UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS Area Cient´ıfica: Matemtica Aplicada

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

Area Cient´ıfica: Matemtica Aplicada

Teor´ıa de Grafos y An´

alisis

Combinatorio

por

M.Sc. Julio C. Peralta C.

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Teor´ıa de Grafos y An´

alisis Combinatorio

por

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Cap´ıtulo 1

Grafos y Aplicaciones

La teor´ıa de grafos a pesar de no ser tan nueva por el hecho de que se remonta a 1736 pero que sin embargo los mayores desarrollos se dieron entre 1920 y 1930. de ah´ı que el primer texto apareciera en el a˜no 1936, cuyo t´ıtulo es Theorie der endlichen und unendlichen Graphen escrito por: K¨onig, D. sin embargo la teor´ıa de grafos por su gran aplicabilidad en muchos campos de las ciencias, especialmente en ciencias de la computacin, qu´ımica, investigacin de operaciones, ingenier´ıa elctrica, entre otras.

Entre los objetivos principales de este cap´ıtulo tenemos:

Entender los trminos: grafo, vrtice, arco, grado, peso y algoritmo. Ilustrar como aparecen los grafos en una gran variedad de problemas. Estudiar algunas propiedades importantes de los grafos, incluyendo caminos y circuitos.

Reconocer cuando dos grafos son isomorfos y cuando un grafo se puede re-presentar en un plano sin que sus aristas se corten.

En la teor´ıa de grafos, es necesario tener conocimientos bastante b´asicos de la teor´ıa de conjuntos y es en esta parte como es que podemos ver la importancia de varios conceptos que aparentemente no tienen importancia en la adquisicin del conocimiento.

1.1.

Introduccin y Conceptos Preliminares

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Definici´on 1.1 SiAyB son conjuntos no vac´ıos, se define entonces el conjunto producto o producto cartesianoA×B al conjunto de pares ordenados (a, b) donde a∈A y b∈B. Por tanto:

A×B ={(a, b)/ a∈A b∈B} Ejemplo 1.1 Sean los conjuntos A={1,2,3} y B={r,s}

Soluci´on:

Luego el producto cartesiano deA×B estar dado por:

A×B={(1, r),(1, s)(2, r),(2, s),(3, r),(3, s)}

Ejemplo 1.2 Sean los conjuntos L = lenguajes = {f = f ortran, p = pascal, l = lisp, c = C + +}, M = memorias = {48 = 48000,64 = 64000,128 = 128000} y

S=S.O.={u=U nix, cp=CP/M} Soluci´on:

Luego el producto cartesiano deL×M×S constar de todas las categor´ıas que describen un cierto tipo de programa, para este caso se tendr 4×3×2 = 24 Definici´on 1.2 (Producto Cartesiano Generalizado) Sean los conjuntos no vac´ıos

A1, A2 A3 · · ·An se define entonces el conjunto producto o producto cartesianoA1,×A2× A3× · · · ×An al conjunto de todas las n-adas ordenadas (a1, a2,·, an) dondeai ∈A, i= 1, n es decir:

A1,×A2×A3× · · · ×An={(a1, a2,· · ·, an)/ ai ∈Ai, i= 1, n}

Teorema 1.1 Para cualquier par de conjuntos no vac´ıos A yB |A×B|=|A||B|, donde

|A| es el cardinal deA

Definici´on 1.3 Una particin o conjunto cociente de un conjuntoSno vac´ıo, es la coleccin de subconjuntos no vac´ıos, P,A1, A2 A3 · · ·An deS tal que:

1. Ai∩Aj =ϕsi =j

2. Cada elemento s∈S pertenece a uno de los subconjuntos Ai A los conjuntosAi se les llama celda o bloques, de la particin.

Ejemplo 1.3 SeaS ={a, b, c, d, e, f, g, h}y sean los siguientes subconjuntos:A1 ={a, b, c},

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Soluci´on:

Entonces se tiene que:

{A1, A2}no es una particin.

{A1, A2, A3} no es una particin.

{A1, A3, A5, A6} si es una particin.

Definici´on 1.4 Sea la particinP ={A1, A2 A3 · · ·An}. se define como un refinamiento deP a la particinP′ ={A′1, A′2 A′3 · · ·A′k} si cada A′j esta contenido en algnAj

Denotaremos el conjunto de todos losk−elementos, subconjuntos deA. Los conjuntos con k−elementos se denominarn k−conjuntos.

Definici´on 1.5 Un grafo es un parG= (V, E)de conjuntos que satisfacenE [V]2, as´ı, los elementos deE son 2 subconjuntos elementos de V.

Otra Definicin de grafo es la siguiente:

Definici´on 1.6 Un grafo G es una tripleta ordenada (V(G), E(G), ψG) consistiendo de

un conjunto no vac´ıo de verticesV(G) un conjunto disjuntoE(G)de aristas; y una funcin de incidencia ψG que asocia con cada arista de G un par de vrtices u y v de tal manera queψG= (e) =uv, entonces ees conector de los vrtices u y v.

Para evitar ambig¨uedades de notacin, asumiremos tcitamente queV ∩E =ϕ.

Los elementos deE son los vrtices, nodos puntos del grafoG, Los elementos de Eson las aristas, o l´ıneas. La forma usual de representar grficamente un grafo es colocando puntos para cada uno de los vrtices y unirlos estos por una arista, como se muestra en la figura 1.1.

Figura 1.1 EL grafo sobre V = {1,2,3,4,5,6,7} con un conjunto de aristas dadas por E =

{{1,2},{1,5},{2,5},{3,4},{5,7}}

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Ejemplo 1.4 Sea G= (V(G), E(G), ψG) donde:

V(G) ={v1, v2, v3, v4, v5} E(G) ={e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, e8}

y la funcinψ definida por:

ψG(e1) =v1v2, ψG(e2) =v2v3, ψG(e3) =v3v3, ψG(e4) =v3v4, ψG(e5) =v2v4, ψG(e6) =v4v5, ψG(e7) =v2v5, ψG(e8) =v2v5, La representacin grfica se muestra en el figura 1.2(G).

Figura 1.2 Diagrama de los grafos G y H

Ejemplo 1.5 Sea H= (V(H), E(H), ψH) donde: V(H) ={u, v, w, x, y} E(H) ={a, b, c, d, e, f, g, h}

y la funcinψH definida por:

ψH(a) =uv, ψH(b) =uu, ψH(c) =vw, ψH(d) =wx, ψH(e) =vx, ψH(f) =wx, ψH(g) =ux, ψH(h) =xy La representacin grfica se muestra en el figura 1.2(H).

Como se puede apreciar la representacin grfica tiene como importancia ayudarnos a en-tender muchas de sus propiedades, as´ı como se puede ver que no existe una nica manera de de graficar un grafo. La posicin relativa de los puntos representando los vrtices y las l´ıneas correspondientes a las aristas pero que no tienen significancia.

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Figura 1.3 Otro Diagrama de G

Definici´on 1.7 Un grafo dirigido o digrafo consiste de un conjunto V de vrtices y un conjuntoE de aristas tales que cada e∈E esta asociado a un par ordenado de vrtices.

Definici´on 1.8 Se define al orden de un grafo G como el nmero de vrtices de ste, y se denota por|G|, y al nmero de aristas es denotado por ||E||.

Muchos de los conocimientos y definiciones en la teor´ıa de grafos son sugeridos por su representacin grfica

Lista de Ejercicios 1.1 .

1. Liste al menos cinco situaciones de la vida cotidiana en las cuales se llega a los grafos de manera natural.

2. Dibuje diferentes diagramas para un determinado conjunto de grafos.

1.2.

Grafos Isomorfos

Dos grafosGyH son idnticos siV(G) =V(H),E(G) =E(H) y ψ=θ. Si dos grafos son idnticos entonces ellos pueden ser claramente representados por diagramas idnticos. Esto es tambin vlido para grafos que no necesariamente tienen el mismo diagrama pero que son isomorfos.

Ejemplo 1.6 Sea el grafo dado en el ejemplo 1.4 representado en la figura 1.3 y el grafo dado en el ejemplo 1.5 representado en la figura 1.3.

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Definici´on 1.9 Sean dos grafos G y H se llaman isomorfos, denotados por G = Hsi existe una biyeccin θ : V(G) V(H) y ψE(G) E(H) tal que ψG(e) = uv si y slo si ψH(ϕ(e)) =θ(u)θ(v); tal par (θ, ϕ) de aplicaciones es llamado un isomorfismo entre G y H.

Para mostrar que dos grafos son isomrficos, o tambin se puede decir que existe un isomor-fismo entre ellos. El par de aplicaciones (θ, ϕ) definidas por:

θ(v1) =y, θ(v2) =x, θ(v3) =u, θ(v4) =v, θ(v5) =w y

ϕ(e1) =h, ϕ(e2) =g, ϕ(e3) =b, ϕ(e4) =a

ϕ(e5) =e, ϕ(e6) =c, ϕ(e7) =d, ϕ(e8) =f

es un isomorfismo entre los grafos GyH del ejemplo 1.4 y el ejemplo 1.5.

En este curso por lo general no se etiquetaran los nodos o vrtices.

Un grafo no etiquetado puede ser interpretado como la representacin de una clase de equivalencia del grafo isomrfico.

Cuando se trata con un grafo simple es frecuentemente conveniente referirnos a las aristas con terminales enu yv como la aristauv

Definici´on 1.10 Se define como grafo completo, al grafo simple en el cual cada par de vrtices diferentes son unidos por una arista.

Formule un ejemplo de completo a partir de una situacin problemtica de la vida cotidiana, por ejemplo:

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Definici´on 1.11 Un grafo bipartidoes el grafo cuyo conjunto de vrtices puede ser par-ticionado en dos subconjuntos X, Y de tal manera que cada arista tiene un terminal en

X y otro el otro en Y. Y la particin (X, Y) es denominada una biparticin del grafo.

De la misma como se define un grafo bipartido, se puede definir tambin un grafo r-partido.

Definici´on 1.12 Sea r 2 un entero. un grafo G= (V, E, ψ) es llamado r−partido si

V admite una particin en r clases de tal manera que cada arista tiene sus terminales en diferentes clases.

Definici´on 1.13 Un grafo bipartido completo es un grafo bipartido simple con una biparticin(X, Y) en la cual cada vrtice de X es unido a cada vrtice de Y; Si |X|=m y

|Y|=n, tal grafo es denotado por Km,n.

Ejercicio 1.1 Formule un ejemplo de completo a partir de una situacin problemtica de la vida cotidiana en la que se muestre la aplicacin de los conceptos de grafos completos, bipartidos, bipartidos completos y r-partidos.

Lista de Ejercicios 1.2 .

1. Determine un isomorfismo entre el grafo Gy H de los ejemplos estudiados.

2. Pruebe que si G = H, entonces v(G) = v(H) y e(G) = e(H). Formule un ejemplo para mostrar que lo opuesto es falso.

3. Muestre que los siguientes grafos no son isomorfos.

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1.3.

Matrices de Incidencia y Adyacencia

Definici´on 1.14 Denotemos los vrtices de un grafoGporv1,v2,...,vv, las aristas

denota-das por:e1,e2,...,ee. Entonces la Matriz de IncidenciadeG es la matrizM(G) =mij

dondemij es el nmero de veces 1 que vi yej son incidentes.

La matriz de incidencia es un camino diferente para determinar un grafo.

Definici´on 1.15 Sea un grafo G, definimos la matriz de adyacencia de G, denotada porA(G) = [aij], la cual esta conformada por los elementosaij que representan el nmero

de aristas que unen los vrtices vi y vj.

Ejemplo 1.7 Sea el grafo:

determine las matrices de incidencia y adyacencia respectivas.

Soluci´on:

La Matriz de incidencia esta dada por:

M(G) =

e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7

v1 1 1 0 0 1 0 1

v2 1 1 1 0 0 0 0

v3 0 0 1 1 0 0 1

v4 0 0 0 1 1 2 0

M(G) =     

1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 2 0

     y

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A(G) =

v1 v2 v3 v4

v1 0 2 1 1

v2 2 0 1 0

v3 1 1 0 1

v4 1 0 1 1

A(G) =     

0 2 1 1 2 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1

    

Generalmente la matriz de adyacencia de un grafo es considerada ms peque˜na que la matriz de incidencia. En los computadores los grafos se almacenan a travs de esta matriz.

Lista de Ejercicios 1.3 .

1. Sea M la matriz de incidencia y A la matriz de adyacencia del Grafo G.

a) Muestre que la suma de cada columna deM es 2.

b) Cul es la suma de cada columna de A?

2. Se Gun grafo bipartido. muestre que los vrtices deGpueden ser enumerados de tal manera que la matriz de adyacencia deG tiene la forma:

   

0 ... A12

· · · ·

A21 ... 0    

dondeA21 es la transpuesta de A12

1.4.

Subgrafos

Definici´on 1.16 Un grafo H es un subgrafo de G (denotado por H G) si V(H) V(G), E(H)⊆E(G) y ψH es la restriccin de ψG a E(H).

Cuando H G pero H ̸= G, lo denotamos por H G yH es llamado un sub-grafo propio deG.

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Un subgrafo recortado (o ampliado) de G es un subgrafo (o supergrafo) H conV(H) =V(G).

Definici´on 1.17 Sea el grafoG, llamamosgrafo subyacente o fundamental, al mis-mo grafo G pero al cual se le ha recortado todos los lazos y adems se considera un solo lazo entre dos vrtices adyacentes.

Ejemplo:

Definici´on 1.18 Sea el grafo G, llamamos subgrafo inducido, y lo denotamos por

G[V\V′] o G−V′, al grafo cuyos vrtices estn dados por el subconjunto V′ ̸= ϕ de V

y cuyas aristas es el conjunto de aristas deG que tienen sus extremos enV′.

Esta definicin puede entenderse como que es un grafo obtenido a partir deG borrando los vrtices enV′conjuntamente con las arista que inciden en dichos vrtices.

Notacin: Si se tiene queV′ ={v}lo denotaremos porG−ven vez deG−{v}. De la misma forma como existe el subgrafo inducido por los vertices tambin existen los subgrafos inducidos por por las aristas del grafo.

Definici´on 1.19 Sea el grafo G, llamamos subgrafo inducido por las aristas , y lo denotamos por G[E′], al grafo cuyo conjunto de vrtices esta conformado por todos los vrtices extremos del subconjunto de aristas deG.

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Esta definicin puede entenderse como que es un grafo obtenido a partir deGborrando las aristas deG, luego el subgrafo inducido por las aristas estar conformado por el conjunto de aristas restantes y el conjunto de vrtices que son extremos de las aristas.

1.4.1. Grados de Vrtices

Definici´on 1.20 El grado de un vrtice, v en G, denotado por dg(v), y se define como

el nmero de aristas deG que inciden en v. Cada lazo se considera como 2 aristas.

Notacin:Denotaremos por δ(G) y ∆(G) el mximo y el m´ınimo grado, respectivamente, de vrtices deG.

Teorema 1.2

v∈V

d(v) = 2e

Prueba:

Consideremos la matriz de incidenciaM. LA suma de las entradas en la fila correspondiente a los vrtices v es precisamente d(v), y por lo tantovV d(v) es justamente la suma de todas las entradas enM. Pero esta suma es tambin 2e, puesto que la suma de cada una

de las columnas deM es 2.

Corolario 1.1 En cualquier grafo, el nmero de vrtices de grado impar es par.

Prueba:

SeanV1 yV2 conjunto de vrtices de grado impar y par, en Grespectivamente. entonces ∑

v∈V1

d(v) =v∈V2

d(v) =v∈V

d(v)

es par, por el teorema (1.2), puesto que ∑ v∈V2

d(v) es tambin par, esto se sigue del hecho

que ∑ v∈V1

d(v) es par. De esta manera |V1|es par.

Un grafoGesk−regular sid(v) =k∀v∈V

Un grafo regular es el que esk−regular para algn k.

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1.5.

Caminos y Conexiones

Definici´on 1.21 Llamaremos un recorrido, W en el grafo G a un sucesin no vac´ıa

W =v0e1v1e2· · ·ekvk cuyos trminos son alternados entre vrtices y aristas del grafo Gde tal manera que1≤i≤k los extremos de ei son los vrtices vi1 yv−i y lo denotaremos

por(v0, vk)recorrido

De la definicin anterior se tiene:

Los vrtices v0 y vk son llamados origen y final del recorrido W, respectiva-mente. As´ı como los vrticesv1,v2, · · · vk−1 son losvrtices internos.

El enterok es la longitud de W.

Si W = v0e1v1e2· · ·ekvk y W′ = vkek+1vk+1· · ·elvl son recorridos, el reco-rridovkek−1vk−1· · ·e1v0, obtenido invirtiendo el recorridoW y es denotado por:W−1 y el recorridov0e1v1e2· · ·elvl, obtenido or la concatenacin de W y W′ en vk es denotado por W W′.

Una seccin de un recorrido W =v0e1v1e2· · ·ekvk es un recorrido que es una subsucesin viei+1vi+1ei+2· · ·ejvjde trminos sucesivos de W, denotaremos a esta subsucesin como (vi, vj)seccin.

En un grafo simple un recorrido puede ser representado por una sucesin de los vrtices del recorrido.

Definici´on 1.22 Sea un grafo G y un recorrido W en l entonces definimos:

(i) W es llamada unsendero(trail) si las aristase1 e2· · ·ekdeW son distintas. (ii) W es llamada uncamino(path) si adems de las aristase1 e2· · ·ek, los vrtices

v0 e1· · ·kk de W son distintas.

(iii) Dos vrticesuyvdeGse dice que sonconectadossi existe un(u, v)−camino enG.

Los trminos que usamos en este trabajo que son sendero, camino, podran no coincidir con otros trminos expresados en otra bibliografa.

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Figura 1.4 Muestra de un camino en general

Un conexin es una relacin de equivalencia sobre el conjunto de vrticesV. Por eso es una particin deV en un conjunto de subconjuntos no vac´ıosV1 V2· · ·Vk de tal manera que los dos vrticesu yv son conectados si y slo siuyv pertenecen la mismo conjunto de vrtices Vi

Los sub-grafosG[V1],G[V2], · · ·G[Vn] son llamados componentes de G Si G tiene solamente un componente, G es conectado, en otro caso G es desconectado.

Ejemplos:

1.6.

Ciclos

Un recorrido es cerrado si este tiene una longitud positiva y su origen y trmino son el mismo. Un sendero cerrado que tiene su origen y vrtices internos diferentes de denomina ciclo.

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Teorema 1.3 Un grafo es bipartido si y slo si ste no contiene un nmero par de ciclos.

Prueba:

Supongamos queGes un grafo bipartido, con una biparticin (X, Y) y seaC =v0v1· · ·vkv0 un ciclo deG, Sin perdida de generalidad podemos asumir quev0 ∈X. Entonces, puesto quev0v1 ∈E yG es bipartido,v1 ∈Y Similarmente parav2 ∈X ̸= 1, en generalv2i ∈X yv2i+1∈Y. Puesto quev0 ∈X,vk∈Y. As´ık= 2 + 1, para algni, y de esto se sigue que C es par.

Esto es claramente satisfecho para probar la parte inversa para grafos conectados. Ejemplo.

Definici´on 1.23 Se llaman grafos planares a los grafos en cuyos diagramas cuyas aristas se intersectan solamente en los extremos, por tanto estos grafos pueden ser representados en el plano de una manera simple.

Definici´on 1.24 SiGes un grafo, se llama cuello del grafoGal mnimo de las longitudes de los ciclos deG.

SiGno tiene ciclos entonces asumimos que cuello(G) = +∞

Como decamos, si dos grafosG yG′ son isomorfos, entoncescuello(G) =cuello(G′). Por ejemplo, si consideramos los grafos

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1.6.1. Grafos Conexos

Definici´on 1.25 Un grafo G es conexo si dados cualesquiera dos vrtices distintos u, v∈ V, podemos encontrar un recorrido que los conecte.

Para ser precisos, la definicin abarca a los grafos con al menos dos vrtices. Por convenio, diremos que un grafo con un nico vrtice es tambin conexo. Obsrvese que si existe un paseo que conecte dos vrticesuyv, entonces podemos encontrar un camino que los conecte. Ms an, podremos encontrar un camino simple, cuya longitud no podr ser mayor queV(G)1. As que, en lo que sigue, a veces manejaremos la nocin de conexin por caminos.

Nuestra siguiente preocupacin es determinar qu ocurre cuando un grafo no es conexo. En un grafo no conexo, hay vrtices que no pueden ser conectados. Como sugiere la intuicin, el grafo estar formado por diversos bloques de vrtices, cada uno de los cuales ser un grafo conexo. Para definir adecuadamente este concepto, empecemos considerando un grafo G= (V, E) y un vrtice suyo, v∈V.

Llamaremos componente conexa dev enG al conjunto de vrtices

{w∈V : existe un camino enG conectandov yw}.

Ntese que siwest en la componente conexa de v, entoncesv est en la dew.

Definici´on 1.26 Dado un grafo G = (V, E), una componente conexa de G ser el grafo que se obtiene al tomar todos los vrtices que estn en la componente conexa de un cierto vrtice deV y todas las aristas del grafo que conectan estos vrtices.

Definici´on 1.27 Diremos que una aristae de un grafoG es un puente si el grafo G{a}

que se obtiene deGal quitar la aristae(y dejar los mismos vrtices) tiene ms componentes conexas que G.

En el siguiente grafo se muestra un ejemplo de un grafo que tiene a la aristaacomo puente.

Figura 1.5 Ejemplo de un grafo que tiene una arista puentea

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Prueba: Ejercicio.

Proposici´on 1.1 Si Ges un grafo conexo, entonces |E(G)| ≥ |V(G)| −1 Prueba:

Ejercicio.

Proposici´on 1.2 Si G es un grafo conexo, con k componentes conexas, entonces |A| ≥

|V(G)| −k

Prueba: Ejercicio.

1.6.2. Nmero de Paseos. matr´z de vecindades y conexiones

Teorema 1.4 Si M

1.7.

Aplicaciones

1.7.1. El problema del Camino ms corto

Ejemplo 1.8 (Puentes de K¨onigsberg) La primera publicacin de la teor´ıa de grafos fue hecha por Leonard Euler en 1736. Tal publicacin expone una teor´ıa general que incluye una solucin a los que es conocido como problema de los puentes de K¨onigsberg.

Figura 1.6 Esquema del Problema de los puentes de K¨onigsberg

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(20)

1.7.2. Circuitos eulerianos y Hamiltonianos

1.8.

Tipos de grafos Subgrafos

. Representacin matricial de grafos, Matriz de Adyacencia e incidencia, D´ıgrafos.

1.9.

Caminos y circuitos en un grafo

. Grafos conexos. Algunos Teoremas.

1.10.

Un algoritmo del camino ms corto

1.11.

Grafos Planos

Figure

Figura 1.2 Diagrama de los grafos G y H

Figura 1.2

Diagrama de los grafos G y H p.6
Figura 1.3 Otro Diagrama de G

Figura 1.3

Otro Diagrama de G p.7
Figura 1.4 Muestra de un camino en general

Figura 1.4

Muestra de un camino en general p.15
Figura 1.5 Ejemplo de un grafo que tiene una arista puente a

Figura 1.5

Ejemplo de un grafo que tiene una arista puente a p.17
Figura 1.6 Esquema del Problema de los puentes de K¨ onigsberg

Figura 1.6

Esquema del Problema de los puentes de K¨ onigsberg p.18

Referencias

Actualización...

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