Materia: Álgebra Lineal Serie: 1TI1A Trabajo: Investigación Segunda Unidad Alumno: Navarro Ruffo José Daniel

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Instituto Tecnológico de Tijuana

Subdirección Académica

Departamento de Sistemas Y Computación

Ingeniería en Tecnologías de la Información y

Comunicación

Materia: Álgebra Lineal

Serie: 1TI1A

Trabajo: Investigación Segunda Unidad

Alumno: Navarro Ruffo José Daniel

Número de control: 12211512

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Índice.

2.1 Definición de matriz………...3

2.2 Operaciones con matrices………....4

2.3 Clasificación de matrices……….……….6

2.4 Transformaciones elementales por renglón………..8

2.5 Cálculo de la matriz inversa………10

2.6 Definición de determinante de una matriz………12

2.7 Propiedades de los determinantes………...12

2.8 Inversa de una matriz cuadrada a través de la adjunta………..14

2.9 Aplicación de matrices……….15

Conclusiones………..17

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Unidad 2.

2.1 Definición de matriz.

Se puede definir a una matriz, como un conjunto de elementos numéricos ordenados en filas y columnas.

Para designar una matriz se emplean letras mayúsculas. Cada uno de los

elementos de la matriz aij tiene dos subíndices. El primero i indica la fila a la que pertenece y el segundo j la columna.

Esta es una matriz m fila y n columnas es decir de dimensiones m x n. Esta matriz también se puede representar de la forma siguiente A = (aij) m x n.

Si el numero de filas y de columnas es igual m = n. Entonces se dice que la matriz es de orden n.

Sea A un anillo unitario y m,n números naturales nulos. Una matriz m x n sobre A es una aplicación B: {1,2,…m} x {1,2,…n} →A.

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2.2 Operaciones con matrices.

Suma y resta de matrices.

Dadas dos matrices de la misma dimensión se define la matriz suma como:

A+B=(ai j+bi j). Es decir, aquella matriz cuyos elementos se obtienen: sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma posición.

Propiedades de la suma de matrices.

Interna.

La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensión m x n

Asociativa

A +( B +C) = (A+B) +C

Elemento neutro.

Donde O es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A.

Elemento opuesto.

A +(-A) = 0

La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están cambiados de signo.

Conmutativa.

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Escalar de una matriz.

Dada una matriz A=(aij) y un número real k pertenece R, se define el producto de un número real por una matriz: A la matriz del mismo orden que A, en la que cada elemento esta multiplicado por K.

Propiedades

a · (b · A) = (a · b) · A A

a · (A + B) = a · A + a · BA,B

(a + b) · A = a · A + b · A A

(a + b) · A = a · A + b · A A

1 · A = A A

Producto de matrices.

Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el numero de columnas de A coinciden con el numero de filas de B.

Mm x n x Mn x p = M m x p

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2.3 Clasificaciones de matrices.

Matrices columna: Corresponden al caso en que M es arbitrario pero n = 1. Sus coeficientes se escriben un solo índice.

Matrices fila: Ahora es m= 1 y n cualquiera. También se escriben con un solo índice.

Siendo escalares cada de sus columnas.

Matrices cuadradas: Se llaman así aquellas en que m=n.

Tanto sus filas como sus columnas serán vectores de un mismo espacio.

Matrices triangulares:

Triangular superior si todos sus elementos por debajo de la diagonal son cero.

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Matrices diagonales: En toda matriz cuadrada A=(aij) se llama diagonal de vector. Estas matrices son a la vez supra e infra triangulares A veces sus coeficientes se presentan con un solo índice usándose la escrituras.

Matriz diagonal cuando sean nulos todos los coeficientes situados fuera de la diagonal es decir cuándo:

(a11; a22; : : : ; ann) 2 IKn

Matrices escalares: Damos este nombre a las matrices diagonales cuyos coeficientes en la diagonal son todos iguales si n=1, todas las matrices son escalares.

Matrices unidad: Para cada n>=1 se llama así a la matriz escalar. Siendo la diagonal principal 1.

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2.4 Transformaciones elementales por renglón.

Si se intercambian dos filas cualesquiera de una matriz dada, llamamos a esta operación una operación de transformación elemental en las filas de una matriz. Se denota por R¬ij¬¬, lo cual implica que se intercambian las filas i y j de la matriz dada. Esta operación también se denota por R¬i¬ <→ R-j¬.

Un punto digno de notar es que esta operación no es de naturaleza singular. De hecho se ha demostrado, que todas las matrices no singulares son el resultado de la transformación elemental en la fila de una matriz. Si esto es cierto, entonces podemos concluir, que para todas las matrices no singulares también tenemos una matriz inversa, la cual tampoco es singular y es también el resultado de la

transformación elemental en la fila de una matriz. Esta matriz elemental se denomina la matriz identidad I y tenemos el resultado A x I = A-1

Existen tres operaciones básicas que pueden realizarse para transformar la fila de una matriz dada:

1. Intercambiar dos filas de la matriz dada, es decir, poner los elementos de una fila en el lugar del otro y viceversa. 2. Realizar la operación de multiplicación a cualquier fila de la matriz dada, multiplicando todas las entradas de esa fila con un elemento escalar. 3. Extraer un múltiplo común de todas las entradas de una fila y agregarlo a las entradas de la otra fila.

La transformación de fila es una operación básica importante de las matrices, la cual generalmente no altera el rango de la matriz dada. Podemos continuar la transformación de las filas de la matriz hasta que obtengamos una como la primera entrada diferente de cero apareciendo en cada fila.

Para que un sistema de ecuaciones u otros elementos representados a través de una matriz para designar estos como linealmente dependientes debe existir un vector de elementos escalares tal que satisfaga la ecuación dada

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Una matriz escalonada:

Todas las filas nulas se encuentran en la parte inferior de la matriz.

El pivote de cada fila no nula se encuentra estrictamente más a la derecha que el pivote de la fila de encima.

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2.5 Cálculo de la matriz inversa.

Propiedades.

(A · B)-1 = B-1 · A-1

(A-1)- 1 = A

(k · A)- 1 = k- 1 · A-1

(A t)- 1 = (A - 1)t

La inversa del producto de dos matrices es el producto de las inversas cambiando el orden.

Ejemplo: cálculo de la inversa de la matriz:

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2.6 Definición de determinante de una matriz.

El determinante de una matriz A(n,n) es una escalar o plinomio, que resulta de obtener todos los productos posibles de una matriz de acuerdo a una serie de restricciones, siendo denotado como: |A|. El valor numérico es conocido también como modulo de la matriz.

Siendo n igual al numero de columnas y Aij es el resultado de eliminar la fila i y la columna j de la matriz original.

2.7 Propiedades de los determinantes.

El determinante de una matriz A y el de su transpuesta At son iguales.

|A|=0 si posee dos líneas iguales.

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Los elementos de una línea son combinación lineal de las otras.

Una determinante triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.

Si en un determinante se cambian entre si dos líneas paralelas su determinante cambia de signo.

Si a los elementos de una línea se le suman los elementos de otra paralela

multiplicandos previamente por un n0 real el valor del determinante no varía

Si todos los elementos de una fila o columna están formados por dos sumandos, dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes.

Si |AxB|= |A| x |B|

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2.8 Inversa de una matriz cuadrada a través de la adjunta.

El transpuesto conjugado es una operación básica que sólo puede realizarse en una matriz compleja, que es aquella matriz cuyas entradas son números

complejos. También es llamada por el nombre de conjugada hermitiano o

transposición de Hermítica. En este procedimiento, primero se toma el transpuesto de la matriz dada y luego se deriva el conjugado complejo de todos los elementos de la matriz dada. El conjugado complejo es una operación en la cual

mantenemos intacto la parte real del número complejo y neutralizamos la parte imaginaria del número complejo. Por ejemplo, tenemos que el número complejo dado es x + iy, entonces el conjugado complejo del número es dado como x - iy, y si el número complejo dado es x - iy, entonces el conjugado complejo de la misma se da como x + iy.

El nombre de la operación se mantiene con el procedimiento, el cual es seguido de derecha a izquierda, donde primero se transpone y luego se conjuga. El notación convencional de la operación puede darse como:

Una matriz cuadra se llama matriz identidad si todos los componentes de su

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2.9 Aplicación de matrices.

Las matrices son una herramienta muy importante para expresar y discutir problemas que surgen normalmente en la vida. En los negocios a menudo es necesario calcular y combinar ciertas cantidades. Las tablas son una forma de representar datos. Agrupar datos en un rectángulo o una tabla nos muestra una representación clara de los datos. Tal representación de los datos se denomina matriz.

A continuación se pondrá un ejemplo de una aplicación de matrices.

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Conclusión.

El uso de las matrices en empresas es muy básico ya que son una gran manera de expresar números de manera clara y ordenada. Es fundamental aprender el uso de la matriz y sus distintas formas de aplicaciones.

Las operaciones de matrices aunque parezcan muchas veces un poco confusas no lo son ya que tienen un orden lógico que es fácil de comprender.

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Bibliografía.

-http://www.uco.es/~ma1rimoa/material/matrices.pdf -Álgebra – Carlos Ivorra Castillo.

-Vitutor.com -Wikipedia.com

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Referencias

  1. adjuntos
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