Definición 18.1 Diremos que la función y = F(x) es una antiderivada de y = f(x) en el

(1)

I

INNTTEEGGRRAALLEESS

Lic. José L. Estrada P. UTEA

LA INTEGRAL INDEFINIDA

Introducción.

La 2da. parte del cálculo diferencial e integral. La antiderivación llamada también antidiferenciación, o comúnmente denominada integración tiene dos interpretaciones distintas: es un procedimiento inverso a la derivación, i es un método para determinar el área de una región encerrada por una o varias curvas. Cada una de estas interpretaciones tiene numerosas aplicaciones en matemáticas, física, ingeniería, administración, economía, biología, ciencias sociales, etc.

Integral indefinida

Definición 18.1 Diremos que la función y = F(x) es una antiderivada de y = f(x) en el intervalo I, si F’(x) = f(x) ∀ x ∈ I. (Otras veces F recibe el nombre de primitiva de f).

Así por ejemplo: la antiderivada de f (x) = 4x3_{es F(x) = x}4∀_x∈_R_{; pues} Dx (x4) = 4x3 (Note que Dx (x4 + 8) = 4x3, Dx (x4 – 6) = 4x3; en general Dx (x4 + C) = 4x3). La antiderivada de g(x) = 1/x es G(x) = ln x, ∀x ∈ ] 0, + ∞[; pues Dx (ln x) = 1/x (Observe que Dx (ln x + 5) = 1/x, Dx (ln x – 1) = 1/x; en general Dx (ln x + C) = 1/x). La antiderivada de h(x) = cos x es H(x) = sen x, ∀x ∈R; pues Dx (sen x) = cos x (Mire que Dx (sen x + 3) = cos x, Dx (sen x – 2) = cos x; en general Dx (sen x + C) = cos x).

Así como el operador lineal Dx, llamado diferenciación asigna a la función y = f(x) la función y = g’(x); el operador lineal inverso Ax, llamado antidiferenciación, asigna a la función y = f’(x) la función y = f(x). Para los ejemplos anteriores: Ax(4x3) = x4, Ax(1/x) = ln x, Ax(cos x) = sen x.

La notación Ax generalmente se reemplaza por otro símbolo. Leibnitz es el autor para emplear “la s alargada”: , i ésta es la que comúnmente se utiliza casi en todos los textos de cálculo. A este símbolo se adjunta la diferencial dx. Por ejemplo, 4x3_{dx = x}4_{+ C,}  (1/x)dx = ln x + C,  cos x dx = sen x + C.

(2)

Esta familia de curvas tiene la propiedad de que, dado un punto (x0, y0) hay una i sólo una curva de la familia que pasa por este punto particular de modo que la constante C correspondiente estará determinada por C0 = y0 – f(x0). Vea la figura 1

Fig. 1

En el estudio de las ecuaciones diferenciales esta familia resulta ser la solución general de una ecuación diferencial ordinaria i la especificación del punto (x0, y0) se conoce como una condición inicial para hallar la solución particular.

18.1 Integrales inmediatas

Desde que la derivación i la integración son operaciones inversas, los casos más sencillos de integración se llevan a cabo invirtiendo las correspondientes fórmulas de la derivación, razón por la cual las fórmulas resultantes se denominan integrales inmediatas.

Los casos algo más complicados se manejan mediante técnicas de integración que se verán en un próximo capítulo.

En general este proceso es más complicado que el de derivación, i tendremos que ser más cautelosos i pacientes con las técnicas que nos permitan obtener tales antiderivadas. Más adelante abordaremos métodos más especializados.

La naturaleza inversa de las operaciones de integración i derivación Ax i Dx respectivamente puede simbolizarse, como propiedades, de la manera siguiente:

La derivación es la inversa de la integración: f(x)dx f(x) dx

d

=   





. . . (1)

La integración es la inversa de la derivación:



f'(x)dx= f(x) + C . . . (2)

Aunque hemos definido el proceso de integración, no disponemos aún de reglas prácticas para calcular antiderivadas. Afortunadamente como la integración es inversa de la diferenciación, es fácil obtener reglas de integración a partir, precisamente de las reglas de derivación.

• •

•C • (xo , yo)

y = f(x) + C

a b

x

y

(3)

I

3

Ahora estableceremos dos propiedades fundamentales de la integración indefinida, llamadas propiedades de linealidad, que permitirán facilidad en los cálculos.

Si u = f(x) i v = g(x) son dos funciones definidas en un intervalo I, entonces:



[f'(x)+g'(x)]dx =



f'(x)dx+



g'(x)dx=



(du+dv) =



du+



dv . . .

(3)



kf'(x)dx = k



f'(x)dx= k



du. . . . (4)

Las demostraciones de las propiedades (3) i (4) se basan en las fórmulas de derivación correspondiente. Obsérvese que si u = x i v = 0, entonces la propiedad (3) se convierte en



dx = x + C.

Geométricamente, la integral indefinida y = f(x) + C representa una familia de curvas en un intervalo I, de las cuales puede obtenerse una curva cualquiera desplazando y = f(x) una distancia vertical C, resultando todas ellas “paralelas” entre sí.

A. Primer grupo de fórmulas.

Si u es una función de x: u = f(x) , donde du = f’(x) dx, entonces:

1. 

undu =

1 n un 1

+

+ C. o



[f(x)]nf'(x)dx = 1 n

)] x ( f

[ n 1

+

+ C, n ≠ –1

2. 

u du

= ln | u | + C o



) x ( f

dx ) x ( ' f

= ln | f(x) | + C, n = –1

Ejemplo 1. Suponga que y = f(x) es una función “suficientemente diferenciable”. Simplifique las siguientes expresiones: (a)



[4f''(x)+5f'(x)]dx (b) (x +



f'(x)dx)’.

Solución: Aplicando sucesivamente las propiedades (3) i (2), (a)



[4f''(x)+5f'(x)]dx= 4



f''(x)dx+5



f'(x)dx= 4



(f'(x))dx

dx d

+ 5



f'(x)dx= 4 f’(x) + 5f(x). (b) Empleando la derivada de un producto i la propiedad (1): (x +



f'(x)dx)’ = _x+



f'(x)dx_

dx d

= 1 +



f'(x)dx dx

d

= 1 + f’(x).

(4)

(a) C 5 x C 1 4 x dx x 5 1 4

4 ₊ ₌ ₊

+

= +



(b)

(

)

C x x C

2 x 2 3 x 3 dx x 2 dx x 3 dx x 2 dx x 3 dx x 2 x

3 3 2

2 3 2

2

2₊ ₌



₊



₌



₊



₌ ₊ ₊ ₌ ₊ ₊



(c) x C

8 5 C 1 5 3 x dx x dx x 5 8 1 5 3 5 3

5 3 ₊ ₌ ₊

+       = =       +      



(d)

(

)

C

x 4 x 5 2 x C 1 x 4 x 5 2 x dx x 4 5 x dx x 4 x 5

x 2 2 1 2

2 2 3 + + + = + − − + = − + = − +

_

− −



(e)

( )

x C

7 2 x 3 2 dx ) x x ( dx x x

1− 2 =



1/2− 5/2 = 3/2− 7/2+



Ejemplo 4. Obtener el valor de: (a)



(3x+2)dx (b)



(3x+2)2dx

(c)



(3x+2)3dx (d)



(3x+2)50dx

Solución: (a) Por la linealidad:



(3x+2)dx=3



xdx+2



dx= x 2x C 2

3 2₊ ₊ _.

(b) Desarrollando el binomio:



(3x+2)2dx=



(9x2+12x+4)dx

= 9



x2dx+ 12



xdx+4



dx=3x3_{+ 6x}2 _{+ 4x + 4 +C.}

(c) Desarrollando el binomio:



(3x+2)3dx =



(27x3+54x2+36x+8)dx =

27



x3dx+54



x2dx+36



xdx+8



dx= x 18x 18x 8x C 4

27 4₊ 3₊ 2₊ ₊ _.

(d)



(3x+2)50dx. ¡Un momento!. Una manera “agresiva” para obtener la integral sería desarrollar mediante el binomio de Newton, el integrando, i luego integrar los 51 términos del desarrollo; i esto, en principio no suena nada agradable. Este primitivo procedimiento podemos remediar por medio de una sustitución elemental. Sea u = f(x) = 3x+2, entonces du = 3dx. Al integrando lo multiplicamos por 3, i para que no varíe lo dividimos también por 3; esto es:



(3x+2)50dx=



+ =



= + = (3x+2) +C

153 1 C 51 u 3 1 du u 3 1 dx 3 ) 2 x 3 ( 3

(5)

I

5

(Para comprobar el resultado se recomienda derivar la antiderivada, i debe ser igual al integrando). Esta es una de las ideas más importantes que aparecerá constantemente en los problemas de cálculo de integrales.

Ejemplo 5. Evaluar las siguientes integrales:

(a)



( )

x3+223x2dx=



(

x6+4x3+4

)

3x2dx=



(

3x8+12x5+12x2

)

dx= x 2x 4x C. 3

1 9₊ 6₊ 3₊

De otra manera, la integral puede evaluarse usando la sustitución u = x 3_{+ 2, de modo} que du = 3x 2_{dx; luego la integral dada se convierte en}



_u2_du_{; por tanto:}

( )

(

)

C x 4 x 2 x 3 1

C 3 8 x 4 x 2 x 3 1 C 2 x 3 1 C 3 u du u dx x 3 2 x

3 6 9

1 3

6 9 1 3 3 1 3 2 2

2 3

+ + + =

     

+ + + + = + + = + = =

+



(b)



=



(

+

)

−

+2 x 2 xdx

x dx

x 2 1/4

4 2 . Sea x

2 _{+ 2 = u; x dx =} 2 1

du, entonces:



− = + = (x +2) +C 3

2 C u 3 2 du 2 1

u1/4 3/4 2 3/4 .

Ejemplo 6. Determinar los valores de las integrales siguientes: (a)



sen2x cosxdx,

(b)



cos3xsenxdx, (c)



tan4xsec2xdx, (d)



ctg5xcsc2xdx

Solución: Teniendo en cuenta la fórmula 1:

(a)



sen2x cosxdx=



= sen x+C

3 1 ) dx x (cos ) x sen

( 2 3

(b)



cos3xsenxdx= −



− =− cos x+C

4 1 ) dx x sen ( ) x

(cos 3 4

(c)



tan4xsec2xdx=



= tan x+C

5 1 ) dx x (sec ) x

(tan 4 2 5

(d)



ctg5xcsc2xdx= −



− =− ctg x+C

6 1 ) dx x csc ( ) x ctg

( 5 2 6

Ejemplo 7. Encontrar las siguientes integrales:

(a)



+4 x

dx

; si u = x + 4, du = dx, entonces:



=



= + = + +

+ u ln u C ln x 4 C

du 4 x

dx

(6)

los siguientes ejercicios, para usar la fórmula ln u C u

du

+ =



, debe tenerse en cuenta que en el numerador está la diferencial del denominador.

(b) ln x 9 C

2 1 9 x dx x 2 2 1 9 x dx x 2 2

2₋ =



₋ = − +



(c) x x 3ln x 1 C

2 1 dx 1 x 3 1 x dx 1 x 2

x2 _ ₌ 2₋ ₊ ₊ ₊

     + + − = + +



. (Cuando el grado del

numerador es mayor o igual que el grado del denominador, es conveniente dividir previamente). (d) C x 4 1 x ln dx x 1 x 1 dx x 1 x dx x 1 x 2 x dx x 2 x x 4 5 5 4 5 4 8 3 4 4 + − =       + = + = + + = + +



−

(e) ln

(

1 e

)

C

e 1 dx e e 1 dx e 1 e dx x x x x x

x ₊ =− + +

− − = + = + − − − − −



. (En el cual, se ha multiplicado el

numerador i el denominador por e– x_).

E J E R C I C I O S

1. Suponga que y = f(x) es derivable lo suficiente. Simplificar las expresiones siguientes:

(a)

[

x2 senx f(x)

]

dx_

'

      + +



(b)



[xf(x)]'dx

(c) x f(x)dx f"(x) dx dx

d x dx

d



3



3

        +

+ (d) [x2 3f(x) x]'dx_

'

      + +



En los ejercicios del 2 al 60, evaluar las integrales dadas:

2. x C.

3 1 x 6 x 48 x ln 64 dx x ) x 4

( 3 ₂ ₃

+ − + − = −



3.



=− +C

x 1

x dx

2 .

4.



(

4x3+3x2+2x+1

)

dx=x4+x3+x2+x+C.

5.



= x +C

4 3 dx

x 4/3

3 _.

6.

(

)

x C

8 3 x 5 3 dx x x

1− 3 2 = 5/3− 8/3+



.

7. 4 x C

4 x x 3 2 dx x 2 x 2 1 x 2 2 /

3 ₋ ₊ ₊

(7)

I

7

8.

(

3x 4

)

C

9 2 dx 4 x

3 + = + 3/2+



.

9.

(

1 3x

)

C

4 1 dx x 3

1 4/3

3 ₋ ₌₋ ₊ ₊



. 10.

(

)

(

)



+ − − =

− 2 x 1 C

1 1 x dx 2 3 .

11.

( )

C.

7 x 2 x x dx x 1 7 4 2

3 ₌ ₋ ₊ ₊

−



12.



=

(

+

)

−

(

+

)

+

+ 3 x 3 6x 3 C

2 3 x

dx

x 3/2 1/2

13.

(

)

2

(

1 x

)

6

(

1 x

)

C

3 x

1 dx x

2 4/3 1/3

3 /

2 = − − − +

−



14.

(

)

(

3 x

)

6

(

3 x

)

C

5 12 x 3 7 2 dx x x

3− 2 =− − 7/2+ − 5/2− − 3/2+



.

15. dx x 2ln x 1 C

1 x 1 x + + − = + −



.

16. dx x 4lnx 4 C

4 x

x

2 2 2

2 3 + − + = −



.

17. ln (lnx) ln(lnx) C

2 1 dx x ln x 1 ) x (ln

ln + ₌ 2 ₊ ₊



50. ln e 1 C

2 1 dx 1 e

e 2x

x 2 x 2 + + = +



51.



=

(

+

)

− +

+

− _dx _ln _e ₁ _x _C

1 e

1

e _x 2

x x 52. 2 ) x 1 ( C ln ) x 1 ( x dx − = −



53. ln lnx C

x ln x dx + =



54.

(

2 lnx

)

C

2 1 dx x x ln

2+ ₌ ₊ 2₊



55. ln 3x C

3 1 dx x x 3

ln2 ₌ 3 ₊



56.

(

)

ln|1 lnx| C

x ln 1 x dx + − − = −



57. (a) cos 2x C.

8 1 dx x 2 sen x 2

cos2 =− 4 +



(b) tan 3x C

9 1 dx x 3 sec x 3

tan2 2 = 3 +



.

(c) ln 9lnx 8 C.

9 1 ) 8 x ln 9 ( x dx + + = +



(d) ln 8cos x 9 C.

16 1 9 x cos 8 dx x cos x sen 2

2 ₊ =− + +



B. Segundo grupo de fórmulas

Si u es una función de x: u = f(x), donde du = f ’(x) dx, entonces:

3. 

audu =

a ln

au

+ C. o



af(x)[f'(x)dx] = a ln af(x)

(8)

Ejemplo 8. Encontrar las siguientes integrales:

(a)



25xdx. Para emplear la fórmula 3, observe que du es la diferencial de la función exponente u. Multiplicando i dividiendo por 5, se tiene:



=



2 5dx

5 1 dx

25x 5x = C

2 ln 2 . 5 1 5x ₊

.

(b) C

a ln a 3 1 dx x 3 a 3 1 dx x a 3 3

3 ₂ _x ₂ x

x ₌ ₌ ₊



.

Ejemplo 9. Hallar: (a)



a2xbxdx. En efecto,



a2xbxdx=



(a2)xbxdx=



(a2b)xdx= . C ) b a ( ln ) b a ( 2 x 2

+ (b) dx

3 4 1 x 1 x



− − + −

: En efecto: hagamos la sustitución elemental u = –x+1, de

donde x = 1 – u i du = – dx, luego dx 3 4 1 x 1 x



− − + −

= du

3 4 1 u 1 u



−+ −

− = –



₋ du=

3 4 2 u u du 3 4 9 u



     

− = – 9 C.

3 4 ) 3 / 4 ( ln 9 . C ) 3 / 4 ( ln ) 3 / 4

( u _1 x₊

     − = + −

Ejemplo 10. Hallar el valor de las siguientes integrales:

(a)

(

)

e C

3 1 dx 3 e 3 1 dx

e2−3x =−



2−3x − =− 2−3x +



(b) 2e C

x 2 dx e 2 x dx e dx x

e x ₌



x ₌



x ₌ x ₊



Ejemplo 11. Obtener dx

2 e

1

x



₊

Solución: Multiplicando numerador i denominador por e–x_resulta



− − + x x e 2 1 dx e . Sea u = 1+2e–x

⇒ du = –2e–x _{dx, luego:} dx 2 e 1 x



₊ =



=



− =− + + − − C u ln 2 1 u du ) 2 / 1 ( e 2 1 dx e x x

= ln1 2e C 2

1 ₊ x ₊

− − .

Ejemplo 12. Evaluar



+ x 2 / x _e e dx

Solución: Sea u = x/2, x = 2u, dx = 2du. Reemplazando en la integral, obtenemos:



      + + − = + = + = + − − − − du 1 e 1 1 e 2 1 e du e 2 e e du 2 dx e e 1 u u u u 2 u 2 u x 2 /

x  =

      + + −

=



− du

e 1 e 1 e 2 _u u u

( )

(

e u ln1 e

)

C 2e x 2ln

(

1 e

)

C 2− u− + + u + =− x/2− + + x/2 +

(9)

I

9

Ejemplo 13. Calcular



dx

2 x cosh

ex/2 .

Solución: Por definición, sabemos que cosh 2 x

= (e e )

2

1 x/2₊ −x/2 _{. Nuestra integral se}

convierte en



(e +1)dx 2

1 x ₌ ₍_e _x₎ _C

2

1 x₊ ₊

E J E R C I C I O S

En los ejercicios del 1 al 40, obtener al valor de las siguientes integrales:

1. (a) dx

3 1

x



= C

3 ) 3 ln ( 2 x +

− (b) 2 C

2 ln

1 x dx

2 x = x+1+



2. e C

5 1 dx

e5x = 5x+



3. e C

2 1 dx

xe−x2 =− −x2 +



4. e C

4 1 dx x

ex4 3 = x4 +



5. e C

2 1 dx x

e−x2+4 =− −x2+4+



6. dx e C

x

e 1/x

2 x / 1 + − =



7.



(

ex/2+2e−x/2

)

2dx=4x+ex−4e−x+C

22.

(

)

C

9 ln 9 6 ln 6 2 4 ln 4 dx 3 2 x x x 2 x

x₊ ₌ ₊ × ₊ ₊



23. C a ln 1 e a dx e a x x x x ₊ + =



24. 2 3 C

6 ln 1 dx 3 2

ex ex ex = ex ex +



25. e e dx e C

x e e x x e x e

e ₌ ₊



+ 26. C 2 1 2 ln 5 1 5 1 5 ln 2 dx 10 5

2 x x

x 1 x 1 x +       +       − = −



+ − 27. C 3 2 2 3 2 ln 3 ln 1 dx 3 2 4

9 x x

x x x x +               +       − = −



28.



senhxdx=coshx+C

29. dx ln e 1 C

e 1

1 x

x = + +

+



−

30.



coshxdx= senhx +C

31.



tanhxdx=ln

(

ex+e−x

)

+C

32.



= + senh2x+C

4 1 2 x dx x cosh2

33.

(

)(

)

senh x C

3 2 dx x 2 senh x

senh = 3 +



34.

(

)(

)

senh4x C

8 1 x 2 senh 4 1 dx x 3 cosh x

cosh = + +

(10)

C. Tercer grupo de fórmulas

Si u es una función de x: u = f(x), donde du = f ’(x)dx, entonces:

5. 

senudu₌ ₋cosu₊C

o



sen[f(x)][f'(x)dx]=−cos[f(x)]+C

6. 

cosudu₌senu₊C

_o



cos[f(x)][f'(x)dx]₌sen[f(x)]₊C

7. 

sec2udu= tanu+C

o



sec2[f(x)][f'(x)dx]= tan[f(x)]+C

8. 

csc2udu₌₋ctgu₊C

o



csc2[f(x)][f'(x)dx]=−ctg[f(x)]+C

9. 

secutanudu₌secu₊C

o



sec[f(x)]tan[f(x)][f'(x)dx]=sec[f(x)]+C

10. 

cscuctgudu₌₋cscu₊C

_o



csc[f(x)]ctg[f(x)][f'(x)dx]=−csc[f(x)]+C

11. 

_tan_u_du₌ ₋_ln _cos_u ₊_C

_o



_tan_[_f₍_x₎_]_[_f_'₍_x₎_dx_]=−_ln _cos_[_f₍_x₎_] +_C

12. 

ctgudu=ln senu +C

_o



ctg[f(x)][f'(x)dx]=ln sen[f(x)] +C

13. 

_sec_u_du₌_ln_(sec_u₊_tan_u₎₊_C

_o



_sec_[_f₍_x₎_]_[_f_'₍_x₎_dx_]₌_ln_(sec_[_f₍_x₎_]₊_tan_[_f₍_x₎_])₊_C

14. 

_csc_u_du₌_ln_(csc_u₋_ctg_u₎₊_C

_o



csc[f(x)][f'(x)dx]=ln(csc[f(x)]−ctg[f(x)])+C

(11)

I

11

17. 

_sec_h2_u_du₌_tanh_u₊_C

_o



_sec_h2_[_f₍_x₎_]_[_f_'₍_x₎_dx_]₌_tanh_[_f₍_x₎_]₊_C

18. 

csch2udu₌₋ctghu₊C

o



csch2[f(x)][f'(x)dx]−ctgh[f(x)]+C

19. 

_sec_h_u_tanh_u_du=−_sec_h_u+_C

_o



_sec_h_[_f₍_x₎_]_tanh_[_f₍_x₎_]_[_f_'₍_x₎_dx_]₌₋_sec_h_[_f₍_x₎_]₊_C

20. 

_csc_h_u_ctgh_u_du₌₋_csc_h_u₊_C

_o



_csc_h_[_f₍_x₎_]_ctgh_[_f₍_x₎_]_[_f_'₍_x₎_dx_]₌₋_csc_h_[_f₍_x₎_]₊_C

Ejemplo 14. Obtener el valor de: dx

1 x sec

x tan x sec



₋

Solución: Sea u = sec x –1, donde du = sec x tan x dx, luego dx 1 x sec

x tan x sec



₋ =



=ln u +C=lnsecx−1 u

du

Ejemplo 15.



cos(4x)dx. Sea du

4 1 dx ; x 4

u= = , entonces



=

    

= du

4 1 u cos dx ) x 4 (

cos

= sen4x C

4 1 C u sen 4 1

+ =

+ .

Ejemplo 16.



senθ 1+cosθdθ. Sea u = 1+ cos θ, donde du = – sen θ dθ, luego

=



1+cosθ(senθdθ)= (1 cos ) C

3 2 C u 3 2 du

u1/2 = − 3/2+ =− + θ 3/2+

−



.

Ejemplo 17. cosx C

2 1 ) dx x 2 ( x sen 2 1 dx x sen

x 2 =



2 =− 2+



.

Ejemplo 18.



) x (tan ln x 2 sen

dx

( tan x > 0 ). Sea u = ln (tan x), donde:

du = x tan

dx x sec2

=

x 2 sen

dx 2 x cos x sen

dx

= ⇒

2 du x 2 sen

dx

= , luego :



=

u du 2 1 x 2 sen

dx ) x (tan ln

1

= lnu C

2

1 ₊

= ln[ln(tanx)] C ln ln(tanx) C 2

1 ₊ ₌ ₊

.

Ejemplo 19.



=



tanx secx dx=secx+C x

cos dx x sen

2

.

Ejemplo 20.



(

tan2x−sec2x

)

2dx=



(

tan22x−2tan2x sec2x+sec22x

)

dx

(12)

E J E R C I C I O S

En los ejercicios del 1 al 50, determinar el valor de las integrales siguientes:

1.



3x2senx3dx=−cosx3+C

2.



+ + = sec(3x+1)+C

3 1 dx ) 1 x 3 ( tan ) 1 x 3 ( sec

3.



= − +C

2 x cos 2 dx 2 x sen

4.



=− cos x+C

3 1 dx x sen x

cos2 3

5.



= ln

(

senx

)

+C

2 1 dx x cot

x 2 2

6. tanx C

3 1 dx x sec

x2 2 3 = 3+



7.



dx=2ln

(

sec x +tan x

)

+C x

x sec

8. dx 2ctg x C

x x csc2 + − =



9. dx 2 tanx C

x tan x sec2 + =



10.



excosexdx=senex+C

11. dx lnsecx x C

x cos x cos x sen + + = +



12. e C

6 1 dx

e3cos2x =− 3cos2x +



13. C 2 x tg 2 dx 2 x sec 2 x

tg 2 = 2 +



14. ln

(

2 3secx

)

C

3 1 dx x sec 3 2 x tan x

sec ₌ ₊ ₊

+



15. ln cscx ctgx cosx C

x sen dx x cos2 + + − =



16. ln 1 cosx C

x cos 1 dx x sen + + − = +



17. cscx ctgx C

x cos 1

dx ₌ ₋ ₊

+



18.



= − +

+senx tanx secx C 1

dx

19.

(

)

lncsc10x ctg10x C

5 2 x 5 ctg 5 1 x 5 tan 5 1 dx x 5 csc x 5

sec + 2 = − + − +



20.



= +

+ 8tan4x C

1 x 8 cos 1

dx _21.

_

_etanx_sec2_x _dx₌ _etanx ₊_C

22. (a) dx ln senhx C

x senh x cosh + =



(b) dx ln coshx C

x cosh x senh + =



23.



− − = cosh (x−1) +C

3 1 dx ) 1 x ( senh ) 1 x (

(13)

I

24. dx e C

e x

sec tanx

x tan

2

+ −

= −



25. C

x tan 1

1 dx

x tan 1

x

sec 2

+ + − =    

 

+



26.

(

)

tan2x ln cos2x C

2 1 dx 1 x 2

tan − 2 = + +



27.



(

secx−tanx

)

2dx= 2

(

tanx−secx

)

−x+C

28. dx ln|1 tan x | C

x tan 1

x

sec2 ₌ ₊ ₊

+



29.



= senh 2x+C

6 1 dx x 2 senh x 2

cosh 2 3

30. ln ctgx C

x cos x sen

dx

+ −

=



31. ln|sec2x| C

2 1 dx 1 x ctg

x ctg

2 ₋ = +



32.



= + +

+ −

C x sen 1 ln dx senx 1

senx 1

33. dx ln|x senx| C

senx x

x cos 1

+ +

= +

+



34. C

x 2 sen 4

1 dx

x 2 sen

x 2 cos

2

3 =− +



18.3 Aplicaciones de la integral indefinida

Muchas situaciones prácticas, especialmente aquellas relacionadas con razones de cambio, pueden describirse en forma matemática mediante ecuaciones diferenciales; i resolver una ecuación diferencial se convierte simplemente en integrar, obteniéndose una

solución general donde está incluido la constante de integración C sin determinar, o una

solución particular cuando está especificado alguna condición de modo que pueda ser determinado el valor de C.

Los modelos exponenciales expuestos en la sección 2 del capítulo 8, como son las leyes de crecimiento i de decrecimiento, la función de aprendizaje, la función logística, etc. no son sino soluciones de ecuaciones diferenciales elementales adecuadamente establecidas.

En esta sección estableceremos cuatro aplicaciones: leyes naturales de crecimiento i de decrecimiento, ley del enfriamiento de Newton, ley de dilución (problemas sobre mezclas), i otras.

(14)

A. Leyes de crecimiento i de decrecimiento

En muchos fenómenos naturales el crecimiento o el decrecimiento de una sustancia viene expresado a través de una ley natural, a saber:

“La rapidez de cambio de la cantidad de una sustancia con respecto al tiempo es proporcional a la cantidad de la sustancia presente en un instante dado”

Esto ocurre en la química, física, biología, demografía, negocios, etc. Si t denota el tiempo i A la cantidad de sustancia presente en cualquier instante, entonces matemáticamente la ley natural en mención se expresa como:

kA dt dA

=

donde k es la constante de proporcionalidad. Si A aumenta cuando t aumenta, entonces k>0 i se tiene la ley del crecimiento natural; alternativamente, si A disminuye cuando t aumenta, entonces k < 0 y se tiene la ley de decaimiento natural.

Ya que la ecuación anterior, puede escribirse en la forma k A dA

= dt, resulta que al integrar ambos miembros, en virtud de la fórmula 2 se tiene:



= k dt

A dA

⇒ lnA=kt+C1 ⇒ A= ekt+C1 ⇒ A=ekteC1, de donde:

kt

e C A=

donde C = _eC1_{; por lo que los problemas de crecimiento i decaimiento que consideraremos}

son aplicaciones de la función exponencial. Los distintos ejemplos que ilustramos a continuación provienen de varios campos, cuya explicación se expresa en su desarrollo.

Ejemplo 3. (Crecimiento de población) Supongamos que la tasa de cambio (razón de cambio) del tamaño de la población mundial es proporcional al tamaño de la población i que ésta crece a una tasa anual aproximada del 2%. Dado que la población mundial en 1965 era de 3 mil millones i suponiendo que la tasa de crecimiento permanece inalterada, ¿cuál era la población en el año 2000?

Solución: Sea N(t) el tamaño de la población mundial en un tiempo t medido en años, luego según el enunciado del problema se tiene: kN

dt dN ₌

. Desde que 2%

N dt / dN

(15)

I

15

entonces tenemos 2% N kN

100 = , es decir k = 0.02, por que la tasa de cambio resulta ser N

02 . 0 dt dN ₌

⇒ 0.02dt

N dN ₌

. Integrando ambos miembros se tiene:



=0.02



dt N

dN

⇒

ln N = 0.02t + C1⇒ N(t) = C e0.02 t. Como la condición inicial establece que cuando t = 0 (en 1965) se tiene N = 3 (10)9_,_{entonces N(0) = C e}0.02(0)

⇒ C = 3 (10)9_{; esto es,} N(t) = 3 (10)9_e0.02t_{. La población en el año 2000 se obtiene cuando t = 35: N(35) = 3(10)}9 e0.02(35)_{= 3(10)}9_e0.7_{= 6,041’258,100 habitantes.}

Ejemplo 5. (Purificación del aire) Una habitación de 2400 pies cúbicos contiene un filtro de aire de carbón activado a través del cual pasa el aire a una razón de 400 pies cúbicos por minuto. El ozono del aire fluye a través del filtro i el aire purificado se vuelve a hacer circular en la habitación. Asumiendo que el ozono restante es distribuído uniformemente por toda la habitación en todo momento, determine cuánto tiempo dura el filtro en retirar el 50% del ozono de la habitación.

Solución: Sea x el número de pies cúbicos de ozono que hay en la habitación después de t minutos que ha empezado a funcionar el filtro. Ya que todo el tiempo hay 2400 pies cúbicos de aire en la habitación, al cabo de t minutos el número de pies cúbicos de ozono es x/2400. Como 400 pies cúbicos de aire salen del filtro cada minuto, entonces la habitación pierde 400(x/2400) pies cúbicos de ozono por minuto. Desde que x disminuye a medida que t aumenta , se tiene: 

     − =

2400 x 400 dt dx

⇒ x

6 1 dt dx ₌₋

⇒ dt

6 1 x dx ₌ ₋

. Integrando ambos miembros obtenemos:



= −



dt

6 1 x dx

⇒ x = Ce– t/ 6_{. Cuando t = 0, x = x}

0 que es la cantidad inicial de ozono, luego x0 = Ce0/6 ⇒ C = x0; por tanto: x = x0e– t/ 6. Pero en el instante en que se retira el 50% de ozono se tendrá: 0 x0

2 1 x 100

50

x= = , luego reemplazando este valor tenemos: x₀ x₀e t6

2

1 ₌ −

⇒

2 1

e−t6 = _⇒ t = 6 ln 2 = 4.16 minutos.

D. Otras aplicaciones

Existen todavía una gran variedad de problemas, con los cuales queremos mostrar aún más la importancia de la integración indefinida. En el próximo capítulo, mediante la integral definida, se expondrán otras aplicaciones orientadas a diferentes especialidades.

(16)

Solución: Sea V(t) el valor de la maquinaria cuando tenga t años. La derivada es igual al ritmo, i según el enunciado, k(V 5000)

dt

dV ₌ ₋

con las condiciones de que cuando t = 0, V = 40000; i cuando t = 4, V = 30000. Pasemos a resolver la ecuación diferencial:

) 5000 V ( k dt

dV ₌ ₋

⇒ kdt

5000 V

dV ₌

− . Integrando en ambos miembros: ln (V-5000) = kt + C _⇒

40000 = V(0) = 5000 + C e k (0)

⇒ C = 35000 30000 = V(4) = 5000 + 35000 ek(4)

⇒ k = 

     7 5 ln 4 1

Luego la solución particular es V(t) = 5000 + 35000

t 7 5 ln 4 1

e

     

. Deseamos saber V cuando t = 8, entonces: V(8) = 5000 + 35000

) 8 ( 7 5 ln 4 1

e

     

=22 857.14 dólares.

Ejemplo 14. (Crecimiento) Se calcula que dentro de t años el valor de 1 m2_{de terreno} cerca de un pueblo (Departamento del Cusco), estará aumentando a una razón de

8000 t 2 . 0

t 14

4 3

+ soles por año. Si el terreno vale actualmente S/. 500 por m

2_{, ¿cuánto valdrá} dentro de 10 años?.

Solución: Sea x el valor del terreno en soles por m2_{dentro de t años, entonces:}

8000 t 2 . 0

t 14 dt

dx

4 3

+

= . Luego



=



+ −

+

= 14 (0.2t 8000) tdt

8000 t 2 . 0

dt t 14

x 4 1/2 3

4 3

,

K 8000 t 2 . 0 4 . 0 14

x= 4+ + . Usando las condiciones iniciales x = 500 cuando t = 0, obtenemos K = 500 – 2630.4

4 . 0

) 5 40 ( ) 14 (

−

= Reemplazando este valor de K resulta 4

. 2630 8000 t 2 . 0 4 . 0 14

x= 4+ − . Necesitamos saber el valor de x cuando t = 10; es decir, 6

. 869 4 . 2630 3500 4 . 2630 ) 100 ( 4 . 0 14

x= − = − = . Por tanto, el valor de m2_{de terreno a los 10} años será aproximadamente de S/. 870.

Ejemplo 15. (Crecimiento de población) En marzo de 1987 la población mundial era de 4.5 miles de millones de habitantes i después creció a razón de 380 mil personas diarias.

V(t) = 5000 + Ce kt

(17)

I

17

Suponiendo que son constantes los índices de natalidad i mortalidad, ¿para cuándo se puede esperar una población mundial de 10 mil millones? (Suponga que el crecimiento de la población mundial obedece la ley del crecimiento natural).

Solución: Sabemos que kP dt dP

= ⇒ P(t) = C ekt_{, donde C = P(0) = P}

0, de modo que la solución de la E.D. es P(t) = P0ekt. Podríamos escribir también la E.D. como P’(t) = k P(t), i para t = 0, P’(0) = k P(0) _⇒

) 0 ( P

) 0 ( ' P

k= . Tomaremos t = 0 correspondiente a 1987, así P0 = 4.5 miles de millones. Como P está aumentando 380 mil / día en t = 0; es decir, 0.00038 mil millones en 1día, entonces en 1 año significa que P’(0) = (0.00038) (365.25) = 0.138795 miles de millones al año. Luego 0.030843

5 . 4 138795 . 0 ) 0 ( P

) 0 ( ' P

k= = = . Por tanto, el

cambio porcentual de la población al año 1987 está creciendo al 3.08%. Deseamos saber cuándo alcanzará 10 mil millones, para ello basta resolver la ecuación P(t) = P0e0.030843 t para P(t) = 10. En efecto, 10 = 4.5 e0.030843 t

⇒ t = 25.89 años, aproximadamente la población mundial llegará a 10 mil millones cuando t ≈ 26 años después de 1987; esto es, el año 2013.

E J E R C I C I O S

1. (Decrecimiento) Una sustancia radioactiva tiene una vida media de 810 años. Si hay 10 gramos al principio; ¿cuánto quedará al cabo de 300 años?.

2. (Decrecimiento) La razón de decaimiento del radio es proporcional a la cantidad presente en cualquier tiempo. Si se tiene 60 mg. de radio i su vida media es 1690 años, ¿qué cantidad de radio estará presente dentro de 100 años a partir de hoy?.

3. (Bienes raíces) En la actualidad el precio de cierta casa es S/. 200000. Suponga que se estima que después de t meses el precio p(t) se incrementará a la razón de 0.01 p(t) + 1000t soles. ¿Cuánto costará la casa dentro de 9 meses?.

4. (Reventa) El valor de reventa de cierta maquinaria industrial decrece durante un periodo de 10 años a un ritmo que depende de la antigüedad de la maquinaria. Cuando la maquinaria tiene x años, el ritmo al que cambia su valor es 220 (x–10) dólares por año. Si la maquinaria valía originalmente 12 mil dolares, ¿cuánto valdrá cuando tenga 10 años?.

5. (Decrecimiento) El radio se desintegra a una razón proporcional a la cantidad presente. Se necesitan 1690 años para que el 50% de una cantidad dada de radio se desintegre.

(18)

(b) ¿Cuánto tiempo se necesitará para que un abastecimiento de 50 gramos de radio se reduzca a 5 gramos?

6. (Crecimiento) Supongamos que la población de bacterias crece en un cultivo a una tasa proporcional al tamaño de la población. Si el tamaño de la población es 106 inicialmente i 25×105_{después de la primera hora, ¿cuál es el tamaño de la población} después de 2 horas?.

7. (Decrecimiento) Si la vida media del radio es de 1690 años. ¿Qué porcentaje de la cantidad ahora presente permanecerá después de : (a) 100 años, (b)1000 años.

8. (Crecimiento de población) La población de cierto pais crece al 3.2% anual; es decir, si al comenzar un año es A, al final del año será 1.0321. Suponiendo que ahora es de 4.5 millones, ¿cuál será al finalizar el año, ¿2 años?, ¿10 años?, ¿100 años?.

9. (Crecimiento) La tasa de crecimiento natural de la población de una cierta ciudad es proporcional a la población. Si la población aumenta de 40,000 a 60,000 en 40 años, ¿cuándo llegará a ser la población 80,000?

10. (Decrecimiento) El radio se descompone con una velocidad proporcional a la cantidad de radio presente. Supóngase que se descubre que en 25 años aproximadamente 1.1% de una cierta cantidad de radio se ha descompuesto. Determínese aproximadamente cuánto tiempo tomará el radio para que se descomponga la mitad de la cantidad original.

11. (Decrecimiento) Calcúlese el período de semidesintegración de una sustancia radioactiva si en 10 años desaparece el 25% de ésta.

Aplicaciones adicionales a la administración i economía.

A. Función marginal.

Con frecuencia en la situación de negocios ocurre que la tasa de cambio de una función con respecto a alguna variable se determina fácilmente derivando dicha función. El problema ahora consiste en encontrar la función cuya tasa de cambio se conoce. Así por ejemplo, dadas las funciones de costo marginal C’(x) i de ingreso marginal R’(x) puede ser necesario conocer las funciones de costo total i del ingreso total con el propósito de que una compañía realice trabajos de planificación; para tal efecto, bastará integrar las funciones marginales; es decir:



C'(x)dx=C(x)+K

(19)

I

19



R'(x)dx= R(x)+K

donde K se encuentra generalmente asumiendo que el ingreso es cero cuando la demanda es cero.

Si c=f(x) representa la función de consumo nacional total i x es la renta total, entonces la “propensión marginal al consumo” se define como:

dx dc ) x ( '

f =

En el análisis teórico elemental de la renta nacional total se hace frecuentemente la suposición de que la renta disponible x es igual al consumo c más el ahorro s; esto se expresa

como: x = c + s de donde, la “propensión marginal al ahorro” es:

dx dc 1 dx ds

− =

Por consiguiente, el consumo nacional total estará dado por la integral con respecto a x de la propensión marginal a consumir; esto es:



f'(x)dx =f(x)+K, donde la constante K debe determinarse especificando una condición inicial.

A continuación se presentan 3 problemas en que se conoce la función marginal (como razón de cambio) i el objetivo es hallar dicha función.

Ejemplo 1. (Función marginal) La función de costo marginal para la producción de x unidades es C’(x) = 10 + 24x – 3x2_{. Si el costo total para producir una unidad es 25, hallar}

la función del costo total i del costo promedio.

Solución: Desde que se conoce la tasa de cambio del costo, la función costo se encuentra integrando: C(x)=



(

10+24x−3x2

)

dxC(x)=10x+12x2−x3+k. Para encontrar la constante de integración k, debemos tener en cuenta que cuando x = 1, C = 25; luego 25 = 10(1) + 12(1)2 _{– (1)}3 _{+ k}

⇒ k = 4. Por consiguiente la función del costo total es: C(x) = 10x + 12x2 _{– x}3 _{+ 4, i la función del costo promedio es:}

( )

x 4 x x 12 10 x

) x ( C x

Q = = + − 2 + .

(20)

Solución: Sea S(t) el costo total de almacenamiento (en soles) durante t semanas. Las semillas de soya se consumen a una razón constante de 300 kilos a la semana, la cantidad de semillas de soya almacenadas después de t semanas es 12000 – 300 t. Como el costo de almacenamiento es un centavo por kilo a la semana, la razón de cambio del costo de almacenamiento con respecto al tiempo es: (Costopor kgr)(Númerodekgr.)

dt dS

= = (0.01)

(12000 – 300t); es decir, 120 3t dt

dS −

= ⇒ S(t) = 120t – t K 2

3 2₊ _{. Para determinar la}

constante de integración K, utilizamos el hecho de que en el momento en que llega el cargamento no hay costo; esto es, S = 0 cuando t = 0, luego 0 = S(0) = 0 – 0 + K _⇒ K = 0, por tanto S(t) = 120t –

2 3

t2_{. Ahora el costo de almacenamiento durante las próximas 40} semanas es S(40) = 2400 soles.

Ejemplo 3. (Función de consumo) La propensión marginal a consumir (en millones de

soles) es ₁_/₂

x 2

5 , 0 6 , 0 dx dc

+

= Cuando la renta es cero, el consumo es de S/. 10 millones. Hallar la función de consumo.

Solución: Deseamos encontrar la función del consumo c=f(x), donde x es la renta nacional total; para ello basta integrar la propensión marginal a consumir:



 = + +

  

 

+

= dx 0,6x 0,5x K

x 2

5 , 0 6 , 0

c 1/2

2 /

1 . Como c =10 cuando x = 0, entonces

obtenemos K = 10, luego la función de consumo es c=0,6+0,5x1/2+10.

B. Interés continuo

En seguida estamos interesados en otra aplicación más a los negocios que es el interés compuesto en forma continua, cuya ley se comporta en forma similar a la ley del crecimiento natural. Para esto, recordemos el interés simple i compuesto, vistas en la parte C de la sección 1 del capítulo 8.

Cuando el dinero se invierte, genera (usualmente) interés. La cantidad de dinero invertida se denomina capital.

En primer lugar, el interés que sólo se calcula sobre el capital se llama interés simple, i el saldo A (otras veces llamada el monto M) después de t años viene dado por: Interés simple: A(t) = P(1 + rt) soles . . . (1)

(21)

I

21

El ejemplo 1, expresado en la sección 8.1, considera P = S/. 15000, r = 2% trimestral, t = 5 años; el interés total simple que obtuvimos fue de S/. 6000, de donde el saldo se determinó A = 15000 + 6000 = S/. 21000. Este mismo resultado obtenemos por la última fórmula (1). En efecto, A(t) = P(1 + rt) ⇒ A(5) = 15000 [1 + (0.08) (5)] = S/. 21000.

En segundo lugar, el interés que se calcula sobre el capital más los intereses previos se llama interés compuesto. Supongamos que se invierte una cantidad de P soles a una tasa de interés r por periodo, compuesto al final de cada periodo, entonces las cantidades A1, A2, ... , An respectivamente, al final del primer periodo, del segundo periodo, etc, son:

A1 = P + Pr = P(1+ r) = P(1+r)1 A2 = A1 + A1 r = A1 (1+r) = P(1+r)2 A3 = A2 + A2 r = A2 (1+r) = P(1+r)3 ... An= An-1 + An-1 r = An-1 (1+r) = P(1+r) n En consecuencia, la cantidad An al final de n periodos viene dada por:

An = P(1+r) n soles . . . (2) donde, n es el número de periodos, r es la tasa por periodo.

El ejemplo 2, en la sección 8.1 considera P = $ 5000, r = 8% anual, t = 2 años; el interés compuesto total que obtuvimos fue de $ 849.30 después de 4 etapas sucesivas con lo cual el saldo fue M = 5000 + 849.30 = $ 5849.30. Este mismo resultado determinamos por medio de la fórmula (2). En efecto, P = $ 5000, r = 4% semestral, t = 4 semestres, entonces A4 = P(1+ r) 4⇒ A4 = 5000 (1 + 0.04)4 = $ 5849.30.

Resumimos la fórmula anterior de la forma siguiente. Asumamos que cada periodo está representado por 1 año i que el interés anual r se compone con una frecuencia de m veces por año, entonces la cantidad acumulada al cabo de t años viene dada en el siguiente cuadro:

Número de veces por año en

que se compone el interés Cantidad después de t años

1 P(1 + r) t

2 P(1 + r_/

2) 2t

3 P(1 + r_/

3) 3t

. . . . . .

365 P(1 + r_/

365) 365 t

. . . . . .

m P(1 + r_/

(22)

Por tanto, la cantidad A después de t años, si P soles son invertidos a una tasa del r% compuesto m veces por año, está expresada por:

A =P (1 + r_/

m) m t soles . . . (3)

que se conoce con el nombre de fórmula del interés compuesto, donde r es la tasa de interés anual, i el interés se capitaliza m veces por año, t está dado en años. ¿Qué sucede cuando m crece indefinidamente en la fórmula (3)?. En tal caso observamos que

t r ) t r ( r m m

t m

m m Pe

r 1 P lim m

r 1 P

lim  =

    

+ =

     

+

∞ + → ∞

+

→ ; es decir, la cantidad A tiene una cota

superior definida cuando el interés se compone continuamente. En consecuencia: “Si A soles es el monto total después de t años, cuando se han invertido inicialmente P soles, entonces la ley del interés compuesto continuamente establece que kA

dt dA

= , k > 0 ”, donde su solución A(t) = C ekt_{se convierte en:}

A(t)=Pert soles . . . (4)

con C = P para el cual P = A(0), k = r.

Finalmente, en lo que sigue vamos a ver cómo la integración indefinida puede ser aplicada en un modelo del análisis económico dinámico sencillo expresado en términos de ecuaciones diferenciales. El señor Domar desarrolló un primer modelo para predecir la deuda nacional. Este modelo contiene las hipótesis de que el ingreso nacional marginal es una constante i que un aumento anual en la deuda nacional varía directamente con el ingreso nacional; esto es, si I representa el ingreso nacional, entonces la primera hipótesis de Domar establece que: B

dt dI

= , donde t denota el tiempo i B la cantidad constante anual expresada en soles. Para resolver esta ecuación escribimos dI = B dt e integrando ambos miembros se tiene I=Bt+C1. Aplicando la condición inicial I=I0, cuando t = 0 , entonces C1 = I0 ,

I = Bt + I0 . . . (5)

Si N representa la deuda nacional, entonces la segunda hipótesis de Domar afirma que: kI

dt dN

= , donde k es la constante de proporcionalidad. Reemplazando (5) en la última ecuación diferencial, resulta: k

(

Bt I0

)

dt dN

+

= o dN = (kBt + kI0) dt, i al resolver esta ecuación diferencial obtenemos: t2 kI₀ C₂

2 kB

(23)

I

23

condición inicial N = N0 cuando t = 0 se tiene C2 = N0, por consiguiente la deuda nacional N viene expresada por:

( )

t2 kI₀ N₀

2 kB t

N = + + . . . (6)

que representa la solución del modelo Domar, dado inicialmente por las ecuaciónes “estructurales”: B

dt dI

= ; kI dt dN

= ; I(0) = I0; N(0) = N0; B > 0; k > 0.

Ejemplo 4. Suponga que se invierten 10000 soles al 5% anual. Compare las cantidades después de 5 años si el interés se compone: (a) anualmente, (b) semestralmente, (c) trimestralmente, (d) continuamente.

Solución Para las partes (a), (b) i (c) de este ejemplo, por tratarse de interés compuesto (no continuo) utilizamos la fórmula (3), i para la parte (d), la fórmula (4). En efecto:

t m

m r 1 P

A 

    

+

= , donde P = 10000, r = 5% = 0.05, t = 5 años.

(a) Para m = 1: 12762.8

1 05 . 0 1 10000 A

) 5 ( 1

=

   

 

+ =

(b) Para m = 2: 12800.8

2 05 . 0 1 10000 A

) 5 ( 2

=

   

 

+ =

(c) Para m = 4: 12820.4

4 05 . 0 1 10000 A

) 5 ( 4

=

   

 

+ =

(d) A=Pert =10000e(0,05)(5) =12840.2

Comparando estos resultados se observa que las cantidades son cada vez mayores cuando se capitalizan más frecuentemente. A su vez obsérvese también que el cálculo en el caso periódico es más laborioso que en el caso continuo.

Ejemplo 5. Con qué rapidez se triplicará el dinero si se invierte a una tasa de interés anual del 6% capitalizado: (a) ¿semestralmente?, (b) ¿continuamente?.

Solución (a) Según la fórmula (3), A(t) = )2t 2 r 1 (

P + ⇒ A(t) = )2t

2 06 . 0 1 (

P + . El objetivo es hallar t para el cual A(t) = 3 P, luego 3P = )2t

2 06 . 0 1 (

P + ⇒ 3P = P(1.03)2t ⇒

t = 18.58

) 03 . 1 ( ln 2

3 ln

= años. (b) Según la fómula (4), _A₍_t₎₌_P_ert

⇒ 3P = _P_e0.06t

(24)

31 . 18 06 . 0

3 ln

t= = años.

C. Un modelo de ajuste de precios.

Sea p el precio de un determinado artículo i S(p) i D(p) las funciones de oferta i demanda de dicho artículo respectivamente. En cierto modelo dinámico de ajuste de precios, el precio, la oferta i la demanda se consideran como función del tiempo t, i se supone que “la razón de cambio del precio con respecto al tiempo es proporcional a la escasez”. Es decir, k(D S)

dt dp

−

= , donde k > 0 es la constante de proporcionalidad i D – S es la escasez.

Ejemplo 6. Suponga que el precio p(t) de determinado artículo varía de modo que su razón de cambio

dt dp

es proporcional a la escasez D – S, donde D = 7 – p, S = 1 + p son las funciones de demanda i de oferta del artículo respectivamente: (a) Si el precio es S/. 6 cuando t = 0 i S/. 4 cuando t = 4, halle la función p(t). (b) Demuestre que cuando t crece sin límite, p(t) se aproxima al precio en que la oferta es igual a la demanda.

Solución: Desde que k(D S) dt

dp

−

= , entonces k[(7 p) (1 p)] dt

dp

+ − −

= ⇒ k(6 2p)

dt dp

− =

⇒



=



−2p k dt 6

dp

⇒ ln(6 2p) kt C1

2 1

+ = −

− ⇒ p(t)=3−Ce−2kt, donde _C₌ _eC1_.

Por las condiciones iniciales: p(t) = 3–C e –2 k t

⇒

) 4 ( k 2

) 0 ( k 2

e 3 3 ) 4 ( p 4

Ce 3 ) 0 ( p 6

− −

+ = =

− = =

Luego p(t) = 3 + 3e((−1/4)ln3)t. Por otra parte, cuando t → + ∞; esto es, lim p(t) 3

t→+∞ = , ya

que _e(−(1/4)ln3)t_→_{0. Por tanto, p(t) se aproxima al precio en que la oferta es igual a la}

demanda; es decir, a largo plazo el precio p(t) se aproxima al precio de equilibrio.

E J E R C I C I O S

1. (Costo marginal) Un fabricante ha encontrado que el costo marginal es 6x +1 soles por unidad cuando se han producido x unidades. El costo total (incluido los costos indirectos) de producción de la primera unidad es S/. 130. ¿Cuál es el costo total de producción de las 10 primeras unidades?.

2. (Utilidad marginal) La utilidad marginal de cierta compañía es 100 – 2x soles por unidad cuando se producen x unidades. Si la utilidad de la compañía es S/. 700 cuando se producen 10 unidades, ¿cuál es la máxima utilidad de la compañía?.

⇒ C = –3

(25)

I

25

3. (Costo marginal) El costo marginal del producto “Cusper” es C’(x) = 3 + 0.001 x i el costo de fabricar 100 unidades es S/. 1005. ¿Cuál es el costo de producir 200 unidades?. Los artículos se venden a S/. 5 cada uno. Determine el incremento en la utilidad si el volumen de venta es incrementado de 1000 a 2000.

4. (Costo total i costo promedio) El costo marginal C’(x) como función de las unidades producidas x, está dado por C’(x) = 1.064 – 0.005x. Si el costo fijo es 16.3, hallar las funciones de costo total i costo promedio.

5. (Valores permitidos) Si el ingreso marginal está dado por 27 – 12x+ x2_{, encontrar la} función del ingreso total i la ecuación de la demanda. Determinar también los valores permisibles de x.

6. (Costo total i costo promedio) El costo marginal C’(x) como función de las unidades producidas x, está dado por C’(x) = 2 + 60x – 5x2_{. Si el costo fijo es 65, hallar las} funciones de costo total i costo promedio.

7. (Ingreso total) Si el ingreso marginal está dado por R’(x) = 100x – 8x2_{, encontrar la} función de ingreso total si el ingreso total es S/. 600 cuando x =3.

8. (Función de costo) Si el costo marginal es constante, demostrar que la función de costo es una línea recta.

9. (Ecuación de demanda) Encontrar la ecuación de la demanda para un artículo para el cual la función del ingreso marginal está dado por. 10/(x+5)2_{– 4.}

10. (Costo total) Dada la función de costo marginal C'(x)=1+ x, encontrar la función de costo, C(x), si C = 2 cuando x = 9.

METODOS DE INTEGRACION.

19.1 Integración por sustitución

El uso eficaz del método de sustitución depende de la pronta disponibilidad de las 17 fórmulas básicas que es tan útil que creemos que todo estudiante debe memorizarla. Llamaremos a estas fórmulas dadas en forma “estándar”. Si usted tropieza con una integral indefinida estándar, basta con escribir la respuesta. Si no, búsquese una sustitución que la transforme en la forma estándar. Si la primera sustitución no funciona, busque otra. Adiestrarse en esto, como en la mayoría de las actividades que valen la pena, depende de la práctica.

(26)

“Sea g una función derivable i supongamos que F es una antiderivada de f, entonces si u = g(x),



f(g(x))g'(x)dx=



f(u)du= F(u)+C=F(g(x))+C”

Ejemplo 1. Hallar



x4 2x5+10 dx

Solución Mentalmente, sustituya u = 2x5_{+ 10, de donde du = 10x}4_{dx, entonces}



2x5+10x4dx= (2x 10) C

15 1 C u 3 2 10

1 du u 10

1 1/2 ₌ 3/2₊ ₌ 5₊ 3 ₊



.

Cuando en el integrando aparece una raíz de la forma n_ax₊_b_{, por lo general}

haga u = nax+b.

Ejemplo 2. Determinar



x x+3dx

Solución: Sea u = x+3 _⇒ u2 _{= x + 3}

⇒ x = u2_{– 3 i dx = 2u du, luego}



_x _x₊₃_dx

= 2 4 2 5 3 (x 3)5 2 (x 3)3

5 2 C u 2 u 5 2 du ) u 6 u 2 ( ) du u 2 ( ) u ( ) 3 u

( − =



− = − + = + − +



+ C

Ejemplo 3. Obtener



x35−4xdx

Solución: Sea u = 35−4x ⇒ u3_{= 5 – 4x}

⇒ x = 4 1

(5 – u3_{) i 3u}2_{du = – 4 dx, de donde}

dx= – 4 3

u2_{du. Luego}



_x3₅₋₄_x_dx₌



( )

_

  

  −       

 ₋

du u 4 3 u 4

u

5 3 2 ₌



₍₃_u ₋₁₅_u ₎_du

16

1 6 3 ₌

C u 64 15 u 112

3 7 ₋ 4₊ ₌ 3 7 3₍₅ ₄_x₎4

64 15 ) x 4 5 ( 112

3

− −

− + C.

Ejemplo 4. Encontrar



+ x 2

2 dx

Solución: Sea u = x _⇒ u2_{= x i 2u du = dx, luego}



+ x 2

2

dx =





    

+u 2

2

(2u du) =

4





  

 

+ − =      

+ 2 u du

2 1 4 du u 2

u

= 4 [ u – 2 ln (2 + u) ] + C = 4 x – 8 ln (2 + x) + C.



−

+4 x

(27)

I

27

Solución: A pesar de que el integrando contiene radicales de la forma nax+b, la sustitución es innecesaria. Basta racionalizar el denominador:



−

+4 x

x dx

=



( x+4+ x)dx 4

1

= _

  

 

+ + 3/2 _x3/2

3 2 ) 4 x ( 3 2 4 1

+ C = ( (x 4) x ) 6

1 ₊ 3 ₊ 3 _{+ C.}

E J E R C I C I O S

En los ejercicios del 1 al 14, obtener el valor de:

1. (x 3) (x 2) C

5 2 dx 3 x

x − = − 3/2 + +



2.

C ) 8 x 12 x 15 ( ) x 1 ( 105

2 dx x 1

x2 − =− − 3/2 2+ + +



3.



− − _dx

1 x 2

1 x2

= (3x 2x 13) C 15

1 x

2 ₂

+ − + −

4.



− dx x

1 x

=2( x−1−arctan x−1)+C

5. dx

x x 3 x 2



− =2(2− 3) x+C 6.



+1dx x

1

=2[ x−ln(1+ x)]+C

7.



+ − +

−

dx 1 x 1 x

x

=−(x+2 x+1)+C 8.



+ − x 1dx x

1

= [x (x 1) ] C 3

2 3/2₊ ₊ 3/2 ₊

−

9.



+ 2x dx x

6 x 2

= [3 2x ln(3 2x 1)] C 9

1

+ + −

10. 

+ 2x dx x

1

=2( 2−1) x+C

19. 4 Integración por partes

El método siguiente, llamado integración por partes es fundamental, aplicable a una gran variedad de problemas, i es particularmente útil para integrandos que contengan producto de funciones. Por ejemplo, x ln x, ex_{sen x , x}2_ex_{, x sen x, arcsen x, etc. Es una} técnica que se basa en la derivación de un producto: sean u = f(x), v = g(x) dos funciones. En forma de derivada:

dx du v dx dv u ) v u ( dx

d

+

= . En forma de diferencial: d (u v) = u dv + v

du. Por tanto:



d(uv) =



udv+



vdu ⇒



udv=uv−



vdu

(28)



xexdx

Solución: Sean u = x ⇒ du = dx; dv = ex_dv

⇒ v = ex_{. Luego:}



xexdx= x ex_–



_ex_dx_{= xe}x_{– e}x_{+ C = e}x_{(x – 1) + C.}



xcosxdx

Solución: Sean u = x _⇒du = dx; dv = cos x dx _⇒ v = sen x, entonces se tiene:



xcosxdx= xsenx−



senxdx=xsenx+cosx+C.

Téngase en cuenta que al hacer la sustitución : u = cos x ⇒ du = – sen x dx; dv = x dx ⇒

v = (½) x 2_{, entonces} _x _sen_x _dx

2 1 x cos x 2 1 dx x cos

x 2 2



= +



. Pero evaluar



x2senxdx

es más difícil que evaluar



xcosxdx. De aquí que la elección de los factores, en este caso, no es conveniente.

Ejemplo 3. Determinar



x3ex2dx

Solución: Sean u = x 2

⇒ du = 2x dx; dv=xex2dx⇒ ex2 2 1

v= . Luego

( )

x 1 C e

2 1 C e 2 1 e x 2 1 dx e x e x 2 1 dx e

x3 x2 = 2 x2 − x2 = 2 x2 − x2 + = x2 2− +



.



arcsenxdx

Solución: Sea u = arcsen x _⇒ du = dx x 1

1

2

− ; dv = dx ⇒ v = x. Luego



= + − +

− −

= xarcsenx 1 x C

x 1

dx x x arcsen x dx x

arcsen 2

2 .



sec3xdx.

Solución: La integral dada podemos escribirla como



sec3xdx=



secxsec2xdx. Sean u = sec x ⇒ du = sec x tan x dx; dv = sec2_{x dx}

⇒ v = tan x; entonces:

(

)



(29)

I

29



+



−

=secxtanx sec3xdx secx dx_⇒ 2



sec3xdx=secxtanx+



secxdx, de donde:

[

secxtanx ln secx tanx

]

C 2

1 dx x

sec3 = + + +



excosxdx

Solución: Sean : u=ex ⇒ du = ex_{dx ;}_dv₌_cos_x_dx

⇒ v = sen x; entonces:



excosxdx=exsenx−



exsenxdx. Para evaluar



exsenxdx, nuevamente procedemos a integrar por partes: Sean: u=ex _⇒ du = ex_{dx; dv = sen x}

⇒ v = – cos x, entonces:

[



]



excosxdx=exsenx−−excosx+ excosx dx =2



excosxdx=exsenx+excosx⇒

(

senx cosx

)

C

e 2 1 dx x cos

ex = x + +



.

E J E R C I C I O S

1.



lnxdx= x

(

lnx−1

)

+C 2. x C 4 1 x ln x 2 1 dx x ln

x = 2 − 2+



3. x C

9 1 x ln x 3 1 dx x ln

x2 = 3 − 3+



4. C

x 1 x

x ln dx x

x ln

2 =− − +



5. C

2 1 x e 2 1 dx e

x 2x 2x +

    

− =



6. C

3 ln

1 x 3 ln

3 dx 3 x

x

x _₊

  

 

− =