Dr Luis Enrique S u c a rS u c c a r

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Matemáticas Discretas

Curso Propedèutico 2009 %

Maestría en Ciencias

Computacionales, INAOE

Lógica (1)

Dr Luis Enrique S u c a rS u c c a r

esucar@inaoep.mx

Dra A ngélica M uñoz Meléndez

(2)

Conectivas básicas

La lógica o cálculo proposicional se ocupa de

enunciados o proposiciones, oraciones declarativas que pueden ser verdaderas o falsas.

Las proposiciones se representan con letras m inúsculas: p: M atem áticas Discretas es un curso propedéutico de la

Maestría en Ciencias Com putacionales.

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Lógica proposicional (2)

Conectivas básicas

Las exclam aciones, interrogaciones o expresiones im perativas no se consideran proposiciones. Las siguientes expresiones no son proposiciones de la lógica proposicional:

¡Qué chula es Puebla! ¿A qué hora empieza el examen?

Ve a estudiar ahora mismo.

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Conectivas básicas

Las proposiciones de la lógica proposicional se conocen como prim itivas y com binándolas con conectivas lógicas se pueden construir nuevas proposiciones. Las conectivas lógicas son:

“ I negación

A

conjunción

V

disyunción

V

disyunción mutuamente exclusiva -► condicional

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Conectivas básicas

Si p,

q

y rs o n prim itivas o proposiciones de la lógica

proposicional, las siguientes son proposiciones válidas de la

lógica proposicional:

-1 P

PAq

q V r

r V p

p ^ r

q <-> r

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Conectivas básicas

En las proposiciones de la lógica proposicional pueden incluirse signos que agrupen proposiciones, por ejemplo:

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Tablas de verdad

Las tablas de verdad expresan las circunstancias en las que

una proposición de la lógica proposicional es verdadera (1)

o falsa (0):

p -p p q p Aq PVq P V q p ~> q p « q

0 1 0 0 0 0 0 1 1

1 0 0 1 0 1 1 1 0

1 0 0 1 1 0 0

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Tablas de verdad

Definición Una proposición de la lógica proposicional es una tautología, denotada como T , si es verdadera para todas las asignaciones de verdad de sus proposiciones componentes.

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Tablas de verdad

Ejem plo C onstruya las tablas de verdad correspondientes y diga cuáles de las siguientes proposiciones son tautologías y cuáles contradicciones: a) p A (--p A q)

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l a uivalencia lógica

Definición Dos proposiciones s y s¿ son lógicam ente equivalentes, denotado como s « s , si y sólo si la proposición s es verdadera cuando s2es verdadera, y s es falsa cuando s es falsa.

(11)

Lógica proposicional (10)

Equivalencia lóaica

Ejem plo Construya las tablas de verdad correspon­ dientes y diga si los siguientes pares de proposiciones son lógicam ente equivalentes.

a) s , : "'P V q y s2: p —> q

b) : (p —> q) A (q —> p) y s 2: p « q

(12)

-l a uiva-lencia -lógica

Otra forma de com probar si dos proposiciones son lógicam ente equivalentes es aplicando las leyes de la lógica.

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Lògica proposicional (12)

Equivalencia lóaica: Leves de la lóaica Para cualesquiera proposiciones lógicas p, q, r

1. * * p « p Doble negación

2. ->(p V q) « ■'p A "'q DeMorgan

->(p A q j w p v q

3. p v q e q v p Conm utativas

p A q « q A p

(14)

13-Lógica proposicional (13)

Equivalencia lóaica: Leves de la lóaica Para cualesquiera proposiciones lógicas p, q, r

4. p V (q V r) « (p V q) V r A sociativas p A (q A r) » (p A q) A r

5. p V (q A r) e (p V q) A (p V r) Distributivas p A (q V r) » (p A q) V (p A r)

6. p V p « p Idem potentes

p A p « p

M .

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Lógica proposicional (14)

Equivalencia lóqica: Leves de la lóqica Para cualesquiera proposiciones lógicas p, q, r

7. p v Fq e p Identidad

P A T o « p (neutro)

8 P V P « T 0 Inversas

P A - ' P « F o

9. p V T « Tr 0 0 Dominación

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15-l a uiva15-lencia 15-lógica: Leves de 15-la 15-lógica Para cualesquiera proposiciones lógicas p, q, r

10. p V (p A q) e p Absorción

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l a uivalencia lógica

Definición Sea s una proposición de la lógica proposicional. Si s sólo contiene conectivas lógicas conjuntivas y disyuntivas, entonces el dual de s, denotado como sd, es la proposición que se obtiene al reem plazar cada ocurrencia de A y V por V y A, respectivam ente, y cada ocurrencia de Tg y Fg por Fg y

(18)

l a uivalencia lógica

Ejem plo Los siguientes pares de proposiciones son duales.

a) s f: P V Tg, s fd: p A Fg

(19)

l a uivalencia lóqica

Teorem a del principio de la dualidad

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Equivalencia lógica

Analicem os los valores de verdad de las proposiciones p -> q, ■■q -> -'P, q -> p y -> -,q:

p q p -> q -■q -> --p q ^ p -■P -> --q

0 0

1

1

1

1

0

1

1

1

0 0

1 0 0 0

1

1

(21)

l a uivalencia lógica

De acuerdo a la tabla previa, podem os afirm ar que (p -> q) (--q -> --p) al igual que (q -> p) (->p -> ->q) La proposición ->q —> ->p se conoce como la

contrapositiva de la implicación p —> q. La proposición q —> p se denom ina la recíproca de p —> q y ->p —> ->q se conoce como la inversa de p —> q. Nótese que

(22)

Lógica proposicional (21)

l a uivalencia lógica

(a) (b ) (c)

Se tiene en (a) una red con un interruptor, (b) y (c) tienen dos

interruptores (independientes) cada una. En la red de (b), la

corriente fluye de

T-¡

a

T2

si cualquiera de los dos interruptores p,

q

está cerrado. Esta red se denomina

p a ra le la

y se representa

por p v

q.

La red (c) necesita que los dos interruptores p,

q

estén

cerrados para que la corriente fluya de

T-¡

a

T2.

Aquí, los

(23)

l a uivalencia lógica

P

Ti

Suponga que tenem os la red ¡lustrada en la figura previa, en la

cual los interruptores no son independientes entre sí. Esta

red puede representarse como la proposición lógica:

(24)

Lógica proposicional (23)

Para sim plificar la expresión, debem os buscar la e q u iv a le n c ia ló g ic a de la proposición original y proposiciones más simples.

Sim plificación Razones

(p v q v r) a(p v t v ~'q) a (p v nt v r)

« P V [ ( q v r ) A ( t v _,q) a(“•t v r)] Ley distributiva

» P V [( ( ( q v r ) A t) v ( ( q v r ) A - - q ) ) A (-t v r)] Ley distributiva

« P V [ ( ( ( q v r ) A t ) v ((q a-q) v (r A -*q))) A (^ tv r)] Ley distributiva «*■ p v [ ( ((q V r) at) v (Fov (r a->q))) a(--t v r)] Ley inversa

« P V [ ( ( ( q v r ) A t ) v (r a—'q)) A (-«t V r)] Ley del elemento neutro

** P V [( ((q V r) at) a(-«t v r ) ) v ( (r a-■q) a(_1t v r ) )] Ley distributiva

** P V [( (q V r) A (t A (“4 v r))) v ( (r a-■q) a(_1t v r ) )] Ley asociativa « P V [ ( ( q v r ) A ( ( t A-»t) v (t A r) )) v ( (r A ->q) A ( - í v r ) )] Ley distributiva

(25)

-Sim plificación (continuación) Razones

« P V [ ( ( q v r ) A ( ( t A-»t) V (t A r) )) v ( (r A ->q) A ( - í v r ) )]

« P V [ ( ( q v r ) A ( F ov ( t A r ) ) ) v ( ( r A - ,q ) A ( - tv r ) ) ] Ley inversa

** P V [( (q V r) A (t A r ) ) v ( (r a -■q) A (“4 v r ) )] Ley del elemento neutro

p V [ ( (q v r) A (t A r ) ) v ( ((r A -q ) A -t) v ((r A -q ) A r ) )] Ley distributiva

^ P V [( (q V r) a (t a r) ) v ( (r a nq a -,t) v (r a nq a r ) )] Ley asociativa

^ P V [( (q V r) A (t A r ) ) v ( (r a “>q A -*t) v (r A -■q))] Ley idempotente

« P V [ ( ( q v r ) A ( t A r ) ) v ( r A - ,q)] Ley de absorción

^ P V [ ( (q A (t A r)) v ( r A (t A r))) v (r A ->q)] Ley distributiva

«*■ p v [ ( (q A (t a r)) v (t a r)) v (r a -q)] Leyes asociativa e idempotente

(26)

Lógica proposicional (25)

Sim plificación (continuación)

p v [ ( t A r ) v ( r A - > q ) ]

p v [ ( r A t ) v ( r A - > q ) ]

p V [ r A ( t v - ' q ) ]

Razones

Ley conmutativa

Ley distributiva

R ed s im p lific a d a

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-Im plicación lógica: reglas de inferencia

Las reglas de inferencia permiten determ inar la validez de un argum ento para dem ostrar un teorem a.

(P1 A p 2 A p 3 A. . . A p j —> q

p , p p ..., pnse conocen como las premisas del argum ento, y q se conoce como la conclusión el argumento.

(28)

Im plicación lógica: reglas de inferencia

Definición s i p y q son proposiciones arbitrarias, y

p —> q es una tautología, decimos que p implica lógicam ente a q y escribim os p => q.

Ejem plo Sean p f: p, p¿: (pA r)> s y q: r —> s Verifique con una tabla de verdad que (p f A p 2J implica

(29)
(30)

Im plicación lógica: reglas de inferencia

Las reglas de inferencia postulan asociaciones conocidas y probadas de implicación lógica.

(31)

Im plicación lógica: reglas de inferencia Modus Ponens

P

p re m is a s

p ^ q

n c o n c lu s ió n

Verifique con tablas de verdad que

(32)

Im plicación lógica: reglas de inferencia

Ley del silogism o Modus Tollens

p ^ q

q ^ r -,q

(33)

Lógica proposicional (32)

Im plicación lóaica: realas de inferencia

Regla de la conjunción

p

Regla del silogism o disyuntivo

q p v q

: . p A q -'P

••• q

(34)

3-Im plicación lógica: reglas de inferencia

Regla de la contradicción Regla de sim plificación

_ , p p conjuntiva

--- - P A g

: . p ---

(35)

Im plicación lógica: reglas de inferencia

Regla de la am plificación disyuntiva

P

P V q

Regla de dem ostración condicional

p A q

(36)

Lógica proposicional (35)

Im plicación lóaica: realas de inferencia

Regla de dem ostración Regla del dilem a

por casos constructivo

p ^ r p ^ q

q—> r r —> s

(pv q) —►r pv r : . q v s

# • o f i

(37)

Lógica proposicional (36)

Im plicación lóaica: realas de inferencia

Regla del dilem a destructivo

p ^ q

~<q V "'S -■p v ~>r

(38)

Im plicación lógica: reglas de inferencia

Aplique las reglas de inferencia modus ponens, modus tollens y regla del silogism o para dem ostrar la validez del siguiente argum ento.

p ^ r

r —► s t v -,s

~'t v u

- ' U

(39)

Lógica proposicional (38)

Pasos Justificación

Implicación l ó q i c a : realas (1) p —* r, r s Premisas

de inferencia (2 ) p ^ s (1) + Ley del silogismo

p ^ r (3) t v s Premisa

r —►s (4) -1 s V f (3) + Conmutativa de disy.

< J O) (5) s —» f (4) + ->s v f => s -> f

(6) p - f (2) + (5) + Ley del silogismo

~ ' t V u

( 7 ) ^ t v u Premisa

- ' U

(8) f -» u (7) + ~>t v u => t -> ü ••• - ' P (9 ) p ^ u (6) + (8) + Ley del silogismo

(10) ' L/ Premisa

(11).-. ->p (9) + (10) + Modus Tollens

4 ^

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