Sistema de Forças e Momento de um Binário

Sistema de Forças e

Momento de um Binário

Referências:

Estática – Mecânica para Engenharia – Capítulo 4. Autor: R. C. Ribbeler.

2

Momento Resultante de um Sistema de Forças:

Se um corpo está sujeito à ação de um sistema de forças F₁, F₂, F₃, etc, o momento resultante das forças em relação ao ponto O pode ser determinado pela soma vetorial dos momentos de cada força em relação a O.











i i

R_O

r

F

Exemplo: Um sistema de forças atua sobre uma chapa triangular, conforme mostrado na figura ao lado. Temos:

Resolução: Como todos os lados do triângulo são iguais, trata-se de um triângulo equilátero. Os ângulos do triângulo valem 60º cada um.

N 10 1  F N 6 2  F N 10 3  F N 6 4  F o

60 60o

o

60 As linhas de ação das forças F₂ e F₃

passam por O, portanto seus momentos são nulos. Apenas as forças F₁ e F₄

produzem momentos não nulos em relação ao pólo O.

; k k M ; k cm k cm M ˆ , ˆ , ˆ . ˆ . RO RO N.m 52 0 N.m 50 0 N 6 75 N 10 5       . ˆ , RO k

M  0 02N.m

cm 75 de braço cm 5 de braço 4 1     d d F F

F₁ produz rotação anti-horária em relação ao ponto O. F₄ produz rotação horária em relação a O.

5

Teorema de Varignon:

A

x y

z

r



1

F



F



3

F



F



O momento da resultante de diversas forças em relação a um ponto O é igual à soma dos momentos das várias forças em relação ao mesmo ponto.

O







1

i

i

F

M



r





A

x y

z

R



O

r









1

i

i

F

r

M







M





r





R



Soma dos momentos das forças ... ... é igual ao momento da

Exemplo: as forças 𝑭₁, 𝑭₂, 𝑭₃, 𝑭₄ e 𝑭₅ atuam sobre o cubo de aresta 1 m

mostrado na figura. Sabendo que 𝑭₁ = 12𝑁, 𝑭₂ = 3𝑁, 𝑭₃ = 4𝑁, 𝑭₄ = 10𝑁 e

Solução: como três as forças agem no ponto C, podemos calcular o momento da resultante dessas três forças atuando em C e, em seguida, somar esse valor com o momento da força atuando em B. A força agindo em A não produz momento pois sua linha de ação passa por O.

Ԧ

𝐹_𝑅𝐶 = Ԧ𝐹₁ + Ԧ𝐹₂ + Ԧ𝐹₃ → 𝐹Ԧ_𝑅𝐶= −3𝑁 Ƹ𝒊 + 12𝑁 Ƹ𝒋 − 4𝑁෡𝒌

Ԧ

𝐹₁ = 12𝑁 Ƹ𝒋; 𝐹Ԧ₂ = −3𝑁 Ƹ𝒊; 𝐹Ԧ₃ = −4𝑁෡𝒌

Escrevendo as forças vetorialmente:

Força resultante em C:

Vetor posição de C em relação a O: Ԧ𝑟_𝑂𝐶 = 𝐶 − 𝑂 = 1𝑚 Ƹ𝒊 + 1𝑚 Ƹ𝒋 + 1𝑚෡𝒌

𝑀_𝑂𝐶 =

Ƹ𝑖 Ƹ𝑗 𝑘෠

1 1 1

−3 12 −4

= −16 Ƹ𝒊 + 1 Ƹ𝒋 + 15෡𝒌 𝑁𝑚. Ԧ

𝐹₄ = −10𝑁 Ƹ𝒊; 𝐹Ԧ₅ = 5𝑁 Ƹ𝒋

Momento das forças agindo em C:

𝑀_𝑂𝐵 =

Ƹ𝑖 Ƹ𝑗 𝑘෠ 1 1 0 0 5 0

= 5𝑁𝑚෡𝒌.

Momento da força 𝐹Ԧ₅ agindo em B:

Vetor posição de B em relação a O: Ԧ𝑟𝑂𝐵 = 𝐵 − 𝑂 = 1𝑚 Ƹ𝒊 + 1𝑚 Ƹ𝒋

m. 3

 

OB OC

OA F1  F2  F3  18 N.

 



Exemplo: No sistema de forças mostrado na figura, temos:

   







 



M _RO  9 N.m ˆ  9 N.m ˆ

Ԧ

𝐹₁ = 18𝑁መ𝐤

Ponto A(3, 0, 0); Ponto B(0, 3, 0); Ponto C(0, 0, 3)

𝐶𝐴 = 𝐴 − 𝐶 = 3, 0, −3 , 𝐶𝐴 = 18 𝐵𝐶 = 𝐶 − 𝐵 = 0, −3, 3 , 𝐵𝐶 = 18

Ԧ

𝐹₃= Ԧ𝐹₃ 𝑢ො_𝐶𝐴 = 18 3

18, 0, − 3

18 = 3𝑁 Ƹ𝐢 − 3𝑁መ𝐤 Ԧ

𝐹₂ = Ԧ𝐹₂ 𝑢ො_𝐵𝐶 = 18 0, − 3 18,

3

18 = −3𝑁 Ƹ𝐣 + 3𝑁መ𝐤

𝑀_𝑂1 = Ԧ𝑟_𝑂𝐶 × Ԧ𝐹₁ = 0

𝑀_𝑂2 = Ԧ𝑟_𝑂𝐵 × Ԧ𝐹₂ = 3𝑚 Ƹ𝐣 × −3𝑁 Ƹ𝐣 + 3𝑁መ𝐤 = 9𝑁. 𝑚 Ƹ𝐢 𝑀_𝑂3 = Ԧ𝑟_𝑂𝐴 × Ԧ𝐹₃ = 3𝑚 Ƹ𝐢 × 3𝑁 Ƹ𝐢 − 3𝑁መ𝐤 = 9𝑁. 𝑚 Ƹ𝐣

Calcule a força resultante e o momento resultante em relação a O.

Momento de um Binário (ou Conjugado):

Duas forças F e –F que tenham o mesmo módulo, linhas de ação paralelas e sentidos opostos formam um binário (ou conjugado).

F



F

-



Como a resultante das forças é zero, o corpo não é transladado, mas o momento das forças, por ser não nulo, fará o copo girar.

 





.

A

O

r

F

r

F

r

r

F

M







































r

r

r













r

F

M







O vetor momento do binário, M, é perpendicular ao plano que contém as duas forças e seu módulo é dado por:

.

d

F

sen

F

r

M







F



F

-



M



d

Quando um binário atua sobre um corpo rígido, não importa onde atuam as duas forças que formam esse binário, nem o módulo e direção delas; a única coisa que importa é o momento do binário (módulo, direção e sentido).

0,15 m

100 N 100 N

z

x y

0,10 m 0,10 m

150 N 150 N

z

x y

0,10 m

0,10 m 150 N

150 N

z

x y

0,10 m

Binários Equivalentes:

_

_





M  15N.m ˆ





M  15N.m ˆ

Nas figuras ao lado, cada um dos três binários tem o mesmo momento M (mesma direção, sentido e mesmo módulo), portanto os três binários têm o mesmo efeito sobre a caixa, que é o de produzir uma rotação em torno do eixo y.

Resolução: O momento do binário vale:

N.m,

24

m

0,6

.

N

40











F

d

M

M

M

no sentido anti-horário.

O binário equivalente teve ter o mesmo momento e direção do binário original.

O braço de momento entre os pontos

A e B é d = 0,2 m.

m

.0,2

N.m

24

F

d

F

M







N.

120



F

Assim, para obtermos um binário equivalente, devemos aplicar nos pontos A e B forças

Exemplo: Dois binários agem sobre a viga. Determine a intensidade de 𝑭 de modo que o momento de binário resultante seja 450 Nm no sentido anti-horário. Onde atua, na viga, o momento do binário resultante?

Solução:

Decompondo as forças F e –F em componentes horizontais e verticais, vemos que

as componentes verticais estão na mesma linha de ação e seu momento de binário é zero.

𝑀_𝑅 = 450 𝑁. 𝑚𝐤 = 2000𝑁. 0,15𝑚𝐤 + 𝐹. cos(30𝑜)0,125𝑚𝐤. 450 𝑁. 𝑚 = 2000𝑁. 0,15𝑚 + 𝐹. cos(30𝑜)0,125𝑚.

450 𝑁. 𝑚 − 300𝑁. 0,15𝑚 = 𝐹. cos(30𝑜)0,125𝑚.

𝐹 = 150 𝑁. 𝑚

cos 30𝑜 _0,125𝑚 = 1386𝑁.

Exemplo:Três binários atuam no bloco mostrado na figura.

a) Determine o momento M do binário equivalente que atua sobre o bloco.

Resolução Nm; 150 m 0,6 . N 250 M : Plano Nm; 90 m 0,6 . N 150 M : Plano Nm; 160 m 0,8 . N 200 M : Plano z y x         y x z x z y

a) Cálculo do momento total dos binários:

k

j

i

M





160

N.m

ˆ



90

N.m

ˆ



150

N.m

ˆ

b) Cálculo dos ângulos com os eixos x, y e z:

k

j

i

M

M

e

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

237

150

237

90

237

160













;

5

,

47









237

90

)

cos(

θ







237

150

)

cos(

θ





237

160

)

cos(

θ

Binários Como Vetores:

•O vetor que representa um binário, conforme (a), é chamado de vetor binário.

•Um vetor binário é um vetor livre, sem ponto de aplicação, conforme (b).

•Podemos escolher o ponto de aplicação do vetor binário na origem do sistema de coordenadas, conforme (c), se for conveniente.

Decomposição de uma Força Dada em uma Força Aplicada em O

e um Binário:

• Existem situações onde é vantajoso transferir a força F aplicada num ponto A para o polo O.

•Aplicamos duas forças, F e –F, em O. Isso não altera em nada a ação da força original, pois a resultante dessas forças aplicadas em O é zero.

• Ficamos assim com uma força F aplicada em O e um binário de momento

M_O = r X F, perpendicular a F.

Exemplo: Determine as componentes do binário equivalente aos dois binários da figura:

150 N

150 N

150 N 150 N

Acrescentamos um par de forças iguais e opostas atuando no mesmo ponto. Isso não muda as condições do problema, mas facilita o cálculo.

i.

i

M





200

N

.

0

,

45

m





90

N

m

j.

j

M



150

N

.

0

,

3

m



45

N

m

k.

k

M



150

N

.

0

,

225

m



33

,

75

N

m

Momento do binário resultante:

k. j

i

k

j

i

i

M





200

N

.

0

,

225

m



200

N

.

0

,

225

m



150

N

.

0

,

3

m



150

N

.

0

,

225

m

Como só temos binários atuando no sistema, a resultante das forças é

zero, e o momento total não depende da escolha do pólo, sendo o mesmo para qualquer pólo.

Solução alternativa

Vamos escolher o ponto A como pólo, e calcular o momento do sistema em relação a esse ponto:

k

j

i

M





90

N

m



45

N

m



33

,

75

N

m

Exemplo: Substitua o carregamento do sistema por uma força e momento de binário resultante equivalente no ponto A. Considere a barra como tendo espessura desprezível.

Força Resultante Equivalente em A:

෍ 𝑅_𝑥 = 900 𝑁 𝑠𝑒𝑛 30𝑜 = 450𝑁.

෍ 𝑅_𝑦 = −900 𝑁 𝑐𝑜𝑠 30𝑜 − 300 𝑁 = −779𝑁 − 300𝑁 = −1079𝑁

Solução

Momento de Binário Equivalente em A:

𝑀_𝑅𝐴 = −900𝑁. 𝑐𝑜𝑠 30𝑜 . 0,75𝑚𝐤 − 300𝑁. 2,25𝑚𝐤 + 300𝑁. 𝑚𝐤 = −960 𝑁. 𝑚𝐤.

Força equivalente:

෍ 𝐹_𝑥 = 200 𝑁 − 200𝑁 = 0

෍ 𝐹_𝑦 = −400 𝑁

෍ 𝑀_𝑅 = −200𝑁. 0,120𝑚 − 400.0,3. 𝑠𝑒𝑛 60𝑜

෍ 𝑀_𝑅 = −84 𝑁. 𝑚

O momento equivalente é de 84 N.m no sentido horário.

Para que a força equivalente de 400 N na vertical para baixo produza um momento de 84 N.m no sentido horário, o braço dessa força, d, deve ser:

84 𝑁. 𝑚 = 400𝑁. 𝑑 → 𝑑 = 84

400 → 𝑑 = 0,21 𝑚 𝒅 = 𝟎, 𝟐𝟏 𝒎

C

Portanto a distância OC até o ponto de aplicação da força equivalente deve ser:

OC = d/cos(60º) = 0,42 m ou 420 mm.

3 - 25

• Para mover a força F de A para um ponto diferente O’ deve-se aplicar naquele ponto um vetor binário diferente M_O’

F r

M _O'   

• Os momentos de F em relação a O e a O’ estão relacionados.





SOLUÇÃO:

a) Calculamos a força resultante para as forças mostradas e o binário resultante para os momentos das forças em relação a A.

b) Encontramos um sistema força-binário em B equivalente ao sistema força-binário em A.

c) Determinamos o ponto de aplicação para a força resultante de tal forma que seu momento em relação a A seja igual ao binário resultante em A.

Exemplo: Para a viga abaixo, reduza o sistema de forças dado a (a) um sistema força-binário equivalente em A, (b) um sistema força binário equivalente em B, e (c) a uma força única ou resultante.

Exemplo: continuação

3 - 27

SOLUÇÃO:

a) Calculamos a força e o binário resultantes em A.



 

 

 



F R       N 250 N 100 N 600 N

150   

 

_





R   600 N 





  

   



  



j i j i F r M_AR

         250 8 , 4 100 8 , 2 600 6 , 1          







k

3 - 28

b) Encontramos um sistema força-binário em B

equivalente ao sistema força-binário em A.

A força fica inalterada pelo movimento do sistema força-binário de A para B.





R   600 N 

O binário em B é igual ao momento em relação a B do sistema força-binário encontrado em A.



 

 





 



j i k R r M

M_BR _AR _{B A}

         m N 2880 m N 1880 N 600 m 8 , 4 m N 1880               





M _BR   1000 Nm 

O sistema força-binário obtido pela transferência de uma força F de um ponto A para um ponto O consiste em F e em um vetor binário M_O = r X F, perpendicular a F.

Reciprocamente, qualquer sistema força-binário constituído de uma força R e de um vetor binário M_O, mutuamente perpendiculares pode ser substituído por uma única força equivalente.

Observação Importante:

m. 3

 

OB OC

OA

N. 18

 

 _{2 3}

1 F F

F  

Exemplo: No sistema de forças mostrado na figura, temos:

   

i

-

j





k

R





3N

ˆ

3N

ˆ



18

N

ˆ



 

i



j

M





9

N.m

ˆ



9

N.m

ˆ

     



i

-

j

k







 

i



j



M

R



•





3N

ˆ

3N

ˆ



1N

ˆ

•

9

N.m

ˆ



9

N.m

ˆ





•

M

0

Mudança de Pólo:

Sejam A e B dois pontos distintos. O momento de um sistema de n forças F_i em relação a esses pólos é:

















_







































A

B

B

P

A

P

B

P

A

P

,

F

F

M

M

F

F

M

M









































A

P

B

P

F

M

F

M























M

R

M





B

A



M





M







A



B





R



.

Se soubermos o momento de um sistema de forças em relação ao pólo B, a resultante R desse sistema e o vetor posição AB, podemos achar o momento do sistema de forças em relação ao pólo A.