Universidad Técnica Federico Santa María Departamento de Mecánica

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(1)

Universidad Técnica Federico Santa María

Departamento de Mecánica

Elementos de Mecánica

y

Resistencia de Materiales

(2)

MECÁNICA GENERAL

1. Fundamentos de la Mecánica

1.1 Introducción

La mecánica es la rama de la física que estudia el movimiento y equilibrio de los cuerpos bajo la acción de las fuerzas.

La mecánica es la más antigua ciencia física. Su registro más antiguo fue hecho por Arquímides (287 - 212 A.C.) con el principio de niveles y flotación; Stevinus (1548-1620) investigaciones en la dinámica; Newton (1642-1727) gravitación y matemática infinitesimal; da Vinci, Varignon, D'Alambert, Lagrange, Laplace y otros han enriquecido el estudio de la mecánica. Einstein con su Teoría de Relatividad (1905) limitó a las formulaciones de Newton; sin embargo, teorías modernas indican que las limitaciones son solamente para velocidades cercana a la de la luz (300.000 km/s) y para distancias atómicas.

En mecánica se estudia principalmente el efecto de las fuerzas externas (o sistemas) que actúan sobre un cuerpo rígido. Estos son acelerarlo o producir fuerzas resistentes o reacciones sobre él. Se distinguen 3 casos:

- El sistema de fuerzas está equilibrado, no hay efecto externo sobre el cuerpo. Se trata de un problema de estática.

- El sistema tiene una resultante distinta de cero, el cuerpo será acelerado. Se trata de un problema de dinámica.

- Es necesario considerar los efectos internos de un sistema de fuerzas, o las deformaciones, para poder resolverlo. Se trata de un problema de resistencia de materiales.

En mecánica se estudia solamente sistemas de fuerza que actúan sobre cuerpos rígidos, o sea aquellos cuyas partículas permanecen siempre a distancias invariables entre si.

1.2 Conceptos o dimensiones básicas

(3)

1. Espacio: es una región estudiada en todas direcciones. La posición en el espacio se determina relativa a un sistema de referencia por medición lineal o angular. 2. Tiempo: es una medida ordenada de la sucesión de eventos como diluvios, crecidas,

lunas nuevas, rotación de la tierra o fracción de la rotación de la tierra. 3. Materia: es la substancia que ocupa un espacio.

4. Inercia : propiedad de la materia de oponer resistencia al cambio de movimiento. 5. Masa : medida cuantitativa de la inercia.

6. Cuerpo : materia envuelta en una superficie cerrada.

7. Fuerza : acción de un cuerpo sobre otro que tiende a mover al cuerpo en la dirección de la aplicación.

8. Partícula: cuerpo de dimensión negligible. En algún caso, un cuerpo de tamaño finito se puede tratar como una partícula o punto material.

9. Longitud: descripción cuantitativa del tamaño.

1.2.1 Cantidades con dimensiones primarias Longitud (L) : la unidad es el metro [m] Tiempo (T) : la unidad es el segundo [s] Masa (M) : la unidad es el kilogramo [kg]

1.2.2 Cantidades con dimensiones secundarias

]

_

[N]

Newton

s

m

kg

[

)

T

ML

(

:

(F)

Fuerza

2

2

] s m [ ) T

L ( : (v) Velocidad

] s m [ ) T

L ( : (a) n

Aceleració 2

2

( )

( )

2

[ ]

2

: L m S

Superficie

( )

[ ]

Pa Pascal

m N L F p

esión

          

2 2

(4)

1.2.3 Sistemas de unidades

Cantidades S.I. absoluto

Gravitacional o técnico

Inglés absoluto

Inglés gravitacional

Longitud (L) m m ft ft

Tiempo (T) s s s s

Masa (M) kg U.T.M. lb-masa slug

Fuerza (F) N kgf poundal lb-fuerza

[N]

9,80665

_

[kgf]

1

m

s

kgf

_

[U.T.M.]

1

s

m

kg

_

[N]

1

2 2

ft s lbf _ [slug] 1

s

ft lb _ [poundal] 1

2 2

1.3 Magnitudes escalares y vectoriales

Las magnitudes físicas utilizadas para describir los fenómenos mecánicos se clasifican en escalares y vectoriales.

Escalares : Necesitan solamente el módulo o intensidad para quedar definidas por ejemplo: masa, volumen, tiempo, rapidez, temperatura, calor, densidad, energía, presión, etc.

Vectoriales : Necesita estar asociada con el módulo, dirección y sentido para quedar definidas; además debe cumplir con la ley del paralelogramo. Por ejemplo: fuerza, velocidad, aceleración, desplazamiento, etc.

(5)

Vector libre : Es aquel que no actúa sobre una línea de acción determinada, por ejemplo: velocidad del viento, velocidad de la corriente de agua.

Vector deslizante: Es aquel que puede transportarse o deslizarse a través de su recta de acción, por ejemplo: fuerza aplicada a un cuerpo rígido.

Vector ligado: Es aquel que tiene un punto fijo de aplicación en el espacio o está ligado a un cuerpo o partícula, por ejemplo: la velocidad de la partícula está ligada a ella.

1.4 Leyes de la Mecánica

Las leyes sobre las cuales están basados los principios fundamentales de la mecánica son las siguientes:

- Primera Ley de Newton - Segunda Ley de Newton - Tercera Ley de Newton - Ley del paralelogramo - Ley de gravitación universal

1.4.1 Primera Ley de Newton

Todo cuerpo continúa en estado de reposo o de movimiento uniforme en línea recta, a menos que sea obligado a cambiar de ese estado por una fuerza aplicada sobre él.

1.4.2 Segunda Ley de Newton

El cambio de movimiento que se produce en el curso es proporcional a la fuerza neta aplicada sobre él,

a

F

r

r

se efectúa en la dirección de la línea recta en que se aplica la fuerza.

(6)

A toda acción siempre se contrapone una reacción igual y opuesta, o sea, la acción mutua entre dos cuerpos.

A GA

B N1

N1

GB N2

1.4.4 Ley del paralelogramo

B

+

A

=

R

r

r

r

B

r

R

r

A

r

1.4.5 Ley de Gravitación Universal

Dos partículas se atraen, una hacia la otra, a lo largo de una línea que las une, con una fuerza de magnitud proporcional al producto de las masas, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas. El factor de proporcionalidad es la constante de Gravitación Universal G.

d m m F12 2

m1 m2

d m m G =

F 12 2

F F

d

Donde:

m1 y m2 son las masas de los cuerposque interactúan

(7)

F es la fuerza de atracción

Cuando m1 es la masa de la tierra y d es la distancia entre el centro de la tierra (radio de la tierra rT)

y un cuerpo de masa m2 que está en la superficie terrestre, la fuerza F será la fuerza de gravedad o

peso del cuerpo de masa m2 .

En ese caso la expresión 2

T T

r m G

representa la aceleración de gravedad g.

Siendo constantes G y mT, la aceleración de gravedad será inversamente proporcional al cuadrado

de la distancia al centro de la tierra. Esto es, mientras mayor sea la distancia al centro de la tierra, menor será la aceleración de gravedad; por lo tanto, menor el peso. Dado que la tierra no es exactamente una esfera, el peso de un mismo cuerpo no solamente dependerá de la altitud, sino también de la latitud geográfica en que se encuentre.

Las leyes de Newton son aplicables exactamente a sistemas de referencia inerciales. Sistemas de estrellas fijas o sistemas que se mueven uniformemente sin girar respecto a las estrellas fijas.

La superficie de la tierra se considera sistema inercial para los trabajos de ingeniería; pero debido principalmente a los movimientos de rotación y translación (nutación y precesión en mucho menor medida), no es un sistema exacto. Como las diferencias con uno inercial son tan pequeñas, se considera así, salvo para casos de cohetería.

Otras limitaciones de las leyes del movimiento de Newton son las referidas a velocidades cercanas a la de la luz (300.000 km/s), efecto relativístico, y las que involucra distancias interatómicas.

1.5 Idealizaciones de la Mecánica

(8)

Para el estudio más simplificado de la Mecánica se suele atribuir un comportamiento ideal a los cuerpos sobre los que actúan fuerzas:

1.5.1 El continuo

Para muchos problemas en ingeniería la división de la materia en moléculas, átomos, electrones, es complicada. En la mayoría de los casos, solamente interesa el promedio de manifestaciones medibles en cuerpos elementales. La presión, temperatura y densidad son efectos burdos de las acciones de muchas moléculas y átomos, y se puede suponer convenientemente, que ellos son el resultado de una hipotética distribución continua de la materia, llamada el continuo.

1.5.2 El cuerpo rígido

Es un continuo que teóricamente no sufre deformaciones. Se toma esta presunción a menos que la deformación sea de tal magnitud que cambie la posición de las fuerzas. En mecánica, el único cuerpo no rígido sino de comportamiento elástico que se estudiará, será el resorte.

1.5.3 La partícula

Cuando los espacios recorridos son bastante más grandes que el tamaño del cuerpo, se puede considerar este como sin volumen (proyectil relacionado a su trayectoria).

1.5.4 Fuerza concentrada

Se considera una fuerza finita aplicada en una superficie infinitesimal o punto de un cuerpo rígido.

Otras idealizaciones son el cuerpo perfectamente elástico, fluidos sin roce, etc.

2. ESTÁTICA

(9)

2.1 La Fuerza

La fuerza es una de las abstracciones físicas más importante en la mecánica. 2.1.1 Definición

Fuerza es la acción de un cuerpo sobre otro que tiende a modificar el movimiento de este último. Debido a la inercia de los cuerpos, estos reaccionan con una fuerza igual y contraria (3era Ley de Newton). No existen fuerzas aisladas, sino pares de fuerza.

El efecto de un cuerpo sobre otro es, sin embargo, una fuerza única (una de la pareja).

2.1.2 Características de la fuerza

Las propiedades necesarias para distinguir las fuerzas, unas de otras son las siguientes: intensidad, dirección, sentido y posición de un punto de su recta de acción.

2.1.2.1 Intensidad: La unidad para medir la fuerza es el Newton.

2

1 1

s m kg

N = ⋅

2.1.2.2 Dirección: Sentido e inclinación.

Se expresa con respecto a un sistema de referencia establecido, o respecto a una línea de referencia; señalando sus componentes en la dirección de los ejes de referencia, o dando su ángulo o pendiente respecto al eje referido.

y F

y

θ x

FY

F

F 2

FZ FX 3

z x

x

(10)

La posición se señala indicando las coordenadas de un punto de su línea de acción en un sistema de referencia dado.

La Intensidad o modulo, la dirección y el sentido se pueden definir en un sistema de referencia ortogonal (X, Y, Z) a través de sus coordenadas. Fx, Fy, Fz.

y

Fy

F

y Fz Fx

R

z

x

z

x

2.1.3 Sistemas de fuerza:

Cuando sobre el cuerpo actúan varias fuerzas, se habla de sistemas de fuerza. Se pueden clasificar según la disposición de las líneas de acción de las fuerzas.

1. Colineales: Todas las F del sistema tienen una línea de acción común. 2. Concurrentes: Las líneas de acción de las fuerzas tienen un punto común.

(11)

4. Paralelas: Todas las líneas de acción de las fuerzas son paralelas entre si. 5. No concurrentes, no paralelas, no coplanarias.

2.1.4 Reducción de Sistemas de Fuerza

Reducir un sistema de fuerzas es substituirlo por otro más sencillo, sin modificar el efecto externo que causa sobre un cuerpo rígido.

Q Q R

P P

P

P

Q

-P

F F

A B

R

(12)

1. Una sola fuerza.

2. Fuerzas paralelas de igual intensidad y sentido opuesto (par). 3. Una fuerza y un par.

2.1.5 Descomposición de Fuerzas

Una fuerza se puede descomponer en dos o más fuerzas, en direcciones pre-establecidas; llamándose cada una de éstas "Componentes de la Fuerza". La suma vectorial de las componentes debe ser igual a una resultante a la fuerza.

Como las componentes de la fuerza son escalares, deberán ser multiplicados por los respectivos vectores unitarios de dirección correspondiente, para poder efectuar la operación vectorial.

En coordenadas rectangulares: y

j

Fy x=ángulo(F ,iˆ)

r

θ

θx

F y=ángulo(F ,jˆ)

r

θ

θz z=ángulo(F ,kˆ)

r

θ

Fz θx

k Fx

z

i

x

k Fz + j Fy + i Fx =

Fr ˆ ˆ ˆ

donde : Fx, Fy, Fz son los componentes de la fuerza en direcciones X, Y, Z respectivamente. ,

, ,∧ ∧

k j

(13)

a su vez: Fx = F cos θx Fy = F cos θy Fz = F cos θz

donde cos θx, cos θy, cos θz son los cosenos directores.

2 2 2

Z Y

X F F

F = | F

| r + +

Se puede utilizar coordenadas oblicuas de dirección eu y ev

v

F

Fv

θv u θ = θu + θv

θu Fu

v v u

u e F e

F

F = ⋅ˆ + ⋅ˆ

Si se conoce el vector fuerza, por el teorema del seno se obtienen las componentes en las direcciones u y v:

θ

θ

θ

θ

sen(180- ) pero sen(180- )= sen F

= sen

F

v u

,

θ θ

sen sen F =

Fu v

θ

θ

sen

sen

F

=

Fv

u

Si se conocen las componentes, por el teorema del coseno se obtiene la resultante

)}

-(180

Fv

Fu

2

-Fv

+

Fu

{

=

|

F

|

2 2 2

1

θ

°

cos

r

2.2 Momento de una Fuerza (M)

2.2.1 Definición

(14)

de acción de la fuerza, por la fuerza.

F

x

=

M

r

r

r

ρ

θ

ρ

F sen =

| M | r ⋅

) F , ( ángulo =

donde

θ

ρ

r r

B θ F

ρ

A

θ

En el plano resulta: F

d ρ

F

x

=

M

r

r

r

ρ

θ

ρ

F sen =

| M | r ⋅

)

(distancia

d

=

sen

pero

ρ

θ

La dirección es ┴ al plano formado por ρ y F el sentido, el que se obtenga aplicando la ley del tornillo derecho.

Vectorialmente en el espacio

L

l

ρ

θ

(15)

M = ρρρρ x F │ρx ρy ρz│

M = ρ⋅ F ⋅ sen θ M = │Fx Fy Fz│

│ ∧i

j

k

ML = M ⋅ l │ρx ρy ρz│

ML = (ρρρρ x F) l ML = │Fx Fy Fz│

│lx ly lz│ donde:

l= l +l l =1

2 z 2 y 2

x +

Ejemplo

Una transmisión de potencia rotacional mediante ruedas dentadas helicoidales. Potencia : 10 HP

Velocidad motriz :1500 R.P.M.

Diámetro motriz : 100 mm; Diámetro conducido : 300 mm Angulo de presión : α = 20°; Ángulo de hélice : ß = 30° Determinar la fuerza de contacto.

2.2.2 Teorema de los Momentos

El momento producido por una resultante de un sistema de fuerzas, respecto a un eje cualquiera es igual a la suma algebraica de los momentos de las fuerzas del sistema respecto al mismo eje. Se quiere demostrar que: rR=aA+bB

E a = u sen θa

θa r = u sen θr

R θr b = u sen θb

A

r B D de la geometría

θb CE = CD + DE

(16)

2.2.3 El Par (de fuerzas)

F El par es una par de fuerzas paralelas de igual magnitud, pero de sentido contrario, que no son colineales.

-F

El par de fuerza queda definido e identificado por el momento del par.

MA = F ⋅ d/2 + F ⋅ d/2 = d

F A MB = d*F

-F B d MO = F (d + c) - F ⋅ c

= F*d + F*c – F*c = d*F

c El momento del par de fuerzas con respecto cualquier punto es constante. Por lo tanto, el Momento es un vector libre o causa el mismo efecto sobre un cuerpo mientras no cambie ninguna de las características: módulo, dirección y sentido.

2.2.4 Equivalencia de sistemas de fuerzas

d

F

-F

F

Una fuerza F se puede reemplazar por un sistema equivalente que realiza el mismo efecto sobre el cuerpo.

La fuerza F que pasa por el punto A, se puede sustituir por una fuerza F que pasa por el punto B y un par. Éste está formado por las fuerzas F y –F, cuyo momento es igual al producto F ⋅ d.

(17)

2.3 Resultante de Sistema de fuerzas

Encontrar la resultante de un sistema de fuerza es reducir el sistema a su mínima expresión, de modo que produzca el mismo efecto sobre el cuerpo donde está aplicado.

2.3.1 Resultante de un Sistema de fuerzas colineales

La resultante de un sistema de fuerzas colineales es una fuerza única que tiene la misma recta de acción que las componentes.

= = + + = n i i n F F F F F 1 2 1 ... r r r r r

el módulo de la resultante será igual a la suma algebraica de los módulos de las componentes.

F3 Fn

F1 F2

Fx = F1x + F2x + .... + Fnx Ry = F1y + F2y + .... + Fny

2.3.2 Sistemas de fuerzas concurrentes

F

=

F

+

....

+

F

+

F

=

R

1 2 n

r

r

r

r

r

F1

F

=

F

+

....

+

F

+

F

=

R

x 1x 2x nx

x F2

F

=

F

+

....

+

F

+

F

=

R

y 1y 2y ny

y

F

=

F

+

....

+

F

+

F

=

R

z 1z 2z nz

z

F3

Fn

(18)

2.3.3 Resultante de sistemas de fuerzas Coplanares

F1

F2

F3 Fn

Gráficamente se pueden ir sumando vectorialmente las fuerzas de a pares; finalmente la resultante, será igual a la suma de las últimas dos resultantes parciales, y pasará por el punto de intersección de éstas.

Este método es muy largo, cuando se trata de un gran número de fuerzas.

Se puede utilizar el polígono de fuerzas.

RX

FNY

RY R Fn

F3 F3Y F1Y F1 F2

F2Y F3X F1X F2X

Analíticamente, se puede trabajar con las componentes de las fuerzas

Rx = F1x + F2x + ... + Fnx = ΣFx Ry = F1y + F2y + ... + Fny = ΣFy

R R = tg R + R = R

x y 2

y 2

x , θ

(19)

R

F1

F2 r r2

F3 Fn

r3

rn r1

Solución analítica

La determinación de un punto por donde pasa la recta de acción de la resultante R, también se puede determinar analíticamente, aplicando el teorema de los momentos.

dR = x1Fy1 + x2Fy2 + .... + xnFyn + y1Fx1 + y2Fx2 + .... + ynFxn d = 1/R {Σxn Fyn + Σyn Fxn}

2.3.4 Resultante de sistemas de fuerzas paralelas

y

R

F1

F3 x z1 z z3 x1 x3

z2 x2 z F2

(20)

=

⋅ = ⋅ + + ⋅ + ⋅

= n

i i

n i i F

F i

F i F R

1 2

1 ˆ ˆ ... ˆ ˆ

r

( ) i

n

i i n

n

z x R x F x F x F x F

M ⋅ = ⋅ + ⋅ + + ⋅ =

=1 2

2 1

1 ...

( ) i

n

i i n

n

x x R z F z F z F z F

M ⋅ = ⋅ + ⋅ + + ⋅ =

=1 2

2 1

1 ...

2.4 Centros de Gravedad

Es el punto por donde pasa la recta de acción de la fuerza resultante de ΣF gravedad del cuerpo. El C.G. de un sistema de partículas se obtiene por medio de la resolución de un sistema de fuerzas paralelas en el espacio, o sea, es una aplicación del caso anterior

Recordando que la fuerza peso G es el producto de la masa m por la aceleración de gravedad g g

m G= ⋅

Dividiendo por el volumen v del cuerpo

g v m v G

⋅ =

Donde

v G

=

γ es el peso específico

y

v m

=

ρ es la masa específica o densidad

C.G. de un cuerpo plano y

G

x

z x

z dG

dA z x

(21)

como t, y, γ son constantes, puede obtenerse y por simetría dG = γ t dA peso del elemento

G = ∫γ t dA peso del cuerpo

utilizando el teorema de los momentos respecto a cada plano perpendicular (x,y) e (y,z) dMx = z dG = z γ t dA momento del peso del elemento respecto al plano (x,y) Mx = ∫z γ t dA momento del peso del cuerpo respecto al plano (x,y)

⋅ = ∆

∫ ∫

dA dA z d

t dA t z = G M =

z x

γ

γ

las integrales.

dA x e dA z

∫ son Momentos de área o Momentos de primer orden, con unidad [m3],

para diferenciarlas de

z2 ⋅dA, e

x2 ⋅dA, llamadas Momentos de segundo orden o Momentos de Inercia de áreas.

Determinación de Centros de Gravedad por Integración.

En primer lugar se debe seleccionar el elemento apropiado. Para esto pueden ser útiles las 2 reglas siguientes:

1. Elegir el elemento de modo que todas las partes del área infinitesimal estén a igual distancia del eje o plano de referencia.

2. Elegir el elemento, donde las partes del área infinitesimal se encuentren a diferentes distancias del eje o plano de referencia, pero sea de fácil la obtención del C.G. del elemento, por simetría.

Procedimiento

1. Destacar el elemento elegido en un esquema de la figura, determinar sus cotas. Cuando se hace doble integración, dibujar el 1er elemento, prolongando las líneas con trazos segmentados.

⋅ =

∫ ∫

dA dA x dA t

dA t x = G M =

x z

(22)

2. Escribir la expresión del área del elemento lo más simple posible.

3. Integrar la expresión anterior, para determinar el área. Si se utiliza una integral doble, fijarse en los límites que hay que establecer.

4. Escribir la expresión del momento del elemento de área respecto al eje o plano de referencia.

5. Integrar la expresión anterior.

6. Dividir el momento obtenido en (5) por el área calculada en (3), para hallar una coordenada del Centro de Gravedad.

Ejemplo de centro de gravedad de línea

Determinar las coordenadas del C.G. de un arco de circunferencia.

r

α

θ y

x

dL = r dθ x

α

θ

θ

α α r = ] [r = d r = L 0 0

(

r sen

θ

)

r d

θ

r sen

θ

d

θ

dL

y

dMX = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

2

θ

θ

θ

θ

) r d = r d (r

= dL x =

dMy ⋅ ⋅cos ⋅ ⋅ 2⋅cos

(

α

)

θ

θ

θ

α α cos 1 cos 2 0 2 0

2 ⋅ ⋅ = − ⋅ = ⋅ −

=

r sen d r r

MX

α

θ

θ

θ

α α

sen

r

=

|

sen

r

|

=

d

r

=

M

0 2

2 2

0

y

cos

(

)

(

)

α

α

α

α

cos 1 cos 1

2 ⋅ −

(23)

α α α

α r sen = r sen r = L M = X 2 y

si α = 90°, cuadrante de circunferencia → π/2 [rad]

π

r y x= = 2⋅

si α = 180°, semi circunferencia centrada → π [rad] x=0; π

r y= 2⋅

Ejemplo de centro de gravedad de área

Determinar las coordenadas del C.G. del área encerrada por las curvas y1 =x2 e y2 =x+2

y

dx

y2

y1 x

x dx ) x -2 + (x = )dx y -y ( = dA 2 1 2

4,5

=

|

2x

+

2

x

+

3

x

|

=

)dx

x

-2

+

(x

=

A

2-1

2 3 2 2 1

-∫

)dx x -2x + x ( = dA x =

dMy 2 3

2,25

=

|

4

x

-x

+

3

s

|

=

M

-21

4 2 3 y 0,5 = 4,5 2,25 = A M = x y )dx y -y ( ) y + y ( = dA ) 2 y + y ( = dA y =

dM 2 1 2 1

1 2

(24)

dx

)

x

-4

+

4x

+

x

(

=

dx

)

y

-y

(

=

M

2 4

2 1 -2 1 2 2 2 1

-x

14,4

=

5

1

-4

+

2

-3

1

+

5

32

-+

8

+

3

8

=

|

5

x

-4x

+

x

+

3

x

|

2

1

=

M

2-1

5 2 3 x

1,6

=

4,5

7,2

=

A

M

=

y

x

Ejemplo: determinación del centro de gravedad de áreas compuestas

y

3 3 3 3

4

1 x

4 1

Si se descompone en 3 áreas y se aplica el teorema de los momentos:

A x y My Mx

1 2 3 4 18 6 48 -12 3 7 3 4,5 4/3 4/3 -2 -1 54 42 144 -54 24 8 -96 12

(25)

31

=

60

186

=

A

M

=

X

y

0,866

-=

60

52

-=

A

M

=

Y

x

Ejemplo: Determinar el centro de masa de un cuerpo compuesto. m1 = 20 kg

m2 = 14 kg m3 = 6 kg y m = 40 kg

por simetría y=0

x m x m x m x

m11 + 2 ⋅ 2 + 3 ⋅ 3 = T

(

)

+ ⋅ + ⋅ = ⋅x

⋅ 180 14 60 6 120 40

20

5 , 37

− =

x

z m z m z m z

m1⋅ 1 + 2 ⋅ 2 + 3 ⋅ 3 = T

z

⋅ = ⋅ + ⋅ +

⋅0 14 0 6 60 40

20 9

=

(26)

Teoremas de Pappus y Guldin

2.4.2 Aplicada a cuerpos de revolución

Superficie de revolución

dl dA=2πydl

y = ⋅

a

dl y A

0 2

π

L y

A=2

π

⋅ A = 2 πyL

La superficie curva de un cuerpo de revolución es igual a la curva generatriz multiplicada por el camino recorrido por el centro de gravedad de esta curva generatriz.

Volumen de revolución

dA y

dV =2

π

⋅ ⋅

⋅ ⋅ =

A

dA y

V 2

π

A y

(27)

El volumen de un cuerpo de revolución es igual al área generatriz multiplicada por el camino recorrido por su centro de gravedad.

2.4.3 Centros de Presión

Centro de Presión es el punto donde pasa la resultante de una carga distribuida.

Q

     

=

m N l Q

q constante

l

( )X

q q =

A B

x1 dx

x

x2

l

( ) dx

q dF = X

( ) dx q = dF =

F X

X

X X

X

2

1 2

1

dF x dMA = ⋅

M q( ) x dx

X

X X

A =

⋅ ⋅

2

(28)

( )

( ) dx

q dx x q = F M = X X X X X X X A 2 1 2 1 ⋅ ⋅

Elemplo: Encontrar por donde pasa la resultante de las cargas que actúan sobre la viga.

x dx

3000 N/m 1500 N/m

2000 10000 1000 N/m

12000

( ) dx

q F =

X

12

0

(

x

)

dx dx F ⋅     + + ⋅ =

12

2 12 0 2 10 1500 1500 1000 12 2 2 12 2 12 0 300 2 150 1500

1000 x x x x

F = ⋅ + ⋅ + ⋅ −

7500 15000

12000+ +

=

F

F= 34500 N

( ) dx

q x = M = F X X 12 0

A

dx 2)) -x(x 10 1500 + (1500x + dx x 1000 = F X 12 2 12 0

⋅ ⋅ ⋅ | 3 x 150 + 2 x 1200 | + | 2 x 1000 | = F

X 122

3 2 12 0 2 ⋅ 242000 ) 400 2400 86400 86400 (

72000+ + + − =

= ⋅F X

7,014

=

34500

242000

=

X

(29)

Q1 = 1500*10 = 15000 N Q2 = Q1/2 =7500 N

6000 Q2 Q3

7000 Q1 26000/3 F = Q1+Q2+Q3 = 34000 N

7500 3 26 15000 7

12000

6⋅ + ⋅ + ⋅

=

F

X

m X =7,0145

3. EQUILIBRIO MECANICO

Cuando el sistema de fuerzas sobre un cuerpo rígido carece de resultante el cuerpo está en equilibrio.

(30)

3.1 Diagrama de cuerpo libre

(31)

Representación de transmisión de fuerzas de un cuerpo a otro, idealizaciones y representaciones

3.2 Diagrama de cuerpo libre de secciones interiores

M

F

Ejemplo de cadenas de cuerpos libres de una estructura.

A C

D E

GAB GDE GBC

B

Q

Diagrama del cuerpo libre del conjunto

(32)

D E

A C

GAB GDE GBC

B Q

Diagrama de cuerpo libre de las partes componentes.

Dx Ex

Dy GDE Ey

Dy Ey

A Dx Ex C GAB GCE GBC

Bx1 Bx2 By1 By2 By1 By2

Bx1 Bx2 Q

Diagrama de cuerpo libre de la sección M

Aparecen fuerzas y momentos internos en los elementos cortados F1y

GME

F1x C

M1

F2x GMC

M2

(33)

Ecuaciones de Equilibrio

En todo diagrama de cuerpo libre, es posible reemplazar las fuerzas por una sola fuerza y un par, aplicados en algún punto del cuerpo. El par dependerá del punto escogido.

En dinámica se probará que para que un cuerpo rígido esté en equilibrio es necesario que:

0

0 ∑ =

=

FR y CR

0 1 = ∑ = i n i F

0

=

C

+

F

x

i m 1 = i i i n 1 = i

r

r

r

ρ

F4 F1

F2 B

F3

Si se considerara otro punto con respecto al cual referir el momento.

0

=

F

+

F

+

F

+

F

1 2 3 4

r

r

r

r

0

=

F

x

+

F

x

+

F

x

+

F

x

1 2 2 3 3 4 4

1

r

r

r

r

r

r

r

r

ρ

ρ

ρ

ρ

Como el punto B está separado del punto A por el vector desplazamiento dr ρ

ρr r r

1 B=d+

) ( 1

ρ ρr r r

2 2) =d+

( B

ρ ρr r r

3

+ d = ) ( 3 B

ρ ρr4) =dr+ r4

(34)

0

=

F

)

d

+

(

+

F

)

d

+

(

+

F

)

d

+

(

+

F

x

)

d

+

(

1 1 2 2 3 3 4

r

4

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

ρ

ρ

ρ

ρ

0

=

)

F

+

F

+

F

+

F

(

x

d

+

F

x

+

F

x

+

F

x

+

F

x

1 2 2 3 3 4 4 1 2 3 4

1

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

ρ

ρ

ρ

ρ

de manera que ∑Fr =0

0

=

M

b

r

usando ecuaciones escalares

0 = ) F ( 0 =

F x i

i

∑ r

(

F

)

=

0

i y i

(

F

z

)

i

=

0

i

0 = ) M ( 0 =

M x i

i

∑ r (My)i=0

i

(Mz)i=0

i

Solución de problemas:

- Hallar las fuerzas sobre los pasadores D y B de la estructura, despreciando los pesos de las barras.

Σ MA = 0 (5,4 + 3,46) Dx - 8 x 1120 = 0

(35)

Σ Fx = 0 Ax - Dx = 0 Ax = Dx = 1011,3 kgf

Σ Fx = 0 Bx - Dx = 0

Bx = Dx = 1011,3 kgf

Σ MD = 0 - 2⋅540 - 5,4 Bx - 6 By = 0 By = 730,2 kgf

Σ Fy = 0 Dy - 540 - By = 0 Dy = 1260,2 kgf

kgf B

B

B= x2 + y2 = 1011,32 +730,22 =1262,8

kgf D

D

D x y 1011,3 1260,2 1615,8

2 2

2

2 + = + =

(36)

Ejemplo: Hallar la fuerza sobre el pasador A de la estructura, despreciando los roces G=1500 N

D.C.L.1 D.C.L.2 D.C.L.3

D.C.L1. Σ Mc = 0 r ⋅ E - rG = 0 E = G = 1500 [N]

Σ Fx = 0 Cx - 4/5 E = 0 Cx = 1200 [N]

(37)

D.C.L2. Σ Mc = 0 - 8Ay + 3Ax - 5B = 0  Ax = 912 [N]

Σ Fx = 0 Ax - 3/5 B - Cx = 0  Ay = 984 [N]

Σ Fy = 0 Ay + 4/5 B - Cy = 0  B = 480 [N]

Ejemplo: Hallar las fuerzas sobre los pasadores

D.C.L general (cuerpo rígido en equilibrio por la acción de tres fuerzas no paralelas):

0

=

R

-34

3

R

0

=

F

x 1 2

0

=

300

-34

5

R

0

=

F

y 1

R1 = 349,8 R2 = 180

(38)

C La sumatoria de fuerzas en la dirección de la barra debe ser 0, Por lo tanto C = M

M 5 3 = b a 0 = 13 2 M -37 1 H + 34 3 R 0 = F 3 2 = b -2 a 1 x

0

=

13

3

M

-37

6

H

+

34

5

R

0

=

F

2

+

a

2

3

-=

a

3

5

=

b

y 1

(39)

ARMADURAS

Las armaduras son estructuras formadas por barras articuladas en sus extremos (pasadores lisos o rótulas), de modo que el conjunto constituye un cuerpo rígido.

En el plano, la armadura más simple está formada por un triángulo.

C b a

3 nudos (A, B, C)

A B 3 barras (a, b, c)

c

por cada nuevo nudo (u) que se desee incorporar a la estructura, se debe agregar 2 barras (v), que lo fijen a ella.

de modo que v = 2 u C f D

b a e si m = Nº de barras totales B m = 3 + v ⇒ v = m - 3 A c

y j = Nº de nudos totales j = u + 3 ⇒ u = j - 3

v = 2u

m - 3 = 2 (j - 3) = 2j - 6 m = 2j - 3

(40)

D

4 nudos o rótulas (A,B,C,D)

d f 6 barras (a, b, c, d, e, f)

e

b C por cada nuevo nudo u, se debe agregar 3 barras v (v = 3u) A a

c B

si m = Nº de barras totales m = v + 6 ⇒ v = m - 6

y j = Nº de nudos totales j = u + 4 ⇒ = j - 4

como v = 3 u

m - 6 = 3(j - 4) = 3j - 12 M = 3j - 6

Armaduras Clásicas

Las armaduras son estructuras utilizadas en techumbres (cerchas), puentes, torres, grúas y otras. Están conformadas por perfiles comerciales, generalmente metálicos, unidos en los extremos. Existen algunas armaduras clásicas, que llevan los nombres de sus autores.

(41)

Howe (norteamericana) Alemana

Polonceau Belga

Warren

Realización práctica de las uniones

Idealizaciones de las armaduras:

(42)

2. Las armaduras están cargadas solamente en los nudos, pero como no se considera su peso, cada barra estará sometida solamente a la acción de 2 fuerzas, que pasan por sus nudos.

3. Como cada barra está en equilibrio, estas fuerzas deben ser colineales, por lo tanto, deben llevar la dirección de las barras, y debe ser de igual magnitud, dirección y distinto sentido. Las barras pueden estar entonces, sometidas solamente a tracción o compresión.

FB FD

B

D A

C

FA FC

Existen 3 métodos para desarrollar los problemas de armaduras: 1. Método de los nudos o nodos

2. Método de las secciones

3. Método gráfico de Cremona o Maxwell.

Método de los Nudos o Nodos

Se analiza cada nudo como un cuerpo libre sometido a fuerzas concurrentes. H G F

4000

A B C D E

P P P 3000 3000 3000 3000

(43)

H G F

4000

A B C D E

P P P

A 3000 3000 3000 3000 E

kgf E

A= =7500

Nudo A 5 4

AH 3 Fx AB AH

5 3

0= −

=

AB Fy A AH

5 4 0= −

=

A AH = 9375 kgf (compresión) AB = 5625 kgf (tracción) Nudo B

BH

Fx =0=BCAB AB BC

Fy =0=BHP

BC = AB = 5625 kgf (tracción) P BH = P = 5000 kgf (tracción) Nudo H

GH

Fx = = AH + CHGH

5 3 5

3 0

AH CH Fy AH BH CH

5 4 5

4

0= − −

=

(44)

Nudo G

GH FG

Fx =0=GHFG

CG

Fy =0=0−CG

FG = GH = 7500 kgf (compresión) CG = 0

Método de las Secciones

Consiste en cortar una sección de la armadura y sustituir los elementos cortados, por lo que son capaces de ejercer sobre la sección para que esta permanezca en equilibrio.

L K I

M H 1500

6000 A B C D E F G

P P P P P

a a a a a a a = 4500 mm

Determinar la fuerza en la barra MC

P = 4000 kgf sección I A = G = 10000 kgf L K I

M H 1500

6000 A B C D E F G

P P P P P

(45)

tomando la sección I 10

LM 1

M 3

CM 6000

A C

BC 4 5 A P 3

0 10

3 5

3

0 + ⋅ − ⋅ =

=

FX BC CM LM

LM CM

P A

FY = − − ⋅ − ⋅

10 1 5

4 0

LM LM

CM P

MA = − − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

10 1 5 , 4 10

3 6 5

4 9 5 , 4 0

Hay tres ecuaciones independientes y tres incógnitas, el problema está resuelto, pero se puede resolver con una sola ecuación,

CM P

A

MO = ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅

5 4 5 , 22 18

5 , 13 0

(

tracción

)

kgf

CM =3500

10

LM 1

M 3

CM 6000

O A

BC 4 5 13500 A P 3 18000

(46)

De las tres ecuaciones de equilibrio la más estratégica es la de momentos. Si se ubica el punto O respecto al cual se establecerá los momentos en la intersección de las dos incognitas no se desea obtener, este puede estar dentro o fuera del cuerpo, se simplificara el problema como lo planteado.

Método Gráfico (Cremona- Maxwell)

Existe otro método para la resolución de problemas de armaduras, que es gráfico y tuvo gran aplicación en la antigüedad. El método consiste en la resolución gráfica de los nudos, con el cierre de los polígonos de fuerzas, los cuales se representan pegados entre si, utilizando las mismas fuerzas comunes a dos nudos adyascentes, con lo cual se evita su repetición. Este método ha perdido vigencia con el surgimiento y masificación del uso de las calculadoras.

Cables Flexibles

Los cables y las cadenas son elementos flexibles que se caracterizan por transmitir fuerzas en dirección tangente a la curvatura que describen; o sea, son incapaces de transmitir fuerzas trasversales a la linea.

En la determinación de las tensiones de cables puede haber muchas distribuciones de la carga, pero se distinguen 2 casos que son los más frecuentemente aparecidos en ingeniería:

a. Cuando la carga está distribuida a través del eje horizontal (uniformemente distribuida), por ejemplo un puente colgante (resulta una parábola).

b. Cuando la carga está distribuida a lo largo del cable. Por ejemplo uniformemente distribuida (peso del cable), resulta una catenaria (cadena).

(47)

y

B

A fB

fA

O x

q(N/m)

a b

l

Tomando un tramo de vano x a la derecha del vertice y origen O y haciendo el DCL

y T

P θ

O y

H x

x/2 qx

x

0 cos

0 ⋅ − =

=

FX T

θ

H

0

0 ⋅ − ⋅ =

=

FY T sen

θ

q x

puntoP el

en curva la de pendiente la

es x

H q dx dy tgθ = = ⋅

C

+

2H

qx

=

y

2

, pero para x = 0, y = 0, ⇒C = 0

parábola

2H qx = y

(48)

Para encontrar la relación entre la tensión y el vano se debe eliminar el parámetro θ. T cos θ = H 

 ( )2 +

T sen θ = qx 

1

=

+

sen

como

x

q

+

H

=

sen

T

+

T

2

cos

2

θ

2 2

θ

2 2 2 2

θ

cos

2

θ

x

q

+

H

=

T

2 2 2

como en A → x = -a

f

2

b

q

=

f

2

a

q

=

H

2H

a

q

=

y

B 2 A 2 2 2

, es la tensión en e punto A

, es la tensión en el punto B

Considerando la longitud del cable

ds

dy

+

dx

=

ds

2 2 2 dy θ

y

d

+

dx

=

ds

2 2

dx

dx

)

dx

dy

(

+

1

=

S

2 a 0 a

dx

)

dx

dy

(

+

1

=

ds

2

a

q

+

f

4

a

q

=

T

2 2

(49)

f

2

a

q

=

H

como

dx

H

x

q

+

1

=

S

A 2 2 2 2 a 0 a

dx

x

)

a

f

4

(

+

1

=

dx

f

4

a

q

x

q

+

1

=

S

4A 2

2 a 0 A 4 2 2 2 a 0

a

se puede descomponer en series de MAC LAURIN

...

+

(0)

"

f

3!

x

+

(0)

f"

2!

x

+

(0)

f

+

f(0)

=

f(x)

3 2

a

x

f

4

+

a

x

f

2

-a

x

f

2

+

1

=

x

)

a

f

4

(

+

1

12 6 A 6 8 4 A 4 4 2 A 2 2 4 A

...}

-b

7

f

4

+

b

5

f

2

-b

3

f

2

+

{1

b

=

S

B6

6 4 B 4 2 B 2 A ...} -a 7 f 4 + a 5 f 2 -a 3 f 2 + {1 a =

S 6A

6 4 A 4 2 A 2 B

Ambas series convergen a sA y sB respectivamente para valores fa/a y fB/b < ½

H x q tgθ = ⋅

B f b q b q tg ⋅ ⋅ ⋅ = 2 2

θ

b f tg B B ⋅ = 2

θ

si fB/b < 1/2 tgθB < 2 (fB/b)

Por lo tanto la serie es convergente para θ < 45°

Si no fuese convergente se deberá obtener la integral de f(x).

(50)

b) Carga constantemente distribuida a través del largo del cable. y

B

A q P θ fB

fA yB

yA

y

c

O x x

a b l

y T

P θ

s

y

H

qs O

x x

0 cos

0 ⋅ − =

=

FX T

θ

H

0

0 ⋅ − ⋅ =

=

FY T sen

θ

q s

s H

q dx dy tgθ = = ⋅

θ θ

θ ds= sen

dy pero ) d

ds ( ) ds dy ( = d dy

(51)

θ

θ

q

H

=

d

ds

2

sec

C

+

q

H

=

d

tg

q

H

=

y

sec

θ

θ

θ

sec

θ

1

para x = 0 ⇒ y = c ⇒ θ = 0 (pendiente horizontal)

0 ,

,

sec + 1 = 1 =

⋅ = C q H c si C q H c

θ

C

c

-y

=

tg

=

dx

dy

θ

2 2

1

-)

c

y

(

dy

=

c

-y

cdy

=

dx

2 2 2

la solución es inmediata x = c arg cosh (y/c) + C2

como, para x = 0, y = c, arg cosh(1) = 0 ⇒ C2 = 0

      ⋅ = c y c

x argcosh

      = c y c x cosh arg       ⋅ = c x c

y cosh que es la ecuación de la catenaria (cadena)

2

e

+

e

=

c

x

c x -c x

cosh

c x ey c x e

2

e

-e

=

c

x

senh

c x -c x

1

=

)

c

x

(

h

sen

-)

c

x

(

h

2 2

cos

x

Para calcular el largo s del cable se debe eliminar el parámetro θ

y c c

y= θ =

θ cos

(52)

c = y cos θ s = c tg θ

y

θ s= y2 −c2

c

)

2

x

(

C

=

c

+

s

=

y

2 2

cosh

c

+

s

=

c

x

C

2

cosh

2 2 2

)

c

x

(

senh

C

=

1)

-(

C

=

s

2 2

cosh

2 2 2

c

x

senh

c

=

s

Cálculo de la flecha

c

-c

-s

=

C

-y

=

f

B B 2B 2

c

-c

-s

=

c

-y

=

fs

A A2 2

c

)

-

1}

x

(

{

c

=

c

-y

=

fs

A

cosh

Cálculo de la tensión

T cos θ = H T sen θ = qs

T

+

T

sen

=

H

+

q

s

2 2 2 2 2 2

2

θ

θ

(53)

Ejemplo

Un trozo de cadena que pesa 0,5 kg/m, se suspende de los dos extremos a la mínima altura, en un vano de 20 m. Si la tensión en un extremo es 8 kgf, determinar: largo de la cadena, flecha.

y = c cosh (x/c) T = q ⋅ y

T = 1/2 c cosh (10/c) = 8 16 = c cosh 10/c

T       = c c 10 cosh 16 20000

c 16/c cosh 10/c

10 10,5 11 11,26 11,5 12 1,6 1,524 1,454 1,42096 1,390 1,333 1,543 1,489 1,442 1,42097 1,403 1,368       ⋅ = ⋅ = c senh c s

sT 2 B 10

Existe otra solución para este problema, esta es c = 6,3428

m senh

sT 29,38

3428 , 6 10 3428 , 6

2 =

     ⋅ ⋅ =

Siempre habrá dos soluciones dada una tensión, excepto cuando la tensión aplicada corresponde a la mínima que deja en equilibrio al cable en la luz dada.

m senh

sT 22,73

26 , 11 10 26 , 11

2 =

(54)

Figure

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