en t_i el cohete tiene masa M_i (incluido el combustible) y velocidad v_i, y en t_f masa M_f (que incluye el combustible remanente) y velocidad v_f:

1

ln

f f

i i

v M

e

v M

i

f i e

f

dv v dM

M M

v v v

M

La fuerza propulsora es la fuerza ejercida sobre el cohete por los gases que se expulsan por la tobera al quemar el combustible.

e

dv dM

F M v

dt dt