LA CIRCUNFERENCIA
La circunferencia es el lugar geométrico de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. La distancia de un punto de la circunferencia al centro se llama radio.
ANGULO CENTRAL: Es un ángulo que tiene su vértice en el centro de la circunferencia.
AOB es un ángulo central y se dice que intercepta el arco AB o que el arco subtiende al ángulo.
AB se llama arco menor
BCA se llama arco mayor.
Un ángulo central mide lo mismo que el arco que subtiende (en grados)
m
AOB
m AB
POSTULADO DE LA ADICION DE ARCOS.
m AC m AB m BC
TEOREMA
Si dos ángulos centrales de la misma circunferencia o de circunferencias congruentes son congruentes entonces sus arcos interceptados son también son congruentes.
HIPOTESIS: AOB COD
TESIS: m AB m CD
1. m(AOB) = m AB 1. Por ser un ángulo central
2. m(COD) = m CD 2. Por ser un ángulo central
3. m(AOB) = m(COD) 3. De hipótesis
ANGULO INSCRITO EN UNA CIRCUNFERENCIA
DEFINICION: Una cuerda de una circunferencia es un segmento de recta que tiene sus extremos sobre la circunferencia. Un diámetro es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia
TEOREMA
La medida de un ángulo inscrito en una circunferencia es igual a la mitad de la medida del arco interceptado
CASO 1. Cuando uno de los lados es un diámetro.
HIPOTESIS: ACB es un ángulo inscrito O centro de la circunferencia CB es un diámetro
TESIS:
2 m AB m ACB
1. Se traza AO 1. Construcción
2. OA OC 2. Los radios de una circunferencia son
congruentes
3. m( ) m( ) 3. De 2. En un triangulo a lados congruentes
se oponen ángulos congruentes
4. m(AOB) = m(arco AB) 4. Por ser AOB un ángulo central
5. m(AOB) = m( ) m( ) 5. Un ángulo exterior de un triangulo es igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes a el.
6. m(AOB) 2 (m ) 6. Sustitución de 3 en 5.
7.
( )
( ) 2 ( ) ( )
2 m AB
m AB m m
7. Sustitución de 4 en 6 y algebra.
CASO 2: Cuando el centro de la circunferencia está en el interior del ángulo.
HIPOTESIS: Circunferencia de centro O ACB es un ángulo inscrito.
TESIS:
1. Se traza el diámetro CD 1. Construcción
2. ( ) ()
2
m AD
m ACD
2. De 1, caso 1.
3.
( )
( )
2
m DB
m DCB
3. De 1, caso 1
4. ( ) ( ) () ()
2 2
m AD m DB
m ACD m DCB
4. Adición de 2 y 3
5.
( )
( )
2
m AB
m ACB
5. De 4. Adición de ángulos y de arcos.
CASO 3: Cuando el centro de la circunferencia está en el exterior del ángulo.
HIPOTESIS: Circunferencia de centro O ACB es un ángulo inscrito.
TESIS:
2 m AB m ACB
1. Se traza el diámetro CD 1. Construcción
2.
2
m AD
m
ACD
2. De 1. Caso 1
3.
2
m BD
m
BCD
3. De 1. Caso 1
4. m(ACB) = m(ACD) – m(BCD) 4. Resta de ángulos
5.
2
2
m AD
m BD
m
ACB
5. Sustitución de 2 y 3 en 4.
6.
2
m AB
m
ACB
6. De 5. Resta de arcos.
COROLARIO 1.
CD
es un diámetroCOROLARIO 2:
C
D
Los ángulos inscritos en el mismo arco son congruentes
COROLARIO 3:
Rectas paralelas determinan arcos congruentes.
AD BC m BA m DC
TEOREMA:
En una circunferencia o en circunferencias congruentes, cuerdas congruentes tienen arcos congruentes.
HIPOTESIS: O es el centro de la circunferencia; CD AB
TESIS: m CD m AB
1.
OA
OB
OC
OD
1. Son radios de la misma circunferencia2.
AB
CD
2. De hipótesis3. AOB COD 3. De 1 y 2. L – L – L
4. m (AOB) = m (COD) 4. De 3. Son ángulos correspondientes en triángulos congruentes
5. m (AOB) = m (arco AB) y m (COD) = m (arco CD)
5. Son ángulos centrales
6. m (arco AB) = m (arco CD) 6. De 4 y 5. Propiedad transitiva.
TEOREMA. RECIPROCO DEL ANTERIOR.
En una circunferencia, arcos congruentes tienen cuerdas congruentes. (Demostrarlo)
TEOREMA
Una recta que pasa por el centro de una circunferencia y es perpendicular a una cuerda, biseca a la cuerda y a su arco.
HIPOTESIS: O es el centro de la circunferencia
AB
es una cuerda
CO
AB
TESIS:
1)
2)
AM
MB
m AC
m CB
1.
OA
OB
1. Son radios de la misma circunferencia 2. AOB es isósceles 2. De 1. Definición de triangulo isósceles. 3.OM
AB
3. De hipótesis4.
OM
es altura sobre la base 4. De 3. Definición de altura.5.
OM
es mediana 5. De 4 y 2. En un triangulo isósceles la altura sobre la base es también mediana6.
AM
MB
6. De 5. Definición de mediana7.
OM
es bisectriz de AOB 7. De 4, 5, 2. En un triangulo isósceles la mediana sobre la base es bisectriz. 8. m(AOC) = m(BOC) 8. De 7. Definicion de bisectriz9.
m
AOC
m AC
m
BOC
m CB
9. Por ser ángulos centrales
10.
m AC
m CB
10. De 8 y 9. Propiedad transitiva.TEOREMA (RECIPROCO DEL ANTERIOR)
Si una recta pasa por el centro de una circunferencia y biseca una cuerda, que no sea un diámetro, entonces es perpendicular a la cuerda.
HIPOTESIS: Circunferencia de centro O; AM MB
TESIS: OM AB
COROLARIO:
TEOREMA
En una circunferencia, cuerdas congruentes equidistan del centro.
HIPOTESIS: AB DC OF; DC OE; AB
TESIS: OE OF
1. Se traza
OE
AB
y
OF
DC
1. Construcción2. E y F son puntos medios 2. De 1. Una recta que pasa por el centro y es a una cuerda la biseca.
3.
AB
DC
3. De hipótesis4.
EB
FC
4. De 2 y 3. Por ser mitades de segmentos congruentes.5.
OC
OB
5. Por ser radios de la misma circunferencia.6.
OFC
OEB
6. De 1, 4, 5. Por ser triángulos rectánguloscon un cateto y la hipotenusa s
7.
OE
OF
7. De 6. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes.TEOREMA (RECIPROCO DEL ANTERIOR)
En una circunferencia, las cuerdas equidistantes del centro son congruentes.
DEFINICION: Una tangente a una circunferencia es una recta que “toca” a la circunferencia en un solo punto.
TEOREMA
Una recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio trazado hacia el punto de tangencia.
HIPOTESIS: AB es tangente a la circunferencia de centro O, en el punto C.
TESIS: OC AB
La demostración se hace por reducción al absurdo.
1.
AB
no es aOC
1. Negación de la tesis2. Por O se traza una recta a
AB
en el punto D2. Por un punto exterior de una recta se
puede trazar una a dicha recta.
3. En
AB
existe un punto E tal quey se traza
CD
DE
OE
4. COE es isósceles 4. De 2 y 3. OD es mediana y altura 5.
OC
OE
5. De 4. Definición de triangulo isósceles. 6.OE
es radio y E pertenece a lacircunferencia
6. De 5 y de hipótesis. Definición de circunferencia.
7. La intersección de la circunferencia con
AB
es el punto C y la intersección de la circunferencia con
AB
también es el punto E.7. De hipótesis y de 6 y 3
8.
AB
corta a la circunferencia en dos puntos C y E8. De 7
9.
AB
no es tangente 9. De 8. Definición de tangente 10.
AB
es tangente 10. De hipótesis11. Contradicción 11. De 9 y 10.
Luego como hay una contradicción, al suponer que el radio no era tangente, entonces
AB
OC
COROLARIO 1
Si una recta es perpendicular a una tangente en el punto de tangencia, entonces esa recta pasa por el centro de la circunferencia
COROLARIO 2
Un radio es perpendicular a una tangente en su punto de tangencia.
TEOREMA
Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan dos tangentes a la circunferencia, se determinan segmentos congruentes y también se forman ángulos congruentes con la recta que pasa por el punto exterior y por el centro de la circunferencia.
HIPOTESIS: O es el centro de la circunferencia. PB y PA
son tangentes
TESIS: 1) PB PA
2) BPO APO
1.
OB
PB
yOA
PA
1. De hipótesis. Los radios son s a las tangentes en su punto de tangencia.2.
OA
OB
2. Por ser radios de la misma circunferencia 3.OP
OP
3. Propiedad reflexiva4. PBO PAO 4. De 1, 2, 3. Cateto – hipotenusa
5.
PB
PA
5. De 4. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes.TEOREMA
Si dos circunferencias son secantes en los puntos A y B, la recta que pasa por sus centros es mediatriz del segmento AB
HIPOTESIS: C y D son los centros.
A y B son las intersecciones de las dos circunferencias.
AByCD se cortan en E.
TESIS: E es punto medio de AB y AB CD
1. Se trazan los radios CA CB DA DB, , , 1. Construcción auxiliar
2. CA CB 2. Por se radios de la misma circunferencia
3. DA DB 3. Por se radios de la misma circunferencia
4. AB AB 4. Propiedad reflexiva
5. CAD CBD 5. De 2, 3, 4. L – L – L
6. ACE BCE 6. De 5. Por ser ángulos correspondientes en
triángulos congruentes
7. CE es bisectriz de ACB 7. De 6. Definición de bisectriz
8. ACB es isósceles 8. De 2. Definición de triangulo isósceles,
9. CE es altura y mediana 9. De 7 y 8. En un triangulo isósceles la bisectriz del ángulo opuesto a la base es también altura y mediana.
10. E es punto medio de AB y
AB CD
10. De 9. Definición de mediana y de altura.
DEFINICION: Una secante a una circunferencia es una recta que la corta en dos puntos.
TEOREMA
La medida de un ángulo semiinscrito es igual a la mitad de la medida de su arco interceptado.
HIPOTESIS: BTD es un ángulo semiinscrito
AB es una tangente a la circunferencia en T TD es una cuerda
TESIS:
2 m DT m BTD
1. Se traza
DC AB
1. Construcción2. CDT BTD 2. De 1. Por ser alternos internos entre paralelas
3.
2
m arcoCT
m
CDT
3. Por ser un ángulo inscrito
4. arco CT = arco TD 4. De 1. Por estar entre paralelas.
5.
2
m arcoDT
m
BTD
5. De 2, 3, 4. Sustitución
ANGULO INTERIOR EN UNA CIRCUNFERENCIA
Es el ángulo formado por dos cuerdas que se cortan dentro de una circunferencia.
TEOREMA
La medida de un ángulo interior es igual a la semisuma de las medidas de los arcos que son interceptados por las cuerdas que forman el ángulo.
HIPOTESIS: AB y CD son cuerdas es un ángulo interior
TESIS:
2
m AC m BD
m
1. m ( ) = m ( ) + m ( ) 1. es un ángulo exterior
en AED
2.
2
m arcoAC
m
3.
2
m arcoBD
m
3. es un ángulo inscrito
4.
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
m arcoAC
m arcoBD
m arcoAC
m arcoBD
m
4. Sustituciónde 2 y 3 en 1.
ANGULO EXTERIOR DE UNA CIRCUNFERENCIA
Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan dos secantes a ella, el ángulo formado se llama ángulo exterior.
TEOREMA
La medida de un ángulo exterior de una circunferencia es igual a la semidiferencia de los arcos que intercepta.
HIPOTESIS: P es un punto exterior a la circunferencia. es un ángulo exterior.
TESIS:
( )
2
m AC m DB
m
1. Se traza
AD
1. Construcción2. m ( ) = m ( ) + m( ) 2. Por ser un ángulo exterior
en ADP
3.
(
)
(
)
2
m arcoAC
m
3. Por ser un ángulo inscrito en la circunferencia4.
(
)
(
)
2
m arcoDB
m
4. Por ser un ángulo inscrito en la circunferencia5. m ( ) - m ( ) = m ( ) 5. De 1. Transposición de términos
6.
(
)
(
)
( )
2
2
m arcoAC
m arcoDB
m
6. Sustitución de 3 y 4 en 5.COROLARIO 1.
La medida del ángulo formado por una secante y una tangente que se cortan en el exterior de una circunferencia, es igual a la mitad de la diferencia de las medidas de los arcos interceptados.
( ) ( )
( )
2
m CA m AD
COROLARIO 2.
La medida del ángulo formado por dos tangentes trazadas desde un punto exterior a una circunferencia es igual a la mitad de la diferencia de las medidas de los arcos interceptados.
( ) ( )
( )
2
m ACB m BA
m P
EJERCICIOS
1)
HIPOTESIS: ACE es una semicircunferencia de centro O
OD
biseca aEC
;OB
biseca aCA
O – F – D; O – H – B
TESIS:
1)
2)
es un rectangulo.
OD
OB
OHCF
1. m(C) = 90º 1. De hipótesis, por estar inscrito en una semicircunferencia
2.
OF
EC
OF
FC
m
CFO
90
2. De hipótesis. Si una recta pasa por el centro de una circunferencia y biseca una cuerda, es perpendicular a ella.3.
CH FO
3. De 1 y 2. Por formar ángulos consecutivos suplementarios 4.OH
AC
4. De hipótesis. La misma razón 2 5.FC
AC
5. De 1 Definición de rectasperpendiculares
6.
OH FC
6. De4 y 5. Por ser perpendiculares a la misma recta.7. OHCF es un paralelogramo 7. De 3 y 6. Por tener los lados
opuestos paralelos.
8. m(C) = m (FOB) = 90º 8. De 1 y 7. Los ángulos opuestos de un paralelogramo son congruentes 9.
OD
OB
9. De 8. Definición deperpendicularidad.
10. m (CHO) = m (CFO) = 90º 10. De 7. Los ángulos opuestos de un paralelogramo son congruentes
11. OHCF es un rectángulo. 11. De 7,1, 2, 8, 10. Definición de
2)
HIPOTESIS: O1 y O2 son los centros de las circunferencias.
RT y QS
son tangentes comunes y se cortan en P.
O1 – P – O2
TESIS: 1) 1 2 1 2
2)
QO O O O S
RT QS
1.
O Q
1QS O S
;
2QS
1. Los radios son perpendiculares a las tangentes en su punto de tangencia2.
O Q O S
1
2 2. De 1. Por ser perpendiculares a la misma recta 3. QO1O2 = O1O2S 3. De 2. Por ser alternos internos entre paralelas.4.
PQ
PR
4. De hipótesis. Si desde un punto exterior se trazan dos tangentes a una circunferencia, los segmentos tangentes son congruentes.5.
PS
PT
5. De hipótesis. Si desde un punto exterior se trazan dos tangentes a una circunferencia, los segmentos tangentes son congruentes.6. PQ+PS = PR+PT 6. Adicion de 4 y 5
7. QS = RT 7. De 6. Adición de segmentos
3)
HIPOTESIS: O es el centro AD es un diámetro AB OC
TESIS: OC biseca al arco DB
1. 1. De hipótesis, por ser correspondientes entre paralelas.
2.
(
)
(
)
2
m arcoDB
m
2. Por ser un ángulo inscrito3. m ( ) = m (arco DC) 3. Por ser un ángulo central
4.
(
)
(
)
2
m arcoDB
4)
DATOS: PQ y RC son tangentes a la circunferencia.
60º; 50º
m P m PRC
HALLAR: 1) medida del arco QAR = x 2) medida del arco QE = y
( ) 60º 120º (1) 2
x y
m P x y
50º ( ) 100º 100º 360º 260º (2)
2
m arcoRE
m CRE m arcoRE x y x y
Resolviendo (1) y (2) se obtiene que x 190º ;y 70º
5)
Dos circunferencias son tangentes en A. Se trazan dos secantes BC y 'B C'
que pasan por A. Demostrar que BB 'CC'
1. Se traza por A la tangente común a las dos circunferencias
1. Construcción
2. m ( ) = m ( ) 2. Por ser opuestos por el vértice
3.
;
2
2
m arcoBA
m arcoAC
m
m
3. Por ser ángulos semiinscritos
4. ( ) ( )
2 2
m arcoBA m arcoAC
4. Sustitución de 3 en 2.
5.
´
2
m arcoBA
m
B
5. Por ser un ángulo inscrito
6.
´
2
m arcoAC
m
C
6. Por ser un ángulo inscrito
7. m(B’) = m(C’) 7. Sustitución de 5 y 6 en 4.
EJERCICIOS SOBRE CIRCUNFERENCIA
1. DATOS: m (arco BC) = 70º; AC es un diámetro, O es el centro de la circunferencia. HALLAR: m (AOB)
2. DATOS: m (OAB) = 36º. O es el centro de la circunferencia. HALLAR: m (arco AB)
3. DATOS: m(OAB) = 30º; AC es diámetro HALLAR: m (arco BC)
4. DATOS: m(arco AB) = 70º; AC es un diámetro HALLAR m (OBC)
5. DATOS: m(AOB) = 60º; AC es un diámetro HALLAR: m (ABC) y m (arco BC)
6. DATOS: m(arco AD) = 140º; BD y AC son diámetros HALLAR: m (OBC)
7. DATOS: m(A) = 68º HALLAR: m(C)
8. DATOS: m(SOR) = 80° HALLAR: m (T)
9. DATOS: Las cuerdas AB y CD se cortan en E. m (arco AC) = 40º y m (arco BD) = 70º. O es el centro
10. DATOS: La recta AB es perpendicular al diámetro TD. TC es una cuerda; m (arco TC) = 100º. La recta AB es tangente a la circunferencia en T.
HALLAR: m (BTC)
11. Hallar la medida en grados del arco BD.
12. Hallar la medida en grados del ángulo
13. Hallar la medida del ángulo . La recta AB es una tangente en T
14. Hallar la medida del ángulo APC, si el arco BD mide 40º
15. Hallar la medida en grados del arco RAQ, si
m arcoTS
30 ;
m
P
35
16. O es el centro de la circunferencia. La recta CF es tangente en B. Hallar la medida del ángulo EDB y del ángulo formado por la cuerda DB y la tangente.
17. O es el centro de la circunferencia. PT es tangente en T. Hallar la medida del ángulo TPA y del ángulo TBC y
m arcoAB
,si el arco TB mide 125º19.
En la semicircunferencia de centro O y diámetro AB, el radio OE
es perpendicular a la cuerda AC. Si m(CAB) 20º
Hallar m(ELC)
20.
HIPOTESIS:
AD
es un diámetro
AD
es bisectriz de CAB.TESIS: 1) arco AC = arco AB 2)
AC
AB
21.
HIPOTESIS: O es el centro de la circunferencia
BD
OC BE
;
OA BD
;
BE
TESIS: m (arco AB) =m (arco CB)
22.
HIPOTESIS:
CB
DE
TESIS:
CA
DA
23.
HIPOTESIS: O es el centro de la circunferencia
AB es un diámetro
AB CD
TESIS: AD BC
24.
HIPOTESIS: O es el centro de la circunferencia
AD
es un diámetro
DC AB
TESIS:
OC
biseca al arco DB. 25.HIPOTESIS: O es el centro de la circunferencia.
PM
y PN
son tangentes P – Q – NTESIS:
1)
MQ
QN
2)
PNQ
PMQ
3)
OP
MN
26. Los lados de un cuadrilátero son tangentes a una circunferencia. Demostrar que la suma de las medidas de dos lados opuestos es igual a la suma de las medidas de los otros dos lados.
27.
HIPOTESIS: A y B son los centros de las circunferencias.
y
QS
RT
son las tangentes comunes a las dos circunferenciasTESIS:
1)
QAB
ABS
28. Los lados de un triangulo rectángulo son tangentes a una circunferencia. Demostrar que la suma de las medidas de los catetos es igual a la suma de las medidas de la
hipotenusa y el diámetro de la circunferencia.
29. Trazar una tangente a una circunferencia por un punto A dado sobre la circunferencia.
30. Consultar como se trazan, desde un punto P exterior a una circunferencia, dos tangentes a la circunferencia. (Construcción con regla y compás).
31. Dos circunferencias de centros O1 y O2 se cortan en A y B. Se trazan respectivamente las secantes MAN y PBQ. Demostrar que MP NQ .
32. Dos circunferencias congruentes de centros O1 y O2, se cortan pasando una por el centro de la otra y cortándose en M y N. Por M se traza la secante AMB, con A en la
circunferencia de centro O1 y B en la circunferencia de centro O2. Demostrar que el triangulo NAB es equilátero.
33. Dos circunferencias de centros O1 y O2 son congruentes y se cortan en M y N. Por M se traza una secante que corta a la circunferencia de centro O1en C y a la circunferencia de centro O2 en D. Demostrar que el triangulo NCD es isósceles.
34. Dos circunferencias O1 y O2 son tangentes exteriores en T y la recta m es la tangente común. Si desde un punto P cualquiera de m se trazan PA y PB tangentes a las dos circunferencias. Demostrar que PA PB.
35. ABC es una recta secante a una circunferencia de centro O en B y C, y AED es otra secante a la circunferencia en D y E. Si BC ED, entonces demostrar que AC AD.
36. En una circunferencia de centro O se prolonga una cuerda AB una longitud BC igual al radio de la circunferencia, con A – B – C. Se traza el segmento CFOE que es un diámetro prolongado. Demostrar que m (AOE) = 3m (ACE)
37. Dos circunferencias de centros O1 y O2 son tangentes exteriormente en B. Se traza una tangente exterior común MN y la tangente interior común a las dos circunferencias, esta tangentes se cortan en A. La cuerda BM corta a O1A en C y BN corta a O2A en D.
a. Demostrar que
2 MN AB
b. Demostrar que el NBM es recto.
38. Dos circunferencias de centros en O1 y O2 se cortan en los puntos A y B. Demostrar que
1 2
39. En una circunferencia de centro O, un diámetro AB una cuerda AC, hacen un ángulo de 30º, se traza una tangente al punto a la circunferencia en C que corta al diámetro
prolongado en el punto D. Demostrar que el triangulo ACD es isósceles.
40. Demostrar que todo trapecio inscrito en una circunferencia es un trapecio isósceles.
41. En una semicircunferencia de diámetro AB se traza una cuerda AC, tal que m (BAC) = 20º. Se traza la tangente XY paralela a AC y tangente a la circunferencia en el punto D. Encontrar el valor de los ángulos ADX y BDY.(Recordar que rectas paralelas determinan arcos congruentes)
42. Dos circunferencias son tangentes en A. Se trazan las secantes BAC y B’AC’. Demostrar que BB'CC'.
43. Por el extremo A de un diámetro AB de una circunferencia, se traza una cuerda AC, y por B se traza una tangente a la circunferencia. Se traza la bisectriz de CAB que corta a BC en F y a la circunferencia en H y a la tangente en D. Demostrar que BD BE y
FH HD.
44. En una circunferencia de centro O se trazan dos cuerdas AB AC AB; subtiende un arco de 120º. Desde el centro O se trazan ON AB en N y OM ACen M.
1) Encontrar m BAC
2) Demostrar que AO es bisectriz del ángulo BAC
45. Dos circunferencias de centros E y Q son secantes y se cortan en A y B. Sus tangentes comunes, HK yTR
se cortan en P.
1) Demostrar que HK TR
2) Demostrar que HPT es isósceles.
46.
Las cuerdas
AB
y CD
son congruentes y se cortan en K. Demostrar:1)
2)
3)
CB AD
KA
KD
KB
KC
PROPOSICIONES PARA RESPONDER VERDADERO O FALSO
1. Todos los ángulos centrales de la misma circunferencia son congruentes. ( ) 2. El vértice de todo ángulo central esta sobre el centro. ( )
3. Toda circunferencia tiene exactamente dos semicircunferencias. ( )
4. Dos semicircunferencias de dos circunferencias distintas miden lo mismo en grados.( ) 5. Un diámetro es una cuerda ( )
6. Algunos radios son cuerdas ( )
7. En una circunferencia, es posible que una cuerda sea congruente a un radio. ( ) 8. Si un paralelogramo esta inscrito en una circunferencia, debe ser un rectángulo.( ) 9. Si un ángulo inscrito y un ángulo central subtienden al mismo arco, la medida del ángulo
inscrito es el doble de la medida del ángulo central. ( )
10. Una línea recta puede cortar a una circunferencia en tres puntos. ( ) 11. Un rectángulo circunscrito a una circunferencia debe ser un cuadrado. ( )
12. El ángulo formado por dos cuerdas que se cortan en una circunferencia es igual en grados a la mitad de la diferencia de las medidas de los arcos interceptados. ( ) 13. Un trapecio inscrito en una circunferencia debe ser isósceles. ( )
14. Todos los puntos de un polígono inscrito están sobre la circunferencia. ( ) 15. Los ángulos inscritos en el mismo arco son suplementarios. ( )
16. Un radio es perpendicular a una tangente en el punto de tangencia. ( )
17. El ángulo formado por una tangente y una cuerda es igual en grados a la mitad de la medida del arco interceptado. ( )
18. La recta que une el punto medio de un arco y el punto medio de su cuerda es perpendicular a la cuerda. ( )
19. Si dos cuerdas congruentes se cortan, las medidas de los segmentos de una cuerda son respectivamente congruentes a las medidas de los segmentos de la otra. ( )
20. El segmento de recta que une dos puntos sobre una circunferencia es una secante. ( ) 21. El ángulo inscrito en una semicircunferencia es agudo. ( )
22. El ángulo formado por una secante y una tangente que se cortan en el exterior de una circunferencia tiene por medida la mitad de la suma de las medidas de los arcos interceptados. ( )
23. Si dos cuerdas son perpendiculares a una tercera cuerda en sus extremos, son congruentes. ( )
24. Un ángulo agudo inscrito en una circunferencia, intercepta un arco cuya medida es menor que 90º. ( )
25. Si dos cuerdas se cortan dentro de una circunferencia, una de las cuerdas es igual a la suma de los segmentos de la otra. ( )
26. Si se trazan una tangente y una secante desde el mismo punto exterior a una
circunferencia, la tangente es igual a la mitad de la diferencia de la secante y el segmento externo. ( )
Ejercicios tomados de los siguientes textos: Geometría Euclidiana de Nelson Londoño Geometría Euclidiana de Hemmerling
Curso de Geometría. Reunión de profesores Geometría de Clemens y otros, de la serie Awli Geometría de Edwin E. Moise
Recopilados por: José Manuel Montoya Misas.
EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE CIRCUNFERENCIA
31. ( ) ( 1) 2 ( ) ( 2) 2
( ) ( ) 360
( 1) ( 2) 180
2 2
( ) ( )
( 3) ; ( 4)
2 2
( ) ( ) 360
( 3) ( 4) 180
2 2 m arcoMAB m m arcoMPB m
m arcoMAB m arcoMPB
m m
m arcoBQN m arcoNAB
m m
m arcoBQN m arcoNAB
m m
( 3) ( 2) 180
( 1) ( 2) ( 3) ( 4) ( 3) ( 2) 180 180 180 ( 1) 180 ( 4) 180 180 180 180
( 1) ( 4) 180
m m
m m m m m m
m m
m m
Por lo tanto PM QN por formar ángulos consecutivos interiores suplementarios 32.
2
1
1 1 2 2
1 2 1 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 es equilatero m( MO ) 60
m arcoMO N m A
m arcoMO N m B
MO O O MO MO O
O
Luego se demuestra que ∆ NO1O2 es también equilátero. Entonces se tiene que m (MO1N) = 120° y por lo tanto el arco MBN mide 240° y por consiguiente el arco MO1N mide 120° de donde m(B) = 60°. De la misma manera se
33.
Demostrar primero que MO1NO2 es un paralelogramo.
1 2
MO N MO N
por ser ángulos opuestos en un
paralelogramo.
m (arco MEN) = m (arco MFN)
( )
( )
2
( )
( )
2
m arcoMEN m C
m arcoMFN m D
34.
PA PT PT PB PA PB
37.
1.
2. ( 1) ( 2) 3.
4. ( 3) ( 4)
5. ( 1) ( 2) ( ) 180 6. ( 3) ( 4) ( ) 180
AM AB
m m
AB AN
m m
m m m MAB
7. ( 1) ( 2) ( ) ( 3) ( 4) ( ) 360 8.2 ( 2) 2 ( 4) 180 360
9.2 ( 2) ( 4) 180 10. ( 2) ( 4) 90 11. es recto 12.AM
13. es mediana sobre la hipotenusa MN
14.AB= 2
m m m MAB m m m NAB
m m
m m
m m
MBN
AN
BA
38.
1 2 1 2
2 2 2
2 2 2
2 1
( )
es isosceles
O es bisectriz de AO ( ) es altura O
es punto medio de AB, ¿Porque? O AO O BO L L L
AO C BO C AO B
C B demostrarlo O C O AB
C
39.
( ) 30 ( ) 120
( ) 30 es isosceles
OC CD
AO OC m ACO m ACD
m D ACD
41.
ADB es recto
( ) ( )
( ) 40 ( ) 140 ( ) ( ) 70
( )
( ) 35
2
( ) 110
( ) 55
2 2
XY AC m arcoAD m arcoDC
m arcoCB m arcoADC m arcoAD m arcoDC m arcoAD
m ADX
m arcoDB m BDY
43.
C es recto ACF es rectángulo. El complemento de
CFA es
es rectangulo el complemento de D es
CFA D(por tener el mismo complemento) CFA DFB D FBD es isosceles
AHB es recto es altura y mediana
DB AB ABD
