567,619.0 personas no es suficiente que se complete el envío número

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(1)

EJEMPLO

CADENA DE CORREOS.

--- Actualmente hay en el mundo un total de 7, 323, 557, 942.0 (inicios de 2016) de personas, y también hay una cantidad de usuarios de internet que va incrementándose día con día y para conocer la cifra exacta al día de hoy te invitamos a revisar la siguiente dirección para conocer el número de usuarios de internet contados en forma actualizada.

http://www.internetworldstats.com/stats.htm

Con estos datos trabajaremos el modelo de expansión de un correo electrónico en cadena.

Para llevar a cabo esta actividad, desarrolla los siguientes puntos:

1.- La cantidad de usuarios de internet en este momento consultados en la dirección anterior es igual a:

Respuesta: 3, 885, 567,619.0

---

2.- Si suponemos los siguientes valores para una cada de correos electrónicos en cadena:

r 5

a1 7

¿En qué reenvío se conseguirá que todos los usuarios de la red reciban la cadena? (El resultado deberá ser un numero entero que deberá ser el número entero superior en caso de obtener un numero decimal en “n”) Respuesta:

Para resolver esta pregunta hay 2 formas de hacerlo:

--- Método de aproximaciones por “Ensayo y error”

a).- Mediante el uso de la fórmula de la suma acumulada de términos de una serie geométrica (Sn) y un procedimiento de aproximaciones

(2)

n 1 n

a (r -1)

S =

r-1

……….(A)

1

Donde:

S = Suma acumulada de todas las personas que han recibido los "n" envíos

de correo.

a = número de personas que reciben el primer envío del correo.

r = número de personas que reciben todos los envíos después del primero

por cada persona que ya recibió el envío.

n = número de envios simultaneos

El procedimiento de ensayo y error consiste en dar un valor de n (2,3,4, etc.,) arbitrario y calcular el valor de Sn (calculado) correspondiente al valor arbitrario de “n” con la fórmula anterior.

Se compara el valor de Sn calculado con el valor buscado de Sn = 3,

885, 567,619.0 (en este caso).

Dependiendo si el valor de Sn calculado es más grande o más pequeño que el valor buscado se va ir incrementando o disminuyendo el valor de “n” de tal manera que el valor de Sn calculado sea mayor o igual al Valor de Sn = 3, 885, 567,619.0 (en este caso), pero nunca menor al valor anterior y ese valor será el resultado obtenido.

Para nuestros primeros datos de r = 5 y an = 7 tenemos la fórmula

particular de:

n 1 n

a (r -1)

7(5

1)

7(5

1)

S =

r-1

5 1

4

n

n

(3)

n (arbitrario)

Sn (calculado)

12

427,246,092

13

2,136,230,467

14

10,681,152,342

Como podemos observar, para que lleguen los correos a las 3, 885,

567,619.0 personas no es suficiente que se complete el envío número

13 (n=13) sino que será necesario empezar el envío 14 (n=14) para que llegue a la cantidad deseada.

Sin embargo, no se va completar el envío 14 porque antes ya habrán llegado a todos las personas los correos.

Por lo tanto el resultado es n = 14 envíos.

--- Método Exacto.

b).- El otro método para resolver el problema es usar la misma fórmula (A) mencionada anteriormente en donde se despeja la variable “n” de la misma.

El procedimiento algebraico para despejar “n” en la ecuación (A)

anterior está en un archivo PDF anexo y aquí vamos a dar la formula ya despejada.

n

1

S (r - 1)

ln

+1

a

n =

ln(r)

(4)

n

1

S (r - 1)

(3,885,567,619.)(5-1)

ln

+1

ln

+1

a

7

21.52

n =

=

=

= 13.37

ln(r)

ln(5)

1.609

Es decir se requieren más de 13 envíos o sea 13.37 envíos que en realidad son 14 envíos (n = 14) pero que no se completa el envío 14. La respuesta es n = 14.

Así se demuestra que cualquiera de los procedimientos da el mismo resultado.

--- 3.- Muchas cadenas te dicen que debes reenviar el mensaje dentro de un periodo de tiempo; por ejemplo, una hora. Suponiendo que quienes reciben la cadena hacen caso a dicha petición de enviar en un máximo de una hora

¿En cuánto tiempo, como máximo, todos los usuarios de internet habrán recibido el mensaje?

Respuesta:

Si cada envío n requiere de una (1) hora entonces el tiempo requerido será de: 14 horas. (Un poco menos de 14 horas).

---

4. ¿En cuánto tiempo, como máximo, todos los usuarios de internet, si la cadena exige que el reenvío se haga en no más de quince minutos? (Suponga 15 minutos máximo).

Respuesta:

Si cada envío n requiere de 15 minutos entonces el tiempo requerido será de: 14(15) = 210 minutos; es decir 210 minutos/60 = 3.5 horas para enviarlos a todos los usuarios de internet. ( En realidad un poco menos).

--- 5.- Ahora vamos a suponer otros datos. Resuélvela de nuevo para los siguientes valores establecidos:

r 9

(5)

Lo anterior se debe a que muchas de las cadenas piden que el reenvío se realice a ese número de contactos. (El resultado deberá ser un número entero que deberá ser el número entero superior en caso de obtener un número decimal en “n”)

Respuesta:

El valor de n en este caso es:

Para nuestros primeros datos tenemos la fórmula:

n 1 n

a (r -1)

13(9

1)

13(9

1)

S =

r -1

9 1

8

n

n

Vamos a construir una tabla de valores de n y Sn haciendo uso de una calculadora científica tenemos:

NOTA: El uso de la calculadora científica es indispensable.

n

Sn

8

69,950,920

9

629,558,293

10

5,666,024,650

Como podemos observar para que lleguen los correos a las 3, 885,

567,619.0 personas no es suficiente que se complete el envío número

9 (n=9) sino que será necesario empezar el envío 10 (n=10) para que llegue a la cantidad deseada.

Sin embargo no se va completar el envío 10 porque antes ya habrán llegado a todos las personas los correos.

Por lo tanto el resultado es n = 10 envíos.

--- b).- El otro método para resolver el problema es usar la misma fórmula (A) mencionada anteriormente en donde se despeja la variable “n” de la misma.

El procedimiento algebraico para despejar “n” en la ecuación (A)

(6)

n

1

S (r - 1)

ln

+1

a

n =

ln(r)

Ahora vamos a sustituir nuestros valores conocidos en la fórmula anterior.

n

1

S (r - 1)

(3,885,567,619.)(9 - 1)

ln

+1

ln

+1

a

13

21.59

n =

=

=

= 9.86

ln(r)

ln(9)

2.19

Es decir se requieren más de 9 envíos o sea 9.86 envíos que en realidad son 10 envíos (n = 10) pero que no se completa el envío 10.

La respuesta es n = 10.

Así se demuestra que cualquiera de los procedimientos da el mismo resultado.

--- 6. Determina qué cantidad de usuarios an recibirán el mensaje

solamente y exclusivamente en este reenvío “n” final de la pregunta anterior.

Respuesta:

De la tabla del primer método podemos ver que en el envío n = 9 se enviaron los correos a 629,558,293 personas y en el envío 10 (n=10) se enviaron a las restantes, es decir;

3, 885, 567,619 – 629, 558,293 = 3, 256, 009,326 personas en el envío 10 (n =10).

Observe que en el envío n = 10 se enviaron:

(7)

Una vez que tengas todas tus respuestas, captura todos los cálculos y resultados en este documento.

Como una pequeña ayuda, recuerda lo que sabes sobre logaritmos, específicamente cuál es su función inversa y a qué equivale ln(An).

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