Dinámica de operadores lineales

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Agradecimiento 4 Introducción 6

1 transitividad 11

1.1 Caracterización de la transitividad 16 1.1.1 Transferencia de transitividad 20 2 hiperciclicidad: nociones básicas 25

3 dinámica en operadores de composición 31

3.1 Transformaciones fraccionales lineales sobre el disco unitarioD ₃₆ 4 semigrupos 57

4.1 Continuidad Uniforme de Operadores de Semigrupos 60 4.2 Dinámica de semigrupos de Operadores de Composición 61 5 apéndice matemático 71

Bibliografía 77

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Iván Dario Peñaloza Rojas

Tesis presentada al Departamento de Matemáticas, Facultad de Ciencias, Pontificia Universidad Javeriana para optar al titulo de Matemático

Dirigida por: Gerardo R. Chacón Ph.D.

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Gracias al profesor Edilberto Sarmiento por ser la persona que me hizo ver y salir del usual conjunto estricto de teoremas y proposiciones (sin saber un porque) al cual llamamos matemática, para así dar el primer paso a la comprensión de la hermosa matemática analítica e intuitiva.

Por otro lado le agradezco de corazón al profesor Pedro Olaya por ser mi primer tutor y un gran maestro en matemáticas, por motivarme a explotar mis capacidades y por ser la primera persona que me motivó a seguir mis estudios de posgrado en matemática pura.

Profesores Victor Ardila, Jesús Ochoa, mas que profesores, amigos, fue un gusto haberme encontrado con ustedes en cursos de matemática pura, gracias por todo.

Gerardo Chacón gracias profesor por ser un gran consejero, por enseñarme matemáti-ca con esa facilidad, humildad y sencillez pedagógimatemáti-ca que lo matemáti-caracteriza, por ayudarme en mi formación matemática y en mi paso a los estudios de posgrado.

Gracias a todos mis compañeros, Jose Lino, Ana Maria Mengua, Paola Padilla, Juan sebastian Leguizamon, Jose Francisco Ramirez, Johana Correa, Maria fernanda Cubil-los, Gabriela Andrea Zabaleta, Laura Hoyos,...,etc., por brindarme gratos momentos y motivaciones en mis estudios de pregrado.

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Este trabajo tiene como objeto hacer un breve estudio de la dinámica de operadores de la formaT :X→X(conXespacio métrico), es decir hacer un estudio de estructuras matemáticas de la forma: Orb(T,x) := {x,T x,T(x)2,T(x)3,...}, donde Tn representa la composición deT consigo mismon−veces.

En principio estaremos interesados en saber bajo que condiciones Orb(T,x)es "grande" en X, es decir estaremos interesados en saber que hipótesis garantizan que Orb(T,x) y Span(Orb(T,x))(en el caso que Xsea espacio vectorial) sean densos en X, casos los cuales llamaremoshipercíclicidadycíclicidadrespectivamente.

Aunque a primera vista Orb(T,x) := {x,T(x),T2(x),T3(x),T4(x), ...} pareciera una estructura matemática simple, veremos que es un conjunto complejo que guarda apli-caciones que van desde la caraterización del problema del subespacio invariante, el cual consiste en responder de forma afirmativa a la pregunta:

DadoXun espacio de Banach con dimensión mayor que1, existe un operador lineal acotado T :X→Xtal que para todox∈X\ {0}, se tenga que Span(Orb(T,x)) =X?,

hasta la estructuración matemática formal de "fenómenos dinámicos"que aparecen en campos como la ingeniería y física.

Desde sus principios la historia de la teoría de la dinámica de operadores lineales ha estado ligada con la historia de lossistemas dinámicos, como nos lo muestra Devaney [1] en su libro, es por ello que dedicamos el capitulo 1de este trabajo, al concepto de sistema dinámico, que como veremos sera la base teórica, a partir de la cual realizaremos distintas construcciones de dinámicas de operadores.

La teoría moderna de los sistemas dinámicos se remonta a Poncairé, quien revolu-cionó el estudio de las ecuaciones diferenciales parciales no lineales, al introducir métodos de geometría y topología, en lugar de los métodos analíticos para estudiar las propiedades globales de las soluciones de estos sistemas. Para Poncairé era mejor un entendimiento global del comportamiento de todas las soluciones del sistema, que el entender el comportamiento local de ciertas soluciones analíticamente precisas. Di-cho punto de vista fue adoptado por Birkhoff y profundizado por él mismo en la primera parte del siglo XX. Sus aportes se basaron en el uso de sistemas dinámicos discretos para entender el comportamiento de algunos sistemas dinámicos más com-plicados surgidos de las ecuaciones diferenciales. Además, fue quien inició el estudio de la dinámica de operadores lineales en espacios de dimensión infinita en su artic-ulo de 1929 [13], en el que demostró la existencia de un operador hipercíclico en el

espacio complejo de las funciones enterasH(C). Este fue el punto de partida de varios aportes a este campo que van desde nuevos ejemplo de operadores hipercíclicos como los hechos por Rolewicz [12] en 1969 y por MacLane [11], hasta nuevos criterios de

hipercíclicidad como el hecho por Kitai [10] los cuales veremos en el capitulo3.

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8 Introducción

En el capitulo 1 haremos una introducción al concepto detransitividad el cual coin-cide con el conceptohipercíclicidad, para unT :X→Xlineal. Además mostraremos var-ios teoremas que nos servirán para caracterizar el conjunto de "puntos transitivos"de un operador, y para decidir si un operador es transitivo o no, a partir de expresarlo en términos de otrasfunciones transitivasy continuas.

En el capitulo 2 pasaremos de espacios métricos en general a espacios vectoriales de dimensión infinita, mas específicamente sobre el espacio de funciones enterasH(C). Construiremos una métrica enH(C) y demostraremos algunos resultados sobre este espacio métrico, como por ejemplo elprincipio de hipercíclicidad de Kitai.

En el capitulo 3 también haremos el mismo proceso con los operadores lineales, donde ahora pasaremos a estudiar la dinámica de una clase de operadores llamados operadores de composición, los cuales son de la formaCϕ : H(G) → H(G) con Cϕ(f) :=

f◦ϕ, donde ϕ : G→ G es analítica ,f ∈ H(G) yG (C es simplemente conexo. Por facilitar los cálculos y haciendo uso delTeorema de la Aplicación de Riemann veremos que H(D₎₌∼ _H(G)dondeDes el disco unitario enC, de esta manera en el resto del trabajo solo nos enfocaremos en operadores de composición de la formaCϕ :H(D) → H(D)

conCϕ(f) :=f◦ϕ, dondeϕ:D→Des analítica yf∈H(D).

En este capitulo se mostrará uno de los resultados principales del trabajo el cual consiste en la identificación de los operadores de composición hipercíclicos inducidos por transformaciones fraccionales lineales que envían el disco unitario en si mismo o T FL(D), al igual que haremos algunas observaciones sobre el_{Espacio de Hardy} _H2 las cuales nos serán de gran utilidad para complementar los resultados se hacen en el capitulo4.

Luego de haber hecho varias observaciones sobre "dinámica discreta"de operadores, en los siguientes capítulos veremos algunos resultados sobre "dinámica continua"de operadores, la cual se abordará desde el concepto desemigrupos. Al considerar espacios de fase complejos de dimensión finita veremos que a partir deBases de Jordanse puede caracterizar todos los semigrupos y mas aún ver que todos los semigrupos gozan de una similar " estructura funcional" a partir del teorema de unicidad de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias. En el caso de dimensión finita, no necesariamente todos los semigrupos gozan obligatoriamente de una misma " estructura funcional" como se puede ver en el capitulo 4 con el ejemplo de las funciones Cφt dada por J.Gimenez [9].

En la ultima parte de nuestro trabajo nos dedicaremos al estudio de algunas propiedades de semigrupos de operadores de composición, y extenderemos el concepto de cíclici-dad e hipercíclicicíclici-dad, al igual que los resultados hechos por Birkhoff y Kitai, al caso continuo.

Como dijimos anteriormente, hay un fuerte vinculo entre la dinámica de operadores y los sistemas dinámicos; es por ello que antes de comenzar nuestro estudio, consider-amos conveniente mencionar algunos de estos.

(9)

Definición0.0.1. Unsistema dinámico es una tupla(T,X,Φ) dondeT es un monoide, X es un conjunto, yΦ:U⊆T×X→Xes una función que satisface las siguientes propiedades:

i)Φ(0,x) =x

ii)Φ(t2,Φ(t1,x)) =Φ(t1+t2,x) para (t1,x),(t2,x),(t1+t2,x)∈U

DondeΦes llamada usualmentefunción de evolución, t es llamadaparámetro de evolu-ción, X es llamada espacio fase, y la variable x representa elestado inicialdel sistema

A menudo se suele escribirΦx(t) :=Φ(t,x)y si mantenemosxconstante, la función

Φx :I(x)→Xse le suele llamar elflujoa través dex,γx:={Φx(t) :t∈I(x)}laorbita

a través dex, dondeI(x) :={t∈T: (t,x)∈U}.

Dividiremos los sistemas dinámicos que estudiaremos en dos tipos:sistemas dinámi-cos discretosysistemas dinámicos continuos.

Definición0.0.2. Unsistema dinámico discretoes una tupla(T,X,Φ)conT⊆Z_monoide , tal que cumple las condiciones i) y ii).

Definición 0.0.3. Un sistema dinámico continuo es una tupla (T,X,Φ) con T ⊆ R monoide conexo , tal que cumple las condiciones i) y ii).

En las siguientes secciones prescindiremos de la notación anterior para facilidad de cálculos, no obstante los ejemplos que trataremos tanto en espacios fase de dimensión finita como infinita, siempre tendrán la estructura de un sistema dinámico.

Por ejemplo trataremos sistemas dinámicos discretos de la formaΦx(n) :=Φ(n,x) =

Tn_x _con _T ₌ _N_, _X _{espacio de Banach y} _T _∈ _L(X) _{fijo. También trabajaremos con}

sistemas dinámicos de la forma Φx(t) := Φ(n,x) = Ttx con T = R+, X espacio de

Banach y{Tt}∞t=0 ⊆L(X) tal que

(10)

(11)

1

T R A N S I T I V I D A D

El concepto de transitividad se desarrollará en espacios métricos completos y sepa-rablesX, sobre los cuales haremos actuar una aplicaciónT :X→X.

En particular estaremos interesados en el comportamiento de sucesiones de la forma: I,T,T2,T3, ...

dondeTnquiere decir la composición deT consigo misma n-veces.

A partir de esto nos centraremos en saber cuando existe un puntox∈Xpara el cual laórbita dexbajoT es decir Orb(T,x) :={x,T(x),T2(x), ...}es densa enX.

Definición1.0.4. Una aplicaciónT :X→Xes topologicamente transitiva si existe unx∈X tal que Orb(x,T)es densa enX, en ese caso llamaremos axunpunto transitivodeT.

La palabrahipercíclicidadsuele a veces ser utilizada en lugar detransitividad, pero en general haremos uso de la palabra "transitividad.a_{lo largo de este texto.}

Las aplicaciones transitivas suelen exhibir un comportamientocaótico incluso en es-pacios simples como lo son el intervalo unitario[0,1], en los números reales o el círculo unitarioTen los números complejos.

Antes de comenzar con nuestro primer ejemplo, en este trabajo utilizaremos la no-tación⌊·⌋:R_→Zpara representar la_{función piso}, donde_⌊x⌋_:=Max{y_∈Z_:_y₆x}, y la notación⌈·⌉:R_→Zpara representar la _{función techo}, donde_⌈x⌉:=Min{y∈Z: y>x}

Ejemplo1.0.5. Traslación irracional modulo uno.

Definamos la aplicaciónT :I→Idada porT x= (x+α) −⌊x+α⌋dondeI= [0,1]y αes un numero irracional.

Podemos ver que la función T no es continua. En particular sea β = ⌈α⌉−α ∈ I luego:

l´ım

x→β−T x=1 y _x→βl´ım+T x =0.

Ahora, identificando los puntos0 y 1 podemos identificar I con el circulo unitario T, y como veremos a continuación llegar a considerar a_T como la rotación del ángulo θ=2πα, la cual es una función continua.

Mas precisamente sea E : I → T con _Ex = e2πix_{, la aplicación que envía} _I

con-tinuamente sobre el circulo unitario T y sea _R : T _→ T la aplicación que rota los elementos del circulo unitario en el ánguloθ = 2πα (dondeα es irracional) definida porRz=ze2πiα_.

Ya que E es continua y su restricción a[0,1) es un homeomorfismo, y además ten-emos que se satisface la ecuación E◦T = R◦E podemos considerar a T como la rotación descrita anteriormente .

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12 transitividad

Lema1.0.6. Cada órbita de la aplicación rotaciónRes densa.

Demostración. SeaR:T_→Tcon_Rz₌_ze2πiα. Por comodidad denotaremos_w_:=_e2πiα. Observemos que la irracionalidad deαnos garantiza quewno es una raíz de1.

Así Orb(R,1) = {1,w,w2,w3, ...} es un subconjunto infinito de T, y puesto que el circulo unitario es compacto, entonces Orb(R,1)posee un punto de acumulación enT.

En particular existe una subsucesión estrictamente creciente (nk)∞k=1 de números

positivos tal que

0= l´ım

k→∞

|wnk+1₋_wnk _|

= l´ım

k→∞

|wnk+1−nk₋₁_|

= l´ım

k→∞

|Rnk+1−nk_{(1) −}₁_|

por lo tanto1es un punto de acumulación de su propiaR- Órbita.

Así dadoε > 0 existe un puntoζ∈Orb(R,1)tal que el angulo entre1yζ es menor queε.

De esta manera las siguientes potencias deζparticionan el circulo unitario en partes de longitud de arco menor queεy así para cada puntoz∈Texiste un_n_∈Z+ tal que |z−ζn_|_{< ε. Luego, Orb(R,}₁₎ _{es densa en}_T_.

(13)

Observemos que la aplicación f : T _→ T definida por _{f(z) =} _yz es un home-omorfismo, el cual envía conjuntos densos en conjuntos densos. Luego, dado que Orb(R,y) = y·Orb(R,1) = f(Orb(R,1)), tenemos que Orb(R,y) es denso en T para todoy∈T

Observación1.0.7. SeanX,Yespacios métricos. Dadaf:X→Y, aplicación abierta, entonces para cadaB⊆Ydenso, se tiene quef−1(B)⊆Xes denso enX.

Demostración. DadoB⊆Ydenso, tenemos que paraA⊆Xabierto no vacío,f(A)∩B6= ∅. Luego existe x ∈ A tal que f(x) ∈ f(A)∩B, es decir x ∈ A y x ∈ f−1(B), en consecuenciaA∩f−1(B)6=∅, asíf−1(B)es denso enX.

Regresando al análisis de la traslación irracional modulo uno, sabemos que E◦T = R◦E, de esto tenemos E◦T2 = E◦(T◦T) = (E◦T)◦T = (R◦E)◦T = R◦(E◦T) = R◦(R◦E) = R2◦E.

Luego por inducción, se puede demostrar que E◦Tn ₌ _Rn_◦_E _{para todo}_n_∈_Z+_.

De esta manera obtenemos queE(Orb(T,x)) =Orb(R,Ex) para todox∈I. Además Ees una aplicación abierta, continua y sobreyectiva.

Como para cadax∈I, Orb(R,Ex)es denso en T, tenemos que_E−1(E(Orb(T,_x)))es denso enI. Ya queE(1) =E(0) =1,

E−1(E(Orb(T,x))){0,1}⊆Orb(T,x) y comoI es un conjunto perfecto entonces Orb(T,x)es denso enI.

Definición1.0.8. Dada una aplicaciónT sobre un espacio métricoX, decimos que E⊆ X es T−invariantesiT(E)⊆E.

De esta definición se desprende un curioso resultado sobre operadores continuos.

Proposición 1.0.9. Dado un operador T continuo sobre un espacio métrico X, tenemos que para cadax ∈ Xel conjunto Orb(T,x) es el subconjunto cerradoT−invariante mas pequeño que contiene ax

Demostración. Dadox∈X, consideremosM⊆Xcomo el subconjunto cerradoT−invariante "mas pequeño"que contiene a x, es decir, para todo A ⊆ X subconjunto cerrado con x∈A, entoncesx∈M⊆A.

Como x ∈ M, se tiene T x ∈ M y así Tn_x _∈ _M _{para todo} _n _∈ _Z+_{. De modo que}

Orb(T,x)⊆My comoMes cerrado entonces Orb(T,x)⊆M.

Sabemos por un argumento similar al anterior que Orb(T,x) es T−invariante, de esta manera solo nos falta ver que la imagen bajoT de sus puntos de acumulación se encuentra dentro de la clausura de Orb(T,x).

Seay∈Orb(T,x)\Orb(T,x)como es un punto de acumulación, existe una sucesión (Tnk_x)∞

k=1 ⊆Orb(T,x)con l´ım_k→

∞

(14)

14 transitividad

T(l´ım

k→∞

Tnk_{x) =}_{T y}

⇒ l´ım

k→∞

Tnk+1_x₌_{T y} por ser_T continua ⇒T y∈Orb(T,x).

Comoyfue arbitrario, tenemos queT(Orb(T,x))⊆Orb(T,x). Así podemos concluir que Orb(T,x)es el subconjunto cerrado mas pequeñoT−invariante que contiene ax.

Cabe notar que la condición queT sea continua en la observación anterior es nece-saria. Un ejemplo donde la observación anterior falla, resulta de considerar la función f: [0,1]→[0,1]definida como:

f(x) =

 



x2_{, si}_x_∈_(0,_1]

1, six=0.

Six0 =1/2, tenemos Orb(f,1/2) =Orb(f,1/2)S{0}, perof(0) =1 /∈Orb(f,1/2), por

lo tanto f(Orb(f,1/2)) * Orb(f,1/2). Ya que no se cumple la f-invarianaza esto nos permite concluir que Orb(f,1/2)no puede ser subespacio cerradof−invariantemas pequeño que contiene ax0.

Dada una aplicaciónf:X→X, la densidad de cada una de sus órbitas es equivalente al hecho de que los únicos subespacios cerrados invariantes que contienen a cada uno de sus elementos sonXo∅. Dichas aplicaciones son a menudo llamadasminimales

Ahora daremos un ejemplo de una aplicación transitiva que no esminimal.

Ejemplo1.0.10. "La aplicación del panadero"(Baker Map)

Esta es la aplicaciónB:I→I, definida por:

Bx=

 



2x−⌊2x⌋, six∈[0,1)

1, six=1.

El nombre proviene de un proceso de .a_{masar pan.}a_{plicado al intervalo unitario} _I, donde lo primero que hacemos por medio de la aplicación es alargar nuestro intervalo el doble (estirar la masa de pan el doble), luego lo dividimos en la mitad(cortar la masa de pan en la mitad) y superponemos los nuevos intervalos de tal manera que correspondan los extremos izquierdos y derechos de cada uno de los nuevos intervalos [0,1]y[1,2],(unir los dos nuevos pedazos de pan, amasándolos en uno solo).

La aplicación del panadero no es minimal ya que el punto x = 0 es un punto fijo. Mas generalmente para cadaracional diádico x= q/2n _con_q_y _n_{enteros positivos tal}

que q 6 2n, tenemos Bmx = 0 para cada m > n. Por otro lado podemos ver que

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Proposición1.0.11. La aplicación del panadero es transitiva

Demostración. Podemos representar cada punto x ∈ I (a través del algoritmo de la división) por una expansión binaria de la formax=0,a1a2a3 donde

x=0,a1a2a3... ⇐⇒ x=

∞

X

k=1

ak/2k

Dado que los racionales diádicos tienen dos expansiones binarias, a saber una fini-tamente distinta de cero y otra que no, nosotros elegiremos la finita. De esta manera, elegimos una única representación binaria para cada x ∈ I (omitiendo los casos de los infinitos ceros consecutivos que pueden surgir de la expansión binaria). Si x 6= 1 tenemos:

Bx=2x−⌊2x⌋

=

2 ∞

X

k=1

2−kak

−

2 ∞

X

k=1

2−kak

=

a1+

∞

X

k=2

21−kak

−

a1+

∞

X

k=2

21−kak

=

a1+

∞

X

k=2

21−kak

−a1

= ∞

X

k=2

21−kak

=0,a2a3a4...

Es decir B realiza un corrimiento hacia atrás de los términos de la expansión bi-naria de x. Consideremos una enumeración de los racionales diádicos en I como {b1,b2,b3, ...}y definimos nuestro punto transitivo como sigue:

Comenzamos con la expansión binaria finita de b1, después colocamos un cero,

(16)

16 transitividad

colocamos3 ceros y regresamos de nuevo a b1. Repitiendo el proceso obtenemos un

elemento de la forma:

x=0,b10b100b2000b10000b200000b3...

donde x ∈ I. Por construcción y por ser B la aplicación que hace un corrimiento hacia atrás, podemos ver queOrb(B,x)posee como puntos limites a todo el conjunto {b1,b2,b3, ...}el cual es denso enI, por lo tantoxes un punto transitivo deB.

1.1 caracterización de la transitividad

Continuando nuestro estudio de las aplicacionesT sobre un espacio métrico separa-bleX, denotaremos al conjunto de los puntos transitivos deT porT rans(T).

Para describir mejorT rans(T), fijemos una base numerable{Bj} de abiertos (lo cual

se puede hacer ya que X es separable). Dicha colección podría ser el conjunto de to-das bolas abiertas de radio racional y centrato-das en elementos del subconjunto denso numerable{Bj}.

De lo anterior tenemos la siguiente importante y útil expresión paraT rans(T):

Lema1.1.1. Dado un operadorT sobre un espacio métrico separableXentonces:

T rans(T) = \

j∈N

[

n∈N

T−n(Bj)

!

Demostración.

x∈T rans(T)⇐⇒ para todoj∈N, existe un_n_∈N tal que_Tn_x_∈_B_j ⇐⇒ para todoj∈N, _x_∈ [

n∈N

T−n(Bj)

⇐⇒x∈ \

j∈N

[

n∈N

T−n(Bj)

!

Ahora si suponemos que X es perfecto, entonces el removimiento de una cantidad finita de elementos de un subconjunto denso deXno altera su densidad.

De esto concluimos que si xes un punto transitivo de T, entonces Tnx es también un punto transitivo, ya que Orb(T,Tn_x) _{es justamente Orb(T}_,_x) _{sin sus primeros n}

elementos.

Así tenemos que si x ∈ T rans(T) entonces Orb(T,x) ⊆ T rans(T) y mas aún, si T rans(T)6=∅entoncesT rans(T) =X.

(17)

Proposición1.1.2. SeaX un espacio métrico perfecto completo separable y T una aplicación transitiva sobreX. Entonces para cualquier parejaU,V de subconjuntos abiertos no vacíos de X, existe un entero no negativon∈N_{tal que:}

T−n(U)∩V 6=∅

Demostración. SeaU,V abiertos enX. Ya que{Bj}es una base numerable, sabemos que

existe unj0 ∈Ntal queBj0⊆U, entonces

[

n∈N

T−n(Bj0)

!

⊆ [

n∈N

T−n(U)

!

como la unión de la izquierda es densa por serXperfecto , también lo debe ser la de la derecha, luego intersectando esta última unión por el abiertoV tenemos que existe unn∈Ntalque_T−n_(U)_∩_V₆₌_∅como queríamos demostrar.

Podemos reescribir este resultado de otra forma equivalente a partir del siguiente lema.

Lema1.1.3. T−n(U)∩V 6=∅si y solo siU∩Tn(V)6=∅

Demostración. Comenzando por el miembro izquierdo de la proposición tenemos:

SiT−n(U)∩V6=∅=⇒existe x∈T−n(U)∩V =⇒Tnx∈UyTnx∈Tn(V) =⇒U∩Tn(V)6=∅

Ahora siguiendo el mismo razonamiento vemos que: SiU∩Tn(V)6=∅=⇒existe y∈U∩Tn(V)

=⇒y∈Uyy=Tnxconx∈V =⇒x∈T−n(U)yx∈V

=⇒T−n(U)∩V 6=∅

Usando este lema podemos reescribir la anterior proposición de la siguiente manera.

Proposición1.1.4. SeaXun espacio métrico, perfecto completo separable yT aplicación tran-sitiva deX. Entonces para cada parejaU,V de subconjuntos abiertos no vacíos deX, existe un entero no negativon∈N_{tal que}_U_∩_Tn_(V)₆₌_∅

(18)

18 transitividad

Definición1.1.5. Un subconjuntoA⊆Xes llamado un conjuntoGδsiA=T_r∈NArdonde

Ares abierto para cadar∈N.

SiT es una aplicación continua y transitiva, cada uno de los conjuntos T−n_(B j) son

abiertos, en particularS

n∈NT−n(Bj0)es abierto para cadaj∈N, por lo tanto Trans(T) además de ser denso es también un conjuntoGδ.

Proposición 1.1.6. Una colección {Tk}∞k=1 de aplicaciones continuas transitivas, sobre un

espacioXmétrico perfecto completo separable, tiene un conjunto densoGδde puntos transitivos

en común.

Demostración. Sea{Tk}∞k=1 una colección de aplicaciones continuas transitivas sobre el

espacioX, luego tenemos que Trans(TK) =

\

j∈N

[

n∈N

Tk−n(Bj)

= \

j∈N Aj,k.

De esta manera obtenemos

\

k∈N

Trans(Tk) =

\

k∈N

\

j∈N Aj,k

= \

r∈N×N Ar

Como cada Ar es abierto y denso, por el teorema de Baire 5.0.10 tenemos que

T

k∈NTrans(Tk)es denso yGδ.

Lema1.1.7. En un espacio métrico, completo y perfectoX, ningún conjunto Gδ denso puede

ser numerable

Demostración. SeaA⊆Xun conjuntoGδ denso y ahora supongamos que es numerable

, es decir:

A={xi}∞i=1 y A=

\

r∈N

Cr conCrabierto y denso para cadar∈N

Para cadar∈Ntenemos_W_r ₌_C_r_{\ {x}_i_}r

i=1 abierto y denso, dado queXes espacio

métrico perfecto.

De esto tenemos que \

r∈N

Wr=∅, lo cual contradice el teorema de Baire5.0.10.

Este resultado indica que dado un espacio métrico perfecto completo separable X, si una aplicación continua T sobre X es transitiva, no solo posee un conjunto denso de puntos transitivos sino además no numerable.

Sin embargo la anterior conclusión no siempre se cumple al considerarXun espacio métrico, completo, separable y no perfecto, como se muestra a continuación.

SeaR:T_∪_{2}_→T_∪_{2}definida como:

f(x) =

 



(19)

ahora probaremos queRes una aplicación continua. Por un lado tenemos que para to-doz∈T, l´ım

x→zRx=x→zl´ıme 2παi

x=e2παiz=Rz. Las últimas igualdades salen de tomar el límite sobrex lo suficientemente cercano az, por ejemplo tomando todos los xtal quex∈B1/2(z).

Siz=2, l´ım

x→2Rx=x→2l´ım1=1=Rz, donde las últimas desigualdades surgen de tomar

el límite sobrex, lo suficientemente cercano az, por ejemplo tomando todos los xtal

quex∈B1/2(2), así obtenemos queRes continua.

Por un análisis análogo al que se hizo en la observación1.2, podemos ver que z=2 es el único punto transitivo deT, ya que para todoz∈T, Orb(R,z) =T

De comienzo pareciera que no podemos aplicar estas observaciones sobre la baker map, puesto que esta no es una aplicación continua sobreI, pero podemos contradecir esta apreciación haciendo un análisis similar como el que se hizo en el análisistraslación irracional modulo1.

Recordemos E : I → T definida por _{E(x) =} _e2πix y ahora definamos _ψ : T _→ T comoψ(x) =x2, luegoE◦B=ψ◦E. Tenemos también queE◦Bn =ψn◦Epara todo n∈N.

Dado queE(Orb(B,x)) =Orb(ψ,Ex). ComoBes transitiva (como se mostró anterior-mente), y ademásEes continua conE(I) =T, tenemos que la aplicación_ψes transitiva (un punto transitivoEx).

Por otro lado comoψes continua sobreT, que es un espacio métrico perfecto com-pleto separable, entoncesψ posee un conjunto densoGδ de puntos transitivos.

(20)

20 transitividad

Si x ∈ I es un punto transitivo de B, entonces E(Orb(B,x)) es denso en T por la continuidad y biyectividad deE, y así tenemos queEx∈ T es un punto transitivo de ψ.

Siy∈Tes un punto transitivo de_ψentoncesE(Orb(B,_E−1_{y)) =}Orb(ψ,_y)es denso enT, y por la observación1.3tenemos que_E−1_yes un punto transitivo deB.

Como ψ es continua entonces tenemos que Trans(ψ) = \

j∈N

( [

n∈N

ψ−n(Bj)) es Gδ y

de esto tenemos que: Trans(B) =E−1

\

j∈N

[

n∈N

ψ−n(Bj)

= \

j∈N

[

n∈N

E−1(ψ−n(Bj))

ComoE es continua de esto concluimos que Trans(B) es un conjuntoGδ aunque B

no sea continua.

Todo lo anterior sobre la caracterización de los puntos transitivos de una aplicación continua se puede resumir en el siguiente teorema debido a Birkhoff, demostrado en la década de1920.

Teorema 1.1.8 (Teorema de transitividad de Birkhoff). Sea T una aplicación continua sobre un espacio métricoX, perfecto completo y separable, entoncesT es transitiva si y solo si para cadaU,Vpareja de abiertos no vacíos deXexiste unn∈N_{tal que}_T−n_(U)_∩_V ₆₌_∅. Demostración. Sea T una aplicación continua transitiva, luego sabemos que existe un elemento básico de la base numerable,Bj, tal queBj ⊆U. utilizando la observación1.9

junto con que Trans(T)es denso, vemos que existe unn∈Ntal que_T−n_(B_j)∩V 6=∅ y comoT−n(Bj)⊆T−n(U), entonces se tiene queT−n(U)∩V 6=∅.

Por otro lado si para cadaU,Vpareja de abiertos no vacíos deXexiste unn∈Ntal queT−n_(U)_∩_V ₆₌_{∅, al considerar}_U_:=_B

j para cadaj∈Ntenemos que

[

n∈N

T−n(Bj)

es abierto y denso para cadaj∈N, luego por el Teorema de Baire5.0.10 tenemos que la intersección numerable de estos abiertos es densa y por lo tanto no vacía, es decir Trans(T)es no vació y además es denso.

Corolario 1.1.9. Un homeomorfismo de un espacio métrico X, perfecto completo y separable sobre si mismo es transitivo si y solo si su inversa es transitiva.

Podemos ver que un ejemplo de una aplicación transitiva que cumple el corolario 1.18es la traslación irracionalR:T_→Tdefinida por_Rz₌_e2πiα_zcon_αirracional.

1.1.1 Transferencia de transitividad

(21)

Definición1.1.10. SeanX,Yespacios métricos yT :X→XyS:Y→Yaplicaciones. Si existe una aplicación continuaV:X→YdeXaY tal queV◦T =S◦V, llamamos aSunfactorde T, y aT unaextensióndeS. SiV(X)es denso enY, nosotros decimos queSes uncuasi-factor deT, y queT es unacuasi-extensióndeS. Por otro lado siVes un homeomorfismo, entonces decimos queSyT son conjugadas

X

X Y

❄

T ❅_❅

❅ ❘

V◦T

✲

V

X Y

Y ❅

❅ ❅ ❘

S◦V

✲

V

❄S

A manera de observación se puede se puede demostrar que la conjugación es una relación de equivalencia, a partir de la definición anterior.

Lema1.1.11. SeanX,Y espacios métricos perfectos y seaV :X→Y una aplicación continua, con V(X) ⊆ Y denso, entonces para cada subconjunto denso A ⊆ X se tiene que V(A) es también denso enY.

Demostración. Sea A ⊆ Xun subconjunto denso, ya que V(X) ⊆ Y es denso entonces para todo abierto B⊆ Y, tenemos queB∩V(X) 6= ∅, por consiguienteV−1(B) ⊆Xes un abierto no vacio, en particular tenemos queV−1(B)∩A6= ∅por lo tanto existe un x∈V−1(B)∩Ade esta manera V(x) ∈B∩V(A), lo cual muestra que B∩V(A) 6=∅ y por lo tantoV(A)es denso enY.

Proposición1.1.12. SiT :X→Xes una aplicación transitiva entonces todo cuasi-factor deT es transitivo

Demostración. SeaT :X→ X una aplicación transitiva y seaS :Y → Y un cuasi-factor deT, es decir existe una aplicación V : X→ Y continua, tal que V◦T = S◦V y V(X) denso enY.

De esto tenemos que V◦T2 = (V◦T)◦T = (S◦V)◦T = S◦(V◦T) =S2◦V y por inducción se puede ver queV◦Tn=Sn◦Vpara todon∈N.

De este hecho, tenemos queV(Orb(T,x)) =Orb(S,Vx)y esto para cadax∈X. Como T es transitiva, existey ∈ X tal que Orb(T,y) es denso en X. Por otro lado sabemos que como V(X) es denso en Y y además es continua, entonces V envía subconjuntos densos deX en subconjuntos densos deY. Luego tenemos queV(Orb(T,y))es denso y por endeVyes un punto transitivo deS.

Proposición 1.1.13. Sea X un espacio métrico perfecto, sea T : X → X y S : Y → Y una aplicación transitiva. Si existe una aplicación abierta y sobreyectivaV :X → Y, con V◦T = S◦V, tal queV |_{X\M} es biyectiva, dondeM⊂Xes finito , entoncesT es transitiva.

(22)

22 transitividad

Como V(Orb(T,x)) = Orb(S,Vx), y dado que V es una aplicación abierta, por la observación1.0.7tenemos queV−1(V(Orb(T,x)))es denso en X.

Por otro lado tenemos que:

Orb(T,x)⊆V−1(V(Orb(T,x)))

y además sabemos de las hipótesis que tienen que ser conjuntos que se diferencian por un numero finito de puntos. Luego, dado queXes perfecto, tenemos que Orb(T,x) es denso enX.

Observación1.1.14(La aplicación corrimiento).

Cuando se demostró la transitividad de la aplicación del panadero,B, se utilizó el hecho que esta aplicación actuaba como un corrimiento sobre las expansiones bina-rias de los números del intervalo unitario, pero lo que realmente se demostró fue la transitividad para otra cierta aplicaciónβ.

Consideremos a Σ como el espacio de todas las sucesiones de ceros y unos. Sea β ser el desplazamiento lateral hacia la izquierda, es decir dado x ∈ Σ donde x = (x1,x2,x3,x4, ...), entoncesβesta definido comoβ(x) = (x2,x3,x4, ...)

Una métricaddefinida sobreΣesta dada por:

d(x,y) = ∞

X

j=1

2−j|xj−yj| 6 1

Bajo esta métrica si una sucesión{xn}∞n=1 ⊆Σ conxn= (x(₁n),x(₂n),x₃(n),x(₄n), ...) es

convergente, entonces es convergente coordenada a coordenada, es decir la sucesión {x(_jn)}∞

n=1 converge para cadaj∈N.

Esto se puede ver por los siguientes argumentos:

Primero supongamos que{xn}∞n=1converge al puntox∈Σ, es decir que l´ım_n→

∞

xn=x,

conx= (x1,x2,x3, ...). De esto tenemos que para todo ε > 0existe unN∈N; tal que

para todon>N,d(xn,x)< ε2−j. Luego vemos que :

Para todon>N, 2−j|x(_jn)−xj|6d(xn,x)< ε2−j,

Para todon>N, |x(_jn)−xj|< ε,

l´ım

n→∞

x(_jn)=xj, para todoj∈N

Ahora supongamos que para cada j ∈ N, existe l´ım

n→∞

x(_jn) . Así para cada j ∈ N existe unNj ∈Ntal quexj(n)=xj para todon>Nj.

Dado que para todoε > 0existe unm∈Ntal que1 2

m

(23)

d(xn,x) =

∞

X

j=1

2−j|x(_jn)−xj|=

∞

X

j=m+1

2−j|x(_jn)−xj|6

∞

X

j=m+1

2−j =2−m< ε.

De la anterior afirmación podemos notar que la aplicaciónV :Σ → I definida por Vx:=

∞

X

j=1

2−jxjes continua. Además tenemos que se cumple la ecuaciónV◦β=B◦V

para todox∈Σ, al igual queV(Σ) =I.

Σ I

✲

V

❄

β

❄B ✲

V

(24)

(25)

2

H I P E R C I C L I C I D A D : N O C I O N E S B Á S I C A S

En esta sección trabajaremos con espacios vectoriales sobre el cuerpo de los comple-josC, dotados de una métrica bajo la cual serán también espacios métricos completos con las respectivas operaciones vectoriales continuas. Dichos espacios son llamados F-espaciosoespacios de Fréchet.

Antes de comenzar el estudio de algunosF-espacioses conveniente establecer la sigu-ientes definiciones:

Definición2.0.15. Un operador linealT :X→Xes llamado hipercíclico si y solo si existe un x∈Xtal que Orb(T,x) =X. Decimos quex∈Xes un vector hipercíclico deT

Definición2.0.16. Un operador linealT :X→Xes llamado cíclico si y solo si existe unx∈X tal que Span(Orb(T,x)) =X. Decimos quex∈Xes un vector cíclico deT

De esto podemos concluir que todo vector hipercíclico es cíclico, y además que si todos los vectores no nulos deT soncíclicos, entonces no existen subespacios cerrados no triviales

Los ejemplos mas comunes de F-espaciosson los espacios de Banach y los espacios de Hilbert, sin embargo hay otros ejemplos:

ConsideremosGser un subconjunto abierto del plano complejo, entonces el espacio C(G)de las funciones continuas de valores complejos sobreG, puede ser metrizado de tal manera que una sucesión de funciones converge sobre esta métrica si y solo si esta sucesión converge uniformemente sobre subconjuntos compactos deG. Cabe notar que C(G)es unF-espacio.

Para efecto de una mejor comprensión se presentará una forma de construir dicha metrica.

Observación2.0.17. SeaGun subconjunto abierto conexo deC_{entonces existe una sucesión} {Gn}de abiertos tal que:

1)Gnes compacto y Gn⊆Gn+1 para todon∈N

2) [

j∈N

Gn=G

3) Todo compactoKdeGesta contenido en algúnGn.

Luego definimosdn(f,g) = sup z∈Gn

|f(z) −g(z)|la cual es una función de valores reales y de estas funciones pasamos a definir la métrica sobreC(G)dada por

d(f,g) = ∞

X

n=1

2−n dn(f,g) 1+dn(f,g)

.

(26)

26 hiperciclicidad:nociones básicas

Dado que utilizaremos estos resultados en posteriores estudios, en particular sobre transformaciones fraccionales lineales; demostraremos que en efecto una sucesión de funciones converge sobre esta métrica dsi y solo si esta sucesión converge uniforme-mente sobre subconjuntos compactos deG.

Proposición2.0.18. Una sucesión de funciones{fn}sobreC(G) converge sobre la métricad

si y solo si esta sucesión converge uniformemente sobre subconjuntos compactos deG

Demostración. Supongamos que la sucesión{fn}converge a la funciónf∈C(G)bajo la

métricad. Luego para todo compacto GN y para todoε > 0, existe un 0 < ε1 < 1tal

que 1

(1/ε1) −1

< εy existe unM∈Ntal que:

para cada k>M, d(fk,f)<

ε1

2N,

∞

X

n=1

2−n dn(fk,f) 1+dn(fk,f)

< ε1 2N,

2−N dN(fk,f) 1+dN(fk,f)

< ε1 2N,

dN(fk,f)<

ε1

1−ε1

< ε

Ya que{fn}converge uniformemente sobre cada compactoGN, entonces lo hará para

todo compactoKsobreG, puesto que existeK⊆GNpara algúnN.

Ahora supongamos que{fn}converge uniformemente sobre cada compactoKen G,

en particular converge uniformemente sobre los compactosGn.

Dado ε > 0 sabemos que existe un N0 ∈ N tal que (1/2)N0 < ε/2. Ya que {fn}

converge uniformemente sobre cada compactoGn, entonces para cadaj∈{1,2, ...,N0}

existe unMj∈Ntal que para cadam > Mj:

dj(fm,f)

1+dj(fm,f)

< ε2

j

2N0

SeaN=Max{M1,M2, ...,MN₀}de esta manera para todom > N:

d(fm,f) =

∞

X

n=1

2−n dn(fm,f) 1+dn(fm,f)

=

N0

X

n=1

+ ∞

X

n=N0+1

<

N0

X

n=1

ε 2N0

+ 1

2

!N0 < ε

(27)

Ahora miraremos una condición suficiente para comprobar la hipercíclicidad de un operador, la cual será de gran utilidad para mostrar la hipercíclicidad de algunos op-eradores lineales.

Teorema2.0.19 (Teorema de Kitai). SeaT : X→ Xuna transformación lineal y continua sobre un F-espacio X, que satisface las siguientes condiciones:

1) Existe un subconjunto densoYdeX, sobre el cual la sucesión{Tn}converge puntualmente a cero.

2) Existe un subconjunto denso ZdeX, y una aplicación no necesariamente continua o lineal, S:Z→Z, tal que:

i) TS es la aplicación identidad sobreZ

ii){Sn}converge puntualmente a cero sobre Z. EntoncesT es hipercíclico sobreZ.

Demostración. SeanUyVdos subconjuntos abiertos deX. Dado queY yZson densos, existeny∈Y∩Uyz∈Z∩V. EntoncesTn_(y)_→₀_y_Sn_(z)_→_0.

Como xn := y+Sn(z) → y, entonces para un n1 ∈ N lo suficientemente grande

xn1 ∈U.

Dado que T S = I sobre Z, tenemos que Tn_Sn ₌ _I _{sobre Z. Por la linealidad de}

T tenemos que Tnxn = Tny+z → z. De esta manera considerando el n1 mostrado

anteriormente, sabemos que existe unn∈Nlo suficientemente grande tal que_Tn_x_n_∈ V, por lo tantoTn_(U)_∩_V₆₌_∅_{y así garantizamos que}_T _{es hipercíclico.}

Un ejemplo de un operador hipercíclico sobre un espacio de Banach fue mostrado por Rolewicz en 1969, él cual se baso en el uso de la aplicación desplazamiento lateral hacia la izquierdaβsobre los espacioslp.

Teorema2.0.20(Teorema de Rolewicz). Seaβaplicación desplazamiento lateral hacia la izquierda. Entonces para cada escalarλcon|λ|> 1, el operadorλβes hipercíclico sobrelp para todop>1.

Demostración. Elijamos unλcon|λ|> 1, ahora aplicaremos el teorema de Kitai sobre el operadorT :=λβ.

Para este propósito denotaremos porψ, a la aplicación sobrelpdefinida porψ(x) = (0,x1,x2,x3, ....), conx= (x1,x2,x3, ....)∈lp.

SeaS=λ−1_{ψ, entonces tenemos que}_{T S}₌_I_sobre_lp_{. Eligiendo}_Z₌_lp_{podemos ver}

quekSn_xk₌_|_λ_|−n

kxk →0, cuandon→∞.

Eligiendo Y como la colección de todas las sucesiones en finitamente distintas de cero enlp_{, podemos ver que este es un subespacio denso de} _lp_{, y además que existe}

unN∈Nlo suficientemente grande tal que_kTn_xk=0para todon > N.

(28)

Otro ejemplo de un F-espacio es el conjunto H(G) ⊆ C(G) de todas las funciones holomorfas sobre G, el cual es un subespacio cerrado de C(G), y por lo tanto, un F-espacio. Este fue el primer espacio donde lahiperciclicidadfue observada. Este resultado, fue debido a Birkhoff alrededor del año1929. Él se baso en eloperador de traslación por a, Ta:H(C)→H(C), definido por :

Taf(z) =f(z+a), para todoz∈C

El cual es hipercíclicopara cadaa 6= 0, y su aplicación inversa T−a también es

hiper-cíclico.

Proposición2.0.21. SeaXun espacio de Banach, siT :X→Xes unaλ−contraccioncon |λ|< 1, es decir:

kT x−T yk6λkx−yk para todox,y∈N entoncesT no es hipercíclico.

Demostración. Sea z0 ∈ X arbitrario, consideremos la sucesión {Tn(x0)}∞_n=0, luego de

esto tenemos que:

kT2_(x

0) −T(x0)k6λkT(x0) −x0k

y de manera inductiva para todan∈Ntenemos que

kTn+1(x0) −Tn(x0)k6λnkT(x0) −x0k

Luego para todo n,m ∈ N (sin perdida de generalidad supongamos n > m) de donde tenemos que n = m+k para algun k ∈ N, por un procedimiento similar al anteriormente hecho tenemos:

kTn(x0) −Tm(x0)k=kTm+k(x0) −Tm(x0)k

=

k−1 X

j=0

Tm+k−j(x0) −Tm+k−(j+1)(x0)

=

k−1 X

j=0

kTm+k−j(x0) −Tm+k−(j+1)(x0)k

=

m+k−1 X

j=m

|λ|i

= |λ|

m₋_|λ|m+k

1−|λ|

dado que |λ| < 1, entonces kTn₍_x

0) −Tm(x0)k → 0 cuando n,m → ∞, es decir la

sucesión{Tn(x0)}∞n=0 es de Cauchy y por lo tanto convergente enX.

Seaa:= l´ım

n→∞

Tn(x0), por lo tanto existe unεx0 > 0tal que{T

n_(x

0)}∞n=0 ⊆Bε_x0(0)y

puesto que la sucesión esta acotada,x0 no puede ser un vector hipercíclico. Ya quex0

(29)

Teorema2.0.22. [Teorema de traslación de Birkhoff] Para cada número complejoa6=0, el operador de traslaciónTaes hipercíclico sobreH(C)

Demostración. Consideremos las funciones exponencialesEλ(z) =eλz para todoλ,z∈

C.

Podemos notar que cada Eλ es un eigenvector deTa con eigenvalor eaλ. Así para

cadaaλcon Re(aλ)< 0, tenemos que:

|TanEλ(z)|=|enaλeλz|=eRe(naλ)|Eλ(z)|=enRe(aλ)|Eλ(z)|.

Por lo tanto TanEλ → 0 sobre H(C) cuando n → ∞, debido a que TanEλ converge

uniformemente sobre cada compacto (en particular sobre los compactosGn ) a cero.

ConsideremosYser el espacio lineal generado por las exponencialesEλcon Re(aλ)<

0, donde el conjunto de dichos λ´s es un semiplano plano de C, cuya frontera esta dada por la recta que pasa por el origen y es ortogonal aa. Nosotros podemos ver que Tan→0puntualmente sobreY.

Ahora seaZel espacio lineal generado por todas las exponencialesEλ con Re(aλ)>

0. ConsiderandoS = T−a, tenemos que SnEλ → 0 sobreZ. Por el lema 5.0.11, Y y Z

son densos enH(C), y ademásTaT−a= IsobreZ. Luego se concluye que el operador

Taes hipercíclico sobreH(C)

Ahora mostraremos otro ejemplo interesante sobre el espacioH(C).

Teorema 2.0.23 (Teorema de Diferenciación de Mac Lane). El operador diferenciación D:H(C₎_→_H(C₎_{definido como}_{D(f) :=} df

dz es hipercíclico sobreH(C)

Demostración. SeaY=Zdenotar el espacio de todos los polinomios enH(C).

Consideremos a D como el operador de derivación, y a S como el operador de integración que lo definiremos por:

S(p(z)) =S(

N X

n=0

anzn) = N X

n=0

an

n+1z

n+1_{, donde}

p(z) =

N X

n=0

anzn.

Para cada polinomiop, tenemos queDn_{p(z) =}₀_{para un}_n_∈_N_{lo suficientemente}

grande. Esto nos permite concluir que{Dnp}converge uniformemente a la aplicación cero, sobre subconjuntos compactos deC.

SeaK⊆Cun compacto arbitrario entonces :

dK(Smp,0) =sup z∈K N X

n=0

ann!zn+m

(n+m)!

= N X

n=0

ann!zn₀+m

(n+m)!

para algúnz0 ∈K

6 N X

n=0

n!|an||z0|n+m

(30)

donde la ultima expresión de la desigualdad →0 cuandom→ _∞, y esto se puede concluir del siguiente argumento:

Sabemos que existe unm0 ∈Ntal quen+m0>|z0|esto nos permite concluir

l´ım

m→∞

|z0|m

(n+m0+1)(n+m0+2)· · ·(n+m0+m)

=0

ya que todor∈Ncon_{r > m}₀ se puede expresar de la forma_r₌_m₀₊_mentonces :

l´ım

r→∞

|z|n+r

(n+r)!/n! =m→l´ım∞

|z|n+m0+m (n+m0+m)!/n!

= |z0|

n+m0 (n+m0)!/n!

l´ım

m→∞

|z0|m

(n+m0+1)(n+m0+2)· · ·(n+m0+m)

=0

Por lo tanto para todo compacto K ⊆ C, l´ım

n→∞dK

(Snp,0) =0, es decir, que {Snp} converge uniformemente a la aplicación cero, sobre subconjuntos compactos deC.

Ya que el conjunto de polinomios es denso en H(C), (por la observación 5.0.12), tenemos que la aplicación diferenciación es hipercíclica sobreH(C₎

Definición2.0.24. Dado un F-espacio, denotaremos al espacio dual deX(el espacio de todas los funcionales lineales continuos sobreX) porX∗

SiT es un operador lineal continuo sobreX, definimos suadjuntoT∗como:T∗ :X∗→ X∗conT∗(Λ) =Λ◦T para todoΛ∈X∗. LuegoT∗es un operador lineal sobreX∗

Teorema 2.0.25. Sea T un operador lineal continuo sobre un F-espacioX. Si su adjunto T∗ tiene un eigenvector, entoncesT no es hipercíclico

Demostración. Si T∗ tiene un eigenvector, entonces existe Λ∈ X∗ distinto de cero y un α∈ Ctal que_T∗(Λ) = αΛ. Se puede ver de lo anterior queT∗n(Λ) =αnΛ. Así para todox∈C,_Λ(Tn_{x) =}_T∗n_{Λ(x) =}_αnΛ(x), y esto para todo_n_∈N.

De lo anterior podemos notar que Λ(Orb(T,x)) = {αn_Λ(x)}∞

n=0 donde el conjunto

de la derecha sabemos que no es denso enC.

Ya que Λ : X −→ C es continua y sobreyectiva, tenemos que Orb(T,_x) no puede ser denso enX, ya que de lo contrario sería una contradicción con la no densidad de {αnΛ(x)}∞

n=0en C.

Como esto sucede para cualquierx∈Xtenemos queT no puede ser hipercíclico en X.

Corolario2.0.26. No existe operador hipercíclico en un F-espacios de dimensión finita

(31)

3

D I N Á M I C A E N O P E R A D O R E S D E C O M P O S I C I Ó N

Ahora nos enfocaremos en un tipo de operadores donde la transitividad ocurre mas frecuentemente.

Para efecto de una mejor comprensión de esta sección, recordamos que en la sección pasada trabajamos sobre el espacio de todas las funciones holomorfas sobre un sub-conjunto abierto simplemente conexoG⊆C, el cual lo habíamos denotado por_H(C). Este espacio se puede convertir en unF-espaciobajo una métricad, (cuya construcción fue mostrada en la sección anterior) sobre la cual una sucesión de funciones {fn} en

H(C)converge a una funciónfenH(C)si y solo sifn−→funiformemente sobre cada

subconjunto compacto deG.

Definición3.0.27. SeaG1yG2subconjuntos abiertos simplemente conexos deC, yϕ :G1 →

G2una función holomorfa. Entonces decimos queϕinduce un operador de composiciónCϕ

definido como:

Cϕ:H(G2)→H(G1), con Cϕf=f◦ϕ para toda f∈H(G2).

Es fácil ver que el operador de composiciónCϕ es una aplicación lineal:

Cϕ(αf+g) = (αf+g)◦ϕ=α(f◦ϕ) + (g◦ϕ) =αCϕ(f) +Cϕ(g).

Seaϕ:G1→G2yψ:G2 →G3funciones holomorfas conG1,G2yG3subconjuntos

abiertos deC . Entonces para todo _f _∈ _H(G3) se tiene que Cψ◦ϕ(f) = f◦(ψ◦ϕ) =

(f◦ψ)◦ϕ= (Cψf)◦ϕ= (Cϕ◦Cψ)(f).Por lo tantoCϕ◦Cψ=Cψ◦ϕ :H(G3)→H(G1))

es eloperador de composición inducido porψ◦ϕ.

Ahora nos enfocaremos en funciones holomorfas deϕ :G→ G, dondeGes un do-minio simplemente conexo distinto de C. De esta particular clase de funciones pode-mos ver que Cnϕ = Cϕn para todo n ∈ N, donde ϕn indica la composición de ϕ consigo misma n-veces.

Por el Teorema de la Aplicación de Riemann5.0.13 existe una función σ : D _→ _G biholomorfa, donde D es el disco abierto unitario. Por lo tanto la aplicación _C_σ _: H(G)→H(D) es un isomorfismo, como veremos continuación.

Lema3.0.28. La aplicaciónCσes un isomorfismo deH(G)sobreH(D)

Demostración. i) Cσ inyectiva.

Supongamos queCσ(f) =Cσ(g)conf,g∈H(G), entonces:

f◦σ=g◦σ

(f◦σ)◦σ−1 = (g◦σ)◦σ−1 f=g.

(32)

32 dinámica en operadores de composición

Por lo tantoCσes inyectiva.

ii)Cσ sobreyectiva.

Seah∈H(D₎ entonces_f_:=_h_◦_σ−1 _∈H(G). Asi tenemos que existe un_f_∈_H(G)tal queCσ(f) =h. Por lo tantoCσes sobreyectiva.

iii)Cσcontinua.

Dada una sucesión{fn}⊆H(G)que converge afenH(G), queremos demostrar que

la sucesión{fn◦σ}⊆H(D)converge af◦σenH(D).

Sabemos que para todo compactoK ⊆ D, _σ(K) es compacto enG. De esta manera para todoε > 0, existe unN∈Ntal que para todo_n>N:

|fn(y) −f(y)|< ε para todo y∈σ(K)

|(fn◦σ)(x) − (f◦σ)(x)|< ε para todo x∈K.

Es decirfn◦σ→ f◦σ uniformemente sobre subconjuntos compactos deD, por lo

tanto la sucesión{fn◦σ}⊆H(D)converge af◦σenH(D).

iv)C−σ1 continua.

Esto sale del hecho queC−σ1 =Cσ−1y de que σ−1 es continua. ComoCσ es lineal entonces es un isomorfismo.

Este resultado nos permitirá transmitir resultados de la dinámica de operadores de composición sobre H(D₎ a operadores de composición sobre _H(G) a través de la con-jugación(como pudimos ver en la proposición1.1.12). En efecto, siϕ:G→Guna fun-ción holomorfa, entoncesψ:=σ−1◦ϕ◦σ:D_→Des también una función holomorfa. Ya que Cσ−1◦Cψ = Cϕ◦Cσ−1 conCσ isomorfismo deH(G) sobre H(D), entonces

Cϕ :H(G) → H(G) es conjugada a Cψ:H(D) → H(D), por lo tanto tenemos que se

transfieren mutuamente las propiedades dinámicas los operadores de composiciónCϕ

yCψ.

Por esta razón trabajaremos solo sobre funciones holomorfas deDen si mismo, en lugar deG.

El siguiente resultado nos mostrará una conexión importante entre las funciones holomorfas y sus operadores de composición inducidos.

Proposición3.0.29. Dada ϕ :D _→ D_{, si} _C_ϕ _{es hipercíclico entonces} _ϕ_{es univalente y no} tiene puntos fijos enD

Demostración. SiCϕes hipercíclico yϕtiene un punto fijop∈D, entonces debe existir

una función f ∈ H(D₎ tal que Orb(C_ϕ,_f) es densa en _H(D). Ahora toda función en Orb(Cϕ,f) tiene el mismo valor f(p) en p y lo mismo sucede para toda función en

Orb(Cϕ,f). Luego Orb(Cϕ,f)6=H(D)lo cual es una contradicción.

Supongamos ahora queϕno es univalente, es decir existenp,q∈Dtal que_{ϕ(p) =} ϕ(q). Luego, cada elemento en Orb(Cϕ,f) toma el mismo valor tanto en pcomo en

q, y esta propiedad se debe tener en todas las funciones en Orb(Cϕ,f), por lo tanto

Orb(Cϕ,f)6=H(D)lo cual es una contradicción, ya que no todas las funciones cumplen

(33)

Dado que la demostración de la proposición anterior no hizo uso de alguna propiedad especial del disco unitario, de esta manera podemos generalizar este resultado a cualquier subconjunto abiertoGenC.

En un sentido que sera precisado mas adelante, nos podremos dar cuenta que todas las funciones univalentes que envían el disco unitario en si mismo, pueden ser mode-ladas a través detransformaciones fraccionales lineales. Por esta razón nos enfocaremos en dichas transformaciones, al igual que en sus puntos fijos haciendo una clasificaciones de estas, para poder saber cuales operadores de composición son hipercíclicos y cuales no.

Definición3.0.30. Una transformación fraccional lineal (denotada por TFL) es una aplicación de la forma:

ϕ(z) = az+b

cz+d donde ad−bc6=0

La condición ad−bc 6= 0 es necesaria y suficiente para que ϕ no sea constante, siempre y cuandoc6=0. Esto se puede chequear de la formula:

ϕ(z) = az+b cz+d =

a

c(cz+d) − ad

c +b cz+d =

a c +

−(ad−bc) c(cz+d) .

Si extendemosϕ sobre el plano complejo extendido ˆC:=C_∪{_∞}, al definirϕ(_∞) = a/c y ϕ(−d/c) = ∞, entonces ϕ : Cˆ → Cˆ es biyectiva. Puesto que si ϕ(z) = az

+b

cz+d entoncesϕ−1 esta dada por:

ϕ−1(y) = −d

c (cy−a) − ad

c +b cy−a =

−dy+b

cy−a

comoad−bc6=0entoncesϕ−1 _{es una TFL.}

Si ˆCes identificada con la Esfera de Riemann a través de la proyección estereográfica dada por la funciónπ:S2 →Cˆ con :

π(x,y,z) =

  

 

2x 2−z+

2yi

2−z, si(x,y,z)∈S

2_{\ {(0,}_0,_2)}

∞, si(x,y,z) = (0,0,2)

entoncesϕser vista como un homeomorfismo de la esfera en si misma.

Dado que las TFL tienen a lo sumo 2puntos fijos, podemos estas funciones en tér-minos de sus puntos fijos.

(34)

Es fácil ver que siϕ es parabólica y su único punto fijo es∞, entoncesϕ(z) =z+τ

es decirϕ es una traslación.

Por otro lado si el punto fijo de ϕ es p ∈ C, entonces la TFL _σ(z) = 1/(z−p) es un homeomorfismo de ˆC en si mismo. Así_σ_◦_ϕ_◦_σ−1 es una traslación que fija a _∞, entonceslas TFL parabólicas son conjugadas de las traslaciones.

Definición3.0.32. Seaϕ una TFL sobreCˆ_{. Decimos que} _z_∈Cˆ _es_{punto atractor}_de_{ϕ, si} la sucesión{ϕn_}_{converge uniformemente a la funcion constante igual a}_z_{sobre subconjuntos}

compactos que no contengan puntos fijos deϕ, a excepción del punto z en caso que sea uno de sus puntos fijos.

Lema3.0.33. Siϕes una TFL parabólica con punto fijo∞, entonces∞es un punto atractor

deϕ.

(35)

Ahora seaK⊆Cˆ un subconjunto compacto de ˆC(cumpliendo las condiciones de la definición de punto atractor). Ya queS2 =∼ Cˆ y como para todoε > 0,_B_ε(π−1(_∞))⊆S2, entoncesS2\Bε(π−1(∞))⊆S2 es compacto.

Comoπ:S2 →Cˆ es un homeomorfismo, entonces_π(S2_\_B_ε_(π−1₍_∞₎₎₎es compacto en ˆC.

Entonces existe unN∈Nlo suficientemente grande tal que:

Para todon>N, _|π−1_(ϕn_{(x)) −}_π−1_(ϕn₍_∞_))|_{< ε} Para todo_x_∈_K

Asíπ−1(ϕn)→π−1(_∞)uniformemente sobre cada uno de los compactosKy como πes continua entonces ϕn _→

∞ uniformemente sobre cada uno de los compactos K

también. Por lo tanto∞∈Cˆ es un punto atractor deϕ.

De la anterior demostración tenemos que siϕes cualquier TFL parabólica con punto fijop∈Cˆ \ {_∞}, entonces la sucesión{ϕn_}_{converge uniformemente a}_p_∈_Cˆ _{\ {}

∞}sobre

todo subconjunto compacto de ˆCque no contenga puntos fijos, a excepción del punto p.

Esto lo podemos ver al considerar la TFL σ :Cˆ _→ Cˆ definida por _{σ(z) =} 1 z−p, de donde tenemosψ(z) :=σ◦ϕ◦σ−1(z) =z+τ.

Obteniendo así una expresión explícita para ϕ = σ−1_◦_ψ_◦_σ _{la cual está definida}

por:

ϕn(z) =σ−1◦ψn◦σ(z)

=σ−1( 1

z−p+nτ)

= 1

1

z−p+nτ

+p

De esta fórmula podemos ver queϕn_→_p_{uniformemente sobre subconjuntos}

com-pactosK⊆Cˆ que no contengan puntos fijos, a excepción del punto fijo_p_∈Cˆ \ {_∞}. La otra posibilidad es queϕ tenga dos puntos fijos distintos. En el caso que estos dos puntos sean0 y _∞ entonces podemos ver que ϕ es una K-dilatación compleja, es decirϕ(z) =kzpara alguna constantek∈C

En el caso general en queϕ tenga dos puntosp y q en C distintos. Eligiendo una TFL σ(z) = z−q

z−p tenemos queΛ := σ◦ϕ◦σ

−1 _{es una k-dilatación, así tenemos que}

las TFL con dos puntos fijos distintos son conjugadas de k-dilataciones.

Pero lakno esta univocamente determinada como veremos a continuación: Para este propósito consideremos las TFLα1(z) =

z−q

z−p yα2(z) = z−p

z−q, entonces Λ(z) :=α◦ϕ◦α−₁1 =kz. Además podemos ver que:

α−₁1(z) = pz−q z−1 y α

−1

2 (z) =

(36)

DeΛyα1 podemos obtener una expresión explícita deϕ

ϕ(z) =α−₁1◦Λ◦α1(z)

=α−₁1

k

z−q z−p

= pk

z−q z−p

−q

k

z−q z−p

−1

= (pk−q)z+pq(1−k)

(k−1)z+p−kq

Pero también podemos ver queϕes conjugada de una1/k-dilatación:

(α2◦ϕ◦α−₂1)(z) =α2

ϕ

qz−p z−1

=α2

   

(pk−q)

qz−p z−1

+pq(1−k)

(k−1)

qz−p z−1

+p−kq

   

=α2

zq(p−q) +kp(q−p) k(q−p) +z(p−q)

=α2

₍

z/k)q−p

(z/k) −1

= z

k

Definición3.0.34. Llamamos aϕuna TFLhiperbólicasi esta es conjugada de una k-dilatación conkpositivo yk6=1. Sikes no positivo y|k| 6=1entonces llamamos aϕloxodromica. En el caso en quek6=1y además|k|=1llamamos aϕelíptica.

Podemos notar que en el caso hiperbólico o en el caso loxodrómico uno de los puntos fijos es atractor y el otro es repulsor"

3.1 transformaciones fraccionales lineales sobre el disco unitario D

Sabemos que para cualquierGabierto simplemente conexoH(G)=∼ H(D₎y además que ningún operador de composiciónCϕpuede ser hipercíclico siϕtiene puntos fijos.

Por esta razón nos enfocaremos en el subconjunto de las transformaciones fraccionales lineales sobre el disco unitario TFL(D), que no tienen puntos fijos enD.

Proposición3.1.1. 1) Todo automorfismo deD_{con punto fijo}_p_∈D_{es elíptico.}

2) Todo endomorfismo deD_{distinto de la identidad no puede puede poseer mas de un punto fijo} enD_.

(37)

Demostración. 1.Seaϕun automorfismo deDcon punto fijo_p_∈D, la cual por el lema de Schwarz5.0.14es a su vez una TFL(D). Ahora consideraremos_ϕ_p₌ z−p

1−pz el cual es un automorfismo deD. Entonces _ψ _:= _ϕ_p_◦_ϕ_◦_ϕ−_p1 es un automorfismo de D y por el lema de Schwarz5.0.14,ψpuede ser expresado de la forma:

ψ(z) :=ϕp◦ϕ◦ϕ−p1(z) =eiα

z−z0

1−z0z

conα∈Ry_z₀ _∈C.

Comoψ(0) =0, entoncesz0 =0. Así tenemos queψ(z) =eiαz, por lo tanto tenemos

queϕes elíptica.

2. Supongamos queϕes una endomorfismo deD distinto de la identidad con dos puntos fijos p y q. Luego ψ := ϕp◦ϕ◦ϕ−p1 es un endomorfismo con puntos fijos

ϕp(p)yϕp(q).

Por el lema de Schwarz 5.0.14 tenemos que ψ(z) = wz con |w| = 1, pero como ψ tiene dos puntos fijos distintos entoncesw = 1. Así tenemos queϕ es la identidad lo cual es una contradicción.

3.Supongamos ahora queϕ∈TFL(D₎es una TFL parabólica con punto fijo_p_∈D, entonces tenemos:

g(z) :=ϕ(z) −z=l(z−p)2 g′(z) =2l(z−p) =ϕ′(z) −1

De esto tenemos que la aplicaciónϕp◦ϕ◦ϕ−p1:D→Dfija el origen y además:

(ϕp◦ϕ◦ϕ−p1)′(0) =ϕp′(ϕ◦ϕp−1(0))·ϕ′(ϕ−p1(0))·(ϕ−p1)′(0)

=ϕp′(p)·ϕ′(p)·(ϕ−p1)′(0)

=1

Así por el lema de Schwarz 5.0.14 (ϕp◦ϕ◦ϕp−1)′(z) = wz con |w| = 1, es decir,

ϕ es conjugada de una rotación , lo cual es una contradicción al hecho de queϕ sea parabólica

Observación3.1.2. La aplicaciónψ(z) = z+1

−z+1 envíaD sobre el semiplano derechoP := {z∈C_:_Re_(z)_{> 0}}

Demostración. Por un lado tenemos queψ(z) = z+1

−z+1 = −1+

2 −z+1. Considerandow= −1+ 2

−z+1 ⇐⇒z=1−

2

(38)

z∈D_⇐⇒

1− 2 w+1

< 1

⇐⇒

w−1 w+1

< 1

⇐⇒|w−1|2<|w+1|2

⇐⇒|w|2−2Re(w) +1 <|w|2+2Re(w) +1 ⇐⇒4Re(w)> 0

⇐⇒w∈P De esta maneraψ(D) =P.

observaciones sobre las tfl(D) _parabólicas

i) Si ϕ ∈ TFL (D) es parabólica, entonces por la proposición anterior tenemos que su punto fijo debe permanecer sobre∂D.

ii) Por conjugar ϕ con una rotación apropiada θ : D _→ D (es decir _θ_◦_ϕ_◦_θ−1) podemos asumir que el punto fijo de ϕ es1. Ya queψ(z) = z+1

−z+1 envía el disco D sobreP, y además _ψ(1) = _∞, podemos deducir ϕ es conjugada de una traslación de la forma z → z+τ (ya que ψ◦ϕ◦ψ−1 solo tiene un punto fijo) con Re(τ) > 0 del semiplanoPen si mismo.

Corolario3.1.3. Siϕ ∈TFL (D_{) es parabólica, entonces}_ϕ_envía D_{sobre si mismo si y solo} si Re(τ) =0

Demostración. SeaΛ(z) := (ψ◦ϕ◦ψ−1_{)(z) =}_z₊_τ_{luego tenemos que}

ϕ= (ψ−1◦Λ◦ψ)(z) =ψ−1

z+1 −z+1+τ

=ψ−1

(1−τ)z+ (1+τ) −z+1

=

(1−τ)z+ (1+τ)

−z+1 −1

(1−τ)z+ (1+τ)

−z+1 +1

= (2−τ)z +τ